Phương pháp vẽ đồ thị hàm số đầy đủ dạng

www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ CHỨA
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Dạng 1

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C1 ) : y1 = f ( x)
y
(
)
:
=
=
C
y
y

1
Ta có: 1
− y
Do đó đồ thò

Nếu y ≥ 0
Nếu y ≤ 0

(C1 ) : y1 = f ( x)

có 2 phần đồ thò :

+ Phần 1: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm phía dưới Ox
lấy đối xứng qua Ox

Dạng 2

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C2 ) : y2 = f ( x )
Nhận xét :
Nên

(C2 ) : y2 = f ( x )

là hàm số chẵn

(C2 ) : y2 = f ( x ) nhận Oy làm trục đối xứng.

 f ( x) = y Nếu x ≥ 0 (1)
=
=
C
y
f
x
(
)
:
(

)

2
2
Ta có:
Nếu x ≤ 0
 f (− x)
Do đó đồ thò

(C2 ) : y2 = f ( x )

có 2 phần đồ thò :

+ Phần 1: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm phía bên phải Oy
( Do (1) ta có)
+ Phần 2: là phần đồ thò 1 lấy đối xứng qua Oy vì hàm số chẵn

Dạng 3

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C3 ) : y3 = f ( x)
Nhận xét : Nếu M ( x0 ; y0 ) ∈ (C3 ) ⇒ M ( x0 ; − y0 ) ∈ (C3 )
Nên
Ta có:

(C3 ) : y3 = f ( x) nhận Ox làm trục đối xứng.

(C3 ) : y3 = f ( x) = y ⇒ y3 = y Nếu y ≥ 0
Trang 1

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.
Do đó đồ thò

(C3 ) : y3 = f ( x)

có 2 phần đồ thò :

+ Phần 1: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò 1 lấy đối xứng qua Ox .

Dạng 4

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) = u ( x ).v ( x ) suy ra đồ
thị hàm số

(C4 ) : y4 = u ( x) .v( x)

Ta có:

Nếu u ( x) ≥ 0
u ( x ).v ( x) = f ( x ) = y

(C4 ) : y4 = u ( x) .v( x) = 
−u ( x).v( x ) = − f ( x ) = − y Nếu u ( x ) ≤ 0
Do đó đồ thò

(C4 ) : y4 = u ( x) .v( x)

có 2 phần đồ thò :

+ Phần 1: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm trên miền u ( x ) ≥ 0
+ Phần 2: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm trên miền u ( x ) ≤ 0
lấy đối xứng qua Ox

Ta hay gặp dạng đơn giản sau:
Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) = ( x − a ).v ( x )
suy ra đồ thị hàm số

(C4 ) : y4 = x − a .v( x), a ∈ ℝ

Ta có:

Nếu x ≥ a
( x − a ).v ( x) = f ( x) = y
(C4 ) : y4 = x − a .v( x) = 
 −( x − a ).v( x) = − f ( x ) = − y Nếu x ≤ a

Do đó đồ thò

(C4 ) : y4 = x − a .v( x), a ∈ ℝ

có 2 phần đồ thò :

+ Phần 1:
là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm bên phải đường thẳng x = a
+ Phần 2: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm bên trái
đường thẳng x = a lấy đối xứng qua Ox.

Trang 2

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

TỔNG QUÁT
Từ 4 dạng đồ thò có chứa dấu giá trò tuyệt đối cơ bản trên ta có thể suy ra
nhiều dạng đồ thò có chứa dấu giá trò tuyệt đối khác chẳng hạn:

Dạng 5

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C5 ) : y5 = f ( x )
Để vẽ

Dạng 6

(C5 ) : y5 = f ( x )

ta làm 2 bước như sau:

+ Bước 1: vẽ

y51 = f ( x ) = g ( x)

dựa vào dạng 2

+ Bước 2: vẽ

y5 = f ( x ) = g ( x)

dựa vào dạng 1

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C6 ) : y6 = f ( x )
Để vẽ

Dạng 7

(C6 ) : y6 = f ( x )

ta làm 2 bước như sau:

+ Bước 1: vẽ

y61 = f ( x ) = g ( x)

+ Bước 2: vẽ

y6 = g ( x)

dựa vào dạng 2

dựa vào dạng 3

Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

(C7 ) : y7 = f ( x )
Để vẽ

(C7 ) : y7 = f ( x )

ta làm 3 bước như sau:

+ Bước 1: vẽ

y71 = f ( x ) = g ( x)

+ Bước 2: vẽ

y72 = f ( x ) = g ( x) = h( x)

+ Bước 3: vẽ

(C7 ) : y7 = h( x)

dựa vào dạng 2
dựa vào dạng 1

dựa vào dạng 3

Trang 3

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.

3

2

Cho hàm số y = 2 x − 3 x + 1 có đồ thò (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại giao điểm của (C)
với đường thẳng x = − 1.
3

2
3) Tìm tham số m để phương trình 2 x − 3 x + 2 = m có bốn

nghiệm phân biệt.

Giải

1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.

TXĐ: D = R
y ' = 6 x 2 − 6 x ; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1
HSĐB trên khoảng ( −∞ ;0) ; ( 1; +∞ ). HSNB trên khoảng ( 0;1 )
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1 ; Hàm số đạt cực tiểu tại x =1; yCT = 0
lim y = ±∞

x →±∞

y

BBT
x −∞

0

1

ĐĐB:
P( − 1; − 4)
Q(2;5)

+∞

y’

+ 0 – 0 +
1
+∞
y
CĐ
CT
−∞
0

4
3
2
1
x

-5 -4 -3 -2 -1
y '' = 12 x − 6 ; y '' = 0 ⇔ x = 1/2

x
−∞
y’
–
ĐTHS
Lồi

Q

5

NX: Đồ thò nhận
điểm uốn I làm
tâm đối xứng P

1/2
+∞
0
+
ĐU
Lõm
I(1/2;1/2)

-1

O

1

2

3

4

5

3

2
y
=
2
x
−
3
x
+1
-3
-2
-4
-5

Hình 1

2) Viết PTTT của đồ thò (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng x = − 1
x = − 1 => y = f( − 1) = − 4 => giao điểm M( − 1; − 4)
pttt có dạng d: y = f ' ( x 0 ).( x − x 0 ) + y 0 .
f '( x0 ) = f '(−1) = 12 => pttt d: y

= 12( x + 1) − 4 = 12 x + 8 .

Trang 4

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.
3

3) Tìm tham số m để phương trình 2 x − 3 x + 2 = m có bốn nghiệm
2

phân biệt.
3

3

2
2
Ta có: 2 x − 3 x + 2 = m ⇔ 2 x − 3 x + 1 = m − 1
3

2

Đây là PT HĐGĐ của đồ thò (C1 ) : y1 = 2 x − 3 x + 1 và đường thẳng
d: y = m − 1

 2 x 3 − 3 x 2 + 1 ne x ≥ 0
T a có (C1 ) : y1 = 
3
2
 −2 x − 3 x + 1 nếu x < 0
=> (C1 ) có 2 phần đồ thò:

Phần I : Đồ thò (C) nằm bên phải trục Oy (cả điểm nằm trên Oy)
Phần II : Lấy đối xứng đồ thò Phần I qua Oy
vì hàm số y1 là hàm số chẵn
Vẽ (C1 ) ( Hình 2)

y

Q

5
4
3
2
1

x
-5

-4

-3

-2

-1

-1
-2
-3

O

1

2

3

4

5

3

y1 = 2 x −3x2 +1

-4
-5
Dựa vào (C1 ) ta có: 0 < m − 1 < 1

Hình 2

<=> 1 < m < 2

1 4
x − 4 x 2 + 3 có đồ thò là (C)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.

Ví dụ 2.

Cho hàm số y =

Trang 5

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

b) Đònh m để phương trình :
biệt.

c) Đònh m để phương trình :

1 4
x − 4 x 2 + 3 = lg m có 4 nghiệm phân
2

1 4
x − 4 x 2 + 3 = lg m có 8 nghiệm phân
2

biệt.

Giải
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.

TXĐ: D = R.Hàm số chẵn
y ' = 2 x 3 − 8 x ; y ’= 0 <=> x = 0 hoặc x = ± 2
Giới hạn : xlim
→±∞

y = +∞

BBT :
2
+∞
x −∞ –2 0
y’
– 0 + 0 – 0 +
+∞
3
+∞
y
CT
CĐ
CT
–5
–5
HSĐB trên khoảng (–2;0) và (2; +∞ ).
HSNB trên khoảng ( −∞ ;–2) và (0;2)
y '' = 6 x 2 − 8 ;
y '' = 0 ⇔ x = ±2 3 / 3
BXD y ’’

x
−∞ – 2 3 / 3
2 3 / 3 +∞
y ’’
+
0
–
0 +
ĐT
(C) Lõm ĐU Lồi ĐU
Lõm
(–2 3 / 3 ;–13/9) (2 3 / 3 ;–13/9)
Đồ thò:
o NX: đồ thò nhận Oy làm trục đối xứng
o ĐĐB: A(–3; 15/2), B(3;15/2)

Trang 6

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.
8 y
7
6

5
4 CĐ
←
3 →
2
1

A

B

x

O

-6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
←
→
-5
CT
-6
-7

b) Đònh m để phương trình :

1

2

3
y=

4

5

6

1 4
x − 4x2 + 3
2

←
→

CT

1 4
x − 4 x 2 + 3 = lg m có 4 nghiệm phân biệt.
2

YCBT <=> −5 < lg m < 3 <=> lg10−5 < lg m < lg103 ⇔ 10−5 < m < 103

1 4
x − 4 x 2 + 3 = lg m có 8 nghiệm phân biệt.
2
1

Đây là PT HĐGĐ của đồ thò (C1 ) : y1 = x 4 − 4 x 2 + 3 và đường thẳng
2
d: y = m − 1

c) Đònh m để phương trình :

y

Nếu y ≥ 0

− y

Nếu y ≤ 0

T a có : (C1 ) : y1 = y = 
Do đó đồ thò

(C1 ) : y1 = f ( x)

có 2 phần đồ thò :

+ Phần 1: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm phía dưới Ox
lấy đối xứng qua Ox
y
5
4
3
2
1

x
-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

-2
-3

1
y1 = x4 − 4x2 + 3
2

-4
-5

Trang 7

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.
YCBT <=> 0 < lg m < 3 <=> lg1 < lg m < lg103 ⇔ 1 < m < 1000

Vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 3.

Ta vẽ đồ thò hàm số

x2
(C1 ) : y1 =
x −1

x2
(C ) : y =
x −1
8

7
6
5
4
3
2
1

x2
(C) : y =
x −1

-5

-4

-3

-2

-1

y

x
1

-1
-2
-3

x2
(C1 ) : y1 =
Dựa vào (C) ta có:
x −1

2

3

4

5

có 2 phần đồ thò :

+ Phần 1: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm bên phải đường thẳng x = 1
+ Phần 2: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm bên trái
đường thẳng x = 1 lấy đối xứng qua Ox.

x2
(C1 ) : y1 =
x −1

-5

-4

-3

-2

-1

8
7
6
5
4
3
2
1

y

-1
-2
-3

x
1

2

3

4

5

Trang 8

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

Ví dụ 4.

Vẽ đồ thị hàm số

Ta vẽ đồ thò hàm số

(C1 ) : y1 =

(C ) : y =

x −1
x +1

x −1
x +1

y
5

4

(C) : y =

3

x −1
x +1

2
1
x
-5

-4

-3

-2

-1

1

-1

2

3

4

5

-2
-3
-4
-5

x −1
(
)
:
=
C
y
1
1
Dựa vào (C) ta có:
x +1

có 2 phần đồ thò :

+ Phần 1: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò 1 lấy đối xứng qua Ox .

y
5
4
3

(C1): y1 =

2

x −1
x +1

1
x
-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

-2
-3
-4
-5

Trang 9

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

Vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 5.

Dựa vào đồ thò hàm số

x2
(C5 ) : y5 =
x −1

x2

(C5 ) : y5 =
x −1

x2
(C ) : y =
x −1

ở ví dụ 3 ta có:

có 2 phần đồ thò :

+ Phần 1: là phần đồ thò (C ) : y = f ( x ) nằm phía bên phải Oy
+ Phần 2: là phần đồ thò 1 lấy đối xứng qua Oy vì hàm số chẵn

8
7
6
5
4
3
2
1

x2
(C 5 ) : y5 =
x −1
-5

-4

Ví dụ 6.

-3

-2

-1

Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thò hàm số

-1
-2
-3
-4
-5

y

x
1

2

3

4

5

x2
(C6 ) : y6 =
x −1

x2
(C5 ) : y5 =
x −1

ở ví dụ 5 ta có:

Trang 10

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

x2
(C6 ) : y6 =
x −1

có 2 phần đồ thò :

(C5 ) nằm phía trên Ox

+ Phần 2: là phần đồ thò (C5 ) nằm phía dưới Ox

+ Phần 1: là phần đồ thò

lấy đối xứng qua Ox

8
7
6
5
4
3
2
1

x2
(C 6 ) : y 6 =
x −1
-5

-4

Ví dụ 7.

-3

-2

-1

Vẽ đồ thị hàm số

-1
-2
-3
-4
-5

y

x
1

2

3

4

5

x2
(C7 ) : y7 =
x −1

Dựa vào đồ thò hàm số

x2
(C6 ) : y6 =
x −1

x2
(C7 ) : y7 =
x −1

có 2 phần đồ thò :

ở ví dụ 6 ta có:

+ Phần 1: là phần đồ thò (C6 ) nằm phía trên Ox
+ Phần 2: là phần đồ thò 1 lấy đối xứng qua Ox .

Trang 11

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Một số phương pháp vẽ đồ thò của hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

x2
(C7 ) : y7 =
x −1
-5

-4

-3

-2

7
6
5
4
3
2
1
-1 -1
-2
-3
-4
-5
-6
-7

y

x
1

2

3

4

5

Trang 12

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com