(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Phương trình đường thẳng

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 10
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG
MẶT PHẲNG

§1 Đường thẳng



Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao/ Phwớng pháp giải các dạng toán
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.

2

Chơng
Chơng III Phơng pháp toạ độ

trong mặt phẳng

Với mặt phẳng toạ độ, mỗi vectơ, mỗi điểm đều đợc xác định bởi toạ độ của nó.
Điều này giúp chúng ta có thể chuyển nhiều bài toán hình học sang đại số và ngợc
lại, ỳ kết quả của đại số suy ra đợc một số tính chất và mối quan hệ giữa các hình
hình học. Trong chơng này chúng ta sẽ quan tâm tới đờng thẳng, đờng tròn và ba đờng côníc.
Chơng này gồm sáu bài học:
1. Đờng thẳng.
2. Đờng tròn.
3. Đờng Elíp.
4. Đờng Hypebol.
5. Đờng Parabol.
6. Ba đờng Côníc.
Yêu cầu đặt ra đối với các em học sinh khi học chơng này là:
Biết các phơng pháp để lập đợc phơng trình đờng thẳng, đờng tròn và ba đờng côníc
khi biết các yếu tố xác định mỗi đờng.
Từ phơng trình của các đờng, thấy đợc các tính chất và quan hệ giữa các đờng.
Lập đợc phơng trình tiếp tuyến cho đờng tròn và ba đờng côníc cùng với
việc chứng minh đợc các tính chất của nó.
Nhớ và vận dụng đợc các biểu thức toạ độ vào việc tính khoảng cách, tính
góc.

Đ1

đờng thẳng
bài giảng theo chơng

chơng trình chuẩn

1. Phơng trình tổng quát của đờng thẳng

khác
Định nghĩa: Một vectơ n
0 gọi là vectơ pháp tuyến (viết tắt vtpt)

3


vuông góc với (d).
của đờng thẳng (d) nếu giá của n
Từ định nghĩa, ta có nhận xét:
là vtpt của đờng thẳng (d) thì mọi vectơ k với k 0 đều là vtpt của
Nếu n
n
(d).
Một đờng thẳng đợc hoàn toàn xác định khi biết một vtpt của nó và một điểm
mà nó đi qua.
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, đờng thẳng (d) có phơng trình tổng quát
(d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 > 0.
 (A, B).
Khi đó đờng thẳng (d) có vtpt n
Các trờng hợp riêng:
1.
Nếu A = 0, ta đợc:
y
(d): By + C = 0  (d): y =  C .

B
 (0, B) do đó nó vuông
là đờng thẳng có vtpt n
góc với Oy,
C

cắt Oy tại điểm có tung độ C .
B

n

/B

Lu ý: Bản thân trục Ox có phơng trình y = 0.
2.
Nếu B = 0, ta đợc:
(d): Ax + C = 0  (d): x =  C .
A
 (A, 0) do đó nó vuông
là đờng thẳng có vtpt n
góc với Ox,
cắt Ox tại điểm có hoành độ C .
A

Lu ý: Bản thân trục Oy có phơng trình x = 0.
3.
Nếu C = 0, ta đợc:
(d): Ax + By = 0
(A, B) và đi qua gốc toạ độ O.
là đờng thẳng có vtpt n

2. Phơng trình tham số của đờng thẳng

O
y

(
d
)

x

(
d
) n

O

x



C/
A (

y

d
)

O

x

Định nghĩa: Một vectơ a khác 0 gọi là vectơ chỉ phơng (viết tắt vtcp)
của đờng thẳng (d) nếu giá của a song song hoặc trùng với (d).
Từ định nghĩa, ta có nhận xét:
Nếu a là vtcp của đờng thẳng (d) thì mọi vectơ k a với k 0 đều là vtpt
của (d).
a
Nếu a (a1, a2) là vtcp của đờng thẳng (d) thì với a1  0 ta gäi k = 2 lµ hƯ số
a1
góc của đờng thẳng (d).
Một đờng thẳng đợc hoàn toàn xác định khi biết một vtcp của nó và một điểm
mà nó đi qua.
. = 0.
Nếu a là vtcp của đờng thẳng (d) thì a  n
a n

 NÕu n (A, B) lµ vtpt cđa (d) thì a (B, A) là vtcp của (d) và ngợc lại.
Phơng trình tham số của đờng thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, đờng thẳng (d) đi qua điểm M0(x0, y0) và có vtcp a (a1, a2) có
phơng trình

4


(d):

x  x 0  a 1 t


y  y 0 a 2 t

, t R.

Phơng trình trên víi ®iỊu kiƯn a 12 + a 22 > 0 đợc gọi là phơng trình tham số của
đờng thẳng.
Các trờng hợp riêng:
1. Nếu a1 = 0, ta đợc:
x
(d): xy
,tR
y
a t
là đờng thẳng có vtcp a (0, a2) do đó nó vuông góc với Ox, cắt Ox tại điểm có
hoành ®é x0.
2. NÕu a2 = 0, ta ®ỵc:
x x
 a t

(d):
,tR
y y
là đờng thẳng có vtcp a (a1, 0) do đó nó vuông góc với Oy, cắt Oy tại điểm có
tung độ y0.
Phơng trình chính tắc của đờng thẳng
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình tham số:
x x
a t

(d): 

,tR
 a t
y  y
b»ng c¸ch khư t từ phơng trình tham số của (d), ta đợc:
x x0
y y0
=
.
a1
a2
Phơng trình trên với điều kiện a 12 + a 22 > 0 đợc gọi là phơng trình chính tắc của
đờng thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy, đờng thẳng (d) ®i qua hai ®iĨm
M 1(x1,
NhËn xÐt:
0
0

2

0

1

0

0

1

0

2

y1) vµ M2(x2, y2) cã phơng trình đợc xác định nh sau:
Qua M1 ( x1 , y1 )

(d): 
 (d):
Qua M 2 ( x 2 , y 2 )
Qua M1 ( x1, y1 )



 vtcp M1M 2 ( x 2  x1 , y 2  y1 )

 (d):

x  x1
y  y1
=
.
x 2  x1
y 2 y1

3. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng tr×nh
(d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = 0.
b»ng viƯc xÐt hƯ ph¬ng trình tạo bởi (d1) và (d2), ta có kết quả:

C
B
A
a. NÕu 1 = 1  1  (d1) // (d2).
C2
A2
B2

B
A1
C
= 1 = 1  (d1)  (d2).
A2
B2
C2
B
A
c. NÕu 1  1 (d1) cắt (d2) tại điểm I.
A2
B2
trong trờng hợp này mọi đờng thẳng đi qua I đều có dạng:
(A1x + B1y + C1) + (A2x + B2y + C2) = 0, với 2 + 2 > 0
Phơng trình trên đợc gọi là phơng trình của chùm đờng thẳng, điểm I gọi là
tâm của chùm.
b. Nếu

5


Ta thờng dùng phơng trình của chùm đờng thẳng để giải các bài toán dạng: "

Viết phơng trình đờng thẳng ®i qua giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng ®· cho và
thoả mÃn thêm điều kiện K " mà không cần tìm toạ độ giao điểm đó.
4. góc giữa hai đờng th¼ng

Gäi  = g((d1
),(d2)), 0    900.

 Gäi a , b theo thø tù lµ vtcp cđa (d1), (d2), khi ®ã:

|
a
cos =  .b | .
|a |.| b|
NhËn xÐt r»ng (d1)  (d2)  a1b1 + a2b2 = 0.
 Gäi k1, k2 theo thø tù lµ hƯ sè gãc cđa (d1), (d2) , khi ®ã:
tg =

k1  k 2
.
1  k1k 2

NhËn xÐt r»ng (d1)  (d2)  k1.k2 = 1.
5. khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(xM, yM) và ®êng th¼ng (d) cã
(d): Ax + By + C = 0.
Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng (d) đợc cho bởi:
| Ax M By M C |
d(M, (d)) =
.

A2 B 2
Chú ý: Khoảng cách đại số từ M(xM, yM) tới đờng thẳng (d) đợc ®Þnh nghÜa:
Ax M  By M  C
tM = HM =
.
A2 B 2
6. Phơng trình đờng phân giác

là:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đờng thẳng
(d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = 0,
Khi đó phơng trình hai đờng phân giác (1) và (2) của các góc tạo bởi (d 1) và (d2)
A1x  B1y  C1

=

A2x  B2y  C2

.
A 22  B 22
A B
Chú ý: Nếu (d1) và (d2) không vuông góc với nhau thì (d 1) tạo với (d2) hai góc nhọn
và hai góc tù, khi đó ta có thể xác đinh phơng trình đờng phân giác của góc nhọn
hoặc góc tù nhờ kết quả trong bảng sau:
Dấu của Phơng trình đờng phân Phơng trình đờng phân
giác góc nhọn tạo bởi giác góc tù tạo bởi (d 1),
n 1. n 2
(d1), (d2) øng víi
(d2) øng víi

t1 = t 2

t1 = t2
+
t1 = t 2
t1 = t2
trong ®ã:
 n 1(A1, B1), n 2(A2, B2) theo thø tù lµ vtpt cđa (d1), (d2).
t1, t2 theo thứ tự là khoảng cách đại số từ M(x, y) tới (d 1), (d2)
phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Phơng trình đờng thẳng.
Phơng pháp thực hiện
2
1

6

2
1


Phơng trình:
Ax + By + C = 0
là phơng trình của một đờng thẳng khi và chỉ khi A2 + B2 > 0.
Chú ý: Đi kèm với họ đờng thẳng (dm) thờng có thêm các câu hỏi phụ:
Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ đờng thẳng (dm) luôn đi qua một điểm cố định.
Câu hỏi 2: Tìm các điểm mà họ (dm) không đi qua.
Khi đó:
a. Với câu hỏi 1, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:

Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định của họ (dm), khi đó:
Ax0 + By0 + C = 0 m
Bíc 2:
Nhãm theo bËc cđa m råi cho c¸c hƯ sè b»ng 0  (x0, y0).
Bíc 3:
KÕt ln.
b. Víi c©u hái 2, ta thùc hiƯn theo các bớc:
Bớc 1:
Giả sử M(x, y) là điểm mà họ (dm) không đi qua, khi đó:
Ax + By + C = 0 vô nghiệm m
Bớc 2:
Thiết lập điều kiện vô nghiệm (x, y).
ở đây cần nhớ lại:
a 0

Phơng trình am + b = 0 vô nghiệm m
.
b 0
2
Phơng trình am + bm + c = 0 (a  0) v« nghiƯm m  m < 0.
Phơng trình acosm + bsinm = c v« nghiƯm m  a2 + b2 < c2.
Bíc 3:
KÕt luận.
Ví dụ 1:
Tìm điều kiện của m để phơng trình sau là phơng trình đờng thẳng:
mx + (m22m)y3 = 0.
Giải
Phơng trình trên là phơng trình của đờng thẳng khi và chØ khi:
A2 + B2 > 0  m2 + (m22m)2 > 0  m2(m24m + 5)2 > 0
 m2 > 0  m  0.

VËy, víi m  0 ph¬ng trình đà cho là phơng trình của đờng thẳng.
Bài toán 2: Lập phơng trình đờng thẳng.
Phơng pháp thực hiện
Ta sử dụng các kết quả:
1. Đờng thẳng đi qua hai điểm:

(d):

Qua

Qua

M 1 (x 1 , y 1 )
M 2 (x 2 , y 2 )

 (d):

x  x1
y  y1
=
.
x 2  x1
y 2  y1

Lu ý:
 NÕu M1(a, 0) vµ M2(0, b) với a, b 0 thì phơng trình (M1M2) đợc xác định
bằng phơng trình đoạn chắn (M1M2): x y = 1.
a

b

Đờng thẳng (d) đi qua điểm M0(x0, y0) luôn có dạng:
(d): A(xx0) + B(yy0) = 0, với A2 + B2 > 0.
2. Đờng thẳng đi qua một ®iĨm vµ biÕt vtcp:
x  x0
y  y0
(x
, y
)
Qua M

(d): 

(d):
=

vtcp
a
(
a
,
a
)

a1
a2
0

1

0

0

2

hc (d):

x  x 0  a 1 t

y  y 0  a 2 t

, t  R.

7


Lu ý: Đờng thẳng (d) có vtcp a (a1, a2) luôn có dạng:
(d): a2xa1y + C = 0.
3. Đờng thẳng ®i qua mét ®iĨm vµ biÕt vtpt:
(x
,y
)
Qua M

(d): 
 (d): A(xx0) + B(yy0) = 0.


 vtpt n ( A, B )

Lu ý: Đờng thẳng (d) có vtpt n (n1, n2) luôn có dạng:
A
(d2)
(d1)
(d): n1x + n2y + C = 0.
4. Đờng thẳng đi qua một điểm và biết hệ số gãc k:
Qua M
(x , y
)
G 0) + y0.

(d): 
 (d): y = k(xx
hsg k
B
Lu ý: Đờng thẳng (d) có hệ số góc k luôn có dạng:C
A'
(d): y = kx + m = 0.
5. Đờng thẳng (d)//(): Ax + By + C = 0 có phơng trình:
(d): Ax + By + D = 0.
6. Đờng thẳng (d)(): Ax + By + C = 0 có phơng trình:
(d): BxAy + D = 0.
Chú ý: Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng
a. Phơng trình chùm đờng thẳng.
b. Phơng pháp quỹ tích để xác phơng trình đờng thẳng.
Ví dụ 2:
Cho ABC, biết trung điểm các cạnh là M(1,1), N(1, 9), P(9, 1).
a. Lập phơng trình các cạnh của ABC.

b. Lập phơng trình các đờng trung trực của ABC.
Giải
a. Ta có:
B
Phơng trình cạnh AB đợc xác định bởi:
qua P
qua P ( 9, 1)
M


P
(AB): 
 (AB): 

AB // MN
 vtcp MN ( 2, 10)
0

0

0

0

0

0

 (AB): x  9 = y  1  (AB): 5xy44 = 0. A
2

10

N

C

T¬ng tù (BC): x + y2 = 0, (AC): x5y + 44 = 0.
b. Gọi các đờng trung trực kẻ từ M, N, P theo thứ tự là (d M), (dN), (dP).
Phơng trình (dM) đợc xác định bởi:
qua M ( 1,  1)

(dM):
 (dM): 
 (dM): xy = 0.

 vtpt PN (8,  8)

 qua M


( d M )  PN

T¬ng tù (dN): 5x + y14 = 0, (dP): x + 5y14 = 0.
VÝ dô 3:
Cho ABC, biÕt A(1, 3) và hai trung tuyến có phơng trình là:
x2y + 1 = 0, y1 = 0.
Lập phơng trình các cạnh của ABC.
Giải
Cách 1: Để có đợc phơng trình các cạnh của ABC ta đi xác định toạ độ điểm B, C.

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua trọng tâm G cđa
ABC, khi ®ã:
A ' B //( d )

.
)
A ' C //( d
Suy ra:
Điểm B là giao điểm của (A'B) và (d2).
Điểm C là giao điểm của (A'C) và (d1).
Vậy ta lần lợt thực hiện theo các bớc sau:
Gọi G là trọng tâm ABC, khi đó toạ độ của G lµ nghiƯm cđa hƯ:
x  2 y  1 0

G(1, 1).
y 1 0
Điểm A' là điểm ®èi xøng víi A qua G, to¹ ®é cđa A' ®ỵc chobëi:
1

2

8


x A '

y A '



2 x G 

xA

2 y G

yA

A'(1, 1).
Toạ độ điểm B: Phơng trình đờng thẳng (A'B) đợc xác định bởi:
qua A '
qua A ' (1,  1)


(A'B): 
 (A'B): 

( A ' B ) //( d )
 vtcp CG ( 2,1)
1

 (A'B): x  1  y  1  (A'B): x2y3 = 0.
2




1

§iĨm {B} = (A'B) (d2), toạ độ điểm B là nghiÖm hÖ:

x  2 y  3  0

 B(5, 1).
y 1 0
Tơng tự, ta có toạ độ điểm C(3, 1).
Phơng trình cạnh AC, đợc xác định bởi:
qua

(AC): 
qua

A (1,3)
C (  3,  1)

 (AC): x  1 = y  3  (AC): xy + 2 = 0.
 3 1

 1 3



T¬ng tù, ta cã :
(AB): x + 2y7 = 0 vµ (BC): x4y1 = 0.
VËy, phơng trình ba cạnh của ABC là:
(AB): x + 2y7 = 0, (BC): x4y1 = 0, (AC): xy + 2 = 0.
Cách 2: Sử dụng phơng trình tham số của đờng thẳng
Gọi (d1): x2y + 1 = 0 là trung tuyÕn ®Ønh C, ta cã :
x 2 t  1

(d1): 

, t  R  C(2t1, t).
y  t
Gäi (d2): y1 = 0 là trung tuyến đỉnh B, ta có :
x u

(d2): 
, u  R  B(u, 1).
 y 1
Gọi G là trọng tâm ABC, khi đó toạ độ cđa G lµ
nghiƯm cđa hƯ:
A
x  2 y  1  0
(d2)


G(1,
1).
(d1)
y  1  0
G
Ta cã:
 x
 x
3x
x
1  u  2 t  1 3
t   1




 B
C 
 y
 y
3y
3  1  t 3
 u 5
y
(d)
B (5,1)

.
C ( 3, 1)
Khi đó:
Phơng trình cạnh (AB), đợc cho bởi:
qua A (1,3)

(AB):
(AB): x + 2y7 = 0.
qua B (5,1)
Phơng trình cạnh (AB), ®ỵc cho bëi:
qua A (1,3)

(AC): 
 (AC): xy + 2 = 0.
qua C ( 3, 1)
Phơng trình cạnh (BC), đợc cho bởi:
qua B (5,1)

(BC):

(BC): x4y1 = 0.
qua C ( 3, 1)
Vậy, phơng trình các cạnh của ABC là:
(AB): x + 2y7 = 0, (AC): xy + 2 = 0, (BC): x4y1 = 0.
A

B

C

G

A

B

C

G

Bµi toán 3: Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Phơng pháp thực hiện
Nếu hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình tổng quát:
(d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = 0.
®Ĩ xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d1), (d2), ta sư dơng kÕt qu¶:
B
A
C
a. NÕu 1 = 1  1  (d1) // (d2).
A2

B2
C2

9


B
A1
C
= 1 = 1  (d1)  (d2).
A2
B2
C2
B
A
c. NÕu 1 1 (d1) cắt (d2).
A2
B2
Các trờng hợp khác thì bằng việc xét hệ phơng trình tạo bởi hai đờng thẳng (d1) và
(d2), khi đó số nghiệm của hệ phơng trình cho phép kết luận về vị trí tơng đối của hai
đờng thẳng.
Ví dụ 4:
Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình:
x 2t
x 1 3t


(d1):
, (d2): 
,t1, t2  R.

 y   3t
y 3 6 t
a. Xác định giao điểm của (d1) và (d2).
b. Tính cosin góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2).
Giải
a. Xét hệ phơng trình tạo bởi (d1) và (d2):
1 3t
t
1
 2 t


 
.
3  6 t
 1
  3t
t
VËy (d1) cắt (d2) tại A(2, 3).



b. Gọi a 1 , a 2 theo thø tù lµ vtcp cđa (d1) vµ (d2), ta cã a 1 (2, 3), a 2 (1, 2).
Khi đó, cosin góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2) đợc cho bởi:

| 2.1 3.2 |
| a 1 .a 2 |
8
cos = 
=

.
 =
2
2
2
2
(  2)  ( 3) . 1  2
65
| a 1 | . | .a 2 |
Chó ý: ViƯc xÐt vÞ trí tơng đối của hai đờng thẳng có phơng trình tổng quát sẽ gợi ý
cho chúng ta giải bài toán " HÃy biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thøc
F = (A1x + B1y + C1)2 + (A2x + B2y + C2)2 "
Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bíc 1:
Xét hai đờng thẳng
(d1): A1x + B1y + C1 = 0 vµ (d2): A2x + B2y + C2 = 0.
Bíc 2:
Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối của (d1) và (d2).
Xét hệ phơng trình tạo bởi (d1) và (d2) có dạng:
A x B y   C

.
A x  B y  C
Xác định các giá trị của D, Dx, Dy.
Bớc 3:
BiÖn luËn:
Dy
Dx
a. NÕu D  0, hÖ cã nghiÖm duy nhất x =
và y =

.
D
D
Khi đó (d1) cắt (d2) do đó minF = 0, đạt đợc khi
Dy
D
x = x và y =
.
D
D
A
B
C
b. NÕu D = Dx = Dy = 0  1  1  1 .
A2 B2 C2
Khi ®ã (d1) (d2) do đó minF = 0, đạt đợc t¹i M(x, y)  (d1).
c. NÕu
A
B
C
 1  1  1 .
A2 B2 C2
Khi đó thì (d1) // (d2) do ®ã ®Ỉt t = A1x + B1y + C1, ta ®ỵc:
b. NÕu

1

2

1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

D  0

0
 D x
 D
0
y


10

2

1

2


F = t2 + (kt + m)2 = (k2 + 1)t2 + 2mkt + m2   .
4a

mk
VËy minF = , đạt đợc khi t = 2
.
4a
k 1

HÃy biện luận theo a giá trị nhỏ nhất của các biÓu thøc:
F = (x + y2)2 + (x + ay3)2.

VÝ dụ 5:

Giải
Xét hai đờng thẳng (d1): x + y 2 = 0 vµ (d2): x + ay  3 = 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối của (d1) và (d2).
Xét hệ phơng trình tạo bởi (d1) và (d2) có dạng:
x y  2

.

x  ay 3
Ta cã:
D=

1
1

1
a

= a1, Dx =

2
3

1
a

= 2a3, Dy =

1
1

2
3

= 1.

a. NÕu D  0  a1  0  a  1.
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt x = 2a  3 vµ y =

a 1

1
 (d1) cắt (d2) do đó minF = 0
a 1

b. Nếu D = 0  a1 = 0  a = 1.
Víi a = 1, suy ra Dx = 1  0, hệ vô nghiệm.
Khi đó (d1) // (d2) do đó:
F = (x + y2)2 + (x + y3)2.
Đặt t = x + y2, ta đợc
F = t2 + (t1)2 = 2t22t + 1 3 .
4

Vậy minF = 3 , đạt ®ỵc khi:

4
1
t=
 x + y2 = 1  2x + 2y5 = 0.
2
2

KÕt luËn:


Víi a  1, minF = 0, đạt đợc khi x = 2a 3 và y =

Với a = 4, minF = 3 , đạt đợc khi x, y tho¶ m·n 2x + 2y5 = 0.

a 1

1
.
a 1

4

Bài toán 4: Điểm và đờng thẳng.
Phơng pháp thực hiện
Để tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) thoả mÃn ®iỊu kiƯn K, ta lùa chän mét trong
hai híng sau:
Híng 1: Tận dụng phơng trình đờng thẳng (d) cho trớc.
Cách 1: Nếu đờng thẳng (d) cho dới dạng tham số :
x x
 a t

(d): 
, t R.
 a t
 y y
Bíc 1:
LÊy ®iĨm M  (d), suy ra M(x0 + a1t, y0 + a2t).
Bớc 2:
Dựa vào điều kiện K xác định t.
Cách 2: Nếu đờng thẳng (d) cho dới dạng tỉng qu¸t:
(d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 > 0.
0

1

0

2

11


LÊy ®iĨm M(xM, yM)  (d), suy ra
AxM + ByM + C = 0.
Bíc 2:
Sư dơng ®iỊu kiƯn K thiÕt lập thêm một phơng trình cho xM và yM. Từ đó
tìm đợc toạ độ của M.
Lu ý: Khi đó cũng có thể chuyển phơng trình (d) về dạng tham số ®Ĩ sư dơng c¸ch 1.
Híng 2: Sư dơng ®iỊu kiƯn K khẳng định M thuộc đờng (L), khi đó
(d) (L) = {M}.
Ví dụ 6:
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d): x2y + 15 = 0.
Tìm trên đờng thẳng điểm M(xM, yM) sao cho x 2M  y 2M nhá nhất.
Giải
Cách 1: Vì M(xM, yM) (d), suy ra
xM2yM + 15 = 0  xM = 2yM15,
khi ®ã:
x 2M  y 2M = (2yM15)2 + y 2M = 5 y 2M 60yM + 225 = 5(yM6)2 + 45 
45.
VËy ( x 2M y 2M )Min = 45 đạt đợc khi:
yM = 6 M(3, 6).

Cách 2: Chuyển phơng trình (d) vỊ d¹ng tham sè:
x 2 t  15

(d): 
, t  R.
y  t
§iĨm M  (d), suy ra M(2t15, t).
Khi ®ã:
x 2M  y 2M = (2t15)2 + t2 = 5t260t + 225 = 5(t6)2 + 45  45.
Bíc 1:

VËy ( x 2M  y 2M )Min = 45 đạt đợc khi:
t = 6 M(3, 6).
Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxli, ta có:
xM2yM + 15 = 0  15 = 2yMxM Bunhiac« pxki


( 4  1)(y 2M  x 2M )

 x 2M  y 2M  45.
VËy ( x 2M  y 2M )Min = 45 đạt đợc khi:
d)
yM = 2xM (
M(3, 6).
Ví dụ 7:
Cho hai điểmA(0, 2), B(2, 2) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d): xy1 = 0.
Tìm trên đờng thẳng điểm M trên (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Giải
Ta cã nhËn xÐt:

tA.tB = (21)(2 + 21) = 9 < 0 A, B khác phía với (d)
Ta luôn có:
MA + MB  AB
do ®ã (MA + MB)Min = AB đạt đợc khi:
A, B, M thẳng hàng {M} = (d) (AB).
Phơng trình đờng thẳng (AB) đợc cho bëi:

(AB):

12

qua A ( 0, 2 )

qua B ( 2,  2 )

 (AB): x  y  2  (AB): 2x + y2 = 0

Toạ độ điểmM là nghiệm của hÖ:

2

 2 2


x 1


M(1, 0).
y 0
Vậy, tại điểm M(1, 0) ta đợc MA + MB nhỏ nhất.

B. bài tập rÌn lun
Bµi tËp 1. Chøng minh r»ng víi mäi m phơng trình:
mx2m2x + (m1)xy + myy2 = 0
là phơng trình của hai đờng thẳng.
Bài tập 2. Cho họ đờng thẳng (dm) có phơng trình:
(dm): (2m + 1)xym2 = 0.
Tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng không thuộc bất cứ đờng thẳng nào của họ.
Bài tập 3. Cho ABC, biết đỉnh C(4, 1) đờng cao và đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh A
có phơng trình tơng ứng là:
(d1): 2x3y + 12 = 0 vµ (d2): 2x + 3y = 0.
LËp phơng trình các cạnh của ABC.
Bài tập 4. Cho hai điểm P(2, 5) và Q(5, 1). Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua
điểm P sao cho khoảng cách từ Q tới đờng thẳng đó bằng 3.
Bài tập 5. Cho hai đờng thẳng:
(d1): 2xy + 5 = 0, (d2): 3x + 6y1 = 0.
Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm P(2, 1) sao cho đờng thẳng đó cùng với hai
đờng thẳng (d1) và (d2) tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đờng
thẳng (d1) và (d2).
Bài tập 6. Cho hai đờng thẳng:
(d1): 2xy + 1 = 0 và (d2): x2y3 = 0.
Lập phơng trình đờng thẳng () đi qua giao điểm của (d 1) và (d2) đồng thời chắn
trên hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau.
Bài tập 7. Cho hình bình hành ABCD, biết tâm I(2, 2) và phơng trình cạnh:
(AB): 2xy = 0, (AD): 4x3y = 0.
Lập phơng trình các cạnh BC và CD.
Bài tập 8. Cho ba điểm A(2, 3); B(4, 1); C(4, 5).

a. Lập phơng trình đờng phân giác trong của góc A của ABC.

b. Lập phơng trình đờng phân giác ngoµi cđa gãc A cđa ABC.

Bµi tËp 9. Cho hai ®êng th¼ng:
(d1): kxy + k = 0, (d2): (1k2)x + 2ky(1 + k2) = 0.
a. Chøng minh r»ng khi k thay đổi (d 1) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm toạ
độ điểm cố định đó.
b. Với mỗi giá trị của k, hÃy xác định giao điểm của (d 1) và (d2).
c. Tìm quĩ tích của giao điểm đó khi k thay đổi.
Bài tập 10. Cho ABC cân tại A, biết phơng trình cạnh AB có dạng:
(AB): 3 7 x y  3 7 = 0,
®iĨm B, C thc trục hoành và A thuộc góc phần t thứ nhất.
a. Xác định toạ độ các đỉnh của ABC, biết rằng p = 9.
b. Tìm toạ độ điểm M AB và N BC sao cho đờng thẳng MN đồng thời chia
đôi chu vi và chia đôi diện tích của ABC.
Bµi tËp 11. Cho ABC biÕt A(2, 1) vµ hai đờng phân giác trong của góc B, C có
phơng trình
(dB): x2y + 1 = 0 vµ (dC): x + y + 3 = 0.
Lập phơng trình cạnh BC.
Bài tập 12. Cho OAB vuông tại O. Điểm A di động trên đờng thẳng
(d1): x = 2,
B di động trên đờng thẳng (d2): y = 1. Tìm tập hợp hình chiếu vuông gãc cđa O lªn
AB.
2 x  y  2 0

 x  y  1 0

13


Bài tập 13. Cho họ đờng thẳng (dm) có phơng tr×nh:
(dm): (m + 1)xy + m2m = 0.
Chøng minh r»ng họ đờng thẳng (dm) luôn tiếp xúc với một Parabol cố định.

Bài tập 14. Cho 5 điểm A(0, 1), B(2, 3), C( 1 , 0), E(1, 6), F(3, 4) vµ đờng thẳng
2

(d) có phơng trình:
(d): 2xy1 = 0.
a. Kiểm nghiệm rằng các điểm A, B, C thuộc đờng thẳng (d). Tìm trên (d) điểm
D sao cho bốn điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hoà.
b. Tìm điểm M trên (d) sao cho vectơ EM + FM có ®é dµi nhá nhÊt.
Bµi tËp 15. Cho ®iĨm M(3, 1) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
(d): 3x4y + 12 = 0.
Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M lên (d), từ đó suy ra toạ độ ®iĨm M 1 lµ
®iĨm ®èi xøng víi M qua (d).
Bµi tËp 16. Cho ABC biÕt (BC): 4xy + 3 = 0 và hai đờng phân giác trong của góc
B, C có phơng trình
(dB): x2y + 1 = 0 và (dC): x + y + 3 = 0.
Lập phơng trình cạnh AB, AC.
Bài tập 17. Cho ABC vuông tại C, với AC = 3 và BC = 4. Điểm A di động trên Ox,
B di động trên Oy. Tìm tập hợp các đỉnh C.
Bài tập 18. Chứng minh rằng họ đờng thẳng (dm) luôn tiếp xúc với một Parabol cố định,
biết:
a. (dm): m2x2my + 1 = 0, víi m  0.
b. (dm): (2m + 1)xym2 = 0.
Bài tập 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6),
đờng thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phơng trình x + y 4 = 0. Tìm
toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đờng cao đi qua điểm C của tam
giác đà cho.
Bài tập 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (4;
1), phân giác trong góc A có phơng trình x y 5 = 0. Viết phơng trình đờng thẳng
BC, biết diện tích ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dơng.
Bài tập 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ®iĨm A (0; 2) vµ (  ) lµ ®êng thẳng đi

qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ( ). Viết phơng trình đờng thẳng (
), biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
Bài tập 22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm
I(6; 2) là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đờng thẳng
AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đờng thẳng (): x + y 5 = 0. Viết phơng
trình đờng thẳng AB.
Bài tập 23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC có M(2; 0) là trung điểm của
cạnh AB. Đờng trung tuyến và đờng cao qua đỉnh A lần lợt có phơng trình:
7x 2y 3 = 0, 6x y 4 = 0.
Viết phơng trình đờng thẳng AC.
C. hớng
hớng dẫn đáp sốp số
Bài tập 1. ViÕt l¹i biĨu thøc díi d¹ng:
(mxy)(x + ym) = 0 

 mx  y 0
 x  y  m 0 .


Vậy với mọi m phơng trình đà cho là phơng trình của hai đờng thẳng (d1): mxy
= 0 và (d2): x + ym = 0.
Bµi tËp 2. Gäi M(x, y) là điểm mà họ (dm) không đi qua
14


 (2m + 1)xym2 = 0 v« nghiƯm m
 m22mx + yx = 0 v« nghiƯm m  ’m < 0 x2 + xy < 0
Vậy, tập hợp các ®iĨm M(x, y) tho¶ m·n x2 + xy < 0 (các điểm thuộc miển
trong (P): y = x2 + x) không thuộc bất cứ đờng thẳng nào của họ (dm).
Bài tập 3. Ta lần lợt xác định:

Phơng trình cạnh (BC): Ta có:
(d
Vì (BC) (d1) nên (BC): 3x2y + C = 0.
(1) C(1,
)
1)
1
Vì C (BC) nên
3).42.(1) + C = 0  C = 10.
(d
Thay C = 10 vµo (1), ta đợc
)
C/ M
2
(BC): 3x + 2y10 = 0.
B
n
B
A độ điểm A là nghiệm hệ:
Phơng trình cạnh (AC): Điểm {A} = (d1)  (d2)  to¹
2 x  3y  12  0
x

 A(3, 2).
2 x  3y  0
Ph¬ng trình cạnh (AC) đợc xác định bởi:
(AC):

qua

qua

A ( 3,2 )
C ( 4,  1)

 (AC): x  3  y  2  (AC): 3x + 7y5 = 0.
43

 1 2

Phơng trình cạnh (AB): Gọi M là trung điểm BC, khi đó M = (d2) (BC).
Vậy, toạ độ điểm M là nghiệm hệ phơng trình:
3x 2 y  10  0

 M(6, 4).
2 x  3y  0
Toạ độ điểm B đợc xác định bởi:
x
2 x
x
2 x
x
x
8
x

.
y
2 y
2 y
y
7
y
y
y
Phơng trình cạnh (AB) đợc xác định bởi:
B

C

M

B

M

C

B

B

C

M

B

M

C

B

qua

(AB):
qua

B (8, 7)
A (  3,2 )

 (AB): x  8  y  7  (AB): 9x + 11y + 5 = 0.
 3 8

27

Vậy, phơng trình ba cạnh của ABC là:
(AB): 9x + 11y + 5 = 0; (BC): 3x + 2y10 = 0;
(AC): 3x + 7y5 = 0.
Bài tập 4. Đờng thẳng (d) đi qua điểm P có phơng trình:
(d): A(x2) + B(y5) = 0  (d): Ax + By2A5B = 0
Khoảng cách từ Q tới (d) bằng 3, ta có:
| 5A  B  2 A  5B |

A2  B2

= 3  |3A4B| = 3 A 2  B 2
 B 0
.
 B  24A

7

 (3A4B)2 = 9(A2 + B2)  7B224AB = 0  


Víi B = 0, ta đợc (d1): x2 = 0.



Với B = 24 A , ta đợc (d2): 7x + 24y134 = 0.
7

y

Vậy, tồn tại hai đờng thẳng (d1) và (d2) thoả mÃn điều kiƯn.
Bµi tËp 5. Gäi k1, k2 theo thø tù lµ hsg cđa (d1) vµ (d2), ta cã:
k1 = 2, k2 =  1  k1.k2 = 1  (d1)  (d2).
2

Vậy, gọi (d) là đờng thẳng qua P(2, 1), ta ®ỵc:
(d): A(x2) + B(y + 1) = 0
 (d): Ax + By2A + B = 0
(1)

5
(
d
(
)d
2

1

)

O
(O
d
'
)
x

(
d
2)

x

n
MP
(
d
)

15


Đờng thẳng (d) cùng với hai đờng thẳng (d1) và (d2) tạo ra một tam giác cân có
đỉnh là giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2)
| 2A B |

 g((d),(d1)) =  
4

 3A28AB3B2 = 0

2

5. A  B
A
t
B



2

= cos 
4

 t 3

3t28t3 = 0  

 A 3B

 
.
 t  1
  3A  B

3

 Với A = 3B, thay vào (1) ta đợc đờng th¼ng (d): 3x + y5 = 0.
 Víi 3A = B, thay vào (1) ta đợc đờng thẳng (d'): x3y5 = 0.
Vậy, qua P có thể kẻ đợc hai đờng thẳng (d) và (d') thoả mÃn đầu bài.
Chú ý. Cũng có thể giải bài toán bằng một trong hai cách sau:
Cách 1: Tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2)
đờng thẳng (d) qua P vuông góc với đờng phân giác của các góc tạo bởi
hai đờng thẳng (d1) và (d2).
Phơng trình đờng phân giác của các góc tạo bởi hai đờng thẳng (d1) và (d2), đợc
cho bởi:
| 2x y 5 |

| 3x  6 y  1 |

 (  ) : 3x  9 y  16 0

  1
.
2
2
2  ( 1)

3 6
 (  2 ) : 9 x  3y  14 0
 Gäi (d) là đờng thẳng qua P(2, 1) và vuông góc với (1), ta cã:
qua P ( 2,  1)


(d): 
 (d): 9(x2) + 3(y + 1) = 0
( 9,3)
 vtpt n
 (d): 3x + y5 = 0.
Gọi (d') là đờng thẳng qua P(2, 1) và vuông góc với (2), ta cã:
qua P ( 2,  1)


(d'): 
 (d'): 3(x2) + 9(y + 1) = 0
(  3,9 )
 vtpt n
 (d'): x3y5 = 0.
Cách 2: Thiết lập điều kiện ABC cân tại A = (d1)(d2)

.
Bài tập 6. () đi qua giao điểm (d1), (d2) nên () thuộc chùm tạo bởi (d1), (d2), cã d¹ng:
(): (2xy + 1) + (x2y3) = 0
 (): (2 + )x( + 2)y + 3 = 0.
(1)
Gọi A = ()(Ox), khi đó toạ độ điểm A là nghiệm hệ phơng trình:
2

2

=

1

2

) (d1 )
B ( x B , y B

)
( d 2
)
C ( x C , y C

 AC
 AB
 B, C , P
th an g
h ang


(2  )x 

y  0

(  2)y   

3  0

 A(

3  
, 0).
2  

Gäi {B} = () (Oy), khi đó toạ độ điểm B là nghiệm hệ phơng trình:
(2 )x (   2)y   

x  0

3  0

 B(0,

3
).
2

Đờng thẳng () chắn tên hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau, suy ra:
3 
2  

=

  3
  2

 t 2  2 t  3 0

 2
 t  4 t  3 0



 t 1
 t  1

 t  3

OA = OB 

t







16

  2  2  3 2 0

 

2
2
   4  3 0

Víi t = 1 = , ta đợc
(1): (2xy + 1) + (x2y3) = 0  (1): 3x3y2 = 0.
Víi t =1 = , ta đợc
(2): (2xy + 1) + (x2y3) = 0  (2): x + y + 4 = 0.
Víi t = 3   = 3, ta đợc


(3): 3(2xy + 1) + (x2y3) = 0  (3): 7x5y = 0.
Vậy, có ba đờng thẳng thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Bài tập 7.
a. Cạnh BC đối xứng với AD qua I, ta lần lợt thực hiện:
Với mỗi đểm M(x, y) (AD) tồn tại điểm M1(x1, y1) (BC) nhận I làm trung
điểm, ta đợc:
4
x 4 x
x  x


 
4
y  y
y  4  y
(I)
Thay (I) vào phơng trình của (AD), ta đợc:
4(4x1)3(4y1) = 0 4x13y14 = 0.
(1)
4x3y4 = 0.
(2)
Vậy phơng trình (BC): 4x3y4 = 0.
b. Cạnh CD đối xứng với AB qua I, ta lần lợt thực hiện:

Lấy điểm O(0, 0) (AB), gọi O1 là điểm đối xứng với O qua I  O1(4, 4).
 V× (CD) // (AB): 2xy = 0  (CD): 2xy + C = 0.
 V× O1  (CD) C = 4.
Vậy, phơng trình đờng thẳng (CD): 2xy4 = 0.
Bài tập 8. Trớc tiên, ta có:
Phơng trình cạnh AB đợc xác định bởi:
(AB):

1

1

1

1

qua

qua

(AB): x 2  y  3  (AB): 2x + y7 =

A ( 2,3)
B ( 4, 1)

4 2

0.
Phơng trình cạnh AC đợc xác định bởi:
(AC):

qua

qua

A ( 2,3)
C ( 3,5)

 1 3

 (AC): x  2  y  3  (AC): xy + 1 = 0.
4 2

5 3


A

a. Viết phơng trình đờng phân giác trong của góc
của ABC.

Gọi (d1) là đờng phân giác trong của góc A
của ABC.
Khi ®ã, ®iĨm M(x, y)(d1)


vµ
B
cïng p hÝa víi
( AC )

M

vµ
C
cï ng p hÝa ví i
( AB )
M
 d( M, ( AB ))
 d( M, ( AC ))


( x  y  1)(4  1  1)  0



(2 x  y  7)(2.4  5  7)  0
| x  y  1 | | 2x  y  7 |

12  2 2
2 2  12
y  1  0
x 

7  0
2 x  y 

y  1 (2 x
x

3x6 = 0.
Đó chính là phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d1).

b. Viết phơng trình đờng phân giác ngoài của góc A
của ABC.

Gọi (d2) là đờng phân giác trong của góc A
của ABC.
Khi đó, ®iÓm M(x, y)  (d2)
t
.t
.t
.t
 0


d( M, ( AB ))  d( M, ( AC ))

( x  y  1)(2 x  y  7)  0

 
 x + 2y6 = 0.
x  y  1 2 x y 7
Đó chính là phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d2).
Bài tập 9.
M /( AC )

B /( AC )

 y

M /( AB )



7)

C /( AB )

y  1)( 4  1  1).(2 x  y 
( x 

y  1 |
| 2x  y 
7 |
| x 


12  2 2
2 2  12


7)( 2.4 

5 

7)  0

17

a. Gọi M(x, y) là điểm cố định mà đờng thẳng (d1) luôn đi qua với k
kxy + k = 0 k  (x + 1)ky = 0 k
x  1
y (d1)

 
 M(1, 0).
 y 0
(d2) I
VËy (d1) luôn đi qua điểm cố định M(1, 0).
b. Xét hệ phơng trình tạo bởi (d1) và (d2) là:
.
A
Ta có:
O
x
1
D = 1 + k2 , Dx = 1k2, Dy = 2k.
V× D 0 k (d1) và (d2) luôn cắt nhau tại I có toạ độ là nghiệm của hệ, tøc lµ:
1  k2
2k
I(
).
,
2
1  k 1  k2
c. Tõ hệ phơng trình:
y k
kx

2
2
(1 k )x  2 ky 1  k


1  k2
x 


1  k2

2k
y 

1  k2




2



2

2

 x2 + y2 =  1  k 2    2 k 2   x2 + y2 = 1.
 1 k 

1 k
Vậy, quĩ tích của giao điểm I của (d1) và (d2) thuộc đờng tròn x2 + y2 = 1.
Bài tập 10.
a. Ta có toạ độ các điểm :
A(a, 3a 7  3 7 ), B(1, 0), C(2a1, 0),
y
Tõ gi¶ thiÕt:
AM
 AP(I) 
 a  1.
a  0

3a 7  3



7 0

p = 9  AB  BC  AC = 9
2
 2.8|a1| + 2|a1| = 18 

 a 2
 a 0 ( lO
)


I
B
C

1 N 3

x

Tõ ®ã A(2, 3 7 ), B(1, 0), C(3, 0).
b. Ta cần tìm điểm M AB (tức là phải tìm x = BM, 0 x 8) sao cho trên cạnh
BC tồn tại điểm N tho¶ m·n:
BN = px = 9x, 0  9x  2  7  x  9,

S BMN
= 1 .
S ABC
2
(1)
Từ (1) ta đợc:
x 8
x (9 x )
BM.BN
= 1 
= 1  x29x + 8 = 0  
.
 x 1 ( l )
AB.BC
2
2
8.2

 Víi x = 8  M  A(2, 3 7 ) vµ N(2, 0) là trung điểm BC.
Bài tập 11. Nhận xét rằng nếu lấy A 1, A2 theo thứ tự là điểm đối xứng của A qua (d B) và
(dC) thì A1, A2 BC.

Vậy, phơng trình đờng thẳng (A1A2) cũng chính là phơng trình đờng thẳng (BC).
Ta lần lợt đi xác định A1, A2:
a. Xác định A1: Gọi (d1) là đờng thẳng thoả mÃn :
qua A
qua A ( 2, 1)



(d1): 
 (d1): 2x + y3 = 0.
)  (d1):  vtpt a
( 2,1)
( d )  ( d
1

18

B

B


Gọi E là hình chiếu vuông góc của A lên (d C) suy ra E = (d1)  (dB) vµ toạ độ
điểm E là nghiệm hệ:
2 x y 3  0

 E(1, 1).
x  2 y  1 0
Vì E là tung điểm AA1, do đó:
A(2,1

2 x
x
0
(dB)

(dC)
x
)

A1(0, 3).
2 y
y
3
y

EF
b. Xác định A2: Gọi (d2) là đờng thẳng thoả mÃn :
x
qua A
qua A ( 2, 1)



(d2):

(d
):

(d2): xy3
= 0.

B
C
2
(
d
)

(
d
)
vtpt
a
(
1
,

1
)


A1
A2
Gọi F là hình chiếu vuông gãc cđa A lªn (d B) suy ra F = (d 2) (dC) và toạ độ

điểm F là nghiệm hÖ:
C
x  y  3  0

 F(0, 3).
/A

x  y 3 0
Vì F là tung điểm AA2, do ®ã:
A1

E

A

A1

E

A

2

C

C

x A 2 2 x F  x A 0

y A 2 2 y F  y A 3

 A2(2, 5).

Vậy, phơng trình (BC) đợc xác định bởi:
qua A ( 0,3)

(BC): 

 (BC): 4xy + 3 = 0.
qua A ( 2, 5)
1

2

Bài tập 12. Giả sử A(2, yA), B(xB, 1) và hình chiếu vuông góc H của O lên AB là
H(x, y), khi đó:


.
(I)
Khử yA, xB từ hệ (I), ta đợc:
x + 2y2 = 0.
Vậy tập hợp hình chiếu vuông góc H của O lên AB thuộc đờng thẳng (d): x +
2y2 = 0.
Chú ý: Để tìm đờng cong cố định luôn tiếp xúc với họ (d m) : f(x, y, m) = 0, ta lùa chän
mét trong hai c¸ch sau:C¸ch 1: Thùc hiƯn theo hai bíc:
Bíc 1:
Định dạng cho đồ thị cố định, thí dụ:
Parabol lµ (P): y = ax2 + bx + c.
Bíc 2:
Sư dụng điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị với mọi giá trị của tham số, ta
xác định đợc phơng trình của đờng cong.
Cách 2: Thực hiện theo hai bớc:
Bớc 1:
Tìm tập hợp các điểm mà họ (dm) không đi qua. Tập hợp đó đợc xác
định bởi bất phơng trình có dạng: h(x, y) < g(x, y)
Bớc 2:
Ta đi chứng minh họ (d m) luôn tiếp xúc với đờng cong (C) có phơng

trình: h(x, y)g(x, y) = 0.
Bài tập 13. Ta cã thĨ thùc hiƯn theo c¸c c¸ch sau:
C¸ch 1: Gi¶ sư parabol (P): y = ax2 + bx + c lu«n tiÕp xóc víi (dm)
 hƯ sau cã nghiƯm
( m  1)x  m
 m ax
 bx  c

, m
m  1 2 ax  b

, m

,
m
1

.
OA



 HA

HB









O A.OB



OB

HO

 HA .HO

HB .HO



HO

 y A
0
2 x B

2)  y( y 
x ( x 
x ( x 
x B )  y( y


y



2

A

)

1)

0

0

0

0

0

2

a 0

2
2
(1  4a )m  2(2a  b  1)m  b  2b  1  4ac 0

 0
a

1 
4a
0


2( 2 a

b

1)
0

2


2b
 1 
4 ac
0
b

a

b
c



1 /
4
3 /
2



1

/

4

VËy, (dm) lu«n tiÕp xóc víi parabol (P): y =  1 x2 + 3 x 1 .
4

2

4

19


Cách 2: Ta thực hiện theo hai bớc:
Tìm những điểm trên mặt phẳng mà không thuộc họ (d m).
Gọi M(x, y) là điểm không thuộc bất cứ đờng thẳng nào của họ (dm)
phơng trình (m + 1)xy + m2m = 0 vô nghiệm m
phơng trình m2 + m(x1) + xy = 0 v« nghiƯm m
 ' < 0  (x1)24(xy) < 0  x26x + 1 + 4y < 0

Vậy, tập hợp các điểm M(x, y) thoả m·n x26x + 1 + 4y < 0 kh«ng thuéc bất cứ
đờng thẳng nào của họ (dm).
Ta đi chứng minh (dm) lu«n tiÕp xóc víi Parabol (P): x26x + 1 + 4y = 0.
Thật vậy, xét hệ phơng trình tạo bới (dm) và (P) dạng:

2
m
( m 1).x  m


1
3
m  1  
x 


2
2

1
( x 2  6 x  1)
4

 x = 12m,

tøc lµ hƯ luôn có nghiệm, nên (dm) luôn tiếp xúc với (P).
Vậy, mọi đờng thẳng của họ (dm) luôn tiếp xúc với Parabol (P).
Bµi tËp 19. Gäi H, I theo thø tù là trung điểm của BC và AH, ta lần lợt có:
Phơng trình đờng thẳng (AH) đợc cho bởi:
A

Qua A  6; 6 
Qua A
(AH) : 
 (AH) : 

M I N
(AH)  (MN)
(
 vtpt n  1;  1
d
 (AH): x y = 0.
)
Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ phơng trình:
E
x y 0
B H C
I(2; 2) H(2; 2).

x

y

4

0

Phơng trình đờng thẳng (BC) đợc cho bởi:
Qua H 2; 2 
Qua H
(BC) : 

 (BC) : 

(AH)  (BC)
 vtcp u  1;  1
x  2  t
(BC) : 
, t  .
y  2  t
 V× B thuéc (BC) nªn B(2 + t; 2  t) và vì B, C đối xứng qua H nên ta có ngay
C(2 t; 2 + t).
Vì điểm E(1; 3) nằm trên đờng cao đi qua điểm C của ABC nªn:


 
AB  CE  AB  CE  AB.EC 0
 (8 + t; 8  t).(3  t; 1 + t) = 0  (8 + t)(3  t) + (8  t).(1 + t) = 0
 t2  2t  8 = 0  t = 2 hoặc t = 4.
C
Vậy, ta đợc B(0 ; 4), C(4 ; 0) hoặc B(6; 2), C(2; 6).
(d)
Bài tập 20. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 2: Ta lần lợt:
B
Gọi C(x; y) là điểm đối xứng với C qua (d), ta cã:
 
CC '  (d)
CC '  u d
 

 I  (d)

A
 trung ®iĨm I cña CC' thuéc (d)
C

20