CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (full)

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
*Hàm y = sinx và y = cosx có TXĐ:R
Tập giá trị: -1 ≤ sinx ≤ 1 hoặc |sinx| ≤ 1
-1 ≤ cosx ≤ 1 hoặc |cosx| ≤ 1
Chu kỳ: 2π
sin (x+k. 2π) = sinx (k ∈ Z)
cos (x+k. 2π) = cosx (k ∈ Z)
*Hàm y = tgx có TXĐ:D
π
D={x ∈ R|x ≠ + k π } ; k ∈ Z
2
π
Chu kỳ:
tg (x+k π ) = tgx (k ∈ Z)

*Hàm y = cotgx có TXĐ:D
D={x ∈ R|x ≠ k π } ; k ∈ Z
Chu kỳ: π
cotg (x+k π ) = cotgx (k ∈ Z)

sin2x + cos2x = 1 ; ∀x ∈ R
1
1
2
2
=
1
+
tg
x


cos
x
=
1 + tg 2 x
cos 2 x
π
(x≠ + kπ ; k ∈ Z)
2
1
1
= 1 + cotg2x  sin2x =
2
1 + cot g 2 x
sin x
(x ≠ k π , k ∈ Z)

π
tgx . cotgx = 1 (x ≠ k . , k ∈ Z )
2
1
1
tgx =
; cotgx =
cot gx
tgx

I) Cung đối: α và (- α )

VI) Công thức cộng:
cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb

cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa
sina(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa

cos(- α ) = cos α
sin(- α ) = - sin α
tg(- α ) = - tg α
cotg(- α ) = - cotg α
II) Cung bù: ( α và π - α )

tga + tgb
1 − tga.tgb
tga − tgb
tg(a-b) =
1 + tga.tgb
cot ga. cot gb − 1
cotg(a+b)=
cot ga + cot gb
cot ga. cot gb + 1
cotg(a-b)=
cot gb − cot ga

tg(a+b) =

sin( π - α ) = sin α
cos( π - α ) = - cos α
tg( π - α ) = - tg α
cotg( π - α ) = - cotg α
π
III) Cung phụ: ( α và − α )

2

cos( π 2 − α )= sin α
sin( π 2 − α )= cos α
tg( π − α ) = cotg α

2
cotg( π 2 − α )=

VII) Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
cos2a= cos2a – sin2a = 2cos2a – 1
= 1 – 2sin2a

tg α

IV) Cung π (hơn kém π): ( α và π + α )
cos(π + α ) = - cos α
sin(π + α ) = - sin α
tg(π + α ) = tg α
cotg(π + α ) = cotg α
π
V) Cung hơn kém π 2 :( α và + α )
2

(Bổ sung)

sin( π 2 + α ) = cos α
cos( π 2 + α ) = - sin α

tg( π 2 + α ) = -cotg α
cotg( π 2 + α ) = - tg α

tg2a =

2tga
(a;2a≠ π 2 +k π ;k ∈ Z)
1 − tg 2 a

VIII) Công thức hạ bậc:

1 + cos 2a
1 − cos 2a
; sin2a =
2
2
1
−
cos
2
a
tg2a =
1 + cos 2a

cos2a =

a
2

IX) Công thức tính theo tg =t:

a
2
2t
sina =
1+ t2

Đặt t = tg

a π
( ≠ + kπ )
2

2

2t
1− t2
; cosa =
; tga =
2
1− t2
1+ t


X) Công thức nhân ba: (Bổ sung)
cos3a = 4cos3a – 3cosa
sin3a = 3sina – 4sin3a
tg3a

=

3tga − tg 3 a
1 − 3tg 3 a

Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cosa.cosb = [cos(a+b) + cos(a-b)]
2
1
sina.sinb = [cos(a-b) – cos(a+b)]
2
1
sina.cosb = [sin(a+b) + sin(a-b)]
2

Công thức biến đổi tổng thành tích:
x+ y
x− y
cos
2
2
x+ y
x− y
sinx - siny = 2.cos
sin
2
2
x+ y
x− y
cosx + cosy = 2.cos
cos

2
2
x+ y
x− y
cosx - cosy = - 2.sin
sin
2
2
sin( a + b)
tga + tgb
=
cos a. cos b
sin(a − b)
tga - tgb
=
cos a. cos b
sin( a + b)
cotga + cotgb =
(Bổ sung)
sin a. sin b
sin(b − a )
cotga - cotgb =
sin a. sin b

sinx + siny

= 2.sin

Công thức giải phương trình lượng
giác cơ bản:

Một số trường hợp đặc biệt:

cosx = -1

 x = k2 π
 x = π + k2 π

cosx = 0

 x = π 2 + kπ

sinx = 1

 x = π 2 + k2 π

sinx = -1

 x = - π 2 + k2 π

sinx = 0

 x = kπ

cosx = 1
 x = α + k 2π
(k ∈ Z )
 x = −α + k 2π

cosx = cos α  

 x = α + k 2π
(k ∈ Z )
 x = π − α + k 2π
tgx = tg α
 x = α + kπ
cotgx = cotg α  x = α + k π

sinx = sin α  

Biến đổi về phương trình cơ bản →
giải được
cosx = - cos α  cosx = cos( π ± α )
sinx = - sin α  sinx = sin (- α )
tgx = - tg α  tgx = tg (- α )
cotgx= - cotg α  cotgx = cotg (- α )
π
cosx = sin α  cosx = cos( - α )
2

cosx = m  cosx = cox α (đặt m = cos α )
sinx = m  sinx = sin α (đặt m = sin α )
(Điều kiện: -1≤ m ≤ 1)
tgx = m  tgx = tg α (đặt m = tg α )
cotgx = m  cotgx = cotg α (đặt m=tg α )

Các hằng đẳng thức:
π

2 . cos  a − 

4

π

= 2 . sin  a + 
4


cosa + sina =

cosa – sina =

π

2 . cos  a + 
4


sina – cos a =

π

2 . sin  a − 
4


1 ± sin2a = (cosa±sina)2
cotga + tga =
cotga - tga

2
sin 2a

= 2cotg2a