ôn thi cao học môn toán kinh tế (phần xác suất)

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế –

Trần Ngọc

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Trần Ngọc

Phần Xác suất

Hội

Xác suất

Hội

Bước 2: Chọn n − k sản phẩm loại B từ N − NA sản
phẩm loại B. Số cách chọn là

ƠN THI CAO
HỌC
MƠN TỐN
KINH TẾ

CNn− − kN .
A

Theo ngun lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong
đó có đúng k sản phẩm
loại A là:

CNk A .CNn− − kN

(GV: Trần Ngọc Hội A

2009)

.

§2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

PHẦN II: XÁC
SUẤT
A- CÁC CƠNG THỨC
CƠ BẢN
§1. ƠN VỀ TỔ HỢP
1.1. Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử
là một nhóm khơng có thứ tự
gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho.
Ví du: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là:
{x,y}; {x,z};
{y,z}.
k

cơng thức:

Cnk =

2.1. Phép thử và biến cố
1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện
trong những điều kiện xác
định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác
nhau, mỗi kết quả được gọi là

một biến cố.
Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc
đồng chất 6 mặt. Các biến
cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có
chấm chẵn,…
2) Biến cố tất yếu, kí hiệu ∧ (Ơmêga), là biến cố nhất
thiết phải xảy ra khi thực
hiện phép thử.
Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố
“Xuất hiện mặt có số chấm
khơng q 6” là biến cố tất yếu.
3) Biến cố bất khả, kí hiệu √, là biến cố khơng bao giờ
xảy ra khi thực hiện
phép thử.

n!
k ! ( n − k )!

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất
hiện mặt có số chấm lớn
hơn 6” là biến cố bất khả.

20! = 38760.
6!14!

6

Chú ý: Trên máy tính có phím chức
năng nCr, ta tính

6
20

bằng cách bấm

C

4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có
thể khơng xảy ra khi thực
hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để
chỉ các biến cố ngẫu
nhiên.

2 0 nCr 6 =

phẩmloại A ta tiến hành 2 bước:

1.3. Bài tóan lựa chọn:
Một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong đó có NA sản
phẩm loại A và N − NA sản
phẩm lọai B. Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N).
Với mỗi số ngun k thỏa 0
≤ k ≤ NA, 0 ≤ n − k ≤ N− NA. Tìm số cách chọn ra n
sản phẩm, trong đó có đúng k sản
phẩm loại A.
Lời giải
Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản

k

1


Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố
“Xuất hiện mặt 1 chấm” là một
biến cố ngẫu nhiên.
Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6
mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6)
là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” .

định bởi:
A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra.
⇔ Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc
B xảy ra.
Minh họa:

5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B
(hay A∪ B) là biến cố

2

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

1.2. Công thức tính tổ hợp: Gọi

Ví dụ:

Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có

C20 =

Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ NA sản phẩm loại A. Số cách chọn là

CN .
A


Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

t
c

V
1
Ta
có
thể
mở
rộng
khái
niệ
m
tổng
của

n
biến
cố
A1,
A2,
…,
An
như
sau:
A1 +
A2 +
…+
An
xảy
ra
⇔
Có
ít
nhất
1
tron
gn

biến
cố
A1,
A2,
…,
An
xảy

ra.

V
d
:
T
n
m
t
c
n
x
c
x
c
m
t
g
A
l
b
n
c
“
u
h
n
m
t
c

s
chấ
m
khơ
ng
q
2”
và B
là
biến


cố “Xuất hiện mặt có số chấm
chẵn”, ta có:

A
=
A
1

+
A
3

+
A
5

Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi
cho biến cố A là A1, A3, A5.

8) Hai biến cố A và B được gọi là
xung khắc nếu AB = Ư, nghĩa là A
và B không bao
giờ đồng thời xảy ra trong cùng một
phép thử.
Minh họa:
A = A1 + A2
B = A2 + A4 + A6
6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định
bởi:

7)
Biến
cố sơ
cấp là
biến
cố
khác
biến
cố bất
khả
và
không
thể
phân
tích
dưới
dạng
tổng
của

hai
biến
cố
khác.

nào 9) Biến cố đối lập của biến cố A,
đó, ta kí hiệu A , là biến cố định bởi
gọi
A
những
xả
biến
cố sơ
y
cấp
ra
đó
thuận
⇔
lợi
cho
A
biến
kh
cố A.
ôn
Như
g
vậy,
mọi

xả
biến
y
cố sơ
ra
cấp
đều Minh họa:

Như vậy, A và A xung khắc, hơn
nữa A + A = ∧, nghĩa là nhất thiết
phải có một và
chỉ một trong hai biến cố A hoặc

A xảy ra khi thực hiện phép thử.
Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6
mặt, xét các biến cố
A : Xuất hiện mặt có số chấm
chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
4

3

Printed with FinePrint trial version - purchase at

Ta có
www.fineprint.com
thể
xem
AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử)

các
biến
Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B
cố sơ
đồng thời
cấp
xảy ra trong cùng một phép thử.
như là
Minh họa:
các
Ví dụ
nguyê
n tử
mặt, xét các biến cố :
nhỏ
A : Xuất
nhất hiện mặt có số chấm
chẵn.không
B : Xuất
thể hiện mặt 1 chấm.
C : Xuất
phânhiện mặt có số không
quá 2.
chia
đươc
Ta cónữa.
A và B xung khắc nhưng
A vàMột
C thì không (AC = A
Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6

biến
mặt, xét các biến cố sau:
cố A
A : Xuất hiện mặt có số chấm
bất kỳ
Ta có thể mở rộng khái niệm
chẵn.
sẽ là
tích của n biến cố A1, A2,…, An
B : Xuất hiện mặt có số chấm
tổng
như sau:
lớn hơn hay bằng 5.
của
C: Xuất hiện mặt có số chấm
một
A1A2…An xảy ra ⇔
nhỏ hơn hay bằng 5.
số
Tất cả n biến cố A1, A2,
biến
…, An đồng thời xảy
cố sơ
Ta có: AB = A6 và ABC = √.
ra.
cấp


Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ta
thấy
nga
yB
là
biến
cố
đối
lập
của
A.
10)
Các
biến
cố
đồn
g
khả
năn
g là
các
biến
cố
có

khả
năn
g
xảy
ra
như
nha
u
khi
thực
hiện
phé
p
thử.
Ví
dụ:
Khi
tung
ngẫ
u
nhiê
n
một
con
xúc
xắc

đồn
g
chất

6
mặt,
các
biến
cố
sơ
cấp
Aj
(j =
1, 2,
…,6
) là
đồn
g
khả
năn
g.

2
.
2
.
Đ
ị
n
h
n
g
h
ĩ

a
x
á
c
s
u
ấ
t

G

k

t

h

m

p

t

c

c


phẩm loại A là

biến cố sơ cấp đồng
khả năng

k n
A

có thể xảy ra, trong đó có mA
biến cố sơ cấp thuận lợi cho
biến cố A. Tỉ số được
gọi là xác suất của biến cố A, kí
hiệu là P(A).
Như vậy,

A

C
n

§3. CƠNG THỨC CỘNG
XÁC SUẤT
3.1. Cơng thức cộng xác
suất

Số
biến
cố
sơ
cấp
thuậ
n lợi

cho A
Tổn
g
số
biế
n
cố
sơ
cấp
có
thể
xảy
ra
2.3. Cơng thức tính xác
suất lựa chọn.
Xét một lơ hàng
chứa N sản phẩm,
trong dó có NA sản
phẩm loại A, còn lại
là loại B. Chọn ngẫu nhiên từ lơ
hàng ra n sản phẩm (0 < n < N).
Khi đó, với mỗi 0 ≤ k
≤ NA thỏa 0 ≤ n − k ≤ N −
NA, xác suất để trong n sản
phẩm chọn ra có đúng k sản

3)
Cơ
ng
th

ức
cộ
ng
xá
c
su
ất
th
ứ
hai

Với A và
B là hai
biến cố
bất kỳ, ta
có:
P(A +
P(AB)
Ví dụ 1:
Một lơ
hàng chứa
15 sản
phẩm
gồm 10
sản phẩm
tốt và 5
sản phẩm
xấu.
Chọn
ngẫu

nhiên từ
lơ hàng ra
4 sản
phẩm.
Tính xác
suất để
trong 4
sản phẩm
chọn ra
có:
a) Số sản
phẩm tốt
khơng ít
hơn số
sản phẩm
xấu.
b) Ít nhất

1 sản
phẩm
xấu.
Lời giải
Gọi Aj
(j =
0,1,
…,4)
là
biến
cố có
j sản

phẩm
tốt và
(4 −
j) sản
phẩm
xấu có
trong
4 sản
phẩm
chọn ra.
Khi đó
A0, A1,
…,A4
xung khắc
từng đơi
và theo
Cơng
thức tính
xác suất
lựa chọn
với N =
15, NA =
10, n = 4
(ở đây
loại A là
loại tốt),
ta có

a) Gọi A là biến cố số sản phẩm
tốt khơng ít hơn số sản phẩm xấu.

Ta có:

1365
600
210
1365
1365
1)
Cơn

Từ đây do tính xung khắc từng
đơi của A2, A3, A4, cơng thức
cộng thứ nhất cho ta:
P(A) = P(A 4 ) +
210 600 450
P(A 3 ) + P(A 2 ) =
1365 1365 1365

Printed with
FinePrint trial
A=A
version +purchase
A
at
www.fineprint.com

g
thứ
c

m

cộn
g
xác
suất

P(A) =

thứ
nhấ

P( Aj ) = C10 C4 5

t.
Với A và B là
hai biến cố
xung khắc, ta
có

;; P(
P(P(
AA21A))0 ==) =
; P( P(
A4 A)3=) = .

p n(k) =

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1
P(A+B) =

P(A) + sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm
P(B)
chọn ra. Khi đó,
Mở rộng : Với A1, A2, …, An

biến cố đối lập

là n biến cố xung khắc từng

khơng có sản phẩm xấu nào trong

đơi, ta có:

4 sản phẩm chọn ra nên

+ P(A2) +…+ P(An)

C

2) Hệ quả. Với A là một biến
cố bất kỳ, ta có

Từ đó ta
tính được:

5
450
1365
1365

B là biến cố

B = A4. Suy ra xác suất của B+ là

P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) P(B) = 1

j

−
P(B ) = 1 −
P( A4 ) = 1 −

2 = 0,8462 .
1
0
13
65

100

5

6

N nN− N

P(A) = 1 − P(A)

+

= 0, 9231

CC


Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội
Ví
dụ
2:
Một
lớp
học
có
100
sinh
viên
,
tron
g đó
có
60
sinh
viên
giỏi

Tố
n,
70
sinh
viên
giỏi
Anh
văn
và
40
sinh
viên
giỏi
cả
hai
mơn
Tố
n và
Anh
văn.
Chọ
n
ngẫ
u
nhiê
n
một
sinh
viên
của

lớp.
Tìm
xác
suất

để
chọ
n
đượ
c
sinh
viên
giỏi
ít
nhất
một
tron
g
hai
mơn
Tố
n
hoặc
Anh
văn.

L
Gọi
-A
là

biến
cố
sinh
viên
đượ
c
chọ
n
giỏi
moa
n
Tố
n.
-B
là
biến
cố
sinh
viên
đượ
c
chọ
n
giỏi
mơn
Anh
văn.


Khi đó

- AB là biến cố sinh viên được
chọn giỏi cả hai môn Toán và
Anh văn.
- A + B là biến cố sinh viên
được chọn giỏi ít nhất một trong
hai môn Toán hoặc Anh
văn.
Do đó

4.2. Công thức nhân xác
suất thứ nhất
Nếu biến cố A độc lập với
biến cố B thì B cũng độc lập
với A và ta có
P(
A
B)
=
P(
A)
P(
B)
Mở rộng : Với A1, A2, …,
An là n biến cố độc lập từng
đôi, nghĩa là với mọi 1 ≤
i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có:
P
(
A

Với
A, B
là
hai
biến
Ấ
P( T60

2

…
A
n

)
=
P
(
A

2

)
…
P
(
A
n

).

4.3. Công thức nhân xác
suất thứ hai

)=
P(A)
1)

P(

có

A)

điều

+

Mở rộng :
P(B/A) =
Với A1, A2,
…, An là n
P(B)P(A/B)
biến cố bất
kỳ, ta có:
Chẳng hạn:

P(A1A2 …An) =
P(A1)P(A2/A1)…
P(An/A1 A2 …
An− 1).

P(ABC) =
P(A)P(B/A)P(C/A
B).

Địn
h
ngh
ĩa.
Xác
suất

kiện
của

P(

biến

B)

cố A
biết
biến

−
P(
A
B)
=

1

)
P
(
A

P(AB

= 0,9.
70
A 4.1.
40
Xác
100
+ suất
có
100
B) điều
100
kiện
=

1

A

cố
bất
kỳ,

ta
có

§4.
C
Ô
N
G
T
H
Ứ
C
N
H
Â
N
X
Á
C
SU

cố
B
đã
xảy
ra,
kí kiệu P(A/B),
là xác suất của
biến cố A
nhưng được

tính trong
trường hợp
biến cố B
đã xảy ra rồi.

Ví dụ: Thảy một con xúc xắc
đồng chất 6 mặt. Xét các biến
cố sau:
- A là biến cố xuất
hiện mặt có số
chấm chẵn.
- B là biến cố xuất
hiện mặt có số
chấm lẻ.
- C là biến cố xuất

hiện mặt có số
chấm nhỏ hơn hay
bằng 4.
- D là biến cố xuất
hiện mặt có số
chấm lớn hơn hay
bằng 4.
Khi đó
- P(A/B) = 0
- P(A/C) = 2/4 =
0,5

P(A/D
) = 2/3

Nhậ
n
xét:
Tro
ng
ví
dụ
trên
ta
có
xác
suất
của
biến
cố A
là
P(A
)=
3/6
=
0,5.
Do
đó

thể
lớn
hơn
xác
suất
thôn

g
thườ
ng
P(A
).
Đặc
biệt,
ta
thấy
xác
suất
để
biến
cố A
xảy
ra là
0,5
khô
ng
phụ
thuộ
P(A/B) < P(A);c
P(A/C) = P(A);vào
P(A/D) > P(A).
việc
biết
Điề
hay
u đó
chư

cho
a
thấy
biết
xác
biến
suất
cố C
có
đã
điều
xảy
kiện
ra.
của
Ta
biến
nói
cố A
biến
có
cố A
thể
độc
nhỏ
lập
hơn,
với
có
biến

thể
cố C
bằn
theo
g
định
như
nghĩ
ng
a
cũn
sau:
g có


Ví dụ: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa

2) Tính độc lập.
Nếu P(A/B) = P(A),
nghĩa là sự xuất hiện
của biến cố B
không ảnh hưởng đến xác suất
của biến cố A, thì ta nói A độc
lập với B.

15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10

7

sản phẩm tốt, 5

sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản
phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn
ngẫu nhiên từ mỗi
lô 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để trong 4 sản
phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và
2 sản phẩm xấu.
b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm
tốt và 2 sản phẩm xấu. Tính xác
suất đã chọn
được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm
xấu từ lô I.
Lời giải
Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) lần
lượt là các biến cố có i sản
phẩm tốt và (2 − i) sản
phẩm xấu có trong 2 sản phẩm
được chọn ra từ lô I, lô II.
Khi đó
- A0, A1, A2 xung khắc từng
đôi và ta có:

8

Printed with FinePrint trial version - purchase at
www.fineprint.com


Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội
Suy ra
0 2

;

2

.

P
Mặt khác
A1A =
A1B1

1 1

Vì hai biến
cố A1 và
B1 độc lập
nên theo
Cơng thức
nhân thứ
nhất ta có:

P5=

00,
105 P
P525
40
)6
B0
.
, Do đó 1
0
B1 xác
5
, suất
2 0

B2
xu
ng

cần tìm

1
0
5

là:

kh
ắc
từ
ng

đơ
i
và
ta
có
:

2
21
1
0
5

;

P/=P(A
( A1A)
A) P(
A
1
)


=

0,36 51 = 0,6957.

0,2540
2

P(B1
)=

2
0

105
-

Ai và Bj độc lập.

a) Gọi A là biến cố chọn được 2
sản phẩm tốt và 2 sản phảm
xấu. Ta có:
A=A
B2 +
A1B1 +
A2 B 0
Do tính xung khắc từng đôi,
công thức cộng xác suất cho ta:
P(
A)
=
P(
A0
B2)
+
P(
A1
B1)

+

hộp I gồm
0, 1,2 ) là biến cố có j bi
6 bi đỏ, 4
đỏ và 2 − j bi trắng có
bi trắng;
trong 2 bi lấy từ hộp II.
hộp II
Khi đó ta có các hệ sau là các hệ
gồm 8 đỏ, đầy đủ, xung khắc từng đôi:
2
- A0 , A1 , A2.
trắng.Từ
- B0 , B1 , B2.
mỗi hộp,
- A0B0 , A0B1 , A0B2 ,
chọn ra 2
A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0
bi. Xét
, A2B1 , A2B2.
các biến
cố sau:
P(A P(A) =
Ai
P(A)P(A
(i
=
9
0,

1,
2 ) Printed with FinePrint trial
www.fineprint.com
là
bi
ến
P( A0 ) = 10
cố
1
có
i
P( A1 ) = 2 10
bi
1
đỏ
và
P( A2 ) = 2 10
2
1
−
i
bi
trắ
P(B0 ) = 8
ng
P(B0 )
1
Nhận xét.
có
=

+ Với A1,
tro
A2,…, An
8
ng
+ là một hệ
1
2
đầy đủ và
bi
b) Giả sử đã chọn được 2 sản xung khắc
lấ
P(B2 ) = 2 8
từng đôi
phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu.
y
1
ta có
Khi đó biến cố A đã xảy
từ
P(A
1
)
+
P(A
ra. Do đó xác suất để chọn được
… + P(A
hộ
1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm
xấu từ lô I trong trường

p
Ví dụ. Có
hợp này chính là xác suất có
I.
hai hộp,
điều kiện P(A1/A).
mỗi hộp
Bj
chứa 10
Theo Công thức nhân
(j
viên bi,
xác suất thứ hai, ta có
=
trong đó
Các biến
cố A1, A2,
§5. CÔNG
…, An
THỨC
XÁC SUẤT được gọi
là một hệ
ĐẦY ĐỦ
VÀ CÔNG biến cố
đầy đủ và
THỨC
xung khắc
BAYES
5.1. từng đôi
nếu hai

Hệ tính chất
biến sau được
thỏa:
cố
- A1 + A
đầy
… +A
- ∀1
đủ
i≠j≤
và
Ai Aj =
xung nghĩa là
khắc các biến
cố A1, A2,
từng
…, An
đôi xung khắc
P( từng đôi
A2 và nhất
B0) thiết phải
. có một và
chỉ
Từ đây, do tính độc lập, công một biến
thức nhân xác suất thứ nhất cho cố Aj nào
ta:
đó xảy ra
khi thực
P(A) = P(A0 )
hiện một

P(B2 ) + P(A1 ) phép thử
bất kỳ.
P(B1 ) + P(A 2 )

- A0B0 , A0B1 + A1B0,
A0B2 + A1B1 + A2B0 ,
A1B2+ A2B1 , A2B2.
5.2. Công thức xác suất
đầy đủ
Cho A1, A2,…, An là một
hệ biến cố đầy đủ và xung
khắc từng đôi. Khi đó, với
A là một biến cố bất kỳ, ta
có:
n

j

j=1

10

version - purchase at

C C
C

=

5

C C
C

7

C C
C
C C
C

1

5

= 50 ;

5

= 45 .

C C
C

C C
C

j

=

7

= 56 ;
10

7

= 28 .

P(A1A)
P(A1/A) =

.


Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

lơ I
gồm
10
sản
phẩ
m

tốt,
5
sản
phẩ
m
xấu;
lơ II
gồm
8
sản
phẩ
m
tốt
và 7
sản
phẩ
m
xấu.
Chọ
n
ngẫ
u
nhiê
n từ
lơ I
2
sản
P(A k )P(A/A phẩ
P(A)
m

bỏ
j=1
sang
lơ
Ví
II,
dụ.
sau
Có
đó
hai
từ lơ
lơ
II
hàn
lấy
g,
ra 2
mỗi
sản
lơ
phẩ
chứ
m.
a 15
a
sản
T
phẩ
x

m,
tron
s
g đó
đ
5.3
.
Cơ
ng
th
ức
Ba
yes
Vớ
i
các
giả
thi
ết
nh
ư
tro
ng
5.2
, ta
có
với
mỗ
i
1

≤
k
≤
n:


trong 2 sản phẩm chọn
ra từ lô II có 1 sản
phẩm tốt và 1
sản phẩm xấu.
b) Giả sử đã chọn
được 1 sản phẩm tốt
và 1 sản phẩm xấu từ
lô II. Tính xác
suất đã chọn được 1 sản phẩm
tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I.
Lời giải
Gọi
- A là biến cố chọn được 1
sản phẩm tốt và 1 sản phẩm
xấu từ lô II.
- Aj (j = 0, 1, 2) là biến cố
có j sản phẩm tốt và (2 − j)
sản phẩmxấu có trong 2
sản phẩm được chọn ra từ lô I.
Khi đó A0, A1, A2 là hệ đầy
đủ, xung khắc từng đôi và ta
có:

1

1

A)

0,5231
0 2

2

2

105

1
1

1 1

136

105
2 0

Suy ra xác suất của biến cố A là

P( A) = P( A0 )
P( A / A0 ) + P(
A1 )P( A / A1 ) +
P( A2 )P( A / A2
)

10 72
50 72
45 70
105
136
105
136
105
136
= 0,5231

105
a
)

b) Giả sử đã chọn được 1 sản
phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II.
Khi đó biến cố
A đã xảy ra. Do đó xác suất cần tìm
chính là xác suất có điều kiện
P(A1/A). Ap dụng
Công thức Bayes và sử dụng kết
quả vừa tìm được ở câu a) ta có

50 72
P(A
1 )
P(A
/A1
)

P
(

Yê
u
cầu
của
bài
toá

;

1

P(A
/A
+
P(A
2

P(A
/A
.

6.1. Công
thức
Bernoulli
Tiến
hành n
phép

thử độc
lập
trong
những
điều
kiện
như
nhau.
Giả sử
Ta có:

n

2

là

ở mỗi
phép thử, biến cố A
hoặc xảy ra với
xác suất pkhông
đổi, hoặc không
xảy ra với xác
suất q = 1 – p. Khi
đó, với mỗi 0 ≤
k ≤ n, ta có Công
thức Bernoulli tính
xác suất để
trong n phép thử,
biến cố A xảy ra

đúng k lần là:

§6. CÔNG THỨC
P(A
BERNOULLI

kk

72
136

tín
h
xác

6.2. Hệ
quả. Với
các giả thiết
như trên ta
có:
1) Xác suất
để trong n
phép thử
biến cố A
không xảy
ra lần nào
là qn.
2) Xác suất
để trong n
phép thử

biến cố A
luôn luôn
xảy ra là pn.

Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm
với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%.
Cho máy sản
xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để
trong 5 sản phẩm thu được có:
a) 3 sản phẩm tốt.
b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt.

11

suấ
t
12

P(
A).
Th
eo
Cô
ng
thứ
c
xác
suấ
t
đầ

y
đủ
ta
có:
P(A
)=
P(A
0)
P(A
/A0)
+

Printed with FinePrint trial version - purchase at
www.fineprint.com
P( A / A1 ) = C 9 C 8 =
P(A k /A) =

=n

∑ P(A j )P(A/A
j )

7
13
C1

C P( C
A / A=) =70
C
10

7 2

2

1

=.+

P( A 0/ )A=0 )C=101010CC
C8 5C55===9 =50
45 ;.

Pn (k) =

Cnp qn − k


Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

−
Lời giải

k

)
s
ả
n
p
h
ẩ
m

G
ọ
i
A
k

(
k
=
0
,
1
,
…
,
5
)
l
à
b
i

ế
n
c
ố
c
ó
k
s
ả
n
p
h
ẩ
m
t
ố
t
v
à
(
5

x
ấ
u
c
ó
tron
g5
sản

phẩ
m
thu
đượ
c.
Ap
dụn
g
Cơn
g
thức
Ber
noul
li
với
n=
5, p
=
0,6,
q=
0,4
ta
có

k

a)
Xác
suất
để

tron
g5
sản


phẩm thu được có 3 sản phẩm
tốt là:

-

B - ĐẠI
LƯỢNG
NGẪU
NHIÊN

3

b) Xác suất để trong 5 sản
phẩm thu được có ít nhất 3 sản
phẩm tốt chính là
P(A3 + A4 + A5). Ta có:

§1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI
LƯỢNG NGẪU NHIÊN

P( A3 + A4 +

1.1. Định nghĩa. Đại lượng

A5 ) =

ngẫu nhiên là một đại lượng

P( A3 ) +
P( A4 ) +
P( A5 )
4

=
0,6
825
6.

-

pk = P(X
= xk) ≥ 0 trong đó
với k = 1,
2, …, n.
n

=
1,
k

nghĩ
a là
p1 +
p2 +
…+

pn =
1.

nhận giá trị thực tùy theo
kết quả của phép thử.
Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,…
chỉ các đại lượng ngẫu nhiên.
k =1
Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị
của các đại lượng ngẫu nhiên.
1.2. Phân loại
a) Loại rời rạc: Là loại
đại lượng ngẫu nhiên chỉ
nhận hữu hạn hoặc vô
hạn
đếm được các giá trị.
Ví dụ: Tiến hành n thí
nghiệm. Gọi X là số thí
nghiệm thành công. Khi
đó
X là một đại lượng ngẫu nhiên rời
rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1;..; n.
b) Loại liên tục. Là loại
đại lượng ngẫu nhiên
14
nhận vô hạn không đếm
13
được các giá trị mà thông thường
các giá trị này lấp kín một đoạn nào
đó trong tập các

Printed with
số thực.
Ví dụ. Gọi T là nhiệt độ FinePrint trial
version - purchase
đo được tại một địa
phương. Ta có T là một at
www.fineprint.com
đại
lượng ngẫu nhiên liên tục.
1.3. Luật phân phối
a) Trường hợp rời rạc
Với X là một đại lượng
ngẫu nhiên rời rạc nhận
các giá trị tăng dần : x0,
x1,…,xn ta lập bảng:
x1 X2 …………………
X
p1 p2 …….. xn
P
…………………
………. pn

Ví dụ
xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản
phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X.
Lời giải
Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Ap dụng
Công thức tính xác suất lựa chọn ta được:

P( Ak ) = C n p q

=

C

5

(0,6) (0,4)

P( A3 ) = C 5 (0,6)3 (0,4) 2 = 0,3456.

.


Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

2
;
21
5

Xxx……
P1 2 ……

pp……
1 2 ……
…..
xn
……
……
……
……
…….
pn
t
1 h
2

3

n
g

Vậy
luật
phân
phối
của X
là
0
X

1

2

M


(x)

dx
P

b)
Trườn
g hợp
liên
tục
Trư
ờng
hợp
X
liên
tục,
thay
cho
việc
liệt
kê
các
giá
trị
của

Xở
dòn
g
trên,
ta
chỉ
ra
đoạ
n
[a;b
] mà
X
nhậ
n
giá
trị ở
đoạ
n đó
(a, b
có
thể
hữu
hạn
hoặ
c vô
hạn)
.
Còn
thay

.

2

2/15

8/15

X
P

1/3

0
2/15

1
8/15

M(X) = 0.2/15 +

Do
c
đó
h
c
Ví dụ
kỳ
trên,o ta có X có phân
á phối như

vọ
sau:
c
ng
x
của
á
t
X
c
í
là
n
s
h
u
ấ
c
t
h
p
ấ
0
t
,
s
p
a
1
u

,
:
…
,
p

-

-

1.8/15 + 2.1/3 =
f(x) ≥ 0 với mọi
x ∈[a;b].
b

f ( x)dx = 1.

a



P(〈 ≤
X ≤ )=
f ( x)dx.

n

t
a
đ

ư
a
r
a
h
à
m
m
ậ
t
đ
ộ
f
(
x
)
t
h
o
ả

1,2.

§2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI
LƯỢNG NGẪU NHIÊN.
2.1. Mode. Mode của
đại lượng ngẫu nhiên
X, kí hiệu Mod(X), là
giá trị x0 của

∫
〈

2)
Tín
h
chất
: Kỳ
vọn
g có
các
tính
chất
sau:

X
t
ờ
g
l

Nế
u
X
liê
n
tục
thì
x0
là

giá
trị
mà
hà
m
mậ
t
độ
f(x
)
đạt
giá
trị
lớn
nh
ất.

Tín
h
chất
1:
Kỳ
vọn
g
của
một
đại
lượn
g
ngẫ

u
nhiê
n
hằn
g
bằn
g
Nh
chín
ư
h
vậ
hằng số đó, nghĩa
y,
là:
M(C) = CM
Const). od(
X)
Tín
là
h
giá
chất
trị
2:
tin
Với
ch
k là
ắc

hằn
nh
g số
ất
ta
củ
có
a
X được xác định như sau:
X,
- Nếu X rời rạc thì
tức
x0 là giá trị mà xác
là
giá
suất P(X = x0) lớn nhất
trị
trong số
mà
các xác suất P(X = x).

nhất
.
Chú
ý
rằng
Mod
(X)
có
thể

nhậ
n
nhiề
u
giá
trị
khác
nha
u.

(C:

Ví
dụ:
Xét
lại
ví
dụ
trên,
ta
có
X
P
Do
đó
Mod
(X)
= 1.
2
K

v
(
G
t
b
1
v
đ
n
n
k
M
s


được
xác định như sau:
- Nếu X rời rạc có
luật phân phối

M(kX) =
kM(X).
Tính chất 3: M(X +
Y) = M(X) + M(Y).

15

Tính chất 4: Với hai
lượng ngẫu nhiên
độc lập X và Y ta có

M(XY) =
M(X)M(Y)
.
2.3. Phương sai và độ
lệch chuẩn.
1) Phương sai của
đại lượng ngẫu nhiên
X, kí hiệu D(X), là
số thực
không âm định bởi:
2

trong đó  = M(X) là kỳ vọng của
X.
Căn bậc hai của
phương sai được gọi
là độ lệch chuẩn, kí
hiệu ⌠ ( X ) .
Vậy

16

Printed with FinePrint trial version - purchase at
www.fineprint.com
p0 = P( X = 0) =
p1 = P( X = 1) =

C C
C
6

4

=

1

C C
C
6

2

4

=8;

1

p2 = P( X = 2) =

2

C C
C
6

4

∑ xk k

=1.

1

∫


Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

⌠(X) =
2) Cơng
thức tính
phương
sai:
Từ định
nghĩa của
phương
sai ta có
cơng thức
khác để
tính
phương
sai

như
sau:
D(X) = M(X
2

Như
vậy,
Nế
u
X
rời
rạc
có
luậ
t
ph
ân
ph
ối

2
S
d
n
m
á
t
h
đ
t

h
c
c
đ
c
s
T
c
t
s
d
n
p
ầ
m
m

thống
kê trong
các máy
tính bỏ
túi
CASIO
500MS,
570MS,
500ES,
570ES,..
.) để
tính
kỳ

vọng,
phương
sai và
độ lệch
chuẩn
của đại
lượng
ngẫu
nhiên
rời rạc.
Ví
dụ
.


Xét đại lượng ngẫu nhiên rời
rạc X có phân phối như sau:
X
0
1
2
P
2
a) Đối với loại máy tính
/
CASIO 500 và 570MS
1
X
x1 X2 ………………… 1) Vào MODE SD: Bấm MODE (vài
lần...) và bấm số ứng với SD, trên màn

Pp1 p2 …….. xn
………………… hình sẽ

5
5
8
/
1
5
1
/
3

b2 b2
a

D(X)

SH 3M+

n
mới sẽ thay cho số liệu cũ.
g
Ví dụ. Nhập sai 0 SHIFT , hĩ
a
2 a b/c 2 5 M+ . Khi kiểm
là
tra ta thấy trên
:
màn hình hiện ra:

- x1 = 0 (đúng).
- Freq1 = 2/25 (sai)

2
SH

,1
a
b/c

= AC . Kiểm tra lại: Bấm nút tròn

D(X)

k =1

hoặc ⊗ thấy n = và ở góc số 0 là đã

Ví

xóa.

dụ:

3) Nhập số liệu: Nhập (khi bấm
SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;)

m
ậ
t

đ
ộ
f(

bấm = thì số liệu

1 15

b/c

hiện lên chữ SD.
2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm
SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên
Stat clear)

nk k n

li
ê
n
t
ụ
c
v
ớ
i
h
à
m

a

x
)
c
ó
m
i
ề
n
x
á
c
đ
ị
n
h
[
a
;
b
]
t
h
ì

0 SHIFT , 2
a b/c

1

Xét
lại ví

Suy ra
phươn
g sai
của X
là:

D(X)
=
dụ đã
M(X2
xét ở
)–
[M(X
trên,
)] 2 =
ta có
02.2/1
5+
X có
12.8/1
phân
5+
22.1/3
phối
−
(1,2)2

như
=
sau:
32/75
≈
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
0
và kỳ
,
vọng
4
của X
2
là
6
M(X)
7
= 1,2 .

suất
tương
ứng) sẽ
bị xóa.
Chẳng
hạn,

4) Kiểm tra và sửa số liệu sai:

IFT

thì công thức trên trở thành

N
ế
u
X

,8

+

IFT M+

………. pn

k=
1

.

thì tòan
bộ số
Bấm nút tròn
liệu đó
để kiểm tra việc nhập số liệu.
(gồm
Thấy số
giá trị
liệu nào sai thì để màn hình ngay của X

số liệu đó, nhập số liệu đúng và và xác

M

Độ
lệc
h
chu
ẩn
của
X
là:

Sửa

⌠(X
D( X
0,4267
0,6532.

1

5=

thì

Tí

n

n

g

h

0,

c
h
ất
1:
P
h

như

ư

sau:

ơ

Để

n

mà

g

n

sa

hìn

i

hở

củ

Fre

a

q1

m
ột

=

đạ

2/2

i

5,

lư

bấ

ợ

m2

n

a

g

b/c

n

nhận
được
số liệu
đúng
Freq1
= 2/15.
3) Tính chất:
Phương sai có
các tính chất
sau:

gẫ
u
n
hi
ên
Số liệu nào bị nhập dư

hằ

thì để màn hình ở số

n

liệu đó và bấm SHIFT
M+

g
C
bằ

D
Tí
n
h
c
h
ất
2:
V

ới
k
là
hằ
n
g
số
ta
có

D
Tí
n
h
c
h
ất
3:
V
ới
X
,
Y
là
ha
i
đạ
i
lư
ợ

n
g


ngẫu nhiên độc lập
ta có:

kiểm tra
việc
nhập số
liệu
xong,
phải bấm
AC để
xóa màn
hình và thóat khỏi
chế độ chỉnh sửa.

nhập dư 3 SHIFT , 3
D(X + Y) a b/c 4 M+ . Khi
= D(X) + kiểm tra ta thấy x4 =
D(Y).
3 (dư). Ta để màn
17

hình ở số liệu đó và
bấm SHIFT M+ thì
tòan bộ số liệu dư
(gồm giá trị của X =
3

và xác suất tương
ứng 3/4) sẽ bị xóa.
Chú ý.
Sau khi

18

Printed with FinePrint trial version - purchase at
www.fineprint.com

trong đó M(X ), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X2 và X.

∑x

2

− (∑ x kp k )2

∫a

f (x)dx − (∫ xf (x)dx)


Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

5) Đọc kết quả:

§
3
h
X
t
b

0

)

0

Đ

v

ố

à

i

5

v

7

ớ

0

i

E

l

S

o
ạ
i
m
á
y
t
í
n
h
C
A

1)
Kha
i
báo

cột
tần
số:
Bấm
SHI
FT
SET
UP
41
(
B
ấ
m

S
I
O

b
ằ
n

5

g
c


ách bấm nút tròn xuống)

k

2) Vào Mode Thống kê: Bấm

N
n

MODE 3 1 (hoặc MODE 2 1 )
(Trên màn hình sẽ hiện lên
chữ STAT)
3) Nhập số liệu: Như trong
bảng sau:

N

3.2. Các đặc số của phân

a)

phối siêu bội
Giả sử X có phân phối
siêu bội X ∼ H(N, NA, n).
Khi đó X có các đặc số
như sau:
Kỳ vọng:

sai.
N−n
N−1

vôùi

q=1 − p

số liệu thì bấm SHIFT 1 2
4) Kiểm tra và sửa số liệu sai:
Bấm nút tròn để kiểm tra việc
nhập số liệu. Thấy số
liệu nào sai thì để con trỏ ngay
số liệu đó, nhập số liệu đúng và
bấm = thì số liệu mới
sẽ thay cho số liệu cũ.
Số liệu nào bị nhập
dư thì để con trỏ ở
số liệu đó và bấm
DEL thì tòan bộ
số liệu đó (gồm giá trị của X và
xác suất tương ứng) sẽ bị xóa.
Chú ý. Sau khi kiểm
tra việc nhập số liệu
xong, phải bấm AC
để xóa màn
hình và thóat khỏi chế độ chỉnh
sửa. Trong quá trình xủ lý số
liệu, muốn xem lại bảng

5) Đọc kết quả:

T
a

t
h
ấ
y
X
c
ó
p
h
â
n

M(X) vô p N A
N
Phươ
=
np
ùi
=
b)
ng
D(X) =

n

= 224/495; P(X = 4) =
0
)
=

1
X 0
32/495
P 1/495

1
/
4
9
5
;
P
(
X

Kỳ vọng
của X là

M(X) =
19

70/495.
Vậy luật phân phối của X là:
2
3
4
168/49
224/49
70/495
5

5

8
12

= 2, 667.
20

np =
4.

=Printed

with FinePrint trial version - purchase at
www.fineprint.com

1
p
)
h
=
ố
Ví dụ
i
gồm 8 bi đỏ
3
s và 4 bi xanh. Chọn
2
ngẫu nhiêni từ hộp ra 4 bi.
ê bi đỏ có trong 4 bi/

Gọi X là số
u tìm luật phân phối
4
chọn ra. Hãy
9
của X và xác định kỳ
b
5
vọng, phương sai của X.
ộ
;
i
P
Lời giải
X ∼ H(N, N
(
X
với N = 12; N
8, n = 4.
=
Do đó X
nhận các
2
giá trị k
)
nguyên từ
=
max {0; 4
+ 8 − 12}
1

= 0 đến
6
min{4; 8}
8
= 4 với
/
các xác
4
suất định
9
bởi:
k 4− k
5
;
P
12
(
Từ đây ta
X
tính được
P
=
(
X
3
)
=

Đại lượng cần tìm
Thao tác

Kết quả
Ghi chú
Kỳ vọng M(X)

CC

P(X = k) =

C

Đại lượng cần tìm
Thao tác
Kết quả
Ghi chú
Kỳ vọng M(X)

P( X = k ) = C 8 C4 4

C


Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất

Trần Ngọc Hội
⇔
2,6 ≤

⇔
k≤
Phươ
= 0,
ng
sai Vậy 3,6
6465.
của
X giá k = 3.
là
trị
N
tin
chắc
4
nhất
N
của
1
X là
k=
3.

§4.
PH
ÂN
PH
ỐI
NHỊ
TH

ỨC
4.1
.
Đị
nh
ng
hĩa
.
Đạ
i
lượ
ng
ng
ẫu
nhi
ên
X
đư
ợc
gọi
là
có
ph
ân
ph
ối
nh
ị
th
ức,

kí
hiệu

X∼
B(n,
p),
tron
g đó
n số
ngu
n
dươ
ng ,
0<
p<
1,
nếu
X
rời
rạc
nhậ
nn
+1
giá
trị
ngu
n
0,1,
…,
n

với
các
xác
suất
đượ
c
tính
theo
theo
Cơn
g


thức Bernoulli:

4.3. Định lý. Cho X là một
đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối siêu bội X ∼
H(N,
NA, n). Giả sử rằng n rất nhỏ so với
N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại
lượng ngẫu

G
ọi
X
là
số

N

sả

k
k

Trường hợp n = 1, ta còn nói X
có phân phối Bernoulli, kí hiệu
X ∼ B(p).
4.2. Các đặc số của
phân phối nhị thức
Giả sử X có phân phối
nhị thức X ∼ B(n,p).
Khi đó X có các đặc số
như sau:
a)

(k = 0, 1, …)

n

n
ph

Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản
phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm
tốt và 2000 sản
phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô
hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất
chọn được 7 sản

phẩm tốt.

ẩ
m
tốt
có
tro
ng

Lời giải

Mode: Mod(X) = k,
trong đó k là số
nguyên thỏa

10
sả

np –

n

q≤
k ≤

ph

np –

ẩ

q+1

b) Kỳ vọng:

M(X) =

np

c) Phương sai: D(X) =
npq
Ví dụ. Một lô hàng chứa rất
nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ
sản phẩm loại tốt là 60%.
Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5
sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm
tốt có trong 5 sản
phẩm chọn ra. Hãy tìm luật
phân phối của X. Xác định kỳ
vọng và phương sai của X.
Hỏi giá trị tin chắc nhất của X
là bao nhiêu?
Lời giải

m
ch

Ta thấy X có phân phối
nhị thức X ∼ B(n,p) với
n = 5, p = 0,6. Suy ra X

nhận 6
giá trị nguyên 0,1,…, 5 với các
xác suất được tính theo theo
Công thức Bernoulli:

ọn
ra.
K
hi
k

k

đó
X
có
ph
ân
ph

ẫu nhiên X được gọi là có
đếm được các giá trị
phân phối Poisson, kí
nguyên k = 0,1,…, với các xác
siêu bội hiệu X ∼ P(a), trong đó hằng số a
suất định bởi:
X ∼ H(N, > 0, nếu X rời rạc nhận vô hạn
− a
NA, n) với
Từ đây ta tính

N=
P (X = k) =
k!
được
10000;
P(X =
NA=
0) =
8000; n
0,010
=10. Vì n
24;
= 10 rất
P(X =
nhỏ so
1) =
với N
0,076
8;
= 10000
P(X =
nên ta có
2) =
thể xem
0,230
như X có
4;
phân phối
P(X =
nhị thức

3) =
X∼
0,345
B(n,p) với
6;
n = 10; p
P(X =
=
4) =
NA/N =
0,259
8000/100
2;
00 = 0,8.
P(X =
Do đó xác
5) =
suất chọn
0,077
được 7
76.
sản phẩm
tốt là:
Vậy luật phân
5.2. Các đặc số của phân phối
phối của X là:
Poisson
3
4
5

7 7
0,3 0,2592 0,07776 Giả sử X có phân phối Poisson
X
45
X ∼ P(a). Khi đó X có các đặc số
0
6
như sau:
§5.
1
PHÂN
a) Kỳ vọng:
M(X) = a
2
PHỐI
P
b) Phương sai D(X) = a
POISSO
0,
N
01
5.
02
1.
4
Đị
0,
nh
ng
07

hĩ
68
a:
0,
Đ
23
ại
04
lư
ợn
3.
g
- Kỳ vọng của X là
ng
- Phương sai của X
M(X) = np = 5.0,6 =

là
D(X)
=
npq
=
5.0,6
. 0,4
=
1,2.

ối

- Giá

trị
tin
chắc
nhất
của
X
chín
h là
Mod
(X):
Mod
(X)
=k
với k
là số
ngu
yên
thỏa

5
.
3
.
T
í
n
h

c
h

ấ
t
.
G
i
ả

s
ử

X
1

,
X
2

đ
ộ
c

l
ậ
p
,
c
ó

p
h

â
n

p
h
ố
i
P
o