Đề số3 (KD) THPT lương tài 2 bắc ninh

SỞ GD&ĐT BẮC NINH 
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI 2 

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011( lần 1) 
Môn; Toán ; Khối: D 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Ngày thi: 21/ 10/ 2011 

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 
Câu I ( 2 điểm) 
x + 2 
Cho hàm số  y =
(C ) 
x - 3 
1)  Khảo sát và  vẽ đồ thị (C). 
2)  Tìm trên đồ thị ( C) điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng 
1 
bằng  khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang. 
5 
Câu II ( 2 điểm) 
1)  Giải phương trình : 2sin 3  x - cos 2 x + cos x = 0 
2)  Giải bất phương trình:  x 2 - x - 2 + 3 x £ 5 x 2  - 4 x - 6 
Câu III ( 1 điểm) 
1 

Tính  I = ò x ln(1 + x 2 ) dx
0 

Câu IV ( 1 điểm) 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông 
góc mặt đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối 

chóp S.AHK theo a. 
Câu V ( 1 điểm) 
æ
1 öæ
1 ö
Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= ç x2 + 2 ÷ ç y 2 + 2 ÷ . 
y øè
x ø
è
PHẦN RIÊNG ( 3 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( Phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a ( 2 điểm) 
1)  Cho tam giác ABC có B(3; 5), đường cao AH và trung tuyến CM lần lượt có phương trình 
d: 2x ­ 5y + 3 = 0 và d’: x + y ­ 5  = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AC. 
2) Cho mặt cầu (S) :  ( x - 3) 2 + ( y + 2) 2 + ( z - 1) 2  = 100  và mặt phẳng  (a ) : 2 x - 2 y - z + 9 = 0 
Chứng minh rằng (S) và  (a ) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính 
của đường tròn (T) . 
Câu VII.a ( 1 điểm) 
Tìm số phức z, nếu  z 2  + z = 0 . 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI .b ( 2 điểm) 
1)  Cho đường tròn ( C)  x 2 + y 2  - 2 x - 4 y - 4 = 0 và điểm A (­2; 3) các tiếp tuyến qua A của ( C) 

tiếp xúc với ( C) tại M, N .Tính diện tích tam giác AMN. 
ì x  =  4 + t 
x - 2 y - 1  z - 1 
ï
2)  Cho hai đường thẳng d: 
=

=
và d’: í y  = 2 - t 
1 
- 1 
2 
ï z  = t 
î

Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’. 
x 2  - 3 x + 2 
Câu VII.b ( 1 điểm)  Cho hàm số  y = 
(C). Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm mà từ đó 
x
kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị ( C). 
Cảm ơn từ  

gửi tới www.laisac.page.tl


PNTHITHIHCKHIDNM2011
(ỏpỏngm7trang)

Cõu

ý

Nidung

1)

1im

im

CõuI
2

1/Tpxỏcnh: D = R \ {3}.

0,25

2/Sbinthiờn
-5
< 0
( x -3)2
Hmsluụnnghchbintrờncỏckhong ( -Ơ;3) và (3; +Ơ)
bưCctr:Hmskhụngcúcctr
x+ 2
x+ 2
cưGiihn:lim- (
) = -Ơ lim+ (
) = +Ơ ị Hmscútim
xđ3 x -3
xđ3 x - 3
cnngx=3
x+ 2
lim (
) = 1ị Hmscútimcnngang y =1
xđƠ x -3

0,25

aưChiubinthiờn:Tacú y' =

dưBngbinthiờn:
x

ư Ơ

0,25

3

+ Ơ
y
y1

ư

ư
+ Ơ
ư Ơ

3/th:
thnhnI(3 1 )lmtõmixng
Giaovitrc:Oxti(ư 2;0 ),viOy (0

1

y

0,25

-2
)
3
1
ư2 0

3

x

1im
2)

+)Gingtimcnng,timcnnganglnltld1,d2
ổ x+ 2ử
M ẻ(C )nờn M ỗ x
ữ
ố x - 3ứ

0,25


+) Ta có  d ( M , d1 ) = x - 3  ,  d ( M , d 2 ) =

+)Theo bài ra ta có  x - 3 =

x + 2

5 
- 1  =
x -3
x - 3 

é x = 4 
1 5 
Û ( x - 3)2  = 1 Û ê
5 x - 3 
ë x = 2 

Vậy có 2 điểm thỏa mãn  M 1 (4;6), M 2 (2; - 4) 

0,25 

0,25 

0,25 

1 điểm 

Câu II 
1) 
2 đ 

+)pt  Û 2sin 3 x - (1 - 2sin 2  x) + cos x = 0 
Û 2 sin 2  x (1 + s inx) - (1 - cos x ) = 0 

0,25 

Û (1 - cos x ) [ 2(1 + cos x )(1 + s inx) - 1] = 0 
Û (1 - cos x ) [ 2(s inx + cos x ) + 2 sin x cos x + 1] = 0 

é1 - cos x = 0 (1) 
Ûê
ë 2(s inx + cos x) + 2sin x cos x + 1 = 0 (2) 
Giải (1) ta được  x = 2 kp (k ΠZ ) 
Giải (2) : 
p
Đặt  t = s inx + cos x = 2 sin( x + ) , t Î éë - 2; 2 ùû 
4 
ét  = 0 
Ta được phương trình  t 2  + 2t = 0  Û ê
ë t = -2 (loai) 
Với t = 0  Û x =

-p
+ kp (k ΠZ ) 
4 

0,25 

0,25 

0,25 

-p
+ k p ( k ΠZ ) 
4 
1 điểm 

Vậy phương trình có nghiệm:  x = 2 kp x =
2) 

ì x 2  - x - 2 ³ 0 
ï
Điều kiện  í x ³ 0
Û x ³ 2 
ï5 x 2  - 4 x - 6 ³ 0 
î 

0,25 

Bình phương hai vế ta được  6 x ( x + 1)( x - 2) £ 4 x 2  - 12 x - 4 

0,25 

Û 3 x ( x + 1)( x - 2) £ 2 x ( x - 2) - 2( x + 1) 

0,25 

Û3

Đặt  t =

x( x - 2)
x( x - 2) 
£2
- 2 
x +1

x + 1 
x( x - 2) 
³ 0  ta được bpt  2t 2  - 3t - 2 ³ 0 
x + 1 

0,25


é -1 
t £
Ûê
2  Û t ³ 2 ( do t ³ 0 ) 
ê
ë t ³ 2 

Với  t ³ 2 Û

0,25 

x ( x - 2) 
³ 2 Û x 2  - 6 x - 4 ³ 0 
x + 1 

é x £ 3 - 13 
Ûê
Û x ³ 3 + 13  ( do  x ³ 2 )  Vậy bpt có nghiệm  x ³ 3 +  13 
êë x ³ 3 + 13 
Câu III 

1 điểm 

1 đ 

Đặt  u = ln(1 + x 2 ) Þ du  =

2 xdx 
1 + x 2 

0,25 

x 2
dv = xdx Þ v = 
2 

x2
x 3 
1 
Do đó  I = ln(1 + x 2 ) - ò 
dx = ln 2 - I 1 
2 
2
1+ x
2 
0 
0 

0,25 

Tính I1: 

0,25 

1 

1 

1

1

1 

1 

x
1
1 2 x 
1 1
1 1 
Ta có I1  = ò ( x )dx = x - ò 
dx = - ln 1 + x 2  = - ln 2 
2
2 
1+ x
2 0 2 0  1 + x
2 2
2 2 
0 
0

Vậy  I = ln 2 - 

0,25 

1 
2 

Câu V1 

1 điểm 

1 đ 

+) Theo bài ra ta có  SH ^ ( AHK ) 

S 

0,25 
H 

BC ^ SA, BC ^ AB Þ BC ^ (SAB ) Þ BC ^  AK

a 

Và  AK ^ SC nên 
AK ^ (SBC ) Þ AK ^ KH và SB ^  AK

K 

2a 

A 

C 

a 
B 

+) Áp dụng định lý Pitago và hệ thức trong tam giác vuông 

0,25


tacú AK =

1
a 2
SB =
,
2
2

AH =

2a
a 3
a
ị KH =
,SH =
5

10
5

1
a2 6
AK .HK =
(dvdt )
2
4 10

0,25

+)Tacú S AHK =

1
a3 3
S AHK.SH =
(dvtt )
2
60

0,25

+)VyVS .AHK =

Chỳý:cúthtớnhtheocụngthctsthtớch.
CõuV
(1d)

1im

+)TheoBTCụsitacú 0
+)Tacú P = 2 + (xy)2 +
ị P/ = 1-

0,25

1
1ự
ổ
ị t = (xy)2 ẻ ỗ 0;
ỳ
4
ố 16ỷ

0,25

1
1
= t + +2
2
(xy)
t

1 t2 - 1
1ự
ổ
= 2 < 0, "t ẻ ỗ 0;
2

ỳ
t
t
ố 16ỷ

+) Bảng biến thiên :

-

P

289
16

P

+) Tbbttacú min P =

CõuVI.a

1)

0,25

1
16

0

t

0,25

289
1
1
ti t =
x = y =
16
16
2

1im

2
A

+)Gi D = d ầd 'nờntacaDlnghimcah
22
ỡ
d
x=
ù
ỡ 2 x - 5 y+ 3 = 0 ù
22 13
7
ớ
ị D( )
ớ
7 7

ợ x + y- 5 = 0
ù y = 13
ùợ
7

0,25

D

C

B
E

d1

d

+)Goid1 lngthngquaBvsongsongvidnờnphngtrỡnhd 1 l:
x+y 8=0.

0,25


Gọi  E = d Ç d1  nên  E (

33 19 
; ) .Vì d’ là đường trung tuyến qua C nên D là trung 
7 7 

điểm AE suy ra  A (1;1) 
+) Ta có cạnh BC ^ c với d nên  phương trình cạnh BC là 5x + 2y – 25 = 0 
uuur  -38 47 
-35 50
Suy ra  C = ( BC ) Ç d ' Þ C (
; ) Þ AC (
; ) 
3 3
3 3 
ì x = 1 - 38 t 
+) Vậy phương trình cạnh AC là  í
î y = 1 + 47 t
2) 

0,25 

0,25 

1 điểm 
+)  Mặt cầu (S) có tâm I(3;­2;1) và bán kính r = 10 . 
2.3 - 2(-2) - 1 + 9 
Ta có :  h = d ( I , (a )) =
= 6 
4 + 4 + 1 

0,25 

Vậy  d ( I , (a )) < r nên (S) cắt  (a ) theo giao tuyến  là đường tròn (T) . 
+)  Gọi J là tâm của (T) thì J là hình chiếu của I lên  (a ) . 
0,25 

Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với  (a ) . Lúc đó (d) có vectơ 
r r 
chỉphương là  a = n = (2; -2; -1) . Phương trình tham số của (d) là : 
ì x = 3 + 2 t 
ï
( d ) : í y = -2 - 2t (t Î ¡ ) 
ï z = 1 - t
î
0,25 
ì x = 3 + 2 t 
ï y = -2 - 2 t 
ï
+) Ta có  J = d Ç (a )  Xét hệ:  í
Giải hệ này ta được : J(­1;2;3) 
ï z = 1 - t 
ïî 2 x - 2 y - z + 9 = 0 
. 

+)  Gọi r’ là bán kính của (T) , ta có  :  r ¢ = r 2 - h 2  = 100 - 36 = 8 

0,25 

Vậy  : J(­1;2;3) và r’= 8 
Câu VII.a 

1 điểm 
+) Đặt z = x + yi, khi đó  z 2 + z = 0 Û ( x + yi )2 + x 2 + y 2  = 0 

+)

ïì x 2 - y 2 + x 2 + y 2  = 0 
Û x 2 - y 2 + x 2 + y 2  + 2 xyi  = 0 Û í
ïî 2xy = 0 

(

)

0,25 

0,25


+) Û

é ïì x  = 0 
ê í 2 
ê îï - y + y = 0
Û
ê
ê ìï y = 0
ê í x 2  + x  = 0 
ë îï

é ïì x  = 0 
êí
ê îï y (1 - y ) = 0 
Û
ê

ê ìï y  = 0 
ê í x (1 + x ) = 0 
ë ïî

é ì x  = 0 
êï
ê í é y  = 0 
ê ï ê y  = 1 
Û
êî ë
ê ì x = 0   (do  x  + 1 > 0) 
ê ïí
ê ïî y = 0 
ë 

0,25 
é é x = 0, y  = 0 
êê
êê x = 0, y  = 1 
êêë x = 0, y  = -1 
ê
ëê y = 0, x  = 0 

+)Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i. 
Câu VI.b 

1) 

0,25 

1 điểm 

2 đ 

0,25 

+) Ta có (C ) có Tâm I(1; 2) bán kính R = 3 
Và dễ  thấy có một tiếp tuyến vuông góc với Ox và qua A là d: x= ­2 
+)Gọi d’ là dường thẳng qua A ( ­2; 3) có hệ số góc là k ta có d’ :y = k(x + 2) + 
3 
d’ là tiếp tuyến của ( C ) ód( I, d’ ) = R ó 
Þ d ' : y =

3k + 1 
k 2  + 1 

= 3 Û k  =

4 
3 

4
17 
x + 
3
3 

+ ta có tiếp điểm của d và (C ) là M(­2; 0), của d’ và (C ) là  N (

+ Ta có AM = 3,  d ( N , d ) = -2 +

2) 

0,25 

- 7 57 
; ) 
5 5 

7 3 
1
9 
=  .Vậy  S AMN  = AM .d ( N , d ) =  (dvdt ) 
5 5 
2
10 

0,25 

0,25 

1 điểm 

r 
+) Ta có vtcp của d  u (1; -1; 2) và M(2;1;1)  Î d 

0,25 

r 
uuuur 

vtcp của d’  u '(1; -1;1) và N (4;2;0)  Î d'  =>  MN (2;1; -1) 
r ur uuuur 
+) Ta có  éëu , u 'ùû .MN = 3 ¹ 0  vậy d và d’ chéo nhau. 

0,25 

+) ta có  A Î d Þ A(2 + k ;1 - k ;1 + 2k ) ,  B Î d ' Þ B(4 + t ; 2 - t ; t ) 

0,25

uuur r
uuur 
ìï AB.u = 0 
Þ AB (2 + t - k ;1 - t - k ; -1 + t - 2 k ) AB là đoạn vuông góc chung ó  í uuur ur 
ïî AB.u ' = 0 


uuur
ỡ 4t - 6k - 1 = 0
ỡt = -2
3 2
+) ớ
ớ
ị AB (1,51,5 0) Vyd(d,d)=AB=
2
ợ3t - 4k = 0
ợk = -1,5

0,25

r ur uuuur
ộu, u ' ự .MN
3
ở
ỷ
Chỳý:cúthtớnhtheocỏch d (d , d')=
=
r ur
2
ộu , u 'ự
ở
ỷ
CõuII.b

1im

1

+) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng x=1, d là đường thẳng đi qua M có hệ số
góc là k. d có phương trình là : y= k(x-1)+m ( với M(1,m) )
Để d là tiếp tuyến của C thì hệ sau có ngiệm.

0,25

ỡ x 2 - 3 x+ 2
= k ( x - 1) + m(1)
ùù
x
ớ
x2 - 2

ù
= k(2)
ùợ
x
x 2 - 3 x + 2 ổ x2 - 2ử
= ỗ 2 ữ ( x - 1)+ m
x
ố x ứ
x( x 2 - 3 x + 2) = ( x 2 - 2)( x - 1)+mx 2

+) Thay (2) vào (1) ta có

0,25

g ( x, m ) = (2 + m) x 2 - 4 x + 2 = 0 (3)

+)Để từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C thì phương trình (3) có đúng 2 ngiệm
phân biệt
D ' = 4 - 2(2 + m) > 0
ỡ
ớ
ợ(2 + m) g ( x, m) = (2 + m)(2) ạ 0

0,25

ỡ -2m> 0
ỡ m < 0
Do đó ị ớ
(*)
ớ

ợ 2 + m ạ 0
ợm ạ -2
+) Vậy trên đường thẳng x=1 .Tập hợp các điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (m<0) bỏ
đi điểm (1,-2) thì từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C
Chỳý:Cỏccỏchgiikhỏcỳngvnchoimtiatheotngý
Giỏoviờnravlmỏpỏn

0,25