bài giảng phương trình elliptic cho học viên cao học

NGUYỄN THÀNH ANH

BÀI GIẢNG
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

BẢN THẢO


2


MỤC LỤC

Chương I. Phương trình nửa elliptic tuyến tính và phương pháp biến phân

5

§1. Tóm lược kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2. Một số kết quả thường dùng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3. Phép tính vi phân đối với phiếm hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4. Tính lồi và tính nửa liên tục yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

§2. Cực tiểu toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

§3. Cực trị ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

§4. Định lí qua núi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1. Định lí qua núi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2. Định lí tồn tại nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Chương II. Một số phương pháp phi biến phân
§1. Phương pháp điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

27

1. Một số định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2. Toán tử Nemytski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3. Áp dụng cho phương trình elliptic nửa tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

§2. Phương pháp toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2. Áp dụng cho phương trình elliptic giả tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3


4

Chương I

PHƯƠNG TRÌNH NỬA ELLIPTIC TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP
BIẾN PHÂN

§1. Tóm lược kiến thức cơ sở
1. Một số không gian hàm
Giả sử ❳ và ❨ là hai không gian Banach. Nhắc lại rằng ta nói không gian ❳ được nhúng liên tục vào
không gian ❨ và viết ❳ ✱✦ ❨ nếu tồn tại một đơn ánh tuyến tính liên tục ❥ ✿ ❳ ✦ ❨ và hắng số ❈ sao
cho

❦❥ ✭✉✮❦❨ ❈ ❦✉❦❳ ✿
Khi đó, bằng cách đồng nhất ✉ ✷ ❳ với ❥ ✭✉✮ ✷ ❨ , ta có thể coi ❳ ✚ ❨

thành

❦✉❦❨ ❈ ❦✉❦❳ ✿

Ta nói không gian ❳ được nhúng compact và không gian
❳ là compact tương đối trong ❨ .

❨

Định lí 1.1. Nếu Ω là một tập mở bị chặn trong ◆ và r
❍✵✶ ✭Ω✮ ✱✦ ▲q ✭Ω✮. Hơn nữa, phép nhúng này là compact nếu ✭◆
Định lí 1.2. Giả sử ◆

và bất đẳng thức trên được viết

nếu

❳ ✱✦ ❨

và mỗi tập compact trong

✶ là số thoả mãn ✭◆   ✷✮q

  ✷✮q ❁ ✷◆ .

✷◆

thì

✸. Khi đó ❍ ✭ ◆ ✮ ✱✦ ▲q ✭ ◆ ✮ nếu q ✷ ❬✷❀ ◆  ◆ ❪.
✷

✶

✷

2. Một số kết quả thường dùng
Định lí 1.3 (Bổ đề Fatou). Giả sử Ω là một tập đo được (Lebesgue) trong
đo được không âm trên Ω. Khi đó
❩

◆

và ❢✉♥ ❣ là một dãy hàm

❩

✭❧✐♠ ✐♥❢ ✉♥✮❞① ❧✐♠
✐♥❢ ✉ ❞①✿
♥✦✶ Ω ♥
Ω ♥✦✶

Định lí 1.4 (hội tụ bị chặn). Giả sử Ω là một tập đo được trong ◆ , ❢✉♥ ❣ là một dãy trong ▲✶ ✭Ω✮ thoả
mãn
1) ✉♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trong Ω khi ♥ ✦ ✶;
2) tồn tại ✈ ✷ ▲✶ ✭Ω✮ sao cho, với mọi ❦ ✶, ✉♥ ✭①✮ ✈ ✭①✮ h.k.n. trong Ω.
Khi đó ✉ ✷ ▲✶ ✭Ω✮ và
❩
❩

❧✐♠

♥✦✶ Ω

✉♥ ❞① ❂

Ω

✉❞①✿

Định lí 1.5. ( [?, Th. 4.9]) Giả sử Ω là một tập mở trong ◆ , ❢✉♥ ❣ ✚ ▲♣ ✭Ω✮, ✶ ♣
hội tụ đến ✉ trong ▲♣ ✭Ω✮. Khi đó tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ và hàm ✈ ✷ ▲♣ ✭Ω✮ thoả mãn

✰✶, là một dãy

5


1) ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trong Ω khi ♥ ✦ ✶;
2) với mọi ♥ ✶, ✉❦♥ ✭①✮ ✈ ✭①✮ h.k.n. trong Ω.
Định lí 1.6 (Bất đẳng thức Poincaré). Giả sử Ω là một tập mở bị chặn trong
số ❈ ❂ ❈ ✭Ω✮ ❃ ✵ sao cho
❩
❩
Ω

với mọi ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮.

✉✷ ❞① ❈

◆.

Khi đó tồn tại hằng

❥r✉❥ ❞①
✷

Ω

3. Phép tính vi phân đối với phiếm hàm
Giả sử

❋ ✿❯ ✦

❳

là một không gian Banach, ❳ ✄ là không gian liên hợp của ❳ , ❯ là một tập mở trong
là một phiếm hàm. Nếu ❢ ✷ ❳ ✄ và ✉ ✷ ❳ , đôi khi ta viết ❤❢❀ ✉✐ thay cho ❢ ✭✉✮.

❳,

Định nghĩa. Ta nói phiếm hàm ❋ khả vi (Fréchet) tại điểm ✉ ✷ ❳ nếu tồn tại ▲ ✷ ❳ ✄ sao cho

❧✐♠ ❥❋ ✭✉ ✰ ✈✮   ❋❦✈✭✉❦✮   ❤▲✭✉✮❀ ✈✐❥ ❂ ✵

❦✈❦✦✵

với mọi ✈ ✷ ❳ .
Phiếm hàm ▲ như vậy là duy nhất và gọi là đạo hàm (Fréchet) của ❋ tại ✉, kí hiệu ❋ ✵ ✭✉✮ hay ❉❋ ✭✉✮.
Nếu ❋ khả vi (Fréchet) tại mọi điểm ✉ ✷ ❯ thì ta nói ❋ khả vi (Fréchet) trên ❯ . Ánh xạ ❋ ✵ ✿ ❯ ✦ ❳ ✄ ,
✉ ✼✦ ❋ ✵ ✭❯ ✮ gọi là đạo hàm của ❋ . Nếu ánh xạ này liên tục trên ❯ thì ta nói ❋ thuộc lớp ❈ ✶ trên ❯ và
viết ❋ ✷ ❈ ✶ ✭❯❀ ✮.

Định nghĩa. Giả sử ❍ là một không gian Hilbert với tích vô hướng ✭✁❀ ✁✮, ❯ ✚ ❍ là một tập mở và
■ ✿ ❯ ✦ là một phiếm hàm khả tại ✉ ✷ ❯ . Vì ■ ✵ ✭✉✮ là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ❍ nên,
định lí biểu diễn Riesz, tồn tại phần tử ✇ ✷ ❍ sao cho

❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ✭✇❀ ✈✮❀ ✽✈ ✷ ❍✿
Kí hiệu phần tử ✇ bởi r■ ✭✉✮ và gọi là gradient của ■ tại ✉. Như vậy, ta có

❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ✭r■ ✭✉✮❀ ✈✮❀ ✽✈ ✷ ❍✿
Định nghĩa. Ta nói phiếm hàm ❋ khả vi Gâteaux tại điểm ✉ ✷ ❳ nếu tồn tại ▲ ✷ ❳ ✄ sao cho

❋ ✭✉ ✰ t✈✮   ❋ ✭✉✮
❞

❋ ✭✉ ✰ t✈✮❥t❂✵ ❂ ❧✐♠
❂ ❤▲✭✉✮❀ ✈✐
t✦✵
❞t
t
với mọi ✈ ✷ ❳ .
Phiếm hàm ▲ như vậy là duy nhất và gọi là đạo hàm Gâteaux của ❋ tại ✉, kí hiệu ❋●✵ ✭✉✮.
Nhận xét. Nếu ❋ khả vi Fréchet tại ✉ thì ❋ khả vi Gâteaux tại điểm đó và ❋ ✵ ✭✉✮ ❂ ❋● ✭✉✮.
Mệnh đề 1.7. ( [?, Th. 1.9]) Nếu phiếm hàm
thì ❋ ✷ ❈ ✶ ✭❯❀ ✮.

❋

khả vi Gâteaux trên

Ví dụ 1.1. Giả sử ❳ là không gian Banach bất kì, ❆ ✿ ❳ ✦
nghĩa là ❆ ✷ ❳ ✄ . Khi đó ❆ thuộc lớp ❈ ✶ trên ❳ và ❆✵ ❂ ❆.
6

❯

và đạo hàm

❋●✵ liên tục trên ❯

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục,


Ví dụ 1.2. Giả sử ❳ là một không gian Banach, ❛ ✿ ❳ ✂ ❳ ✦ là một dạng song tuyến tính liên tục.
Khi đó phiếm hàm ■ ✿ ❳ ✦ , ✉ ✼✦ ❛✭✉❀ ✉✮, thuộc lớp ❈ ✶ trên ❳ và

❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ❛✭✉❀ ✈✮ ✰ ❛✭✈❀ ✉✮ hay ■ ✵✭✉✮ ❂ ❛✭✉❀ ✁✮ ✰ ❛✭✁❀ ✉✮
với mọi ✉❀ ✈

✷ ❳ . Đặc biệt, nếu ❛ đối xứng thì
❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ✷❛✭✉❀ ✈✮✿

Ví dụ 1.3. Giả sử Ω là một miền trong ◆ . Dễ dàng kiểm tra trực tiếp (hoặc sử dụng kết quả trong Ví
dụ 1.2) rằng phiếm hàm ■ ✿ ❍✵✶ ✭Ω✮ ✦ xác định bởi

■ ✭✉✮ ❂
thuộc lớp ❈ ✶ trên ❍✵✶ ✭Ω✮ và
với mọi ✉❀ ✈

❩

❥r✉✭①✮❥ ❞①
✷

Ω

❩

❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ✷ Ω r✉✿r✈❞①

✷ ❍ ✭Ω ✮.
✶
✵

Mệnh đề 1.8. Giả sử Ω là một tập mở trong

r, ✶ r ❁ ✶, và ❈ ❃ ✵ sao cho
với mọi t ✷ . Đặt
và

■ ✭✉✮ ❂

Ω

✿ ✦

là một hàm liên tục và tồn tại các số

❥❢ ✭t✮❥ ❈ ❥t❥r
❩

t

(1.1)

❢ ✭s✮❞s ✭t ✷ ✮

(1.2)

❋ ✭✉✭①✮✮❞① ✭✉ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮✮✿

(1.3)

❋ ✭t✮ ❂
❩

Giả sử ❢

◆.

✵

r✰✶

Khi đó, ánh xạ ✉ ✼✦ ❢ ✭✉✮ là liên tục từ ▲r✰✶ ✭Ω✮ vào ▲ r ✭Ω✮ và phiếm hàm ■ thuộc lớp ❈ ✶ trên ▲r✰✶ ✭Ω✮
và

■ ✵ ✭✉✮ ❂ ❢ ✭✉✮

với mọi ✉ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮.

r✰✶

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng ánh xạ ✉ ✼✦ ❢ ✭✉✮ là liên tục từ ▲r✰✶ ✭Ω✮ vào ▲ r ✭Ω✮. Với
✉ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮, từ (1.1) suy ra
❩

❩

r✰✶
❥
❢ ✭✉✮❥ r ❞① ❈ ❥✉✭①✮❥r ❞①✿
Ω
Ω
✰✶

r✰✶

Do đó ✉ ✼✦ ❢ ✭✉✮ là một ánh xạ từ ▲r✰✶ ✭Ω✮ và ▲ r ✭Ω✮. Ta chứng minh ánh xạ này liên tục. Nếu điều
này không đúng thì tồn tại dãy ❢✉♥ ❣ trong ▲r✰✶ ✭Ω✮ sao cho ✉♥ ✦ ✉ trong ▲r✰✶ ✭Ω✮ khi ♥ ✦ ✶ và

❦❢ ✭✉♥✮   ❢ ✭✉✮❦▲ r✰✶r Ω ✎ ❃ ✵ với mọi ♥ ✶✿
✭ ✮

(1.4)

Vì ✉♥ ✦ ✉ trong ▲r✰✶ ✭Ω✮ nên tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ của dãy ❢✉♥ ❣ sao cho ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trong
Ω và tồn tại ✇ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮ sao cho ❥✉❦♥ ✭①✮❥ ✇ ✭①✮ h.k.n. trong Ω. Vì ❢ liên tục và thoả mãn (1.1) nên
r✰✶
❢ ✭✉❦♥ ✭①✮✮ ✦ ❢ ✭✉✭①✮✮ h.k.n. trong Ω và ❥❢ ✭✉❦♥ ✭①✮✮❥ ❈ ❥✇✭①✮❥r ✷ ▲ r ✭Ω✮ h.k.n. trong Ω. Do đó, áp
r✰✶
dụng định lí hội tụ bị chặn ta có ❢ ✭✉❦♥ ✮ ✦ ❢ ✭✉✮ trong ▲ r ✭Ω✮. Điều này mẫu thuẫn với (1.4).
7


Bây giờ để chứng minh phiếm hàm ■ thuộc lớp ❈ ✶ trên ▲r✰✶ ✭Ω✮ và

■ ✵ ✭✉✮ ❂ ❢ ✭✉✮

với mọi ✉ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮, ta chỉ còn cần phải chứng tỏ ■ khả vi Gâteaux trên ▲r✰✶ ✭Ω✮ và

■●✵ ✭✉✮✈ ❂
với mọi ✉❀ ✈ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮.
Cố định ✉❀ ✈ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮. Vì ❋ ✵

❩

Ω

❢ ✭✉✮✈❞①

❂ ❢ nên ta có
❋ ✭✉✭①✮ ✰ t✈✭①✮✮   ❋ ✭✉✭①✮✮
 ✦ ❢ ✭✉✭①✮✮✈✭①✮ h.k.n. trong Ω✿
t

t★✵

Từ (1.1) ta có ❥❢ ✭✉✭①✮✮✈ ✭①✮❥ ❈ ❥✉❥r ❥✈ ❥ ✷ ▲✶ ✭Ω✮. Theo định lí Lagrange, với mỗi ❥t❥
tồn tại số ✒, ❥✒❥ ❥t❥ ✶, sao cho
☞
☞
☞
☞
☞

✶ và h.k.n. ① ✷ Ω,

❋ ✭✉✭①✮ ✰ t✈✭①✮✮   ❋ ✭✉✭①✮✮ ☞☞
☞ ❂ ❥❢ ✭✉✭①✮ ✰ ✒✈ ✭①✮✮✈ ✭①✮❥
☞
t
❈ ❥✉✭①✮ ✰ ✒✈✭①✮❥r ❥✈✭①✮❥
✏
✑
❈ ❥✉✭①✮❥r ❥✈✭①✮❥ ✰ ❥✈✭①✮❥r✰✶ ✿

☞

Để ý rằng ❥✉✭①✮❥r ❥✈ ✭①✮❥ ✰ ❥✈ ✭①✮❥r✰✶
được

✷ ▲ ✭Ω✮. Đến đây ta có thể áp dụng định lí hội tụ bị chặn để nhận
❋ ✭✉ ✰ t✈✮   ❋ ✭✉✮
❞① ❂ ❢ ✭✉✮✈❞①✿
❧✐♠
t✦ Ω
t
Ω
✶

❩

❩

✵

Đây chính là điều ta cần chứng tỏ.
Từ Mệnh đề 1.8 và Định lí 1.1, ta nhận được
Hệ quả 1.9. Trong Mệnh đề 1.8, nếu giả thiết thêm rằng Ω bị chặn và
hàm ■ xác định và thuộc lớp ❈ ✶ trên ❍✵✶ ✭Ω✮.

✭◆   ✷✮r ✭◆ ✰ ✷✮ thì phiếm

4. Tính lồi và tính nửa liên tục yếu
Định nghĩa. Giả sử ■ ✿ ❳ ✦ là một phiếm hàm trên không gian Banach
điểm cực tiểu toàn cục của ■ nếu

■ ✭✉✮ ❂ ✈✐♥❢
■ ✭✈ ✮✿
✷❳

❳, ✉ ✷ ❳. ✉ ✷ ❳

gọi là

✉ gọi là điểm tới hạn ■ nếu ■ ✵ khả vi tại ✉ và ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ✵. Nếu ✉ là một điểm tới hạn của ■ thì ❝ ❂ ■ ✭✉✮
gọi là giá trị tới hạn của ■ .
Nhận xét. Nếu ■ khả vi trên ❳ thì mỗi điểm cực tiểu toàn cục của ■ đều là điểm tới hạn.
Nhắc lại rằng, đối với dãy số thực ❢❛♥ ❣,

❧✐♠
✐♥❢ ❛♥ ✿❂ ♥❧✐♠
♥✦✶
✦✶ ✐♥❢ ❢❛❦ ❥ ❦ ♥❣

là giới hạn dưới của dãy ❢❛♥ ❣. Với hai dãy số thực ❢❛♥ ❣ và ❢❜♥ ❣ bất kì, ta có

❧✐♠
✐♥❢ ❛♥ ✰ ❧✐♠
✐♥❢ ❜ ❧✐♠
✐♥❢ ✭❛♥ ✰ ❜♥✮❀
♥✦✶
♥✦✶ ♥
♥✦✶
8

và nếu ❢❜♥ ❣ là dãy hội tụ thì

❧✐♠
✐♥❢ ✭❛♥ ✰ ❜♥✮ ❂ ❧✐♠
✐♥❢ ❛♥ ✰ ♥❧✐♠
♥✦✶
♥✦✶
✦✶ ❜♥ ✿
Đặc biệt, với ❛ ✷ ,
Định nghĩa. Phiếm hàm ■

✿❳✦

❧✐♠
✐♥❢ ✭❛♥ ✰ ❛✮ ❂ ❧✐♠
✐♥❢ ✰❛✿
♥✦✶
♥✦✶
gọi là nửa liên tục dưới yếu (theo dãy) nếu

■ ✭✉✮ ❧✐♠
✐♥❢ ■ ✭✉♥✮
♥✦✶
với mọi dãy ❢✉♥ ❣ trong ❳ hội tụ yếu đến ✉ ✷ ❳ .

Ví dụ 1.4. Đương nhiên mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục ■

Định nghĩa. Phiếm hàm ■ ✿ ❳ ✦ trên không gian vectơ
mọi số thực t ✷ ❬✵❀ ✶❪ có bất đẳng thức sau

✿❳✦

❳

đều nửa liên tục dưới yếu.

gọi là lồi nếu với mọi

✉❀ ✈ ✷ ❳

và với

■ ✭t✉ ✰ ✭✶   t✮✈✮ t■ ✭✉✮ ✰ ✭✶   t✮■ ✭✈✮✿
Phiếm hàm ■ gọi là lồi nghiêm ngặt nếu bất đẳng thức

■ ✭t✉ ✰ ✭✶   t✮✈✮ ❁ t■ ✭✉✮ ✰ ✭✶   t✮■ ✭✈✮
đúng với mọi ✉❀ ✈ ✷ ❳ , ✉ ✻❂ ✈ , và với mọi số thực t ✷ ✭✵❀ ✶✮.
Ta nói ■ là lõm (nghiêm ngặt) nếu  ■ là lồi (nghiêm ngặt).

Ví dụ 1.5. Giả sử ❳ là một không gian Banach và ❛ ✿ ❳ ✂ ❳ ✦ một phiếm hàm song tuyến tính
đối xứng. Xét phiếm hàm ■ ✿ ❳ ✦ xác định bởi ■ ✭✉✮ ❂ ❛✭✉❀ ✉✮✿ Khi đó
a) Nếu ❛✭✉❀ ✉✮ ✵ với mọi ✉ ✷ ❳ thì ■ lồi;
b) Nếu ❛✭✉❀ ✉✮ ❃ ✵ với mọi ✉ ✻❂ ✵ thì ■ là lồi nghiêm ngặt.
Đặc biệt, nếu ❳ là một không gian Hilbert và ❦✿❦ là chuẩn trên ❳ sinh bởi tích vô hướng trên ❳ thì
phiếm hàm ❳ ✸ ✉ ✼✦ ❦✉❦✷ là lồi nghiêm ngặt.
Thật vậy, giả sử ✉❀ ✈ ✷ ❳ , t ✷ ❬✵❀ ✶❪, dễ dàng kiểm tra rằng

■ ✭t✉ ✰ ✭✶   t✮✈✮   ✭t■ ✭✉✮ ✰ ✭✶   t✮✈✮ ❂ t✭✶   t✮ ✭✷❛✭✉❀ ✈✮   ❛✭✉❀ ✉✮   ❛✭✈❀ ✈✮✮ ✿

(1.5)

Mặt khác, vì

❛✭✉   ✈❀ ✉   ✈✮ ❂ ❛✭✉❀ ✉✮ ✰ ❛✭✈❀ ✈✮   ✷❛✭✉❀ ✈✮ ✵
(1.6)
nên vế phải của (1.5) không dương. Từ đó suy ra ■ là lồi. Tương tự cho khẳng định còn lại.
Mệnh đề 1.10. Nếu ■ ✿ ❳ ✦ là một phiếm hàm lồi liên tục trên không gian Banach ❳ thì ■ là nửa

liên tục dưới yếu.

Chứng minh. Giả sử ■ ✿ ❳ ✦ là một phiếm hàm lồi liên tục trên không gian Banach ❳ . Nhắc lại
rằng, tập con ❆ trong ❳ gọi là lồi nếu t✉ ✰ ✭✶   t✮✈ ✷ ❆ mỗi khi ✉❀ ✈ ✷ ❆ và t ✷ ❬✵❀ ✶❪. Với mỗi ❛ ✷ ,
đặt

❊ ✭❛✮ ❂ ❢✉ ✷ ❳ ❥ ■ ✭✉✮ ❛❣✿
Do ■ liên tục nên ❊ ✭❛✮ là đóng. Hơn nữa, do ■ là lồi nên dễ dàng thấy rằng ❊ ✭❛✮ là lồi. Từ đó ❊ ✭❛✮
cũng đóng đối với tôpô yếu trên ❳ .

9


✉♥ ✯ ✉ trong ❳ . Đặt ♠ ❂ ❧✐♠
✐♥❢ ■ ✭✉♥✮. Khi đó, tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ sao cho
♥✦✶
❧✐♠ ■ ✭✉❦♥ ✮ ❂ ♠. Lấy ✎ ❃ ✵ bất kì. Ta có ✉❦♥ ✷ ❊ ✭♠ ✰ ✎✮ với ♥ đủ lớn. Từ đó suy ra ✉ ✷ ❊ ✭♠ ✰ ✎✮, do
♥✦✶
Bây giờ giả sử

đó,

Do ✎ ❃ ✵ tùy ý nên ■ ✭✉✮

■ ✭✉✮ ♠ ✰ ✎✿
♠. Vậy

■ ✭✉✮ ❧✐♠
✐♥❢ ■ ✭✉♥✮❀
♥✦✶

hay ■ là liên tục dưới yếu.

Ví dụ 1.6. Chuẩn ❦✿❦ trong không gian Banach ❳ là một phiếm hàm lồi liên tục trên ❳ nên nó là nửa
liên tục dưới yếu. Như vậy, nếu ✉♥ ✯ ✉ trong ❳ thì

❦✉❦ ❧✐♠
✐♥❢ ❦✉♥❦✿
♥✦✶
Định nghĩa. Phiếm hàm ■
❢✉♥❣ trong ❳ ,

✿❳✦

xác định trên không gian Banach ❳ gọi là cưỡng nếu, với mọi dãy

❦✉♥❦ ✦ ✰✶ ✮ ■ ✭✉♥✮ ✦ ✰✶✿

Định lí 1.11. Nếu ❳ là một không gian Banach phản xạ và
và cưỡng thì ■ đạt cực tiểu toàn cục.

■✿❳✦

là một phiếm hàm lồi, liên tục

♠ ❂ ✉✐♥❢
■ ✭✉✮ và ❢✉♥ ❣ là một dãy cực tiểu hóa của ■ . Do ■ là cưỡng nên dãy
✷❳
❢✉♥❣ là bị chặn. Do ❳ là phản xạ nên tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ của dãy ❢✉♥❣ sao cho ✉❦♥ ✯ ✉ trong ❳ .
Theo Mệnh đề 1.10, ■ là liên tục dưới yếu nên
Chứng minh. Giả sử

■ ✭✉✮ ❧✐♠
✐♥❢ ■ ✭✉❦♥ ✮ ❂ ♠✿
♥✦✶
Từ đó suy ra ■ ✭✉✮ ❂ ♠ và ✉ là một điểm cực tiểu toàn cục của ■ .
Định lí 1.12. Nếu phiếm hàm ■
cục.

✿❳✦

là lồi nghiêm ngặt thì ■ có nhiều nhất một điểm cực tiểu toàn

Chứng minh. Giả sử ✉✶ và ✉✷ là hai điểm cực tiểu toàn cục phân biệt của ■ . Do ■ là lồi nghiêm ngặt
nên

✶ ■ ✭ ✉ ✮ ✰ ✶ ■ ✭✉ ✮
✉ ✰✉
✮
❁
♠✐♥

■
✭
✉
✮
■
✭
✉✷❳
✷
✷
✷
✶
✶ ♠✐♥ ■ ✭✉ ✮ ❂ ♠✐♥ ■ ✭✉✮✿
❂ ✷ ♠✐♥
■
✭
✉
✮
✰
✉✷❳
✉ ✷❳
✷ ✉✷❳
✶

✷

✶

✷

✶

Nhưng điều này không xảy ra.
Mệnh đề 1.13. Giả sử ❳ là không gian Banach và
Nếu ■●✵ đơn điệu trên ❳ , nghĩa là

■✿❳✦

✷

là phiếm hàm khả vi Gâteaux trên

❳.

❤■●✵ ✭✉✮   ■●✵ ✭✈✮❀ ✉   ✈✐ ✵ với mọi ✉❀ ✈ ✷ ❳❀
thì ■ là lồi. Nếu ■●✵ đơn điệu nghiêm ngặt trên ❳ , nghĩa là bất đẳng thức trên là nghiêm ngặt khi ✉ ✻❂ ✈ ,
thì ■ là lồi nghiêm ngặt.
10


✷ ❳ và xét hàm số ✥ ✿ ✦

Chứng minh. Cố định ✉❀ ✈

xác định bởi

✥✭t✮ ❂ ■ ✭✉ ✰ t✭✈   ✉✮✮✿
Khi đó ✥ là hàm khả vi trên

và ✥ ✵ ✭t✮ ❂ ❤■●✵ ✭✉ ✰ t✭✈   ✉✮✮❀ ✈   ✉✐. Nếu s ❁ t ta có

✶

✂
✥✵ ✭t✮   ✥✵ ✭s✮ ❂ ❤■●✵ ✭✉ ✰ t✭✈   ✉✮✮   ■●✵ ✭✉ ✰ s✭✈   ✉✮✮❀ ✈   ✉✐ ❂
t s
❤■●✵ ✭✉ ✰ t✭✈   ✉✮✮   ■●✵ ✭✉ ✰ s✭✈   ✉✮✮❀ ✭✉ ✰ t✭✈   ✉✮✮   ✭✉ ✰ s✭✈   ✉✮✮✐ ✵✿
Vậy ✥ ✵ là hàm đơn điệu tăng, do đó, ✥ là hàm lồi. Ta có

✥✭t✮ ❂ ✥✭t✿✶ ✰ ✭✶   t✮✿✵✮ t✥✭✶✮ ✰ ✭✶   t✮✥✭✵✮
hay

■ ✭t✈ ✰ ✭✶   t✮✉✮ t■ ✭✈✮ ✰ ✭✶   t✮■ ✭✉✮✿

Nếu ■●✵ là độ đơn điệu nghiêm ngặt thì ✥ ✵ tăng nghiêm ngặt, do đó, ✥ là lồi nghiêm ngặt. Từ đó ■ là
lồi nghiêm ngặt.
Ví dụ 1.7. Trong Mệnh đề 1.8, nếu giả thiết thêm rằng ❢ là đơn điệu giảm (nghiêm ngặt) thì ■ là lồi
(nghiêm ngặt).
Thật vậy, do ❢ là đơn điệu giảm nên, ta có

❤■ ✵✭✉✮   ■ ✵✭✈✮❀ ✉   ✈✐ ❂  

❩

Ω

✭❢ ✭✉✮   ❢ ✭✈✮✮✭✉   ✈✮❞① ✵

với mọi ✉❀ ✈ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮. Hơn nữa, nếu ❢ là đơn điệu giảm nghiêm ngặt và ✉ ✻❂ ✈ , nghĩa là ✉✭①✮ ✻❂ ✈ ✭①✮
h.k.n. trên Ω, thì
✒

✓✒
✓

❢ ✭✉✭①✮✮   ❢ ✭✈✭①✮✮ ✉✭①✮   ✈✭①✮ ❁ ✵ h.k.n. trên Ω❀

do đó,
Vậy ■ là lồi nghiêm ngặt.

❤■ ✵✭✉✮   ■ ✵✭✈✮❀ ✉   ✈✐ ❃ ✵✿
Bài tập
◆.

Bài tập 1.1. Giả sử Ω là một tập mở bị chặn trong
hàm ■ ✿ ❍ ✶ ✭Ω✮ ✦ ,

▲✭✉✮ ❂
Bài tập 1.2. Giả sử Ω là tập mở trong
■ ✿ ❍✵✶ ✭Ω✮ ✦ xác định bởi
là khả vi và hãy tính ■ ✵ .

❩

Hãy xét tính khả vi và tìm đạo hàm của phiếm
❩

❥r✉✭①✮❥ ❞① ✰ Ω ✉✭①✮ ❞①✿
Ω
✷

◆,

✸, và q ✷ ▲ ◆✷ ✭Ω✮. Chứng minh rằng phiếm hàm

◆

■ ✭✉✮ ❂

✷

❩

Ω

q✉✷ ❞①

11


Bài tập 1.3. Giả sử ❆✭①✮ ❂ ✭❛✐❥ ✭①✮✮◆
✐❀❥ ❂✶ là một ma trận cấp ◆ ✂ ◆ của các hàm
✶
q ✷ ▲ ✭Ω✮. Xét dạng song tuyến tính ❛ ✿ ❍ ✶ ✭Ω✮ ✂ ❍ ✶ ✭Ω✮ ✦ xác định bởi

❛✭✉❀ ✈✮ ❂
và phiếm hàm ■

✿ ❍ ✭Ω ✮ ✦
✶

❩

✏

❩

✑

❆✭①✮r✉✭①✮ r✈✭①✮❞① ✰

Ω

Ω

❛✐❥ ✷ ▲✶ ✭Ω✮ và

q✭①✮✉✭①✮✈✭①✮❞①

xác định bởi

■ ✭✉✮ ❂ ❛✭✉❀ ✉✮ ❂

❩

✏

Ω

✑

❆✭①✮r✉✭①✮ r✉✭①✮❞① ✰

❩

Ω

q✭①✮✉✭①✮✈✭①✮❞①✿

a) Chứng minh rằng ■ thuộc lớp ❈ ✶ trên ❍ ✶ ✭Ω✮ và

■ ✵ ✭✉✮✈ ❂ ✷❛✭✉❀ ✈✮ ❂ ✷

❩

✏

Ω

❩

✑

❆✭①✮r✉✭①✮ r✈✭①✮❞① ✰ ✷ q✭①✮✉✭①✮✈✭①✮❞①✿
Ω

b) Giả sử thêm rằng tồn tại ✖ ❃ ✵

✭❆✭①✮②❀ ②✮ ✖❥②❥

✷

với mọi ②

✷

h.k.n. ① ✷ Ω

◆

và q ✷ ▲✶ ✭Ω✮, q ✭①✮ ✵ h.k.n. trên Ω. Chứng minh rằng ■ là lồi nghiêm ngặt.
Bài tập 1.4. Giả sử Ω là tập một tậ mở trong ◆ , ♣ ❃ ✶. Xét

❋ ✭✉✮ ❂
là các phiếm hàm xác định trên
và
❩

✶ ❥✉✭①✮❥♣❞①❀ ●✭✉✮ ❂ ✶ ❥r✉✭①✮❥♣❞①❀
♣ Ω
♣ Ω
❩

❩

❲♣✶ ✭Ω✮. Chứng minh rằng ❋

và

● khả vi Fréchet tại mỗi ✉ ✷ ❲♣✶ ✭Ω✮

❩

❤❋ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ Ω ❥✉❥♣  ✭✉❀ ✈✮❞①❀ ❤●✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ Ω ❥r✉❥♣  ✭r✉❀ r✈✮❞①✿
✷

✷

❞ ✶ ♣
Hint. Đặt ✬✭t✮ ❂ ❥t❥ t với t ✻❂ ✵ và ✬✭✵✮ ❂ ✵. Kiểm tra rằng ✬ liên tục và
❥t❥ ❂ ✬✭t✮.
❞t ♣
Bài tập 1.5. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong ◆ , ❤ ✷ ▲✷ ✭Ω✮ và ✕ ✷ . Xét bài toán
✥

♣ ✷

✽
❁
✿

 ∆✉ ✰ ✕✉ ❂ ❤ trong Ω

(1.7)

✉ ❂ ✵ trên ❅ Ω✿

Hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.7) nếu
❩

❩

❩

r✉r✈❞① ✰ ✕ Ω ✉✈❞① ❂ Ω ❤✈❞①❀ ✽✈ ✷ ❍ ✭Ω✮✿
Ω
✶
✵

Xét phiếm hàm ■

✿ ❍ ✭Ω ✮ ✦
✶
✵

xác định bởi

✶ ❥r✉❥ ❞① ✰ ✕ ✉ ❞①   ❤✉❞①✿
✷ Ω
✷ Ω
Ω
Chứng minh rằng ■ là cưỡng trên ❍ ✭Ω✮ khi và chỉ khi ✕ ❃  ✕ , trong đó
✕ ❂ ✐♥❢ ❢❦✉❦❍✵✶ Ω ❥ ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮❀ ❦✉❦▲✷ Ω ❂ ✶❣ ❃ ✵❀
■ ✭✉✮ ❂

a)

❩

✷

❩

✷

✶
✵

✶

12

❩

✷

✶

✭ ✮

✶
✵

✦

✭ ✮


b) Chứng minh rằng nếu ✕ ❃  ✕✶ thì bài toán (1.7) có duy nhất một nghiệm yếu.
Bài tập 1.6. Giả sử ❳ là một không gian Banach phản xạ và ❋ ✷ ❈ ✶ ✭❳❀ ✮. Giả sử thêm rằng ❋ liên
tục yếu (nghĩa là ✉♥ ✯ ✉ ✮ ❋ ✭✉♥ ✮ ✦ ❋ ✭✉✮) và tồn tại các hằng số ☛❀ ☞ ❃ ✵, ✌ ❁ ✷ sao cho

❥❋ ✭✉✮❥ ☛ ✰ ☞ ❦✉❦✌
với mọi ✉ ✷ ❳ . Chứng minh rằng phiếm hàm ■ ✿ ❳ ✦ xác định bởi
✶
✷

■ ✭✉✮ ❂ ❦✉❦✷   ❋ ✭✉✮
đạt cực tiểu toàn cục.

§2. Cực tiểu toàn cục
Xét bài toán

✽
❁
✿

 ∆✉ ❂ ❢ ✭✉✮ ✰ ❤
✉❂✵

trong Ω❀
trên ❅ Ω✿

(2.1)

Ta đưa ra một số giả thiết sau
(H✶ ) Ω là tập mở bị chặn trong ◆ .
(H✷ ) ❤ ✷ ❍  ✶ ✭Ω✮.
(H✸ ) ❢ ✷ ❈ ✭ ❀ ✮ và tồn tại các hằng số không âm ❛, ❜ sao cho

❥❢ ✭t✮❥ ❛ ✰ ❜❥t❥r
với mọi t ✷ , trong đó r là số thoả mãn r ✶ và ✭◆   ✷✮r ◆ ✰ ✷.

(H✹ ) Tồn tại số ✕ sao cho ✕ ❁ ✕✶ và
với mọi t ✷ , trong đó ❝ ✷

(2.2)

✕
❋ ✭t✮ ❝ ✰ t✷

(2.3)

✷

là một hằng số nào đó,

✕✶ ❂ ✐♥❢ ❢❦✉❦✷❍✵✶ ✭Ω✮ ❥ ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮❀ ❦✉❦▲✷ ✭Ω✮ ❂ ✶❣ ❃ ✵❀
còn ❋ xác định bởi

❋ ✭t✮ ❂

❩
✵

t

❢ ✭s✮❞s❀ t ✷ ✿

Mệnh đề 2.1. Với các giả thiết (H✶ ), (H✷ ) và (H✸ ), phiếm hàm ■

■ ✭✉✮ ❂

(2.5)

✿ ❍ ✭Ω ✮ ✦
✶
✵

✶ ❥r✉❥ ❞①   ❋ ✭✉✮❞①   ❤❤❀ ✉✐
✷ Ω
Ω
❩

(2.4)

xác định bởi

❩

✷

(2.6)

khả vi liên tục trên ❍✵✶ ✭Ω✮, hơn nữa,

■ ✵ ✭✉✮✈ ❂
với mọi ✉❀ ✈

❩

❩

Ω

r✉r✈❞①   Ω ❢ ✭✉✮✈❞①   ❤❤❀ ✈✐

(2.7)

✷ ❍ ✭Ω ✮.
✶
✵

13


Định nghĩa. Hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ gọi là nghiệm yếu của bài toán (2.1) nếu đẳng thức
❩

đúng với mọi ✈

❩

r✉✿r✈❞① ❂ Ω ❢ ✭✉✮✈❞① ✰ ❤❤❀ ✈✐
Ω

(2.8)

✷ ❍ ✭Ω ✮.
✶
✵

Từ (2.7) và (2.8) suy ra hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ là nghiệm yếu của bài toán (2.1) khi và chỉ khi ■ ✵ ✭✉✮
hay ✉ là một điểm tới hạn của phiếm hàm ■ .

❂✵

Định lí 2.2. Giả sử các điều kiện (H✶ ), (H✷ ), (H✸ ) và (H✹ ) thoả mãn, còn ■ là phiếm hàm xác định bởi
(2.6). Khi đó tồn tại ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ sao cho

■ ✭✉✮ ❂ ✐♥❢✶ ■ ✭✈✮✿

(2.9)

✈ ✷❍✵ ✭Ω✮

Hơn nữa ✉ là nghiệm yếu của bài toán (2.1).
Chứng minh. [5, Th. 2.3.1] Chứng minh được chia làm 2 bước.
Bước 1. Phiếm hàm ■ là cưỡng, nghĩa là, với mọi dãy ❢✉♥ ❣ ✚ ❍✵✶ ✭Ω✮,

❦✉❦❍✵✶ Ω ✦ ✰✶ ✮ ❥■ ✭✉♥✮❥ ✦ ✶✿
✭ ✮

Thật vậy, trước hết để ý rằng từ (2.3) suy ra
❩

Ω

❋ ✭✉✮❞① ❝❥Ω❥ ✰

✕❩

✷

Ω

✉✭①✮✷ ❞① ❝❥Ω❥ ✰

✕
✷✕✶ ❦✉❦❍✵✶✭Ω✮✿

(2.10)

Từ đó

✶ ❥r✉❥ ❞①   ❋ ✭✉✮❞①   ❤❤❀ ✉✐
■ ✭✉✮ ❂
✷ Ω
Ω
✶ ❦✉❦ ✶   ✕ ❦✉❦ ✷   ❦❤❦  ✶ ❦✉❦ ✶
❍
Ω
❍✵ Ω
✷ ❍✵ Ω ✷ ▲ Ω
✶ ✶   ✕   ✎ ❦✉❦ ✶   ❝❥Ω❥   ✶ ❦❤❦  ✶ ✿
❍✵ Ω
✷
✕
✷✎ ❍ Ω
❩

❩

✷

✷

✷

✭ ✮

✒

✭ ✮

✭ ✮

✭ ✮

✓

✷

✶

(2.11)

✭ ✮

✭ ✮

✶ ✶   ✕   ✎ ❃ ✵. Viết lại (2.11) thành

Vì ✕ ❁ ✕ nên ta có thể chọn ✎ ❃ ✵ đủ bé sao cho ☛ ❂
✷
✕
✶
■ ✭✉✮ ☛❦✉❦❍✵✶ Ω   ❝❥Ω❥   ❦❤❦❍  ✶ Ω
(2.12)
✷✎
với mọi ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮. Từ đây suy ra ■ là cưỡng.
Bước 2. Phiếm hàm ■ đạt cực tiểu toàn cục. Trước hết, từ (2.12) suy ra, với mọi ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮,
✒

✶

✓

✶

✷

✭ ✮

✭ ✮

✶
✵

✶
✵

♠ ❂ ✐♥❢✶ ■ ✭✈✮ ❃  ✶✿

✈ ✷❍✵ ✭Ω✮

Giả sử ❢✉♥ ❣ ✚ ❍✵✶ ✭Ω✮ là dãy cực tiểu hóa của ■ , nghĩa là

❧✐♠ ■ ✭✉♥✮ ❂ ♠✿

♥✦✶

14


Từ tính cưỡng của phiếm hàm ■ suy ra dãy ❢✉♥ ❣ bị chặn trong ❍✵✶ ✭Ω✮. Do ❍✵✶ ✭Ω✮ phản xạ và ▲✷ ✭Ω✮
nhúng compact trong ❍✵✶ ✭Ω✮ (vì ✭◆   ✷✮✿✷ ❁ ✷◆ ) nên tồn tại dãy con ✉❦♥ của dãy ❢✉♥ ❣ có các tính
chất sau
✎ ✉❦♥ ✯ ✉ trong ❍✵✶✭Ω✮;
✎ ✉❦♥ ✦ ✉ trong ▲✷✭Ω✮;
✎ ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trong Ω;
✎ tồn tại ✇ ✷ ▲✷✭Ω✮ sao cho ❥✉❦♥ ✭①✮❥ ✇✭①✮ h.k.n. trong Ω.
Do ❋ liên tục nên ❋ ✭✉❦♥ ✭①✮✮ ✦ ❋ ✭✉✭①✮✮ h.k.n. trong Ω. Mặt khác, từ (2.2) suy ra

✕

✷ ✉❦♥ ✰ ❝   ❋ ✭✉❦♥ ✮ ✵ với mọi ♥ ✶✿
✷

Do đó ta có thể áp dụng Bổ đề Fatou để nhận được
✥

❩

Ω

✕

✦

❧✐♠
✐♥❢ ✷ ✉❦♥ ✰ ❝   ❋ ✭✉❦♥ ✮ ❞① ❧✐♠
✐♥❢
♥✦✶
♥✦✶

Vì ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trong Ω và
✥

❩

Ω

✕

✷

✥

❩

✷

❘

Ω

✉✷❦♥ ❞① ✦

❘

✥

✕

✦

❩

✉ ✰ ❝   ❋ ✭✉✮ ❞①
✷

và do đó,

Ω

✷

Ω

Ω

✕

✦

✷ ✉❦♥ ✰ ❝   ❋ ✭✉❦♥ ✮ ❞①✿
✷

✉✷ ❞① nên từ bất đẳng thức trên nhận được
✦

✉ ✰ ❝ ❞① ✰ ❧✐♠
✐♥❢
♥✦✶

❩

✏

✷

❩

Ω

✑

  ❋ ✭✉❦♥ ✮ ❞①❀

❩

  Ω ❋ ✭✉✮❞① ❧✐♠
✐♥❢ ✭ ❋ ✭✉❦♥ ✮❞①✿

♥✦✶ Ω

Mặt khác, do chuẩn trong không gian Banach là liên tục dưới yếu nên

❦✉❦❍✵✶ Ω ❧✐♠
✐♥❢ ❦✉❦♥ ❦❍✵✶ Ω ✿
♥✦✶
✷

Cuối cùng, do ✉❦♥

✭ ✮

✭ ✮

✯ ✉ trong ❍✵✶ ✭Ω✮ nên đương nhiên

❤❤❀ ✉❦♥ ✐ ✦ ❤❤❀ ✉✐✿

(2.13)

Từ những điều trên ta nhận được

✶
■ ✭✉✮ ❂ ❦✉❦❍✵✶ Ω   ❋ ✭✉✮❞①   ❤❤❀ ✉✐
✷
Ω
✶ ❧✐♠ ✐♥❢ ❦✉ ❦ ✶ ✰ ❧✐♠ ✐♥❢   ❋ ✭✉ ✭①✮✮ ❞①   ❧✐♠ ❤❤❀ ✉ ✐
❦♥
❦♥

♥✦✶
✷ ♥✦✶ ❦♥ ❍✵ Ω ♥✦✶ Ω
❧✐♠
✐♥❢ ✶✷ ❦✉❦♥ ❦❍✵✶ Ω   Ω ❋ ✭✉❦♥ ✭①✮✮❞①   ❤❤❀ ✉❦♥ ✐
♥✦✶
❂ ❧✐♠
✐♥❢ ■ ✭✉❦♥ ✮ ❂ ♠✿
♥✦✶
❩

✭ ✮

❩

✏

✑

✭ ✮

✒

❩

✓

✭ ✮

Nhưng vì ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ nên ■ ✭✉✮ ♠, do đó, ■ ✭✉✮ ❂ ♠. Vậy phiếm hàm ■ đạt cực tiểu toàn cục tại ✉ và
✉ là một nghiệm yếu của bài toán (2.1).

Nhận xét. 1) Các giả thiết ✭H3 ✮ và ✭H4 ✮ sẽ tự động thoả mãn nếu hàm số ❢

❥❢ ✭t✮❥ ❛ ✰ ❜❥t❥

✷ ❈ ✭ ❀ ✮ thoả mãn

(2.14)
15


với mọi t ✷ , trong đó ❛ và ❜ là các hằng số không âm, ❜ ❁
✷

nếu ❜ ❁

✕

✷

❁

✕✶

✷

✷ . Thật vậy, từ (2.14) suy ra

✕
❝ ✰ t✷

❥❋ ✭t✮❥ ❛❥t❥ ✰ ❜❥t❥
với mọi t ✷

✕✶

(2.15)

✷

và ❝ được chọn đủ lớn.

✷ ❈ ✭ ❀ ✮ thoả mãn
❥❢ ✭t✮❥ ❛ ✰ ❜ ❥t❥✛
với mọi t ✷ , trong đó ❛ và ❜ là các hằng số không âm, còn ✛ ✷ ✭✵❀ ✶✮.
2) Ta sẽ có (2.14) (do đó có ✭H3 ✮ và ✭H4 ✮) nếu ❢

✶

(2.16)

✶

Hàm số ❢ thoả mãn (2.16) được gọi là tăng trưởng dưới tuyến tính, còn nếu
ta nói ❢ tăng trưởng không quá tuyến tính.

❢

thoả mãn (2.14) thì

Định lí 2.3. Giả sử các điều kiện (H✶ ), (H✷ ), (H✸ ) và (H✹ ) thoả mãn. Giả sử thêm rằng hàm số

✕t   ❢ ✭t✮ là hàm đơn điệu tăng. Khi đó bài toán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu.

✸ t ✼✦

Chứng minh. [5, 2.3.7] Sự tồn tại của nghiệm yếu nhận được từ Định lí 2.2. Để chứng minh tính
duy nhất, theo Định lí 1.12, ta chỉ cần phải chứng tỏ phiếm hàm ■ xác định bởi (2.6) là lồi nghiêm
ngặt. Viết ■ ❂ ■✶ ✰ ■✷ ✰ ■✸ , trong đó

✶ ❥r✉❥ ❞①   ✕ ✉ ❞①❀
✷ Ω
✷ Ω
✕
■ ✭✉✮ ❂
✷ ✉   ❋ ✭✉✮ ❞①❀
Ω
■ ✭✉✮ ❂ ❤❤❀ ✉✐ ❀
❩

■✶ ✭✉✮ ❂

❩

✷

❩

✷

✥

✦

✷

✷

✸

với ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. Ta thấy ■✶ ✭✉✮ ❂ ❛✭✉❀ ✉✮ ❃ ✵ với mọi ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮, trong đó

✶ r✉r✈❞① ✰ ✶ ✉✈❞① ✭✉❀ ✈ ✷ ❍ ✭Ω✮✮✿
❛✭✉❀ ✈✮ ❂
✷ Ω
✷ Ω
❩

❩

✶
✵

Do đó ■✶ là lồi nghiêm ngặt (xem Ví dụ 1.5). Mặt khác, do

✭ ✕✷ t   ❋ ✭t✮✮✵ ❂ ✕t   ❢ ✭t✮
✷

là hàm tăng nên ■✷ là lồi (xem Ví dụ 1.7). Phiếm hàm
nhân được ■ là lồi nghiêm ngặt.

■✷ là tuyến tính nên đương nhiên là lồi. Từ đó

Bài tập

✸. Xét hàm số
❢ ✭t✮ ❂ ☛❥t❥♣  t ✰ ☞ ❥t❥q  t ✰ ✌t❀
◆ ✰✷
trong đó ☛ ❁ ✵, ☞ ✷ , ✌ ✷ và ✶ ❁ q ❁ ♣
. Chứng minh rằng rằng ❢ thoả mãn các điều
◆  ✷

Bài tập 1.7. Giả sử ◆

✶

kiện (H✸ ) và (H✹ ).
16

✶


Bài tập 1.8. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong ◆ . Cho ❢ ✿ Ω ✂ ✦ là hàm liên tục H¨
older địa
phương và tồn tại hàm số ❛✶ ✭①✮ ✷ ▲✷ ✭Ω✮ và các số ❛✷ ❃ ✵, ✵ ❁ q ❁ ✶ sao cho

❥❢ ✭①❀ ✉✮❥ ❛ ✭①✮ ✰ ❛ ❥✉❥q ❀ ✽✭①❀ ✉✮ ✷ Ω ✂ ✿
✶

Đặt

❋ ✭①❀ ✉✮ ❂

Xét phiếm hàm Φ ✿ ❍✵✶ ✭Ω✮ ✦

(2.17)

✷

❩

✉
✵

❢ ✭①❀ s✮❞s❀ ✉ ✷ ✿

xác định bởi
Φ✭✉✮ ❂

❩

Ω

❋ ✭①❀ ✉✭①✮✮❞①✿

a) Chứng minh rằng Φ thuộc lớp ❈ ✶ trên ❍✵✶ ✭Ω✮.
b) Xét bài toán
✽
❁
✿

 ∆✉✭①✮ ❂ ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮❀ ① ✷ Ω

✉✭①✮ ❂ ✵❀
① ✷ ❅ Ω✿

(2.18)

Hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ gọi là nghiệm yếu của bài toán (3.4) nếu
❩

❩

Ω

với mọi ✈

r✉r✈❞① ❂ Ω ❢ ✭①❀ ✉✮✈❞①

✷ ❍ ✭Ω✮. Chứng minh rằng bài toán (3.4) có ít nhất một nghiệm yếu.
✶
✵

§3. Cực trị ràng buộc
Xét bài toán

✽
❁
✿

 ∆✉ ✰ ✕✉ ❂ ❛❥✉❥♣  ✉
✶

✉❂✵

trong Ω
trên ❅ Ω❀

(3.1)

✕ và ❛ là các số thực cho trước.

Định lí 3.1 (Nhân tử Lagrange). Giả sử ❳ là một không gian Banach và ■❀ ❋

✷ ❈ ✭❳❀ ✮. Đặt
✶

▼ ❂ ❢✈ ✷ ❳ ❥ ❋ ✭✈✮ ❂ ✵❣✿
Giả sử ❙

✚ ▼ , ❙ ✻❂ ❀ và ✉ ✷ ❙ sao cho
✵

■ ✭✉✵ ✮ ❂ ✈✐♥❢
■ ✭✈ ✮✿
✷❙
Nếu ❋ ✵ ✭✉✵ ✮ ✻❂ ✵ và ▼ ❭❢✉ ✷ ❳
✕ ✷ sao cho

❥ ❦✉   ✉ ❦❳ ✑❣ ✚ ❙ với ✑ ❃ ✵ nào đó. Khi đó tồn tại nhân tử Lagrange
✵

■ ✵ ✭✉✵ ✮ ❂ ✕❋ ✵ ✭✉✵ ✮✿

Chứng minh. Chứng minh được chia làm 2 bước.
Bước 1: Chứng minh ❑❡r ❋ ✵ ✭✉✵ ✮ ✚ ❑❡r ■ ✵ ✭✉✵ ✮. Đặt ❳✵
sao cho ❤❋ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✇✐ ❂ ✶. Xét hàm số

❂ ❑❡r ❋ ✵✭✉ ✮. Vì ❋ ✵✭✉ ✮ ✻❂ ✵ nên tồn tại ✇ ✷ ❳
✵

✵

✣ ✿ ❳✵ ✂ ✦ ❀ ✭✈❀ t✮ ✼✦ ❋ ✭✉✵ ✰ ✈ ✰ t✇✮✿
17


Ta có

✣✭✵❀ ✵✮ ❂ ✵❀ ❅t ✣✭✵❀ ✵✮ ❂ ❤❋ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✇✐ ❂ ✶ và ❅✈ ✭✵❀ ✵✮ ❂ ❋ ✵ ✭✉✵ ✮❥❳✵ ❂ ✵✿
Theo định lí hàm ẩn, tồn tại ✎ ❃ ✵ và ánh xạ t ✷ ❈ ✶ ✭❇✎ ❀ ✮ sao cho
t✭✵✮ ❂ ✵❀ t✵ ✭✵✮ ❂ ✵
và

✣✭✈❀ t✭✈✮✮ ❂ ✵ với mọi ✈ ✷ ❇✎ ✿
ở đó ❇✎ ❂ ❢✈ ✷ ❳✵ ❥ ❦✈ ❦❳✵ ❁ ✎❣. Đến đây ta nhận được ❋ ✭✉✵ ✰ ✈ ✰ t✭✈ ✮✇✮ ❂ ✵ với mọi ✈ ✷ ❇✎ , nghĩa
là, ✉✵ ✰ ✈ ✰ t✭✈ ✮✇ ✷ ▼ với mọi ✈ ✷ ❇✎ . Theo giả thiết, có thể chọn ✎ đủ nhỏ sao cho ✉✵ ✰ ✈ ✰ t✭✈ ✮✇ ✷ ❙
với mọi ✈ ✷ ❇✎ . Do đó,
■ ✭✉✵ ✰ ✈ ✰ t✭✈✮✇✮ ■ ✭✉✵ ✮ với mọi ✈ ✷ ❇✎ ✿
Bây giờ cố định ✈

✷❳

✵

✦

và xét hàm số ✬ ✿

xác định bởi

✬✭s✮ ❂ ■ ✭✉✵ ✰ s✈ ✰ t✭s✈✮✇✮   ■ ✭✉✵ ✮ với ❥s❥ ❁ ✎❦✈❦ ❳✶ ✿
Ta có ✬✭✵✮ ❂ ✵ và ✬✭s✮

✵. Điều này suy ra ✬✵✭✵✮ ❂ ✵. Mặt khác, ta có
✬✵ ✭✵✮ ❂ ❤■ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✈ ✰ ❤t✵ ✭✵✮❀ ✈✐✇✐ ❂ ❤■ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✈✐ ✿

Từ đó ta nhận được ✈ ✷ ❑❡r ■ ✵ ✭✉✵ ✮, và do đó, ❑❡r ❋ ✵ ✭✉✵ ✮ ✚ ❑❡r ■ ✵ ✭✉✵ ✮.
Bước 2: Chứng minh kết luận của định lí. Giả sử ✇ ✷ ❳ xác định như ở Bước 1. Đặt
mọi ✉ ✷ ❳ , ta có

✕ ❂ ■ ✵ ✭✉✵ ✮. Với

❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉   ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ✇✐ ❂ ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐   ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ✂ ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✇✐ ❂ ✵✿
✵

✵

Suy ra

✵

✵

✵

✉   ❤❋ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✉✐ ✇ ✷ ❑❡r ❋ ✵ ✭✉✵ ✮❀

do đó theo Bước 1,

✉   ❤❋ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✉✐ ✇ ✷ ❑❡r ■ ✵ ✭✉✵ ✮❀

nghĩa là

❤■ ✵✭✉ ✮❀ ✉   ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ✇✐ ❂ ✵
✵

✵

hay

❤■ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ❂ ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ✂ ❤■ ✵✭✉ ✮❀ ✇✐ ❂ ✕ ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ✿
Điều này đúng với mọi ✉ ✷ ❳ nên ■ ✵ ✭✉ ✮ ❂ ✕❋ ✵ ✭✉ ✮.
Định lí 3.2. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong ◆ , ✕ ❃  ✕ , ❛ ❃ ✵ và ♣ ❃ ✶ thoả mãn ✭◆  ✷✮♣ ❁ ◆ ✰✷.
Khi đó bài toán (3.1) có nghiệm yếu không tầm thường ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮, hơn nữa, ✉ ✵ trên Ω.
✵

✵

✵

✵

✵

✵

✶

Chứng minh. Đặt

❋ ✭✉✮ ❂
và

✶
❥✉❥♣ ❞①   ✶
♣✰✶ Ω
❩

✰✶

✶ ❥r✉❥ ❞① ✰ ✕ ✉ ❞①✿
■ ✭✉✮ ❂
✷ Ω
✷ Ω
❩

❩

✷

18

✶
✵

✷


✷ ❈ ✭❍ ✭Ω✮❀ ✮. Bây giờ đặt
▼ ❂ ❙ ❂ ❢✉ ✷ ❍ ✭Ω✮ ❥ ❋ ✭✉✮ ❂ ✵❣✿
Ta có ❋ ✵ ✭✉✮ ❂ ❥✉❥♣  ✉ ✻❂ ✵ với mọi ✉ ✷ ❙ .
Bây giờ ta sẽ chỉ ra tồn tại ✉ ✷ ❙ sao cho

Theo Hệ quả 1.9, ta có ❋❀ ■

✶

✶
✵

✶
✵

✶

✵

■ ✭✉✵ ✮ ❂ ✈✐♥❢
■ ✭✈ ✮✿
✷❙

(3.2)

✵ nên tồn tại ✈✐♥❢
■ ✭✈✮ ✵✿ Giả sử ❢✉♥ ❣ là một dãy cực tiểu hóa của ■ trên ❙ , nghĩa là ❢✉♥ ❣ ✚ ❙
✷❙
và ❧✐♠ ■ ✭✉♥ ✮ ❂ ✐♥❢ ■ ✭✈ ✮. Do ✕ ❃  ✕ nên tồn tại ☛ ❃ ✵ sao cho
♥✦✶
✈ ✷❙

Vì ■

✶

■ ✭✉✮ ☛❦✉❦✷❍✵✶ ✭Ω✮ ❀ ✽✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮✿
Từ đây suy ra ❢✉♥ ❣ là bị chặn trong ❍✵✶ ✭Ω✮. Bằng cách thay ✉♥ bởi ❥✉♥ ❥, ta có thể coi ✉ ✵ với mọi
♥ ✶. Do ❍✵✶ ✭Ω✮ phản xạ và nhúng compact trong ▲♣✰✶ ✭Ω✮ nên tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ và ✉✵ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮
sao cho
✎ ✉❦♥ ✯ ✉✵ trong ❍✵✶✭Ω✮;
✎ ✉❦♥ ✦ ✉✵ trong ▲♣✰✶✭Ω✮;
✎ ❦✉✵❦❍✵✶✭Ω✮ ❧✐♠
✐♥❢ ❦✉❦♥ ❦❍✵✶✭Ω✮.
♥✦✶
Từ đây suy ra ❋ ✭✉✵ ✮ ❂ ✵, nghĩa là ✉✵ ✷ ❙ , và ■ ✭✉✵ ✮ ❧✐♠ ✐♥❢ ■ ✭✉❦♥ ✮. Vậy ✉✵ thoả mãn (3.2), hơn nữa,
♥✦✶

✉✵ ✵ và ✉✵ ✻❂ ✵. Theo Định lí 3.1, tồn tại nhân tử Lagrange ✖ ✷
❩

❩

❩

r
✉ r✈❞① ✰ ✕ ✉ ✈❞① ❂ ✖ ❥✉ ❥♣  ✉ ✈❞①
Ω
Ω
Ω
✵

với mọi ✈

sao cho ■ ✵ ✭✉✵ ✮ ❂ ✖❋ ✵ ✭✉✵ ✮, nghĩa là

✷ ❍ ✭Ω✮. Thay ✈ ❂ ✉
✶
✵

✵

✵

✶

✵

(3.3)

✵

vào (3.3) ta nhận được
❩

■ ✭✉✵ ✮ ❂ ✖ ❥✉✵ ❥♣✰✶ ❞①✿
Ω

✉✵ ✻❂ ✵ nên từ đẳng thức này suy
✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ và từ (3.3) ta nhận được
Vì

❩

ra

■ ✭✉✵ ✮ ❃ ✵

và

❩

✖ ❃ ✵.

✶
✖ ✓ ♣ ✶
✉❂
✉✵ .
❛
✒

Bây giờ đặt

Khi đó

❩

r✉r✈❞① ✰ ✕ Ω ✉✈❞① ❂ ❛ Ω ❥✉❥♣  ✉✈❞①
✶

Ω

với mọi ✈

✷ ❍ ✭Ω✮. Vậy ✉ là một nghiệm yếu của bài toán (3.1).
✶
✵

Bài tập
Bài tập 1.9. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong
toán

✽
❁

◆,

◆

 ∆✉ ❂ ❤✭①✮❥✉❥♣  ✉❀
✉ ❂ ✵❀

✿

✷

✸, ❤ ✷ ▲✶✭Ω✮, ✷ ❁ ♣ ❁ ✷✄ ❂ ◆✷◆
  ✷ . Xét bài
trong Ω
trên ❅ Ω✿

(3.4)
19


a) Chứng minh rằng nếu ❤✭①✮ ✵ h.k.n. trên Ω thì bài toán không có nghiệm yếu không tầm thường.
b) Chứng minh rằng nếu ❤✭①✮ ❃ ✵ trên một tập có độ đo dương thì bài toán có nghiệm yếu không
tầm thường.
Gợi ý: Sử dụng các lập luận tương tự như trong chứng minh Định lí 3.2 với tập

▼ ❂ ❢✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ ❥

❩

Ω

❤✭①✮❥✉❥♣ ❞① ❂ ✶❣✿

§4. Định lí qua núi
Xét bài toán

✽
❁
✿

 ∆✉ ✰ ✕✉ ❂ ❢ ✭✉✮

trong Ω
trên ❅ Ω❀

✉❂✵

(4.1)

✕ là số thực cho trước.
1. Định lí qua núi
Định nghĩa. Giả sử ❳ là một không gian Banach, ■ ✷ ❈ ✶ ✭❳❀ ✮. Với ❝ ✷ cho trước, ta nói ■ thoả
mãn điều kiện Palais - Smale tại mức ❝ (nói ngắn gọn, ■ thoả mãn ✭P S ✮❝ ) nếu, với mỗi dãy ❢✉♥ ❣ ✚ ❳ ,
✽
❁
✿

■ ✭✉♥ ✮ ✦ ❝
■ ✵ ✭✉♥ ✮ ✦ ✵ trong ❳ ✄

✮ ❝ là một điểm tới hạn của ■

(nghĩa là tồn tại ✉ ✷ ❳ sao cho ■ ✭✉✮ ❂ ❝ và ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ✵).
Ta nói ■ thoả mãn điều kiện Palais - Smale (nói ngắn gọn, ■ thoả mãn ✭P S ✮) nếu ■ thoả mãn ✭P S ✮❝
với mọi ❝ ✷ .
Định nghĩa. Với ❝ ✷ , đặt

❆❝ ❂ ❢✉ ✷ ❳ ✿ ■ ✭✉✮ ❝❣✿
Bổ đề 4.1. Giả sử ❍ là một không gian Hilbert và ❋ ✿ ❍ ✦ ❍

phương. Khi đó, với mỗi ✉ ✷ ❍ , bài toán Cauchy

(4.2)
là một ánh xạ liên tục Lipschitz địa

✽
❁ ❞✑

❂ ❋ ✭✑ ✮
✑✭✵✮ ❂ ✉
❞t

✿

(4.3)

có nghiệm duy nhất trên một khoảng ❏ nào đó chứa điểm ✵. Nếu coi nghiệm như một hàm của
viết ✑ ✭t❀ ✉✮, thì ✑ ✭t❀ ✉✮ là một hàm liên tục theo ✭t❀ ✉✮.
Nếu giả thiết thêm rằng ❋ bị chặn trên ❍ , nghĩa là tồn tại hàm số ❈ sao cho

t và ✉,

❦❋ ✭✉✮❦ ❈❀ ✽✉ ✷ ❍❀
thì nghiệm của bài toán (4.3) tồn tại duy nhất trên ❏

❂

.

Bổ đề 4.2 (về biến dạng). Giả sử ■ ✿ ❍ ✦ là phiếm hàm thuộc lớp ❈ ✶ trên không gian Hilbert ❍

thoả mãn điều kiện Palais - Smale và ❝ ✷ không là giá trị tới hạn của ■ . Khi đó, với ✎ ❃ ✵ đủ nhỏ, tồn
tại hằng số ✵ ❁ ✍ ❁ ✎ và hàm ✑ ✷ ❈ ✭❬✵❀ ✶❪ ✂ ❍❀ ❍ ✮ thoả mãn
20


(i)
(ii)
(iii)
(iv)

✑✭✵❀ ✉✮ ❂ ✉ với mọi ✉ ✷ ❍ ;
✑✭✶❀ ✉✮ ❂ ✉ với mọi ✉ ✷❂ ■  ✶ ✭❬❝   ✎❀ ❝ ✰ ✎❪✮;
■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ■ ✭✉✮ với mọi t ✷ ❬✵❀ ✶❪, ✉ ✷ ❍ ;
✑✭✶❀ ❆❝✰✍ ✮ ✚ ❆❝ ✍ .

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho trường hợp ■ ✷ ❈ ✶❀✶ ✭❍❀ ✮.
Trước hết, ta sẽ chứng tỏ bằng phản chứng rằng tồn tại ✵ ❁ ✛❀ ✎ ❁ ✶ sao cho

❦■ ✵✭✉✮❦ ✛❀ ✽✉ ✷ ❆❝ ✎♥❆❝ ✎✿
(4.4)
Giả sử điều này không đúng. Khi đó, tồn tại các dãy số dương ❢✛❦ ❣, ❢✎❦ ❣, ✛❦ ✦ ✵, ✎❦ ✦ ✵ và các phần
tử ✉❦ ✷ ❆❝ ✎❦ ♥❆❝ ✎❦ sao cho
❦■ ✭✉❦ ✮❦ ✛❦ ✿
Như vậy ta có dãy ❢✉❦ ❣ ✚ ❍ sao cho
■ ✭✉❦ ✮ ✦ ❝
■ ✵ ✭✉❦ ✮ ✦ ✵✿
✰

✰

✽
❁
✿

Do ■ thoả mãn điều kiện Palais - Smale nên ❝ là giá trị tới hạn của ■ . Điều này trái giả thiết.
Bây giờ cố đinh ✍ ❃ ✵ thoả mãn

✵ ❁ ✍ ❁ ✎ và ✵ ❁ ✍ ❁ ✛✷ ✿
✷

(4.5)

Đặt

❆ ❂ ❢✉ ✷ ❍ ❥ ■ ✭✉✮ ❝   ✎ hoặc ■ ✭✉✮ ❝ ✰ ✎❣❀
❇ ❂ ❢✉ ✷ ❍ ❥ ❝   ✍ ■ ✭✉✮ ❝ ✰ ✍ ❣✿

✷ ❈ ❀ ✭❍❀ ✮ nên tồn tại ▼ ❃ ✵ sao cho
❥❥■ ✵✭✉✮❥❥ ▼❀ ✽✉ ✷ ❍✿
Với mọi ✉ ✷ ❆, ✈ ✷ ❇ , ta có
✎   ✍ ❥■ ✭✉✮   ■ ✭✈✮❥ ▼ ❦✉   ✈❦✿
Vì ■

✶✶

Do đó

❞✭❆❀ ❇ ✮ ❂ ✐♥❢ ❢❦✉   ✈❦ ❥ ✉ ✷ ❆❀ ✈ ✷ ❇ ❣

Với mỗi ✉ ✷ ❍ , ❊

✚ ❍ , đặt

✎ ✍
❃ ✵✿
▼

❞✭✉❀ ❊ ✮ ❂ ✐♥❢ ❢❦✉   ✈❦❍ ❥ ✈ ✷ ❊ ❣
là khoảng cách từ điểm ✉ đến tập con ❊ trong ❍ . Đương nhiên ta có
❞✭✉❀ ❆✮ ✰ ❞✭✉❀ ❇ ✮ ❞✭❆❀ ❇ ✮ ❃ ✵✿
Xét hàm số ❣

✿❍✦

xác định bởi

❣✭✉✮ ❂
Rõ ràng

❞✭✉❀ ❆✮
✿
❞✭✉❀ ❆✮ ✰ ❞✭✉❀ ❇ ✮

❣ ✷ ❈ ✭❍❀ ✮❀ ✵ ❣ ✶❀ ❣❥❆ ✑ ✵ và ❣❥❇ ✑ ✶✿
21


Tính toán trực tiếp ta thấy rằng

✰ ❞✭✈❀ ❆✮✭❞✭✈❀ ❇ ✮   ❞✭✉❀ ❇ ✮✮

❥❣✭✉✮   ❣✭✈✮❥ ❂ ✭❞✭✉❀ ❆✮ ✭ ❞✭❞✉❀✭✈❀❆❆✮ ✮✮✰❞❞✭✭✈❀✉❀❇❇✮✮✮✭
❞✭✈❀ ❆✮ ✰ ❞✭✈❀ ❇ ✮✮
✷ ❦✉   ✈ ❦✿
❞✭❆❀ ❇ ✮
Điều này chứng tỏ ❣ là phiếm hàm Lipschitz. Như vậy ❣ ✷ ❈ ❀ ✭❍❀ ✮. Đặt
✶❀ ✵ t ✶
❤✭t✮ ❂
✶❂t❀ t ✶✿
và xác định ánh xạ ❱ ✿ ❍ ✦ ❍ bởi
❱ ✭✉✮ ❂  ❣✭✉✮❤✭❦r■ ✭✉✮❦✮r■ ✭✉✮✿
☞
☞
☞
☞
☞

☞
☞
☞
☞
☞

✵✶

✽
❁

(4.6)

✿

Rõ ràng ❤ là hàm số Lipschitz. Từ tính liên tục Lipschitz của ❣ , ❤, ■ dễ dàng kiểm tra
Lipschitz địa phương. Hơn nữa, ❱ ✭✉✮ ✶ với mọi ✉ ✷ ❍ .
Bây giờ, với mỗi ✉ ✷ ❍ , xét bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân

(4.7)

❱

là liên tục

✽
❁ ❞✑

✭t✮ ❂ ❱ ✭✑✭t✮✮ ✭t ❃ ✵✮❀
✑✭✵✮ ❂ ✉✿
❞t

(4.8)

✿

Vì ❱ bị chặn và Lipschitz địa phương nên, theo Bổ đề 4.1, bài toán (4.8) có nghiệm duy nhất ✑ ❂ ✑ ✭t❀ ✉✮
(t ✵❀ ✉ ✷ ❍ ). Hạn chế ✑ ✭t❀ ✉✮ trên ❬✵❀ ✶❪ ✂ ❍ ta được ánh xạ ✑ ✷ ❈ ✭❬✵❀ ✶❪ ✂ ❍❀ ❍ ✮ thoả mãn điều kiện
✭✐✮.
Ta có

❞
❞
■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ❂ ❤■ ✵ ✭✑✭t❀ ✉✮✮❀ ✑✭t❀ ✉✮✐

❞t
❞t
✓
✒
❞
❂ r■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮❀ ❞t ✑✭t❀ ✉✮
✒
✏
✑
✏
✑✓
❂ r■ ✑✭t❀ ✉✮ ❀ ❱ ✑✭t❀ ✉✮
✏

✑

✏

✑

✏

✑

❂  ❣ ✑✭t❀ ✉✮ ❤✭❦r■ ✑✭t❀ ✉✮ ❦✮ ❦r■ ✑✭t❀ ✉✮ ❦
với mọi ✉ ✷ ❍ , t ✷ ❬✵❀ ✶❪. Từ đây suy ra ■ thoả mãn ✭✐✐✐✮.

✷

✵

(4.9)

Bây giờ lấy ✉ ✷ ❆❝✰✍ . Để chứng minh (iv), ta cần chững tỏ

✑✭✶❀ ✉✮ ✷ ❆❝ ✍ ✿

Nếu (4.10) không xảy ra thì ■ ✭✑ ✭✶❀ ✉✮✮ ❃ ❝   ✍ . Khi đó ❝   ✍
đó, ❣ ✭✑ ✭t❀ ✉✮✮ ❂ ✶ với mọi t ✷ ❬✵❀ ✶❪. Từ (4.9) ta có

(4.10)

❁ ■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ❝ ✰ ✍ với mọi t ✷ ❬✵❀ ✶❪, do

❞
■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ❂  ❤✭❦r■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮❦✮❦r■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮❦✷ ✿
❞t
Từ (4.4) và (4.6)ta thấy nếu ❦r■ ✭✑ ✭t❀ ✉✮✮❦ ✶ thì
❞
■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮  ✛✷ ❀
❞t
22

(4.11)


và nếu ❦r■ ✭✑ ✭t❀ ✉✮✮❦

✶ thì
❞

■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ❂  ❦r■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮❦  ✛ ❁  ✛✷ ✿
❞t

Từ những điều này cùng với (4.5) suy ra

■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ■ ✭✉✮   ✛✷ ❝ ✰ ✍   ✛✷ ❝   ✍✿
Ta nhận được mẫu thuẫn. Vậy có (4.10).
Định lí 4.3 (Định lí qua núi). Giả sử ❍ là không gian Hilbert và
Palais - Smale. Giả sử thêm rằng các điều kiện sau được thoả mãn
(i) ■ ✭✵✮ ❂ ✵;
(ii) tồn tại ✎❀ ✌ ❃ ✵ sao cho ■ ✭✉✮ ✌ nếu ❦✉❦ ❂ ✎;
(iii) tồn tại ✉✵ ✷ ❍ sao cho ❦✉✵ ❦ ❃ ✎ và ■ ✭✉✵ ✮ ❁ ✌ .
Đặt
Γ

■ ✷ ❈ ✶ ✭❍❀ ✮ thoả mãn điều kiện

❂ ❢❣ ✷ ❈ ✭❬✵❀ ✶❪❀ ❍ ✮ ❥ ❣✭✵✮ ❂ ✵❀ ❣✭✶✮ ❂ ✉ ❣
✵

và

❝ ❂ ✐♥❢
♠❛① ■ ✭❣✭t✮✮✿
❣ ✷Γ t✷❬✵❀✶❪

Khi đó ❝ là một giá trị tới hạn của ■ .
Chứng minh. Rõ ràng ❝
✌ . Giả sử ❝ không phải là một giá trị tới hạn của ■ . Chọn
♠✐♥✭✌❀ ✌   ■ ✭✉✵✮✮. Theo Bổ đề 4.2, tồn tại ✵ ❁ ✍ ❁ ✎ và ánh xạ liên tục ✑ ✿ ❍ ✦ ❍ sao cho

✑✭❆❝✰✍ ✮ ✚ ❆❝ ✍
và
Bây giờ chọn ❣

✷ Γ sao cho

✵❁✎❁
(4.12)

✑✭✉✮ ❂ ✉❀ ✽✉ ✷❂ ■  ✶ ✭❬❝   ✎❀ ❝ ✰ ✎❪✮✿

♠❛①
■ ✭❣✭t✮✮ ❁ ❝ ✰ ✍✿
t
✵

✶

(4.13)

❣⑦ ❂ ✑ ✍ ❣ ✷ Γ . Để ý rằng ■ ✭✵✮ ❂ ✵ ❁ ❝   ✍ và ■ ✭✉✵ ✮ ❁ ❝   ✍ nên ❣⑦✭✵✮ ❂ ✑✭✵✮ ❂ ✑✭✵✮ ❂ ✵ và
❣⑦✭✶✮ ❂ ✑✭✉✵ ✮ ❂ ✉✵ . Vậy ❣⑦ ✷ Γ . Kết hợp (4.12) và (4.13) ta nhận được

Khi đó

♠❛①
❣⑦✭t✮ ❝   ✍✿
t
✵

Điều này dẫn đến

✶

❝ ❂ ✐♥❢
♠❛① ■ ✭❣✭t✮✮ ❝   ✍✿
❣ ✷Γ t✷❬✵❀✶❪

Đây là điều không thể xảy ra.

Hệ quả 4.4. Giả sử ❍ là không gian Hilbert và ■ ✷ ❈ ✶ ✭❍❀ ✮ thoả mãn điều kiện Palais - Smale. Giả sử
thêm rằng các điều kiện sau được thoả mãn
(i) ■ ✭✵✮ ❂ ✵;
(ii) tồn tại ✎❀ ✌ ❃ sao cho ■ ✭✉✮ ✌ nếu ❦✉❦ ❂ ✎;
(iii) tồn tại ✉✵ ✷ ❳ sao cho ❦✉✵ ❦ ❃ ✎ và ■ ✭✉✵ ✮ ❁ ✌ .
Khi đó tồn tại ❝ ✌ và ✉ ✷ ❍ sao cho ■ ✭✉✮ ❂ ❝ và r■ ✭✉✮ ❂ ✵.
23


2. Định lí tồn tại nghiệm
Định lí 4.5. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong
❢ ✷ ❈ ✭ ❀ ✮. Đặt
❩
✉

❋ ✭✉✮ ❂

✵

◆ và

✕ ❃  ✕✶ , trong đó ✕✶ xác định bởi (2.4). Giả sử

❢ ✭t✮❞t với ✉ ✷ ✿

Giả sử các điều kiện sau thoả mãn
(i) ❢ ✭✵✮ ❂ ✵;
(ii) tồn tại số ♣ ❃ ✶ sao cho ✭◆   ✷✮♣ ❁ ✭◆

✰ ✷✮ và hằng số ❈ sao cho
❥❢ ✭✉✮❥ ❈ ✭✶ ✰ ❥✉❥♣✮ với mọi ✉ ✷ ❀

(iii) tồn tại các số ♠ ❃ ✵, ✗

❁ ✕ ✰ ✕✶ sao cho

❥❋ ✭✉✮❥ ✗✷ ✉

✷

(iv) tồn tại các số ▼

nếu ❥✉❥

♠❀

❃ ✵ và ✒ ❃ ✷ sao cho

✵ ❁ ✒❋ ✭✉✮ ✉❢ ✭✉✮ nếu ❥✉❥ ▼✿

Khi đó bài toán (4.1) có nghiệm yếu không tầm thường trong ❍ ✭Ω✮.
✶
✵

Chứng minh. Đặt

✶ ❥r✉❥ ❞① ✰ ✕ ✉ ❞①   ❋ ✭✉✮❞①✿
■ ✭✉✮ ❂
✷ Ω
✷ Ω
Ω
Từ điều kiện ✭✐✮, theo Hệ quả 1.9, ta có ■ ✷ ❈ ✭❍ ✭Ω✮❀ ✮ và
❩

❩

❩

✷

✷

✶

❩

❩

❩

❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂

✶
✵

Ω

r✉r✈❞① ✰ ✕ Ω ✉✈❞①   Ω ❢ ✭✉✮✈❞①

✉❀ ✈ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. Ta sẽ áp dụng định lí qua núi để chứng tỏ phiếm
✉ ✷ ❍ ✭Ω✮, ✉ ✻❂ ✵. Phần còn lại của chứng minh được chia làm 3 bước.
Bước 1: Chứng minh ■ thoả mãn ✭P S ✮. Giả sử dãy ❢✉♥ ❣ ✚ ❍✵✶ ✭Ω✮ thoả mãn

với mọi

hàm

✶
✵

■

có điểm tới hạn

✽
❁

■ ✭✉♥ ✮ ✦ ❝ ✷
■ ✵ ✭✉♥ ✮ ✦ ✵ trong ❍  ✶ ✭Ω✮✿

(4.14)

✿

Ta có

✷■ ✭✉♥✮   ❤■ ✵✭✉♥✮❀ ✉♥✐ ❂

Từ ✭✐✈ ✮ suy ra có hằng số ❈ sao cho

❩

Ω

✭✉♥❢ ✭✉♥✮   ✷❋ ✭✉♥✮✮ ❞①✿

✉❢ ✭✉✮ ✒❋ ✭✉✮   ❈ với mọi ✉ ✷ ✿
Do đó,

Từ đây suy ra

❩

✷■ ✭✉♥✮   ❤■ ✵✭✉♥✮❀ ✉♥✐ ✭✒   ✷✮ Ω ❋ ✭✉♥✮❞①   ❈ ❥Ω❥✿
❩

✭✒   ✷✮ Ω ❋ ✭✉♥✮❞① ✷■ ✭✉♥✮ ✰ ❦■ ✵✭✉♥✮❦❍  ✶ Ω ❦✉♥❦❍✵✶ Ω ✰ ❈ ❥Ω❥✿
✭ ✮

24

✭ ✮


Điều này cùng với (4.14) suy ra tồn tại hằng số ❈ sao cho
❩

Ω

❋ ✭✉♥ ✮❞① ❈ ✰ ❈ ❦✉♥ ❦❍✵✶ ✭Ω✮ ✿

Mặt khác, do ✕ ❃  ✕✶ nên tồn tại ☛ ❃ ✵ sao cho

✶ ❥r✉❥ ❞① ✰ ✕ ✉ ❞① ☛❦✉❦ ✶
❍✵ Ω
✷ Ω
✷ Ω
❩

❩

✷

✷

✷

✭ ✮

với mọi ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. Do đó, ta nhận được

■ ✭✉♥ ✮ ☛❦✉♥ ❦✷❍✵✶ ✭Ω✮   ❈ ❦✉♥ ❦❍✵✶ ✭Ω✮   ❈✿
Từ đây suy ra dãy ❢✉♥ ❣ bị chặn trong ❍✵✶ ✭Ω✮. Do ❍✵✶ ✭Ω✮ phản xạ và nhúng compact trong ▲♣✰✶ ✭Ω✮ nên
tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ và ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ sao cho
✎ ✉❦♥ ✯ ✉ trong ❍✵✶✭Ω✮;
✎ ✉❦♥ ✦ ✉ trong ▲♣✰✶✭Ω✮;
✎ ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trên Ω;
✎ tồn tại ✇ ✷ ▲♣✰✶✭Ω✮ sao cho ❥✉♥✭①✮❥ ✇✭①✮ h.k.n. trên Ω.
Do ❢ ✷ ❈ ✭ ❀ ✮ nên
❢ ✭✉❦♥ ✭①✮✮✉❦♥ ✭①✮ ✦ ❢ ✭✉✭①✮✮✉✭①✮ h.k.n. trên Ω✿
Mặt khác, bởi (ii) ta có

❥❢ ✭✉❦♥ ✭①✮✮✉❦♥ ✭①✮❥ ❈ ✭❥✇✭①✮❥ ✰ ❥✇✭①✮❥♣ ✮ h.k.n. trên Ω✿
✰✶

Từ đó, áp dụng định lí hội tụ bị chặn nhận được
❩

Ω

❢ ✭✉❦♥ ✮✉❦♥ ❞① ✦

❩

Ω

❢ ✭✉✮✉❞①✿

Lập luận tương tự ta cũng nhận được
❩

Ω

❢ ✭✉❦♥ ✮✈❞① ✦

❩

Ω

❢ ✭✉✮✈❞① ✭✈ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮✮✿

Bây giờ ta ta chứng tỏ ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ✵. Trước hết, do ✉❦♥
với mọi ✈

✯ ✉ trong ❍✵✶ ✭Ω✮ nên
❩
❩
r✉❦♥ r✈❞① ✰ ✕ ✉❦♥ ✈❞① ✦ r✉r✈❞① ✰ ✕ ✉✈❞①
❩

❩

Ω

✷ ❍ ✭Ω✮. Do đó ta có
✶
✵

Ω

Ω

Ω

❤■ ✵✭✉❦♥ ✮❀ ✈✐ ✦ ❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐

với mọi ✈ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. Nhưng ■ ✵ ✭✉❦♥ ✮ ✦ ✵ trong ❍  ✶ ✭Ω✮ nên ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ✵.
Ta còn phải chứng tỏ ■ ✭✉✮ ❂ ❝. Từ ■ ✵ ✭✉❦♥ ✮ ✦ ✵ và ✉❦♥ ✯ ✉ trong ❍✵✶ ✭Ω✮ suy ra
Đương nhiên ❤■ ✵ ✭✉✮❀ ✉❦♥

❤■ ✵✭✉❦♥ ✮❀ ✉❦♥   ✉✐ ✦ ✵✿

  ✉✐ ✦ ✵. Bây giờ ta có
❤■ ✵✭✉❦♥ ✮   ■ ✵✭✉✮❀ ✉❦♥   ✉✐ ❂ Ω ❥r✭✉❦♥   ✉✮❥ ❞①   Ω ✭❢ ✭✉❦♥ ✮   ❢ ✭✉✮✮ ✭✉❦♥   ✉✮❞①✿
❩

❩

✷

Do đó,

❦✉❦♥   ✉❦❍✵✶ Ω ❂ ❤■ ✵✭✉❦♥ ✮   ■ ✵✭✉✮❀ ✉❦♥   ✉✐
✷

✭ ✮

❩

✰ Ω ✭❢ ✭✉❦♥ ✮   ❢ ✭✉✮✭✉❦♥   ✉✮✮ ❞① ✦ ✵ ✭♥ ✦ ✶✮✿

Vậy ✉❦♥ ✦ ✉ trong ❍ ✭Ω✮. Từ đó nhận được ■ ✭✉✮ ❂ ❧✐♠ ■ ✭✉❦♥ ✮ ❂ ❝.
♥✦✶
✶
✵

25