Giáo trình xác xuất thống kê

.

.

DO NONG NGHIEP vA PIlAT TRIEN NONG THON
TRUONG CAO DANG CONG NGH-t: - KINH TE vA THiry LQl MIEN TRUNG
--------

--------~-----~

..

--~--------------------_._------------

~--_.-

DJ! an Khoa hQccong ngh~ nong nghi~p - Giai do~n 2010-2012
Ti~u hQcph An3.1
H~ng ml}c: Bien so~n Giao trinh h~ Cao ding
Ngimh Cong ngh~ Ky thu~t xay dl}'ng

GIAOTRINH

xAc

SUAT -THONG

KE

Bien so~n: P~M VANTIEN (Chii bien)
LE THJ KIM OANH

A

H{)iAn 11/2012



Xlic suAt - TheSng ke la miln hQCnghien CUu cacsP,r ki~n, cac d(li lugng ngiu nhien va
(mg d\lllg chung vao thP,rcut Nht'lng thanh tP,ru(ilia xac su&t deu c6 (mg d\lng trong hau hSt
cac Iinh VP,rC
kinh tS, IcY thu~t, qulin SP,r,nong nghi~p, lam nghi~p, ngu nghi~p, ... ho~c xli' Iy
cac kSt qua thl nghi~m bAng phuang phap theSng ke toan hQC, ho~c biSu di~n cac quy lu~t
ngl1u nhien bAng mo hlnh toan hQC. Do v~y, Xac suAt • theSng ke la mQt trong nht'lng mon .
hQC CI1ban duQC dua vao giang d(lY tAt ca cac tTuemg cao dAng, d(li hQC. Day la mQt
chuyen nganh cua toan hQCnen deSivai sinh vien cac nganh IcY thu~t, kinh tS b~c cao ding
mon hQC nay duQ'c cho la mon hQCkh6. Til nht'lng thP,rctS d6 va nht'lng kinh nghi~m qua
qua trinh giang d(lY, chung toi bien SO(lncueSn giao trlnh nay nhAnt giup cho sinh vien h~
cao dAng hQc teSthan. Giao trinh Xac sudt - theSng ke duQ'c bien SO(lnCM cli' vao chuang
trlnh hQCphan dil duQ'c phe duy~t g6m 6 chuang:
Chuang I: mAl 11CH T() HQP
Chuang II: BI~N C() NGA u NHI~N vA xAc SUAT
Chuang III: D~I UfQNG NGAU NHI~N V A pHAN PH()I xAc SUAT
Chuang IV: MAu NGAU NHI~N
Chuang V: VOC LUQNG THAM S()
Chuang VI: KI~M DlNH mA THI~T TH()NG Iffi
ChUng toi dil ceSgAng trinh bay nQi dung mon hQc nay mQt cach day du, $ ke, ngAn
gQn va d~ hieu. Nhieu khai ni~m duQC trinh bay C\l the kern theo cac vi d\l th\l'c tS de minh
hQa. CueSimal chuang deu c6 phdn bai t~p va huang din giai hay dap ses giup sinh vien c6
the tP,rluy~n ~p va kiem tra. De c6 the nAm vt'lng cac kian thilc duQ'c trinh bay trong giao
trlnh sinh vien phai hQCxong mon Toan d(li cuang cua b~c cao dAng.
M~c dil cac tac gia dil rAt ces gAng trong vi~c bien SO(lngiao trinh nhung chilc chAn

khong tranh duQ'c nht'lng khiam khuyat nhAt djnh. ChUng toi rAt mong nh~n duQ'c mQi y
kiSn d6ng g6p cua quy dQc gia.
Chung toi xin trlin trQng cam an Ban giam hi~u, cac dan vi chilc nMg cua tTuemg
Cao dAng Cong ngh~ - Kinh tS va Thuy lqi mien Trung, TS. Cao VM Nuoi tTuemg D(li hQc
Su ph(lm Da Nang dil c6 nhieu d6ng g6p de cueSngiao trinh sam duQ'c ra mAt b(ln dQC.

a

Cae tae gia


MVCLVC

LID N61 DAu
MVC LVC
ChU'01lgI.

:~
,
GW TicH T6 H<}p

. c~ng, quy tAc
. nhlln
1.1. Quy tlic
1.1.1.
Quy tlic e~ng
1.1.2.
Quy tlie nhlln
1.2. Hoan vi
1.3. Chinh h'lP

1.3.1.
Chinh h'lP khong itip
1.3.2.
Chinh h'lP ltip
1.4. Til h'lP
1.5. Phlln ho,eh
1.6. Cong thuc nhi thue Newton

Bid tip chU'01lgI
• DAN
• GIAI• - DAP
• S6
HuT"(1NG
Chuang II.
BIEN c6 NGAU NHIEN vA xAc SUA.T
2.1. Biin eli ngAu nhifn
2.1.1. Phep thli ngAu nhifn
2.1.2. Biin eli ngllu nhifn
2.1.3. Quan h, giil'a eae biin cli
2.2.4. Cae phep toan trfn biin cli
2.2. Cae djnh nghia xae suAt..
2.2.1. Binb ngbia eil dien eua xac suAt..
2.2.2. Binh ngbia xae suAt theo thling kL
2.2.3. Binh nghia xac suAt theo hlnh hQc
2.2.4. Binh ngbia xac suAt theo tifn d~
2.2.5. Y nghia cua xac suAt..
2.3. Cae tlnb chAt cua xac suit
2.4. Cae phep thli d~e ijp va IIlQ'CdA Bernoulli
2.5. Cong th.rc tlnh xae suAt
2.5.1. Cong th.rc e~ng DC suit...

2.5.2. Cong th.rc nhlln xae suAt
2.5.3. Cong thue xae suAt toan phin va eong th.rc Bayes

11

1

.I
1
1
I
2
2
3
4
.5
6

6
8
9
9
9
10
10
11
12
12
14
15

16
16
17
17
18
18
20
25

Bili ~,p chU'lfllgII.~
;
;
27
H1f(1NG DAN GIAI - DAP SO
31
Chuang III. D~I LUC}NG NGA.U NHIEN vA PHAN PH61 xAc SUA.T
.....................................................................................................................
33
3.1. B,i hrqng ngllu nbifn
3.1.1.
Khai ni,m d,i hrqng nyAu nhifn
3.1.2.
mm phlln phlii De suat
3.1.3.
B,i luqng ngAu nhifn rm r,c va bang phlln phlii xac suilt...
3.1.4.
Otti luqng ngAu nhifn Iifn tye va bam mit d~ xae suilt
3.2.
Cae dtie trung sli eua d,i luvng ngAu nbifn
3.2.1.

Ky vQng
3.2.2.
Pb U'O'IIgsai

33
33
.34
35
.37
42
42
46

11


----------~3~.2~.3.

B\llfcb cbuin
3.2.4.
Mat (mode)
3.2.5.
Trung vi (median)
3.2.6.
Moment
3.3.
M{lt sa quy lu.t pbin pbai Xlic suAt tMng d\lng
3.3.1.
Pbin pbai nbi tbUe
3.3.3.

Pbin pbai sieu b{li
3.3.4.
Pbin pbai cbuin
3.3.5.
Pbin phai khi - binh phl101lg
3.3.6.
Phin phai Student

~

,

Bid tfP chU'O'llgIII
Hu ONG DAN GIAI - DAP SO
ChU'O'llgIV.
MAU NGAU NHIEN
T1"': '

:r

.,.

,

61
65
68

z.

MAu nrAu nhien va thang ke
4.1.1.
Tong thi va mAu
4.1.2.
MAu ngAu nhien va mAu thye nghifm
4.1.3.
Thang ke
4.1.4.
Cac phl101lg phap chQn mAu
4.1.5.
SAp x@psalifu thyc nghifm
4.1.6.
Ba giac tin suit va t6 chUed6 tin suit
4.2.
Ham phin phai mAu
4.2.1.
Binh nghla
4.2.2.
Tinh chAt cua ham phan phai mAu
4.3.
Cac dJc trtrDg sa cua mAu
4.3.1.
Trung binb mAu
4.3.2.
Phl101lg sai mAu
4.3.3.
B{I Ifch chuin mAu
4.3.4.
Mat (mode)
4.3.5.

Trung vi mAu
4.3.6.
Moment mAu

4.1.

,

HUONG DAN GIAI - DAP SO
Chucmg V.
UOC LU<;JNG TRAM SO
5.1.
U6'c hrqng diim
;
5.1.1.
Binh nghia
5.1.2.
U6'c hrQ'Dg khong chfch, tr6'c hrQ'og chfch
5.1.3.
U 6'c hrqng vihlg
5.1.4.
U 6'c hrqng hifu qua
5.2. U6'c 11I'Q'Dgkhoang
5.2.1.
Khoang lI'6'c lllQ'Dg va d{l tin c.y
5.2.2.
Khoang tr6'c lllQ'Dg cua trung binh t6ng thi
5.2.3.
Khoang lI'6'c lllQ'Dg cua phl101lg sai t6ng thL
5.2.4.

Khoang tr6'c lllQ'Dg cua ti If t6ng thi

Biti tfP chucmg V
TT: '
••
HuONG DAN GIAI - DAP SO
Chucmg VI.
KIEM DINH GIA THIET THONG KE
?

6.1.

,

Thi@t I.p bai toan ..
6.1.1.
Gia thi@t thang kL

1:.

49~-~
49
50
51
51
51
54
55
59
59

:
~::

68
68
69
70
70
7l
72
74
74
75
75
75
75
77
77
78
79

81
82
82
82
83 .
84
84
84

84
85
89
92

94
98
100
100
100

III

.<


6.1.2.

lOO

6.1.3.
6.1.4.
6.1.5.

100
100
101
101
101
I08

111
113
115

Cac lo,i sai lAm khi lilEm iljnb giii tliiet tbAng ke
Nguyl!n It xac suit nho
Mm: y nghYaa
Cac booc cila mqt bii toan Idem iJjnh gil thi@tthAng kl!
6.2. Mqt sAbii toan Idem dtnh gil thi@tthAngkl!
6.2.1. Kiem iJjnh gil thi@tv~ trung binh tAng the
6.2.2. Kiem djnh gil thi@tvi phl101lgsai tAng thL
6.2.3. Kiem iJjnh gil thi@tvi ti I~ tAng the
6.2.4. So sanh hai trung binh
6.2.5. So sanh hai ti 1~

Hili tip chU'01lg VI

00'
. GIAI
, - flAP
'6 S
ONG DAN
PHV LVC
TAI Llt;U THAM KHAo

122
127
128
136

IV


CbltOlIg

I.

GfA-.TicH T6

HQP

1.1. Quy tic c{lng, quy tAc nbin
1.1.1. Quy tAc c{lng
Gia sir ml)t c6ng vi~c dllQ'Cth\lC hi~n theo ml)t trong k phll<1llgan.
C6 n I cach th\lc hi~n phll<1llgan thu nhAt
C6 n2 cach th\lc hi~n phll<1llgan thu hai
C6 nk cach th\lc hi~n phll<1llgan thu k
Khi d6 c6ng vi~c nay c6 the dllQ'Cth\lChi~n theo nl + n2 + ... + nk cach.
Quy lAcnay gQi la quy t~c cl)ng.
Vi dy 1.1. Ml)t 16p c6 20 sinh vien nam va IS sinh vien nit. H6i c6 bao nhieu cach chQn
ml)t sinh vien di tT\lcwang?
Giai:
C6 20 cach chQn I sinh vien nam va IS cach chQn I sinh vien nit. Vi v\iy c6 20 + IS =
35 (cach) chQn I sinh vien di tT\lcwang.
1.1.2. Quy tAc nbin
Gia sir ml)t c6ng vi~c nao d6 bao gam k c6ng dO\ln,trong d6:
C6ng dO\lnthu nhAtc6 nl cach th\lc hi~n
C6ng dO\lDthU hai c6 n2 cach th\lc hi~n
C6ng dO\lDthu k c6 nk cach th\lc hi~n
Khi d6 c6ng vi~c nay c6 the th\lChi~n theo nlnZ ...nk cach.

Quy Mc nay gQi la quy Mc nhan.
Vi dy 1.2. Til thanh ph6 A den thanh ph6 B c6 2 con dllang, til thanh ph6 B den thanh ph6
C c6 3 con dllang. Hoi c6 bao nhieu cach di til A den C?
Giai:
Til thanh ph6 A den thanh ph6 B c6 2 cach di, sau do til thanh ph6 B qua thanh ph6 C co
3 cach di. Nhll v\iy sl!co tAtca 2.3 = 6 cach di til A den C.
Vi dy 1.3
Til cac chit s6 1,2,3,4,5 co the l\ip dllQ'Cbao nhieu s6 t\l nhien co 3 chit s6 khac nhau ?
Giai:
Ta thAy vi~c l\ip ml)t s6 tl! nhien gam 3 chit s6 khac nhau co the chia lam 3 c6ng dO\lD:
C6ng dO\lDthu nhAt la chQn chit s6 hang tram sl! co 5 each (chQn I chit s6 trong 5 chit s6
tren). C6ng dO\lnthu hai la chQn chit s6 hang ch\lc sl! co 4 cach va c6ng dO\lDcu6i cling la
chQn ml)t chit s6 hang d<1llvi: co 3 cach.
V\iy theo quy lAcnhiin s6 tl! nhien co 3 chit s6 khac nhau la: 5.4.3 = 60 s6.

1.2. HOBn vi
Binb ngbia 1.1. Cho t\ip hgp A gam n phfm tir (n 2: I). M6i cach s~p xep cua n phdn tir
cua t(ip hgp A theo ml)t thu tl! nhAtdjnh dllQ'CgQi la ml)t hoan vi cua n phfm tir dll cho.
Binb Iy 1.1. S6 cac hoan vi khac nhau cua n phfm tir, ky hi~u la Pn, dllQ'Cxac djnh nhll sau:
Pn = n! = n(n - I)(n - 2) ... 2.1

I


------------------------------~----

C1iWigmirm:
De t\lOnen mgt hOllnvi ta tiSn Mnh theo cae buac sau:
_ChQn mgt trong n phfuttir dil cho xSp vao vi tri thir nhAt.C6 n each.
_ChQntiSp mgt trong n - I phdn tir con I\lixSp vao vi tri thir haL C6 n - I each.

- Sau khi dil chQn k - I philn tir r6i, chQn mgt trong n - k + I philn tir xSp vao vi tri thir k.
C6 n-k + I each.
- Cu3i cimg trong ~p hQ1lban diiu chi con mgt philn tir. XSp phfut tir nay vao vi tri thir n.
C6 I each.
Nhu v(iy theo quy tAcnhlin ta dugc
Pn=n! =n(n-I)(n-2)
... 2.1
• Quy uac O!= I
Vi dyl.4.
a) C6 bao nhieu each sApxSp 4 sinh vien A, B, C, D vilOmgt ban hQcc6 b3n ch6 ng6L
b) C6 bao nhieu each sApxSp 3 sinh vien nil' va 4 sinh vien nam thilnh mgt hang ngang sao
cho nam va nil' dUng xen ke?
Giai:
a) M6i each sApxSp la I hoan vi ella 4 phfut tir (m6i philn tu la I sinh vien)
S3 each sApxSp la: P4 = 4! = 24 each
b) DS 3 sinh vien nit va 4 sinh vien nam dUng xen ke thi thl bAtdilu hang ngang d6 pMi la
sinh vien nam.
S3 each sApxSp vi tri cho 4 sinh vien nam la 4!
S3 each sApxSp vi tri cho 3 sinh vien nit la 3!
Theo quy tAcnhlin ta c6 : 4!3! = 144 each.
Noon xet: Do m6i hoan vi d~u c6 dll m~t cae phfut tu nen hai hoan vj khac nhau khi c6 it
nh~t mgt thfr tv' sApxSp nao d6 khac nhau (chilng h\ln: 123 oF 132)
1.3. Chinh h'lP
1.3.1. Chinh h'lP kh6ng lijp
Binh nghia 1.2. Cho ~p hQ1lA g6m n philn tir (n ~ I)
KSt qua ella vi~c lAyk philn tir (I :0; k :0; n) khac nhau til ~p hQ1ltren va sApxSp theo
mgt thir tv nao d6 dugc gQi la mgt chinh hQ1lkh6ng I~pch(ip k ella n philn tir dil cho.
Vi dy 1.5 Cho t(ip hQ1lA= {I; 2; 3; 4}. Hily li~t ke tAtca cae chinh hQ1lch(ip 3 ella 4 philn
tir ella t(ip hQ1lA?
123

124
132
134
142
143
V(iy c6 tat ca 4.3.2
Binb

Iy

213 312 412
214 314 413
231 321 421
234 324 423
241 341 431
243 342 432
= 24 chinh hQ1lkh6ng l~p ch(ip 3 ella 4 phfut tir.

1.2. S3 chinh hQ1lkh6ng I~p ch(ip k ella n phfut tir,kj hi~u la A~, dugc xac dinh

bai:

2


--n~'-----------------------

Ak=

n

.

(n-k)!

Chrmgminh:
De ~o nen mQt chinh hgp khong I(!.pch~p k cua n phfuJtil ta tien hanh nhll sau:
- ChQn mQt trong n phfuJtil dii cho xep v~o vi tri tM nhilt. C6 n cach.
- ChQn tiep mQttrong n - I phfuJtil con I(lixSp vao vi tri thti hal. C6 n - I cach.
- Sau khi dii chQnk - I phfuJtil r5i, chQn mQttrong n - (k - I) phfuJtil xSp vao vi tri
thti k. C6 n - k + I cach.
Til d6 theo quy lAcnhan ta dugc:
k
(n-k)(n-k+I)
... 1
n!
An = n(n -I) ...(n - k + I) = n(n -I) ...(n - k + I)
--(n-k)(n-k+I)
... 1 (n-k)!
Vi dy 1.6. MQt 16p c6 30 sinh vien. Hoi c6 bao nhieu cach bdu ra mQt ban can S\l g5m mQt
16p truang va mQt 16pph6.
Giai:
Mili cach bdu ra mQt ban can s\ll6p la mQt ehinh hgp khong I(!.pch~p 2 cua 30 phfuJtil
(mili phfuJtli la mQtsinh vien) nen s6 each cfuJtim la: A~o = 870 cacho
Nhdn xet: Hai chinh hgp khong i(!.pch~p k cua n phfuJ til khac nhau nSu n6 c6 it nhilt c6
mQt phfuJtil khac nhau (123 "" 124) ho(!.cchung c6 tM 1\lkhac nhau (123 ",,-132).
1.3.2. Cbinb b9'P I(j.p
Binb ngbia 1.3. Cho ~p hgp A g5m n phdn tli (n ~ I).
Chinh hgp I(!.pch~p k cua n phdn til la mQt cach sApxSp c6 thti 1\lk phdn til til t~p hgp
A rna mili phfuJtil c6 the c6 m(!.tt6"ik Idn.

Vi dy 1.7. Cho t~p hgp A = {l, 2}. Li~t ke tilt cil cac chinh hgp l(!.pch~p 3 cua 2 phfuJtil
cua ~phgpA.
Giili:
Ta e6: Ill, Il2, 122, 121, 2Il, 212, 221, 222.
V~y c6 tilt cil2.2.2 = 8 chinh hgp I(!.pch~p 3 cua 2 phfuJtli dii cho
Binb ly 1.3. s6 chinh hgp l(!.peh~p k cua n phfuJtil dii cho bfutg nk.
Chrmgminh:
De ~o mQtchinh hgp I(!.pch~p k cua n philn tli ta phili th\lc hi~n nhu sau:
- ChQn mQttrong n philn til dii cho xSp vao vi tri thti nhilt, c6 n cach.
- ChQn mQttrong n phdn til dii cho xSp vilOvi tri thti hai, e6 n cach.
- ChQn mQttrong n philn tti dii cho xSp vao vi tri thti k, c6 n cach.
Theo quy tAcnhan ta c6 nk each t(lOmQt chinh hgp llip eh~p k cua n phfuJtil dii cho.
Vi dy 1.8. C6 bao nhieu cach xSp IO ngum len 3 toa tilu Ma.
Giili:
s6 cach xSp 10 ngum len 3 toa tau hoa la s6 ehinh hgp I(!.peMp IO cua 3 philn til (mili
philn tli la mQttoa). s6 caeh xSp clin thiSt la 310 each.
Nhdn xet: Trong chinh hgp khong I(!.pthi I ~ k ~ n nhung trong ehinh hgp llip thi c6 the
k>n.

3


1.4. T6 bllP
Binb ngbiB 1.4. Cho ~p hgp A g6m n phdn tir (n ~ I)
M~t ~p hgp con g6m k phdn tir (I ~ k ~ n ) clla ~p hapk A duqc gOi Iiim~t t6 hqp ch~p
k clla n phdn tir dli.cho.
Vi d\l 1.9. Cho ~p hgp A = {I, 2, 3, 4, 5}. Hay li~t ke cac t6 hgp ch~p 3 clla 5 phdn tir Clla

A.
Gilii:

Cact6hgpch~p3
clla5 phdntircllaAliI: {l, 2, 3}, {I, 2,4}, {l, 2, 5}, {I, 3,4}, {I, 3,
5}, {I, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2,4, 5}, {3, 4, 5}.
Binb

Iy 1.4. S6 t6 hgp cMp k clla n phdn tir, ky hi~u hi C~, duqc xac djnh bOi:
Ckn-

n!
k!(n-k)!

Chrmgminh:
M~t t6 hgp ch~p k Cllan phdn tir da cho se duqc thanh I~p nhu sau:
- Chon m~t t~p hgp con clla k phdn tir clla t~p hgp g6m k phdn tir, co C~ each.
- slip thu tl,rk phdn tir da chQn, co k! cacho
k

n'

A
C~ = -.!L
=
.
k!
k!(n-k)!
Vi d\l 1.1O.M~t hQpco 5 qua cdu do va 3 qua cdu xanh. H6i co bao nhieu cach chQn ra:
a) 3 qua cdu d6.
b) 3 qua cdu rna trong do co 2 qua cdu d6 va I qua cdu xanh.
Giai:
a) M1\icach chQn ra 3 qua cdu do til 5 qua cdu do Iiim~t t6 hgp ch~p 3 clla 5 phdn tir (m6i

Theo quy tlic nhan ta co: A~

= C~.k!

=}

phdn tir Iiim~t qua cdu d6). Vi v~y s6 cach dn tim la C~ = 10 cacho
b) Chon:3 qua du d6 til 5 qua cdu do, co C~ cacho
ChQn I qua cdu xanh til 3 qua cdu xanh, co 3 cacho
Theo quy tdc nhan ta co s6 cach cdn tim Iii C~ .3 = 30 cacho
Vi d\l 1.11. M~t gio co 5 bong hoa h6ng, 6 b6ng hoa Ian vii 8 bOng hoa hu~. M~t nglIai
chon ngdu nhien 3 bOng hoa. Hoi co bao nhieu cach chon ra:
a) 3 bong hoa khac 10{l1.
b) Duqc it nhdt m~t bOng hoa h6ng.
a) ChQn ra m~t bong hoa h6ng, co 5 cacho
ChQn ra m~t bOng hoa Ian, co 6 cacho
ChQn ra m~t bOng hoa hu~, co 8 cacho
Nhu v~y co: 5.6.8 = 240 cach chon duqc 3 bong hoa khac 10\11.
b) S6 each chon ra 3 bOng hoa trong do co it nhdt m~t bong hoa h6ng la:
C~C~.+ C;C:. + C; = 605 cach
Nhdn xet: Hal t6 hgp gQi la khac nhau khi co it nhdt m~t phdn tt'r khac nhau. T6 hgp khac
chinh hgp khong llip & vi~c khong llIUy den thu tl,rslip xep clla cac phdn tiro

4


----------~l.~S~.-P~It,io_h6'
•••
e

•Itl-----------------------------•
Biob ogltia 1.5; S\l'phan chia ~p A th3nh k ~p con Ai' i = I, k) khac 0 sao cho
Ai

n Aj =0

(i,j=l,k)

i~j

dugc gQi la m{ltphiln hO!lchClla~p hgp A th3nh k ~p con.
Biob Iy 1.5. Cho ~p hgp A c6 n phAntiro
Ta phan hO!lch~p hgp A thanh k t~p con A" A2, ..., Ak sao cho:
C6 nl phAnttl trong ~p AI.
C6 n2 phdn ttl trong ~p A2.
C6 nk phdn tir trong ~p Ak.
Khi d6 56 cach phan hO!lchla:
n!
n1!nz L..nk !

Trong d6: n, + n2 + ...+ nk = n.
Vi d", 1.12. C6 bao nhieu cach phan 10 nguui len 3 toa tau hOa sao cho toa thir nhAt c6 5
nguui, toa thu hai c6 3 nguui, toa thu ba c6 2 nguui.
Gilii:
Tt;ng 56 cach phan cong chinh la 56 phan hO!lch~p A gAm 10 phdn ttl (mfli phdn tir la
m{ltnguui). Do d6 c6
10'
-_.
= 2520 cacho
5!3!2!

Vi d", 1.13. M{lt 16'pc6 35 sinh vien. L6'p tru6ng cAn phiin chia 16'pthanh banh6m d~ lao
d{lng. Nh6m 1 c6 15 sinh vien, nh6m II c6 12 sinh vien va nh6m III c6 8 sinh vien. Hoi 16'p
tru6ng c6 bao nhieu cach phiin chia cho ba nh6m sinh vien.
Giai:
Mfli cach phan chia 51! wang (rng v6i m{lt philn hO!lch~p gAm 35 phAn tir th3nh 3 ~p
con c6 56 phdn tir IAnlug! la 15, 12, 8. Khi d6 tt;ng 56 cach phan chia la:
35!
15!l2!8!
Vi d", 1.14. Gieo 15 Idn m{lt con xuc sk Hoi co bao nhieu day k8t qua khac nhau, trong
d6 c6 ba Idn xudt hi~n m~t I chAm, hai Idn xuAt hi~n m~t 2 chdm, ba IAnxuAt hi~n m~t 3
chAm, nam Idn xuAthi~n m~t 4 chAm, mQt Idn xudt hi~n m~t 5 chAm va m{lt IAnxudt hi~n
m~t6chdm.
Giai:
Mfli diiy k8t qua tren tuang (rng v6i m{lt phan hO!lch~p gAm 15 phAn ttl thanh cac t~p
con c6 56 phdn tir IAnlug! la 3, 2, 3, 5, I, 1. Do d6 56 day k8t qua cAntim la:
15!
-151351200 k8tqua.
3!2!3!5!l!l!
Nhdn xet: D8n day ta thdy r~ng tt; hgp th\l'Cchdt la mQtphan hO!lchcua ~p A thlinh 2 t~p
con A" A2 trong d6 t~p A, c6 k phAntir va t~p A2 c6 n - k phdn tiro

5


Di. Cong tffilc nlijtlilic Newton
Taco: (a+ b)2= a2 +2ab+
(a + b)3

= a3

b2 = C~a2b6 +C1aV

+ 3a2b + 3ab2 + b3

+C~aOb2

= C~a3bO

+ C~a2bl +C~alb2

+ C~aOb3

Mcr r{ing ra:
(a+ b)n

= C~anbO

+C~an-lbl

+ ... +C~an-kbk

+ ... +C~aObn

=

n

LC~an-kbk
k~O

Cong thuc tren dugc gQi la cong thuc nhi thUc Newton.

DikitfP

chU'01lg

I

1.1. Gili su cfuJ s~p xep 12 sinh vien vilO m{it ghe dai co 12 ch6 ng6i. Hoi co tAt ca bao.
nhieu cach s~p xep ch6 ng6i?
1.2. M{it nh6m co 6 ngum dugc xep vao m{it ghe dai co 6 ch6 ng6i. Hoi co bao nhieu cach
xep sao cho 2 ngum dugc xac djnh tru6c ng6i cr hai dftu ghe.
1.3. M{it nhom g6m 25 ngum. Hoi co bao nhieu cach I~p ra m{it hQi nghj g6m m{it chi!
tich, m{it thu ky va hai i!y vien?
1.4. Tir cac chil" 56 I, 2, 3, 4, 5 ta cftn I~p 56 co 4 chi!"56 kMc nhau. Hoi co bao nhieu
neu:
a) s6 do chia het cho 2
b) s6 do co chil" 56 t~n clmg la 1.

56,

1.5. M{it lap co 50 sinh vien trong do co 40 nam va 10 nil".Gia su cftn chQn ra 5 sinh vien
tham gia d{ii tinh nguy~n mila he xanh. Hoi c6 bao nhieu cach chQn, neu:
a) cltn 3 nam va 2 nil".
b) Co it nhAt I nil".
c) Co nhieu nhAt 3 nam.
1.6. M{it nh6m co 10 nam va 15 nil".Trong m{it bu6i khieu vii, hoi co bao nhieu cach:
a) ChQn ra m{it doi nam nil".
b) ChQn ra 3 doi nam nil".
1.7. Cho cac chil" 56 2,3,4,5,6.

Hoi co bao nhieu cach s~p xep 5 chil" 56 nay sao cho nhom
chil" 56 chdn va nhom chil" 56 Ie tach bi~t nhau?
1.8. M{it nhom g6m 12 hQc sinh g6m co 5 nil"va 7 nam. Hoi co bao nhieu cach s~p xep 12
hQc sinh tMnh hang ngang de ch\lp anh sao cho 5 hQc sinh nil"pMi dUng lien nhau?
1.9. Ngucri ta lAy 3 bi tir h{ip co 5 bi xanh, 6 bi do va 7 bi vang. Hoi co bao nhieu cach lAy

ra:
a)
b)
c)
d)

Cac bi co mau lily y.
2 bi do va I bi xanh.
Cac bi co mau khac nhau.
it nhAt m{it bi mau xanh.

6


---------~1~.1~9~. Ge-bao
nh~u eOOht~g IG-phfuIqua eho3-em besao-cho-em beth(r~t~----dugc 2 phfut qua, em be thu hai nh~ dugc 4 phfut qua va em be thu ba nh~ dugc 4 phdn
qua.
1.11. Co 6 cai the dugc ghi 6 s6 I, 2, 3, 4, 5, 6 lAyng~u nhi~n lfut luQ't3 cai the va sAp
thanh 1 hang ngang l\lo thanh 1 s6 tv nhi~n co 3 chit s6. Hoi co bao nhi~u s6 l\lo thanh de
s6do:
a) La s6Ie.
b) Co t6ng hai chit s6 cu6i Ia 4.
c) Co t6ng 3 chit s61a 7.
1.12. M~t 10hang co 10 san phdm 10ili1, 15 san phdm 10ili11va 25 san phdm 10ili111.ChQn

ng~u nhi~n 5 san phdm til kho hang. Hoi co bao nhieu cach lAydugc:
a) Ca 5 san phdm deu thu~c cimg m~t 10ili.
b) 2 san phdm 10ili1.
c) Khong co san phdm 10ili1Il nao.
1.13. Co 9 tAmthe dugc danh s6 til 1 den 9. ChQn ng~u nhi~n 2 tAmthe va xep thanh hang
ngang de dugc m~t s6 co hai chit s6. Hoi co bao nhi~u s6 dugc l\lo thanh sao cho tfch cua
hai s6 tr~n tAmthe la s6 chin.
1.14. Bi\DA co 15 ngum bi\Dtrong do co 1 c(ip vg ch6ng. Bi\DA dinh mai 5 ngum trong s6
15 ngum biln cua minh den dl! ti~c. Hoi bi\D A co bao nhieu cach mm de c(ip vg ch6ng
cung luon dugc maL
1.15. Co k buc tranh va m cai moc treo tuang. Hoi co bao nhieu cach khac nhau de treo
cac buc tranh len moc treo tuang (m6i moc treo m~t tranh) neu:
a) k=6, m=4
b) k=m=7
1.16. Tr~n m~t duang tron co 12 diem. Co bao nhieu cach ve day cung co hai ddu mut la
hai diem bdt kYtrong 12 diem dii cho? Co bao nhieu cach d\fDgtam giac nh~n cac diem la
dinh?
1.17. MQt l(ypco 20 hQc sinh, trong do co 3 nit. Hoi co bao nhieu cach I~pra mQt nhOm
tham gia bieu dien van ngh~ sao cho co ft nhdt m~t hQc sinh nit?
1.18. Til m~t nhom 15 sinh vien co 10 nam va 5 nit chQn ra m~t dQitham gia hien mau

tinh nguy~n g6m 5 sinh vi~n sao cho co ft nhAt2 nam va 2 nit. Hoi co bao nhieu cach chQn
ra d~ido:
a) Neu cac sinh vien deu vui ve tham gia.
b) Neu co 2 sinh vien til ch6i tham gia.
1.19. Co 16 d~i bOng dli, chia lam b6n bang A, B, C va D, m6i bang 4 d~i. Hoi co bao
nhieu phuong an philn chia (khong ke thu tv cac d~i trong m6i bang).

7

~~~

-----------nUU1'l\:J"

1.1.

12!

1.2.
1.3.
1.4.

1.5.

2.4!
303600
a) 48
b) 24
a) 44600
b) 1460752

1.6.

a) 150

1.7.
1.8.
1.9.

24

1.10.

C;o.C:.C:
a) 60
b) 8
c) 6
a) 56385
b) 444600

1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.

81.5!
a) 816

••
'A
"l)ANGIAI
- tJAP
Su

c) 546852

b) C;o.C;,.3!

b) 85

c) 210

d) 530

c) 53130

52

286
a) 360
b) 504
a) 66
b) 220
460
b) 1893
1.18. a) 1650
1.19.

16!
(4!)4

8


---------€bmmg-H;----mE~-e6~-NlIIENv:A__xAe_su*T-2.1. Bi~n eel ngiu nhi~n
2.1.1. Philp thii' ngiu nhi~n

M(\t trong nhilng kMi ni~m ca bim clla Iy thuy~t xac sudt Iii phep thfr. D6 hi m(\t thi
nghi~m, m(\t phep do hay m(\t S\1'quan sat ... d~ nghil!n Clrum(\t d6i lugng hay m(\t hi~n
tugng nilo d6.
Cac phep tM chi xily ra khi nh6m cac dieu ki~n xac djnh cho truac giin lien vai n6 dugc
th\1'chi~n. Nh6m nily pMi r5 rang, 3n dinh trang qua trinh nghil!n Clru vii c6 thi! dugc I~p
l\li nhieu Idn. Ch~ng h\ln, khi mu3n quan sat vi~c xudt hi~n m~t sdp hay ngfra clla m(\t d6ng
xu ta phili tung d6ng xu d6; di! m(\t hIlt gi3ng c6 nily mdm hay khong ta phili ti~n Mnh gieo
thi di~m hIlt gi6ng do; hay khi mu6n ki~m tra chdt hrgng Clla m(\t 10 san phdm ta pMi Idy
m(\t ho~c m(\t viii san phdm di!ki~m tra.
Do v~y, vi~c th\1'chi~n m(\t nh6m cac dieu ki~n xac djnh nilo do di! nghil!n Clrum(\t hi~n
tugng nilo do co xay ra hay khong dugc gQiIiith\1'chi~n m(\t phep thfr.
Cac phep thfr mil khi b~t ddu ti~n Mnh thfr ta bi~t k~t quil nilo se xay ra sau khi thtl:gQi Iii
phep thfr tdt y~u. Chiing h\ln, khi thfr dun nuac a dieu ki~n thuang (ap sudt I atm) thi d~n
100°C nuac se sol. Day Iiiphep thfr tdt y~u.
Cac phep thfr dugc coi Iii phep thfr ngiu nhil!n n~u k~t quil clla chUng khong th~ bi~t
truac dugc m~c du dil bi~t ~p hgp tdt cil cac k~t quil co th~ xily ra clla phep thli' do.
Ly thuy~t xac sudt chi nghil!n Clrucac phep thfr ngiu nhil!n, do v~y d~ cho g<.mphep thfr
ngiu nhil!n dugc gQi~t Iiiphep thfr.
T~p hgp cit cil cac k~t qua co thi! xily ra clla phep thfr dugc gQi la khong gian miu, ky
hi~u Iii n.
Mili phdn tfr Clla n dugc gQi la m(\t bi~n c6 sa cdp, ky hi~u Iii (0. Do do, khong gian
miu con dugc gQi Iiikhong gian cac bi~n c6 sa cdp.
Khong gian miu c6 th~ dugc mo til b~ng cac cach sau:
Khi khong gian miu co hiln h\ln phdn tli', ta co th~ Ii~t kl! cac phdn tlr do.
Khi khong gian miu co vo h\lfi phdn tlr, ho~c cac phdn tfr co cung thu(\c Hnh, ta co
th~ mo til khong gian miu biing m~nh de ho~c quy tde.
Ta co th~ mo ta khong gian miu biing sa d6 cay.
Cac vi d\l minh hQave phep thfr vii khong gian miu luang li'ng:
Tung m(\t d6ng xu can d6i va d6ng chdt la m(\t phep thli'. Khi d6 khong gian miu
co thi! vi,h la n = {S,N}, trong d6 ky hi~u S chi S\1'sudt hi~n m~t sdp cua d6ng xu,

N chi S\1'xudt hi~n m~t ngli'a Cllad6ng xu.
Gieo m(\t can xuc s~c can d6i va d6ng chdt la m(\t phep thfr. N~u ta quan tam d~n
S\1' xudt hi~n s6 chdm trl!n m~t can XllC s~c thi khong gian miu Iii
n = {I,2, 3, 4, 5, 6}. Con n~u ta quan tam d~n s\1'sudt hi~n s6 chdm tren m~t can xuc
s~c Iiichfu1hay Ie thi khong gian mdu la n = {chlin, Ie}.
Ldy ngiu nhil!n m(\t di~m nk trong mien hinh chit nh~t trl!n m~t phdng tQad(\ Oxy
vai kich thuac [0;2] x [0;4] la th\1'c hi~n m(\t phep tM vai khong gian mdu la

n = {(x;y) I 0 ~ x ~ 2;0 ~ Y~ 4}
Xet phep thli' tung m(\t d6ng xu can d6i va d6ng chdt.

9


-------Neu

xuACIJi~nm~t nguallii tilllg dong xu do-ranOO-nai:-mu xuAt ni~n m~tsAplnI
tung m(it con xuc slic cful d6i va d6ng chAtm(it Ian. Khi do khong gian m~u clla phep thir
nay la n= {NS,NN, Si,S2,S3,S4,S5,S6}
2.1.2. Biin c6 nglu nhien
a) Biin eli (Sit ki~n)
Ket qua clla phep thir duQ'cgQi la bien c6 hay Sl!ki~n. Dung cac chi!' cai A, B, C ... de
ky hi~u cho cac bien c6.
VI dy 2.1.
Gieo m(it con xucs~c din d6i va d6ng chAt la m(it phep thir. Khong gian m~u
n = {I,2, 3,4, 5, 6}. Neu gQiA la bien c6 con xuc s~c xudt hi~n m~t Ie chdm thi A co
the duQ'Cbieu diSn nhu sau: A = {I,3,5}
Ldy ng~u nhien m(it quful bai trong b(i bai 52 quful. Neu gQi B la bien c6 Idy duQ'c
qulin mang s6 2 thi bien c6 B duQ'cbieu diSn nhu sau: B = {2 CCJ, 2 ro, 2 chu6n, 2
blch}

Gieo m(it d6ng xu lien tiep ba Ian.
Khong gian m~u n = {SSS,SSN, SNS,SNN,NSS, NNS, NSN, NNN} .
Xet cac bien c6: AI: "Ian dau tien xudt hi~n m~t ngira"
A2: "m~t sdp xay ra dung m(it Ian"
A3: "M~t sdp xudt hi~n it nhdt m(it Ian"
Khi do ta co: Al = {NSS,NNS, NSN, NNN} , A2 = {SNN, NNS, NSN},
A3 = {SNN, NNS, NSN, SSN, SNS, NSS, SSS}
b) Phdn logi biin eli
Biin c6 chAc ch~n la bien c6 luon luon xay ra khi thl!Chi~n phep thir, bien c6 nay tuang
irng vai khong gian m~u nen kYhi~u la n.
VI dy 2.2. M(it lap co 35 sinh vien nam. ChQnng~u nhien m(it sinh vien tham gia van ngM
truOng. Bien c6 chQnduQ'cnam sinh vien la bien c6 ch~c chlin.
Biin c6 kh6ng th~ la bien c6 khong bao gia xay ra khi thl!c hi~n phep thir, ky hi~u la
0.

Vi dV 2.3. M(it h(ip co 3 bi xanh va 4 bi do. Xet phep thil' chQnngau nhien i vien bi til' hQp.
Bien c6 chQn duQ'CI bi yang la bien c6 khong the.
Bien c6 co tinh chdt co the xay ra hay khong xay ra khi thl!c hi~n phep thir duQ'cgQi la
biin c6 ngll.u nhien.
Vi dy 2.4. Xet phep thir: Sinh vien A dl! thi mon xac sud! th6ng ke. Bien c6 sinh vien A thi
d~u la bien c6 ng~u nhien.
Tdt ca cac bien c6 ta g~p thuOng ngay dau thu(ic m(it trong ba IO(libien c6 tren, song
bien c6 thuOng g~p han ca la bien c6 ng~u nhien.
e) Kit qua thU/;inItJieho biin etJ
M3i ket qua cUa phep thir lam cho bien c6 A xay ra duQ'c gQi la m(it ket qua thu~ IQ'i
Cllabien c6 A.
Vi dV 2.5. Xet phep thir gieo m(it d6ng xu lien tiep ba IAn.GQi A la bien c6 s6 IAnxudt
hi~n m~t sdp la m(it s6 Ie. Khi do cac ket qua thu~n lqi cho bien c6 Ala:
{SNN, NNS, NSN, SSS}
2.1.3. Quan h~ gii1'acae biin c6

10


----------~C~It~eA_vA_B_Ja_Itai_b~lia_Gimg
m9t pItepthU--. -------------------a) Biin eli /rio theo
Bi~n c3 A gQi IIIkeo theo bi~n c3 B, kYhi~u III A c B , n~u bi~n c3 A xay ra thi bi~n c3
B ciing xay ra.
Vi dy 2.6. MQt sinh vien mua mQt ta ve s3
GQiA IIIbi~n c3 sinh vien d6 trung gilli ~c bi~t
B IIIbi~n c3 sinh vien d6 trung s3.
Khid6: AcB
b) Biin c6 biing nhau
Hai bi~n c3 A vll B gQi IIIbAngnhau n~u A keo theo B vll B keo theo A, ky hi~u III

A=B
c) Biin c6 xung khdc
Hai bi~n c3 gQi IIIxung kh~c nhau neu chUng khong d6ng thai xay ra khi th\lC hi~n phep
thir.
Vi dy 2.7. Gieo mQtd6ng xu can d3i vll d6ng chAt.GQiA IIIbi~n c3 d6ng xu xudt hi~n m\it
sdp vll B IIIbi~n c3 d6ng xu xudt hi~n m\it ngira. Khi d6 A vll B xung kh~c nhau.
d) Biin c6 alii /~p
Bi~n c3 d3i l~p vm bien c3 A, ky hi~u III A, IIIbien c3 xay ra khi vll chi khi bi~n c3 A
khong xily ra.
Vi dy 2.8. Th\lC hi~n phep thir gieo mQt h\lt ngo xem n6 c6 nay mdm hay khong. GQi A Iii
bi~n c3 h\lt ngo nily mdm. Khi d6 bi~n c3 A Iii bi~n c3 h\lt ngo khong nay mdm.
e) Biin c6 a6ng kha nang
Cac bien c3 gQi Iii d6ng kha nang n~u khi th\lc hi~n phep thir cMng c6 dmg khil nang
xay ra.
Vi dy 2.9.

- Trong mQt hQp c6 7 vien bi co kfch thuac nhu nhau, n(ing nh~ nhu nhau, nhful nhju nhu
nhau (mau s~c cua chung c6 the khac nhau), ta nh~m m~t chQn ngdu nhien m(\t vien bi thi
ca 7 vien bi c6 kha nang Idy ra nhu nhau, khong c6 vien nao dUQ"cuu tien han ca.
- Gieo ngdu nhien mQt con xuc s~c can d3i va d6ng chdt thi cac bien c3 chi s3 chdm xudt
hi~n tren m(\t con xuc s~ la cae bien c3 d6ng kha nang. Vi ca 6 m\it Clla con xuc s~c dBu
c6 kha nang xudt hi~n nhu nhau, khong m\it nilOdUQ"cuu tien xudt hi~n han m(\t nao.
2.2.4. Cae phep toan tren bj~n e6
Cho A va B IIIhai bien c3 cua cung mQt phep thir vai khong gian mdu wang irng III O.
a) Biin eli tling
T6ng (hay hQ"P)cua hai bien c6 A vll B, ky hi~u Iii A + B ho\ic A U B, Iii mQt bien c3
xay ra khi vll chi khi ft nhdt mQttrong hai bien c6 A ho(\c B xily ra.
Vi dy 2.10. C6 hai thQ"san cung b~ m(\t con tM. GQi A III bien c6 nguai thu nhdt b~n
trung con thu, B IIIbien c6 nguaj thu hai b~n trung con thu. Khi do C = A U B IIIbi~n c3
co it nhdt m(\t nguai b~n trung con thu hay C Iiibi~n c6 con tM bi b~n trung.
T6ng quat: T6ng cua n bi~n c6 AI, Az, ... , An IIIbien c3 xay ra neu ft nhdt mQt trong n
bi~n c3 d6 xay ra. Ky hi~u t6ng cua n bi~n c3 la
AI UA, U...UAn
b) Biin eli tich

11


.------n<:h--chay
glllorCurtaiiYh!n <:6A--va-B;-kyiri~uia AB hay*"Jr,la-n$-bi&l-cd-xay
ra
khi va chi khi ca hai biBnc3 A va B cung xay ra.
Vi dy 2.11. ChQn ngdu nhil:n mQt sinh vil:n cua mQt truimg d(li hQc. GQiA la biBn c3 sinh
vil:n d6 biBt tiBng Anh, B la biBn c3 sinh vil:n d6 biBt tiBng Phap. Khi d6 C = An B la biBn
c3 sinh vil:n d6 biBtca hai thir tiBng Anh va Phap.
T6ng quat: Tich cua n biBn c3 AI, Az, ... , An la biBn c3 xay ra nBu tdt ca n biBn c3 d6

d~u xay ra. Ky hi~u tflOgcua n biBnc3 la
A, nA2 n ...nAn
DBn day ta c6 th~ th~y rAnghai biBnc3 A va B xung khic nhau khi va chi khi An B=0 .
Tuong tv cho n bi~n AI, Az, ..• , An xung khic timg doi khi va chi khi AinAj(i,j

= I,n)

c6 hi~u
Hi~u cua hai biBn c3 A va B, ky hi~u la A \ B, la biBn c3 xay ra khi va chi khi A xay ra
con B khong xay ra.

c) Biin

Vai A cO, biBncd d3i I~pcUabiBnc3 A la A = mA
d) H~ a4Y au cac biin c6
Oily n biBn c3 Bio Bz, ..• , Bn I~pthanh h~ ddy du cac biBnc6 n~u chung xung khic timg
n

doi va

UBi =0.
i=l

Vi dl} 2.12. Tung mQtd6ng xu can d3i va d6ng ch~t.
GQi BI la biBnc3 d6ng xu xu~t hi~n m~t s~p.
Bz la biBnc3 d6ng xu xu~t hi~n m~t ngila.
Khi d6 Bio Bz I~pthanh h~ ddy du cac biBn c3, vi chUngthoa miln tinh ch~t:
+B,nBz= 0.
+BIUBz=O.
2.2. Cae ilinb ngbia xae suAt

2.2.1. Binb ngbia e3 ili@neua xae suAt
Binb ngbia 2.1. Cho rnQtphep thu c6 N(O) kBt qua d6ng kha nang, trong d6 c6 N(A) kBt
qUa thuan
lai cho biBn c3 A. Khi do ti s3 N(O)
N(A) goi
la xac su~t cua biBn c3 A, AJ
"" hil:u
la
. .
.
.
peA).
Tirc la:

peA) = N(A)
N(O)

Vi dy 2.13. Gieo ngdu nhil:n mQtcan xuc sic can d3i va d6ng chAt.Tfnh xac su~t d~:
a) Can xuc sic su~t hi~n m~t chiin ch~m.
b) Can xuc sic xu~t hi~n m~t co s3 ch~m chia hBtcho 3.
Giai:
Ta co khong gian rndu cua phep thu trl:n la 0= {I, 2, 3, 4, 5, 6}. Vi can xuc sic can d3i
va d6ng ch~t va vi~c gieo la ngdu nhil:n nl:n cac keltqua co tinh d6ng kha nang xay ra.
Do do:
N(O) = 6

12


~--------~-A-lit-bien~thmn-xuc-sik-xuAt~n-"*-c~cZ,-4,-6};-N(:A-)-=-3-.

------

i

= =~

Theo dinh nghia ta co: P(A)

b) GQi B la bien c3 con xuc sAcxuAthi~n m~t co s3 chfun chia het cho 3. B = {3, 6}, N(B)
=2.
Theo dinh nghia ta co: P(B)

=~=~

Vi dy 2.14. MQt tui k~o chua 5 chiec k~o me, 6 chiec k~o b(IC ha va 10 chiec k~o
chocolate. MQt em be chQnng~u nhien 2 chiec k~o. Tinh xac suAtde duc;rc:
a) Hai chiec k~o me.
b) MQt chiec k~o me va mQtchiec k~o chocolate.
c) it nhdt mQtchiec k~o b!lc ha.
Ta co: N(n) = C;, = 210
a) GQiA la bien c3 em be chQn duc;rchai chiec k~o me. Suy ra: N(A) = C;

= 10

Xac suM cua bien c3 Ala: P(A) = N(A) = ~ =_1
N(n)
210 21
b) GQiB la bien c3 em be chQn duc;rcmQtchiec k~o me va mQtchiec k~o chocolate. Suy ra:
N(B) = 5.10 = 50.

, . b"lenco'B I'a: P(B) =~-=-=N(B)
50
5
X.acsuatcua
N(n)
210 21
c) GQi C IiibiSn c3 em be chQn duc;rcit nhdt mQtchiSc k~o b!lc ha.
Suy ra: N(C) = 6.15 + C; = 105
" cua
. b"len co, C I'a: P(C) = ~~
N(C) = -105 = -I
X""c su"t
N(n)
210 2
Vi dy 2.15. Tren ban co hai illi d\!l1gbili thi kSt thuc hQc ki, mQttui d\!l1g45 bai thi cua lap
12A vii mQt tui d\!l1g50 bai thi cua lap 12C. KSt qua chfun theo thang diem 10 duc;rccho
trong bang du&i diiy:
Lap
~
12A
12C

7

8

9

10

13
20

9
12

15
9

8
9

Rut ng~u nhien mlii tui mQt bai thi. Tinh xac suAtde hai bai thi rut ra:
a) Deu d!lt 9 diem.
b) Co dung mQt hai d!lt 10 diem.
c) Co it nhdt mQtbai d!lt 10 diem.
Giai:
Ta nh~ xet: mlii bai thi cua lap 12A, ghep v&i mlii bai thi cua lap 12C dugc mQt kSt
qua cua phep thir.
Ta co: N(n) = 45.50 = 2250
a) G9i A IiibiSn c3 rut dugc hai bai thi d!lt 9 diem.

13


Suy ra: N(i\)

= 1"5:9= 135

.

'"
V~y xac suat cUa bien co A Iii: peA)

135
= 2250
= 503

b) GQi B Iii bi~n <:6nit dugc mQt bili d\lt 10 di~m.
Suy ra: N(B) = 8.41 + 9.37 = 661
Xac suAt clla bi~n c6 B Iii: PCB) = 661
2250
c) GQi C Iii bi~n c6 nit dugc it nhAt mQt bili d\lt 10 di~m.
Suy ra: N(e) = 8.9 + 661 = 733
• xac
. suat, cua
. b"len co, C I',,: P(C) =-733
Vay

.

n~

• Uu di~m vii h(lDch~ Clla djnh nghTa c6 di~n v~ xac suAt
- lJu t1i€m: D~tinh xae suAt Clla mQt bi~n c6 vi chi cdn ti~n hilnh phep thir mQt cach giil
dinh.
- H(ln

eM: Binh nghTa c6 di~n Clla xac suAt doi hoi phep thir phili co hitu h\ln k~t qua d6ng

khil nang. Nhung tren th\lc t~ nhi~u phep thir co vo h(lD k~t qua. B6ng thai tinh d6ng khil

nang Clla cac k~t qua khong phili bao gia cling xacdjnh dugc ..
N~u cac k~t quil cUa phep thir khong d6ng kha nang thi xac suAt st! dugc xac dinh b~g
djnh nghTa xac suA! theo th6ng ke nhu sau:
2.2.2. Binb ngbia xac suAt thea tb6ng ke
Binb ngbTa 2.2. Th\lc hi~n mQt phep thir n Idn. Giil sir bi~n c6 A xuAt hi~n m IAn. Khi do m
dugc gQi Iii tAn s6 clia bi~n c6 A vii 1)' s6 m dugc gQi Iii tAn suAt xuAt hi~n Clla bi~n c6 A.
n
Vi dy 2.16. Ki~m tra ngdu nhien IAlUg( 90 siln phAm do mQt cong ty siln suAt thAy co 5 ph~
phAm. GQi A la bi~n c6 xuAt hi~n ph~ phAm". Khi do 1)' s6 :0 tdn suAt xuAt hi~n clia bi~n
c6 A la treng 90 ldn ki~m tra.
Nb,n

xet: Khi n thay d6i thi tAn suAt m ciing thay d6i. NguOi ta nMn thAy n~u n nho thi
n

tdn suAt co S\l dao dQng rAt IOn. Nhung khi n kha

1m; thi tAn suAt

m co S\l 6n dinh vii dao
n

dQng quanh mQt s6 p c6 dinh.
Vi dy 2.17. Nghien cUu khil nang xuAt hi~n miit sAp khi gieo mQt d6ng xu, Buffen vii
K.Pearson dii ti~n hilnh gieo mQt d6ng xu nhi~u Idn lien ti~p vii thu dugc k~t qua:
Nguai lilm
thi nghi~m
Buffon
Pearson
Pearson

S6IAn gieo
4040
12000
24000

So Ian xuat hi~n
miit sAp
2048
6019
12012

>

•

Tan suat
0,5069
0,5016
0,5005

Qua bang k~t qua tflln ta thAy s6 IAn giee cling tang thi tAn suAt xuA! hi~n miit sAp cang
gAn v~ gia tri 0,5.

14


--------------I)-in~b~n-g-b-la~1£~.J~.
-K~Ji-~lin thf!C

i1ifo pile" thir 0 kM 100,oSu tin suAtcila biSo-e6--A-&!---

dinh ddn ve 56 p xac diOOnao d6 thl 56 p gQi la xac sudt cua biSn c6 A, ky hi~u la peA).
Tlic la:

peA)

=

lim m
0 ....•00

n

• Nhugc dii!m cua diOOnghia xac sudt theo th6ng ke la chi ap d\lng cho cae hi~n tugng c6
tdo sudt 6n diOO.D6ng thOi de xacdiOO gia tri chfnh xae cua xac sudt thi pMi th\lc hi~n 56
ldo thli tuang d6i Ian. Trong th\lc te vi nhieu Iy do, mQt s6 bai toan khong the tien hanh
phc!pthli OOuv~y de til d6 ta c6 the dnh dugc xac sudt cua mQtbien c6.
1.1.3. Binb ngbla xae suit theo hlnh hQC
Trong th\lc te doi khi ta thulmg g~p cac bai toan dimg: Cho mQt mien hiOOhQc G (c6 the
la mQt dOilnth~ng, mQtmien ph~ng, mQtmanh m(it cong hay mQt kh6i khong gian) va mQt
mien con S cua G. Ldy ngdu OOienmQt diem M thuQc mien G. Tfnh xac sudt de diem M d6
rai vao mien S.
M6i cach ldy ngdu OOienmQt diem M thuQc mien G se cho ta mQt bien c6 cua phep thli.
Do v~y phep thli nay c6 khong gian mdu g6m vo hilDket qua d6ng kha nang. GQi A la bien
c6 "Diem M rai vao mien S"
Nhu v~y m6i cach Idy diem M trong mien S la mQt ket qua thu~n 19icho bien c6 A. Khi
d6 phc!pthli nay cling c6 vo hiln cac ket qua thu~n Igi cho bien c6 A.
Do d6, ta khong the ap d\lng diOOnghia c6 dien cua xac suilt de dnh xac sudt cua biSn c6
A. Trong trulmg hgp nay nguOi ta xiiy d\lDgdiOOnghia xac sudt theo hinh hQc.

V6i nhihlg gia thiSt OOutren, xac sudt Clla bien c6 A dugc tfnh nhu sau:
"D6do" cuaS
P(A)--'--- "D(>do cua G

Tuy theo G la dOilnth~ng, mien ph~ng hay kh6i khong gian rna khai ni~m "dQ do" cua G
dugc hieu la dQ dai, di~n tfch hay the tfch.
Vi d\l 2.18. Cho mQtkhu dilt hinh chii' OO~tva mQt vulm hoa hinh thoi nQitiep trong hiOO
chii' nh~t d6. MQt em be da b6ng mQtqua b6ng rai vao khu ddt. Tfnh xac suilt de qua b6ng
rai vao trong vulm hoa.
Giai:
. Di~n tich hlnh thoi MNPQ la: ~MP.NQ
Di~n tfch hlnh chii'nh~t ABCD la: AB.BC
GQi A la bien c6 qua b6ng rai vao trong vulm hoa hlnh thoi MNPQ.
Xac suilt cua bien c6 A la:
A
M
peA) = Di~n Hch hlnh thoi MNPQ
Di~n tfch hlnh chii'OO~tABCD
Q
!MP.NQ
1
2
=
AB.BC
2
D
P

B

C

Hinh 2.1.

15


'''''i'~dlr2;19;tfuj-ngum h~n ~ nha:u-~~ia
diem trong kholin-g-tlKrigian tlti-gicr d~n8
gia. Nguai d~n tnrac sl! cha ngum d~n sau trong kholing thai gian 15 pMt n~u khong g~p
sl! di.
Tfnh xac suAt d~ hai ngum g~p nhau tlli diem ht:n, biet r~g mili ngum co the d~n chil
ht:n trong kholing thai gian dli quy dinh m~t cach ng~u nhien va khong ph\) thu~c VaG
nguai kia.

Giai:

y

Ta thAy: n~u gQi x, y IAnluqt la thm diem
ngum tht'r nhAt, ngum tht'r hai d~n chil ht:n thi
hai nguai g~p nhau khi va chi khi:
Ix-yl::::15pMt.
X

x - y :s;15 <:=>{

I

I

-y:S; 15

60
/

/

x-y~-15

y:S;x+15

)/

/

{y ~ x -15

<:=>

1/

15

Bieu di8n X, y nhu tQa d~ cac diem tren m~t
ph~g tQa d~ De-cac vuong goc

0

1/

15

60

x

Hinh 2.2.
Dan vi cua cac trvc la phut. Khong gian m~u n la hinh vuong co Cllnh la 60, con A la
bi~n c6 hai ngum g~p nhau duQ'c bieu di8n bm mien gllch cheo.
Khi do, xac suAt de hai nguai co the g~p nhau la:
2

peA)

= 60

2
- 45
2

60

=

J.- "" 0,44
16

2.2.4. Binh nghia xac sudt theo tien d@
M~c du ra dai tir the ki XVII, nhung do ngu6n g6c xuAt phat va cac khai ni~m duQ'c neu

ra thi~u nhUng lu~n ct'r khoa hQCnen ca quling thm gian dili tir the ki XVII d~n tmac nhUng
nam 30 cua the ki XX xac suAt khong duQ'c coi Ia nganh toao hQc chfnh th6ng. Mlii t6'i nlim
1933 khi nba toan hQCngum Nga A.N Kolmogorop xily d\ffig h~ tien de cho Iy thuy~t xac
suAt thi xac suAt mai duQ'Ccong nh~n la m~t nglinh khoa hQc chfnh th6ng sanh ngang hang
v6"i nhieu nglinh toan hQCkhac nhu s6 hQc, hinh hQc, dlli s6, giai tich, ...
Binh nghia 2.4. Cho m~t phep thfr co khong gian m~u la

n. D~t t~p

w(O)

= {A I A c O}

(w(Q) gQi la t~p tAt ca cac bi~n c6 cua phep thir dli cho).
M~t anh XliP: w(Q) ~

lR

A HP(A)
duQ'c gQi la m~t bam xac suAt xac dinh tren t~p w(Q) n~u no thOa mlin cac tiende sau:
i)

VA

E

w(n): 0:;; peA) :;;I;

Ii) pen) = I;
iii) N~uA],A2,

... ,An

E

w(Q) vaAjnAj=0(Vi,j=l,n,

i;"'j)

thi P(AI U A2 U ... U An) = P(AI) + P(A2) + ... + P(An)
2.2.5. Y nghia cua xac sudt
Tir cac dinh nghia cua xac suM ta thdy xac sudt cua m~t bien c6 la dlli lugng d~c trung
cho kha nling khach quan xudt hi~n bi~n c6 do khi th\l"c hi~n phep thir. Bi~n c6 co xac sudt

16


-----------lmr(gan-biing-11-thi-kM-nW1g-x-uAt-hi~n-cua-bien-c5-d6-c3ng_nhien,
bien c8-c6-xac-sl!At-nh6--(gAn b~ng 0) thi kM nling xudt hi~n cUa no cling it.
Chu
Xac sudt ph\! thuc;lc vao dieu ki~n cua phep thir. Neu cac dieu ki~n nay thay d6i
xac sudt cling sl! thay d6i.

v:

2.3. Cac tinh chAt cua xac suAt
Cho A, B la hai bien c5 cua cling mc;ltphep thir co khong gian milu

n. Ta

co:

(i) Neu A c B thi P(A)::; PCB)
(ii) V6'i bien c5 A bdt kY ta co

0::; P(A)::;

I

(iii) peA) = 1- peA)

(iv) P(0) = 0
Chrmgminh:
(i) Vi A c B nen B = AU BA
M~tkhac:
A va BA xung kh~c nhau nen theo tien de 3 ta co:

-

-

PCB) = peA U BA)= peA)

+ P(BA)

Vi P(BA) ~ 0 nen PCB) ~ peA)
(li) Theo tien de I ta co peA) ~ O. Neu peA) < I thi theo tien de 3 peA)

< 0,

dieu nay trlii

vm tien de I. Do d6 P(A)::; I.
-

-

(iii) Vi AUA = rl nen P(AUA)
M~t khac: AnA=
Do d6: peA)

= P(rl) = I

0

+ peA)

= I

V~y peA) = 1- peA)
(iv) VI 0 = rl nen P(0) = P(rl) = I-P(rl)

= I-I

= 0

2.4. Cac phep thfr dqc I~p va hlQ'C d6 Bernoulli
Oily n phep thir rna sg xudt hi~n hay khong xudt hi~n cUa mc;lt bien c5 trong phep thir
nay khong anh hUOng den sg xay ra hay khong xay ra cua bien c5 do trong cac phep thir
con l(li cua day dugc gQi la day phep thir dge I~p.

Ch~ng h(ln: Tung mc;lt d6ng xu nhieu I~n sl! t(lo nen mgt day phep thir dgc I~p, hay ldy
nhieu IAn bong den til mgt 10 bong den theo phuang thirc co holm l(li cling sl! t(lO nen mc;lt
day phep thir dgc l~p, ...
Lugc d6 Bernoulli la day n phep thir gi5ng h~t nhau thOa man cac dieu ki~n sau:
- Oily do dgc I~p.
-

Trong m6i phep thir chi co hai bien c5 A va A .
peA)

=p

khong d6i 6 tdt ca n phep thir da cho (do do peA) = q = 1- p)

Vi dy 2.20. Gieo 10 I~n mc;lt d6ng xu din d5i va d6ng chdt la day g6m 10 phep thir thoa
man lugc d6 Bernoulli.
Bai toan d(it ra la: Tinh xac sudt de trong lugc d6 Bernoulli bitln c5 A xudt hi~n dung k
IAn, ky hi~u xac sudt do la Pn(k).

17


Baltoan nRy(1ugc riM bac hQCngum ThWST Bernoulli glaiTiflli~lcTxvnnendugc
gQi la hai toan Bernoulli. Xac sudt tren duQCxac djnh nhu sau:
Pn(k) = C~pkqn-k
(v6i q = 1 - P )
Ch,mgminh:
GQi Hk la bi~n c6 xay ra k bi~n c6 A trong dlly n phep thl'rd{icI~p.
Trong n phep thl'rd{icI~pco C~ truimg hgp bi~n c6 A xay ra k Idn. M6i Idn k bi~n c6 A
xay ra co xac suAt la pkqn-k . Pn(k) la xac suAt de

Hk xay ra, va ta co
P(Hk) = Pn(k) = C~pkqn-k do cac bi~n c6 de k Idn A xay ra la d{icI~p.
Vi d\l 2.21. Gieo 10 Idn lien ti~p m{itd6ng xu can d6i va d6ng chAt.Tinh xac suAtde trong

10 Idn gieo co 6 Idn xuAthi~n m(it sAp.
Giai:
Gieo 10 Idn lien ti~p m{it d6ng xu can d6i va d6ng chAt dugc xem la th\i"chi~n day 10
phep thl'rthoa man lugc d6 Bernoulli. Khi do ta co: n = 10, k = 6.

. .

(1)6[ 1-"21)4 "" 0,205

Do do xac suilt ciin tim la: PIO(6)= C~0"2

Vi d\l 2.22. Ty l~ nay mdm cua h\lt ngo la 90%. Tinh xac suAtde khi gieo 100 hilt ngo co

SOhilt nay mdm.
Giai:
Ta co: n = 100, k = SO,P = 90%. Theo cong thuc Bernoulli xac suAtcdn tim la:
PIOO(SO)
= cfgo (0,9 )80 (1- 0,9 )'0

"" 0,0012

2.5. Cong tblic Hnb xac suit
2.5.1. Cong tbuc cQng xac suit
Dinb Iy 2.1. N~u A va B la hai bi~n c6 xung khik nhau thi
P(A + B ) = P(A) + P(B)
Chu-ngminh:

Xet phep thl'rco n k~t qua d6ng kha nang trong do co nJ k~t qua thu~ 19icho bien c6 A
va n2 ket qua thu~ 19i cho bien c6 B. Do A va B xung khdc nhau nen khong co ket qua
thu~n Igi cho ca A va B cimg xay ra. V~y s6 ket qua thu~n Igi cho bien c6 A + B la n, + n2.
Theo djnh nghia c6 dien cua xac suAtta co:
n, +n, -~+E.L
n
n
n

P(A+B)=
n

P(A)=-L;

n

P(B)

= E.L
n

V~y
P(A + B) = P(A) + P(B)
Vi d\l 2.23. M{it lap co 30 sinh vien trong do co 20 nam va 10 nit. GQing&unhien hai sinh
vien. Tinh xac suAtde dugc hai sinh vien cung gi6i tinh.
Giai:
GQiA la bi~n c6 hai sinh vien dugc gQideu la nam.

IS

------------

B hi biSn ell hai sinh vi~n ~

gQi dtu la

1Ii\";----~-----------~

C la biSn c5 hai sinh vi~n duqc gQi cling gim
Khi do: C = A + B
Vi A va B Iii hai biSn c5 xung khAc nhau n~n
P(C) = peA + B) = peA) + PCB) = Clo + C~o = 190 +~=

C30

C30

435

435

47
87

VI dy 2.24. Mi)t 10 hang chua 10 Hnh ki~n di~n tlr trong do co 2 Hnh ki~n bi hong. Tlnh
xac sudt de khi Idy ng&u nhi~n ra 5 Hnh ki~n thi co khong qua I Hnh ki~n bi hOng.
Giili:
GQi Alia biSn c5 trong 5 Hnh ki~n Idy ra khong coHnh ki~n Olio bi hong.
Az Iii biSn c5 trong 5 Hnh ki~n Idy ra co I Hnh ki~n bi hOng.

A Iii biSn c5 trong 5 Hnh ki~n ldy ra co khong qua I Hnh ki~n bi hong.
Khi do: A = A, + Az
Vi Al va Az Iii hai biSn c5 xung khAc nhau n~n
C'
C1C4
-++~=-+-=-

P(A)= P(AI +Az)=P(A,)+P(Az)=

CIO

CIO

56
252

140
252

7
9

VI dy 2.25. Mi)t hQp phdn co I 0 vi~n phdn trong do co 7 vi~n phdn mllU do vii 3 vi~n phdn
mau trdng. Ldy ng&u nhi~n tit hi)p 3 vi~n phdn. Tlnh xac sudt de duqc It nhdt I vi~n phdn
milu do.
Giili:
GQi A Iii biSn c5 Idy duqc it nhdt 3 vi~n phdn milu do.
Khi do: A Iii biSn c5 3 vi~n phdn Idy ra khong co vi~n phdn do nilo, tlrc Iii cil 3 vi~n
phdn deu Iii phdn milu trdng.
I

I
I
119
Vi
P(A)=-=n~n P(A)=I-P(A)=I--=-

cio

120

120

120

H~qua 2.1. NSu n biSn c5 A" Az, •.. , An xung khAc tUng doi thi
P(AI + Az + ... + An) = peA,) + P(Az) + ... + P(An)
Binb Iy 2.2. NSu A vii B Iii hai biSn c5 bdt ky (khong nhdt thiSt phili xung khlic) cua cling
m(\t phep thie thi
peA + B) = peA) + PCB) - P(AB)
Chu-ngminh:
Ta co: AU B = (A B) U (AB) U (AB)
Vi AB,AB,ABxungkhlictitngdoin~n
-

M(\t khac: A =ABUAB,

P(AUB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)

-

B=ABUAB

-

peA) = P(AB) + P(AB)

{o}

-

PCB) = P(AB) + P(AB)

n~n

-

P(AB) = peA) - P(AB)
-

{o}

P(AB) = PCB) - P(AB)

Thay (2) vii (3) vilo (I) ta co: P(AUB)

(I)

(2)
(3)

= P(A)+P(B)-P(AB)

VI dy 2.26. Mi)t lap co 35 sinh vi~n trong do co 15 sinh vi~n biSt tiSng Anh , 10 sinh vi~n
biSt tiSng Nh~t vii 5 sinh vi~n biSt cil hai thu tiSng tr~n. ChQn ng&u nhi~n mi)t sinh vi~n.
Tlnh "ac sudt de sinh vi~n do biSt it nhdt m(\t ngo
19