phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC OXY

1. Kiến thức cơ bản:
2. Một số bài toán cơ bản
3. Các hướng tư duy tìm điểm

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Điểm

Trực tâm: Giao của ba đường cao
Trọng tâm: Giao của ba đường trung tuyến
Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao của ba đường trung trực
Tâm đường tròn nội tiếp: Giao của ba đường phân giác
Hệ số góc k : y = k ( x - x0 ) + y0
r
VTPT n = ( a;b) : a ( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0
Đi qua M ( x0;y0 ) và có

Đường thẳng

Oxy

Đường tròn

CT:

x - x0

=

y - y0

a
b
ìï x = x + at
0
ï
TS: í
ïï y = y0 + bt
î

r
VTCP u = ( a;b)

ìï A ( a;0) Î Ox
x y
ï
® PT : + = 1 (PT theo đoạn chắn)
Đi qua í
ïï B ( 0;b) Î Oy
a b
ïî
ìï T am : I ( x ;y )
2
2
ï
0 0
® ( x - x0 ) + ( y - y0 ) = R 2
í
ïï BK : R

ïî
2
2
x + y + 2ax + 2by + c = 0 . Tâm I ( - a;- b) và bán kính R = a2 + b2 - c
Trục lớn: A1A2 = 2a
Trục bé: B1B2 = 2b

Độ dài

(

)

2
2
2
Tiêu cự: F1F2 = 2c a = b + c ;a,b,c > 0

Elip:

x2 y2
+ =1
a2 b2

c
<1
a
ìï x = ±a ïì DT : S = 4ab
ï
® íï

Hình chữ nhật cơ sở giới hạn: í
ïï y = ±b
ïï CV : P = 4( a + b)
î
ïî
ìï
ïï MF = a + c x
1
x02 y02
a 0
M ( x0;y0 ) Î ( E ) ® 2 + 2 = 1;MF1 + MF2 = 2a;ïí
ïï
c
a
b
ïï MF2 = a - x0
a
ïî
Tâm sai: e =

B. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trang 1


Khoảng cách

Oxy

Góc

Diện tích

ìï A ( x ;y )
uuur
2
2
ï
1 1
® AB = ( x2 - x1;y2 - y1) ® AB = ( x2 - x1) + ( y2 - y1)
í
ïï B ( x2;y2 )
ïî
ìï M ( x ;y )
ax0 + by0 + c
0 0
ïí
® d ( M ;D ) =
ïï D : ax + by + c = 0
a2 + b2
ïî
r r
ïìï D 1 : a1x + by
n
.n
a1a2 + bb
+
c
=
0
1 2

1 2
1
1
® cos( D 1; D 2 ) = r r =
í
ïï D 2 : a2x + by
+ c2 = 0
n1 . n2
2
a12 + a22 . b12 + b22
î
r r
r r
D 1 ^ D 2 ® n1.n2 = u1.u2 = 0; k1.k2 = - 1
1
1
abc
S = a.ha = bc sina =
= pr = p( p - a) ( p - b) ( p - c)
2
2
4R
a +b +c
Với p =
: nửa chu vi của tam giác
2

C. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
Đường phân
giác

Vị trí hai điểm
đối với một
đường thẳng

Oxy

Phân giác
trong của góc
A của
D ABC

éA x + B y +C = 0
ïìï D1 : a1x + by
+ c1 a2x + by
+ c2
+ c1 = 0 a1x + by
1
2
1
1
1
1
®
=
®ê
í
ê
ïï D 2 : a2x + by
+ c2 = 0

2
a12 + b12
a22 + b22
êA2x + B2y + C 2 = 0
î
ë
ïìï M 1 ( x1;y1) ;M 2 ( x2;y2 )
;( ax1 + by1 + c) ( ax2 + by2 + c) = h
í
ïï D : ax + by + c = 0
ïî
● Nếu h > 0 thì M 1; M 2 cùng phía với D
● Nếu h < 0 thì M 1; M 2 khác phía với D
● Nếu h = 0 thì M 1 Î D hoặc M 2 Î D
éA x + B y + C = 0 ( D )
ìï AB : a x + by + c = 0
1
1
1
1
1
1
1
ï
®ê
Cách 1: Lập: í
ê
ïï AC : a2x + by
+ c2 = 0 êA2x + B2y +C 2 = 0 ( D 2 )
2

î
ë
● Nếu B ;C cùng phía với D 1 thì D 2 là phân giác trong của góc A

● Nếu B ;C khác phía với D 1 thì D 1 là phân giác trong của góc A
Cách 2: M (x;y) là chân đường phân giác trong của góc A .
ìï f ( x) = 0
uuur
uuur
MB
AB
ï
=
= k ® MB = - k.MC ® í
® M ® PT ( AM )
Ta có:
ïï g( y) = 0
MC
AC
ïî
Cách 1: H ( x;y) là hình chiếu của M lên D . Ta có:
uuuu
rr
ìï
Xác định điểm
ïï MH .uD = 0 ìïï f ( x;y) = 0
®í
® H ® M ' (H là TĐ của MM ' )
í
M ' đối xứng

ïï H Î D
ïï ax + by + c = 0
ïî
ïî
với M qua
D : ax + by + c = 0
ìï D ' ' M
ï
Cách 2: Lập: í
. Gọi H = D Ç D ' ® H ® M '
ïï D ' ^ D
î

D. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM

Trang 2


Tỡm
im
M

Hng
1

M =V1ầV2

Hng
2

M ( t)

Cho V1 (hoc c V2 )
im ó cho v VTPT (VTCP)
Vit PT V1
da vo //,
(hoc c V2 )
im v im
Cho D
//, ,
M ẻ D
Vit PT D
nh
Tớnh i xng, trung im, trng tõm...
lng
Nu I c nh v MI = h đ M = D ầ (C )

đM
f ( t) = 0 đ t = ?
đM

( ( C ) l ng trũn tõm I , BK R = h )

Hng
3

M ẻ D

Hng
4

ộM ẻ ( C )
ờ
ờM ẻ E
( )
ờ
ở

Hng
5

M ẻ D

Nu F1;F2 c nh, MF1 + MF2 = 2a , F1F2 = 2c
ổ
ử
x2 y2
ữ
đ M = D ầ ( E )ỗ
E
:
ỗ
(ỗỗ ) a2 + b2 = 1ữ
ữ
ữ
ố
ứ

đM

Gi M ( x0;y0 )

(

)

ỡù f x ;y = 0 M ẻ C ;M ẻ E
)
( )
( ) đ ùỡù x0 =
ù (
đ ùớ 1 0 0
ớ
ùù f ( x ;y ) = 0(GT )
ùù y0 =
2
0
0
ợ
ùợ
A, B : D MAB vuụng, cõn...
uuur
uuur
A, B : MA = kMB ...

đM

đM

E. PHNG PHP GII HèNH HC OXY

Chun b: Cỏc kin thc hỡnh hc phng, dng c v hỡnh.
Bc 1: V hỡnh chớnh xỏc (cú th v nhiu hỡnh)
Bc 2: Phõn tớch cỏc im trờn hỡnh v, ta thc hin cỏc cụng vic sau:
1) Liờn h im ó bit ta (hoc tỡm c ngay ta ), vi cỏc ng trong hỡnh ó cho ( tam giỏc,
t giỏc), cỏc tớnh cht ca hỡnh ó cho, cỏc im khỏc thụng qua cụng thc trung im, cụng thc trng
tõm, tớnh cht i xng,..., cỏc im khỏc thụng qua ng thc vộc t, khong cỏch,
(Chỳ ý: Nu khụng tỡm c mi liờn h thỡ phi chỳ ý n yu t khụng i tỡm ra li gii)
2) Sp xp cỏc im theo th t t nhiu GT n ớt GT nht.
Bc 3: Tỡm ta cỏc im v tr li cõu hi.

F. BI TP
Bi 1.

(THPT QG 2015) Trong mt phng ta Oxy , cho tam giỏc ABC vuụng ti A . Gi H l

hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn cnh BC ; D l im i xng ca B qua H ; K l hỡnh chiu vuụng
gúc ca C trờn ng thng AD . Gi s H ( - 5;- 5) , K ( 9;- 3) v trung im ca cnh AC thuc
ng thng x - y + 10 = 0 . Tỡm ta im A .
Bi 2.

(DB THPTQG 2015) Trong mt phng ta Oxy , cho tam giỏc ABC khụng cõn ni tip

ng trũn tõm I . Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn BC , K l hỡnh chiu vuụng gúc ca B

Trang 3


trên AI . Giả sử A ( 2;5) , I ( 1;2) , điểm B thuộc đường thẳng 3x + y + 5 = 0, đường thẳng HK có
phương trình x - 2y = 0 . Tìm tọa độ các điểm B,C .
Bài 3.

( MH – THPTQG – 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B

thuộc đường thẳng D : 4x + 3y - 12 = 0 và điểm K (6;6) là tâm đường tròn bàng tiếp góc O . Gọi C là
điểm nằm trên D sao cho AC = AO và các điểm C , B nằm khác phía nhau so với điểm A . Biết điểm
C có hoành độ bằng
Bài 4.

24
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B .
5

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm trên đường thẳng có phương trình

x + y - 3 = 0 , điểm M ( - 1;2) thuộc đường thẳng AB , điểm N ( 2;- 2) thuộc đường thẳng AD . Tìm tọa
độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương.
Bài 5.

2

2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y - 1) =

25
nội tiếp hình vuông
2

ABCD , đường chéo AC song song với đường thẳng 4x - 3y + 2015 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông, biết đỉnh A, B đều có hoành độ dương.

Bài 6.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D và có diện tích bằng 15,

·
đường thẳng AD và BD lần lượt có phương trình 3x - y = 0 và x - 2y = 0 , BCD
= 450 . Viết
phương trình đường thẳng BC biết điểm B có tung độ dương.
Bài 7.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn tâm I ( 1;2) ngoại tiếp tam giác ABC , trực tâm H

của tam giác ABC nằm trên đường thẳng D : x - 4y - 5 = 0 , đường thẳng AB có phương trình
2x + y - 14 = 0 , khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 3 5 . Tìm tọa độ điểm C , biết điểm
C có hoành độ nhỏ hơn 2.
Bài 8.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , M nằm trên đoạn CB

sao cho

CM = 2BM , D ( 1;- 3) . Gọi N là điểm sao cho D là trung điểm của CN , đường thẳng MN có
phương trình 4x - 3y - 3 = 0, điểm A nằm trên đường thẳng D : 3x - y + 9 = 0. Tìm tọa các điểm
A, B,C .
Bài 9.

Trong mặt phẳng Oxy , cho D ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC , G là trọng

æ
5 1ö

÷
;- ÷
ç
tâm của D ABM , D ç
thuộc đoạn MC sao cho GA = GD . Tìm tọa độ các điểm A, B,C , biết
÷
ç
÷
è3 3ø
điểm A có hoành độ không dương và AG : y + 2 = 0.

Trang 4


Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có B ( 0;4) . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC ,CD , đường thẳng AM đi qua điểm E ( 5;3) . Tìm tọa độ các đỉnh A,C , D , biết
điểm N có tung độ âm và nằm trên đường thẳng d : x - 2y - 6 = 0 .
Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại B và C , AB = BC = 2CD . Gọi
æ
4 8ö
÷
; ÷
ç
là giao điểm của BD và AM . Tìm tọa độ các đỉnh của
M là trung điểm của cạnh BC , điểm H ç
÷
ç
÷
è5 5ø
hình thang ABCD , biết phương trình cạnh AB là x - y + 4 = 0 và điểm A có hoành độ âm.

Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD với BC = 2AB . Gọi E ( 1;1) là điểm
trên cạnh BC sao cho BE =

æ
4 8ö
1
÷
; ÷
ç
là giao điểm của BD và AE . Tìm tọa độ các
BC và điểm H ç
÷
ç
÷
5
5ø
è
4

đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết điểm B thuộc đường thẳng d : x + 2y - 6 = 0 .
Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , đường chéo AC có phương trình
3x + y - 13 = 0 , điểm B thuộc trục tung. Trên các tia đối của tia CB và DC lấy các điểm M và N
æ
15 11ö
÷
; ÷
ç
sao cho BM = DN . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết K ç
là trung điểm của
÷

ç
÷
è2 2 ø
MN .
Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , các điểm M ( - 1;1) , N ( - 1;- 7) lần
lượt thuộc các cạnh AB và tia đối của CA sao cho BM = CN . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC ,
biết rằng BC đi qua điểm E ( - 3;- 1) và điểm B thuộc đường thẳng d : x + 4 = 0.
Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , AC và BD cắt nhau tại I . Kẻ
AH , BK lần lượt vuông góc với BD, AC . Biết AH , BK cắt nhau tại E . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
æ 3 4ö
÷
- ; ÷
ç
chữ nhật, biết BK , IE lần lượt có phương trình là 3x - y + 5 = 0;x + y + 1 = 0 và H ç
.
÷
ç
÷
è 5 5ø
Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , đường chéo BD có phương trình là
uuur
uuu
r
2x - 3y + 4 = 0 . Điểm G thuộc BD sao cho DG = 4GB . Gọi M là điểm đối xứng với A qua G .
Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC ,CD lần lượt là E ( 10;6) , F ( 13;4) . Tìm tọa độ các điểm
của hình chữ nhật ABCD .
Bài 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , gọi E và F ( - 1;2) lần lượt là trung điểm
của AB và AD , gọi K là điểm thuộc cạnh CD sao cho CD = 4K C . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
vuông ABCD , biết điểm K có tung độ lớn hơn 3 và phương trình K E là 5x + 3y - 21 = 0 .
Bài 18. (HSG 2014 – 2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi E là điểm

trên đoạn CB sao cho CE = 3EB , đường thẳng DE có phương trình 3x + 4y - 16 = 0 và điểm
Trang 5


M ( 2;4) là trung điểm của DC . Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C , D của hình vuông , biết đường thẳng DC
có hệ số góc nguyên.
Bài 19. (HSG 2013 – 2014) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có
A(5, - 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x - y + 4 = 0 . Đường thẳng đi qua D và
trung điểm của đoạn AB có phương trình: 3x - 4y - 23 = 0 . Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có
hoành độ dương.
Bài 20. (HSG 2012 – 2013) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm
æ
1 ö
÷
Iç
;0÷
ç
÷ . Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD . Tìm toạ độ các
ç
è2 ø
đỉnh A, B, C , D , biết đỉnh A có hoành độ âm.
Bài 21. (ĐH A2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung
điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC . Viết phương trình đường thẳng
CD biết rằng M ( 1;2) và N ( 2;- 1) .
Bài 22. (ĐH B2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD . Điểm M ( - 3;0)
4
là trung điểm của cạnh AB , điểm H ( 0;- 1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm G ( ;3)
3
là trọng tâm của tam giác BCD . Tìm tọa độ các điểm B và D .
Bài 23. (ĐH D2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường phân giác

trong của góc A là điểm D ( 1;- 1) . Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – 9 = 0 , tiếp tuyến tại
A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường
thẳng BC .
Bài 24. (ĐH A2013−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C
thuộc đường thẳng d : 2x + y + 5 = 0 và A(- 4;8) . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình
chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD . Tìm tọa độ các điểm B và C , biết rằng N

( 5;- 4) .

Bài 25. (ĐH A2013−NC) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng D :x - y = 0. Đường
tròn ( C ) có bán kính R = 10 cắt D tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 2 . Tiếp tuyến của ( C ) tại
A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy . Viết phương trình đường tròn ( C ) .

Trang 6


Bài 26. (ĐH B2013−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường
chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC . Đường thẳng BD có phương trình x + 2y – 6 = 0 và tam giác
ABD có trực tâm là H ( - 3 ; 2) . Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
Bài 27. (ĐH B2013−NC) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ
æ
17 1ö
÷
;- ÷
ç
từ A là H ç
, chân đường phân giác trong của góc A là D ( 5;3) và trung điểm của cạnh AB là
÷
ç
÷

5ø
è5
M ( 0;1) . Tìm tọa độ đỉnh C .
Bài 28. (ĐH D2013−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có điểm M (-

9 3
; ) là
2 2

trung điểm của cạnh AB , điểm H (- 2;4) và điểm I (- 1;1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm C .
Bài 29. (ĐH

D2013−NC) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) :

(x - 1)2 + (y - 1)2 = 4 và đường thẳng D : y - 3 = 0 . Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của
(C) , các đỉnh N và P thuộc D , đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P .
Bài 30. (ĐH A2012−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung
æ
11 1ö
÷
ç ; ÷
điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M ç
và đường thẳng AN có
÷
÷
ç
è 2 2ø
phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
Bài 31. (ĐH A2012−NC) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 8 . Viết

phương trình chính tắc elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo
thành bốn đỉnh của một hình vuông.
Bài 32. (ĐH B2012−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các đường tròn (C1) : x2 + y2 = 4 ,
(C2): x2 + y2 - 12x + 18 = 0 và đường thẳng d: x - y - 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm
thuộc (C2), tiếp xúc với d và cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
Bài 33. (ĐH B2012−NC) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và
đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x2 + y2 = 4. Viết phương trình chính tắc
của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox.

Trang 7


Bài 34. (ĐH D2012−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD . Các đường
thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0 ; đường thẳng BD đi qua
1
; 1) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
3

điểm M (-

Bài 35. (ĐH D2012−NC) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x – y + 3 = 0 . Viết
phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD
= 2.
Bài 36. (ĐH A2011−CB) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng D : x + y + 2 = 0 và đường
2
2
tròn ( C ) : x  +y  - 4x - 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB

đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
Bài 37. (ĐH A2011−NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip (E):

x2 y2
+ = 1 .Tìm tọa độ các
4
1

điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.
Bài 38. (ĐH B2011−CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng D : x - y - 4 = 0 và
d : 2x - y - 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng
∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
1
Bài 39. (ĐH B2011−NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B ( ;1) . Đường tròn
2
nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D(3; 1) và
đường thẳng EF có phương trình y - 3 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.
Bài 40. (ĐH D2011−CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B ( - 4;1) , trọng tâm
G ( 1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x - y - 1 = 0 . Tìm tọa độ các
đỉnh A và C.
D2011−NC) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A ( 1;0)

Bài 41. (ĐH

(C ) : x  +y  - 2x + 4y 2

2

và đường tròn

5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M và N sao cho tam

giác AMN vuông cân tại A.
Bài 42. (ĐH A2010−CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1:

3x + y = 0 và d2:

3x - y = 0. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác

Trang 8


ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng

3 và điểm A có
2

hoành độ dương.
Bài 43. (ĐH A2010−NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6),
đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y - 4 = 0 . Tìm tọa độ các
đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Bài 44. (ĐH B2010−CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4; 1),
phân giác trong góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích
tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Bài 45. (ĐH B2010−NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(2;

3 ) và elip (E):

x2 y2
+ = 1.
3
2

Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của (E) (F 1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường
thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F 2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ANF2.
Bài 46. (ĐH D2010−CB) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là
H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
Bài 47. (ĐH D2010−NC) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;2) và ∆ là đường thẳng đi qua O.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến
trục hoành bằng AH.
Bài 48. (ĐH A2009−CB) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2)
là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của
cạnh CD thuộc đường thẳng D : x + y - 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 49. (ĐH

A2009−NC) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C):

x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: x + my - 2m + 3 = 0 , với m là tham số thực. Gọi I là
tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB
lớn nhất.
Bài 50. (ĐH B2009−CB) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) : (x - 2)2 + y2 =

4
và
5

hai đường thẳng D 1 : x – y = 0, D 2 : x – 7y = 0 . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường
tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1, ∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C)
Bài 51. (ĐH B2009−NC) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng D : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện
tích tam giác ABC bằng 18.
Trang 9

Bài 52. (ĐH D2009−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung
điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là
7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.
2

Bài 53. (ĐH D2009−NC) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x – 1) + y2 = 1.
·
Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO
= 300 .
Bài 54. (ĐH A2008−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , hãy viết phương trình chính tắc của elip

(E) biết rằng (E) có tâm sai bằng

5 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
3

Bài 55. (ĐH B2008−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác
ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác
trong của góc A có phương trình x - y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y - 1 = 0 .
Bài 56. (ĐH A2007−CB) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và
C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết
phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
Bài 57. (ĐH B2007−CB) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A(2;2) và các đường thẳng:
d1 : x + y – 2 = 0,  d2 : x + y – 8 = 0.Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d 1 và d2 sao cho tam
giác ABC vuông cân tại A.
2

2

Bài 58. (ĐH D2007−CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x – 1) + ( y + 2) = 9 và
đường thẳng d : 3x – 4y + m = 0 . Tìm m để trên d duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai
tiếp tuyến PA, PB tới (C) ( A, B là các tiếp điểm ) sao cho tam giá PAB đều.
Bài 59. (ĐH A2006−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các đường thẳng: d1 : x + y + 3 = 0,
d2 : x – y – 4 = 0, d3 : x – 2y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d 3 sao cho khoảng cách từ
M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
Bài 60. (ĐH B2006−CB)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy , cho đường tròn (C):

x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(-3; 1). Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M
đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.
Bài 61. (ĐH D2006−CB) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxy , cho đường tròn (C):

x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x - y + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho
đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

Trang 10


Bài 62. (ĐH A2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng: d1: x - y = 0 và d2:
2x + y - 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d 1, C thuộc d2, và các
đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Bài 63. (ĐH B2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4). Viết phương
trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng

5.
x2 y2
Bài 64. (ĐH D2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm C(2; 0) và Elip (E):
+ = 1.
4
1
Tìm tọa độ các điểm A,B thuộc (E), biết rằng hai điểm A,B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác
ABC là tam giác đều.
Bài 65. (ĐH A2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(0; 2), B( − 3; −1 ). Tìm tọa độ
trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
Bài 66. (ĐH B2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C
thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
Bài 67. (ĐH D2004) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1; 0), B(4; 0),
C(0; m) với m ≠ 0 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB
vuông tại G.
0
·
Bài 68. (ĐH B2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có AB = AC , BAD
= 90 .

2 
Biết M(1; -1) là trung điểm cạnh BC và G  ; 0 ÷ là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh A, B,
3 

C.
Bài 69. (ĐH D2003) Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy , cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 và
đường thẳng d : x – y – 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua
đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
Bài 70. (ĐH A2002) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường
thẳng BC là

3x - y -

3 = 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng

2. tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
1 
Bài 71. (ĐH B2002) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm  ; 0 ÷, phương
2 

trình đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng A có
hoành độ âm.

Trang 11


x2 y2
Bài 72. (ĐH D2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip (E) có phương trình
+ = 1. xét
16 9
điểm M chuyển động trên Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc
với (E). Xác định M,N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Trang 12


Trang 13