Một số định hướng cho bài toán tính tích phân

NGUYỄN VĂN NHO
( GV Trường THPT Nghi Lộc 1, Nghệ An )
MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG CHO BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN
Bài toán tính tích phân luôn xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học và cao
đẳng , học sinh thường tỏ ra rất lung túng trong bước tìm lời giải , cho dù bài toán không khó lắm .
Bài viết , đưa ra một số định hướng cơ bản cho thể loại bài toán này để mong giúp các em tháo gỡ
một phần khó khăn ở trên .
Định hướng 1 : Hữu tỷ hoá cho bài toán tính tích phân .
Nếu gặp bài toán tính tích phân lương giác hoặc tích phân vô tỷ , thì có thể đổi biến đưa về tích
phân hữu tỷ .
Thí dụ 1 : Tính tích phân
2
x
I
dx ( Đề thi ĐH khối A năm 2004).
x 1
1 1
Giải : Đặt
t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt
x  1  t  0; x  2  t  1
Ta có :
1

1

1

t2 1
t3  t
2
2tdt  2

dt  2  (t 2  t  2 
)dt
1 t
1 t
t 1
0
0
0

I

1
1
I  2[ t 3  t 2  2t  2 ln | t  1| ]|10
3
2
11
I   4ln 2
3
Thí dụ 2 : Tính tích phân

6

tan 4 x
dx ( Đề thi ĐH khối A năm 2008).
cos 2 x
0

I


6

tan 2 x
dx
2
2
(1

tan
x
)
c
os
x
0
Và đặt t= tanx , chuyển về, tính tích phân hữu tỷ
Hướng dẫn : ta biến đổi đưa về I  
1
3

t4
0 1  t 2 dt , tính tích phân này ta được đáp số
1
10
I  ln(2  2) 
2
9 3
Định hướng 2 : Lượng giác hoá cho bài toán tính tích phân
Nếu gặp bài toán tính tích phân hữu tỷ hoặc tích phân vô tỷ để làm mất mẫu hay mất căn , ta

có thể sử dụng phương pháp lượng giác hoá .
Thí dụ 3 : Tính tích phân
I

1 2

K



dx

( x  1)  x 2  2 x  3
Giải : Ta biến đổi :
2


1 2

K

dx



2

( x  1)  x  2 x  3

2

1 2




2

dx
( x  1) 4  ( x  1) 2



x 1 '
) dx
2
2 x  1
x 1 2
(
) 1 (
)
2
2
x 1
 

Đặt
 sint (t  [ ; ]) . Với x  2  t 
2
2 2

6

Với x  1  2  t  , Khi đó
4

1

2

(

1 2




tan
1 4 cos t
14 1
1
t 4 1
8
K 
dt  
dt  ln | tan ||  ln
2  sin t cos t
2  sin t
2
2 6 2 tan 
6

6
12
Định hướng 3: Từng phần hoá cho bài toán tính tích phân
Khi gặp bài toán tính tích phân hỗn tạp ( Có hai dạng hàm số trở lên) thì có thể nghĩ đế
phương pháp tích phân từng phần .
Thí dụ 4 : Tính tích phân sau :
3
3  ln x
H 
dx ( Đề thi ĐH khối B năm 2009).
(
x  1)2
1
Giải : Đặt
dx
1
1
u  3  ln x, dv 
 du  dx, v  
2
( x  1)
x
x 1
3

H 

3

3

3  ln x 3
dx
3  ln 3 3
dx
dx
|1  

  
x 1
x( x  1)
4
2 1 x 1 x 1
1

3  ln 3
1
27
 ln | x ||13  ln | x  1||13  (3  ln )
4
4
16
Trên đây , Tác giả đưa ra ba định hướng cần thiết cho bài toán tính tích phân trong các kỳ thi
tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng. Các em phải luyện tập nhiều thì mới thành thạo
được, chúc các em thành công .
Bài tập tự luyện :
Tính các tích phân sau :


2 3

1) I1 


5

dx
x x2  4

1
ln 3
2

2) I 2 


0

( Đề thi ĐH khối A năm 2003).

dx
e  e x
x


2

3) I3   (1  x cos x)e x dx
0

1

4) I 4   e x ln(1  e x )dx
0

4

5) I5  
0
2

6) I 6  
1

xsinxdx
cos 3 x
(4  x 2 )3 dx
x4