Bài giảng Toán rời rạc Phần V & VI - GVC ThS.Võ Minh Đức

25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
1
TOÁN RỜI RẠC
CH1: Hãy cho một ví dụ về định nghĩa đệ quy?
1. Định nghĩa giai thừa của n:
n! = n * (n-1)!
2. Lũy thừa nguyên của một số:
a
n
= a * a
n-1
CH2: Có thể ĐN hai khái niệm trên không dùng đệ quy được không?
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
2
TOÁN RỜI RẠC
CH1: Đọc giá trị của dãy số gồm các giai thừa của một số, bắt đầu từ 0:
0, 1, 2, 6, 12, 20, ,n!
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
…a
n
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức

3
TOÁN RỜI RẠC
1. Định nghĩa 1:
Hệ thức truy hồi

đối với dãy số {a
n
} là công thức biểu
diễn a
n
qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy. Dãy số
được gọi là lời giải hay nghiệm của hệ thức truy hồi nếu các
số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi này.
V.
Hệ thức
truy hồi
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
4
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1(Lãi kép): Giả sử một người gửi 10.000 đô la vào tài khoản
của mình tại một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm. Sau
30 năm anh ta có bao nhiêu tiền trong tài khoản của mình?
TOÁN RỜI RẠC
V.
Hệ thức
truy hồi
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
5

GIẢI
Gọi P
n
là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm. Vì số tiền có trong tài
khoản sau n năm bằng số có sau n − 1 năm cộng lãi suất của năm thứ n,
nên ta thấy dãy {P
n
} thoả mãn hệ thức truy hồi sau:
P
n
= P
n-1
+ 0,11P
n-1
= (1,11)P
n-1
với điều kiện đầu P
0
= 10.000 đô la. Từ đó suy ra P
n
= (1,11)
n
.10.000.
Thay n = 30 cho ta P
30
= 228922,97 đô la.
TOÁN RỜI RẠC
V.
Hệ thức
truy hồi

25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
6
VÍ DỤ 2
Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ
dài n và không có hai số 0 liên tiếp.
Có bao nhiêu xâu nhị phân như thế có độ dài bằng 5?
TOÁN RỜI RẠC
V.
Hệ thức
truy hồi
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
7
GIẢI
Gọi a
n
là số các xâu nhị phân (np) độ dài n và không có hai số 0 liên
tiếp.
Ta có:
Số các xâu np độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp (a
n
) = số các xâu np
như thế kết thúc bằng số 1 (b
n
) + số các xâu np như thế kết thúc bằng số 0
(c
n
).
Vậy a

n
= b
n
+ c
n
(1)
TOÁN RỜI RẠC
V.
Hệ thức
truy hồi
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
8
GIẢI
Giả sử n ≥ 3.
* b
n
chính là số xâu np như thế, độ dài n − 1 và thêm số 1 vào cuối của
chúng. Hỏi có tất cả là bao nhiêu xâu?
* c
n
là số các xâu np có bit thứ n − 1 bằng 1, nếu không thì chúng có
hai số 0 ở hai bit cuối cùng. Hỏi có tất cả là bao nhiêu xâu như thế ?
có tất cả là a
n-1
xâu.
Vậy b
n
= ?
có tất cả là a

n-2
xâu.
Vậy c
n
= ?
TOÁN RỜI RẠC
V.
Hệ thức
truy hồi
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
9
GIẢI
Vậy:
a
n
= a
n-1
+ a
n-2
với n ≥ 3.
•
n = 1 ta có 2 xâu: 0, 1.
Vậy: a
1
= 2
•
n = 2, ta có 3 xâu: ???.
Vậy a
2

= 3
Khi đó a
5
= a
4
+ a
3
= a
3
+ a
2
+ a
3

= 2(a
2
+ a
1
) + a
2
= 13.
TOÁN RỜI RẠC
V.
Hệ thức
truy hồi
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
10
2. Giải các hệ thức truy hồi.
Định nghĩa 2: Một hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k

là hệ thức truy hồi có dạng:
a
n
= c
1
a
n-1
+ c
2
a
n-2
+ + c
k
a
n-k

trong đó c
1
, c
2
, , c
k
là các số thực và c
k
≠ 0.
TOÁN RỜI RẠC
V.
Hệ thức
truy hồi
25/08/2014

GVC, ThS.Võ Minh Đức
11
2. Giải
các hệ
thức truy
hồi.
Là tuyến tính vì vế phải của nó là tổng các tích của các số hạng
trước nhân với một hệ số
Là thuần nhất vì các số hạng đều là a
i
và hệ số đều là hằng số.
Có bậc k vì a
n
được biểu diễn qua k số hạng đứng trước nó.
Hệ thức truy hồi
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
12
P
n
= (1,11)P
n-1
là tuyến tính bậc nhất
a
n
= a
n-1
+ a
n-2
là tuyến tính thuần nhất bậc 2.

a
n
= a
n-5
là tuyến tính thuần nhất bậc 5.
Cho ví dụ một hệ thức không phải là hệ thức truy hồi?
a
0
= 3; a
1
= 10
a
n
= a
n-1
+ (a
n-4
)
2
2. Giải
các hệ
thức truy
hồi.
Hệ thức truy hồi
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
13
a
n
= r

n
, (r là hằng số) là nghiệm của hệ thức truy hồi
a
n
= c
1
a
n-1
+ c
2
a
n-2
+ + c
k
a
n-k

 r
n
= c
1
r
n-1
+ c
2
r
n-2
+ + c
k
r

n-k

Hay r
k
− c
1
r
k-1
− c
2
r
k-2
−…− c
k-1
r – c
k
= 0.
2. Giải
các hệ
thức truy
hồi.
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
14
Phương trình:
r
k
- c
1
r

k-1
- c
2
r
k-2
- C
k-1
r - c
k
= 0
được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi a
n
= c
1
a
n-1

+ c
2
a
n-2
+ + c
k
a
n-k
, nghiệm của nó gọi là nghiệm đặc trưng của
hệ thức truy hồi.
2. Giải
các hệ
thức truy

hồi.
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
15
Cho c
1
, c
2
, , c
k
là các số thực. Giả sử rằng phương trình đặc trưng:
r
k
- c
1
r
k-1
- c
2
r
k-2
- c
k-1
r - c
k
= 0
có k nghiệm phân biệt r
1
, r
2

, , r
k
.
Khi đó dãy {a
n
} là nghiệm của hệ thức truy hồi a
n
= c
1
a
n-1
+ c
2
a
n-2
+ +
c
k
a
n-k

khi và chỉ khi
a
n
= α
1
r
1
n
+ α

2
r
2
n
+ + α
k
r
k
n
, với n = 1, 2, trong đó α
1
, α
2
, , α
k
là các
hằng số.
2. Giải
các hệ
thức truy
hồi.
Mệnh đề
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
16
Ví dụ Tìm công thức hiển của các số Fibonacci.
Dãy số Fibonacci thỏa mãn hệ thức:
a
n
= a

n-1
+ a
n-2
(với đk đầu a
0
= 0, a
1
= 1).
k = 2, c
1
= 1, c
2
= 1
Phương trình đặc trưng là: r
2
– r – 1 = 0
Có các nghiệm là :
2
51
2
51
21
−
=
+
= rvàr
Do đó các số Fibonacci được cho bởi công thức:
nn
n
a )

2
51
()
2
51
(
21
−
+
+
=
αα
2. Giải
các hệ
thức truy
hồi.
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
17
Ví dụ Tìm công thức hiển của các số Fibonacci.
Với các điều kiện đầu: a
0
= 0 và a
1
= 1.
Từ (1). Ta có: α
1
+ α
2
= 0 = a

0
)1()
2
51
()
2
51
(
21
nn
n
a
−
+
+
=
αα
5
5
,
5
5
21
−
==
αα
Từ 2 phương trình trên, ta được:
)
2
51

()
2
51
(1
211
−
+
+
==
αα
a
2. Giải
các hệ
thức truy
hồi.
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
18
Ví dụ Tìm công thức hiển của các số Fibonacci.
nn
n
a )
2
51
(
5
5
)
2
51

(
5
5 −
−
+
=
Do đó các số Fibonacci được cho bởi công thức hiển sau:
2. Giải
các hệ
thức truy
hồi.
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
19
Hãy tìm nghiệm của hệ thức truy hồi a
n
= 6a
n-1
- 11a
n-2
+ 6a
n-3
với điều kiện
ban đầu a
0
= 2, a
1
= 5 và a
2
= 15.

2. Giải
các hệ
thức truy
hồi.
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
20
Chơi trò chơi đoán số:
1. Em hãy nghĩ trong đầu một số lớn hơn 100 và nhỏ hơn 200 (gọi SV).
2. Số em nghĩ là 150 (nhỏ hơn hoặc lớn hơn)
…
Đây chính là bài toán chia để trị
VI. QUAN HỆ CHIA ĐỂ TRỊ
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
21

Chia:
Chia bài toán cần giải thành nhiều bài toán con độc lập.

Trị:
Giải các bài toán con

Tổng hợp:
Xây dựng lời giải bài toán từ lời giải hoặc kết quả của các bài
toán con.
Vấn đề đặt ra là giải các bài toán con như thế nào?
Đó chính là Vấn đề trung tâm của bài toán
Khái niệm
VI. Quan

hệ chia
để
trị
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
22
Procedure
Chia_tri(n);
Begin
If n< n
0
then giai truc tiep bai toan
Else
Begin
Chia bài toán thành a bài toán con có kích thước n/b
For (mỗi bài toán trong a bài toán con) do
chia_tri(n/b);
Tổng hợp lời giải từ a bài toán con để có lời giải bài toán.
End;
End;
VI. Quan
hệ chia
để
trị
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
23
BÀI TOÁN tìm kiếm nhị phân. -> thuật toán
BÀI TOÁN nhân hai số nguyên. -> thuật toán (về nhà đọc sách tr.84)
Các thuật toán này gọi là các thuật toán chia để trị.

VÍ DỤ
VI. Quan
hệ chia
để
trị
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
24
Giả sử f(n) và g(n) là hai hàm số xác định trên tập các số nguyên dương.
Nếu tồn tại số nguyên dương n
0
và hằng số C sao cho:
F(n) <= Cg(n), n>n
0
Thì ta nói hàm f(n) cùng bậc với g(n) và viết là:
F(n) = O(g(n))
(đọc là “
f(n) là Ô lớn của g(n)
”)
VI. Quan
hệ chia
để
trị
∀
Khái niệm Ô lớn
25/08/2014
GVC, ThS.Võ Minh Đức
25
Giả sử f là một hàm tăng thỏa mãn hệ thức truy hồi f(n)= af(n/b)+c,
với mọi n chia hết cho b với a, b là các số nguyên và a>=1, b>1,

c là số thực dương. Khi đó:
Định lý
VI. Quan
hệ chia
để
trị



=
>
=
1)(
1)(log
log
)(
anêunO
anêuO
a
b
n
b
nf