Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý đường cong jordan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN LÊ PHƯƠNG THẢO

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ
VÀO VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN
ĐẾN ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa được ai
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận văn

Nguyễn Lê Phương Thảo


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 1
5. Đóng góp của đề tài .............................................................................. 2
6. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2
CHƯƠNG 1 : NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN .......................................... 4
1.1. PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN ............................................................ 4
1.2. THỨ PHÂN TRỌNG TÂM ....................................................................... 8
1.3. ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH VÀ XẤP XỈ ĐƠN HÌNH .................................... 11
1.4. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ ..................................................................... 13
1.5. NHÓM ABEL TỰ DO, MODULE TỰ DO ............................................ 15
1.6. KHÔNG GIAN TOPO ............................................................................. 18
1.7. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG, LIÊN THÔNG ĐƯỜNG ..................... 18
1.8. ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH ....................................................................... 20
1.8.1. Các định nghĩa .............................................................................. 20
1.8.2. Các phép biến đổi xích và các xích đồng luân .............................. 30
1.8.3. Đồng cấu cảm sinh ........................................................................ 34
1.8.4. Đồng điều tương đối ..................................................................... 37
CHƯƠNG 2 : ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ............................................................. 42
2.1. ĐƠN HÌNH KỲ DỊ VÀ XÍCH KỲ DỊ .................................................... 42
2.1.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị......................................................... 42
2.1.2. Đồng cấu biên. Phức kỳ dị ............................................................ 44
2.1.3. Nhóm tương đối, dãy khớp dài ..................................................... 52


2.2.TÍNH BẤT BIẾN CỦA ĐỒNG LUÂN ĐỐI VỚI THỨ PHÂN TRỌNG
TÂM….. .......................................................................................................... 61
2.3. ĐỊNH LÝ KHOÉT ................................................................................... 66
CHƯƠNG 3 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU

KỲ DỊ ............................................................................................................. 86
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG CONG JORDAN VÀ MỞ RỘNG. .................. 86
3.2. ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN MIỀN. ................................................................ 100
KẾT LUẬN .................................................................................................. 102
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................... 103
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Topo đại số là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ của đại số để
nghiên cứu các không gian topo. Có nhiều định lý về topo như định lý Jordan,
định lý bất biến miền được phát biểu đơn giản nhưng việc chứng minh chúng
rất phức tạp và thường phải dùng đến topo đại số. Định lý đường cong Jordan
được mang tên nhà toán học người Pháp Camille Jordan, người đã đưa ra
chứng minh đầu tiên cho định lý này. Định lý được phát biểu có vẻ như hiển
nhiên nhưng để có được một chứng minh hoàn chỉnh thì thật sự không dễ chút
nào. Trong nhiều thập kỉ chứng minh của Jordan được coi là có thiếu sót và
chứng minh đầy đủ đầu tiên là của Oswald Veblen, tuy nhiên điều này gần
đây đã bị Thomas C. Hales và những người khác nghi ngờ. Ngày nay đa số
những chứng minh rõ ràng dựa vào công cụ của tô pô đại số. Định lý đã được
tổng quát hóa lên những không gian có số chiều cao hơn. Do vậy đề tài này
tìm hiểu về lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên
quan đến định lý của đường cong Jordan. Tôi hi vọng tạo được một tài liệu
tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về Lý thuyết đồng điều kỳ dị
và hy vọng tìm ra được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm phong
phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.
2. Mục đích nghiên cứu

Nêu các định nghĩa, các tính chất của lý thuyết đồng điều kì dị và ứng
dụng chúng để chứng minh “tổng quát hóa đường cong Jordan, định lý bất
biến của miền”.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết đồng điều kỳ dị.
Phạm vi nghiên cứu là các không gian Topo và Topo đại số.


2

4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức
4.2. Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả nghiên cứu
liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các
định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan.
- Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
Tham gia các buổi thảo luận để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu.
5. Đóng góp của đề tài
1. Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến
Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên
quan đến định lý của đường cong Jordan nhằm xây dựng một tài liệu tham
khảo cho những ai muốn nghiên cứu lý thuyết đồng điều kỳ dị.
2. Chứng minh chi tiết và làm rõ mộ số định lý mà phải dùng đến topo
đại số mới giải quyết được.
6. Cấu trúc của luận văn
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba
chương:
Chương 1: Những kiến thức cơ bản
Trình bày những kiến thức về đại số như phạm trù, hàm tử, phép biến đổi

tự nhiên...và về topo như tính liên thông, liên thông đường, topo thương, phép
đồng nhất và phép dán, nhóm topo, các ví dụ về không gian topo như quả cầu,
mặt cầu, mặt xuyến, các nhóm topo cổ điển...cơ bản về các phức đơn hình,
phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, đồng luân và đồng điều
đơn hình.


3

Chương 2: Lý thuyết đồng điều kỳ dị
Trình bày về hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng cấu cảm sinh bởi các ánh
xạ liên tục giữa các phức đơn hình, đơn hình kỳ dị, xích kỳ dị
Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị.
Trình bày những chứng minh định lý khái quát đường cong Jordan và
định lý bất biến của miền.


4

CHƯƠNG 1
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1.

PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN

Định nghĩa 1.1.1. Đơn hình
Trong không gian

n

, cho tập hợp các điểm

 p ,..., p  độc lập affine. Tập
0

k

hợp tất cả các điểm



x

n



x   i pi , i  0,1,  i  1
k

k

i 0

i 0

được gọi là một đơn hình k – chiều hay k – đơn hình.
Ta ký hiệu    p0 ,..., pk  , trong đó p0 ,..., pk là các đỉnh của đơn hình 
dim  k là chiều của đơn hình  .

Nhận xét 1.1.1.

Mỗi đơn hình là một tập đóng, compact. Với mọi

x    p0 ,..., pk  , do

 p ,..., p  độc
0

k

lập affine nên x được biểu diễn một

cách duy nhất dưới dạng
k

x   i ( x) p i
i 0

Trong đó,

  ( x)  1,  ( x)  0,1 với i  0, k
k

i 0

i

i

Định nghĩa 1.1.2. Phức đơn hình.
Một phức đơn hình là họ hữu hạn K    gồm các đơn hình trong không
gian

n

thỏa tính chất sau

(i)

Nếu  K thì mỗi mặt của  cũng thuộc K .

(ii)

Nếu  ,  K thì hoặc 
của  và 

   hoặc   là một mặt chung


5

Cặp ( K , K ) được gọi là một đa diện. Khi đó, K  sdK được gọi là phân tích
đơn hình của đa diện, K  K được gọi là giá của K.
Chiều của đa diện ( K , K ) , ký hiệu là dim( K , K ) được định nghĩa như sau
dim( K , K )  max dim /   K

Đường kính của K ký hiệu là meshK và đường kính này được định nghĩa
như sau
meshK  max  ( ) /   K

Định nghĩa 1.1.3. Đa diện con.
Cho ( K , K ) là một đa diện, L  K . Nếu L cũng là phức đơn hình thì L được
gọi là phức đơn hình con của K . Khi đó, ( L, L ) được gọi là đa diện con của
đa diện ( K , K ) , với L là giá của L .
Nhận xét 1.1.2. Cho K là một phức đơn hình và   L  K . Khi đó, L là
phức đơn hình con của K khi và chỉ khi với mọi đơn hình  L , mỗi mặt
của  cũng thuộc L .
Nhận xét 1.1.3. Với mọi r  0 , ta đặt K r    K dim  r. Khi đó, K r là
một phức đơn hình con của K.
Nhận xét 1.1.4. Nếu  K , K  là một đa diện thì K 0 là một phức đơn hình con
của K và được gọi là tập hợp các đỉnh của đa diện  K , K .
Với mỗi đơn hình  K, đặt F ( ) là tập hợp tất cả các mặt của  . Khi đó,

 , F ( )  là một đa diện con của  K , K .
Định nghĩa 1.1.4. Cho ( K , K ) là một đa diện  K . Hợp của tất cả các mặt
thật sự của  ký hiệu là Bd .


6

Định nghĩa 1.1.5. Cho ( K , K ) là một đa diện, x  K . Khi đó,  K được
gọi là giá của x , ký hiệu  ( x) , nếu  là đơn hình có chiều nhỏ nhất chứa x .

 ( x) là duy nhất và có thể biểu diễn dưới dạng  ( x) 

  K , x  .

Nhận xét 1.1.5. Cho  K với ( K , K ) là một đa diện, x  K . Khi đó,

   ( x) khi và chỉ khi x  \  .
Nhận xét 1.1.6. Cho  K với ( K , K ) là một đa diện, x  K . Khi đó, x 
khi và chỉ khi  ( x) là một mặt của  .
Y liên tục
Nhận xét 1.1.7. Với mọi không gian topo Y , ánh xạ f : K 

khi và chỉ khi f  :  
Y liên tục, với mọi  K
Định nghĩa 1.1.6. Cho ( K , K ) là một đa diện. Với mọi đỉnh p K, tập hợp
K\

  K , p  

được gọi là hình sao của p, ký hiệu là Stp.
Nhận xét 1.1.8. Stp là một tập mở chứa p và không chứa bất kỳ đỉnh nào
khác của đa diện ( K , K ).
Định lý 1.1.1. Cho p0 , p1 ,..., pn là các đỉnh của đa diện ( K , K ). Khi đó
(i)

n
i 0

Stpi   khi và chỉ khi  p0 , p1 ,..., pn  là một đơn hình của K .

(ii) Nếu    p0 , p1 ,..., pn  là một đơn hình của K thì

n
i 0

Stpi là tập hợp gồm

tất cả các điểm x  K mà  ( x) nhận  làm mặt.
Ta nhận xét rằng nếu  p0 , p1 ,..., pt  là các đỉnh của đa diện K thì với
mỗi x K , x được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x  i 0 i ( x) pi ,
t

trong đó i  0,1, với i  1, t.
Ta có i ( x)  0,1 nếu pi  ( x). Khi đó, i ( x) được gọi là tọa độ của
x đối với pi . Ngược lại, i ( x)  0 nếu pi  ( x).


7

Hàm số i : 
 0,1 , với mỗi  K , được gọi là hàm tọa độ trọng
tâm của  . Ta có i là hàm liên tục.
Nhận xét 1.1.9. Với mọi đỉnh

pi của đơn hình trong K, ta có

Stpi   x i ( x)  0 .

Chứng minh
x  Stpi  K \

  K , p   , suy ra
i

x  nếu pi  .

Do x  ( x) nên pi  ( x).
Giả sử  ( x)  v0 , v1 ,..., vl  , x sẽ được biểu diễn như sau
x  0v0  1v1    l vl

Mặt khác x  0 ( x) p0  1 ( x) p1    i ( x) pi    t ( x) pt .
Do cách biểu diễn là duy nhất nên  j 0,1,..., l sao cho pi  v j .
Do đó i ( x)   j . Vì  ( x) là đơn hình có số chiều nhỏ nhất chứa x nên

 j  i ( x)  0 hay x x i ( x)  0 . Do đó, Stpi  x i ( x)  0 .
Ngược lại, nếu x x i ( x)  0, suy ra i ( x)  0 hay pi  ( x) . Do đó,
x  Stpi hay

x  ( x)  0  Stp .
i

i

Vậy Stpi   x i ( x)  0.
Định nghĩa 1.1.7. Đồng luân

Y liên tục. Hai ánh xạ f , g được gọi là đồng
Cho hai ánh xạ f , g : X 
luân, ký hiệu f

g , nếu tồn tại ánh xạ H : X  I 
Y thỏa
H ( x,0)  f ( x); H ( x,1)  g ( x), x  X .

Khi đó, H được gọi là đồng luân của f đối với g .
Định lý 1.1.2. Cho ( K , K ) là một đa diện trong không gian

n

, Y là không

gian topo bất kỳ và f , g là hai ánh xạ liên tục từ Y vào K . Nếu với mỗi


8

y  Y , tồn tại một đơn hình  K thỏa mãn f ( y), g ( y)  thì f và g

đồng luân.
Chứng minh. Cho H : Y  I 
 K xác định bởi
H ( y, t )  (1  t ) f ( y)  tg ( y)

y  Y

thì

f ( y), g ( y)  , với 

là một đơn hình của K

nên

f ( x), g ( y)  K . Do đó (1  t ) f ( y)  tg ( y)  K , t  I . Do f , g liên tục nên
H liên tục.

Mặt khác, H ( y,0)  f ( y); H ( y,1)  g ( y), y Y nên f , g đồng luân.
Nhận xét 1.1.8. Hai ánh xạ f , g thỏa điều kiện như trên được gọi là hai ánh
xạ contigous.
1.2. THỨ PHÂN TRỌNG TÂM
Cho một phân tích đơn hình K của K , chúng ta sẽ xây dựng một phân tích
đơn hình K  khác của K , được gọi là thứ phân trọng tâm của K.
Định nghĩa 1.2.1. Cho đơn hình    po , p1 ,..., pn  trọng tâm của  là một
điểm, ký hiệu b hay [ ] được xác định như sau
b 

1 n
 pi
n  1 i 0

Nếu   pi thì trọng tâm của  trùng với chính nó.
Xét đa diện ( K , K ) và  là một đơn hình của K.

Ta biết rằng

( , F ( )) là một đa diện con của ( K , K ). Ta đặt Sd 1 là tập hợp các đơn

hình mà tất cả các đỉnh là trọng tâm của tất cả các mặt của  hay Sd 1 gồm
tất cả các đơn hình b , b ,..., b  với  0   1     s là dãy tăng nghiêm
0

ngặt các mặt của  .

1

s

9

Định nghĩa 1.2.2. Cho ( K , K ) là một đa diện. Khi đó, Sd 1K gồm tất cả các
đơn hình b , b ,..., b  , trong đó  0   1     s là dãy tăng nghiêm
0

1

s

ngặt các mặt của K.
Ta thấy rằng mỗi tập b , b ,..., b
0

1

 độc lập afine và Sd K là một phức
1

s

đơn hình, ( K , Sd 1K ) là một đa diện.
Định lý 1.2.1. Cho ( K , K ) là một đa diện có đường kính là  . Khi đó,
đường kính của Sd 1K 

n
.
n 1

Chứng minh. Với mọi đơn hình [b , b ,..., b ]  Sd 1K với  0   1     s ,
0

1

s

ta chứng minh, i, j {0,..., s} thì
b  b 
i

j

n

n 1

(1)

Nếu i  j, (1) đúng.
Nếu i  j, giả sử  i   j , ta đặt  i  [p0 , p1 ,..., pm ] ;  j  [p0 , p1 ,..., pm ,..,pmk ]
1
1
( p0  p1    pm ) và b 
( p0  p1    pm k )
m  k 1
m 1

Khi đó, b 

j

i

1
1
( p0  p1    pm ) 
( p0  p1    pm k )
m 1
m  k 1

Do đó: b  b 
i



j

k
1
( p0  p1    pm ) 
( pm1    pmk )
(m  1)(m  k  1)
m  k 1


1
 k


(
p

p



p
)

(
p



p
)
0
1
m
m

1
m

k

m  k  1  m  1

Nên

b  b 
i

Ta lại có

j

1
 k

(
p

p



p
)

(
p



p
)
0
1
m

m

1
m

k

m  k  1  m  1


10

k
( p0  p1    pm )  ( pm1    pmk ) 
m 1


1
1
( p0  p1    pm )  pm1 
( p0  p1    pm )  pm 2   
m 1
m 1




1
( p0  p1    pm )  pm k
m 1

1
1
( p0  p1    pm )  pm1 
( p0  p1    pm )  pm2
m 1
m 1

  

1
( p0  p1    pm )  pm k
m 1

( k lần)

mà i  1, k ta có
1
1
1
( p0  p1    pm )  pmi 
( p0  pmi )   
( pm  pmi )
m 1
m 1
m 1


1
1

( p0  pmi )   
( pm  pmi ) ( m+1 lần)
m 1
m 1



1
1
( p0  pmi )   
( pm  pmi )
m 1
m 1



1
1
m 1
   


m 1
m 1
m 1

nên

k
( p0  p1    pm )  ( pm1    pm k )  k 

m 1

Do đó b  b 
i

j

hay meshSd 1K 

k
n


m  k 1 n 1

n
.
n 1

Đặt Sd 0K  K , Sd mK  Sd 1 (Sd m1K ) , với m  1.


11

m

 n 
Hệ quả 1.2.1. Cho dimK  n, khi đó meshSd K  
 meshK.
 n 1

m

1.3. ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH VÀ XẤP XỈ ĐƠN HÌNH
Định nghĩa 1.3.1. Cho ( K , K ), ( L, L ) là hai đa diện trong

n

. Xét ánh xạ

 : ( K , K ) 
( L, L ),  được gọi là ánh xạ đơn hình nếu thỏa mãn hai điều
kiện sau:
 Với mọi  p0 , p1 ,..., ps  K, các điểm  ( p0 ), ( p1 ),..., ( ps ) là các
đỉnh của một đơn hình thuộc L .
là ánh xạ afine với mỗi  K , nghĩa là

 Ánh xạ 

   i pi    
( pi )
i
s

s

 i 0

trong đó



s


i 0

i

i 0

 1 và i  0 với i  1, s.

Lưu ý rằng  là ánh xạ afine từng khúc được xác định một cách duy
nhất bởi các giá trị trên các đỉnh của K. Do đó, ta thường

ký hiệu

 : K 
L
Xét ánh xạ  : K 
L với tương ứng tất cả các đỉnh của K đều cho
ảnh là một đỉnh của L. Khi đó  là một ánh xạ đơn hình và được gọi là ánh
xạ hằng. Hơn nữa, do các hàm tọa độ trọng tâm liên tục nên ánh xạ đơn hình
liên tục trên mỗi đơn hình  K và do đó, ánh xạ đơn hình liên tục.
 L là ánh xạ liên tục. Một ánh xạ đơn hình
Định nghĩa 1.3.2. Cho f : K 

 từ ( K , Sd rK ) vào ( L, L ) với r  0 được gọi là một xấp xỉ đơn hình của f
nếu f (Stp)  St ( p) với mọi đỉnh p  Sd rK.

12

Định lý 1.3.1. Cho f : K 
 L là một ánh xạ liên tục. Khi đó, tồn tại xấp xỉ
đơn hình  : ( K , Sd rK ) 
( L, L ) của f với r đủ lớn và mỗi xấp xỉ đơn
hình của f đều đồng luân với f .
Chứng minh. Cho   0 là số Lebesgue của phủ mở

f

1

(Stq) q  ( L, L )0 



của K . Dùng thứ phân trọng tâm, r0  0, r  r0 thì meshSd rK  .
2
Suy ra p  ( K , Sd rK )0 , diamStp   .
Do đó,  q  ( L, L )0 thỏa mãn Stp  f 1 (Stq) nên f (Stp)  Stq
Chọn q   ( p) suy ra f (Stp)  St ( p).
Với mọi đơn hình  p0 , p1 ,..., pn   Sd rK
n

n

i 0

i 0

  f ( Stpi ) 

f ( Stpi ) 

n
i 0

St ( pi )

nên ( ( p0 ), ( p1 ),..., ( pn )) là một đơn hình trong L.
Cho  : ( K , Sd rK ) 
( L, L ) là một xấp xỉ đơn hình của f .
Ta chứng minh f ,  đồng luân.
Với mọi x  K , giả sử  ( x)   p0 , p1 ,..., pn  trong ( K , Sd rK ),
suy ra  ( x)  ( ( p0 ), ( p1 ),..., ( pn )) L
n

n

i 0

i 0

Mặt khác f ( x)  f ( Stpi ) 

St ( pi ).

Do đó, giá của f ( x) nhận ( ( p0 ), ( p1 ),..., ( pn )) làm mặt, suy ra

f ( x),  ( x) cùng thuộc một đơn hình trong L. Vậy f ,  đồng luân

Nhận xét 1.3.1. Các xấp xỉ đơn hình của f nói chung không duy nhất mà
phụ thuộc vào r và việc chọn  ( p) là đỉnh của L, với mỗi đỉnh p của Sd rK.
Với mỗi r cố định, cho hai xấp xỉ đơn hình  , : Sd rK 
L.


13

Với mọi x  Sd K , gọi  ( x)   p0 , p1 ,..., pn  là giá của x thì x 

n

r

n

n

i 0

i 0

f ( x)  f ( Stpi ) 

f ( Stpi ) 

n
i 0

i 0

Stpi suy ra

St ( pi )

Do đó, giá của f ( x) nhận  ( p0 ), ( p1 ),..., ( pn ) làm mặt.
Tương tự, ta có:
n

n

i 0

i 0

f ( x)  f ( Stpi ) 

f (Stpi ) 

n
i 0

St ( pi )

hay giá của f ( x) nhận  ( p0 ), ( p1 ),..., ( pn ) làm mặt.
Do đó, giá của f ( x) chứa  ( x),  ( x) hay  ( x),  ( x) cùng thuộc một đơn
hình trong L nên hai ánh xạ  ,  là hai ánh xạ contiguous.
1.4. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

Định nghĩa 1.4.1. Phạm trù.
Một phạm trù P bao gồm:
 Một lớp P gồm các vật A, B, C... được gọi là những vật của phạm
trù P
 Với mỗi cặp vật ( A, B) của phạm trù P cho một tập hợp gọi là tập
hợp các cấu xạ f từ A đến B , ký hiệu  A, B P . Mỗi phần tử của

 A, B

P

được ký hiệu là f .

 Với mỗi bộ ba vật ( A, B, C ), với mỗi cặp cấu xạ f   A, B P ,
g   B, C P , tồn tại gf được gọi là phép hợp thành của hai xạ g , f

và gf   A, C P
và thỏa mãn các tiên đề sau:
 Phép hợp thành có tính chất kết hợp.


14

 Với mọi vật A của P, tồn tại xạ 1A   A, AP được gọi là cấu xạ
đồng nhất sao cho với mọi f   B, AP , g   B, C P ,

ta có

1A f  f , g1A  g

Định nghĩa 1.4.2. Phạm trù con.
Một phạm trù C được gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu
 Mỗi vật của phạm trù C đều là một vật của phạm trù P .
 Mỗi cấu xạ của phạm trù C đều là một cấu xạ của phạm trù P.
 Các xạ đồng nhất của phạm trù C đều là một xạ đồng nhất của
phạm trù P.
 Hợp thành gf của hai cấu xạ f , g trong phạm trù C đều trùng với
hợp thành của các cấu xạ đó trong phạm trù P.
Một phạm trù con C của phạm trù P được gọi là đầy nếu  A, B C   A, B P ,
với mỗi cặp A, B trong phạm trù C .
Định nghĩa 1.4.3. Vật khởi đầu, vật tận cùng
Mỗi vật A trong phạm trù P được gọi là vật khởi đầu nếu với mọi vật
X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ A đến X

Một vật A trong phạm trù P được gọi là vật tận cùng nếu với mọi vật
X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ X đến A .

Định nghĩa 1.4.4. Hàm tử
Cho hai phạm trù P, P  . Một hàm tử hiệp biến H từ phạm trù P đến phạm

P  là một cặp ánh xạ gồm ánh xạ - vật và ánh xạ trù P , ký hiệu H : P 
cấu xạ.
 Ánh xạ - vật cho tương ứng mỗi vật A của phạm trù P, một vật
của phạm trù P  , ký hiệu là H ( A).


15

 Ánh xạ - cấu xạ cho tương ứng mỗi cấu xạ f   A, B P , một cấu
xạ thuộc  H ( A), H ( B)P  , ký hiệu là H ( f )

và thỏa mãn các điều kiện sau:
 H (1A )  1H ( A) , với mọi A P .
 H ( gf )  H ( g )H ( f ), với mọi hợp thành gf trong phạm trù P ,
nghĩa là
A

f

g

gf

H(A)

B

H(f)

H (g)

H ( gf )

C

H(B)

H(C)

1.5. NHÓM ABEL TỰ DO, MODULE TỰ DO
Mệnh đề 1.5.1. A là tập hợp khác rỗng x, y,... là các phần tử thuộc A .Ta

đặt:
X   f : A 


 A hữu hạn, A  A : f ( x)  0, x  A \ A

với mọi f , g  X , ta định nghĩa phép cộng trên X như sau

f

 g  x   f  x   g  x  , x  A

Khi đó, X cùng với phép cộng lập thành một nhóm Abel.
Chứng minh. Ta chứng minh phép cộng được xác định đúng đắn trên X .
Với mọi f , g  X suy ra tồn tại A1 , A2  A; A1 , A2 hữu hạn sao cho
f ( x)  0 x  A \ A1 và g ( x)  0 x  A \ A2

Đặt A  A1

A2 suy ra A  A và A hữu hạn.

Với mọi x  A \ A, do x  A'  x  A1 nên f ( x)  0 , do x  A2 nên
g ( x)  0 . Do đó,

f

 g  x   f  x   g  x   0 , x  A \ A hay f  g  X .

Với mọi f , g , h  X , x  A , ta có

16

( f

 g )  h  ( x)  ( f  g )( x)  h( x)   f ( x)  g ( x)   h( x)
 f ( x)   g ( x)  h( x)   f ( x)  ( g  h)( x)
  f  ( g  h)  ( x )

hay ( f  g )  h  f  ( g  h) .
Vậy phép cộng có tính kết hợp.
Đặt 0 X : A 


xác định 0 X ( x)  0, x  A . Khi đó, 0 X  X .

Với mọi f  X , x  A , ta có
( f  0 X )( x)  f ( x)  0 X ( x)  f ( x)
(0 X  f )( x)  0 X ( x)  f ( x)  f ( x)

hay f  0 X  0 X  f  f .
Vậy 0 X là phần tử đơn vị của X
Với mọi


f  X đặt ( f ) : A 

xác định ( f )( x)   f ( x) ,

f  X .

Khi đó  f  X .
Với mọi x  A , ta có

 f  (  f )  ( x)  f ( x)  (  f ) x  f ( x)  f ( x)  0 ( x)
( f )  f  ( x)  ( f )( x)  f ( x)   f ( x)  f ( x)  0 ( x)
X

X

hay

f  ( f )  ( f )  f  0 X

Vậy mỗi phần tử trong X có phần tử đối.
Với mọi f , g  X , x  A, ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)  ( g  f )( x)
hay phép cộng trong X có tính giao hoán.
Vậy X là nhóm Abel.
Định nghĩa 1.5.1. Nhóm Abel tự do
Nhóm Abel X được xác định như trên được gọi là nhóm Abel tự do sinh bởi
A.


17

Định nghĩa 1.5.2. Giả sử R là một V  module,   S  R . Khi đó, S được
gọi là cơ sở của R nếu mỗi phần tử của R đều được biểu diễn tuyến tính duy
nhất qua các phần tử của S .
Hệ quả 1.5.1. Cho R là một V  module. Nếu S là cơ sở của R thì S là hệ
sinh độc lập tuyến tính.

Chứng minh. Do mỗi phần tử của R được biểu diễn tuyến tính qua các phần
tử của S nên S là hệ sinh.
Đặt S   x1 , x2 ,..., xn . Giả sử tồn tại 1 , 2 ,..., n V sao cho

1 x1   2 x2     n xn  0.
Mặt khác, 0  0 x1  0 x2    0 xn .
Do mỗi phần tử được biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất nên

1   2     n  0
Vậy S độc lập tuyến tính.
Mệnh đề 1.5.2. Cho A là tập hợp khác rỗng, x, y,... là các phần tử thuộc A;
V là một vành,  ,  ,... là các phần tử thuộc V . Ta đặt
X   f : A 
V  A hữu hạn , A  A : f ( x)  0, x  A \ A

Với mọi g , f  X , với mọi  V ta định nghĩa phép cộng, phép nhân ngoài
trên X như sau :
( f  g )( x)  f ( x)  g ( x), x  A
( f )( x)   f ( x), x  A

Khi đó, X cùng với phép cộng và phép nhân ngoài lập thành một
V  Module.

Định nghĩa 1.5.2 Module tự do.
Module X được thành lập như trên gọi là module tự do sinh bởi A


18

1.6. KHÔNG GIAN TOPO

Không gian topo là một cặp ( X ,T ) , trong đó X là một tập hợp, T là
một họ các các tập con của X thỏa mãn
(i) T , X T
(ii) U1 ,U 2 T  U1  U 2 T
(iii) U i  T (i  I ) 

iI

Ui T

Mỗi phần tử của T được gọi là một tập mở của X; họ T được gọi là
một topo trên X.
Từ định nghĩa ta có nhận xét sau:
a)  và X là những tập mở.
b) Giao của hai tập mở là mở.
c) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là mở.
1.7. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG, LIÊN THÔNG ĐƯỜNG
Định nghĩa 1.7.1. Không gian liên thông
Không gian topo X được gọi là liên thông nếu không tồn tại các tập mở
A và B khác  của X sao cho A  B  , X  A  B .
Nói cách khác, không gian X là liên thông nếu và chỉ nếu không tồn tại một
tập con thực sự A   vừa đóng vừa mở của X.
Ví dụ 1.7.1.

là không gian liên thông.

Mệnh đề 1.7.1. Tập M của không gian topo X liên thông khi và chỉ khi không
tồn tại các tập mở A, B trong X sao cho

A  M  , B  M  , A  B  M  , M  A  B .

Định lý 1.7.1. Nếu không gian topo X có một tập liên thông trù mật M thì X
liên thông.
Chứng minh. Chứng minh phản chứng
Giả sử X không liên thông, khi đó tồn tại hai tập mở A, B khác  sao cho


19

A  B  , X  A  B .
Vì M trù mật trong X, cho nên A  M  , B  M  
Ta có :

A  B  M  , M  A  B
Suy ra M không phải là tập liên thông (theo mệnh đề 1.7.1)
Điều này trái với giả thiết. Vậy X liên thông.
Hệ quả 1.7.1. Giả sử A là tập liên thông của X, A  B  A . Khi đó B là tập
liên thông.
Chứng minh. Vì A là tập liên thông trù mật của không gian B, cho nên B liên
thông.
Nhận xét 1.7.1. Nếu A liên thông thì A cũng liên thông.
Định nghĩa 1.7.3. Không gian liên thông đường
Cho E là không gian topo, E liên thông đường nếu với mọi x, y thuộc E,
tồn tại ánh xạ  :[0,1]  E liên tục sao cho  (0)  x,  (1)  y .
Ví dụ 1.7.2.

là không gian liên thông đường.

Chứng minh. Ta xét ánh xạ f :[0,1] 

sao cho với mọi x [0,1] thì

f(x) = (b – a)x + a, với mọi a, b  R .
Nhận thấy f liên tục và f(0) = a, f(1) = b.
Suy ra

là không gian liên thông đường.

Mệnh đề 1.7.2. Ảnh của một không gian liên thông đường qua ánh xạ liên tục
là không gian liên thông đường.
Chứng minh. Giả sử f : X  Y liên tục, X liên thông đường. Ta đi chứng
minh f(X) liên thông đường.
Cho u, v  f ( X ) , tồn tại x, y  X sao cho u = f(x) và v = f(y).
Vì X liên thông đường nên tồn tại một cung  :[0,1]  X sao cho  (0)  x và

 (1)  y .


20

Khi đó f  :[0,1]  f ( X ) là một cung (vì f và  liên tục, do đó f  cũng
liên tục) nối u và v, vì u  f ( x)  f ( (0))  ( f  )(0)  v  ( f  )(1)
Mệnh đề 1.7.3. Cho E, F là hai không gian liên thông đường. Khi đó
E  F cũng là không gian liên thông đường.

Nhận xét 1.7.2. Nếu X là không gian liên thông đường thì X là không gian
liên thông.
Chứng minh.
Vì X là liên thông đường nên với mọi a, b  X , tồn tại f :[0,1]  X liên tục
sao cho f(0) = a, f(1) = b.
Ta có [0,1] là khoảng đóng nên liên thông.

Vì f liên tục nên theo mệnh đề 1.7.2 thì ảnh liên tục của một tập liên thông là
liên thông nên suy ra f([0,1]) liên thông trong X.
Có f(0) = a, f(1) = b suy ra tập liên thông này có chứa hai điểm a và b.
Cho nên theo hệ quả 1.7.2 thì X liên thông.
Nhận xét 1.7.3. Một không gian liên thông chưa chắc đã liên thông đường.
1.8. ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH
1.8.1. Các định nghĩa
Cho K là một phức đơn hình hữu hạn với các đỉnh được sắp thứ tự
tuyến tính. Khi đó, mỗi đơn hình  q0 , q1 ,..., qn  có thể được viết duy nhất thành

 p , p ,..., p  với ( p
0

1

n

0

 p1    pn ) và được gọi là n – đơn hình định hướng.

Định nghĩa 1.8.1.1. Với mỗi n  0 , nhóm Abel tự do Cn (K ) sinh bởi các n –
đơn hình định hướng của K được gọi là nhóm các xích n - chiều của K . Rõ
ràng, Cn (K )  0 nếu n  dim K .

Cn1 (K ) là đồng cấu xác định trên
Với mỗi n  1 , toán tử biên  : Cn (K ) 
n

mỗi phần tử sinh bởi công thức  p0 , p1 ,..., pn   (1)i p0 , p1 ,..., pi ,..., pn .

i 0


21

Với n  0 , ta định nghĩa  0 : C0 (K ) 
 0 là đồng cấu không. Ta thấy
rằng  n  n1  0 . Điều này tương đương với Im  n1  Ker n .
Hạt nhân của  n : Cn (K ) 
Cn1 (K ) được ký hiệu là Z n (K ) và được
gọi là nhóm các n – chu trình của K . Ta thấy rằng Z0 (K )  C0 (K ) .
Ảnh của  n1 : Cn1 (K ) 
Cn (K ) được ký hiệu là Bn (K ) và được gọi
là nhóm các n – biên và nhóm thương H n (K )  Z n (K ) Bn (K ) được gọi là
nhóm đồng đều thứ n của K . Các phần tử của H n (K ) được gọi là các lớp
đồng đều, z  Bn (K ) là lớp đồng đều của n – chu trình Z . Hai n – chu trình
z, z cùng thuộc một lớp đồng đều được gọi là đồng đều. Điều này xảy ra khi

và chỉ khi z  z  Bn (K ) hay tồn tại (n+1) – xích cn 1 mà z  z  n1 (cn1 ) .
Lưu ý rằng, H n (K )  0 nếu n  dim K và H n (K )  Z n (K ) nếu n  dim K .
Một cách tổng quát, một phức xích là một họ bất kỳ
C  (Cn ,  n ) n  1,2,...

các nhóm Abel và các nhóm đồng cấu

 n : Cn 
Cn1 , với C1  0,  0 là đồng cấu không và  n  n1  0, n  0.

Khi đó ta được dãy






Cn 
Cn1 
Cn2 

C0 
0
n

n1

n2

1

0

các nhóm Abel và các đồng cấu, trong đó hợp thành của hai đồng cấu liên
tiếp bất kỳ là đồng cấu không. Nhóm H n (C )  Ker n Im  n1 , n  0. Ta có
thể xác định với mỗi phức đơn hình K các nhóm đồng đều trên một nhóm
Abel bất kỳ hay trường G .
Cho G là một nhóm Abel hay một trường cố định, tổng hữu hạn hình
thức cn   gi  in với gi  G là một nhóm Abel Cn (K, G) và là không gian
vector nếu G là một trường.