Chuyên đề bất đẳng thức

.tl

age
ac.p

ais

://l
p
t
t
h

I.Sử dụng một số BĐT cơ bản:
Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì:
a1 ; a2 ;...an ( n ³ 2) ta luôn có:

a1 + a2 + ... + an n
³ a1a2 ...an ( I ) ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
n
a1 = a2 = ... = an .
BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì ( a1 ; a2 ;...an ),(b1 ; b2 ;...bn ) ta luôn có:
( a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 £ ( a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 )( II ) ; dấu bằng
xảy ra khi và chỉ

a
a1 a2
=
= ... = n . BĐT: a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + bc + ca ( III ) ; dấu bằng xảy ra
b1 b2
bn

khi a = b = c.
1 1
1
n2
BĐT:
( IV ) ; trong đó a1 , a2 ,...an là các số
+ + ... + ³
a1 a2
an a1 + a2 + ... + an
Khi:

dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau.

Bài 1: Cho a > b > 0 . Chứng minh:
1
4
1
a/a +
³ 3; b / a +
³ 3; c / a +
³ 2 2.
2
b( a - b)
(a - b)(b + 1)
b( a - b) 2
Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: b + (a - b) +

1
1
³ 3 3 b.(a - b).

=3
b( a - b)
b( a - b)

(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi b = 1; a = 2.

Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: a b - 1 + b a - 1 £ ab.
1