Một số bài toán chọn lọc bồ dưỡng học sinh giỏi môn toán

httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc
SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010

MỤC LỤC

PHẦN
I

PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM

II

PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨ C

III

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

IV

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

V

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

VI

ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI

Trang

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

2.

Các diễn đàn :
www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl,
www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,…
Đề thi HS G Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30 -4

3.

Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến )

4.

Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ

5.

Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GI ẢI … ( Trần Phương - Lê Hồng Đức )

6.

Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN S Ơ CẤP (Phan Huy Khải )

7.

Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải )

8.

Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh )

9.

Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng )

10.

Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận )

11.

Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương )

12.

340 bài toán hình học không gian ( I.F . Sharygin )

13.

Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam )

14.

… và một số tài liệu tham khảo khác .

15.

Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website.

1.

1


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : y =−2x + 2 + m x2 − 4x + 5 có cực đại . ĐS : m < -2

 3 1 + xsin2 x − 1, x =/ 0
2. Cho hàm số : f(x) = 
. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu
0
, x =0

tại x =0 .
3. Tìm cực trị của hàm số :=
y f(x)

= | x | ( x − 3) . ĐS : x =0 ; x=1
4. Xác đị nh các giá trị của tham số m để các phương trì nh sau có nghiệm thực :
7
9
a) ( 4m − 3) x + 3 + (3m − 4 ) 1 − x + m − 1 =
0 . ĐS : ≤ m ≤
9
7
b)
c)

4

x2 + 1 − x =
m . ĐS : 0 < m ≤ 1

m

(

)

1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x2 − 1 − x2

 x2 + y 3 =
2
5. Xác đị nh số nghiệm của hệ phương trình : 
ĐS : 2
log3 x log 2 y = 1


x2 + 1
y 2 −x2
e
=

. ĐS : (x,y)=(7;7)
6. Giải hệ phương trình : 
y2 + 1
3log (x + 2y=
+ 6) 2log 2 (x + y + 2) + 1
3

2
y −1
 x + x − 2x + 2= 3 + 1
7. Giải hệ phương trình : 
y + y 2 − 2y + 2= 3x−1 + 1

(

)

 1 + 42x−y .5y −2x+1 =
22x−y +1 + 1

8. Giải hệ phương trình : 
3
2
0

 y + 4x + ln y + 2x + 1 =
9. Giải phương trình : ( x − 3) log3 (x − 5) + log5 (x − 3) =
x +2
10. Giải bất phương trì nh :

(

)

(x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2 . ĐS :

11. Giải bất phương trì nh : 3 3 − 2x +

(

5

2x − 1

)

− 2x ≤ 6

12. Giải phương trình : 3x 2 + 9x 2 + 3 + ( 4x + 2)

13. Giải phương trình : x3 − 4x 2 − 5x +=
6

3

(

1
≤ x ≤7
2

)

1 + x + x2 + 1 = 0

7x 2 + 9x − 4
2 xy − y + x + y =
5
. ĐS : m ∈ 1; 5 
14. Tìm m để hệ phương trì nh sau có nghiệm : 


5
x
1
y
m
−
+
−
=



1

15. Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực :
x + x − 1 m x +
1.
+ 4 x ( x − 1)  =
x −1


 x + 1 + y + 1 =
3
16. Tìm m để hệ có nghiệm: 
m
x y + 1 + y x + 1 + x + 1 + y + 1 =

(

)

17. Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại tại x1 ;x2 . CMR:

2

f '''(x) 1  f ''(x) 
, ∀x ≠ x1 ,x2
<
f '(x) 2  f '(x) 

18. Cho hàm số : f(x) = cos2 2x + 2(sin x + cosx)3 − 3sin2x + m . Tìm m sao cho f 2 (x) ≤ 36, ∀ m

19. Trong các nghiệm(x;y) của BPT : log x2 +y2 ( x + y ) ≥ 1 . Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN
20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trì nh : 2009 x

(

)

x 2 +1 - x = 1 . ĐS : x=0

21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Tìm m để hệ phương trình s au có ba nghiệm phân biệt :
m
 x + y =
3 3
ĐS : m ≥

2
2
( y + 1 ) x + xy = m ( x + 1 )

2


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

 x 4 − y 4 =
240
22. Giải hệ PT :  3
3
2
2

x − 2y = 3 x − 4y − 4 ( x − 8y )
x 4 + x3 y + 9y = y 3 x + y 2 x2 + 9x
23. Giải hệ phương trình : 
. ĐS : (x,y)=(1;2)
3
3
7
 x y − x =

(

)

(

(

)

)

 4x 2 + 1 x + ( y − 3) 5 − 2y =
0
24. Giải hệ phương trình : 
4x 2 + y 2 + 2 3 − 4x =
7
2 xy − y + x + y =
5
25. Tìm m để hệ phương trình s au có nghiệm : 
. ĐS : m ∈ 1; 5 



m
 5 − x + 1 − y =


1
26. Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực :
x + x − 1 m x +
1.
+ 4 x ( x − 1)  =
x −1


3( x + 1 )2 + y − m =
0
27. Tìm m để hệ phương trình : 
có ba cặp nghiệm phân biệt .
1
x + xy =

(

)

 x + x2 − 2x + 2= 3y −1 + 1
28. Giải hệ PT : 
y + y 2 − 2y + 2= 3x−1 + 1

sin x


x −y
 e = sin y

29. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .Giải hệ phương trình : sin2x − cos2y = sin x + cosy − 1

 Π

x,y ∈  0; 
 4


3
30. Giải phương trình : 16x3 − 24x 2 + 12x − 3 =
x
2x
y
y
2x
1
2x
−
−
+
 1+4
.5
2 −y +1 + 1
=

31. Giải hệ phương trình : 

3
2
0
 y + 4x + ln y + 2x + 1 =
32. Giải phương trình : 3x = 1 + x + log3 (1 + 2x )

(

)

(

)

33. Giải phương trình : −2x3 + 10x 2 − 17x=
+ 8 2x 2 3 5x − x3

ĐS

 x + xy =y + y
34. Giải hệ phương trình : 
2
6
 4x + 5 + y + 8 =
5

4

10

6

 x2 + 2x + 22 − y = y 2 + 2y + 1
35. Giải hệ phương trình : 
 y 2 + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1

1

x+ y=

2

36. Giải hệ phương trình : 
y
x
 x + 1  = y + 1 


y  
x 


37. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) . Giải phương trình : (5x − 6)2 −
Lời giải : ĐK : x >

7
5

1

5x − 7

4x − 6
3
=0 ⇔ x =
2
(x − 1)(5x − 7).  x − 1 + 5x − 7 


2
1
1
Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng : (5x − 6 ) −
x2 −
=
(5x − 6) − 1
x −1

Cách 1 : PT ⇔ 6(4x − 6)(x − 1) +

Và xét hàm
số : f(t) t 2 −
=

1

t −1

,t>

5
7

3

= x2 −

1

x −1


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

38. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất cả các gi á trị của tham số m để BPT sau có nghi ệm :

x3 + 3x2 − 1 ≤ m( x − x − 1)3

HD : Nhân liên hợp đưa về dạng :

(

)

3

x + x − 1 (x3 + 3x2 − 1) ≤ m

39. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) . Giải phương trình :
HD : PT ⇔ (x + 1)3 + =
(x + 1)

(

3x + 1

)

3

x3 + 3x2 + 4x + 2= (3x + 2) 3x + 1

+ 3x + 1 . Xét hàm số : f ( t) = t 3 + t ,t > 0

40. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Giải phương trình :

2 3 2x −=
1 27x3 − 27x 2 + 13x − 2

HD : PT ⇔ (2x − 1) + 2 3 2x − 1= (3x − 1)3 + 2(3x − 1) ⇒ f( 3 2x − 1) =
f(3x − 1)

(4x 2 + 1)x + (y − 3) 5 − 2y =
0
41. ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình : 
2
2
7

4x + y + 2 3 − 4x =
HD : Từ pt (1) cho ta : [(2x)2 + 1].2x= 


(

5 − 2y

)

2

+ 1 5 − 2y ⇒ f(2x)= f( 5 − 2y )


Hàm số : f(t) (t 2 + 1).t ⇒ f '(t) =
=
3t 2 + 1 > 0 ⇒ 2x = 5 − 2y ⇒ 4x 2 =5 − 2y ⇒ y =
2

5 − 4x 2
2

 5 − 4x 2 
3
( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có
Thế vào (2) ta có : 4x 2 + 
7 , với 0 ≤ x ≤
 + 2 3 − 4x =
4

 2 
1
nghiệm duy nhất : x = .
2
 x + y =
4
(a là tham số).
42. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho hệ: 
 x + 7 + y + 7 ≤ a
Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều ki ện x ≥ 9.
HD : Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của bi ến khi muốn quy về 1 biến để khảo s át :
4 − x =y ≥ 0 ⇒ x ≤ 16 . Đặt t = x , t ∈[3;4] và khảo s át tìm Min . ĐS : a ≥ 4 + 2 2

43. Giải hệ phương trình :

y 4 − 4x + 2xy −2x+4 =
5
 x
3
3
y
2 + x = y + 2

44. Xác định m để bất phương trình s au nghi ệm đúng với mọi x :

(e

sinx

)

2

− e + 1 − 2esinx esinx − (e − 1)sinx − 1 ≤ 1

45. ( Đề thi HS G Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) . Giải PT : log 2+ 5 (x 2 − 2x
=
− 11) log

2 2+ 5

(x2 − 2x − 12)

46. Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + 3 + (3m − 4 ) 1 − x + m − 1 =
0

 y 2 −x2 x 2 + 1
= 2
 e
47. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) . Giải hệ phương trì nh sau: 
y +1
3log (x + 2y=
+ 6) 2log 2 (x + y + 2) + 1
3

48. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm :

−x

 Cho f(x) =  (x2 + 1)e , x > 0 . Tìm a để tồn tại f’(0) .





−x − ax + 1, x ≤ 0
acosx + bsin x, x ≤ 0
Cho F(x) = 
. Tìm a,b để tồn tại f’(0) .
 ax + b + 1, x < 0

 x2
x2
x ln x, x > 0
 ln x − , x > 0
và f(x) = 
. CMR : F'(x) = f(x)
F(x) =  2
4
 0, x = 0
 0, , x = 0

Cho f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện : ∀a > 0 bất đẳng thức sau luôn đúng ∀x ∈ R : | f(x + a) − f(x) − a |< a2
. Chứng minh f(x) là hàm hằng .

4


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

 Tính giới hạn : N1 = limπ
x→

4

 Tính giới hạn : N3 = lix→m0

3

Tính gi ới hạn : N2 = lim

x 2 + x + 1 − 3 1 + x3
x

esin 2x − esinx
x→0
sin x

Tính giới hạn : N4 = lim
Tính giới hạn : N6 = lim

sin10x

4x − x 4
Tính giới hạn : N8 = lim
x→0 3
x−32

3 sin 3x
sin2x
 Tính giới hạn : N7 = lim e − e
x→0



2

e−2x − 3 1 + x2
x→0
ln(1 + x 2 )

3
 Tính giới hạn : N5 = lim x + 8 − 2
x→0

 Tính giới hạn : N9 = lim
x→0

2

e−2x − 3 1 + x2
x→0
ln(1 + x 2 )

tanx − 1
2sin2 x − 1
3

sin4x

2 .32x − cos4x
3x

1 + sinx − 1 − sinx
Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt x1 ; x 2 ; x3 ...x n . Chứng minh các đẳng thức sau :

P''(x1 ) P''(x 2 )
P''(x n )
0
+
+ ... +
=
P'(x1 ) P'( x2 )
P'(x n )

a)



1
1
1
0
+
+ ... +
=
P'(x1 ) P'(x 2 )
P'(x n )

b)

Tính các tổng sau :
a) Tn (x) = cosx + 2cos2x + ... + ncosnx
b)
c)

d)

Tn=
(x)

CMR :

1
x 1
x
1
x
tan + 2 tan 2 + ... + n tan n
2
2 2
2
2
2

2.1.C2n + 3.2.C3n + ... + n(n − 1)Cnn= n(n − 1).2n−2

Sn (x) = s inx + 4sin2x + 9sin3x + ... + n2sinnx

2x + 1
2x + 3
2x + (2n − 1)
+
+ ... +
2
2
2
2
x (x + 1) (x + 1) (x + 2)
 x + (n − 1) (x + n)2
49. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số :
e) =
Sn (x)

2

α

a n + bn
a+b
Cho α ∈ R: a + b ≥ 0 . Chứng minh rằng : 
≤

2
 2 
b) Chứng minh rằng với a > 3,n ≥ 2 ( n ∈ N,n chẵn ) thì phương trình s au vô nghiệm :

a)

(n + 1)x n+2 − 3(n + 2)x n+1 + a n+2 =
0

2

 x2 
 x2 
c) Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị : y =
− 3m 
+ 4m
(m + 1) 
2
2
1 + x 
1 + x 

x2
xn  
x2
xn 
d) Cho n ≥ 3,n∈ N ( n lẻ ) . CMR : ∀x =
/ 0 , ta có : 1 + x + + ... +  1 − x + − ... −  < 1
2!
n!  
2!
n! 


e) Tìm cực trị của hàm số : y = x 2 + x + 1 + x2 − x + 1

f)

g)

Tìm a để hàm
số : y f(x) = −2x + a x 2 + 1 có cực tiểu .
=
Tìm m để hàm số : y =

msin x − cosx − 1
đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng
mcosx

50. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm :
a)

 9π 
 0; 4 



Cho các số thực a,b,c,d,e . Chứng minh rằng nếu phương trình : ax 2 + ( b + c ) x + d + e =
0 có nghiệm thực thuộc

nửa khoảng [1; +∞ ) thì phương trình : ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e =
0 có nghiệm.

b) Cho phương trình : P( x ) = x5 − 5x 4 + 15x3 − x2 + 3x − 7 =
0 . Chứng minh rằng, phương trình có một nghi ệm thực
duy nhất.

5


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC
1. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
f(x)
a) lim
=1
x→0 x
b) f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) + 2x 2 + 3xy + 2y 2 , ∀x,y ∈ R

(

) (

)

2. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x − f(y)) =
f x + y 2008 + f f(y) + y 2008 + 1, ∀x,y ∈ R

(

)

3. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x + cos(2009y)) = f ( x ) + 2009cos f ( y ) , ∀x,y ∈ R

4. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
c)

d)

f ( x ) ≥ e2009x

f ( x + y ) ≥ f ( x ) .f ( y ) , ∀x,y ∈ R

5. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f =
( x + y ) f(x).ef ( y )−1 , ∀x,y ∈ R

(

)

6. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f x.f ( x +=
y ) f(y.f ( x )) + x 2
7. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Tìm hàm f :  →  thỏa mãn :

f 2 (x) + 2yf(x) + f(y) = f ( y + f(x)) , ∀,x,y ∈ R

6


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc
PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

1. Cho a,b,c ∈ R: a2 + b2 + c2 =
3 . Chứng minh rằng : a2b + b2c + c2a ≤ 3
2. Cho các số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng :

a2b2 ( a − b ) + b2c2 ( b − c ) + c2a2 ( c − a ) ≥ ( a − b ) ( b − c ) ( c − a )
2

2

2

3. Cho các số thực a,b,c . Chứng minh rằng :

2

2

2

a2 b2 c2 81
a2b
13
+ + + ∑
≥ (a + b + c)
2
b c a 4
(2a + b) 4

4. Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn : a + b + c + 36abc =

2 . Tìm Max của : P = a7 b8 c9

5. Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z . CMR :
6. Cho a,b,c >0 . Tìm GTNN của :

a
b
c
3
+
+
≤
a+b
b+c
c+a
2

(a + b + c)
P=

6

ab2c3
7. Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn : x 2 + y 2 + z2 =
1
8.
9.
10.
11.

2x − (y − z)2 2y − (z − x)2 2z − (x − y)2
+
+
yz
zx
xy
bc
ca
ab
a+b+c
Cho các số thực dương a,b,c . CMR :
+
+
≤
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b
6
1
1
1
1
Cho các số thực dương a,b,c . CMR : 3
+
+
≤
a + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc
1
1
1
Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : 2
1 . CMR : ab + bc + ca ≤ 3

+ 2
+ 2
=
a +2 b +2 c +2
Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2 =
3 . CMR :
1
1
1
+
+
≥3
2−a 2−b 2−c
CMR :

12. Cho x,y,z là 3 số thực dương tùy ý . CMR :

x
y
z
3 2
+
+
≤
x+y
y +z
z+x
2

a2 b2 c2

4(a − b)2
+ + ≥a+b+c+
b c a
a+b+c
1
1
1
3
14. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 . CMR : 3
+ 3
+ 3
≥
a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2
15. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 v à ( x − 1 )( y − 1 )( z − 1 ) =/ 0 . CMR :
13. Cho các số thực dương a,b,c . CMR :

2

2

2

 x   y   z 
 x −1  +  y −1  +  z −1  ≥ 1

 

 
(3a − b + c)2
(3b − c + a)2

(3c − a + b)2 9
16. Cho a,b,c là các số thực dương bất kỳ . CMR :
+
+
≥
2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 2

17. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 =
1 . CMR :
1
1
1
9
+
+
≤
1 − ab 1 − bc 1 − ca 2

18. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 =
9 . CMR : 2(a + b + c) ≤ 10 + abc

a3
b3
c3
1
+
+
≥
2
2

(1 − a) (1 − b) (1 − c)2 4
20. (Chọn ĐTHS G QG Nghệ An năm 2010 ) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn :
9(a 4 + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 =
0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
19. Cho a,b,c là các số thực dương : a+b+c =1 . CMR :

F=

a2
b2
c2
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b

7


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

Lời giải :
Từ giả thiết :

9(a 4 + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 =0 ⇒ 25(a2 + b2 + c2 ) = 48 + 9(a 4 + b4 + c4 ) ≥ 48 + 3(a2 + b2 + c2 )2

⇒ 3(a2 + b2 + c2 )2 − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a2 + b2 + c2 ≤

Ta lại có :

F=

16
3

a2
b2
c2
a4
b4
c4
(a2 + b2 + c2 )2
+
+
= 2
+ 2
+ 2
≥ 2
2
b + 2c c + 2a a + 2b a (b + 2c) b (c + 2a) c (a + 2b) (a b + b c + c2a) + 2(a2c + b2a + c2b)

Lại có : a2 b + b2c + c2a= a(ab) + b(bc) + c(ca) ≤ (a2 + b2 + c2 )[a2 b2 + b2c2 + c2a2 ] ≤ a2 + b2 + c2
Tương tự : (a2c + b2a + c2b) ≤ a2 + b2 + c2 .

a2 + b2 + c2
3

(a2 + b2 + c2 )2
3

a +b +c
≥ 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1.
3
ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN
2

Từ đó ta có : F ≥

2

2

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có

a2
(b + 2c)a2
a2 (b + 2c)a2 2a2
.
+
≥2
=
b + 2c
9
b + 2c
9
3

b2
(c + 2a)b2 2b2 c2

(a + 2b)c2 2c2
.
,
+
≥
+
≥
c + 2a
9
3 a + 2b
9
3

Tương tự

a2
b2
c2
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b
2
1
≥ a2 + b2 + c2 − a2 (b + 2c) + b2 (c + 2a) + c2 (a + 2b) (*) .
3
9
Lại áp dụng AM – GM, ta có
a3 + a3 + c3 b3 + b3 + a3 c3 + c3 + b3
a2c + b2a + c2b ≤
+

+
=a3 + b3 + c3 (**) .
3
3
3
Từ (*) và (**) suy ra:
2
1
2
1
F ≥ a2 + b2 + c2 − ( a + b + c )(a2 + b2 + c2 )
≥ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2
3
9
3
9
F=

Suy ra:

(

Đặt =
t

(

)

(

)

) (

(
)
25( a + b + c ) − 48= 9 ( a + b + c ) ≥ 3( a + b + c )
⇒ 3( a + b + c ) − 25( a + b + c ) + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a + b + c
3 a2 + b2 + c2 , từ giả thiết ta có:
2

2

2

2

2

4

2

2

2

4

2

4

2

2

2

2

2

) 3( a

2

2

2
1
Do đó F ≥ t 2 − t 3 =
f(t) với t ∈3; 4  (* * *) .
9
27
Mà min f(t)
= f(3)
= 1 (* * **) . Từ (***) và (****) suy ra F ≥ 1.

2

≤

16
.
3

t ∈3;4 

Vậy minF = 1 xảy ra khi a = b= c = 1 .

21. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng :
1 1 1
36
+ + ≥
2 2
x y z 9 + x y + y 2 z2 + z2 x 2
Lời giải :
BĐT đã cho tương đương với :

(9 + x y
2

2

1 1 1
+ y 2z2 + z2 x2  + +  ≥ 36
x y z

)

3

2
 xy + yz + zx 
Ta =
có : ( xyz ) (xy)(yz)(zx) ≤ 

3



8

2

)

+ b2 + c2 .


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

 1 1 1   xy + yz + zx  27 ( xy + yz + zx )
27
Do đó : =
+ +  

=
 ≥
3
xyz
xy + yz + zx
(xy + yz + zx)
x y z 

2

2

2

(

)

Lại có : 9 + x 2 y 2 + y 2z2 + z2 x2 =
6 + x 2 y 2 + 1 + (y 2z2 + 1) + (z2 x2 + 1) ≥ 2 3 + (xy + yz + zx)

Nên :

( VT )

2

2



27
9
.
108 
≥ 4 3 + (xy + yz + zx) =
+ 6 + (xy + yz + zx) ≥
xy + yz + zx
 xy + yz + zx




9
≥ 108  6 + 2
(xy + yz + zx) =
 1296 ⇒ VT ≥ 36

xy + yz + zx



ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN :

Bất đẳng thức cần chứng mi nh tương đương
(xy + yz + zx)(9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2) ≥ 36xyz
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

xy + yz + zx ≥ 3 3 x 2 y 2z2 (1)

Và

9+ x2y 2 + z2y 2 +x2z2 ≥ 12 12 x 4 y 4 z 4 hay 9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2 ≥ 12 3 xyz (2)

Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra:
(xy + yz + zx)(9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2) ≥ 36xyz (đpcm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1

22. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : x + y + 1 =
3xy . Tìm giá trị
lớn nhất của :=
M
Lời giải :

M
=

Ta có :

3x
3y
1 1
+
− 2− 2
y(x + 1) x( y + 1) x
y

Ta có : 3xy = x + y + 1 ≥ 2 xy + 1 ⇒ xy ≥ 1 ⇒ xy ≥ 1 (*)

2
3x

3y
1 1
1
1
3xy(x + y) − (x + y)2 + 2xy 3xy (3xy − 1 ) − (1 − 3xy) + 2xy
=
+
=
=
+
−
−
y 2 (3x − 1) x 2 (3y − 1) x 2 y 2 y 2 (3x − 1) x2 (3y − 1) x2 y 2 9xy − 3(x + y ) + 1
4x2 y 2

23. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho các số thực dương a, b, c . CMR :

a3
b3
c3 a b c
+
+
≥ + +
b3
c3
a3 b c a

 a3
a3
a

+ 3 +1≥3

3
b
 b
b
HD : 

a3
b3
c3
3 ≤ 3 + 3 + 3
b
c
a

24. ( Đề thi HS G Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn : x 2 + y 2 + z2 =
1 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức : P= 6(y + z − x) + 27xyz
y 2 + z2
1 − x2
HD : P ≤ 6  2(y 2 + z2 ) − x  + 27x.
= 6  2(1 − x 2 ) − x  + 27x
( PMax = 10)




2
2

25. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Cho a, b,c ≥ 0: a2 + b2 + c2 =
1 . Chứng minh rằng :

a3 + 2b3 + 3c3 ≥

6
7

HD : Có thể dùng cân bằng hệ số hoặc Svacxơ
26. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : xyz = 1 . Chứng minh rằng :

(x 4 + y 4 )3 (y 4 + z4 )3 (z4 + x 4 )3
+ 6 6 + 6
≥ 12
x6 + y 6
y +z
z + x6

9


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

2
2
Lời giải : Đặt =
x2 a;y
=

b;z
=
c ⇒ abc = 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành :

(a2 + b2 )3 (b2 + c2 )3 (c2 + a2 )3
+ 3 3 + 3 3 ≥ 12
a3 + b3
b +c
c +a
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có :

(

) (

)

(

(a2 + b2 )3 = a6 + a 4 b2 + a 4 b2 + a 4 b2 + b6 + a2 b4 + a2 b4 + a2 b4 ≥ 4 4 a6 b6 a3 + b3

)

27. (Đề thi HS G Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ) . Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nh rằng :
1
1
1
3(a + b + c)
+
+

≥
a + b b + c c + a 2(a2 + b2 + c2 )
HD :
(a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 )  1
1
1  3(a + b + c)
BĐT ⇔
+
+

≥
2
2
a + b b + c c + a 

(a + b)2
2
28. ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) . Cho x,y,z > 0 : x + y + z =
9 . Chứng minh rằng :
Và chú ý : a2 + b2 ≥

x 3 + y 3 y 3 + z3 z 3 + x 3
≥9
+
+
xy + 9 yz + 9 zx + 9
29. ( Đề thi chọn ĐT Ninh Bình năm 2010 ) . Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 4. Chứng minh
272
rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc ≤
27

HD : Bài này thì chọn phần tử lớn nhất mà đạo hàm .
a3 b3 c3
30. (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) . Cho a,b,c >0 . CMR :
+ +
≥a+b+c
bc ca ab
a 4 (a2 + b2 + c2 )2 (a + b + c)4
HD : VT = ∑
≥
≥
≥a+b+c
abc
3abc
27abc
31. ( Đề thi chọn HS G QG Tỉnh Bình Định năm 2010) . Cho x,y,z >0 thỏa mãn : 2 xy + xz =
1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của : S =

3yz 4zx 5xy
+
+
x
y
z

32. ( Đề thi chọn HS G Thái Nguyên năm 2010 ). Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều ki ện :
Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = xyz

1
2

3
1.
+
+
=
1+ x 2+ y 3+z

33. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho a,b, c > 0 :a2 + b2 + c2 =
3 . Chứng minh bất đẳng thức :

1

+

1

+

1

≤1
4 − ab 4 − bc 4 − ca
34. ( Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010 ) . Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x 2 y y 2 z z2 x
13xyz
P
=
+ 3 + 3 +
z3
x

y
3(xy 2 + yz2 + zx2 )
Lời giải 1 :
a b c
13
x
y
z
Đặt : =
a; =
b; =
c ⇒ abc =
1 . Lúc đó : P = 2 + 2 + 2 +
y
z
x
+
3
(a
b + c)
b c a
Ta có : (a + b +=
c) abc(a + b +=
c) (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc) ≤

1
1 a
 a + b2 ≥ 2 b

1

a b c 1 1 1
1 b
Lại có :  + 2 ≥ 2 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + = ab + bc + ca
c
a b c
b c a
b c
1 c
1
 + 2 ≥2
c
c a
13
Do đó : P ≥ (ab + bc + ca) +
( Với ab + bc + ca ≥ 1 )
(ab + bc + ca)2

10

(ab + bc + ca)2
3


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

Lời giải 2 :

y

x
z
a2 b2 c2
13abc
13
≥ (a + b + c) +
=
a; =
b; =
c ⇒ abc =
1 . Lúc đó : P = + + +
b c a 3(ab + bc + ca)
x
z
y
(a + b + c)2

Đặt :

x y z
3
+ + +
≥4
y 2 z2 x 2 x + y + z

35. Bài toán tương tự : Cho x,y,z > 0 : xyz ≤ 1 . Chứng minh rằng :
Lời giải : Đặt :

1
1

1
=
a; =
b; =
c ⇒ abc ≥ 1 .
x
y
z

a2 b2 c2
3abc
(a + b + c)2
9
. Với : a + b + c ≥ 3 3 abc = 3
+ + +
≥
+
c
a b ab + bc + ca
a+b+c
(a + b + c)2
36. ( Đề thi chọn đổi tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] và a + b + c =
1 . Tìm giá
BĐT đã cho trở thành :

1
1
1
+
+

a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1
1
1
1
HD : Dùng pp tiếp tuy ến và Bất đẳng thức : 2
, ∀x,y ≥ 0; x + y ≤ 1
+ 2
≥1+
x +1 y +1
(x + y )2 + 1
37. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Lâm Đồng ) . Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh rằng :
a2 b2 c2
+ + ≥ a2 − ab + b2 + b2 − bc + c2 + c2 − ca + a2
b c a
Lời giải :
trị lớn nhất và nhỏ nhất của
: P
=

 a2
  b2
  c2

a2 b2 c2
C1 : ( THTT) Ta có :  + b  +  + c  +  + a  ≥ 2(a + b + c) ⇒ + + ≥ a + b + c
b c a
b
  c
 a


 a 2
 a2 b2 c2 
 
Do đó =
: 2.VT 2 + +  ≥ ∑  + b − a=
 + b
b c a
 
 b

C2 : Ta có :

∑

a2 − ab + b2 ≥ a + b + c(Mincopxki)

 a2 − ab + b2  

∑  b  + b ≥ 2VP
 


a2 − ab + b2
∑ a − ab + b ≥ a2 − ab + b2
≥
∑
Sv
acx
o

a+b+c
b
38. ( Đề thi chọn đội tuyển trường Lương Thế Vinh – Đồng Nai năm 2010 ) . Cho a,b,c > 0 : abc =
1 . Chứng minh
2

Mà : VT = ∑

2

rằng : ab2 + bc2 + ca2 ≥ a + b + c

HD : BĐT ⇔

a b 2
a
 2
a b c
+ + ≥ a + b + c . Chú ý là : + + a c ≥ 3a  a c =
b c
b 
b c a


Lời giải 2 : Ta có : ab2 + ab2 + bc2 ≥ 3 3 (a2 b2c2 )b3 =
3b

39. ( Chọn ĐT HS G QG tỉnh Phú Thọ năm 2010 ). Cho a,b,c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
3

2

2

2

 a  3  b  3  c  33 2
 b+c  + c+a  + a +b ≥ 2






2

2

b+c b+c
a
1  a 
 b+c
+
≥ 3 3 2
 ⇒ 2(a + b + c) ≤ 3 3  b + c 
a
a
3 2 
 a 


40. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho 3 số dương a,b,c thay đổi . Tìm giá trị lớn nhất của :
HD : 2 +

P=

bc

a + 3 bc

a
b
c
1 . Lúc đó :
=
x;
=
y;
=
z ⇒ xyz =
b
c
a
z
x
y
1
x 
P=+
+
=

− ∑
+ 1 . Lại có :
x + 3z y + 3x z + 3y
3  x + 3z 

HD : Đặt

x
x2
(x + y + z)2
=
≥
∑ x + 3z ∑ x2 + 3zx (x + y + z)2 + (xy + yz + zx) ≥

Do đó : P ≤ 1 −

+

ca

b + 3 ca

+

ab

c + 3 ab

.

(x + y + z)2
3
=
2
4
+
+
(x
y
z)
(x + y + z)2 +
3

13 3
= . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z =1 .
34 4

11


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT :
Đặt
=
x

=

a ,y

Khi đó: P =
Ta có 3P =

c;x,y,z ∈ ( 0; + ∞ ) .

=
b,z

yz
zx
xy
.
+
+
x2 + 3yz y 2 + 3zx z2 + 3xy

3yz
3zx
3xy
+
+
x 2 + 3yz y 2 + 3zx z2 + 3xy

 x2
y2
z2 
=
3− 2

+ 2
+ 2
3−Q
=
 x + 3yz y + 3zx z + 3xy 

áp dụng bđt BCS ta được



x
y
z

x2 + 3yz +
y 2 + 3zx +
z2 + 3xy 
 x2 + 3yz

y 2 + 3zx
z2 + 3xy



2

(x + y + z)
. Mặt khác
⇔Q≥
2

( x + y + z ) + xy + yz + zx

2

(

≤ Q. x2 + y 2 + z2 + 3xy + 3yz + 3zx

)

2

Suy ra Q ≥

3
9
3
, do đó 3P ≤ ⇒ P ≤ .
4
4
4

(x + y + z)
xy + yz + zx ≤
3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b= c. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
41. ( Đề dự bị HSG Tỉnh Nghệ An 2008 ) . Cho ba số dương a,b,c thoả mãn :

3

.
4

a2 + b2 + c2 =
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất

a2
b2
c2
.
+
+
b+c c+a a+b
1
1
1
Lời giải 1 : Giả sử : a ≥ b ≥ c ⇒
. Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có :
≥
≥
b+c c+a a+b
a2
b2
c2
1
1
1  1 1
1
1 
 1

P=
. ≥ a2 + b2 + c2 
+
+
+
+
= 
+
+

≥
b+c c+a a+b 3
 b + c c + a a + b  3 b + c c + a a + b 

của biểu thức : P =

(

)

3
3
≥
2(a + b + c) 2 3(a2 + b2 + c2 )
Lời giải 2 : Áp dụng BĐT Swcharz :
a4
b4
c4
(a2 + b2 + c2 )2
P= 2

+ 2
+ 2
.≥
a (b + c) b (c + a) c (a + b) b(a2 + c2 ) + a(b2 + c2 ) + c(a2 + b2 )
≥

Lại
có : a(b2 + c2 )
=

2a b2 + c2 . b2 + c2

≤

2

1  2a2 + 2(b2 + c2 ) 


3
2


42. ( Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005 ) . Cho a,b,c >0 . CMR :

3

a3
b3
c3

3
+
+
≥
(a + b)3 (b + c)3 (c + a)3 8

1
1
1
3
b
c
a
Lời giải : = x;= y; = z ;⇒ xyz
+
+
≥
= 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành :
3
3
3
(1 + x) (1 + y) (1 + z) 8
a
b
c

Áp dụng AM-GM ta có :

1

(1 + x )

Ta cần CM bất đẳng thức :

3

+

1

(1 + x )

3

+

1
1
3
≥ 33
=
6
2
8
8(1 + x)
2(1 + x )

1
1
1

3
+
+
≥
(1 + x)2 (1 + y)2 (1 + z)2 4

12


httP://www.vnmath.com
Bổ đề :

1

(1 + x )

2

+

1

Dich vu Toan hoc

(1 + y )

2

≥

1
( ∀x,y > 0)
1 + xy

Bổ đề này được CM bằng cách biến đổi tương đương đưa v ề BĐT hiển nhiên : xy(x − y)2 + (1 − xy)2 ≥ 0

Do đó : VT ≥

1
1
z
1
z(z + 1) + 1 z2 + z + 1
+
= +
=
=2
2
2
1 + xy (1 + z) z + 1 (1 + z)
(1 + z)2
z + 2z + 1

Giả sử : z Max{x,y,z} ⇒=
=
1 xyz ≤ z3 ⇒ z ≥ 1 . Xét hàm số : f(z) =

z2 + z + 1
z2 − 1
;=

f '(z)
≥ 0, ∀z ≥ 1
2
z + 2z + 1
(z + 1)4

3
.
Suy ra : f (z ) ≥ f(1) =
4
43. ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) . Cho x , y,z ≥ 0 :x + y + z =
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của :

P=

1−x
1−y
1−z
+
+
1+ x
1+ y
1+z

)

(

1−x
x2

≥ (1 − x) ⇔ 1 − x 1 − 1 − x2 ≥ 0 ⇔ 1 − x
≥ 0 ( luôn đúng )
1+ x
1 + 1 − x2
Thiết lập các BĐT tương tự ta có : P ≥ 2
Lời giải 1 :

4
1−x
1−y
1−x −y
2
, x + y ≤ và MaxP= 1 +
+
≤1+
1+ x
1+ y
1+ x + y
5
3
44. ( Đề thi HS G lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) . Cho x,y,z > 0 : x + y + z =
1 . Chứng minh bất đẳng thức :
Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ :

x y z
1+ x 1+ y 1+z
+
+
≤ 2 + + 
y +z z+x x+y

y z x
 x
x y z
y
z 
3
xz
xy
yz
Giải : BĐT ⇔ 2
+
+
+
+
 + 3 ≤ 2 + +  ⇔ ≤
2 y(y + z) z(z + x) x(x + y)
 y +z z+x x+y 
y z x
Ta lại có : VP =

( xz + yz + zx )
xz
xy
yz
(xz)2
(xy)2
(yz)2
+
+
=

+
+
≥
y(y + z) z(z + x) x(x + y) xyz(y + z) xyz(z + x) xyz(x + y) 2xyz(x + y + z)
2

3
(xy + yz + zx)2
⇒ VP ≥
3
2
45. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình – 2010 ) . Cho a , b,c ≥ 0 :a + b + c =
3 . Chứng minh rằng :
Mà : xyz(x + y=
+ z) (xy)(yz) + (xz)(zy) + (zx)(xy) ≤

a b3 + 1 + b c3 + 1 + c a3 + 1 ≤ 5

46. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC . Tìm GTNN của : P =

2a
HD
:
=
2b + 2c − a

6a

(3a)(2b + 2c − a)

≥

6a
(a + b + c)

47. Cho a , b,c ≥ 0 : a + b + c =
của : P
1 . Tìm GTLN, GTNN
=
HD .
Tìm GTNN : Áp dụng BĐT Mincopxki ta có :

P = a2 + a + 1 + b2 + b + 1 + c2 + c + 1 =

Tìm GTLN :

Bổ đề : CM bất đẳng thức :
Bình phương 2 vế ta có :

∑

2a
2b
2c
+
+
2b + 2c − a
2a + 2c − b
2b + 2a − c

a2 + a + 1 + b2 + b + 1 + c2 + c + 1
2

2
2
1  3 
3 3 3 


a
a
b
c
+
+
≥
+
+
+
+





2   2 
2   2 



1 + a + a2 + 1 + b + b2 ≤ 1 + 1 + (a + b) + (a + b)2

2

(1 + a + a2 )(1 + b + b2 ) ≤ ab + 1 + a + b + (a + b)2 ⇔ 1 + a + b + (a + b)2 + (1 − a − b) ≥ 0
48. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Hải Dương năm 2008 ) . Cho a,b,c > 0 :a + b + c =
3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của bi ểu

a2
b2
c2
+
+
a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3
HD : AM-GM ngược dấu .
a2
2ab3
2ab3
2
2
2
4
Ta có :
a
a
=
−
≥
−
= a − b 3 a2 ≥ a − b(a + a + 1) = a − b − ab

3
6
3
9
9
9
a + 2b3
a + 2b3
3 ab

thức : P =

13


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

2
4
7 4 (a + b + c)
Do đó : P ≥ (a + b + c) − (a + b + c) − (ab + bc + ca) ≥ −
1
=
9
9
3
3 9
2

49. ( Đề chọn ĐT trường chuyên Bến Tre ) . Cho x,y,z ≥ 0 . Tìm GTLN của : M =
3

1
1
−
x + y + z + 1 (1 + x)(1 + y)(1 + z)

1
27
 x + y +z +3
. Lúc đó : M ≥
Giải : Đặt x + y + z =
−
t ≥ 0 , ta có : (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≤ 

3
t + 1 (t + 3)3


1
27
Xét hàm số : f( t ) =
, t ≥0
−
t + 1 (t + 3)3

3a 4 + 1 3b4 + 1 3c4 + 1 a2 + b2 + c2
+

+
≥
b+c
c+a
a+b
2

50. Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng :

HD : Ta có : 3a 4 + 1 = a 4 + a 4 + a 4 + 1 ≥ 4 4 a1 2 = 4a3

Do đó : VT ≥ ∑

4a3
=
b+c

4a 4

∑ ab + ac

≥ ...

Svacxo

51. Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng :

1 1 1
9
4

4
4
+ + +
≥
+
+
a b c a+b+c a+b a+c b+c

HD :

52. Cho a,b,c > 0 : a + b + c =
1 . Chứng minh rằng :

a

(

b c

3c + ab

+

) b(

c a

3a + bc

+

) c(

a
b
c
11 1 1
+
+
≤  + + 
3a2 + 2b2 + c2 3b2 + 2c2 + a2 3c2 + 2a2 + b2 6  a b c 
a
b
c
54. Cho a,b,c > 0 :ab + bc + ca =
3 . CMR :
+ 2
+ 2
≥ abc
2
2a + bc 2b + ca 2c + ab
1 + a3 1 + b3
1 + c3
55. Cho a,b,c > 0 . CMR :
+
+
≥3
1 + a2c 1 + c2b 1 + b2a
1
1

1
3
56. Cho a,b,c > 0 : abc =
27 . CMR :
+
+
≤
1+a
1+b
1+c 2
53. Cho a,b,c > 0 . CMR :

57. Cho a,b,c > 0 . CMR :

58. Cho a,b,c > 0 . CMR :

a b

3b + ac

)

≥

3 3
4

1
1
1

27
+
+
≥
b(a + b) c(c + b) a(a + c) (a + b + c)2

b+c

59. Cho a,b,c ∈(1;2) . CMR :

a

+

c+a
b

+

b a

a+b
c

+

≥ a + b + c +3

a c

+

c b

≥1
4b c − c a 4a b − b c 4c a − a b
3
6
60. Cho a,b,c > 0 : abc =
1 .CMR : 1 +
≥
a + b + c ab + bc + ca
x 2z
y2x
z2 y
1 x y z 
61. Cho x,y,z > 0 . CMR :
+
+
≥  + + 
3
3
3
2 y z x 
xyz + y
xyz + z xyz + x

a2
b2
c2

a+b+c
1 1 1
62. Cho a,b,c > 0 : + + =
+
+
≥
1 . CMR :
a + bc b + ac c + ba
4
a b c
63. Cho x,y,z > 0 . Tìm Min của : =
P

64. Cho a,b,c > 0 :a + b + c =
3 . CMR :

3

 x y
z 
4(x3 + y 3 ) + 3 4(y 3 + z3 ) + 3 4(z3 + x3 ) + 2 2 + 2 + 2 
z
x 
y

a + b + c ≥ ab + bc + ca

1
1
1

+
+
≤1
a + b+1 b+c +1 c +a +1
y
z
x
66. Cho x,y,z > 0 . CMR :
+
+
≤1
x + (x + y)(x + z) y + (x + y)(y + z) z + (x + z)(y + z)
65. Cho a,b,c > 0 :abc =
1 . CMR:

67. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ). Cho a,b,c > 0 . CMR :

14

a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥
2
2
2
2

2
2
2
a +b b +c c +a


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

68. ( Đề thi HS G Tỉnh Thái Bình năm 2009 ) .Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x 2 + y 2 + z2 =
3 . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: F=

3x 2 + 7y + 5y + 5z + 7z + 3x 2

69. (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2006 ) . Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa: a + b + c =
3 . Chứng minh:

a2
b2
c2
3
+ 2
+ 2
≥ .
b +1 c +1 a +1 2
2

70. Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nh rằng :

2a
2b
2c
+
+
≤3
a+b
b+c
c+a

2
1
1
a
b
c
+
≤
;y =
;z =
⇒ xyz = 1 . Áp dụng Bổ đề :
( xy ≤ 1)
1 + x2 1 + y 2 1 + xy
b
c
a
71. Chứng minh các Bất đẳng thức :
a) log b+c a2 + log c+a b2 + log a+b c2 ≥ 3 ( a,b,c > 2)
HD : Đặt x =

b)
c)

 log bc log c a log a 
9
+
+
2
( a,b,c > 1)
≥
b
c
c
a
a
b
a
b+c
+
+
+
+



72. Cho x,y , z ≥ 0 : xy + yz + zx =
3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = x2 y 3 + y 2z3 + z2 x3 + (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2
Giải :
73.

15


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc
PHẦN IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ

x1 = 1


1. Cho dãy số : 
. Chứng minh dãy số có giới hạn v à tính giới hạn đó.
7 − log3 x2n + 11
x n+1 =

(

)

−2x
< 0, ∀x ∈ (0;5)
(x2 + 11)ln3
= f (x n ) , do đó bằng quy nạp ta CM được rằng : 0 < x n < 5, ∀n

HD : Xét hàm số : f (x)= 7 − log3 (x 2 + 11),x ∈ (0;5) , ta có :

Do đó : 0 < f(5) < f(x) < f(0) < 5 . Mà x n+1

f '(x) =

: g'(x)
Lại xét hàm số : g( x)= 7 − log3 ( x 2 + 11) − x, x ∈ (0;5) . Ta có
=
Suy ra phương trình f(x)=x có nghiệm duy nhất x = 4 .

−2x
− 1 < 0, ∀x ∈ (0;5)
(x + 11)ln3
2

Theo định lý Lagrage ∃c ∈ (x n ; 4) sao cho : f(x n ) −=
f(4) f '(c) x n − 4 ≤
( Vì f '(c) =

2c
2c
≤
=
2
(c + 11)ln3 2 11c2 ln3

1

11 ln3



1

). Do đó : x n+1 − 4 ≤ 

11 ln3
 11 ln3 
1

xn − 4

n−1

x1 − 4 → 0

2. Cho phương trình : x 2n+1= x + 1 với n nguyên dương . Chứng minh phương trình đã cho có duy nhất một nghi ệm
thực với mỗi n nguyên dương c ho trước. Gọi nghiệm đó là x n . Tìm limx n

x > 1
Giải : Từ phương trình : x 2n+1 = x + 1 ⇔ x(x 2n − 1) =1 ⇒ x(x 2n − 1) > 0 ⇒ x(x − 1) > 0 ⇒ 
x < 0
2n+1
Đặt fn (x ) = x
− x −1 .

+) Nếu x <0 : Hàm y= fn ( x ) liên tục trên R và f(0) = −1; lim f(x) = −∞ , suy ra phương trình không có
x→−∞

nghiệm trên khoảng (0; −∞ ) .

+) Nếu x >1 , ta có : fn '(x)= (2n + 1).x 2n − 1 > 0 . Hơn nữa f(1) = −1; lim f(x) = +∞ , suy ra phương trình
x→+∞

có nghiệm x n ∈ (1; +∞ ) duy nhất .
Xét hiệu :

fn+1 (x n ) −=
fn (x n )

(x

2n+2
n

) (

)

+1
+1
− x n − 1 − x2n
−=
x n − 1 x 2n
(x n − 1) > 0, ∀x n > 1 ⇒ fn+1 (x n ) > fn ( x n )
n
n

Hay : fn+1 (x n ) > fn (x n ) =0 =fn+1 (x n+1 ) ⇒ x n > x n+1 . (Do hàm f(x) tăng ) .

Vậy dãy {x n } là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn . Giả sử : lim x=
a(a ≥ 1)
n
Ta sẽ chứng minh a=1 . Thật vậy, giả sử a > 1 .

u1 = 1

u1 u2
u

3. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho dãy số {un } : 
+ + ... + n .
u2n . Đặt : Sn =
u
u
u
un +
2
3
n+1
un+=
1
2010

Tìm : limSn
Lời giải :

1
u2
u − uk
u
u − uk
u
u
1 

Ta có : uk +1 − uk =k ⇒ k +1
2010  −
=k ⇒ k +1
= k
⇒ k =
 (*)
2010
uk
2010
uk .uk +1
2010.uk +1
uk +1
 uk uk +1 


1 
Từ hệ thức (*) cho k = 1,2…,n ta có
: Sn 2010  1 −
=

u

n+1 

u2n
≥ un ⇒ Dãy {u n } tăng .
2010
Giả sử {u n } bị chặn trên . Suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn : limu
=
a(a > 1) . Do đó, từ :

n
Lại có : un+1 = un +


u2n
u2 
a2
⇒ a = 0 ( Vô lý )
⇒ limun+1 = lim  un + n  ⇒ a = a +
2010
2010 
2010

1
Suy ra dãy {u n } tăng và không bị chặn trên, nên : limun = +∞ ⇒ lim
= 0 ⇒ limSn = 2010
un+1
un+1 = un +

16


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

1 < x1 < 2


4. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Định năm 2010 ) . Cho dãy số { x n } : 

. Chứng minh dãy số {x n }
x2n
x n+1= 1 + x n − , ∀n ≥ 1
2

có giới hạn và tìm giới hạn đó .
Lời giải :
x2
, x ∈ (1;2) . Ta có : f '(x) = 1 − x < 0, ∀x ∈ (1;2) . Do đó :
2
3
1=
f(2) < f(x) < f(1) =< 2 . Từ đó thay x bởi : x1 ; x 2 ,...,x n ta có : 1 < x1 ,x2 ,..., x n < 2
2
Suy ra dãy {x n } bị chặn .
Xét hàm số : f(x)= 1 + x −

Giả sử dãy số có giới hạn là a, lúc đó a thỏa mãn pt : a = 1 + a −

Ta sẽ CM giới hạn này bằng định lý kẹp :


x2n  
Xét hiệu : x n+1 − 2
=  1 + x n −  −  1 + 2 −
2  



( 2)

2

2

a2
⇒a= 2
2


 1
 = 2 xn − 2 xn + 2 − 2



(

)

Lại có : 1 < x n < 2 ⇒ 2 − 1 < x n + 2 + 2 < 2 ⇒ x n + 2 + 2 < 2

Do đó : x n+1 − 2 <

(

)

2
x n − 2 (*) . Từ (*) cho n = 1,2,… và nhân lại với nhau ta có :
2

n−1

n−1

 2
0 ⇒ limx n =
2
x1 − 2 . Mà lim 
x1 − 2 =
 2 


1

u1 =

3
5. ( Bài toán tương tự ) . Cho dãy số {un } : 
. Tìm limun .
2
u
u = n − 1, ∀n ≥ 1
 n+1 2
x1 = 1

6. ( Đề thi HS G Tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho dãy số {x n } : 
. Chứng minh rằng
2
=
x n + x n + 1 − x 2n − x n + 1

x n+1
dãy số trên có giới hạn v à tìm giới hạn đó .
Lời giải :
2x n
Ta có :=
x n+1
x 2n + x n + 1 − x 2n − x=
n +1
x2n + x n + 1 + x2n − x n + 1
 2
x n+1 − 2 < 
 2 



(

)

(

Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng : x n > 0, ∀n =
1,2,...
Lại có :

x2n + x n + 1 + x2n − x n +=
1

2

2

)

2

1 3
1 3


 x n + 2  +  2  +  −x n + 2  +  2 

  

  
2

2


1 
1   3
3
≥
+
x n +  +  −x n +   + 
2
 =



Mincopxki
2 
2    2
2 

Từ đó suy ra : x n+1 < x n

2

≥

Mincopxki

Vậy dãy {x n } giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử

limx n = a ⇒ a = a2 + a + 1 − a2 − a + 1 ⇒ a = 0

x1 = 2


7. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Cho dãy số : {x n } : 
x1 + 2x2 + ... + (n − 1)x n−1
, n >1
x n =
n(n2 − 1)

Tính limUn với U=
(n + 1)3 .x n
n
Lời giải : Ta có :

17


httP://www.vnmath.com
+) x 2 =

Dich vu Toan hoc

1
3

+) Với n ≥ 3 ta có :  x1 + 2x 2 + ... + (n − 1)x n−1  =
+ nx n n(n2 − 1)x n =
+ nx n n3 x n
 x1 + 2x 2 + ... + (n − 2)x n−2  + (n − 1)x n−1 = (n − 1) (n − 1)2 − 1 x n−1 + (n − 1)x n−1 = (n − 1)3 x n−1
Từ đó suy ra : n3 x n = nx n + (n − 1)3 x n−1 ⇒
Từ (*) cho n = 3,4…ta có :

2

x n (n − 1)3  n − 1   n 
=
= 
 
 (*)
x n−1
n3 − n  n   n + 1 

  n − 1 2  n − 2 2  2 2   n n − 1 3 

12
4
.
...    . 
.
... 
xn
=
⇒
=



2
2
4  n (n + 1)
n (n + 1)
 n   n − 1   3    n + 1 n

xn
x n x n−1 x3
.
...
=
=
x2 x n−1 x n−2 x2

4(n + 1)3
Do =
đó : limUn lim

=
4.
n2 (n + 1)

x0 > 0


. Chứng minh dãy có giới hạn v à
9. ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 ) . Cho dãy {x n } : 
x n (x2n + 3)
x
, ∀n ≥ 0
=
2
 n+1
3x n + 1

tìm giới hạn đó .
Lời giải :
Bằng quy nạp ta chứng minh được x n > 0, ∀n > 0
+) TH1 : Nếu x0 = 1 , quy nạp ta được x n = 1, ∀n > 0 . Hiển nhiên limx n = 1

+) TH1 : Nếu x0 > 1 ,

x2 (x − 1)2
x(x2 + 3)
trên khoảng (1; +∞ ) ta có
: f '(x)
=
> 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇒ f(x) > f(1) = 1

2
(3x2 + 1)2
3x + 1
Do đó : x2 = f ( x1 ) > 1, .... quy nạp ta có : x n > 1, ∀n
Xét hàm số : f(x) =

Lại có : x k +1 < x k ⇔

x k (x2k + 3)
3x + 1
2
k

< xk ⇔

2x k (x 2k − 1)
3x 2k + 1

> 0 đúng với x k > 1

Từ đó ta có : x1 > x 2 > .... > x n > x n+1 > 1 . Dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn .

(

)

a a2 + 3
=
⇒a 1
3a2 + 1

x(x2 + 3)
+) TH3 : Nếu 0 < x0 < 1 , Xét hàm số : f(x) =
trên khoảng (0;1) ta có :
3x 2 + 1
x2 (x − 1)2
=
f '(x)
> 0, ∀x ∈ (0;1) ⇒ =
0 f(0) < f( x) < f(1) = 1
(3x 2 + 1)2
Do đó :=
x2 f(x1 ) ∈ (0;1),... quy nạp ta có : x n ∈ (0;1), ∀n
Giả sử : limx n = a > =
0⇒a

ta có : x k +1 > x k ⇔

x k (x2k + 3)
3x 2k + 1

> xk ⇔

2x k (x 2k − 1)
3x2k + 1

< 0 đúng với 0 < x k < 1

Do đó : 0 < x1 < x 2 < ... < x n < x n+1 < 1 . Dãy số tăng và bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn . Giả sử :

(

)

a a2 + 3
=
⇒a 1
3a2 + 1
Kết luận : limx n = 1
limx n = a > =
0⇒a

u0 = α


. Chứng minh dãy
10. ( Bài toán tương tự ) . Cho α > 0; a > 0 là hai số tùy ý. Dãy {un } : 
un (u2n + 3a)
=
u
,n 0,1,...
2
 n+1 =
3un + a

có giới hạn và tìm giới hạn đó.
u0 > 1


. Tìm limun
11. ( Chọn đội tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . Cho dãy số {un } : 

un + 1 + 2(u2n + 1)
u
, n 0,1...
=
 n+1 =
un − 1


18


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

a1 = 1


12. ( Đề thi chọn ĐT HS G QG KonTum năm 2010 ) . Cho dãy số thực {a n } xác định như sau : 
.
1
a n + (n ≥ 1)
1
a n+=
a
n

a
Chứng minh rằng : lim n = 2
n→+∞

n
xn
13. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Dương năm 2006 ) . Cho dãy số thực x1 = 2006; x n+1 = 3 +
. Tìm lim x n
x→+∞
x2n − 1

14. ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2008 ) . Cho dãy số {x n } thỏa mãn :

n
x1 = 1
1

. Đặt y n = ∑
. Tìm limy n .

i=1 x i + 2
x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 , ∀n > 0

HD :

(

x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 =x 2n + 3x n + 1

)

2

Sau đó chứng mi nh dãy tăng và không bị chặn trên .

x 2n + 3x n + 1 ⇒
=

x1= a > 1
 x

x
xn 
. Tìm : lim  1 + 2 + ... +
15. Cho dãy ( x n ): 

2
→+
∞
n
x n+1 − 1 
2010x n+1 = x n + 2009x n
 x 2 − 1 x3 − 1

1
1
1
=
−
x n + 2 x n + 1 x n+1 + 1

x2
2009x
HD : Xét hàm số : f(x) = +

, x > 1 . Ta có : f’(x) > 0 , ∀x > 1 ⇒ f(x) > f(1) =
1 . Bằng quy nạp chứng minh
2010 2010

x2n
x
x n (x n − 1)
=
− n
> 0, x n > 1 ⇒ x n+1 > x n
2010 2010
2010
Giả sử ∃limx n = a ( a > 1 ) ⇒ 2010a = a2 + 2009a ⇒ a= 0;a= 1 ( Không thỏa mãn ). Vậy lim x n = +∞
Lại có :
 1
x n+1 − x n
xn
1 
2010x n=
x2n + 2009x n ⇒ 2010(x n+1 − x =
x n (x n − 1) ⇒
= 2010
= 2010 
−

n)
+1
(x n − 1)(x n+1 − 1)
x
1

x
x n+1 − 1
−
n+1 − 1 
 n
x1 = 1

 x123 x23

x23

2
n
24
16. ( Bài tương tự ) . Cho dãy số : (x n ): 
.
Tìm
giới
hạn
lim
+
+
...
+


xn

x n+1 
 x 2 x3

x n+1 = + x n , n ∈ N *

24
17. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) . Đặt f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 với n là số nguyên dương . Xét dãy số
: x n+1 − x n
được rằng : x n > 1, ∀n . Xét hiệu
=

(x n ): x n =

f(1).f(3).f(5)...f(2n − 1)
. Tính giới hạn của dãy số : un = n2 .x n
f(2).f(4).f(6)...f (2n )

HD : Chú ý :

f(k − 1) (k − 1)2 + 1
=
f(k)
(k + 1)2 + 1

a1 = 2008


18. Cho dãy số (a n ) xác định bởi :  n
. Tính lim n2a n
2
n→+∞
∑ ai n an ,n > 1
=

 i=1
HD : Ta có a1 + a2 + ... + a n= n2a n ⇒ ( n − 1 ) a n−1=
2

(n

2

)

− 1 a n ⇒ a n=

n −1
a (1)
n + 1 n−1

Trong (1) cho n=1, 2,3….và nhân nó ạl i để tìm : a n
2006
19. Cho dãy số ( x n ) thỏa : x1 =
1,x n+1 =
1+
(n ≥ 1) . Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn và tìm giới hạn ấy
1 + xn

1

x1 =

2


20. ( Đề thi HS G QG năm 2009 ) . Cho dãy số ( x n ): 
. Chứng minh rằng dãy (y n ) với
2
x n−1 + 4x n−1 + x n−1

, ∀n ≥ 2
=
x n
2
n
1
y n = ∑ 2 có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ và tìm giới hạn đó .
x
i=1 i
Giải :

19


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

x2 + 4x + x
2x + 4
1
, ta có=
: f '(x)
+ > 0, ∀x > 0
2

2
4 x + 4x 2
Lại có : x2 =
f(x1 ) > 0,(do x1 > 0).... bằng quy nạp ta chứng minh được x n > 0, ∀n .
Xét hàm số : f(x) =

x2n−1 + 4x n−1 + x n−1
=
− x n−1
2

Xét hiệu
: x n − x n−1
=

x2n−1 + 4x n−1 − x n−1
=
2

x

4x n−1

2
n−1

+ 4x n−1 + x n−1

> 0,(do x n > 0, ∀n )

Suy ra dãy {x n } tăng và x n > 0, ∀n . Giả sử tồn tại giới hạn hữu=
hạn a lim x n (a > 0) . Suy ra :

a + 4a + a
=
a2 + 4a ⇒ a =
0 (Vô lý ) .
⇔a
2
Vậy dãy {x n } tăng và không bị chặn trên nên : limx n = +∞
2

a=

n →+∞

Lại có :

xn =

n →+∞

x2n−1 + 4x n−1 + x n−1
2

⇒ ( 2x n − x n−=
x2n−1 + 4x n−1 ⇒ x n (x n − x n−1 ) =x n−1 ⇒
1)
2

x n (x n − x n−1 )
2
n

x .x n−1

x
1
1
1
= 2 n−1 ⇒=
−
2
x n x n−1 x n
x n .x n−1

1 1 1
 1
1  1 + x1 1
− =
− ⇒ lim y=
6.
 2  +  −  + ... + 

n
n→+∞
xn
x12
i=1
 x n−1 x n 

 x1   x1 x 2 
x0 = 2009

21. Xét dãy số thực (x n ),n ∈ N xác định bởi : 
. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn
x n = 3 6x n−1 − 6sin(x n−1 ), ∀n ≥ 1
và tìm giới hạn đó .
x3
HD : Sử dụng bất đẳng thức : x − ≤ sinx ≤ x, ∀x ≥ 0
6
1 6(1 − cosx)
3
Xét hàm số : f(x) =
. Ta có : f '(x)
> 0, ∀x>0
6x − 6sin x ,x > 0 =
3 3 (6x − 6sin x)2
Do đó : y=
n

n

1

∑ x=
2
i

Do đó : f(x) > 0, ∀x > 0 . Mà x=
f(x1 ) > 0(do x1 > 0) ⇒ ...x=

f(x n−1 ) > 0, ∀n
2
n

Xét hiệu
: x n − x n−1
=

3

6x n−1 − 6sin(x
=
n−1 ) − x n−1

3

6x n−1 − x3n−1 − 6sin(x n−1 )
2

6x n−1 − 6sin(x n−1 ) − x n−1 3 6x n−1 − 6sin(x n−1 ) + x 2n−1

<0

x3
≤ sinx ⇒ 6x − x3 − 6sin x < 0, ∀x > 0 )
6
Do đó dãy {x n } giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn hữu hạn . Giả sử : limx n = a (a ≥ 0) , ta có pt :

(Sử dụng Bất đẳng thức : x −

a = 3 6a − 6sina ⇔ a3 = 6a − 6sina . Xét hàm số : g(t) =
t 3 + 6sin t − 6t , ta có :

g'(t) = 3t 2 + 6cost − 6, g''(t) = 6t − 6sin t ≥ 0, ∀t ≥ 0 ⇒ g'(t)=
≥ g(0) 0 ⇒ g(t)≥ g(0) = 0 . Do đó pt có nghiệm duy
nhất a = 0 .

22. Cho dãy (x n ) được xác định bởi: x 1 = 5; x n + 1 = x2n - 2 ∀ n = 1, 2, … . Tìm lim

x1 = 3
x
23. Cho dãy (x n ) : 
. Tìm lim n+1
n→+∞ x
2
n
x n+1 = 9x n +11x n + 3; n ≥ 1, n ∈ N.
HD : Chứng minh dãy ( x n ) tăng và không bị chặn :
Dễ thấy x n > 0, ∀n , xét : x n+1 − x n
=
Giả sử ∃ lim x n= a ( a > 0 ) ⇒ a=
n→+∞

9x2n +11x n + 3 − x n =

x n+1
x1 .x 2 ...x n

8x2n + 11x n + 3

9x2n +11x n + 3 + x n

> 0, ∀x n > 0

 a = −1
( Không thỏa mãn ) ⇒ lim x n =
9a2 + 11a + 3 ⇒ 
+∞
n→+∞
a = − 3
8


x n+1
11 3
= lim 9 +
+= 3
n→+∞ x
n→+∞
x n x2n
n

Do đó : lim

n→+∞

20


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc

24. Cho dãy số (un ) xác đị nh bởi công thức

u1 = 2008

2
2
un+1 = un - 4013un + 2007 ; n ≥ 1, n ∈ N.
a) Chứng minh: un ≥ n + 2007; ∀n ≥ 1, n ∈ N .
b) Dãy số (x n ) được xác định như sau:
1
1
1
xn =
+
+ ... +
; n ≥ 1, n ∈ N.
u1 - 2006 u2 - 2006
un - 2006
Tìm lim x n ?

U1 = 1

Tìm limUn
25. ( Đề thi HS G Tỉnh Trà Vinh-2009)Cho dãy số ( Un ) xác định bởi: 
4
3
3

=
n→+∞
Un+1 log3 Un + 1 + , ∀n ≥ 1
3

x0 = 1


xn
26. Cho dãy số (x n ): 
2 ( x n ln2 − 1) + 1 . Chứng minh dãy (x n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó .
x n+1 =

2xn ln2 − 1
HD : Chứng minh dãy gi ảm và bị chặn dưới .
27. Cho phương trình : x n + x n−1 + .... + x − 1 =
0 . Chứng tỏ rằng với n nguyên dương thì phương trình có nghiệm duy
nhất dương x n và tìm lim x n .
x→+∞

u1 = 1

28. Cho dãy số {un } xác định bởi 
. . Tìm limun
n
−n
un = C2n n .4

1
−x+n=

0 (1). Chứng minh rằng: với mỗi n
2008x
∈ N* phương trình (1) có nghiệm duy nhất, gọi nghiệm đó là x n . Xét dãy (x n ), tìm lim (x n + 1 - x n ).
Đáp án :

29. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho phương trình:
Với n ∈ N*, xét f (x) =

1
− x + n ; x ∈ R.
2008x

ln2008
- 1 < 0 ∀x ∈ R.
2008x
=> f(x) nghịch biến trên R (1).
f/(x) = -

1

=
f(n) 2008n > 0
Ta có: 
1
f(n=
+ 1)
−1 < 0

2008n+1
=> f(x) =0 có nghiệm x n ∈ (n; n + 1) (2).

Từ (1) và (2) => đpcm.
1
> 0 => xn > n.
2008xn
1
=> 0 < xn - n <
.
2008n
Ta có: x n - n =

Mặt khác: lim

1
= 0 => lim(x n - n) = 0.
2008n

Khi đó lim (x n - 1 - x n ) = lim{[x n + 1 - (n + 1)] - (x n - n) + 1} = 1

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN KHI BIẾT CÔNG THỨ C TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ .

u1 = 2


30. Cho dãy số ( un ) : 
. Tìm limun = ?
−9un−1 − 24
=
un 5u + 13 , n ≥ 2
n−1


Giải :

21


httP://www.vnmath.com
31. Cho dãy số

Dich vu Toan hoc

1

u
u1 =

. Tìm lim n
u
:
2
( n) 
n→+∞ n
u= 2u2 − 1 , ∀n ≥ 2
 n
n−1
HD : Tìm được : un = cos




32. Cho dãy số ( un ) : 


=
u n


u1 =

1
2

u
u
1
2n−1 π
và chú ý : 0 ≤ n ≤ ⇒ lim n =
0
→+∞
x
n
n
n
3

2 − 2 1 − u2n−1

, ∀n ≥ 2

2

. Tìm lim 2n .un

n→+∞

π
sin n
π
π
3.2
: lim 2n .un lim
HD : Tìm được un = sin n−1 suy ra
=
=
→+∞
→+∞
n
n
π
3
3
2 .6
3.2n
π


u1 = 3

un−1
33. Cho dãy số ( un ) : 
. Tìm lim 2n .un
n→+∞
u

,
n
2
=
∀
≥
 n
2
1
1
u
+
+
−
n
1

π
HD : Tìm được un = tan n−1
3.2
2

u1 =

n
3

. Tìm lim ∑ ui
34. Cho dãy số ( un ) : 
n→+∞

un−1
i=1
u n
, ∀n ≥ 2
=
2(2n − 1)un−1 + 1


u1 = 1

u

. Tìm lim n+1
35. Cho dãy số : 
u2 = 2
n→+∞ u
n
u =
 n+2 un + 2un+1 , n ∈ N *
HD : Tìm được un =

u
=
lim n+1
x→+∞ u
n

(

2

1+ 2
4 

) − (1 − 2 )  . Suy ra :
n

n

  1 − 2 n+1 
n+1
n+1

2
1−
 

− 1− 2
1+ 2
  1 + 2  


4 



=
=
n+1
n
n


2
 1 − 2  
1
1 + 2 − 1 − 2 
 1 −



4 

1 + 2 1 − 2  1 + 2  

 


(

(

)

(

) (

)
)

(

)

2 +1


u1 = 3

u
. Tính lim n
36. Cho dãy số ( un ) : 
3 + un−1
n→+∞ n
, ∀n ≥ 2
=
u n
1 − 3un−1

nπ
HD : un = tan
3

37. Cho dãy số (un ) xác đị nh như sau : un = 2 + 2 + 2 + .... + 2 ( n dấu căn ) . Tính lim

π
sin
u1 .u2 ...un
un
1
π

2
HD : Đặt : x n =
x=
⇒ x n = cos n+1 và chú ý : =
1 .x 2 ...x n
π
2
2n
2n
2
sin n+1
2

22

n→+∞

u1 .u2 ...un
2n


httP://www.vnmath.com
1

b1 =

2

38. Cho dãy số (bn ): 


b = 1  b + b2 + 1
n
 n+1 2  n
4n

1
π
HD : Chứng minh : bn = n .cot n+1
2
2

Dich vu Toan hoc

(n ≥ 1)


. Chứng minh dãy hội tụ và tìm lim bn
n→+∞

23


httP://www.vnmath.com

Dich vu Toan hoc
PHẦN V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. Cho hình chóp tam giácđều có thể tích là 1. Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.
2. Cho tứ diện ABCD có : AB=a; CD=b ; góc giữ a AB và CD bằng α . Khoảng cách giữa AB và CD bằng d. Tính thể tích
khối tứ diện ABCD theo a, b,d và α .

3. Trong các tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và thể tích bằng 36. Hãy xác đị nh tứ diện sao
cho diện tích tam gi ác ABC nhỏ nhất.
MA NB
. Gọi I, J lần
4. Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Các điểm M, N di động trên các cạnh AD và BB 1 sao cho
=
MD NB1
lượt là trung điểm các cạnh AB, C 1 D 1 . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt đường thẳng IJ.
5. Gọi O là tâm của một hì nh tứ diện đều . Từ một điểm M bất kì trên một mặt của tứ diện , ta hạ các đường vuông góc
tới ba mặt còn lại. Giả sử K, L và N là chân các đường vuông góc nói trên. Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua
trọng tâm tam giác KLN.
6. Cho hình chóp S.ABC . Từ điểm O nằm trong tam giác ABC ta v ẽ các đường thẳng lần lượ t song song với các cạnh
SA, SB, SC tươngứng cắt các mặt (SBC), (SCA), (SAB) tại các điểm D,E,F .
OD DE DF
a) Chứng minh rằng :
+
+
=
1
SA SB SC
b) Tìm vị trí của điểm O trong tam gi ác ABC để thể tích của hình chóp ODEF đạt gi á trị lớn nhất.
7. Cho hình hộp ABCD .A 1 B 1 C 1 D 1 . Hãy xác định M thuộc đường chéo AC 1 và điểm N thuộc đường chéo B 1 D 1 của mặt
phẳng A 1 B 1 C 1 D 1 sao cho MN song song với A 1 D.
8. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, SB của tứ diện đều S.ABC . Trên các AS v à CN ta chọn các
điểm P, Q sao cho PQ // BM . Tính độ dài PQ biết rằng cạnh của tứ di ện bằng 1.
 = 900 thì các mặt phẳng (OBD) và (OAD)
9. Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu ODC
vuông góc với nhau .

10. Trong hình chóp tam giácđều S.ABC (đỉnh S ) độ dài các cạnh đáy bằng 6 . Độ dài đường cao SH = 15 . Qua B vẽ

mặt phẳng vuông góc với AS, mặt phẳng này cắt SH tại O . Các điểm P, Q tương ứng thuộc các cạnh AS và BC sao

2
. Hãy tính độ dài bé nhất của đoạn PQ.
5
11. Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh bằng a . Đường thẳng (d) đi qua D 1 và tâm O của mặt phẳng BCC 1 B 1 .
Đoạn thẳng MN có trung điểm K thuộc đường thẳng (d) ; M thuộc mặt phẳng (BCC 1 B 1 ) ; N thuộc mặt đáy (ABCD) .
Tính giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN .
=
=
12. Cho tứ diện ABPM thoả mãn các đi ều kiện : AM ⊥ BP; MAB
ABP
900 ; 2AM.BP =
AB2 . Chứng minh rằng mặt
cầu đường kí nh AB tiếp xúc với PM.
13. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho điểm O cố địn h và một số thực a không đổi . Một hình chóp
0 
0 
 90
; ASB
S.ABC thay đổi thỏa mãn : OA =
OB =
OC =
a; SA ⊥ OA;SB ⊥ OB;SC ⊥ OC=
=
; BSC 60
=
;CSA 1200 . Chứng
cho PQ tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính bằng

minh rằng :
a. ∆ABC vuông .
b. Khoảng cách SO không thay đổi .

Giải :

a) Đặt : SO = x .

Ta có : Các tam giác OAS, OBS, OCS vuông nên : SA = SB
= SC
= x2 − a2 .
2
2
2
2
2
2
2
2
Do đó
: AB S=
=
A + SB 2(x − a ) ; AC = SA + SC − 2SA.SC.cos1200 = 3(x2 − a2 ) ;

BC2 =
SB2 + SC2 − 2SB.SC.cos600 = (x2 − a2 ) ⇒ AC2 = AB2 + BC2 hay tam giác ABC vuông tại B.

b) Gọi M là trung điểm AC , do các tam gi ác SAC, OAC là các tam giác cân nên :
 SM ⊥ AC
⇒ AC ⊥ (SOM) ⇒ AC ⊥ OS


OM ⊥ AC
Tương tự, gọi N là trung đi ểm AB, ta CM được : AB ⊥ SO
Suy ra : SO ⊥ (ABC) .
Do đó mọi điểm nằm trên đường thẳng SO đều
cách đều A, B, C . Suy ra SO đi qua tâm đường
tròn ngoại tiếp M của tam giác ABC .
Trong các tam gi ác vuông ABC và SBO ta có hệ

24


httP://www.vnmath.com

⇒

Dich vu Toan hoc
1
1
 1
=
+ 2
 BM
2
2
AB BC ⇒
thức : 
1
1
1


=
+
 BM2 OB2 BS2

1
1
1
1
3
1
1
1
1
⇒
+
=+
⇒ 3a2 = 2x2 ⇒ x = a
+
=+
2
2(x2 − a2 ) x2 − a2 a2 x2 − a2
AB2 BC2 OB2 BS2

14. ( Đề thi HS G Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . Cho hình chóp S.ABCD cóđáy ABCD là hì nh chữ nhật , AB = a ;

BC = a 2 . Cạnh bên SA v uông góc với đáy và SA=b . Gọi M là trung điểm SD, N là trung điểm AD .
a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BMN)
b) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, M và cắt mặt phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với BM .
Tính theo a, b khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) .

Lời giải :

           



 Đặt AS =
x;AB =
y;AD =⇒
z x.y =
y.z =
z.x =
0;| x |=
b;| y |=
a;| z |=
a 2
   1  
    
Ta có : AC =AD + AB =y + z và BN = AN − AB = z − y
2
2
  1 2
(a
2)
Do đó : AC.BN = z − y 2 =
− a2 =0 ⇒ AC ⊥ BN
2
2
 1 
Lại do : MN = SA ⇒ MN ⊥ AC

2
Hay : AC ⊥ (BMN) ⇒ AC ⊥ BM
 Giả sử (P) cắt (SAC) theo gi ao tuyến (d) ⊥ BM
Mà do (d) v à AC đồng phẳng ⇒ (d)/ /(AC)
Gọi=
O (AC) ∩ (BD)
Trong mặt phẳn g (SDB) : SO cắt BM tại I.
Qua I kẻ đường thẳng (d) // (AC) cắt SA, SC lần lượt
tại H, K . Mặt phẳng (MHBK) là mặt phẳng (P) cần dựng .
Lại vì : I là trọng tâm tam giác SDC và HK//AC nên :
SH SK SI 2
(1)
= = =
SC SA SO 3
Theo công thức tính tỷ số thể tích ta có :
VSMBK SM SB SK 1 VSMHB SM SH SB 1
=
.=
.
=
;
.=
.
VSDBA SD SB SA 3 VSDCB SD SC SB 3

VSABCD a2b 2
2
(2)
=
⇒ VSKMHB VSKMB +=

=
VSDBA
V=
SMHB
3
3
9
1
1
1
Ta lại có : SKMHB
= SMKH + SBKH = MI.HK + BI.HK = BM.HK (3)
2
2
2
   1    1   
2
2 2
2
3.a
Mà : =
; BM = AM − AB =
AS + AD − AB = ( x + z ) − y
HK =
AC
a + (a =
2)2
2
2
3

3
3
2
2
 2 1 2 2
1 2 3 2
b + 6a
BM)
x +z =
b + a ⇒ BM = (4)
⇒ (=
+ y2
4
4
2
2

(

(

)

)

1 b2 + 6a2 2 3a a 3(b2 + 6a2 )
(5)
=
.
2

2
3
6
3VSKMHB
18a2b 2
2 2ab
= =
=
Từ (2), (5) suy ra : d(S,(P))
2
2
SKMHB
9a. 3(b + 6a )
3(b2 + 6a2 )
Từ (3), (4)
suy ra : SKMHB
=

15. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2010 ) . Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có c ạnh bằng a . Trên AB lấy
điểm M, trên CC’ lấy điểm N , trên D’A’ lấy điểm P sao cho : AM
= CN
= D'P
= x(0 ≤ x ≤ a) .
a) CMR tam giác MNP là tam gi ác đều, tìm x để di ện tích tam giác này nhỏ nhất .
a
b) Khi x = hãy tí nh thể tích khối tứ diện B’MNP và bán kính mặt cầu ngoại ti ếp tứ diện .
2

25