một số bài tập toán rời rạc 4

Bài 5:

Chứng minh rằng trong số 10 người bất kỳ bao giờ cũng tìm được hoặc là 2 người có
cùng tổng số tuổi chia hết cho 16, hoặc là hai người mà hiệu chia hết cho 16.
Giải:
Gọi a0……a15 là số dư khi chia tuổi của 10 ngư ời cho 16
=>ai € {0,1….15} với i=0…15;

TH1:
Ta chia 16 thành
16=15+1=14+2=…………=8+8=0+0;
=>Có tất cả là 9 cặp trong khi đó có 10 người.Theo nguyên lý Dirichlet=>t ồn
tại 2 tổng số
các ai thuộc cùng 1 tổng
->Luôn tìm được 2 người có tổng số tuổi chia h ết cho 16.




TH2:
Do có 10 người mà lại có 15 số dư
->Tồn tại 2 người có cùng 1 số dư khi chia tuổi của họ cho 16
Suy ra luôn tồn tại ai=aj
->Tìm được 2 người mà hiệu số tuổi của họ chia hết cho 16.





Bài 6:

Cần có ít nhất bao ngiêu bộ có thứ tự gồm 2 số nguyên (a,b)sao cho ch ắc ch ắn tìm
được trong số hai bộ (c,d)&(e,f) sp cho c-e & d-f là các s ố có t ận cùng b ằng 0 .

Giải:

Ta xét cặp (a,b) bất kỳ.Chia các cặp này thành 10 nhóm có s ố dư c ủa a khi chia
cho 10 là 0,……9;
Vậy 2 cặp (a1,a2) &(a3,a4) trong cùng 1 nhóm thì a1&a3 cùng số dư khi chia cho 10.

Do đó chỉ cần tìm cặp (a,b) sao cho ít nhất 1 trong 10 nhóm trên ->ít nhất là
11 cặp.
Trong nhóm vừa nên trên sẽ có 2 cặp (c,d)&(e,f) sao cho (c-e) t ận cùng b ằng 0
và (d-f) tần cùng =0.
Mà có 10 nhóm nên để tồn tại ít nhất 1 nhóm có ít nh ất 11 cặp thì số c ặp (a,b)
cần chọn là:
11*10+1=101.


Bài 7:
17 nhà bác học đôi 1viết thư trao đổi cho nhau vè 3 chủ đề , mỗi cặp chỉ
trao đổi với nhau về 1 chủ đề.Chứngminh rằng luôn tìm được 3 nhà bác
học đôi một viết thư trao đổi với nhau về cùng 1 chủ đề.
Giả sử lấy 1 nhà bác học bất kì là a1 viết thư cho 16 bác học còn lại
-> do có 3 vấn đề cần trao đổi nên tồn tại ít nhất 6 nhà bác học a1vấn
đề 1 nào đó.
Trong 6 nhà bác học trên lấy ra 1 nhà bác học bất kì là a2.
5 người còn lại nếu có 1 nhà bác học viết thư trao đổi với a2 về vấn đề
1 thì bài toán đã giải quyết.
Ta xét TH:
a2 viết thư trao đổi với 5 người về 2 vấn đề còn lại.

Theo nguyên lý dicrichlet tồn tai 3 người trao đổi với a2 về vấn đề
nào đó gọi là vấn đề 2.
Trong 3 người trao đổi về vấn đề 2 nếu có 1 người trao đổi vấn đề 2
thì bài toán được giải.
Ngược lại nếu không có ai trong 3 người đó trao đổi về vấn đề 2 thì
chắc chắn họ sẽ trao đổi về vấn đề 3.
=>Bào toán đã được giải.






Bài 8:
Trong không gian cho 9 điểm có toạ độ nguyên.Chứng minh rằng trong
số 9 điểm luôn tìm được 2 diểm sao cho đoạn thẳng nối chúng đi qua
điểm có tạo độ nguyên.
Giải:
Xét 1 diểm bất kì trong không gian (x,y,z).
Do 1 giá trị x hoặc y hoặc z chỉ nhận 1 trong 2 giá trị chẵn, lẽ.
->có tất cả là 2*2*2=8 bộ mà (x,y,z) có thể nhận.
Ví dụ như (chẵn, chẵn, chẵn),(chẵn, chẵn, lẽ)…….
Mà theo bài ra thì có tất cả là 9 điểm.Theo nguyên lý Dirichle thì tồn tại
2 điểm có cùng tọa độ chẵn,lẽ.
=>trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm đó là số nguyên->dpcm