ôn tập đại số 8 theo chuyên đề

chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy hằng
đẳng thức đáng nhớ.
I) Nhân đơn thức với đa thức:
1. Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C
2. Bài tập áp dụng:
Bài 1. Làm tính nhân:
a) 3x(5x2 - 2x - 1);
b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);
1
2
2
c) x2y(2x3 - xy2 - 1);
d) x(1,4x - 3,5y);
2
5
7
1
2
3
4
e) xy( x2 - xy + y2);
f)(1 + 2x - x2)5x;
2
3
4
5
2
g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2;
h) x2y(15x - 0,9y + 6);
3
3 4

i)
x (2,1y2 - 0,7x + 35);
7
Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng.
3
a) 3(2a - 1) + 5(3 - a)
với a =
.
2
b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x)
với x = 2,1.
c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2
với a = -0,2.
1
d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1)
với b =
2
Bài 3. Thực hiện phép tính sau:
a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;
b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);
c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;
d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).
Bài 4. Đơn giản các biểu tức:
a) (3b2)2 - b3(1- 5b);
b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;
1
1
c) (- x)3 - x(1 - 2x - x2);
d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100).
2

8
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);
b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);
Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0;
a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
Bài tập nâng cao
Bài 7. Tính giá trị biểu thức:
a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +.+ 80x + 15
với x = 79.
b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 với x = 9.
c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1
với x = 31.
d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x
với x = 14.
Bài 8. Chứng minh rằng :
a) 356 - 355 chia hết cho 34
b) 434 + 435 chia hết cho 44.
Bài 9. Cho a và b là các số nguyên. Chứng minh rằng:
a) nếu 2a + b M 13 và 5a - 4b M 13 thì a - 6b M 13;
b) nếu 100a + b M 7 thì a + 4b M 7;
c) nếu 3a + 4b M 11 thì a + 5b M 11;
II) Nhân đa thức với đa thức.
1. Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;
2. Bài tập áp dụng:

1

Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1);
1
c) x2y2(2x + y)(2x - y);
2

b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);
1
d) ( x - 1) (2x - 3);
2
1
1
e) (x - 7)(x - 5);
f) (x - )(x + )(4x - 1);
2
2
g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4);
h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
Bài 2.Chứng minh:
a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1;
b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;
Bài 3. Thực hiện phép nhân:
a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);
b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)
e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4).
Bài 4. Viết các biểu thức sau dới dạng đa thức:
a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);

b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);
c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);
d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y:
a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1);
b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);
Bài 6. Tìm x, biết:
a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);
d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);
e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).
Bài tập nâng cao
Bài 7. Chứng minh hằng đẳng thức:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca).
Bài 8. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M = N = P với :
M = a(a + b)(a + c);
N = b(b + c)(b + a);
P = c(c + a)(c + b);
Bài 9. Số 350 + 1 có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không ?
HD: Trớc hết chứng minh tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 thì d 0 hoặc 2. Thật vậy
nêu trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 thì tích của chúng chia hết cho 3, nếu cả hai
số đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 d 2 ( tự chứng minh). Số 350 + 1 chia cho 3 d 1
nên không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài 10. Cho A = 29 + 299. Chứng minh rằng A M 100
HD: Ta có A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - -2.277 + 288)
Thừa số thứ nhất 2 + 211 = 2050
AM4100 AM100
Thừa số thứ hai chẵn

III) Các hằng đẳng thức đáng nhớ
1) Kiến thức cơ bản:
1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2.
1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B).
1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3.
1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).

2


1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2).
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tính
a) (x + 2y)2;
b) (x - 3y)(x + 3y);
d) (x - 1)2;

e) (3 - y)2

c) (5 - x)2.
1
f) (x - )2.
2

Bài 2. Viết các biểu thức sau dới dạng bình phơng của một tổng:
1
a) x2 + 6x + 9;
b) x2 + x + ;

c) 2xy2 + x2y4 + 1.
4
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
a) (x + y)2 + (x - y)2;
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;
c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).
Bài 4. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau;
a) (y - 3)(y + 3);
b) (m + n)(m2 - mn + n2);
c) (2 - a)(4 + 2a + a2);
d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;
3
3
e) (a - x - y) - (a + x - y) ;
f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);
Bài 5. Hãy mở các dấu ngoặc sau:
a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m)
b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);
2
2
c) (25a + 10ab + 4b )(5a - 2b);
d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).
Bài 6. Tính giá trị biểu thức:
a) x2 - y2 tại x = 87
với y = 13;
b) x3 - 3x2 + 3x - 1
Với x = 101;
c) x3 + 9x2 + 27x + 27
với x = 97;
2

d) 25x - 30x + 9
với x = 2;
e) 4x2 - 28x + 49
với x = 4.
Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng:
a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy)
với x = - 5, y = -3;
b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b)
với a = -4, b = 4.
Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau:
a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);
b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);
d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);
e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1).
Bài 9. Tìm x, biết:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9;
b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;
c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36;
d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;
e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau:
a) 192; 282; 812; 912;
b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562;
Bài 11. Chứng mih các hằng đẳng thức sau:
a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab;
b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;
6
6

2
2
2
2 2
2 2
c) a + b = (a + b )[(a + b ) - 3a b ];
d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2].
Các bài toán nâng cao
Bài 12. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;
Bài 13. Hãy viết các biểu thức dới dạng tổng của ba bình phong:
(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2.
Bài 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chứng minh rằng a = b.
Bài 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b =c.
Bài 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chứng minh rằng a = b = c.
Bài 17. Cho a + b + c = 0
(1)
a2 + b2 + c2 = 2(2)

3


Tính a4 + b4 + c4.
Bài 18. cho a + b + c = 0. Chứng minh đẳng thức:
a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);
b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;
4

4

c) a + b + c

4

a
= (

2

+ b2 + c2

)

2

;

2
Bài 19. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dơng với mọi giá trị của biến.
a) 9x2 - 6x +2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = x2 - 3x + 5;
b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;
Bài 21. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A = 4 - x2 + 2x;
b) B = 4x - x2;
Bài 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3.
Bài 23. Cho x + y = a; xy = b.

Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b:
a) x2 + y2;
b) x3 + y3;
c) x4 + y4;
d) x5 + y5;
Bài 24. a) cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy.
b) cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy.
Bài 25. Cho a + b = 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b).
Bài 26. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2;
b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1);
c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;
d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;
e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;
g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;
h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2;
b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bài 29. Cho a + b + c = 0. chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bài 30. Chứng minh rằng:
a) nếu n là tổng hai số chính phơng thì 2n cũng là tổng của hai số chính phơng.
b) nếu 2n là tổng hai số chính phơng thì n cũng là tổng của hai số chính phơng.
c) nếu n là tổng của hai số chính phơng thì n2 cũng là tổng của hai số chính phơng.
Bài 31. a) Cho a = 111(n chữ số 1), b = 10005(n - 1 chữ số 0). Chứng minh rằng: ab + 1 là số
chính phơng.
b) Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là các số tạo thành bằng cách viết chèn
số 15 vào chính giữa số hạng liền trớc :
16, 1156, 111556,

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phơng.
Bài 32. Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phơng với a = 1112(n chữ số 1),
b = 1114(n chữ số 1).
Bài 33. Cho a gồm 2n chữ số 1, b gồm n + 1 chữ số 1, c gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8
là số chính phơng.
Bài 34. Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính phơng:
{ 22...2
{
{ + 44...4
{ +1
a) A = 11...1
b) B = 11...1
2n

n

2n

Bài 35. Các số sau là bình phơng của số nào ?
{ 00...0
{ 25 ;
{ { ;
a) A = 99...9
b) B = 99...9800...01
n

n

{ { ;
c) C = 44...488...89

n

n1

n

{ { .
d) D = 11...122...25
n

n+1

4

n

n


chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử
I) Phơng pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C
*) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử
*) Bài 1: Phân tích thành nhân tử

5


a) 3x - 3y

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

b) 2x + 5x + x y

a) 4x2 6x;

c)14x 2 21xy 2 + 28x 2 y 2

b)21x2 y 12xy2 ;

d)4x 3 14x 2

c)x3 + x2 2x;

e)5y10 + 15y 6

d)3x ( x 1) + 7 x2 ( x 1) ;

f)9x 2 y 2 + 15x 2 y 21xy
g)x(y 1) y(y 1)
h)10x(x y) 8y(y x)

e)x2 y2 z + xy2 z2 + x2 yz;

2

3

2

f )2x ( x + 1) + 2 ( x + 1) ;

g)4x ( x 2y ) + 8y ( 2y x )

i)3x 2 (x + 1) 2(x + 1)
j)a(b + c) + 3b + 3c
k)a(c d) + c d
l)b(a c) + 5a 5c
m)b(a c) + 5a 5c
n)a(m n) + m n
o)mx + my + 5x + 5y
p)ma + mb a b
q)1 xa x + a

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức
a) 15.91,5+ 150.0,85

b) 5x5 (x 2z) + 5x5 (2z x)tại x= 1999; y= 2000
Bài 4: Tìm x, biết
a) 5x(x-2)-(2-x)= 0
b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1)
1 2
c) x(2x-1)+ x = 0
3 3
d)x(x 4) + (x 4) 2 = 0

r)(a b)2 (b a)(a + b)

e)x2 5x = 0;
f )3x(x 2) + 2(2 x) = 0;
g)5x(3x 1) + x(3x 1) 2(3x 1) = 0.

t)a(a b)(a + b) (a + b)(a ab + b )
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)2x(x+3)+2(x+3)
b)4x(x-2y)+8y(2y-x)
2

2

e)(x + 5)2 3(x + 5)

Bài 5:Chứng minh r ằng
a) Bình phương của một số lẻ chia cho 4
thì dư 1
b) Bình phương của một số lẻ chia cho 8
thì dư 1

f)2x(x 3) (x 3)2

Bài 6: chứng minh rằng:

c) y 2 (x 2 + y) zx 2 zy
d)3x(x + 7)2 11x 2 (x + 7) + 9( x + 7)

n 2 ( n + 1) + 2n ( n + 1)

g)x(x 7) + (7 x)2

luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

h)3x(x 9)2 (9 x)3
i)5x(x 2) (2 x)
j)4x(x + 1) 8x 2 (x + 1)
k)p m +2 .q p m +1 .q 3 p 2 .q n +1 + p.q n +3
o)5x5 (x 2z) + 5x 5 (2z x)
p)10x(x y) 8y(y x)
q)21x 2 12xy 2
r)2x(x + 1) + 2(x + 1)
t)4x(x 2y) + 8y(2y x)

II) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dung hằng đẳng thức:

6


1) Phơng pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng hằng đẳng thức
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2
3. A2 - B2 = (A - B)(A + B)
4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3
5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2)
2)Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 - 9;
b) 4x2 - 25;
6
6
c) x - y

d) 9x2 + 6xy + y2;
e) 6x - 9 - x2; f) x2 + 4y2 + 4xy
g) 25a2 + 10a + 1;
h)10ab + 0,25a2 + 100b2
1 2
i)9x2 -24xy + 16y2
j) 9x2 - xy +
y
36
k)(x + y)2 - (x - y)2
l)(3x + 1)2 - (x + 1)2
3
3
3
n) x + y + z - 3xyz.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 + 8;
b) 27x3 -0,001
6
3
c) x - y ;
d)125x3 - 1
3
2
e) x -3x + 3x -1;
f) a3 + 6a2 + 12a + 8
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;
2
2

b) M = 4abcd + ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) 4 cd ( a 2 + b 2 ) + ab ( c 2 + d 2 )
Bài 4 Tính nhanh:
a) 252 - 152;
b) 872 + 732 - 272 - 132
2
2
c) 73 -27 ;
d) 372 - 132
e) 20092 - 92
Bài 5 Tìm x, biết
a) x3 - 0,25x = 0;
b) x2 - 10x = -25
c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1
e) x3 + 3x2 = -3x - 1
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x8 - 12x4 + 18;
b) a4b + 6a2b3 + 9b5;
6
3
2
c) -2a - 8a b - 8b ; d) 4x + 4xy6 + xy12.
Bài 7 Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm
a) x2 - 2xy + y2 + a2;
b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1;
c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;
d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;
Bài 8 Chứng minh rằng các đa thức sau không âm với bất kì giá trị nào của các chữ:
a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1
b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz
c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz

d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz
Bài 9 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: (4n + 3)2 - 25 chia hết cho 8.
III) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm các hạng tử.
1) Kiến thức cơ bản: Tìm cách tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp sao cho khi phân
tích mỗi nhóm hạng tử thành nhân tử thì xuất hiện nhân tử chung.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 - xy + x - y;
b) xz + yz - 5(x + y)
c) 3x2 -3xy - 5x + 5y.

7


d) x2 + 4x - y2 + 4;
e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2;
2
2
2
2
f) x -2xy + y - z + 2zt - t ;
g) x2 - x - y2 - y;
h) x2 - 2xy + y2 - z2;
i) 5x - 5y + ax - ay;
j) a3 - a2x - ax + xy; k) 7a2 -7ax - 9a + 9x;
l) xa - xb + 3a - 3b;
Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử;
a) ma - mb + na - nb -pa + pb;
b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy;
c) ax - bx - cx + ay - by - cy;

d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by;
Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2;
b) a4 + ab3 - a3b - b4;
c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2;
c) x4 + x3 y - xy3 - y4;
Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 70a - 84b - 20ab - 24b2;
b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y;
c) 21bc2 - 6c - 3c3 +42b;
d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a.
Bài 5 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3;
b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3;
1
c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + ;
d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2.
3
Bài 6 Tìm x, biết:
a) x3 + x2 + x + 1 = 0;
b) x3 - x2 - x + 1 = 0;
2
c) x - 6x + 8 = 0;
d) 9x2 + 6x - 8 = 0.
e) x(x - 2) + x - 2 = 0;
f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0.
Bài 7 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức sau;
a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 tại x = 6; y = -4; z = 45.
b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 tại x = 0,5
Bài 8. Tính nhanh :

a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5;
b) 452 + 402 - 152 + 80.45.
Bài 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a).
Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2;
b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3.
IV) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp.
1) Kiến thức cơ bản:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử và các phơng pháp khác.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 - 2x2 + x;
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;
c) 2xy - x2 - y2 + 16;
4
3
3
2
3
2
d) a + a + a b + a b e) a + 3a + 4a + 12;
f) a3 + 4a2 + 4a + 3;
g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz;
h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab;
2
2
3

2
i) 4a - 4b - 4a + 1; j) a + 6a + 12a + 8;
k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3.
Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y);
b) (x + y)3 - x3 - y3;
2
2
c) (x - y + 4) - (2x + 3y - 1) ;
d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2.
e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);
f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc;
g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2;
h) x5 - 5x3 + 4x;
3
2
4
2 2
i) x - 11x + 30x;
j) 4x - 21x y + y4;
k) x3 + 4x2 - 7x - 10;
l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15;
n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15;
o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6.
Bài 2: Tìm x, biết.
1
a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0;
c) x3 - x = 0;
4

8


d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = 0
Bài 3. Tính nhanh giá trị biểu thức:
1
1
a) x2 + x +
tại x = 49,75;
2
16

e) x2(x - 3) +12 - 4x =0.
b) x2 - y2 - 2y - 1 tại x = 93 và y = 6.

Toán khó mở rộng:
Bài 4. a) Số 717 + 17. 3 - 1 chia hết cho 9. Hỏi số 718 + 18.3 - 1 có chia hết cho 9 không?
b) Biến đổi thành tích các biểu thức:
A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + + (a + 1)2 + a + 2].
Bài 5. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1
Với x2 + y2 = 1
4
2 2
4
2
2
2) x + x y + y = a - b
với x2 + y2 = a, xy = b
3) (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0

với ab = a + b.
4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2
với a + b + c = 2p.
Bài 6. Tính giá trị biểu thức:
a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - - 22 - 2 - 1.
b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +- 12x2 + 12x - 1
với x = 11.
Bài 7. Rút gọn:
a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1).
2
3
4
n
b) Mở rộng: B = 3(22 + 1)(22 + 1)(2 2 + 1)(2 2 + 1)...(2 2 + 1)
Bài 8. Chứng minh:
1
a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) với a + b + c = 0
2
Bài 9. Chứng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2)
với a + b + c = 0.
Bài 10. Tổng các số nguyên a1, a2, a3, , an chia hết cho 3. Chứng minh rằng
A = a13 + a23 + a33 + + an3 cũng chia hết cho 3
V) Một số phơng pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Phơng pháp tách một số hạng thành nhiều số hạng khác.
1.1) Đa thức dạng f(x) = ax2 + bx + c.
- Bớc 1: Tìm tích ac.
- Bớc 2: Phân tích a.c ra tích của hai thứa số nguyên bằng mọi cách.
- Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Các bài tập áp dụng dạng này:
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x2 - 4x - 3;
b) x2 - 4x + 3;
c) x2 + 5x + 4;
2
2
d) x - x - 6;
e) x + 8x + 7;
f) x2 - 13 x + 36;
g) x2 +3x - 18;
h) x2 - 5x - 24;
i) 3x2 - 16x + 5;
2
2
j) 8x + 30x + 7;
k) 2x - 5x - 12;
l) 6x2 - 7x - 20.
1.2) Đa thức từ bậc ba trở lên ngời ta dùng phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
a) Chú ý: nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a.
Trong đó a là ớc số của an,, với f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ + an-1 + an.
b) Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - 4.
Lần lợt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thấy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0.
Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa thừa số x - 2.
Ta tách nh sau:
Cách 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4
= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)
= ( x - 2)(x2 + x + 2).
Cách 2: x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4
= (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2)
= (x - 2)(x2 + x + 2).

2) Phơng pháp đặt ẩn phụ: Khi một đa thức phức tạp, hoặc có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm
giảm bậc của đa thức để phân tích.
2.1) Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

9


a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12.
b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.
HD: a) Đặt y = x2 + x + 1, khi đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4)
Thay ngợc trở lại y = x2 + x + 1 vào đa thức f(x) ta đợc:
f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24
= y(y + 2) - 24 với y = x2 + 5x + 4
= y2 + 2y - 24
= (y - 4)(y + 6)
Thay ngợc trở lại y = x2 + 5x + 4 ta đợc
f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)
3) Phơng pháp thêm, bớt một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình
phơng.
*) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x8 + x4 + 1;
b) x4 + 4;
HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1)
= [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2]
= [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( 3 x)2]
= (x2 +1 - x)(x2 + 1 - 3 x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + 3 x)
*) Bài tập áp dụng :
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) f(x) = x4 + 324
b) f(x) = x8 + 1024;
c) f(x) = x8 + 3x4+ 4
1
Bài 2. a) Phân tích n4 +
4
4 1 4 1 4 1
1 + ữ 2 + ữ... 19 + ữ
4
4
4

b) áp dụng: Rút gọn S =
4 1 4 1 4 1
2 + 4 ữ 4 + 4 ữ... 20 + 4 ữ




4) Phơng pháp xét giá trị riêng: Trớc hết ta xác định dạng của các thừa số chứa biến của đa thức, rồi
gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
a) Ví dụ: Phân tích thành thừa số:
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Giải:
Thử thay x bởi y thì P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Nh vậy P chứa thừa số x = y
nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không đổi. Do đó P chứa thừa số có dạng (x - y),
(y - z), (z - x). vậy P có dạng P = k(x - y)(y - z)(z - x).
Vì đăngt thức x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với mọi x, y, z,
Nên ta gán x = 2, y = 1, z = 0 vào đẳng thức ta đợc:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k k = -1

vậy P = -(x - y)(y - z)(z - x)
Các bài tập áp dụng của các dạng trên.
Bài 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố
a) 6x2 - 11x + 3;
b) 2x2 + 3x - 27;
2
2
c) 2x - 5xy + 3y ;
d) 2x2 -5xy - 3y2.
Bài 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố:
a) x3 + 2x - 3;
b) x3 - 7x + 6;
3
2
c) x + 5x + 8x + 4;
d) x3 - 9x2 + 6x + 16;
e) x3 - x2 - 4;
f) x3 - x2 - x - 2;
3
2
g) x + x - x + 2;
h) x3 - 6x2 - x + 30.
Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng nhiều cách).
x3 - 7x - 6.
Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử:

10


a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4;

b) 2x3 - x2 + 5x + 3.
Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15;
b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;
c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12;
d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24;
e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4
f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2;
g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.
Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng phơng pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ)
a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc
HD: Đặt x = a + b, y = a - b.
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 4x4 - 32x2 + 1;
b) x6 + 27;
c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2;
d) (2x2 - 4)2 + 9;
4
e) 4x + 1;
f) 64x4 + y4;
4
g) x + 324;
h) x8 + x + 1;
7
5
8
i) x + x + 1;
j) x + x4 + 1;
k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6;
l) x3 + 3xy + y3 - 1.

Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định
a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1;
b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1;
c) x4 - 8x + 63.
Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử:
x8 + 98x2 + 1.
Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng phơng pháp xét giá trị dơng).
a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).
b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc với 2m = a + b + c
chuyên đề chia đa thức cho đa thức
I) Chia đơn thức cho đơn thức (trờng hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B).
1) Phơng pháp:
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
- Chia từng luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của biến đó có trong B.
- Nhân các kết quả tìm đợc với nhau.
1) Ví dụ và bài tập:
Bài 1. Làm phép tính chia:
a) 10015 : 10012;
b) (-79)33 : (- 79)32;
16
14
21
18
1 1
3 3
c) ữ : ữ ;
d) ữ : ữ .
2 2
5 5

Bài 2. Chia các đơn thức:
1
3
a) -21xy5z3 : 7xy2z3;
b) ( a3b4c5) : a2bc5;
2
2
c) x2yz : xyz;
d) x3y4 : x3y;
e) 18x2y2z : 6xyz;
f) 5a3b : (-2a2b);
4 2
4
g) 27x y z : 9x y;
h) 9x2y3 : (-3xy2);
3 2 4 1 2 2
i) (
mn): mn;
j) 5x4y3z2 : 3xyz2;
4
2
3
1
k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2);
l) (a - b)5 : (b - a)2;
2
2
n) (x + y)2 : (x + y);
m)(x - y)5 : (y - x)4;
2 2

o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3;
ơ) 0,5ambnc3 : (
a bc);
3
p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c).
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức sau:
1
(-x2y5)2 : (-x2y5) tại x =
và y = -1.
2

11


Bài 4. Thực hiện phép chia:
4
6
1
a) (xy2 - x2y3 + x3y2) : 2xy;
b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( x);
3
5
3
3 3 6 2 6 4 3
9 5 2 3 3 3
c) ( a b c + a b c a b c ) : a bc;
4
5
10
5

5
4
3
d) [3(a - b) - 6(a - b) + 21(b - a) + 9(a - b)2] : 3(a - b)2
e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2).
Bài 5. Với giá trị nào của n thì thực hiện đợc các phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm đợc hãy thực
hiện phép chia đó .
a)x2n : xn + 3;
b) 3xny2 : 4x2y;
3 5
n 2
c) 6x y : 5x y ;
d) xnyn+2 : 3x3y4.
II) Chia đa thức cho đơn thức.
1) Phơng pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B.
- Chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B.
- Cộng các kết quả lại với nhau.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (7. 35 - 34 + 36) : 34;
b) (163 - 642) : 83;
Bài 2. Làm tính chia:
a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2;
b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy);
1
1
c) (x3y3 - x2y3 - x3y2) : x2y2;
d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2);
2
3

2
e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + a4);
3
f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2.
g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2;
h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b);
i) (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (2x + 2y).
Bài 3. Thực hiện phép tính:
15 2mn n-1 p+2
a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 +
a b c x) : (-3a3-mb5c4);
4
b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc;
c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy.
d) Chứng minh số có dạng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hết cho 17 ( n thuộc N).
Bài 4. Làm tính chia:
a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2
b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y);
c) (x3 - 8y3) : (x + 2y);
d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3
e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3.
Bài 5. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x = -2.
A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3.
III) Chia đa thức một biến đã sắp xếp:
1) Phơng pháp chung:
- Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia thì đợc hạng tử cao
nhất của thơng.
- Nhân hạng tử cao nhất của thơng với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa tìm đợc, ta đợc
d thứ nhất.
- Chia hạng tử cao nhất của đa thức d thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta đợc hạng tử thứ

hai của thơng.
- Nhân hạng tử thứ hai của thơng với đa thức chia rồi lấy d thứ nhất trừ đi tích vừa tìm đợc, ta đợc d thứ
hai.
- Lặp lại quá trình trên cho đến khi:
+) nếu d cuối cùng bằng 0 thì phép chia có d bằng 0 và đợc gọi là phép chia hết.
+) nếu d cuối cùng khác 0 và bậc của đa thức d thấp hơn bậc của đa thức chia thì phép chia đó đợc gọi là phép chia có d.
2) Ký hiệu:

12


A(x) là đa thức bị chia;
B(x) là đa thức chia;
Q(x) là đa thức thơng;
R(x) là đa thức d;
Ta luôn có: A(x) = B(x). Q(x) + R(x);
- Nếu R(x) = 0 thì A(x) = B(x) . Q(x) gọi là phép chia hết.
- Nếu R(x) 0 thì A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của B(x)) gọi là phép chia có d.
3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Làm tính chia:
a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5);
b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3);
4
3
2
2
c) (2x + x - 5x - 3x - 3) : (x - 3);
Bài 2. Sắp sếp các đa thức sau theo luỹ giảm dần thừa của biến:
a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2);
b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x);

c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1);
d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3);
e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2);
f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5);
h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);
i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2);
j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2);
k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2);
l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1);
n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5);
m) (x4 - x - 14) : (x - 2).
Bài 3. Không thực hiện phép chia, hãy xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức
d trong trờng hợp không chia hết;
a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5).
HD:
a) Kí hiệu số d là r, ta có thể biết:
x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r
Trong đẳng thức trên đặt x = -3, ta đợc:
r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9
vậy d trong phép chia là 9.
b) Ta thấy ngay thơng trong bớc thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức d thứ nhất là 2x 1. Vì 2x - 1 có bậc nhỏ hơn 3x2 - 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia đợc nữa. Do đó phép
chia không là phép chia hết và đa thức d là 2x - 1.
Bài 4. Không thực hiện phép chia, xét xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức
d trong trờng hợp không chia hết.
1
a) (8x2 - 6x + 5) : (x - );
b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1);
2

c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1);
d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1).
Bài 5. Tính nhanh:
a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a);
b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a);
c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1);
1 3
4
1
d) (64a3 b ) : (16a2 + ab + b2).
27
3
9
4) Một số phơng pháp khác để tìm đa thức thơng và đa thức d:
4.1) Phơng pháp đặt phép chia:
Ví dụ:
Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2.
Giải

13


Thực hiện phép chia
x3
+ ax
+
b
x2 + x - 2
3
2

x +
x - 2x
-x2 + (a +2)x +
b
x-1
-x2 x +
2
(a + 3)x + (b -2)
Để chia hết, đa thức d phải đồng nhất băng 0, nên :
a + 3 = 0
a = 3


b 2 = 0
b = 2
vậy với a = -3; b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x + 2.
4.2) Phơng pháp hệ số bất định.
- Nếu hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau với mọi giá trị của biến số x thì ngời ta goi là hai đa thức hằng
đẳng hoặc hai đa thức đồng nhất. Kí hiệu f(x) g(x).
- Hai đa thức (đã viết dới dạng thu gọn) đợc gọi là đồng nhất (hằng đẳng) khi và chỉ khi các hệ số của
các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó là bằng nhau.
*) Ví dụ:
Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2.
Giải
Đa thức bị chia có bậc là ba, đa thức chia có bậc hai, nên thơng là một nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc
nhất là x3 : x2 = x.
Gọi thơng của phép chia là x + c, ta có:
x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c)
x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c.
Hai đa thức trên đồng nhất nên :

c + 1 = 0
c = 1


c 2 = a a = 3
2c = b
b = 2


Vậy với a = -3, b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x - 2, thơng là x - 1.
4.3) Phơng pháp xét giá trị riêng.
*) Ví dụ:
Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2.
Giải
Gọi thơng của phép chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 là Q(x), ta có:
x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)
Vì đẳng thức đúng với mọi x, nên lần lợt cho x = 1, x = -2 ta đợc :
1 + a + b = 0
a + b = 1
a = 3



8 2a + b = 0
2 a + b = 8
b = 2
3
Với a = -3; b = 2 thì x + ax + b chia hết cho x2 + x - 2 và thơng là x - 1.
4.4) Phơng pháp vận dụng vào định lý Bơdu
a) Định lý: Số d trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x

= a.(Nghĩa là r = f(a)).
b) Chú ý: Đa thức f(x) chia hết cho x - a khi và chỉ khi f(a) = 0
Các bài tập áp dụng cho các phơng pháp trên.
Bài 1. Xác định a và b để đa thức x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phơng của một đa thức.
HD: sử dụng phơng pháp hệ số bất định, ta có ha đáp số.
x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2
x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2
Bài 2. Xác định a và b để đa thức x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - 2.
HD: sử dụng phơng pháp giá trị riêng, ta đợc kết quả a = 2; b = - 4.
Bài 3. Xác định các hệ số a và b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 + x + 1;
b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 d -6, chia cho x - 1 d 21.
HD: ta có kết quả
a) a = 1; b = 1;

14


b) a = 3; b = -1.
Bài 4. Tìm các giá trị nguyên của x để:
a) Giá trị của biểu thức x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hết cho giá trị của biểu thức x + 1;
b) Giá trị của biểu thức 2x2 + x - 7 chia hết cho giá trị của biểu thức x - 2.
HD
a) Thực hiện phép chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 d là -3
Suy ra -3 M (x + 1) x {0; -2; 2; -4}.
b) x {3; 1; 5; -1}.
Bài 5. Cho đa thức A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuộc Q). Xác định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1.
HD
*) Cách 1. (Đặt phép chia đa thức).
A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho đa thức (x + 1) đợc thơng là

2 2
a x + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) và đa thức d là -a2 + a + 6
- Để đa thức A(x) chia hết cho đa thức x + 1 thì đa thức d phải bằng 0, tức là
-a2 + a + 6 = 0, giải phơng trình ta đợc a = -2; a = 3.
*) Cách 2. (Dùng phơng pháp hệ số bất định).
+) Tìm hạng tử bậc cao nhất a2x3 : x = a2x2, hạng tử bậc thấp nhất -2a : 1 = -2a
+) Biểu diễn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau đó dùng phơng pháp đồng nhất để tìm ra a = -2; a
= 3 và kết luận.
*) Cách 3. (Dùng phơng pháp xét giá trị riêng).
Bài 6. Xác định hằng số a sao cho:
a) 10x2 - 7x + a chia hết cho2x - 3;
b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 d 4;
c) ax5 + 5x4 - 9 chia hết cho x - 1.
Bài 7. Xác định các hằng số a và b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + 1;
b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hết cho x2 + 3x - 10;
c) ax4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức(x - 1)2;
d) x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b.
Bài 8. Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 thì d 7, chia cho x - 3 thì d - 5.
Chuyên đề phân thức đại số
I) Phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
A
a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng ,
B
trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0
A là tử thức (tử).
B là mẫu thức
Mỗi một đa thức cũng đợc coi là một đa thức có mẫu là 1.
b) Hai phân tức bẳng nhau:

A
C
A
C
Với hai phân thức
và , ta nói
=
nếu A.D = B.C
B
D
B
D
2) Bài tập:
Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
x2 ( x + 2)
x
x 2 y 3 7 x3 y 4
=
=
a)
;
b)
;
2
x+2
5
35 xy
x ( x + 2)
3 x x2 6x + 9
;

=
3+ x
9 x2
5 y 20 xy
=
e)
;
7
8x
x + 2 ( x + 2 ) ( x + 1)
g)
;
=
x 1
x2 1
c)

d)

x3 4 x x 2 2 x
;
=
10 5 x
5
3x ( x + 5) 3x
=
f)
;
2 ( x + 5)
2

h)

15

x 2 x 2 x 2 3x + 2
;
=
x +1
x 1


x3 + 8
= x + 2.
x2 2 x + 4
Bi 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau.
A
6 x 2 + 3x
4 x 2 3x 7 4 x 7
a)
;
b)
;
=
=
2 x 1 4 x2 1
A
2x + 3
4 x2 7 x + 3
A
x2 2x

x2 + 2x
c)
;
d)
.
=
=
x2 1
x2 + 2 x + 1
2 x 2 3x 2
A
Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa sai
cho đúng.
5 x + 3 5 x 2 + 13 x + 6
x +1
x2 + 3
a)
;
b)
;
=
=
x2
x2 4
x + 3 x2 + 6x + 9
x2 2 x + 2
2 x2 5x + 3 2 x2 x 3
c) 2
;
d) 2

.
=
=
x 1 x +1
x + 3x 4 x 2 + 5 x + 4
Bài 5. Ba phân thức sau có bằng nhau không?
x2 + x 2 x + 2 x2 4
.
;
;
x2 1 x + 1 x2 x 2
Bài 6. Tìm tập xác định của các phân thức sau:
3
x2 + 3
a)
;
b) 2
;
5x + 2
x 6x + 9
x
2x +1
c) 2
;
d) 2
.
x + 3x
x 3x + 2
Bài 7. tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0.
3x 1

x2 x
a) 2
;
b)
;
x 5
2x +1
x 2 3x + 2
x2 2x
c)
;
d)
;
x2 + 1
x2 4 x + 4
x 4 + x3 + x + 1
x4 5x 2 + 4
e) 4
;
f)
.
x x3 + 2 x 2 x + 1
x 4 10 x 2 + 9
Bài 8. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên:
2 ( x + 1)
3
6
a) 2
;
b)

;
c) 3
;
x + x +1
x 3
x +1
II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
a) Tính chất:
A A.M
- Tính chất 1: =
(M là đa thức khác đa thức 0).
B B.M
A A:M
- Tính chất 2: =
(M là nhân tử chung khác 0).
B B:M
A A
b) Quy tắc đổi dấu: =
.
B B
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong các
đẳng thức sau:
x x2
x
x 2 + 8 3 x3 + 24 x
a) 2
b)
;

= ;
=
5 x 5 ...
2x 1
...
...
3 x 2 3xy
x 2 + 2 xy y 2
...
=
= 2
c)
;
d)
;
x y 3( y x) 2
x+ y
y x2
i)

16


5x + 5 y 5x2 5 y 2
x3 + x 2
...
=
e)
;
f)

.
=
...
2 y 2x
x2 1 x 1
Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trớc.
8x2 8x + 2
4x + 3
2
, A = 1 2x ;
, A= 12x +9x ;
a) 2
b)
( 4 x 2 ) ( 15 x 1)
x 5
Bài 3. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức
bằng nó và có cùng tử thức.
3
x 1
x+5
x 2 25
a)
và
;
b)
và
;
x+2
5x
4x

2x + 3
Bài 4. Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau
thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức:
3x
7x + 2
4x
3x
a)
và
;
b)
và
;
x 5
5 x
x +1
x 1
2x
x+3
2
x4
c) 2
và
;
d)
và
( x + 1) ( x 3)
( x + 1) ( x 2 ) ;
x + 8 x + 16
2x + 8

Bài 5. Các phân thức sau có bằng nhau không?
x3 y3
x2
x2
x2
a)
và
;
b)
và
;
xy 3
y
x + y2
x2 + y 2
1 x
x 1
3( x 1)
3( x 1)
c)
và
;
d)
và
;
2
( x 1)(3 x )
( x 1)( x 3)
(1 x)
( x 1) 2

Bài 6. Hãy viết các phân thức sau dới dạng một phân thức có mẫu thức là 1 - x3;
x
x +1
x2
a) 3
;
b)
;
c) 2
.
x 1
x + x +1
x 1
Bài 7. áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phơng trình bằng các phân thức sau:
xy 2
1 x2
a)
;
b)
;
2x x
x 1
y 2 x2
2 x + 1
c)
;
d)
.
x y
x 2

Bài 8. Viết các phân thức sau dới dạng những phân thức có cùng mẫu thức:
x
x
y
a) x 2 và
;
b)
và ;
2y
x +1
x
2x + y
x
x +1
1 x
c) 3
;
d) 5 4 và 4 5 .
3 và
x y
x y
x y
x y
Bài 9. Viết các phân thức sau dới dạng những phân thức có cùng tử thức:
x
1
x2
y
a) và
;

b)
và ;
y
x
x+3
x
2
2
3 2
x y
x+ y
x y
x2 y3
c)
và
;
d)
và
;
2 x 2 xy
x
x y
x+ y
III) Rút gọn phân thức
1) Phơng pháp:
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
14 xy 5 (2 x 3 y )

8 xy (3 x 1)3
a)
;
b)
;
21x 2 y (2 x 3 y ) 2
12 x3 (1 3x )

17


20 x 2 45
5 x 2 10 xy
c)
;
d)
;
(2 x + 3) 2
2(2 y x)3
80 x 3 125 x
9 ( x + 5) 2
e)
;
f) 2
;
3( x 3) ( x 3)(8 4 x)
x + 4x + 4
32 x 8 x 2 + 2 x 3
5 x3 + 5 x
g)

;
h)
;
x 3 + 64
x4 1
10 xy 2 ( x + y )
x 2 + 5x + 6
i) 2
.
J)
;
15 xy ( x + y )3
x + 4x + 4
x 2 xy x + y
3 x 2 12 x + 12
k) 2
;
l)
;
x + xy x y
x4 8x
7 x 2 + 14 x + 7
2a 2 2ab
n)
;
m)
;
3x 2 + 3x
ac + ad bc bd
2x 2 y

x 2 xy
o) 2
ơ) 2
;
2 ;
x 2 xy + y 2
y x
2 2a
x2 6x + 9
p) 3
;
q) 2
;
a 1
x 8 x + 15
x 4 2 x3
x7 x4
v)
;
u)
;
2 x 4 x3
x6 1
24,5 x 2 0,5 y 2
( x + 2) 2 ( x 2) 2
)
;
x)
;
3,5 x 2 0,5 xy

16 x
(a b)(c d )
a 3 3a 2 + 2a 6
y)
;
z) 2
.
2
(b a 2 )(d 2 c 2 )
a +2
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
x 2 y + 2 xy 2 + y 3 xy + y 2
x 2 + 3 xy + 2 y 2
1
=
=
a)
;
b) 3
.
2
2
2
2
3
2 x + xy y
2x y
x + 2 x y xy 2 y
x y
Bài 3. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức:

45 x(3 x)
y 2 x2
a)
;
b) 3
.
15 x( x 3)3
x 3 x 2 y + 3 xy 2 y 3
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
1
ax 4 a 4 x
x3 + x 2 6 x
a) 2
với a = 3, x = ;
b)
với x = 98
3
a + ax + x 2
x3 4 x
1
1
x3 + 3x
x 4 2 x3

c) 3
với
x
=
;
d)

với x = ;
5
2
3
2
2
3x + x
2x x
2
7
1
1
10ab 5a
a +1
e)
với a = , b = ;
f) 15
với a = 0,1;
2
6
7
16b 8ab
a + a8
2x 4 y
x2 9 y2
g)
với x + 2y = 5;
h)
với 3x - 9y = 1.
0, 2 x 2 0,8 y 2

1,5 x + 4,5 y
a b
Bài 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P =
.
a+b
Bài 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
2ax 2 x 3 y + 3ay
x2 y 2
a)
;
b)
;
4ax + 6 x + 6 y + 6ay
( x + y )(ay ax)
Bài tập nâng cao.
Bài 7. Rút gọn các biểu thức.

18


m4 m
ab 2 + a 3 a 2b
;
b)
;
2m 2 + 2m + 2
a 3b + b 4
xy + 1 x y
ax + ay bx by
c)

;
d)
;
y + z 1 yz
ax ay bx + by
a 2 + b 2 c 2 + 2ab
a 2 b2
e) 2 2 2
;
f) 2
;
a b + c + 2ac
a a b b2
a 3 (b 2 c 2 ) + b3 (c 2 a 2 ) + c 3 (a 2 b 2 )
a3 + 1
g)
;
h)
;
a 2 (b c) + b 2 (c a ) + c 2 ( a b)
2a 2 + 4a + 2
x 2 ( a + b) x + ab
x 2 + a 2 b 2 2bc + 2ax c 2
i) 2
;
j) 2
;
x (a b) x ab
x + b 2 a 2 + 2bx 2ac c 2
x x2

3x3 2 x 2 + 4 x 5
k)
;
l) 2
.
2
6 x + 3x 9
x 5x + 6
a 2 x b2 x
1 (2a + 3b) 2
n) x
;
m)
;
a + bx
2a + 3b + 1
33 x 33 y
24 m 24 n
o) x
;
ơ)
;
3 + 3y
22 n + 22 m
a 2 (b c ) + b 2 (c a) + c 2 (a b)
2 x 3 7 x 2 12 x + 45
p)
;
q)
;

ab 2 ac 2 b3 + bc 2
3 x3 19 x 2 + 33x 9
x 3 y 3 + z 3 + 3 xyz
x 3 + y 3 + z 3 3 xyz
u)
;
)
.
( x + y ) 2 + ( y + z ) 2 + ( z x) 2
( x y ) 2 + ( y z ) 2 + ( z x) 2
Bài 8. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0.
x 4 + x3 + x + 1
x4 5x 2 + 4
a) 4
;
b)
.
x x3 + 2 x 2 x + 1
x 4 10 x 2 + 9
Bài 9. Viết gọn biểu thức sau dới dạng một phân thức.
A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau
x2 + y 2 + z 2
Bài 10. Rút gọn
biết rằng x + y + z = 0.
( y z ) 2 + ( z x) 2 + ( x y ) 2
3x 2 y
Bài 11. Tính giá trị của phân thức A =
, biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x <0.
3x + 2 y

HD
9 x 2 + 4 y 2 12 xy 20 xy 12 xy 8 xy 1
=
=
=
Ta có A2 =
9 x 2 + 4 y 2 + 12 xy 20 xy + 12 xy 32 xy 4
1
Do 2y < 3x < 0 3 x 2 y > 0,3x + 2 y < 0 A < 0 . vậy A = .
2
4
4
4
4
(1 + 4)(5 + 4)(9 + 4)...(21 + 4)
Bài 12. Rút gọn biểu thức: P = 4
.
(3 + 4)(7 4 + 4)(114 + 4)...(234 + 4)
HD
Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
(1.1 + 2)(1.3 + 2) (3.5 + 2)(5.7 + 2)
(19.21 + 2)(21.23 + 2)
1.1 + 2
1
ì
ì.... ì
=
=
Do đó P =
(1.3 + 2)(3.5 + 2) (5.7 + 2)(7.9 + 2)

(21.23 + 2)(23.25 + 2) 23.25 + 2 577
1
Bài 13. Cho phân số A =
(mẫu có 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ số thập phân.
1, 00...01
HD
10100
Ta có A = 100
. Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta đợc:
10 + 1
a)

19


100 }
100
}
10 (10 1) 99...9 00...0
A=
=
= 0,99...9
{ 00...0
{
10200 1
99...9
100
100
{
100

100

200

(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số).
(a 2 + b 2 + c 2 )(a + b + c ) 2 + (ab + bc + ca ) 2
Bài 14. Cho phân thức: M =
(a + b + c) 2 (ab + bc + ca)
a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M.
HD:
a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.
Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
a+b=b+c=c+a
a = b = c.
vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0,
tức là a2 + b2 c2 0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do đó dặt a2 + b2 + c2 = x;
ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y.
x( x + 2 y ) + y 2 x 2 + 2 xy + y 2 ( x + y ) 2
=
=
= x + y = a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca
Ta có M =
x + 2y y
x+ y
x+ y

(Điều kiện là a2 + b2 c2 0)
IV) Quy đồng mẫu thức.
1) Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức:
- Phân tích các mẫu thành nhâ tử (nếu cần).
- Lập tích các nhân tử bằng số và chữ:
+) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu.
+) Nhân tử bằng chữ là luỹ thừa với số mũ lớn nhất.
2) Bài tập áp dụng
Các bài tập cơ bản và nâng cao.
Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
25
14
11
3
,
,
a)
b)
;
2
5 ;
4
14 x y 21xy
102 x y 34 xy 3
3x + 1 y 2
1
x +1 x 1
, 2 3;
, 2 4,
c)

d)
;
4
3 2
12 xy 9 x y
6 x y 9 x y 4 xy 3
3 + 2x
5
2
4x 4
x3
, 2 2,
,
;
e)
f)
4
5 ;
10 x y 8 x y 3 xy
2 x( x + 3) 3 x( x + 1)
2x
x2
5
3
,
,
g)
h) 3
.
3

2 ;
( x + 2) 2 x( x + 2)
3 x 12 x (2 x + 4)( x + 3)
Bài 2. Quy đông mẫu thức các phân thức sau.
7 x 1 5 3x
x +1
x+2
, 2
,
a)
;
b)
;
2
2
2x + 6x x 9
x x 2 4x + 2x2
7
4
x y
4 x 2 3x + 5
2x
6
,
, 2
c)
;
d)
;
, 2

,
3
5x x 2 y 8 y 2x2
x 1
x + x +1 x 1
x
x +1
x 1
5x2
4x
3
,
,
e) 3
;
f)
;
,
,
3
2
2
x 1 x x x + x + 1
x + 6 x 2 + 12 x + 8 x 2 + 4 x + 4 2 x + 4
ax
a+x
ad
a+d
, 2
, 2

g)
h) 2
;
2
2
2 ;
6 x ax 2a 3 x + 4ax 4a
a + ab + ad + bd a + ab ad bd
x
y
z
, 2
, 2
i) 2
;
2
2
2
2
x 2 xy + y z x y + 2 yz z x 2 xz y 2 + z 2

20


1
3
2
x
x2 y 2
,

,
,
,x+ y ;
j) 3
;
k)
x + 1 2 x + 2 x2 x + 1
x y x 2 2 xy + y 2
x2
2x +1
x +1
l)
.
, 2
, 2
2
6 x 7 x 3 2 x 7 x + 6 3x 5x 2
Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức:
a+ x b+ x ba
2x +1
x + 2a
, 2 2,
, 2
a)
b) 2
;
3
2 ;
2
axb a xb axb

x 4ax + 4a x 2ax
a+x
ax
a+b
a c
, 2
, 2
c)
d) 2
;
2
2
2 ;
6 x ax 2a 3 x + 4ax 4a
a bc + ac ab a bc + ac b 2
x
x+2
x 1
x+2
x
2x +1
, 2
, 2
,
,
e) 3
;
f) 2
.
2

x 27 x 6 x + 9 x + 3x + 9
x 3x + 2 2 x + 5 x 3 2 x 2 + 7 x 6
Bài 4. Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện).
x 1 x +1
1
2x 1
ax
2x2 1
,
,
a)
;
b)
;
,
,
2 x + 2 2x 2 1 x2
x + a x 2 + ax a 2 x 3 + a 3
24
4x
18
x +1
x
2x 1
,
, 2
, 4
, 7
c)
;

d)
;
3
2
2
4
2
4x x x 2x 2x + x
2 x x x + 2 x + 4 x 8x
2x
y
4 xy
,
, 2
e) 2
.
2
2
2
x 3xy + 2 y 3 x + 4 xy y 3x 7 xy + 2 y 2
Bài 5. Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau.
x2 5x + 6 2 x2 7 x + 5
x3 2 x 2 x + 2
x3 5 x + 4
a)
;
b)
;
,
,

x2 4
x2 + 4x 3
x3 + x 2 4 x 4 x3 + 2 x 2 3x 4
x 3 2 x 2 + 5 x + 26 x3 + 4 x 2 + 10 x + 12
c) 3
;
,
x 5 x 2 + 17 x 13 x 3 x 2 + 2 x + 16
x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx
x 3 + y 3 + z 3 3xyz
,
d)
.
x 2 y 2 z 2 2 yz
( x y )2 + ( y z )2 + ( z x) 2
x
x+2
, 2
Bài 6. Cho biểu thức B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 và hai phân thức
2
2 x + 7 x 15 x + 3 x 10
a) Chia đa thức B lần lợt cho các mẫu của hai phân thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho.
1
2
, 2
Bài 7. Cho hai phân thức: 2
. Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức
x 4x 5 x 2x 3
x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu

thức.
V) Phép cộng các phân thức đai số.
1) Cộng hai phân thức cùng mẫu: Cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu
2) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau:
- Quy đồng mẫu thức các phân thức.
- Cộng hai phân thức cùng mẫu (sau khi đã quy đồng).
3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cộng các phân thức cùng mẫu thức:
1 2x 3 + 2 y 2x 4
x2 2
2 x
+
+
+
a)
;
b)
;
3
3
3
2
6x y 6x y
6x y
x( x 1)
x( x 1) 2
3x + 1
x2 6 x
x 2 + 38 x + 4 3 x 2 4 x 2
c) 2

;
d)
.
+ 2
+
x 3x + 1 x 3 x + 1
2 x 2 + 17 x + 1 2 x 2 + 17 x + 1
Bài 2. Cộng các phân thức khác mẫu thức:
5
7
11
4x + 2 5 y 3 x +1
+
+
+
+
a)
;
b)
;
2
2
6 x y 12 xy 18 xy
15 x 3 y 9 x 2 y 5 xy 3
3 3x 3
3x 2
x3 + 2 x
2x
1
+

+
c)
;
d)
;
+ 2
+
2
3
2x 2x 1 2x 4x
x +1 x x +1 x +1

21


y
4x
1
3
x 14
+ 2
+ 2
+ 2
;
f)
;
2 x xy y 2 xy
x + 2 x 4 ( x + 4 x + 4)( x 2)
1
1

1
1
1
+
+
+
g)
;
h)
;
x + 2 ( x + 2)(4 x + 7)
x + 3 ( x + 3)( x + 2) ( x + 2)(4 x + 7)
Bài 3. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng.
4
2
5x 6
1 3x 3x 2
3x 2
+
+
+
+
a)
b)
;
2 ;
x+2 x2 4 x
2x
2x 1 2x 4x2
1

1
x
x2 + 2
2
1
+
+
c) 2
;
d)
;
+ 2
+
2
2
3
x + 6x + 9 6x x 9 x 9
x 1 x + x + 1 1 x
x
x
4 xy
+
+ 2
e)
.
x 2 y x + 2 y 4 y x2
Bài 4. Cộng các phân thức:
1
1
1

+
+
a)
;
( x y )( y z ) ( y z )( z x) ( z x)( x y )
4
3
3
+
+
b)
;
( y x )( z x) ( y x)( y z ) ( y z )( x z )
1
1
1
+
+
c)
;
x( x y )( x z ) y ( y x )( y z ) z ( z x)( z y )
4
3
3
+
+
d)
;
(a x)(c x) (a x)(a c) (a c)( x c )
1

1
1
+
+
e)
.
a (a b)(a c ) b(b a )(b c) c(c a )(c b)
Bài 5. Làm tính cộng các phân thức.
11x + 13 15 x + 17
2x +1
32 x 2
1 2x
+
a)
;
b)
;
+
+ 2
2
2
3x 3
4 4x
2x x 1 4x
2x + x
1
1
2x
x4
+

+
c) 2
d)
+ x3 + x 2 + x + 1 ;
2
3 ;
x + x +1 x x 1 x
1 x
5
3
x
x +1
2x + 3
+
+ 3;
+
e)
f)
;
2
2
2 x y 5 xy
y
2 x + 6 x ( x + 3)
3x + 5
25 x
x4 + 1
+
g) 2
;

h) x 2 +
+1;
x 5 x 25 5 x
1 x2
4 x 2 3 x + 17
2x 1
6
i)
;
+ 2
+
3
x 1
x + x +1 1 x
Bài 6. Cho hai biểu thức:
1
1
x 5
3
+
A= +
,
B=
x x + 5 x( x + 5)
x+5
Chứng tỏ rằng A = B.
Bài 7. Tính giá trị của biểu thức :
2x
1
1

+ 2
+ 2
a) A =
với x = 10;
3
1 x
x x x + x +1
x4
b) B =
+ x 3 + x 2 + x + 2 với x = -99
1 x
Các bài tập nâng cao
a
b
x2 + 5
+
Bài 8. Tìm các số a và b sao cho phân thức 3
viết đợc thành
x 2 ( x + 1) 2
x 3x 2
HD: Dùng một trong hai phơng pháp (hệ số bất định hoặc xét giá trị riêng) để tìm a và b sau khi
quy đồng.
Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
e)

2

22

x y yz zx
y
z
x
+
+
+
+
;
b)
.
xy
yz
zx
( x y )( y z ) ( y z )( z x) ( z x)( x y )
Bài 10. Cộng các phân thức :
1
1
1
+
+
.
2
2
2
2
2
(b c)(a + ac b bc) (c a )(b + ab c ac) (a b)(c + bc a 2 ab)
(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc 1980)
Bài 11. Rút gọn biểu thức :

1
1
2
4
8
+
+
+
+
A=
.
2
4
1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8
Bài 12. Tìm các số A, B, C để có :
x2 x + 2
A
B
C
=
+
+
.
3
3
2
( x 1)
( x a ) ( x 1)
x 1
Bài 13. Chứng minh hằng đẳng thức :

a 2 + 3ab 2a 2 5ab 3b 2
a 2 + an + ab + bn
.
+
=
a 2 9b 2 6ab a 2 9b 2 3bn a 2 an + 3ab
VI) Phép trừ các phân thức đại số.
1) Phân thức đối:
- Hai phân thức đợc gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
A A
A A
= .
- Công thức: =
và
B
B
B
B
2) Phép trừ:
A
C
A
C
- Quy tắc: Muốn trừ phân thức
cho phân thức
, ta cộng
với phân thức đối của
B
D
B

D
A C A C
= +
- Công thức:
B D B D
3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Làm tính trừ các phân thức:
3x 2 7 x 4
3 x + 5 5 15 x

a)
;
b) 3
;
2 xy
2 xy
4x y
4 x3 y
9x + 5
5x 7
4 x + 7 3x + 6


c)
;
d)
;
2
2( x 1)( x + 3) 2( x 1)( x + 3) 2
2x + 2 2x + 2

xy
x2
5x + y 2 5 y x2


e) 2
;
f)
;
x y2 y2 x2
x2 y
xy 2
x
x
x+9
3

2
g)
;
h) 2
;
5 x + 5 10 x 10
x 9 x + 3x
3
x6
x 4 3x 2 + 2
2
i)
;

j) x 2 + 1
;
2x + 6 2x + 6x
x2 1
3x + 1
1
x+3
x + 1 1 x 2 x(1 x)

+


k)
;
l)
;
2
2
( x 1)
x + 1 1 x2
x 3 x +3
9 x
3x + 2
6
3x 2
5
4 3x 2
2
2
n)

m) 2
.

3;
2
2
x 2x +1 x 1 x + 2x +1
2x + 6x x 9
Bài 2. Theo định nghĩa của phép trừ, khi viết
A C E A C E
= +
+
.
B D F B D
F
áp dụng điều này để làm các phép tính sau:
18
3
x
1
1
3x 6
2
2


a)
b)
.
2

2 ;
( x 3)( x 9) x 6 x + 9 x 9
3 x 2 3x + 2 4 9 x
Bài 3. rút gọn các biểu thức :
a)

23


3x 2 + 5x + 1
1 x
3
1
x2 + 2
;
b)
;


+
1

x3 1
x2 + x + 1 x 1
x2 x + 1
x3 + 1
7
x
36
+ 2

c)
.
x x + 6 x + 6x
Bài 4. Thực hiện phép tính:
1
2
3
+

a)
;
( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 1)
1
1
1
+

b) A =
.
a (a b)(a c) b(b a)(b c) (a c)(c b)
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức:
1
x2 + 2
a) A = 2
với x = 99;
+1 3
x x +1
x +1
2x +1 1 2x
2

1
+

b) B =
.
2 với x =
4x 2 4x + 2 1 4x
4
Các bài toán nâng cao
Bài 6. Rút gọn các biểu thức :
a
a
a
1
+
+
+
a) A =
;
x( x + a ) ( x + a)( x + 2a) ( x + 2a )( x + 3a ) x + 3a
1
1
1
1
+
+
+ ... +
b) B =
;
2.5 5.8 8.11

(3n + 2)(3n + 5)
3
3
3
3
+
+
+ ... +
HD: Thực hiện nhân hai vế với 3 ta đợc 3.B =
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)
3
1
1
=

Từ đó ta có
(3n + 2)(3n + 5) 3n + 2 3n + 5
3
1 1
=
Xét từng số hạng cụ thể :
2.5 2 5
3 1 1
=
5.8 5 8
..
3
1
1

=

(3n + 2)(3n + 5) 3n + 2 3n + 5
3
3
3
3
1
1
3n + 5 2 3(n + 1)
+
+
+ ... +
=
=
=
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5) 2 3n + 5 2(3n + 5) 2(3n + 5)
3(n + 1)
n +1
B=
Hay 3.B =
2(3n + 5)
2(3n + 5)
1
1
1
1
+
+

+ ... +
c) C =
.
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
HD : Thực hiện nh phần trên
Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z.
x+z
x+ y
y+z


.
( x y )( y z ) ( x z )( y z ) ( x y )( x z )
Bài 8. Thực hiện phép tính :
1
1
1
+
+
a) A =
;
(a b)(a c ) (b a )(b c) (c a)(c b)
1
1
1
+
+
b) B =
;

a (a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a )(c b)
a)

24


bc
ac
ab
+
+
;
(a b)(a c) (b a )(b c ) (c a )(c b)
a2
b2
c2
+
+
d) D =
;
(a b)( a c ) (b a )(b c) (c a)(c b)
Bài 9. Xác định các số hữu tỷ a, b, c sao cho:
1
ax + b
c
= 2
+
a) 2
;
( x + 1)( x 1) x + 1 x 1

1
1
1
Đáp số: Dùng phơng pháp đồng nhất ta đợc a = , c = , b = .
2
2
2
1
a
b
c
1
1
= +
+
b)
;
(ĐS : a = ; b = 1; c = )
x( x + 1)( x + 2) x x + 1 x + 2
2
2
1
a
b
c
=
+
+
c)
. (ĐS: a = -1; b = 1; c = 1)

2
2
( x + 1) ( x + 2) x + 1 ( x + 1)
x+2
Bài 10. Cho abc = 1
(1)
1 1 1
a+b+c = + +
(2)
a b c
Chứng minh trong 3 số a, b, c tồn tại một số bằng 1.
HD
bc + ac + ab
Từ (2) : a + b + c =
abc
Do abc = 1 nên a + b + c = ab + bc + ca
(3)
Để chứng minh trong 3 số a, b, c có một số bằng 1 ta chúng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
Xét (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)
= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)
Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c - 1 bằng 0, do đó tồn
tại một trong ba số a, b, c bằng 1.
x
2x 3y
+
Bài 11. Cho 3y - x = 6. Tính giá trị của biểu thức : A =
.
y2
x6
3 y 6 2 x ( x + 6)

+
= 3 +1 = 4 .
HD : A =
y2
x6
x2 y 2 z 2 x2 + y 2 + z 2
Bài 12. Tìm x, y, z biết :
.
+
+ =
2
3
4
5
HD:
2
x2 x2 y 2 y 2 z 2 z 2
x
y 2 z 2 x2 + y 2 + z 2
Từ
suy ra : ữ+ ữ+ ữ = 0
+
+ =
5 4 5
2
3
4
5
2 5 3
3

2
1 2
x2 + y 2 +
z = 0 x = y = z = 0.
10
15
20
1
1
2
2
Bài 13. Tìm x, y biết: x + y + 2 + 2 = 4 .
x
y
HD
c) C =

2

2


1
1
1
1
1
1

Ta có x 2 + 2 ữ+ y 2 + 2 ữ = 4 x 2 + 2 2 ữ+ y 2 + 2 2 ữ = 0 x ữ + y ữ = 0
x
y
x
y
x
y





1

2
x = x
x = 1

2
y = 1
y = 1
y

Có bốn đáp số nh sau:

25