Tổng hợp các chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn toán

BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN

Bài 1 :
1) §¬n gi¶n biĨu thøc :

P=

14 + 6 5 + 14 − 6 5 .

x +2
x − 2  x +1
−
2) Cho biĨu thøc :
Q = 
÷
÷. x
 x + 2 x +1 x −1 
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) T×m x ®Ĩ Q > - Q.
c) T×m sè nguyªn x ®Ĩ Q cã gi¸ trÞ nguyªn.
Híng dÉn :
1. P = 6
2. a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : Q =

2
.
x −1

b) Q > - Q ⇔ x > 1.
c) x = { 2;3} th× Q ∈ Z

Bài 2 : Cho biĨu thøc P =
a) Rót gän biĨu thøc sau P.

1
x +1

+

b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P khi x =

x
x −x
1
2

.

Híng dÉn :
x +1
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : P =
.
1− x
1
b) Víi x =
th× P = - 3 – 2 2 .
2
Bài 3 : Cho biĨu thøc : A =

x x +1 x −1
−

x −1
x +1

a) Rót gän biĨu thøc sau A.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A khi x =

1
4

c) T×m x ®Ĩ A < 0.
d) T×m x ®Ĩ A = A.
Híng dÉn :
x
a) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =
.
x −1
1
b) Víi x =
th× A = - 1.
4
c) Víi 0 ≤ x < 1 th× A < 0.
d) Víi x > 1 th× A = A.
1 
3 
 1
+
Bài 4 : Cho biĨu thøc : A = 
÷ 1 −
÷
a + 3 

a
 a −3



a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >

1
.
2

Hớng dẫn :
2
a) ĐKXĐ : a > 0 và a 9. Biểu thức rút gọn : A =
.
a +3
1
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A > .
2
x + 1 x 1 x 2 4x 1 x + 2003

+
Baứi 5 : Cho biểu thức:
A=
.
ữ.
x2 1
x
x 1 x +1

1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x Z ? để A Z ?
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0 ; x 1.
x + 2003
b) Biểu thức rút gọn : A =
với x 0 ; x 1.
x
c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z .

(

)

x x 1 x x +1 2 x 2 x +1

:
A =
.
ữ
ữ
x

1
x

x
x
+

x



Baứi 6 : Cho biểu thức:

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Hớng dẫn :
x +1
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
.
x 1
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x = { 4;9} thì A Z.
Baứi 7 : Cho biểu thức:

x+2
x
1
+
+
A =
x x 1 x + x +1 1 x

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.

x 1
:
ữ
ữ
2


Hớng dẫn :
2
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
x + x +1
b) Ta xét hai trờng hợp :
2
+) A > 0
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
x + x +1
2
+) A < 2
< 2 2( x + x + 1 ) > 2 x + x > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
x + x +1
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Baứi 8 : Cho biểu thức: P =

a +3
a 2



a 1
a +2

+

4 a 4
(a 0; a 4)
4a



a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.

Hớng dẫn :
4
a) ĐKXĐ : a 0, a 4. Biểu thức rút gọn : P =
a 2
b) Ta thấy a = 9 ĐKXĐ . Suy ra P = 4
a + a a a
1
ữ
ữ
Baứi 9 : Cho biểu thức:
N = 1 +
ữ
a
+
1
a 1 ữ

1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
Hớng dẫn :

a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Baứi 10 : Cho biểu thức P =

x x + 26 x 19
2 x

+
x+2 x 3
x 1

x 3
x +3

a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi x = 7 4 3
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hớng dẫn :
x + 16
a ) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : P =
x +3
103 + 3 3
b) Ta thấy x = 7 4 3 ĐKXĐ . Suy ra P =
22
c) Pmin=4 khi x=4.
2 x

+
Baứi 11 : Cho biểu thức P =
x
+
3


x
x +3



3x + 3 2 x 2
:
1
x 9 x 3


1
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
2
Hớng dẫn :
3
a. ) ĐKXĐ : x 0, x 9. Biểu thức rút gọn : P =
x +3
1
b. Với 0 x < 9 thì P <
2
c. Pmin= -1 khi x = 0
a. Rút gọn P.

b. Tìm x để P <

a +1

a 1
1

+4 aữ
.
a
+
Bài 12: Cho A=

ữ với x>0 ,x 1
ữ
a +1
a
a 1

a. Rút gọn A


(

)(

b. TÝnh A víi a = 4 + 15 .

)(

10 − 6 .

4 − 15

)

( KQ : A= 4a )
 x −3 x   9− x
x −3
x −2
− 1÷
:
+
−
Bµi 13: Cho A= 

÷
÷  x+ x −6
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 9, x ≠ 4 .
x
−
9
x
−
2
x
+

3

 

a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z
3
(KQ : A=
)
x −2
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
+
−
x + 2 x − 3 1− x
x +3
Rót gän A.
T×m GTLN cña A.
1
T×m x ®Ó A =
2
2
2−5 x
CMR : A ≤ .
(KQ: A =
)
3
x +3

Bµi 14: Cho A =
a.
b.
c.
d.

Bµi 15: Cho A =

x+2
x +1
1
+
+
x x −1 x + x + 1 1− x

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

a . Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A .
Bµi 16: Cho A =

( KQ : A =

x
)
x + x +1

1
3
2

−
+
víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
x +1 x x +1 x − x +1

a . Rót gän A.
b. CMR : 0 ≤ A ≤ 1

( KQ : A =
x
)
x − x +1

 x −5 x  
25 − x
x +3
x −5
− 1÷
:
−
+
Bµi 17: Cho A = 

÷
÷  x + 2 x − 15
x +5
x −3÷
 x − 25
 


a. Rót gän A.
b. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z
( KQ : A =
5
)
x +3
2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−
a −5 a +6
a − 2 3− a
a. Rót gän A.
b. T×m a ®Ó A < 1

Bµi 18: Cho A =

víi a ≥ 0 , a ≠ 9 , a ≠ 4.



c. T×m a ∈ Z ®Ó A ∈ Z

( KQ : A =

a +1
)
a −3

 x− x +7

1   x +2
x −2 2 x 
+
:
−
−
Bµi 19: Cho A= 
÷

÷ víi x > 0 , x ≠ 4.

x −2÷
x +2 x−4÷
 x−4
  x −2

a. Rót gän A.
x+9
1
b. So s¸nh A víi
( KQ : A =
)
6 x
A
3
3
 x− y
x − y 

÷:

Bµi20: Cho A =
+
 x− y
y−x ÷


a. Rót gän A.

b. CMR : A ≥ 0

(

x− y

)

2

+ xy

víi x ≥ 0 , y ≥ 0, x ≠ y

x+ y

( KQ : A =

xy

)

x − xy + y

x x −1 x x +1 
1   x +1
x −1 
−
+ x −
+
÷ Víi x > 0 , x ≠ 1.
÷. 
x− x
x+ x 
x   x −1
x +1÷

a. Rót gän A.

Bµi 21 : Cho A =

b. T×m x ®Ó A = 6

( KQ :

A=

(

)

2 x + x +1

x



x −4
3 ÷  x +2
x 

+
: 
−
Bµi 22 : Cho A =
÷
 x x −2
x −2÷ 
x
x −2÷



a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x = 6 − 2 5
(KQ:
A = 1− x )

(

)

)

víi x > 0 , x ≠ 4.

1   1
1 
1
 1
+
−
Bµi 23 : Cho A= 
víi x > 0 , x ≠ 1.
÷: 
÷+
 1− x 1+ x   1− x 1+ x  2 x
a. Rót gän A
3
b. TÝnh A víi x = 6 − 2 5
(KQ:
A=
)
2 x
 2x +1
1  
x+4 
−
: 1 −
Bµi 24 : Cho A=  3
÷
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
÷

x −1   x + x +1 
 x −1
a. Rót gän A.
x
b. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z
(KQ:
A=
)
x −3
 1
  1
2 x −2
2 
−
:
−
Bµi 25: Cho A= 
÷
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
÷
 x +1 x x − x + x −1   x −1 x −1 
a. Rót gän A.
b. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z
x −1
c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN .
(KQ:
A=
)
x +1

 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
Bµi 26 : Cho A = 
÷
÷:  x − 3 − 1÷
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 9
x
−
9
x
+
3
x
−
3

 

.
a. Rót gän A.
1
b. T×m x ®Ó A < 2
−3
( KQ : A =
)

a +3
 x +1
x −1 8 x   x − x − 3
1 
−
−
:
−
Bµi 27 : Cho A = 
÷

÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

x +1 x −1 ÷
x −1 ÷
 x −1
  x −1

a. Rót gän A
4 x
b. TÝnh A víi x = 6 − 2 5
(KQ:
A=
)
x+4
c . CMR : A ≤ 1
Bµi 28 :

1 
x +1

 1
+
Cho A = 
÷:
x −1  x − 2 x +1
 x− x
a.

Rót gän A

(KQ:

víi x > 0 , x ≠ 1.
A=

x −1
)
x

b.So s¸nh A víi 1
 x −1
1
8 x   3 x −2
1
−
+
: 1 −
Cho A = 
Víi x ≥ 0, x ≠
÷

÷
÷
÷
9
 3 x −1 3 x +1 9x −1   3 x +1 
a. Rót gän A.
6
b. T×m x ®Ó A =
5
c. T×m x ®Ó A < 1.
x+ x
( KQ : A =
)
3 x −1
 x −2
x + 2  x2 − 2x + 1
−
Bµi30 : Cho A = 
víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
÷
÷.
x
−
1
2
x
+
2
x
+

1


a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2 2
d. T×m GTLN cña A
(KQ:
A = x (1 − x ) )
Bµi 29 :

 x+2
x
1  x −1
+
+
Bµi 31 : Cho A = 
÷
÷: 2
 x x −1 x + x +1 1− x 

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

a. Rót gän A.
b. CMR nÕu x ≥ 0 , x ≠ 1 th× A > 0 , (KQ:
Bµi 32 :

4
1  x−2 x


+
Cho A =  1 −
÷:
x +1 x −1  x −1


A=

2
)
x + x +1

víi x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4.



a. Rót gän
1
2
 x +1 x − 2 x − 3   x + 3
2 
−
:
+
Bµi 33 : Cho A = 
÷
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
÷
x −1   x −1
x +1 

 x −1
a. Rót gän A.
b. TÝnh A khi x= 0,36
c. T×m x ∈ Z ®Ĩ A ∈ Z

x   x +3
x +2
x +2 
: 
+
+
Bµi 34 : Cho A=  1 −
÷
÷
÷
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 9 , x ≠ 4.
 1+ x   x − 2 3 − x x − 5 x + 6 
a. Rót gän A.
b. T×m x ∈ Z ®Ĩ A ∈ Z
x −2
c. T×m x ®Ĩ A < 0
(KQ:
A=
)
x +1
b. T×m x ®Ĩ A =

BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài 1 :
1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4).

2) T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng trªn víi trơc tung vµ trơc hoµnh.
Híng dÉn :
1) Gäi pt ®êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b.
2 = a + b
a = 3
⇔
Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hƯ pt : 
− 4 = − a + b
b = −1
VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 3x – 1
2) §å thÞ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng -1 ; §å thÞ c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng
1
.
3
Bài 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.
1) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ hµm sè lu«n nghÞch biÕn.
2) T×m m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 3.
3) T×m m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè trªn vµ c¸c ®å thÞ cđa c¸c hµm sè y = -x + 2 ; y = 2x – 1 ®ång quy.
Híng dÉn :
1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3 ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2.
2) Do ®å thÞ cđa hµm sè c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
3
Thay x= 3 ; y = 0 vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta ®ỵc m = .
4
y = −x + 2
3) Giao ®iĨm cđa hai ®å thÞ y = -x + 2 ; y = 2x – 1 lµ nghiƯm cđa hƯ pt : 
 y = 2x − 1
⇔ (x;y) = (1;1).
§Ĩ 3 ®å thÞ y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 vµ y = 2x – 1 ®ång quy cÇn :
(x;y) = (1;1) lµ nghiƯm cđa pt : y = (m – 2)x + m + 3.

−1
Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m =
2



Baứi 3 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2 m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
x0 = 1
y0 = (m 1)x0 + m + 3 (x0 1)m - x0 - y0 + 3 = 0
y0 = 2
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng
AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Hớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
1 = a + b
a = 2

Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :
1 = 2 a + b
b = 3
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
2) Để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua
2
m 3m = 2
m = 2.
điểm C(0 ; 2) ta cần : 2
m 2m + 2 = 2
Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi
qua điểm C(0 ; 2)
Baứi 5 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định
ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 .
Hớng dẫn :

1) m = 2.
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
1

x0 = 2
y0 = (2m 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0
y = 5
0
2
1 5
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định ( ;

).
2 2




Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :
6x
4x 5
y=
;y=
và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
4
3
Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3)
và B(-3; -1).
Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m
(D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.

Chủ đề :

Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .

A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Phơng pháp giải :

+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =

a
.
b

+ Nếu a = 0 và b 0 phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0 phơng trình có vô số nghiệm.
ax + by = c
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :

a' x + b' y = c'
Phơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2
ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :
x
x
+
=2
a)
ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S = { 4 } .
x -1 x + 2
2x 3 - 1

b) 3
=2
x + x +1
Giải : ĐKXĐ : x 3 + x + 1 0. (*)
3
2x 3 - 1
Khi đó : 3
= 2 2x = - 3 x =
2
x + x +1
3 3 3
3
Với x =
thay vào (* ) ta có (
) +
+10
2
2
2
3
Vậy x =
là nghiệm.
2
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :




(m 2)x + m2 4 = 0
(1)

+ Nếu m 2 thì (1)
x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.
Giải :

Ta có : với m Z thì 2m 3 0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -

4
.
2m - 3

để pt có nghiệm nguyên thì 4 2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.
Giải :
23 - 7x
x 1
a) Ta có : 7x + 4y = 23 y =
= 6 2x +
4
4
Vì y Z x 1 4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4.
BAỉI TAP PHAN HE PHệễNG TRèNH
Baứi 1 : Giải hệ phơng trình:
2x 3y = 5

a)
b)
3x + 4y = 2
2x + 4 = 0
e)
4x + 2y = 3

x + 4y = 6

4x 3y = 5
5
2
x + x + y = 2

f)
3 + 1 = 1, 7
x x + y

2x y = 3
c)
5 + y = 4x

x y = 1
d)
x + y = 5

Baứi 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y = 2

x + my = 1

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Hớng dẫn :
Baứi 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y = 3 m

2x + y = 3(m + 2)
1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Baứi 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x + y = a
có nghiệm duy nhất là (x; y).

x + (a 1)y = 2
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 17y = 5.



3) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cđa a ®Ĩ biĨu thøc

2x − 5y
nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
x+y

Bài 5 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
 x + ay = 1
(1)


ax + y = 2
1) Gi¶i hƯ (1) khi a = 2.
2) Víi gi¸ trÞ nµo cđa a th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
 mx − y = n
Bài 6 : X¸c ®Þnh c¸c hƯ sè m vµ n, biÕt r»ng hƯ ph¬ng tr×nh 
 nx + my = 1
cã nghiƯm lµ −1; 3 .

(

)

( a + 1) x + y = 4
Bài 7 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh 
(a lµ tham sè).
ax + y = 2a
1) Gi¶i hƯ khi a = 1.
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y ≥ 2.
x - (m + 3)y = 0
Bài 8 (trang 22): Cho hƯ ph¬ng tr×nh : 
(m lµ tham sè).
(m - 2)x + 4y = m - 1
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m.
x - m y = 0
Bài 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh : 
(m lµ tham sè).
mx − 4y = m + 1
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.

c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì
gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính
vận tốc của mỗi xe.
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa.
Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
4
Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 4 giờ thì đầy bể.
5
6
Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau
giờ nữa mới nay bể . Nếu
5
một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể.
Đáp số : 8 giờ.
Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t 0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi
phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C.
Hường dãn :
x + y = 10
x = 2,5
⇔ 
Ta có hệ pt : 
100x + 20y = 400
 y = 7,5
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C.

Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g
nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dòch
ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.
 ( x + 200)
 y + 200 .100% = 50%
x = 400

⇔ 
Theo bài ra ta có hệ pt : 
 y = 1000
 ( x + 200) .100% = 40%
 y + 500
Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.

Ph¬ng tr×nh bËc hai
®Þnh lý viet vµ øng dơng
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a) Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương
trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất
- hoặc vơ nghiệm
- hoặc vơ số nghiệm
b)Nếu a ≠ 0
Lập biệt số ∆ = b2 – 4ac hoặc ∆ / = b/2 – ac
* ∆ < 0 ( ∆ / < 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm
b

* ∆ = 0 ( ∆ / = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = 2a
b/
(hoặc x1,2 = - )
a
/
* ∆ > 0 ( ∆ > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
−b− ∆
−b+ ∆
x1 =
; x2 =
2a
2a
/
/
−b − ∆
− b / + ∆/
(hoặc x1 =
; x2 =
)
a
a
2. Định lý Viét.
Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
b
S = x 1 + x2 = a
c
p = x1x2 =
a
Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cđa
ph¬ng tr×nh bËc 2:

x2 – S x + p = 0
3.DÊu cđa nghiƯm sè cđa ph¬ng tr×nh bËc hai.
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh .Ta
cã c¸c kÕt qu¶ sau:
x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 ) ⇔ p = x1x2 < 0



0

Hai nghiệm cùng dơng( x1 > 0 và x2 > 0 ) p > 0
S > 0

0

Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) p > 0
S < 0

> 0

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) p = 0
S > 0

> 0

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) p = 0
S < 0

4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)
c
a



Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =



Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -



c
a
Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và 0 thì phơng trình có nghiệm
x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m

b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2
- Lập tích p = x1x2
- Phơng trình cần tìm là : x2 S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.
(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 2x1x2 = S2 2p
*) (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = S2 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S3 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 2x12x22
x + x2 S

1
1
+
= 1
*)
=
x1 x 2
x1 x 2
p
2

2

x1 x 2 x1 + x 2
S2 2p
+
=
=
x 2 x1
x1 x 2
p
*) (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2
x1 + x 2 2a
1
1
S 2a
+
=
=
*)

x1 a x 2 a ( x1 a )( x 2 a ) p aS + a 2
(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện 0 )
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trớc .Tìm nghiệm
thứ 2
Cách giải:
*)




Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
0 (hoặc / 0 ) (*)
- Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc / 0 ) mà ta thay luôn
x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có
< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình
bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ
2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm
thứ 2

B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
2
2
/
Ta có = (m + 1) 2m + 10 = m 9
+ Nếu / > 0 m2 9 > 0 m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - m 2 9 x2 = m + 1 + m 2 9
+ Nếu / = 0 m = 3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2
/
+ Nếu < 0 -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m + 1 -



m 2 9 x2 = m + 1 +
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

m2 9

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0 m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng

1
2
* Nếu m 3 0 m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số / = m2 (m
3)(m 6) = 9m 18
- Nếu / = 0 9m 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
- 6x 3 = 0

x=-



/

b
2
=-2
=
a 23
- Nếu / > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
m3 m2
x1,2 =
m3
/
- Nếu < 0 m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
1
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = 2
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
m3 m2
Với m > 2 và m 3 phơng trình có nghiệm x1,2 =

m3
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
x1 = x2 = -

Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x2 + 2007x 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0
d) x2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0
Giải
2
a) 2x + 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
c 2009
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 = =
a
2
2
b) 17x + 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,
c
204
x2 = - =
= - 12
a
17
c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0 có: ac = - 15 < 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có :
x1 + x2 = -( 3 5 ) = - 3 + 5
x1x2 = - 15 = (- 3 ) 5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5

(hoặc x1 = 5 , x2 = - 3 )
d ) x2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 có : ac = - 6 7 < 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có
x 1 + x 2 = 3 - 2 7

x 1 x 2 = - 6 7 = 3(-2 7 )
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0
Hớng dẫn :
a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0



Suy ra :

x1 = 2
m +1
Hoặc x2 =
3
b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0 m = 3 (*) trở thành 4x 4 = 0 x = - 1
x1 = 1
* m 3 0 m 3 (*)
x 2 = 2m 2
m3

Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 3x 7 = 0
a) Tính:

A = x12 + x22
B = x1 x 2
C=

1
1
+
x1 1 x 2 1

D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

1
1
và
x1 1
x2 1
Giải ;
2
Phơng trình bâc hai x 3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 .
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2p = 9 2(-7) = 23
+ (x1 x2)2 = S2 4p => B = x1 x 2 = S 2 4 p = 37
b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là

1
1
( x1 + x 2 ) 2
S 2

1
+
=
=
=
x1 1 x 2 1
( x1 1)( x 2 1) p S + 1
9
2
2
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta có :
1
1
1
+
= (theo câu a)
S=
x1 1 x 2 1
9
1
1
1
=
=
p=
( x1 1)( x 2 1) p S + 1
9

1
1
Vậy
và
là nghiệm của hơng trình :
x1 1
x2 1
1
1
X2 SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
9
9
+C=

Bài 6 : Cho phơng trình :
x2 ( k 1)x - k2 + k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.




1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:

= (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + 9 = 5(k2 -

6
9

k+ )
5
5

3
9
36
3
36
= 5(k2 2. k +
+
) = 5(k - ) +
> 0 với mọi giá trị của k. Vậy phơng trình
5
25
25
5
5
(1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
1
1
7
- k2 + k 2 < 0 - ( k2 2. k +
+ )<0
2
4
4
1 2 7
-(k ) < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với

2
4
mọi k
3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x1 + x2 = k 1 và x1x2 = - k2 + k 2
x13 + x23 = (k 1)3 3(- k2 + k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)2 - 3(- k2 + k 2)]
= (k 1) (4k2 5k + 7)
5
87
= (k 1)[(2k - )2 +
]
4
16
5
87
Do đó x13 + x23 > 0 (k 1)[(2k - )2 +
] >0
4
16
5
87
k 1 > 0 ( vì (2k - )2 +
> 0 với mọi k)
4
16
k>1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:

Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
3. Tìm m để x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong
phần 2.)
Giải
2
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x + 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9
2. Có / = (m + 1)2 (m 4) = m2 + 2m + 1 m + 4 = m2 + m + 5
1
1 19
1
19
= m2 + 2.m. + +
= (m + )2 +
> 0 với mọi m
2
4
4
2
4
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m 4
Ta có (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 4 (m 4)
1
19
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 +
]
2

4
1
1
1
19
19
=> x1 x 2 = 2 (m + ) 2 +
= 19 khi m +
=0 m=2
2
2
2
4
4
1
Vậy x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = 2
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)



9
2
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm
này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
9
1) Thay m = vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
2
5x2 - 20 x + 15 = 0

phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0 x = 1
+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số :
= (1 2m)2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m2 4(m2- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2m 1 + 5 2m + 4
2m 1 5 2(m 3) m 3
=
=
= 1 x2 =
x1 =
=
2(m + 2)
2(m + 2) 2(m + 2) m + 2
2m + 4
Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3
lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
m3
9
Trờng hợp 1 : 3x1 = x2 3 =
giải ra ta đợc m = (đã giải ở câu 1)
m+2
2
m3
11
m + 2 = 3m 9 m =
Trờng hợp 2: x1 = 3x2 1= 3.
(thoả mãn điều kiện m

m+2
2
- 2)
11
Kiểm tra lại: Thay m =
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
2
15x2 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
5
1
x1 = 1 , x2 =
= (thoả mãn đầu bài)
15 3
1) Giải phơng trình khi m = -

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
3
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0 x =
4
2
/

+ Nếu m 0 .Lập biệt số = (m 2) m(m-3)
= m2- 4m + 4 m2 + 3m
=-m+4
/

< 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) vô nghiệm
/ = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép
b/ m 2 4 2 1
x1 = x2 = - =
=
=
a
m
2
2
/


-m+4>0
m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
>0
m2 m+4
m2+ m+4
x1 =
; x2 =
m
m
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm



1
2
0 m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =

x1 =

m2 m+4
m

;

x2 =

m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

m2+ m+4
m

3
4

c
m3
<0
<0
a
m
m 3 > 0
m > 3


m < 0
m < 0

m 3 < 0
m < 3


m > 0
m > 0
m > 3
Trờng hợp
không thoả mãn
m < 0
2. (1) có nghiệm trái dấu

m < 3
0Trờng hợp
m > 0
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/ 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :
9m 6(m 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -

9
4

9
thoả mãn
4

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện / 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = -

9
.Sau đó
4

9
vào phơng trình (1) :
4
9
9
9
- x2 2(- - 2)x - 3 = 0 -9x2 +34x 21 = 0
4
4
4
x1 = 3
/
có = 289 189 = 100 > 0 =>
x2 = 7

9
9
Vậy với m = - thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
4
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
9
7
Cách 1: Thay m = vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 =

(Nh phần
4
9
trên đã làm)
9
Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
4
thay m = -



9
2( 2)
2(m 2)
34
4
=
=
x1 + x2 =
9
m
9
4
34
34
7
x2 =
- x1 =
-3=
9

9
9
9
vào công trức tính tích hai nghiệm
4
9
3
m3
21
21
21
7
= 4
=
x1x2 =
=> x2 =
: x1 =
:3=
9
m
9
9
9
9

4
Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :
x12 + x22 = 10

Giải.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép / = 0 k2 (2 5k) = 0
Cách 3: Thay m = -

k2 + 5k 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 )
5 33
5 + 33
k1 =
; k2 =
2
2
5 33
5 + 33
Vậy có 2 giá trị k1 =
hoặc k2 =
thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2
2
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
/ 0 k2 + 5k 2 0 (*)
Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2
Theo bài ra ta có (x1 + x2)2 2x1x2 = 10
b
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - = - 2k và x1x2 = 2 5k
a
Vậy (-2k)2 2(2 5k) = 10 2k2 + 5k 7 = 0
7
(Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = 2
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 + 5k 2

+ k1 = 1 => / = 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
7
49 35
49 70 8
29

2=
=
+ k2 = => / =
không thoả mãn
2
4
2
4
8
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Cách 2 : Không cần lập điều kiện / 0 .Cách giải là:
7
Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = (cách tìm nh trên)
2
Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)
+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3
7
39
+ Với k2 = (1) => x2- 7x +
= 0 (có = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
2
2

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm



BAỉI TAP PHAN PHệễNG TRèNH BAC HAI
Baứi 1 : Cho phơng trình : x2 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình. Không giải
phơng trình, hãy tính:
1) x12 + x22
2) x1 x1 + x 2 x 2
3)

x12 + x 22 + x1x x ( x1 + x 2 )

(

)

(

x12 x12 1 + x 22 x 22 1

).

Baứi 2 : Cho phơng trình: 2x2 5x + 1 = 0.
Tính x1 x 2 + x 2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).
Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:
x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).
Baứi 4 : Cho phơng trình:

x2 2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:
x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8.
Baứi 5 : Cho phơng trình:
x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4.
Baứi 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1).
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x13 + x23.
Baứi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 0.
Baứi 8 : Cho phơng trình:
(m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Câu9.
Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
, = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
m m +1
1
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=

=
2m 1
2m 1
1
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
<0
2m 1



 1
 2m
+1 > 0 
>0

=>  2m − 1
=>m<0
 2m − 1
2m − 1 < 0
2m − 1 < 0
VËy Pt cã nghiƯm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 300 km . ¤ t« thø nhÊt mçi giê
ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê . TÝnh vËn tèc mçi xe « t«
.
Hướng dẫn : Gọi vận tốc của ôtô thứ nhất là x (km/h. ĐK x > 0). Ta có :
Vận tốc của ô tô thứ hai là : x – 10 (km/h).
300 300
=1

Do ôtô thứ nhất đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1 giờ ta có phương trình :
x - 10
x
Giải ra ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60.
Đáp số : Vận tốc ôtô thứ nhất : 60 km/h
Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h
Bài 2 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h. Sau khi ®i ®ỵc 2/3 qu·ng ®êng víi
vËn tèc ®ã, v× ®êng khã ®i nªn ngêi l¸i xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km trªn qu·ng ®êng cßn
l¹i. Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®êng AB.
Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km. ĐK x > 0).
2x
x
x 1
+
=
+ .
Theo giả thiết của bài toán ta có phương trình :
3 . 50 3. 40 50 2
Giải ra ta được: x = 300 (tmđk).
Vậy quảng đường AB là : 300km.
Bài 3 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bĨ th× sau 4 giê 48 phót th× ®Çy. Nếu ch¶y cïng mét thêi gian
nh nhau th× lỵng níc cđa vßi II b»ng 2/3 lỵng níc cđa vßi I ch¶y ®ỵc. Hái mçi vßi ch¶y riªng th×
sau bao l©u ®Çy bĨ.
Híng dÉn : Gäi x, y lÇn lỵt lµ thêi gian vßi I, vßi II ch¶y mét m×nh ®Çy bĨ .
1 1 5
 x + y = 24
 y = 12

Theo bµi ra ta cã hƯ ph¬ng tr×nh : 
Gi¶i ra ta ®ỵc : 

(tm®k)
x = 8
1 = 3
 x 2y
§¸p sè : Vßi 1 ch¶y mét m×nh ®Çy bĨ 8 giê .
Vßi 2 giê ch¶y mét m×nh ®Çy bĨ mÊt 12 giê.
Bài 4 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Ịn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35
km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn sím h¬n 1 giê . TÝnh qu·ng
®êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu .
Híng dÉn : Gäi quảng đường AB là x (km), thời gian dự đònh là y(giờ) ĐK : x > 0, y > 0.



35( y + 2) = x
Theo bài ra ta có hệ pt : 
50(y - 1) = x
suy ra : 35y + 70 = 50y -50 ⇔ y = 8 (TMĐK)
Thay vào hệ ta được x = 350 (TMĐK).
Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km).
Thời gian dự đònh đi : 8 (giờ).
Bài 5 : Qu·ng ®êng AB dµi 180 km. Cïng mét lóc hai «t« khëi hµnh tõ A ®Ĩ ®Õn B. Do vËn tèc
cđa «t« thø nhÊt h¬n vËn tèc cđa «t« thø hai lµ 15 km/h nªn «t« thø nhÊt ®Õn sím h¬n «t« thø hai
2h. TÝnh vËn tèc cđa mçi «t«?
Hướng dẫn : Gäi x (km) lµ vËn tèc cđa «t« thø 2. §K x > 0.
180 180
−
=2
Theo gt bµi to¸n ta cã pt :
x
x + 15

Gi¶i ra ta ®ỵc : x = 30 ; x = -45(lo¹i).
§¸p sè : VËn tèc «t« thø hai : 30 (km/h)
VËn tèc «t« thø nh©t : 45 (km/h).
Bài 6 : Trong mét bi lao ®éng trång c©y, mét tỉ gåm 13 häc sinh (c¶ nam vµ n÷) ®· trång ®ỵc
tÊt c¶ 80 c©y. BiÕt r»ng sè c©y c¸c b¹n nam trång ®ỵc vµ sè c©y c¸c b¹n n÷ trång ®ỵc lµ b»ng
nhau ; mçi b¹n nam trång ®ỵc nhiỊu h¬n mçi b¹n n÷ 3 c©y. TÝnh sè häc sinh nam vµ sè häc sinh n÷
cđa tỉ.
Gi¶i : Gäi sè häc sinh nam lµ x (em) . §K : x nguyªn d¬ng, x ≤ 13.
40
40
−
= 3 ⇔ 3x2 – 119x + 520 = 0 ( ∆ = 89)
Theo gt bµi ra ta cã pt :
x 13 - x
119 + 89
Gi¶i ra ta ®ỵc : x =
(lo¹i) ; x = 5 (TM§K)
6
§¸p sè : Sè HS nam : 5 (em)
Sè HS n÷ : 8 em.
Bài 7 : Kho¶ng c¸ch gi÷a hai thµnh phè A vµ B lµ 180 km. Mét « t« ®i tõ A ®Õn B, nghØ 90 phót ë
B råi trë l¹i tõ B vỊ A. Thêi gian tõ lóc ®i ®Õn lóc trë vỊ lµ 10 giê. BiÕt vËn tèc lóc vỊ kÐm vËn tèc
lóc ®i lµ 5 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i cđa « t«.
Gi¶i : Gäi vËn tèc lóc ®i lµ x (km/h). §K : x > 5.
180 3 180
+ +
= 10 ⇔ 17x2 – 805x + 1800 = 0 ( ∆ = 725)
Theo gt bµi ra ta cã pt :
x
2 x -5

805 − 725
Gi¶i ra ta ®ỵc : x =
(lo¹i) ; x = 45 (TM§K).
34
§¸p sè : VËn tèc lóc ®i : 45 (km/h)
Bài 8 : Mét ca n« xu«i dßng tõ bÕn s«ng A ®Õn bÕn s«ng B c¸ch nhau 24 km, cïng lóc ®ã còng tõ
A mét bÌ nøa tr«i víi vËn tèc dßng níc 4 km/h. Khi ®Õn B ca n« quay l¹i ngay vµ gỈp bÌ nøa tr«i
t¹i mét ®Þa ®iĨm C c¸ch A lµ 8 km. TÝnh vËn tèc thùc cđa ca n«.
Gi¶i : Gäi vËn tèc thùc cđa can« lµ x (km/h). §K x > 4.
24
16
+
= 2 ⇔ 2x2 – 40x = 0
Theo gt bµi ra ta cã pt :
x+4 x-4
Gi¶i ra ta ®ỵc : x = 0 (lo¹i) ; x = 20.
§¸p sè : VËn tèc thùc cđa can« : 20 (km/h)
Bài 9 : Kho¶ng c¸ch gi÷a hai tØnh A vµ B lµ 108 km. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc ®i tõ A ®Õn
B, mçi giê xe thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n xe thø hai 6 km nªn ®Õn B tríc xe thø hai 12 phót. TÝnh vËn
tèc mçi xe.
Gi¶i : Gäi vËn tèc cđa xe thø hai lµ x (km/h). §K x > 0.



108 108 1

= x2 + 6x 3240 = 0 ( ' = 57 )
Theo gt bài ra ta có pt :
x
x+6 5

Giải ra ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54.
Đáp số : Vận tốc xe thứ nhất là : 60 (km/h)
Vận tốc xe thứ hai là : 54 (km/h)
Baứi 11 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải
điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản
phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là
nh nhau.
Giải : Gọi x là số công nhân lúc đầu ( công nhân). ĐK : x nguyên dơng, x > 3.
360 360

= 4 x2 3x 270 = 0 ( = 33 )
Theo gt bài ra ta có pt :
x 3
x
Giải ra ta đợc : x = -15 (loại) ; x =18.
Đáp số : Số công nhân lúc đầu : 18 ( công nhân)
Baứi 12 : Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót
vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ
2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình .
Giải : Gọi x, y, z (lít) theo thứ tự là thể tích của ba bình . ĐK : x,y, z > 0.

x + y + z = 120
x = 50

1


y = 40 (TMĐK)
Theo gt bài ra ta có hpt : x = z + y
2

z = 30

1

x
=
y
+
z

3
Đáp số : Bình thứ nhất có thể tích : 50 (lít)
Bình thứ hai có thể tích : 40 (lít)
Bình thứ ba có thể tích : 30 (lít)
Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau
2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp
nhau cách A bao nhiêu km
Giải : Gọi x (giờ) là thời gian đi từ A đến C. ĐK : x > 0.
Theo gt bài ra ta có pt : 10x + 14(x 2) = 56
1
Giải ra ta đợc : x = 3 (TMĐK).
2
Đáp số : Gặp nhau lúc : 10h15.
Cách A : 35 (km).
Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. Thời gian đi
xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi,
vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Giải : Gọi x (km) là quảng đờng AB. ĐK : x > 0.
x 2 x

+ =
Theo gt bài ra ta có pt :
.
30 3 24
Giải ra ta đợc : x = 80 (TMĐK)
Đáp số : Quảng đờng AB : 80 (km).
Baứi 15 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A
và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp.
Giải : Gọi x (km/h) là vận tốc ngời đi xe đạp. ĐK x > 0.



50 50
5

=
Theo gt bài ra ta có pt :
x 2,5x 2
Giải ra ta đợc : x = 12 (TMĐK)
Đáp số : Vận tốc ngời đi xe đạp : 12 (km/h).
Vận tốc ngời đi xe máy : 30(km/h).
Baứi 16 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng
nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi
có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?
Giải : Gọi x là số dãy ghế của phòng họp. ĐK x nguyên dơng.
360
+ 1) = 400 x2 39x 360 = 0 ( = 9 )
Theo gt bài ra ta có pt : (x + 1)(
x
Giải ra ta đợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMĐK).

Đáp số : Có thể xảy ra 2 khả năng.
+) KN 1 : Phòng họp có 24 dãy ghế và mỗi dãy có 15 ghế.
+) KN 2 : Phòng họp có 15 dãy ghế và mỗi dãy có 24 ghế.
Baứi 17 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ
và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó
trong mấy giời thì xong?
Giải : Gọi x, y (giờ) lần lợt là thời gian mỗi ngời làm một mình hoàn thành công việc.
ĐK x, y > 0.
1 1 1
x + y = 16
x = 24


Theo gt bài ra ta có hpt :
(TMĐK)
y = 48
3 + 6 = 1
x y 4
Đáp số : Ngời thứ nhất hoàn thành công việc trong : 24 giờ.
Ngời thứ hai hoàn thành công việc trong : 48 giờ.
Baứi 18 : Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng một lúc từ
cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều nhau thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng
chuyển động cùng chiều nhau thì cứ sau 10 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
Giải : Gọi x, y (m/s) lần lợt là vận tốc của hai vật. ĐK x > y > 0.
2x + 2y = 62,8
x = 18,84

Theo gt bài ra ta có hpt :
(TMĐK).
10x = 62.8 + 10y

y = 13
Đáp số : Vận tốc của hai vât lần lợt là : 18,84 (km/h) ; 13 (km/h).
Baứi 19 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất
mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm
Giải : Gọi x, y lần lợt là sản phẩm của tổ 1 và tổ 2 làm đợc trong tháng thứ nhất. ĐK : x, y nguyên dơng.
x + y = 800.
x = 300


Theo gt bài toán ta có hpt : 15x 20y
(TMĐK).
y = 500
100 + 100 = 145
Đáp số : Trong tháng 1 :
Tổ 1 sản xuất đợc 300 (sản phẩm).
Tổ 2 sản xuất đợc 500 (sản phẩm).
Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất
300 chi tiết máy trong một ngày. Nhng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản