Lý Thuyết Bất Biến Của Nhóm Hữu Hạn

Lý Thuyết Bất Biến Của Nhóm Hữu Hạn

Thái Văn D-ơng 1

Lớp TNK32 - Khoa Toán - Tin học, Đại học Đà Lạt
GVHD: TS Đỗ Nguyên Sơn
5/2012

1 Luận

Văn Tốt Nghiệp Năm 2012


Mục lục
1

Một số khái niệm
tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4

5
6
7
9
11
12
18
19
22
24
24
25

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .

29
29
29
30
35
36
36
39
43
49
49
54
57

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
2

Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quan hệ thứ tự trên các đơn thức trong k[x1, ..., xn]
Hệ số dẫn đầu, đơn thức đầu, số hạng đầu . . . . .
Giải thuật chia đa thức n biến . . . . . . . . . . . .
Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định lí cơ sở Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cơ sở Gră
obner và giải thuật tìm cơ sở Gră
obner .
Một số định nghĩa về nhóm . . . . . . . . . . . . .
Tập đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tham số hóa các tập đại số . . . . . . . . . . . . .
Anh xạ đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vành tọa độ của tập đại số affin . . . . . . . . . . .
Định lí không điểm (NullstellenSatz) . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn
2.1

2.2

2.3
2.4

Kết

Đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Khái niệm đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Đa thức đối xứng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Đa thức thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nhóm ma trận hữu hạn và vành của các bất biến . . . . . .
2.2.1 Nhóm ma trận hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Vành của các bất biến . . . . . . . . . . . . . . . .
Phần tử sinh cho vành của các bất biến . . . . . . . . . . .
Liên hệ giữa các phần tử sinh và hình học của các quỹ đạo
2.4.1 Liên hệ giữa các phần tử sinh . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Hình học của các quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . .
luận và h-ớng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.


3

Giới thiệu
Lý thuyết bất biến có liên quan đến sự phát triển của hình học đại số.
Ví dụ nh-: Định lí cơ sở của Hilbert và định lí không điểm của Hilbert
(NullstellenSatz), nó đóng vai trò quan trọng trong hình học đại số và các
định lí này đã đ-ợc chứng minh bởi Hilbert trong các quá trình về lý thuyết
bất biến.
Trong đề tài luận văn này mục đích là đi mô tả tất cả các đa thức bất biến
đối với tác động của một nhóm ma trận hữu hạn lên vành đa thức, cách tìm
các bất biến đó và xây dựng mối liên hệ giữa phần tử sinh của các bất biến
và hình học của các quỹ đạo.
Ch-ơng 1
Trình bày hệ thống các kết quả căn bản về một số khái niệm, và một vài
quy -ớc về tr-ờng số k, đa thức và ma trận.
Tìm hiểu tính chất của cơ sở Gră
obner và giải thuật tìm cơ sở Gră
obner.
Ngoài ra, còn có một số định nghĩa, tính chất về nhóm, vành, ideal, tập
đại số affin, tham số hóa tập đại số affin, ánh xạ đa thức, định lí cơ sở
Hilbert, định lí không điểm của Hilbert...

Ch-ơng 2
Giới thiệu bất biến của nhóm hữu hạn.
Mô tả tất cả các đa thức bất biến đối với tác động của một nhóm ma trận
hữu hạn lên vành đa thức.
Cách tìm các bất biến.
Xây dựng mối liên giữa các phần tử sinh bất biến và hình học của các
quỹ đạo.


Ch-ơng 1
Một số khái niệm
tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số

Phần này ta sẽ giới thiệu một số khái niệm, tính chất của cơ sở Gră
obner,
tính chất nhóm, vành, tập đại số để giải quyết các chứng minh liên quan ở
phần hai nói về lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn, gồm các khái niệm cơ
bản và kết quả trong Đại số nh- ideal, quan hệ thứ tự, thuật toán chia đa thức
n biến, nhóm cylic, vành th-ơng, tập đại số,...

1.1 Một số kí hiệu
Kí hiệu k là một tr-ờng số (ví dụ nh-: k = R hoặc k = C), k[x1 , ..., xn ]
là vành đa thức.
Định nghĩa 1.1.1. Một đơn thức theo các biến x1 , x2 , ..., xn có dạng
x1 1 x2 2 . . . xn n ,
trong đó các lũy thừa 1 , 2 , ..., n là các số nguyên không âm. Số nguyên
1 + 2 + ã ã ã + n ,
gọi là bậc của đơn thức.
Để đơn giản, ta th-ờng viết

:= (1 , 2 , ..., n ),
|| := 1 + 2 + ã ã ã + n ,
x := x1 1 x2 2 . . . xn n .
4


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

5

Định nghĩa 1.1.2. Một đa thức f theo các biến x1 , x2 , ..., xn với các hệ số
trong k là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các đơn thức với các hệ số trong k;
tức là
f=
ax , a k.
Nn

Kí hiệu k[x1 , x2 , ..., xn ] là tập các đa thức theo các biến x1 , x2 , ..., xn với các
hệ số trong k.
a x là đa thức trong k[x1 , ..., xn ].

Định nghĩa 1.1.3. Cho f =
Nn

(i) a gọi là hệ số của đơn thức x .
(ii) Nếu a = 0 thì ax gọi là số hạng của f.

1.2 Quan hệ thứ tự trên các đơn thức trong k[x1 , ..., xn]
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một tập hợp. Một quan hệ trên X gọi là quan

hệ thứ tự nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các tính chất sau đây
(i) Phản xạ: x x, với mọi x X.
(ii) Phản đối xứng: x y và y x thì x = y.
(iii) Bắc cầu: Nếu x y và y z thì x z.
Một tập hợp X mà trên đó có trang bị một quan hệ thứ tự gọi là tập
sắp thứ tự. Hai phần tử x, y gọi là so sánh đ-ợc nếu luôn có x y hoặc
y x. Một quan hệ thứ tự trên tập X = mà mọi cặp phần tử của X đều so
sánh đ-ợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần. Một quan hệ thứ tự không toàn
phần gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
Trên tích Descartes Nn = N ì N ì ã ã ã ì N ta xây dựng các quan hệ thứ tự >.
Định nghĩa 1.2.2. (Thứ tự từ điển) Cho (1 , 2 , ..., n ) Nn và
(1, 2 , ..., n ) Nn . Ta nói: >lex nếu: trong hiệu vector
Zn , thành phần khác không ở gần bên trái nhất là d-ơng.
Ta viết x >lex x nếu >lex .
Ví dụ 1.2.1. xy 3 >lex xy 2 z 5 vì (1, 3, 0) >lex (1, 2, 5) (do = (0, 1, 5)).


Thái Văn D-ơng

6

Định nghĩa 1.2.3.

(Thứ tự từ điển phân bậc)
n
n

|| =

i hoặc || = || và >lex .

i > || =
i=1


Cho , Nn . Ta nói >grlex nếu

i=1

Ta viết x >grlex x nếu >grlex .
Ví dụ 1.2.2. xy 2 z 4 >grlex xyz 5 vì (1, 2, 4) >grlex (1, 1, 5) (do = =
7 và (1, 2, 4) >lex (1, 1, 5)).
Định nghĩa 1.2.4.

(Thứ tự từ điển ng-ợc)

Cho , Nn . Ta nói >grevlex nếu

n

n

|| =

i ; hoặc

i > || =
i=1
n

i=1

|| = || và trong Z , thành phần khác không gần bên phải nhất là âm.
Ta viết x >grevlex x nếu >grevlex .
Ví dụ 1.2.3. xy 5 z 2 >grevlex x4 yz 3 vì (1, 5, 2) >grevlex (4, 1, 3).

1.3 Hệ số dẫn đầu, đơn thức đầu, số hạng đầu
a x là đa thức khác 0 trên k[x1 , ..., xn ] và

Định nghĩa 1.3.1. Cho f =


đặt > là một thứ tự đơn thức.
n
, a = 0}.
(i) Bậc của đa thức f là: multideg(f ) = max{ Z0

(ii) Hệ số dẫn đầu f là: lc(f ) = amultideg(f) k.
(iii) Đơn thức đầu f là: lm(f ) = xmultideg(f) k[x1 , ..., xn ].
(iv) Số hạng đầu f là: lt(f ) = lc(f ).lm(f ).
Ví dụ 1.3.1. f (x, y, z) = 5x3 + 7x2 z 2 + 4z 2 theo quan hệ thứ tự >lex .
multideg(f )
lc(f )
lm(f )
lt(f )

=
=
=

=

(3, 0, 0),
5,
x3 ,
5x3 .

Ví dụ 1.3.2. Cho g(x, y, z) = x2 y + 2x2 z 3 + z 2 và f nh- trên, với x > y > z.
Theo >lex thì multideg(f ) = (3, 0, 0) > (2, 1, 0) = multideg(g) nên
lm(f ) = x3 > x2 y = lm(g).


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

7

1.4 Giải thuật chia đa thức n biến
Định lí 1.4.1. (Chia đa thức) Cố định theo một quan hệ thứ tự > trên Nn , và đặt
F = {f1, ..., fs } là một bộ theo thứ tự các đa thức trong k[x1 , ..., xn ]. Khi đó
mọi đa thức f k[x1 , ..., xn ] có thể viết d-ới dạng:
f = a1f1 + a2 f2 + ã ã ã + as fs + r,
với ai , r k[x1 , ..., xn ], i = 1, ..., s và hoặc r = 0 hoặc r là một tổ hợp tuyến
tính với hệ số trong k của các đơn thức mà không có cái nào chia hết cho bất
cứ lt(f1 ), ..., lt(fs ). Chúng ta gọi r là phần d- của phép chia f cho F.
Định lí đ-ợc chứng minh bằng thuật toán sau đây, cho phép ta xây
dựng các đa thức a1, ..., as và r thỏa mãn định lí chia đa thức.
Để chứng tỏ đầu ra của thuật toán chính là các đa thức thỏa mãn định lí chia
đa thức, tr-ớc hết ta chứng tỏ rằng tại mỗi b-ớc của thuật toán luôn có:

Chứng minh.

f = a1 f1 + ã ã ã + as fs + p + r. (1)
Giải thuật chia đa thức
Input: Cho đa thức f, f1, f2 , ..., fs k[x1 , ..., xn ].
Output: Tìm a1 , a2, ..., as , r k[x1 , ..., xn ]
Giải thuật nh- sau:

Gán ai := 0, i = 1, 2, ..., s; r := 0; p := f ;
while p = 0 do
i := 1;
chiahet := f alse;
while i s and chiahet = f alse do
lm(p)
= 0 then
if
lm(fi )
lt(p)
ai := ai +
;
lt(fi )
lt(p)
p := p
fi ;
lt(fi )
chiahet := true;
else
i := i + 1;
if chiahet = f alse then

Thái Văn D-ơng

8

r := r + lt(p);
p := p lt(p);
return([a1 , a2 , ..., as ], r);
Theo cách đặt ban đầu a1 = ã ã ã = as = r = 0 và p = f nên đ-ơng
nhiên lúc đầu là đúng. Giả sử (1) đúng ở một b-ớc nào đó. Nếu ở b-ớc tiếp
theo vẫn còn thực hiện tiếp phép chia (mà r không thay đổi), thì tồn tại i để
lt(fi )|lt(p). Khi đó ai nhận giá trị mới
ai = ai + lt(p)/lt(fi ),
và p nhận giá trị mới
p = p (lt(p)/lt(fi ))fi.
Do đó
ai fi + p = (ai + lt(p)/lt(fi ))fi + p (lt(p)/lt(fi ))fi = ai fi + p.
Vì r không thay đổi nên (1) vẫn đúng ở b-ớc này.
Nếu b-ớc tiếp theo không thực hiện phép chia, mà chỉ đổi phần d- r, thì
các giá trị mới của p và r t-ơng ứng là
p = p lt(p) và r = r + lt(p).
Vì
p + r = (p lt(p)) + (r lt(p)) = p + r,
và a1, ..., as không thay đổi nên (1) vẫn đúng ở b-ớc này.
Nh- vậy theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng ở mọi b-ớc. Nếu thuật toán
dừng, tức là khi p = 0 thì (1) trở thành
f = a1 f1 + ã ã ã + as fs + r.
Chú ý rằng r bắt đầu từ 0 và r chỉ tăng thêm số hạng mới khi chiahet = f alse,
tức là không có lt(fi ) nào chia hết cho lt(p). Khi đó số hạng thêm vào r
chính là lt(p), nên r sẽ thỏa mãn định lí chia đa thức.

Ta sẽ khẳng định thuật toán sẽ dừng lại sau hữu hạn b-ớc. Nếu kí hiệu
p0 = f, pi , i 1 là đa thức p khi thay đổi lần thứ i, nên ta sẽ có
lt(p0 ) > lt(p1 ) > lt(p2 ) > ã ã ã
Vì các đa thức ta đã cố định theo một quan hệ thứ tự > nên dãy này sẽ dừng
sau hữu hạn b-ớc, tức là tồn tại i để pi = 0 hay thuật toán dừng.


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

9

Ví dụ 1.4.1. Chia f = x2 y + xy 2 + y 2 cho f1 = xy 1 và f2 = y 2 1 theo
quan hệ thứ tự >lex và x > y ta đ-ợc:
x2 y + xy 2 + y 2 = (x + y)(xy 1) + 1.(y 2 1) + x + y + 1.
Vậy ta đ-ợc a1 = x + y; a2 = 1; r = x + y + 1.

1.5 Ideal
Định nghĩa 1.5.1. Một tập con I k[x1 , ..., xn ] gọi là một ideal nếu thỏa:
0 I.
f, g I thì f + g I.
p k[x1 , ..., xn ], f I thì pf I.
Mệnh đề 1.5.1. Nếu f1 , ..., fs k[x1 , ..., xn ] thì
s

f1 , ..., fs =

gi fi | g1 , ..., gs k[x1 , ..., xn ] ,
i=1

là một ideal của k[x1 , ..., xn ]. Chúng ta gọi f1, ..., fs là ideal sinh bởi
f1 , ..., fs .
s
Chứng minh.

Ta thấy 0 f1 , ..., fn = I. Do đó 0 =
s

Giả sử f =

s

pi .fi I và g =
i=1

0.fi I.
i=1

qi .fi I và cho h k[x1 , ..., xn ]. Khi đó
i=1

ta sẽ có ph-ơng trình
s

f +g =

(pi + qi )fi I.
i=1
s

hf =

(h.pi ).fi I.
i=1

Vậy I = f1 , f2, ..., fs là một ideal.
Ví dụ 1.5.1.
(1) x, y = {f x + gy | f, g k[x, y]} là một ideal trong vành k[x, y].


Thái Văn D-ơng

10

(2) x1 , x2 , ..., xn = {f1x1 +f2 x2 +ã ã ã+fnxn | f1, f2 , . . . , fn k[x1 , x2 , ã ã ã , xn ]}
là một ideal trong vành đa thức k[x1 , x2 , ã ã ã , xn ].
Định nghĩa 1.5.2. Một ideal I k[x1 , ..., xn ] gọi là ideal đơn thức nếu tồn
tại A Zn0 sao cho I gồm tất cả các đa thức có dạng
h x với h k[x1 , ..., xn ].
A

Ta kí hiệu
I = x | A .
Mệnh đề 1.5.2. Cho I = x | A là một ideal đơn thức. Khi đó một
đơn thức x thuộc vào I nếu và chỉ nếu x là chia hết cho x , với A.
Nếu x là bội của x với A thì x I theo định nghĩa ideal.
Ng-ợc lại, nếu x I thì

Chứng minh.

s


hi x(i) ,

x =
i=1

với hi k[x1 , ..., xn ] và (i) A. Chúng ta thấy rằng, mỗi số hạng trong vế
phải của ph-ơng trình là chia hết cho x(i) . Vì thế, vế trái x cũng phải chia
hết cho x(i) .
Định nghĩa 1.5.3. Cho I k[x1 , ..., xn ] là một ideal khác {0}.
(i) Ta kí hiệu lt(I) là tập hợp các số hạng đầu của các phần tử của I.
lt(I) = {cx | f I với lt(f ) = cx }.
(ii) Ta kí hiệu lt(I) là là ideal sinh bởi các phần tử của lt(I).
Ví dụ 1.5.2. Lấy I = f1 , f2 với f1 = x3 2xy và f2 = x2 y 2y 2 + x và sử
dụng quan hệ thứ tự >grlex đơn thức trong k[x, y] thì
x.(x2 y 2y 2 + x) y.(x3 2xy) = x2 .
Vì x2 I nên x2 = lt(x2 ) lt(I) . Tuy nhiên x2 không chia hết cho
lt(f1 ) = x3 và lt(f2 ) = x2 y. Vì vậy x2 lt(f1 ), lt(f2 ) theo mệnh đề 1.5.2.


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

11

Định nghĩa 1.5.4. Một ideal I k[x1 , ..., xn ] gọi là ideal nguyên tố nếu và
chỉ nếu f, g k[x1 , ..., xn ] và f g I thì
f I hoặc g I.

Định nghĩa 1.5.5. Cho I = f1 , ..., fs k[x1 , ..., xn ], ideal khử thứ m của I
là ideal Im k[xm+1 , ..., xn ] đ-ợc xác định bởi
Im = I k[xm+1 , ..., xn ].

1.6 Định lí cơ sở Hilbert
Mệnh đề 1.6.1. Giả sử I k[x1 , ..., xn ] là một ideal.
(i) lt(I) là một ideal đơn thức.
(ii) Tồn tại g1 , ..., gs I sao cho lt(I) = lt(g1 ), ..., lt(gs ) .
(i) Đơn thức đầu lm(g) của phần tử g I {0} sinh ra ideal đơn
thức lm(g) : g I {0} . Mà lt(I) = lt(g) : g I {0} vì lt(g) và
lm(g) chỉ khác nhau hằng số khác không. Do đó, lt(I) là một ideal đơn
thức.
(ii) Từ lt(I) đ-ợc sinh ra bởi các đơn thức lm(g) với g I {0} nên
lt(I) = lm(g1 ), ..., lm(gs ) và do đó lt(I) = lt(g1 ), ..., lt(gs ) .
Chứng minh.

Định lí 1.6.1. (cơ sở HILBERT) Mỗi ideal I k[x1 , ..., xn ] là hữu hạn sinh. Tức
là tồn tại g1, ..., gs I sao cho I = g1 , ..., gs .
Nếu I = {0} thì ta có tập sinh là {0} chắc chắn sẽ hữu hạn.
Còn nếu I bao gồm đa thức khác không, thì ta có thể xây dựng một tập
sinh g1 , ..., gs cho I nh- sau. Theo mệnh đề 1.6.1, g1 , ..., gs I sao cho
lt(I) = lt(g1 ), ..., lt(gs ) . Chúng ta cần chứng minh I = g1 , ..., gs . Ta
thấy g1 , ..., gs I, vì gi I.
Ng-ợc lại, giả sử f I là đa thức bất kì. Theo thuật toán chia đa thức, chia
f cho g1 , ..., gs ta đ-ợc
Chứng minh.

f = a1 g1 + ã ã ã + as gs + r,
với r là phần d- của phép chia f cho g1 , ..., gs . Ta sẽ chỉ ra r = 0. Chú ý
rằng

r = f a1 g1 ã ã ã as gs I.


Thái Văn D-ơng

12

Nếu r = 0 thì lt(r) lt(I) = lt(g1 ), ..., lt(gs ) , điều này chỉ ra rằng lt(r)
phải chia hết cho phần tử lt(gi ). Điều này có nghĩa là r phải là không. Vì thế
f = a1 g1 + ã ã ã + as gs + 0 g1 , ..., gs .
Do đó I g1 , ..., gs . Vậy I = g1 , ..., gs .

1.7 Cơ sở Gră
obner và giải thuật tìm cơ sở Gră
obner
Định nghĩa 1.7.1. Kí hiệu f
G = {g1 , ..., gn }.

G

G

hay f f là phần d- của phép chia f cho

Ví dụ 1.7.1. Cho f = x2 y + 1 k[x1 , ..., xn ] và G = {g1 = xy x, g2 =
x2 y} là một bộ thứ tự các đa thức trong k[x1 , ..., xn ] lấy theo quan hệ thứ
tự >lex và x > y thì
G
f x + 1.
Vậy x + 1 là phần d- của phép chia f cho G.

Định nghĩa 1.7.2. Cố định một thứ tự đơn thức. Một tập con G = {g1 , g2 , ..., gt }
của ideal I gồm các đa thức khác 0, đ-ợc gọi là cơ sở Gră
obner nếu và chỉ
nếu:
lt(g1 ), ..., lt(gt ) = lt(I) .
obner của ideal
Định lí 1.7.1. Giả sử G = {g1 , ..., gt } là một cơ sở Gră
I k[x1 , ..., xn ] và f k[x1 , ..., xn ]. Thì tồn tại duy nhất r k[x1 , ..., xn ] với
hai tính chất sau:
(i) Không có hạng tử nào của r là chia hết cho một trong các lt(g1 ), ..., lt(gt ).
(ii) Tồn tại g I sao cho f = g + r.
Chứng minh.

Theo thuật toán chia đa thức ta có
f = a1g1 + ã ã ã + at gt + r,

trong đó r thỏa (i) và cũng thỏa (ii) bởi g = a1g1 + ã ã ã + at gt I.
Bây giờ ta sẽ chứng minh r là duy nhất. Giả sử f = g1 + r1 = g2 + r2 thỏa (i)
và (ii). Ta có r2 r1 = g1 g2 I. Nếu r2 = r1 thì lt(r2 r1 ) lt(I) =
lt(g1 ), ..., lt(gt ) . Nên lt(r2 r1 ) là chia hết cho lt(gt ). Khi đó: vì không có
hạng tử nào của r1 , r2 là chia hết cho bất cứ lt(g1 ), ..., lt(gt ) nên r2 r1 = 0.
Từ đó suy ra r là duy nhất.


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

13

Định lí 1.7.2. Đặt I là ideal khác không của k[x1 , ..., xn ] và G = {g1 , g2 , ..., gt }

I là tập các đa thức khác 0. Khi đó các điều sau là t-ơng đ-ơng:
(i) G là cơ sở Gră
obner của I.
G

(ii) f I f 0.
t

hi gi .

(iii) f I f =
i=1

(i) (ii) Với f k[x1 , ..., xn ] thì tồn tại r k[x1 , ..., xn ] là phần
G
d- của phép chia f cho G, tức là f r. Do đó f r I, vậy f I r I
G
Dễ thấy khi r = 0 tức là f 0 thì f I. Ng-ợc lại, nếu f I và r = 0,
khi đó r I và theo (i) tồn tại i {1, 2, ..., t} sao cho lm(gi )|lm(r). Mâu
G
thuẫn vì r là phần d- của phép chia f cho G. Do đó r = 0 và f 0.
G
(ii) (iii) Ta có f 0 kết hợp với thuật toán chia đa thức ta đ-ợc (iii).
(iii) (i)
Chứng minh.

cx lt(I)

f I : lt(f ) = cx
(iii)

t

f=

hi gi
i=1

lm(f ) = max (lm(hi ).lm(gi )) = lm(hi0 ).lm(gi0 )
1it

lt(f ) = lc(f ).lm(hi0 ).lm(gi0 )
cx là bội của lt(gi0 )
cx lt(g1 ), ..., lt(gt ) .

Hệ quả 1.7.1. Nếu G = {g1 , .., gt } là cơ sở Gră
obner của ideal I thì
I = g1 , ..., gt .
Dễ thấy g1 , ..., gt I, gi I, i = 1, ..., t.
G
Ng-ợc lại, f I thì theo định lí 1.7.2 thì f 0. Do đó f g1 , ..., gt .
Vậy I = g1 , ..., gt .
Chứng minh.


Thái Văn D-ơng

14

Định nghĩa 1.7.3. Cho f, g k[x1 , ..., xn ] là các đa thức khác không.

(i) Nếu multideg(f ) = (1 , ..., n ) và multideg(g) = (1, ..., n ) thì
= (1, ..., n ) với i = max(i , i ), i = 1, ..., n. Chúng ta gọi x là bội
chung nhỏ nhất của lm(f ) và lm(g) và viết x = lcm(lm(f ), lm(g)).
(ii) S- đa thức của f và g là
x
x
.f
.g.
S(f, g) =
lt(f )
lt(g)
Ví dụ 1.7.2. Cho f = x3 y 2 x2 y 3 + x, g = 3x4 y + y 2 R[x, y] với theo
quan hệ thứ tự >grlex và x > y. Thì = (4, 2) và
x4 y 2
x4 y 2
.g
.f

x3 y 2
3x4 y
1
= x.f .y.g
3
1
= x3 y 3 + x2 .y 3 .
3

S(f, g) =

Định lí 1.7.3. (BUCHBERGER) Cho I là một ideal đa thức. Khi đó một cơ sở

obner nếu và chỉ nếu
G = {g1 , g2 , ..., gs } cho I là một cơ sở Gră
G

i, j (i = j), S(gi , gj ) 0.
[ ] do gi , gj I nên S(gi , gj ) I.
Vì G là cơ sở Gră
obner nên theo định lí 1.7.2, đa thức d- của S(gi , gj ) trong
phép chia cho G xác định duy nhất và bằng 0.
[ ] Giả sử với mọi cặp i = j s một đa thức của S(gi , gj ) trong phép
chia cho g bằng 0 (đa thức d- này đ-ợc chọn là duy nhất). Ta chỉ cần chứng
minh rằng trong tr-ờng hợp này G là cơ sở Gră
obner.
Cho f I = (g1 , g2 , ..., gs ) khi đó tồn tại h1, h2 , ..., hs k[x1 , ..., xn ] sao cho
f = h1 g1 + ã ã ã + hs gs .
(1)
Chứng minh.

Trong tất cả những biểu diễn nh- trên của f, ta chọn biểu diễn sao cho:
max{lm(h1 g1 ), ..., lm(hs gs )} lớn nhất. Ta sẽ xác định một đơn thức m = xd .
Để không làm rắc rối thêm kí hiệu ta giả sử biễu diễn (1) thỏa mãn:
max{lm(h1 g1 ), lm(h2 g2 ), ..., lm(hs gs )} = m.


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

15

Giả sử lm(f ) < m khi đó các từ lớn nhất của hi gi triệt tiêu nhau. Đặt

mi = lm(hi gi ), tách các từ cao nhất ra để vận dụng bổ đề trên nh- sau:
f =

hi gi +
mi =m

=

hi gi
mi
lt(hi )gi +
mi =m

(hi lt(hi ))gi +
mi =m

hi gi .

(2)

mi
Vì mỗi hạng tử trong tổng riêng thứ hai và thứ ba ở (2) có các từ khởi đầu
nhỏ hơn m và lt(f ) < m nên phải có:
lm

lt(hi )gi < m.
mi =m

Theo bổ trên tồn tại Tjk k sao cho:
hi gi =
mi =m

Tjk S(gj , gk ),

(3)

jk

trong đó Tjk là các từ sao cho:
lm(Tjk S(gj , gk )) < m.

(4)

Theo giả thuyết đa thức d- của S(gj , gk ) trong phép chia cho G là 0, nên ta
có thể viết
s
S(gi , gk ) =

pijk gi ,

(5)

i=1

trong đó pijk k[x1 , ..., xn ] sao cho:
lm(pijk gi ) lm(gj , gk ).

(6)

Thay (5) vào (3) ta đ-ợc:
s

s

lt(hi )gi =
mi =m

Tjk
j,k

Tjk Pijk gi .

pijk gi =
j=1

i=1

j,k

Do đó từ (2) suy ra:
s

f=

s

hi gi +
i=1

hi lt(hi ) gi +
mi =m

hi gi =:
mi
hi gi .
i=1

(7)


Thái Văn D-ơng

16

Trong đó hi = j,k Tjk Pijk .
Chú ý (4) và (6) dẫn đến
lm(hi gi ) max{Tjk lm(S(gj , gk ))} = max{lm(Tjk S(gj , gk ))} < m.
j,k

j,k

Kết hợp với (7) cho ta biểu diễn mới của f mà max{lm(h1 g1 , ..., lm(hs gs )} < m.
Điều này mâu thuẫn với cách chọn m. Vậy phải có lm(f ) = m. Do đó tồn
tại i để lm(f ) = lm(hi gi ) = lm(hi )lm(gi ) hay lt(f ) (lt(g1 ), ..., lt(gs )).
Theo định nghĩa G là cơ sở Gră
obner của I.
Giải thuật Buchberger về tính cơ sở Gră

obner.
Input: F = {f1 , f2 , ..., fs }, fi = 0, i = 1, ..., s
Output: G là cơ sở Gră
obner.
Gán G := F ;
G := {{fi , fj } | fi = fj G}
while G = do
G := G \{fi , fj }
g := Chianbien(S(fi , fj ), G)
if g = 0 then
G := G {g}
G := G {{u, g}/u G}
return(G);
Ví dụ 1.7.3. Cho f1 = xy x, f2 = x2 y R[x, y] theo quan hệ thứ tự >lex
và x > y ta đ-ợc:
F
Ta có F = {f1 , f2 } tính S(f1 , f2 ) = xf1 yf2 = y 2 x2 y 2 y.
Ta thêm f3 = y 2 y vào F và đặt F = {f1 , f2 , f3 }.
F

Tính S(f1 , f2 ) = y 2 x2 0.
S(f1 , f3 ) = yf1 xf3 = 0.
F

S(f2 , f3 ) = y 2 f2 x2 f3 = y 3 x2 y 0.
obner.
Vậy {f1, f2 , f3 } là cơ sở Gră
Mệnh đề 1.7.1. Cho một hữu hạn G k[x1 , ..., xn ], giả sử f, g G sao cho
lcm lm(f ), lm(g) = lm(f ).lm(g).
G

Nghĩa là đơn thức đầu của f và g là nguyên tố cùng nhau, thì S(f, g) 0.


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

17

Ta giả sử f, g đã đ-ợc nhân với một hằng số thích hợp sao cho
lc(f ) = lc(g) = 1, ta viết f = lm(f ) + p, g = lm(g) + q.
Thì lcm(lm(f ), lm(g)) = lm(f ).lm(g). Ta có
Chứng minh.

S(f, g) =
=
=
=

lm(g).f lm(f ).g
(g p).f (f p).g
g.f q.f f.g + p.g
p.g q.f.

(1)

Mà ta có
multideg(S(f, g)) = max(multideg(p.g), multideg(q.f )).

(2)

G

Từ (1) và (2) suy ra S(f, g) 0, với f, g G. Mà tất cả đơn thức đầu của
p.g và q.f là nh- nhau, vì nếu mà khác nhau thì ở (1) sẽ không khử nhau
đ-ợc, vì thế
lm(p).lm(g) = lm(q).lm(f ).
Hơn nữa, nếu lm(f ), lm(g) là nguyên tố cùng nhau, thì lm(g) phải chia hết
cho lm(q), mà điều vô lí lm(g) > lm(q).
Định lí 1.7.4. (Định lí ideal khử) Cho ideal I k[x1 , ..., xn ] và G là một cơ
sở Gră
obner của I lấy theo quan hệ thứ tự >lex (x1 > ... > xn ). Khi đó:
m : 0 m n thì tập
Gm = G k[xm+1 , ..., xn ],
là một cơ sở Gră
obner của Im .
Chứng minh.

Cố định m, 0 m n. Ta có Gm Im điều này chỉ ra
lt(Im ) = lt(Gm ) ,

theo định nghĩa cơ sở Gră
obner. Bao hàm thức lt(Gm ) lt(Im ) là hiển
nhiên. Để chứng minh điều còn lại lt(Im ) lt(Gm ) , ta cần chỉ ra rằng số
hạng đầu lt(f ), f Im là chia hết cho lt(g), g Gm . Chú ý rằng f I thì
điều này dẫn tới lt(f ) sẽ chia hết cho lt(g), g G, vì G là cơ sở Gră
obner của
I. Vì f Im , nên lt(g) chỉ liên quan đến các biến xm+1 , ..., xn . Vì ta sử dụng
theo thứ tự từ >lex, nên mọi đa thức liên quan tới x1 , ..., xn là lớn hơn các đa
thức trong k[xm+1 , ..., xn ], lt(g) k[xm+1 , ..., xn ], suy ra g k[xm+1 , ..., xn ].

Điều này nói lên g Gm .


Thái Văn D-ơng

18

1.8 Một số định nghĩa về nhóm
Định nghĩa 1.8.1. Xét nhóm (X, .) và S là một tập con của X. Nhóm con S
của X đ-ợc xác định bởi
S :=

U | U là nhóm con của X với S U ,

gọi là nhóm con của X sinh bởi tập S.
Nếu X = S thì ta nói X đ-ợc sinh bởi S và S gọi là hệ sinh của X. Nhóm
X gọi là hữu hạn sinh nếu nó có hệ sinh hữu hạn S = {a1, a2 , ..., an } X.
Trong tr-ờng hợp này ta viết X = a1 , a2 , ..., an .
Nếu S = thì S là nhóm con tầm th-ờng {1}.
Nhận xét. Từ định nghĩa của S ta thấy ngay rằng
a) S S .
b) S U với mọi nhóm con U chứa S.
Nh- vậy S là nhóm con nhỏ nhất chứa S của X.
Định nghĩa 1.8.2. Nhóm (X, .) gọi là nhóm cylic nếu và chỉ nếu nó đ-ợc
sinh bởi một phần tử a X, tức tồn tại a X sao cho
X = a = {an | n Z}.
Phần tử a khi đó gọi là phần tử sinh của nhóm cylic X.
Nhận xét.
a) am an = am+n = am an , với m, n Z nên mỗi nhóm cylic là giao hoán.
b) Nếu nhóm cylic X đ-ợc viết theo lối cộng thì X có dạng:

X = a = {na | n Z}.
Ví dụ 1.8.1.
a) (Z, +) là nhóm cylic với hai phần tử sinh là 1 hoặc -1. Ngoài hai phần tử
này Z không còn phần tử sinh nào khác vì giả sử có a = 1 là phần tử sinh
thì do na = 1 với mọi n Z. Ta suy ra điều mâu thuẫn là 1 Z.
b) (Zm , +) là nhóm cylic với phần tử sinh 1. Nhóm này hữu hạn cấp m.


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

19

Định nghĩa 1.8.3. Một hoán vị của Jn = {1, 2, ..., n} là một song ánh :
Jn Jn . Tập tất cả các hoán vị của Jn đ-ợc kí hiệu là Sn .
Định nghĩa 1.8.4. Cho G là một nhóm và X là một tập hợp khác rỗng. Nhóm
G gọi là tác động lên tập hợp X nếu có một ánh xạ
G ì X X
(, x) .x,
thỏa các điều kiện sau đây
(i) (.).x = .(.x), với mọi , G, x X.
(ii) 1.x = x, với mọi x X và 1 là phần tử đơn vị của nhóm G.

1.9 Tập đại số
Định nghĩa 1.9.1. Cho k là một tr-ờng và n là số nguyên d-ơng. Tập hợp
k n = {(a1 , a2, ..., an ) | ai k, i = 1, 2, ...., n},
gọi là không gian affin n chiều trên tr-ờng k.
Khi n = 1, ta gọi k 1 là đ-ờng thẳng affin.
Khi n = 2, ta gọi k 2 là mặt phẳng affin.
Khi n > 2, mỗi đa thức f = c x k[x1 , ..., xn ] xác định một hàm số

f : k n k
(a1, ..., an )

c a1 ...an .



Mệnh đề 1.9.1. Giả sử k là một tr-ờng vô hạn phần tử và f k[x1 , ..., xn ].
Khi đó f = 0 trong k[x1 , ..., xn ] nếu và chỉ nếu f : k n k là hàm không.
Dễ thấy đa thức không sẽ dẫn đến hàm không.
Ng-ợc lại, chúng ta sẽ biểu diễn rằng nếu f (a1, ..., an ) = 0, (a1, ..., an ) k n
thì f là đa thức không. Ta sẽ sử dụng quy nạp trên n biến. Khi n = 1, đa
thức bậc m trong k[x] sẽ có m nghiệm khác nhau. Đặc biệt f k[x1 , ..., xn ]
ta giả định f (a) = 0, a k. Vì k là một tr-ờng vô hạn, nghĩa là f có vô
hạn nghiệm và vì thế f phải là đa thức không.
Chứng minh.


Thái Văn D-ơng

20

Giả sử đúng đến n 1 và f k[x1 , ..., xn ] là đa thức triệt tiêu tại tất cả các
điểm của k n . Ta có thể viết f là tổng lũy thừa xn
N

gi (x1 , ..., xn1 )xiN ,

f=
i=0

với gi k[x1 , ..., xn1 ]. Chúng ta sẽ biểu diễn mỗi gi là đa thức không trong
n 1 biến, từ đó nó dẫn đến f là đa thức không trong k[x1 , ..., xn ].
Nếu ta cố định (a1, ..., an1 ) k n1 , ta sẽ có đa thức f (a1 , ..., an1 , xn )
k[xn ]. Bằng những giả định trên f , nó sẽ triệt tiêu với mỗi an k. Trong
tr-ờng hợp n = 1 thì f (a1 , ..., an1 , xn ) là đa thức không trong k[xn ]. Sử dụng
công thức trên cho f , ta xem các hệ số của f (a1 , ..., an1 , xn ) là gi (a1, ..., an1 ),
và vì thế gi (a1, ..., an1 ) = 0, i. Vì (a1, ..., an1 ) là tùy ý chọn trong k n1
nên nó sẽ chỉ ra rằng mỗi gi k[x1 , ..., xn1 ] sẽ cho hàm không trong k n1 .
Theo giả thiết quy nạp thì suy ra mỗi gi là đa thức không trong k[x1 , ..., xn1 ].
Điều này nói lên f là đa thức không trong k[x1 , ..., xn ].
Định nghĩa 1.9.2. Tr-ờng k gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức khác hằng
trong k[x1 , ..., xn ] có một nghiệm thuộc k.
Ví dụ 1.9.1. Tr-ờng các số thực R không đóng đại số vì đa thức x2 + 1 không
có nghiệm trong R. Tr-ờng các số phức C là đóng đại số.
Định nghĩa 1.9.3. Giả sử k là một tr-ờng và f1, ..., fs k[x1 , ..., xn ]. Thì tập
V (f1, ..., fs ) = {(a1, ..., an ) k n | fi (a1, ..., an ) = 0, i = 1, 2, ..., n},
gọi là tập đại số affin xác định bởi f1 , ..., fs .
Ví dụ 1.9.2.
(i) Trong R2 tập đại số affin V (x2 + y 2 1) là đ-ờng tròn tâm tại gốc tọa độ,
bán kính đơn vị.
(ii) Đồ thị của đa thức f là một tập đại số affin.
(iii) Tập đại số affin V (y x2 , z x3 ) là đ-ờng cong bậc ba trong R3 .


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

21

(iv) Tập các nghiệm của hệ các ph-ơng trình tuyến tính
a11x1 + ã ã ã + a1n xn = b1 ,
a21x1 + ã ã ã + a2n xn = b2 ,
..
.
. = ..
am1 x1 + ã ã ã + amn xn = bm ,
là một tập đại số affin trong k n (gọi là tập đại số tuyến tính).
Định nghĩa 1.9.4. Giả sử V k n là một tập đại số affin. Thì ta đặt
I(V ) = {f k[x1 , ..., xn ] | f (a1, ..., an ) = 0, (a1 , ..., an ) V },
là một ideal của V.
Định nghĩa 1.9.5. Tập đại số affin V k n đ-ợc gọi là bất khả quy nếu
V = V1 V2 ,
trong đó V1 , V2 là hai tập đại số affin, thì hoặc V = V1 hoặc V = V2 .
Ví dụ 1.9.3. Tập đại số affin V (xz, yz) không bất khả quy do ta có thể viết
V (xz, yz) = V (x, y) V (z).
Mệnh đề 1.9.2. Giả sử V k n là một tập đại số affin. Thì V là bất khả quy
nếu và chỉ nếu I(V ) là một ideal nguyên tố.
[ ]. Ta có V là bất khả quy và f g I(V ). Đặt V1 = V V (f )
và V2 = V V (g) là một tập đại số affin bởi vì giao của tập đại số affin là tập
đại số affin. Khi đó f g I(V ) suy ra V = V1 V2 . Vì V là bất khả quy nên
ta có hoặc V = V1 hoặc V = V2 . Từ đó V = V1 = V V (f ). Điều này suy
ra rằng f là triệt tiêu trên V, cho nên f I(V ). Do đó I(V ) là ideal nguyên
tố.
[ ]. Ta có I(V ) là ideal nguyên tố và V = V1 V2 . Giả sử rằng V = V1 .
Chúng ta chỉ cần chứng minh I(V ) = I(V2). Để chứng minh này, chú ý
I(V1 ) vì V1
V . Vì thế
rằng I(V ) I(V2) vì V2 V . Ta thấy I(V )
f I(V1) I(V ). Lấy bất cứ g I(V2 ). Vì V = V1 V2 , điều này chỉ ra

rằng f g là triệt tiêu trên V, và vì thế f g I(V ). Nh-ng I(V ) là ideal nguyên
tố cho nên f hoặc g sẽ thuộc trong I(V ). Mà chúng ta biết rằng f I(V )
và do đó g I(V ). Điều này chứng minh I(V ) = I(V2 ) do V = V2 bởi vì I
là 1 1. Vì vậy, V là tập đại số bất khả quy.
Chứng minh.


Thái Văn D-ơng

22

Định lí 1.9.1. (Định lí mở rộng) Giả sử I = f1 , ...., fs C[x1 , ..., xn ] và I1 là
ideal khử đầu tiên của I. Với mỗi 1 i s, ta viết
i
fi = gi (x2 , ..., xn )xN
1 + các phần tử x1 có bậc < Ni ,

với Ni 0 và gi C[x2 , ..., xn ] là khác không. Giả sử rằng (a2, ..., an )
V (I1). Nếu (a2, ..., an ) V (g1 , ..., gs ) thì tồn tại a1 C sao cho (a1, a2 , ..., an )
V (I).
Chứng minh.

Xem tài liệu [1] trang 115.

Hệ quả 1.9.1. Giả sử V = V (f1, ..., fs ) Cn và
fi = cxN
1 + các phần tử x1 có bậc < N,
với c C là khác không và N > 0. Nếu I1 là ideal khử thứ nhất thì trong
Cn1 ta có
1 (V ) = V (I1),

với 1 là phép chiếu trên n 1 thành phần cuối.
Chứng minh.

Xem tài liệu [1] trang 124.

1.10 Tham số hóa các tập đại số
Ví dụ 1.10.1. Trong R3 xét hệ các ph-ơng trình
x + y + z = 1,
2y z = 1.
Tập các nghiệm của hệ trên là một đ-ờng thẳng đ-ợc cho bởi
x = 3t + 2,
y = t,
z = 2t 1,
với tham số t R; ta gọi biểu diễn này là phép tham số hóa của tập nghiệm
ban đầu.


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

23

Định nghĩa 1.10.1. Giả sử k là một tr-ờng. Th-ơng f /g của hai đa thức
f, g k[t1 , t2 , ..., tm ] (g không đồng nhất bằng 0) gọi là hàm hữu tỉ theo các
biến t1 , t2 , ..., tm với hệ số trong k. Hai hàm hữu tỉ f /g và p/q gọi là bằng
nhau nếu qf = pg trong k[t1 , t2 , ..., tm ]. Tập các hàm hữu tỉ theo các biến
t1 , t2 , ..., tm với hệ số trong k kí hiệu là k[t1 , t2 , ..., tm ].
Nhận xét. Cho tập đại số affin V := V (f1 , f2 , ..., fs ) k n , ta nói hệ các
ph-ơng trình
f1 = f2 = ã ã ã = fs = 0,

là biểu diễn ẩn của V.
Giả sử r1 , r2 , ..., rn k[t1 , t2 , ..., tm ] sao cho các điểm (x1 , x2 , ..., xn ) xác
định bởi
x1 = r1 (t1 , t2 , ..., tm ),
x2 = r2 (t1 , t2 , ..., tm ),
..
.
. = ..
xn = rn (t1, t2 , ..., tm ),
thuộc V. Ta nói r1 , r2 , ..., rn là một biểu diễn tham số hữu tỉ của tập đại số V.
Nếu các r1 , r2 , ..., rn là các hàm đa thức, ta đ-ợc một tham số hóa đa thức
của V.
Ví dụ 1.10.2. Tập đại số affin V (x2 y 2z 2 + z 3 ) có tham số hóa đa thức
x = t(u2 t2 ),
y = u,
z = u2 t 2 ,
trong đó các tham số u, t k.
Định nghĩa 1.10.2. Cho k là một tr-ờng vô hạn, F : k m k n là hàm
xác định bởi tham số hóa đa thức. Ideal I = x1 f1 , ..., xn fn
k[t1 , ..., tm , x1 , ..., xn ] và Im = I k[x1 , ..., xn ] là ideal khử thứ m. Khi đó
V (Im ) đ-ợc gọi là tập đại số bé nhất trong k n chứa F (k m ).


Thái Văn D-ơng

24

1.11 Anh xạ đa thức
Định nghĩa 1.11.1. Cho V k n và W k m là các tập đại số. Ta nói
: V W là ánh xạ đa thức (hay ánh xạ chính quy) nếu tồn tại các đa

thức f1, ..., fn k[x1 , ..., xn ] sao cho
(a1 , ..., am ) = (f1(a1 , ..., am ), ..., fn (a1, ..., an )),
(a1, ..., am ) V . (f1 , ..., fn ) gọi là biểu diễn của ánh xạ .
Ví dụ 1.11.1. Xét các tập đại số
V = V (y x2 , z x3 ) k 3 ,
W = V (y 3 z 2) k 2 .
Xét phép chiếu
1 : k 3 k 2 , (x, y, z) (y, z).
Ta có
1 (V ) = {(x2 , x3 ) | x k} W.
Suy ra 1 : V W là ánh xạ đa thức.

1.12 Vành tọa độ của tập đại số affin
Kí hiệu: K[V ] là tập hợp các hàm đa thức : V k.
Định nghĩa 1.12.1. Vành tọa độ của tập đại số affin V k n là vành K[V ].
Định nghĩa 1.12.2. Giả sử V k m và W k n là tập đại số. Ta nói V và W
là đẳng cấu nếu tồn tại ánh xạ đa thức : V W và : W V sao
cho = idW và = idV . (Với bất kì tập đại số V, ta viết idV là ánh
xạ đồng nhất từ V vào chính nó).
Mệnh đề 1.12.1. Giả sử V và W là tập đại số.
(i) Giả sử : V W là ánh xạ đa thức. : W k là hàm đa thức.
Suy ra : V k cũng là hàm đa thức.
Hơn nữa, ánh xạ : k[W ] k[V ] đ-ợc định nghĩa () = là đồng
cấu vành và đồng nhất trên hàm hằng k k[W ].
(ii) Giả sử f : k[W ] k[V ] là đồng cấu vành mà đồng nhất trên hàm hằng
thì tồn tại duy nhất ánh xạ đa thức : V W để f = .


Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră
obner và tập đại số affin

25

1.13 Định lí không điểm (NullstellenSatz)
Để nghiên cứu tập đại số V k n ta sẽ nghiên cứu tập ideal
I(V ) = {f k[x1 , ..., xn ] | f (x) = 0, x V },
là tất cả các đa thức triệt tiêu trên V. Chúng ta có ánh xạ
Các tập đại số affin các ideal,
V I(V ).
Ng-ợc lại, cho một ideal I k[x1 , ..., xn ], ta định nghĩa
V (I) = {(a1, ..., an ) k n | f (a1 , ..., an ) = 0, f I}.
Theo định lí về cơ sở Hilbert thì V(I) là một tập đại số affin. Do đó ta có
t-ơng ứng
Các ideal các tập đại số affin,
I V (I).
Nh- vậy, ta có t-ơng ứng giữa các tập đại số affin và các ideal.
Nhận xét. T-ơng ứng đ-ợc thiết lập trên không là 1-1. Thật vậy, ta có x
và x2 là hai ideal khác nhau trong k[x] nh-ng xác định cùng một tập đại
số affin V (x) = V (x2 ) = {0}. Một vấn đề khác nảy sinh khi k không đóng
đại số. Chẳng hạn, xét các đa thức 1, 1 + x2 , 1 + x2 + x4 trong R[x]. Các đa
thức này nảy sinh ra ba ideal khác nhau.
I1 = 1 = R[x], I2 = 1 + x2 , I3 = 1 + x2 + x4 ,
nh-ng mỗi đa thức đều không có nghiệm thực. Vì thế
V (I1) = V (I2) = V (I3) = .
Định lí 1.13.1. (Định lí không điểm yếu - NullstenSatz) Giả sử k là tr-ờng đóng đại số
và I k[x1 , ..., xn ] là ideal thỏa mãn V (I) = . Khi đó
I = k[x1 , ..., xn ].