Bài giảng toán rời rạc phần biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu

Đồ thò

7.3. Biểu diễn đồ thò và sự đẳng cấu
Tài liệu này được soạn theo sách Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học , K. H.
Rosen, người dòch: Phạm Văn Thiều và Đặng Hữu Thònh, Nhà xuất bản Khoa học
và kỹ thuật, 1998.
Tài liệu lưu hành nội bộ

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

1


Biểu diễn đồ thò
– Ví dụ 1. Dùng danh sách liền kề để mô tả đồ thò đơn: liệt kê tất
cả các đỉnh liền kề với mỗi đỉnh của đồ thò.

b
a

c

e

10/01/15

d

Đỉnh

a
b
c
d
e

7.3. Biểu diễn đồ

Đỉnh liền kề
b, c, e
a
a, d, e
c, e
a, c, d

2


Biểu diễn đồ thò
– Ví dụ 2. Biểu diễn đồ thò có hướng: liệt kê tất cả các đỉnh cuối
của các cung xuất phát từ mỗi đỉnh của đồ thò.

b
c

a

e

10/01/15

d

Đỉnh đầu
a
b
c
d
e

7.3. Biểu diễn đồ

Đỉnh cuối
b, c, d, e
b, d
a, c, e
b, c, d

3


Ma trận liền kề
•

•

Biểu diễn đồ thò bằng ma trận: Ma trận liền kề. Cho G = (V, E) là
đồ thò đơn có n đỉnh, các đỉnh của G là v1, v2,…, vn .
Ma trận liền kề A hay AG của G là ma trận không-một (0-1) cấp n ×
n có phần tử hàng i cột j là aij bằng

°

1 nếu vi và vj liền kề nhau,

0 nếu chúng không được nối với nhau.
Nhận xét:
– Ma trận liền kề của một đồ thò tuỳ thuộc vào thứ tự liệt kê các
đỉnh.
– Ma trận liền kề của một đồ thò đơn là đối xứng. Đồ thò đơn
không có khuyên nên aii = 0 với i = 1, 2,…, n.
°

•

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

4


Ma trận liền kề
•

Biểu diễn đồ thò bằng ma trận: Ma trận liền kề.
– Ví dụ 3. Các đỉnh được sắp xếp theo thứ tự: a, b, c, d.
a
0
1
1

1

1
0
1
0

1
1
0
0

1
0
0
0
c

10/01/15

b

7.3. Biểu diễn đồ

d

5


Ma trận liền kề

– Ví dụ 4. Cho ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh là a, b, c, d. Vẽ
đồ thò tương ứng.
a
0
1
1
0

1
0
0
1

1
0
0
1

0
1
1
0
d

10/01/15

b

7.3. Biểu diễn đồ

c

6


Ma trận liền kề
•

•

Ma trận liền kề có thể dùng để biểu diễn đồ thò vô hướng có
khuyên và (hay) có cạnh bội.
– Khuyên tại đỉnh ai được biểu diễn bằng 1 tại vò trí (i, i) của ma
trận liền kề.
– Khi có cạnh bội, phần tử ở vò trí (i, j) của ma trận bằng số các
cạnh nối các đỉnh ai và aj .
Nhận xét: Tất cả các đồ thò vô hướng (đơn đồ thò, đa đồ thò, giả đồ
thò) đều có ma trận liền kề đối xứng.

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

7


Ma trận liền kề
– Ví dụ 5. Dùng ma trận liền kề để biểu diễn giả đồ thò .
° Thứ tự các đỉnh là a, b, c, d.
a

0
3
0
2

3
0
1
1

0 2
1 1
1 2
2 0
d

10/01/15

b

7.3. Biểu diễn đồ

c

8


Ma trận liền kề
•

•

Cho G = (V, E) là đồ thò có hướng có n đỉnh, các đỉnh của G là v1, v2,
…, vn .
Ma trận liền kề A hay AG của G là ma trận không-một (0-1) cấp n ×
n có phần tử hàng i cột j là aij bằng
°

1 nếu có cạnh đi từ vi tới vj ,

0 trong các trường hợp khác.
Nhận xét:
– Ma trận liền kề của một đồ thò tuỳ thuộc vào thứ tự liệt kê các
đỉnh.
– Ma trận liền kề của đồ thò có hướng không có tính đối xứng.
– Cũng có thể dùng ma trận liền kề để biểu diễn đa đồ thò có
hướng. Khi đó aij bằng số các cung đi từ đỉnh vi tới đỉnh vj .
°

•

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

9


Ma trận liên thuộc
•

Biểu diễn đồ thò bằng ma trận liên thuộc. Cho G = (V, E) là đồ thò
vô hướng có n đỉnh và m cạnh:
° các đỉnh của G là v , v ,…, v ,
1
2
n
°

•

Ma trận liên thuộc M hay MG của G là ma trận M = [mij ] trong đó mij
bằng
° 1 nếu cạnh e nối với đỉnh v ,
j
i
°

•

các cạnh của G là e1, e2,…, em .

0 nếu cạnh ej không nối với đỉnh vi .

Nhận xét:
– Ma trận liền thuộc của một đồ thò tuỳ thuộc vào thứ tự liệt kê
các đỉnh và các cạnh.

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

10


Ma trận liên thuộc
•

Ma trận liên thuộc
– Ví dụ 6. Xác đònh ma trận liên thuộc.

v1
v2
v3
v4
v5

e1
1
0
0
1
0

e2
1
0
0
0
1

10/01/15

e3
0
1
0
1
0

e4
0
1
0
0
1

e5
0
0
1
0
1

e6
0
1
1
0
0

v2

v1

e6

v3

e3
e4

e1

e5

e2
v4

7.3. Biểu diễn đồ

v5

11


Ma trận liên thuộc
– Ví dụ 7. Biểu diễn cạnh bội và khuyên bằng ma trận liên thuộc.
e2

v1

e1

v2

e4

v3

e3
e7
v4

v1
v2
v3
v4
v5

e1
1
0
0
0
0

e2
1
1

0
0
0

e3
1
1
0
0
0

10/01/15

e4
0
1
1
0
0

e5
0
0
1
0
1

e6
0
1

0
0
1

e7
0
1
0
1
0

e8
0
0
0
1
0

e8

7.3. Biểu diễn đồ

e6

e5
v5

12

Sự đẳng cấu của các đồ thò
– Đònh nghóa 1. Các đồ thò đơn G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là
đẳng cấu nếu có hàm song ánh f từ V1 lên V2 sao cho các đỉnh a
và b là liền kề trong G1 nếu và chỉ nếu f(a) và f(b) là liền kề
trong G2 với mọi a và b trong V1. Hàm f như thế được gọi là một
đẳng cấu.

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

13


Sự đẳng cấu của các đồ thò
– Ví dụ 8. Các đồ thò G = (V, E) và H = (W, F) là đẳng cấu
u1

u3

u2

G

u4

v1

v2

v3

v4

H

Đinh nghóa hàm f như sau f(u1) = v1, f(u2) = v4 , f(u3) = v3, f(u4) = v2 .
Hàm f là 1-1 giữa V và W. Hàm f bảo toàn quan hệ liền kề vì:
° trong G các đỉnh liền kề là u và u , u và u , u và u , u và u
1
2
1
3
2
4
3
4
° mỗi cặp f(u ) = v và f(u ) = v , f(u ) = v và f(u ) = v , f(u ) = v và
1
1
2
4
1
1
3
3
2
4
f(u4) = v2 , f(u3) = v3 và f(u4) = v2 là liền kề trong H.

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

14


Sự đẳng cấu của các đồ thò
– Ví dụ 9. Các đồ thò G và H là không đẳng cấu.
b

b
c

a

e

G

d

c

a

e

H

d

Cả G và H đều có 5 đỉnh và 6 cạnh. Tuy nhiên H có đỉnh e bậc 1
còn G thì không có đỉnh nào bậc 1 cả. Vậy G và H là không đẳng
cấu.

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

15


Sự đẳng cấu của các đồ thò
•

Nhận xét:
– Số đỉnh, số cạnh, bậc của đỉnh là các bất biến đối với phép
đẳng cấu: nếu hai đồ thò là đẳng cấu thì
° chúng có cùng số đỉnh, số cạnh
° hai đỉnh tương ứng nhau trong phép đẳng cấu có cùng bậc.
– Nếu các bất biến của hai đồ thò là khác nhau thì chúng là không
đẳng cấu.
– Tuy nhiên, nếu các bất biến của hai đồ thò là như nhau thì chưa
chắc rằng chúng là đẳng cấu.

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

16


Sự đẳng cấu của các đồ thò
– Ví dụ 10. Các đồ thò G và H có đẳng cấu hay không?
a

b
e

f

g

h
d

s

G

c

t
w

x

z

y

v

H

u

Xét các bất biến: Cả hai đồ thò đều có 8 đỉnh, 10 cạnh, 4 đỉnh bậc 2,
và 4 đỉnh bậc 3.
Tuy nhiên G và H là không đẳng cấu: vì deg(a) = 2 nên a phải ứng
với một trong các đỉnh bậc 2 của H là t, u, x, y; nhưng cả 4 đỉnh này
đều có nối với một đỉnh bậc 2 khác của H, trong khi a chỉ nối với đỉnh
bậc 3 của G mà thôi.

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

17


Sự đẳng cấu của các đồ thò
– Ví dụ 10. (tiếp theo) Cách khác: G và H là không đẳng cấu vì
các đồ thò con của G và H tạo nên từ các đỉnh bậc 3 và các cạnh
nối chúng là không đẳng cấu.
b

s

f

w

z

h
d

10/01/15

v

7.3. Biểu diễn đồ

18


Sự đẳng cấu của các đồ thò
– Dùng ma trận liền kề để chứng tỏ hàm f là bảo tồn các cạnh:
° Ma trận liền kề của G, (với một thứ tự các đỉnh)
° Ma trận liền kề của H, với hàng và cột được gán nhãn tương
ứng với ảnh qua f của các đỉnh trong G.
° Nếu các ma trận liền kề trên giống nhau thì G và H là đẳng
cấu.

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

19


Sự đẳng cấu của các đồ thò
– Ví dụ 11. Đồ thò G và H có đẳng cấu không?
u1

u2

v1

u5

v2

u6
u4

G

v3

u3

v5

v6

H

v4

Cả hai đồ thò đều có 6 đỉnh, 7 cạnh, 4 đỉnh bậc 2, 2 đỉnh bậc 3.
° Đònh nghóa f như sau:
f(u1) = v6 , f(u2) = v3 , f(u3) = v4 ,
f(u4) = v5 , f(u5) = v1 , f(u6) = v2
°

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

20


Sự đẳng cấu của các đồ thò
– Ví dụ 11. (tiếp theo)
° Các ma trận liền kề của G và H là
u1
u2
AG = u3
u4
u5
u6
°

u1
0
1
0

1
0
0

u2
1
0
1
0
0
1

u3
0
1
0
1
0
0

u4
1
0
1
0
1
0

u5
0

0
0
1
0
1

u6
0
1
0
0
1
0

v6
v3
AH = v4
v5
v1
v2

v6
0
1
0
1
0
0

v3

1
0
1
0
0
1

v4
0
1
0
1
0
0

v5 v1 v2
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
0 1 0

Vì AG = AH nên f bảo tồn các cạnh. Vậy f là một phép đẳng
cấu.

10/01/15

7.3. Biểu diễn đồ

21