Chuyên đề hình học phẳng ( luyện thi đại học, cao đẳng)

Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy

LI M U
1. Lí do chọn đề tài
Trang bị những tri thức, phơng pháp và phát triển t duy, trí tuệ cho học sinh là mục
tiêu đợc đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán. Trong chơng trình
Hình học 10 các bài toán liên quan đến tọa độ và phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Oxy là phần rất quan trọng. Phần tọa độ trong mặt phẳng đóng vai trò cực kì quan
trong trong toán học và cũng là phần không thể thiếu trong các đề thi Đại học trong
những năm học gần đây. Học sinh đợc làm quen với các bài tập về tọa độ và đờng
thẳng trong Đại số từ khi học THCS, lên THPT các em lại gặp lại trong môn Đại số
10 và hình học 10, nhng các em vẫn hay gặp khó khăn khi cho rằng đây là toán hình
học. Để học sinh thấy đợc cách nhất quán của dạng toán tìm đỉnh và cạnh của tam
giác tôi muốn làm nổi bật yếu tố giải tích trong việc giải quyết bài tập hình học.
Trong quá trình dạy học tôi luôn tìm tòi các ví dụ điển hình tổng hợp thành các phơng pháp giải cụ thể cho học sinh, đồng thời hớng dẫn học sinh biết nhận dạng bài
toán và phát triển thành các bài toán mới. Đây cũng là vấn đề có thể phát triển đ ợc t
duy toán học cho học sinh.
Dới đây tôi xin trao đổi với quý đồng nghiệp và các em học sinh một chuyên đề
nhỏ trình bày vấn đề nhỏ về phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng: Tìm một số yếu tố
của tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Nội dung đề tài gồm 3 phần:
Phần 1: Lí thuyết về điểm đờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Phần 2: Điểm đờng thẳng đặc biệt trong tam giác.
Phần 3: Bài tập tổng hợp.
2. Mục đích nghiên cứu
Một vấn đề trong Hình học 10 mà học sinh thấy khó khăn khi gặp phải. Giúp học
sinh định hớng đợc bài toán tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy khi
giải bài tập.

2

Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy

Bồi dỡng cho học sinh phơng pháp, kĩ năng giải toán hình học giải tích trong mặt
phẳng. Qua đó nhằm nâng cao khả năng t duy logic, tạo hứng thú học tập cho học
sinh.
3. Đối tợng nghiên cứu
Các kiến thức về tọa độ điểm, đờng thẳng đặc biệt của tam giác và phơng trình đờng thẳng. Nhằm tìm lời giải cho mỗi bài toán về phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
cụ thể.
4. Giới hạn của đề tài
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy học sinh khối 10 của trờng THPT Hồng Thái tôi
thấy các em hay gặp khó khăn khi làm bài tập về tìm điểm và phơng trình đờng thẳng
trong tam giác. Nên tôi tập trung vào việc: giúp học sinh tìm điểm đờng thẳng trong
tam giác khi biết một số dữ kiện đặc biệt, áp dụng giảng dạy trong các tiết học tự
chọn bám sát cho học sinh lớp 10 tôi dạy.
5. Nhiệm vụ của đề tài.
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn Hình học 10 phần phơng pháp tọa độ trong
mặt phẳng: giải đợc bài toán tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng tọa độ
Oxy .
6. Phơng pháp nghiên cứu
6.1 Về lí luận:
Phỏt trin t duy khoa hc v tng cng cỏc em ý thc, nng lc vn dng
mt cỏch thụng minh nhng iu ó hc.
Đổi mới trong phơng pháp dạy học hiện nay coi trọng việc: lấy học trò làm
trung tâm ngời thầy chỉ đóng vai trò là ngời giúp các em đi đúng hớng, giúp các
em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo.
6.2

Về thực tiễn
Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện

vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên. Toán học là môn khoa học suy diễn trừu tợng

3


Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy

nên là giáo viên Toán với tôi đây cũng là dịp để tôi học tập, nghiên cứu, trau dồi để
rút ra những kinh nghiệm cho riêng mình. Để mỗi tiết học toán trôi qua học sinh
hình thành những kiến thức mới và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất,
thông minh nhất trong việc học toán. Các em thấy yêu thích môn toán hơn, hứng
thú học tập hơn.

NI DUNG
Phn 1: L THUYT V IM V NG THNG TRONG MT PHNG
1. VẫC T C TRNG CA NG THNG
1.1 Vộct u (u1 , u 2 ) l vộct ch phng (VTCP) ca ( ) ( ) // giỏ ca u
1.2 Vộct n(a, b) l vộct phỏp tuyn (VTCP) ca ( ) ( ) // giỏ ca n
1.3 Nhn xột: ng thng ( ) cú vụ s vộct ch phng v vụ s vộct phỏp
tuyn ng thi u n
2. PHNG TRèNH NG THNG
2.1 Phng trỡnh tham s: ng thng ( ) i qua im M 0 ( x0 , y0 ) v cú VTCP
x = x0 + u1t
tR

phng
trỡnh
tham
s
dng:

u (u1 , u 2 )

y
=
y
+
u
t

0
2
2.2

2.3

Nhn xột: VTCP u (u1 , u 2 ) VTPT n(u 2 ,u1 )
Phng trỡnh chớnh tc: ng thng ( ) i qua im M 0 ( x0 , y0 ) v cú VTCP
x x0 y y 0
=
.
u (u1 , u 2 ) phng trỡnh chớnh tc dng:
u1
u2
Phng trỡnh tng quỏt: ng thng ( ) i qua im M 0 ( x0 , y0 ) v cú VTPT
n(a, b) phng trỡnh tng quỏt dng:
a( x x0 ) + b( y y0 ) = 0 ax + by + c = 0 .

2.4
2.5

2.6
2.7

Nhn xột:VTPT n(a, b) VTCP u (b,a) .
Phng trỡnh h s gúc: Phng trỡnh ng thng vi h s gúc a: phng
trỡnh dng y = ax + b .
Phng trỡnh ng thng qua 2 im M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y 2 ) : Phng trỡnh
x x1
y y1
=
dng
.
x2 x1 y 2 y1
x y
Phng trỡnh dng on chn qua A(a;0), B(0; b) dng: + = 1 .
a b
Phng trỡnh chựm ng thng: Cho 2 ng thng ct nhau:

4


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

(∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0 , (∆ 2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0 với I = (∆1 ) ∩ (∆ 2 ) thì đường
thẳng (∆ ) qua I là p (a1 x + b1 y + c1 ) + q (a2 x + b2 y + c2 ) = 0 với p 2 + q 2 > 0
3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
 x = x1 + a1t
t∈R
3.1 Dạng tham số: (∆1 ) đi qua M 1 ( x1 , y1 ) : 
 y = y1 + b1t

 x = x2 + a2t '
(∆ 2 ) đi qua M 2 ( x2 , y2 ) : 
t '∈ R
 y = y2 + b2t '
- Nếu u1 (a1 , b1 ) ≠ k u2 (a2 , b2 ) ⇔ a1b2 − a2b1 ≠ 0 thì (∆1 ) ∩ (∆ 2 ) tại I.
- Nếu u1 (a1 , b1 ) = k u2 ( a2 , b2 ) và M 1 ∉ (∆ 2 ) thì (∆1 ) //( ∆ 2 )
- Nếu u1 (a1 , b1 ) = k u2 ( a2 , b2 ) và M 1 ∈ (∆ 2 ) thì (∆1 ) ≡ (∆ 2 )
3.2 Dạng tổng quát: (∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0 và (∆ 2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0
 a1 x + b1 y + c1 = 0
Xét hệ: 
a2 x + b2 y + c2 = 0
- Nếu hệ có 1 nghiệm ( x0 , y0 ) thì (∆1 ) ∩ (∆ 2 ) = I ( x0 , y0 ) .
- Nếu hệ vô nghiệm thì (∆1 ) //( ∆ 2 ) .
- Nếu hệ có nghiệm với mọi x hoặc mọi y thì (∆1 ) ≡ ( ∆ 2 ) .
4. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
4.1 Dạng hệ số góc: Cho (∆1 ) : y = a1 x + b1; (∆ 2 ) : y = a2 x + b2

[

]

Góc giữa ( ∆1 , ∆ 2 ) = α ∈ 00 ;900 với a1a2 ≠ −1: tan α =
4.2

a1 − a2
1 + a1a2

với a1a2 = −1: α = 900 ⇔ (∆1 ) ⊥ (∆ 2 )
Dạng tổng quát: Cho 2 đường thẳng:
(∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0 VTPT n1 (a1 ; b1 )

(∆ 2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0 VTPT n2 ( a2 ; b2 )
cos α =

n1.n2
n1 . n2

=

a1.a2 + b1.b2
a12 + b12 . a22 + b22

.

5. KHOẢNG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
5.1

Khoảng cách từ M 0 ( x0 , y0 ) đến (∆ ) : ax + by + c = 0 là d ( M 0 ∆ ) =

5.2

Cho

ax0 + by0 + c
a2 + b2

(∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0
cắt nhau thì phương trình 2 đường phân giác:
(∆ 2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0
a1 x + b1 y + c1
a x+b y +c

=± 2 22 2 2
2
2
a1 + b1
a2 + b2

5


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

Dấu hiệu
a1a2 + b1b2 > 0
a1a2 + b1b2 < 0

Phân giác góc nhọn
a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2
=
2
2
a1 + b1
a22 + b22
a1 x + b1 y + c1
a2 x + b2 y + c2
=
−
a12 + b12
a22 + b22

Phân giác góc tù

a1 x + b1 y + c1
a2 x + b2 y + c2
=
−
a12 + b12
a22 + b22
a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2
=
a12 + b12
a22 + b22

Phần 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC
Loại 1: Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương
trình của 2 đường có cùng tính chất.
Dạng 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 đường cao xuất
phát từ 2 đỉnh còn lại.
Cách giải:
* Viết phương trình AB, AC.
* Tìm toạ độ của B,C.
* Viết phương trình BC.
Bài tập 1.1: Cho ∆ABC biết A(-1;-3) và phương trình 2 đường cao BH: 5 x + 3 y − 25 = 0
, CK: 3 x + 8 y − 12 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Vì AB ⊥ CK nên AB có phương trình 8 x − 3 y + c = 0
A∈ AB ⇔ c = −1 : Phương trình AB có dạng: 8 x − 3 y − 1 = 0 .
Vì AC ⊥ BH nên AC có phương trình 3 x − 5 y + m = 0
A∈ AC ⇔ m = −12 : Phương trình AC có dạng: 3 x − 5 y − 12 = 0 .
 8x − 3 y − 1 = 0
⇒ B( 2;5)
B = AB ∩ BH ⇒ Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 

5 x + 3 y − 25 = 0
3 x − 5 y − 12 = 0
⇒ C ( 4;0)
C = AC ∩ CK ⇒ Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 
3
x
+
8
y
−
12
=
0

x−2 y−4
=
⇔ 5 x + 2 y − 20 = 0 .
Phương trình cạnh BC:
4−2 0−4
Bài tập tương tự
Bài tập 1.2: Cho tam giác ABC với phương trình cạnh BC: x-y +2=0, hai đường cao
BH:2x-7y-6=0, CH: 7x-2y-1=0.Viết phương trình hai cạnh còn lại và đừơng cao thứ
ba .
Bài tập 1.3. Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : 5x-3y+2=0 và phương
trình các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là : 4x-3y +1=0 , 7x+2y -22 =0
Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba.

6

Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

Bài tập 1.4: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(-4;-5) và hai đường
cao có phương trình : 5x+3y – 4=0 , 3x +8y +13=0
Bài tập 1.5: Cho tam giác ABC với đỉnh A(1;1) .Các đường cao hạ từ B và C lần
lượt nằm trên các đường thẳng : -2x +y -8 = 0; 2x +3y-6=0
Hãy viết phương trình đường thẳng chứa đường cao hạ từ A và xác đònh toạ độ các
đỉnh B,C. (ĐHSP HN 2000)
Bài tập 1.6: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1;0) và 2 đường thẳng lần
lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình : x − 2 y + 1 = 0 và 3 x + y − 1 = 0 .
Tính diện tích tam giác ABC.
Dạng 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 trung tuyến
xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.
Cách giải:
Cách 1.
* Kiểm tra A khơng thuộc (d1), (d2).(nếu giả thiết chưa cho cụ thể)
* Tìm toạ độ trọng tâm.
* Tìm toạ độ B, C.
* Viết phương trình các cạnh.
Cách 2.
* Kiểm tra A khơng thuộc (d1), (d2).(nếu giả thiết chưa cho cụ thể)
* Tìm toạ độ trọng tâm G.
* Tìm toạ độ A0 là điểm đối xứng với A qua G.
* Viết phương trình đường thẳng (d3) qua A0 và song song với (d1),
Viết phương trình đường thẳng (d4) qua A0 và song song với (d2).
* Tìm B, C.
* Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Bài tập 2.1: Cho ∆ABC biết A(1;3) và phương trình 2 đường trung tuyến BM:
x − 2 y + 1 = 0 , CN: y − 1 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:

Gọi G là trọng tâm G = BM ∩ CN ⇔ Tọa độ G là nghiệm của hệ:
x − 2 y + 1 = 0
⇒ G (1;1) .
A

y
−
1
=
0

2
N
M
Gọi I là trung điểm của BC thì AG = AI ⇒ I (1;0)
3
 x = 2t − 1
B
C
⇒ B(2t − 1; t )
BM: x − 2 y + 1 = 0 ⇒ 
y
=
t

x = t '
⇒ C (t ' ;1)
CN: y − 1 = 0 ⇒ 
 y =1

7


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

 2t − 1 + t '
=1

t = −1 ⇒ B (−3;−1)
2
⇔
Vì I là trung điểm của BC nên:  t + 1
 t ' = 5 ⇒ C (5;1)

=0
 2
x −1
y −3
=
⇔ x− y+2=0
Phương trình AB:
− 3 −1 −1 − 3
x −1 y − 3
=
⇔ x + 2y − 7 = 0
Phương trình AC:
5 −1 1− 3
x + 3 y +1
=
⇔ x − 4 y −1 = 0 .

Phương trình BC:
5 + 3 1+1
Bài tập tương tự:
Bài tập 2.2: Viết phương trình các cạnh của một tam giác biết đỉnh A(4,3) ,hai trung
tuyến có phương trình x+y -5= 0 ,2x-y -1 =0.
Bài tập 2.3: Cho ∆ABC biết A(1;1) các trung tuyến hạ từ B và C lần lượt có phương
trình : 2 x − y + 8 = 0 , CN: 2 x + 3 y − 6 = 0 .
a. Viết phương trình trung tuyến xuất phát từ A.
b. Xác định tọa độ B, C..
Bài tập 2.4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; −1) và phương trình
hai đường trung tuyến BB1 : 8x − y − 3 = 0,CC1 :14x − 13y − 9 = 0 . Viết phương trình các cạnh
của tam giác.
Dạng 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 phân giác trong
xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.
Cách giải:
Cách giải.
* Tìm toạ độ các điểm A1,A2 lần lượt đối xứng với A qua (d1), (d2).
* Viết phương trình A1A2 và tìm toạ độ của B, C.
* Viết phương trình AB, AC.
Bài tập 3.1: Cho ∆ABC biết A(2;-1) và phương trình 2 đường phân giác trong của góc
B: x − 2 y + 1 = 0 , góc C: x + y + 3 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Gọi A1 , A2 lần lượt đối xứng với A qua CN và BM
AA1 ⊥ CN : phương trình dạng x − y + c = 0
AA1 qua A(2;-1) nên ⇒ c = −3 : AA1: x − y − 3 = 0
x − y − 3 = 0  x = 0
I = AA1 ∩ CN ⇒ 
⇒
⇒ I (0;−3)
x
+

y
+
3
=
0
y
=
−
3



A
N

B
⇒
A
(
−
2;−5)A1
1
A1 đối xứng với A qua CN nên I là trung điểm của AA1
AA2 ⊥ BM : phương trình dạng 2 x + y + m = 0
AA2 qua A(2;-1) nên ⇒ m = −3 : AA2: 2 x + y − 3 = 0

I

M
K

C
A2

8


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

2 x + y − 3 = 0  x = 1
K = AA2 ∩ BM ⇒ 
⇒
⇒ K (1;1)
 x − 2 y +1 = 0 y = 1

A2 đối xứng với A qua BM nên K là trung điểm của AA2 ⇒ A2 (0;3) .
x+2 y+5
=
⇔ 4x − y + 3 = 0 .
Đường thẳng BC qua A1A2 nên phương trình dạng:
0+ 2 3+5
4 x − y + 3 = 0  x = − 5 7
5 1
⇒
⇒ B (− ; )
B = BC ∩ BM ⇒ 
7 7
 x − 2 y +1 = 0  y = 1 7
19 8 1
Đường thẳng AB có VTCP AB = (− ; ) = (−19;8) ⇒ VTPT n AB = (8;19)
7 7 7

Phương trình dạng: 8( x − 2) + 19( y + 1) = 0 ⇔ 8 x + 19 y + 3 = 0
4 x − y + 3 = 0  x = − 6 5
6 9
⇒
⇒ C ( − ;− )
C = BC ∩ CN ⇒ 
5 5
 x+ y+3= 0
y = − 9 5
16 − 4 − 4
(4;1) ⇒ VTPT n AC = (1;−4)
Đường thẳng AC có VTCP AC = (− ; ) =
5 5
5
Phương trình dạng: 1( x − 2) − 4( y + 1) = 0 ⇔ x − 4 y − 6 = 0 .
Bài tập tương tự:
Bài tập 3.2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; −1) và phương trình
hai đường phân giác BB2 : x − 1 = 0,CC2 : x − y − 1 = 0 .
a. Tính tọa độ các điểm B, C.
b. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Loại 2:Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương
trình của 2 đường có tính chất khác nhau.
Dạng 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh B và 1 đường cao
AH và 1 phân giác trong góc C.
Cách giải:
* Lập phương trình BC..
C
* Tìm C giao của BC và phân giác.
* Tìm B’ đối xứng với B qua phân giác góc C.
* Lập phương trình AC qua B’ và C.

* Tìm A giao của AC và AH.
H
* Lập phương trình AB.
B’
I
B

D
D

A

9


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

Bài tập 4.1: Cho ∆ABC biết B(2;-1) và đường cao AH 3 x − 4 y + 27 = 0 và phân giác
trong CD: x + 2 y − 5 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Vì BC ⊥ AH nên phương trình BC có dạng: 4 x + 3 y + c = 0
BC qua B(2;-1) nên c = −5 . Phương trình BC: 4 x + 3 y − 5 = 0 .
 4 x + 3 y − 5 = 0  x = −1
⇒
⇒ C ( −1;3)
C = BC ∩ CD nên tọa độ C là nghiệm của hệ: 
x
+
2
y

−
5
=
0
y
=
3


Gọi B’ đối xứng với B qua CD nên BB' ⊥ CD . Phương trình BB’ có dạng: 2 x − y + m = 0
BB’ qua B(2;-1) nên m = −5 . Phương trình BB’ dạng: 2 x − y − 5 = 0 .
2 x − y − 5 = 0  x = 3
⇒
⇒ I (3;1)
I = BB'∩CD nên tọa độ I là nghiệm của hệ: 
x
+
2
y
−
5
=
0
y
=
1


B
'

(
4
;
3
)
I là trung điểm của BB’ nên
Đường thẳng AC qua C và B’ có VPCP CB '(5;0) ⇒ VTPT n AC (0;5) .
Phương trình AC dạng: 0( x + 1) + 5( y − 3) = 0 ⇔ y − 3 = 0 .
 y −3= 0
 x = −5
⇒
⇒ A( −5;3)
A = AC ∩ AH nên tọa độ A là nghiệm của hệ: 
3
x
−
4
y
+
27
=
0
y
=
3


x +5 y −3
=
⇔ 4x + 7 y −1 = 0

Phương trình AB dạng:
2 + 5 −1− 3
Bài tập tương tự:
Bài tập 4.2 (ĐH KTHN 98) Cho tam giác ABC có đỉnh A(−1;3) , đường cao BH nằm
trên đường thẳng y = x , phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng x + 3 y + 2 = 0 .
Viết phương trình cạnh BC.
Bài tập 4.3: Cho tam giác ABC có B(1;5) và phương trình đường cao AH:
x + 2 y − 2 = 0 , đường phân giác CD: x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các điểm A, C.
Dạng 5:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và
trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.
Cách giải:
* Kiểm tra điểm A không thuộc 2 đường đã cho.
* Lập phương trình cạnh AC ( vuông góc với đường cao)
* Tìm tọa độ C.
* B thuộc BH ( tham số hóa B) tìm trung điểm M của AB theo tham số.
* Vì M thuộc CM nên tìm được tham số đó. Tìm được B.
* Lập phương trình AB,BC.
Bài tập 5.1: Cho ∆ABC biết A(2;-7) và đường cao BH 3 x + y + 11 = 0 và trung tuyến
CM : x + 2 y + 7 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác. A
Giải:
H
Vì AC ⊥ BH : 3x + y + 11 = 0 và AC qua A nên
M

C

B

10

Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

phương trình AC dạng: 1( x − 2) − 3( y + 7) = 0
⇔ x − 3 y − 23 = 0
C = AC ∩ CM nên tọa độ C là nghiệm của hệ:
 x − 3 y − 23 = 0
⇒ C (5;−6)

 x + 2y + 7 = 0
 x=t
BH : 3x + y + 11 = 0 ⇔ 
t∈R
 y = −3t − 11
B ∈ BH ⇒ B (t ;−3t − 11) .
t + 2 − 3t − 18
;
)
Trung điểm M của AB: M (
2
2
t + 2  − 3t − 18 
M ∈ CM ⇒
+ 2
 + 7 = 0 ⇒ t = −4 ⇒ B( −4;1)
2
2


x+4

y −1
=
⇔ 4 x + 3 y + 13 = 0 .
Phương trình đường thẳng AB:
2 + 4 − 7 −1
x+4
y −1
=
⇔ 7 x + 9 y + 19 = 0 .
Phương trình đường thẳng BC:
5 + 4 − 6 −1
Bài tập tương tự
Bài tập 5.2: Cho tam giác ABC có B(-4;0) , đường cao kẻ từ A: − 4 x + 3 y + 2 = 0 và
đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C có phương trình : 4 x + y + 3 = 0 .
a. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
b. Tính diện tích tam giác.
Bài tập 5.3: Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1) đường cao qua B: x − 3 y − 7 = 0 và trung
tuyến qua C: x + y + 1 = 0 . Xác định tọa độ B và C của tam giác.
Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC có đỉnh A(13) đường cao qua B: y − 1 = 0 và trung
tuyến qua C: x − 2 y + 1 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC có C(4;-1) , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ
đỉnh A có phương trình tương ứng là : (d1) : 2x-3y +12=0 , (d2) : 2x+3y =0
Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Dạng 6:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 trung tuyến và 1
phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.
Cách giải:
* Kiểm tra điểm A khơng thuộc 2 đường đã cho.
* Tìm K đối xứng với A qua phân giác.
* C thuộc CK (tham số hóa C), tìm trung điểm M của AC theo tham số
* Vì M thuộc BM nên tìm được tham số đó. Tìm được C.

* Lập phương trìnhAC, BC.

11


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

* Tìm B lập phương trình AB.
Bài tập 6.1:Cho ∆ABC biết A(1;2), đường trung tuyến BM : 2 x + y + 1 = 0 và phân giác
trong CD: x + y − 1 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Điểm C ∈ CD : x + y − 1 = 0 ⇒ C (t ;1 − t )
A
t +1 3 − t
;
)
Trung điểm M của AC: M (
2
2
D
M
I
t +1 3 − t
M ∈ BM ⇒ 2.
+
+ 1 = 0 ⇒ t = −7 ⇒ C (−7;8)
2
2
B
Lấy K đối xứng với A qua CD nên AK ⊥ CD

K
mà AK qua A ⇒ phương trình AK:
1( x − 1) − 1( y − 2) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0
x − y + 1 = 0
⇒ I (0;1)
I = AK ∩ CD nên: 
x + y − 1 = 0
I là trung điểm của AK nên K(-1;0).
x +1 y
= ⇔ 4x + 3y + 4 = 0
Đường thẳng BC qua K, C dạng:
− 7 +1 8
x −1 y − 2
=
⇔ 3x + 4 y − 11 = 0
Đường thẳng AC:
− 7 −1 8 − 2
 2x + y +1 = 0
1
⇒ B( ;−2)
B = BM ∩ BC nên: 
2
4 x + 3 y + 4 = 0
x −1
y−2
=
⇔ 8x − y − 6 = 0
Đường thẳng AB:
1 2 −1 − 2 − 2
Bài tập tương tự:

Bài tập 6.2: Cho tam giác ABC có A(4;-1) và phương trình trung tuyến BB 1:
8 x − y − 3 = 0 , phân giác trong CC1: x − y − 1 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam
giác.
Bài tập 6.3: Cho ∆ABC biết C(4;3), Phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một
đỉnh của tam giác có phương trình: x + 2 y − 5 = 0 , 4 x + 13 y − 10 = 0 .Viết phương trình
các cạnh của tam giác.
Loại 3 Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một số điểm đặc biệt
nào đó của tam giác.
Dạng 7: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và
tọa độ trọng tâm.
Cách giải:

12

C


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

* Tìm được 1 đỉnh của tam giác A
* Tham số hóa đỉnh B và C.
* G là trọng tâm nên tìm được B và C
* Viết phương trình BC.

A

G
C

B

M

Bài tập 7.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm G (4;3) và
AB : 4 x + y + 15 = 0 , AC : 2 x + 5 y + 3 = 0 .
Giải:
4 x + y + 15 = 0
⇒ A(−4;1)
A = AB ∩ AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ: 
2
x
+
5
y
+
3
=
0

 x=t
B ∈ AB : 4 x + y + 15 = 0 ⇒ 
⇒ B(t ;−4t − 15)
y
=
−
4
t
−
15


 x = −4 + 5t '
C ∈ AC : 2 x + 5 y + 3 = 0 ⇒ 
⇒ C (−4 + 5t ' ;1 − 2t ' )
 y = 1 − 2t '
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
x A + xB + xC
25

 t + 5t '−8

=4
t=−
 xG =


3
3
3
⇔
⇒

y + y B + yC
− 4t − 2t '−13
17
 yG = A

= 3  t' =
3
3
3




25 55
73 31
98 86 2
⇒ B(− ; ), C ( ;− ) ⇒ BC ( ;− ) = (49;−43) ⇒ VTPT nBC ( 43;49)
3 3
3
3
3
3
3
Đường thẳng BC qua M(8;4) và có VTPT nBC ( 43;49) :
Phương trình dạng: 43( x − 8) + 49( y − 4) = 0 ⇔ 43 x + 49 y − 540 = 0
Bài tập tương tự
Bài tập 7.2: Cho tam giác ABC biết trọng tâm G ( −2;−1) và AB : 4 x + y + 15 = 0 ,
AC : 2 x + 5 y + 3 = 0 .
a. Tìm tọa độ A và trung điểm M của BC
b. Tìm B và viết phương trình BC
Bài tập 7.3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G (−2;0) . Biết
phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự : 4 x + y + 14 = 0 , 2 x + 5 y − 2 = 0 . Tìm tọa độ
các đỉnh của tam giác.
Dạng 8: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khiAbiết 2 cạnh và
tọa độ trực tâm.
Cách giải:
A
H
* Viết phương trình đường thẳng BH, tìm B
B

C
13


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

* Viết phương trình đường thẳng CH, tìm C.
* Viết phương trình BC.

Bài tập 8.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trực tâm H (1;1) và
AB : 5 x − 2 y + 6 = 0 , AC : 4 x + 7 y − 21 = 0 .
Giải:
Đường thẳng BH ⊥ AC nên phương trình BH: 7 x − 4 y + c = 0
BH qua H(1;1) ⇒ c = −3 . Phương trình BH dạng: 7 x − 4 y − 3 = 0
5 x − 2 y + 6 = 0
19
⇒ B( −5;− )
B = AB ∩ BH nên tọa độ B là nghiệm của hệ : 
2
7 x − 4 y − 3 = 0
Đường thẳng CH ⊥ AB nên phương trình CH: 2 x + 5 y + m = 0
CH qua H(1;1) ⇒ c = −7 . Phương trình CH dạng: 2 x + 5 y − 7 = 0
4 x + 7 y − 21 = 0
28 7
⇒ C ( ;− )
C = AC ∩ CH nên tọa độ C là nghiệm của hệ : 
3 3
 2x + 5 y − 7 = 0
43 43 43

⇒ BC ( ; ) = (2;1) ⇒ VTPT nBC (1;−2)
3 6
6
19
Đường thẳng BC qua B (−5;− ) và có VTPT nBC (1;−2) nên phương trình dạng:
2
19
1( x + 5) − 2( y + ) = 0 ⇔ x − 2 y − 14 = 0 .
2
Bài tập tương tự:
Bài tập 8.2: Cho phương trình hai cạnh của tam giác ABC là : x + 3 y − 4 = 0 ,
3 x + 4 y − 10 = 0 và tọa độ trực tâm H(3;-1). Viết phương trình đường thẳng cạnh còn lại.
Dạng 9: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và
tọa độ trung điểm cạnh còn lại
Cách giải:
* B thuộc AB ( tham số hóa B)
* C thuộc AC ( tham số hóa C)
* M là trung điểm của BC
* Viết phương trình BC.
Bài tập 9.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là
M (−2;2) và AB : x − 2 y − 2 = 0 , AC : 3 x + y − 4 = 0 .
Giải:
B ∈ AB : x − 2 y − 2 = 0 nên B (2b + 2; b)
C ∈ AC : 3x + y − 4 = 0 nên C (c;4 − 3c)

14


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

2b + 2 + c

x
=
M

2
Vì M là trung điểm của BC nên 
b + 4 − 3c
 yM =

2
18

 2b + 2 + c
b=−
= −2
2
b
+
c
=
−
6



7
⇔
⇔

Theo bài ra M (−2;2) nên:  b + 24 − 3c
6
 b − 3c = 0

c =−
=2

2
7

22 18
8 32 8
⇒ B (− ;− ) ⇒ BM ( ; ) = (1;4) ⇒ VTPT nBC (4;−1)
7
7
7 7
7
Đường thẳng BC qua M(-2;2) và có VTPT nBC (4;−1) có phương trình :
4( x + 2) − 1( y − 2) = 0 ⇔ 4 x − y + 10 = 0
Dạng 10: Cho biết tọa độ 2 điểm của tam giác. Tìm tọa độ đỉnh còn lại thuộc 1 đường
thẳng sao cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
Cách giải:
* Tham số hóa tọa độ đỉnh đã cho.
* Cho thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Bài tập 10.1: Cho tam giác ABC biết A(-1;3), B(1;1) và ∆ : 2 x − y = 0
a. Tìm C thuộc ∆ sao cho tam giác ABC cân ở C.
b. Tìm C thuộc ∆ sao cho tam giác ABC vuông ở A.
Giải:
a/ C ∈ ∆ : 2 x − y = 0 ⇒ C (t ;2t ) , ⇒ AC = (t + 1) 2 + (2t − 3) 2
⇒ BC = (t − 1) 2 + (2t − 1) 2

Để ∆ABC cân ở C ⇔ AC 2 = BC 2 ⇔ (t + 1) 2 + (2t − 3) 2 = (t − 1) 2 + ( 2t − 1) 2 ⇔ t = 2
⇒ C ( 2;4) .
b/ C ∈ ∆ : 2 x − y = 0 ⇒ C (t ;2t ) .
Ta có : AB = ( 2;−2); AC (t + 1;2t − 3)
Để ∆ABC vuông ở A ⇔ AB. AC = 0 ⇔ 2(t + 1) − 2(2t − 3) = 0
⇔ −t + 4 = 0 ⇔ t = 4 ⇒ C ( 4;8)
Bài tập tương tự
Bài tập 10.2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;2) và các đường thẳng
d1 : x + y − 2 = 0 và d 2 : x + y − 8 = 0 . Tìm tọa độ B, C lần lượt thuộc d1 , d 2 sao cho tam
giác ABC vuông cân tại A.
Dạng 11: Cho 1 đỉnh của tam giác, 2 đỉnh còn lại thuộc 2 đường thẳng khác. Tìm 2
đỉnh (đường thẳng) thỏa mãn điều kiện cho trước.
Cách giải:
* Tham số hóa tọa độ 2 đỉnh thuộc 2 đường thẳng.

15


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

* Cho 2 điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài.
( hoặc sử dụng phương pháp khác tùy vào bài toán)
Bài tập 11.1:Cho d1 : 2 x − 3 y + 1 = 0 ; d 2 : 4 x + y − 5 = 0 và điểm A là giao của d1, d2.
Tìm B ∈ d1 và C ∈ d 2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;5)
Giải:
 x = 1 + 3b
B ∈ d1 : 2 x − 3 y + 1 = 0 ⇔ 
(b ∈ R ) ⇒ B(1 + 3b;1 + 2b)
 y = 1 + 2b
C ∈ d 2 : 4 x + y − 5 = 0 ⇒ C (c;5 − 4c)

2 x − 3 y + 1 = 0
x = 1
A = d1 ∩ d 2 ⇔ 
⇔
⇒ A(1;1)
 4x + y − 5 = 0
y =1
x A + xB + xC

 3b + c + 2
x
=
=3
G


3
3
⇔
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: 
y + y B + yC
2b − 4c + 7
 yG = A

=5
3
3


18

61 43

b
=
⇒
B
(
; )

7
7 7

5
5 55
c = − ⇒ C (− ; )
7
7 7

Bài tập 11.2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;−2) . Viết phương trình đường
thẳng d qua M (3;1) cắt trục Ox, Oy tại B và C sao cho ∆ABC cân tại A.
Giải:
Gọi B (a;0) = d ∩ Ox, C (0; b) = d ∩ Oy . Phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn:
x y
+ = 1, bc ≠ 0
a b
3 1
M ∈ d ⇒ + = 1 (*) .
a b
∆ABC cân tại A ⇔ AB 2 = AC 2 ⇔ (a − 2) 2 + 4 = 4 + (b + 2) 2
 a−2=b+2

a = b + 4
⇔
⇔
 a − 2 = −b − 2
 a = −b
x y

d
:
1
b
=
2
,
a
=
6
 6 + 2 = 1 ⇔ x + 3y − 6 = 0

2
⇒
Với a = b + 4 thay vào (*) ⇔ b = 4 ⇔ 
x y
b
=
−
2
,
a
=

2

 d2 : − = 1 ⇔ x − y − 2 = 0

2 2
Với a = −b thay vào (*) ⇔ b = −2 ⇒ a = 2 (loại) Vì trùng với d 2 .
Bài tập tương tự
Bài tập 11.2: Cho d1 : x + y + 5 = 0 ; d 2 : x + 2 y − 7 = 0 và điểm A(2;3). Tìm B ∈ d1 và
C ∈ d 2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0).

16


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP.
Bài tập 1:Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A(0;2) và B (− 3;−1) . Tìm tọa độ trực tâm
và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. (ĐH-A2004)
Giải:
Cách 1: (Viết phương trình 2 trong 3 đường cao và tìm giao điểm)
+ Đường thẳng qua O(0;0) và vuông góc với AB có VTPT BA( 3;3) có phương trình:
3x + 3 y = 0
Đường thẳng qua B (− 3;−1) và vuông góc với OA có VTPT OA(0;2) có phương trình:
y = −1 .
 3x + 3 y = 0
⇒ H ( 3;−1) .
Trực tâm H là nghiệm của hệ: 
y
=
−

1

+ (Viết phương trình 2 trong 3 đường trung trực và tìm giao điểm)
Đường trung trực cạnh OA có phương trình y = 1 , Đường trung trực cạnh OB có
phương trình 3x + y + 2 = 0 .
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB nghiệm của hệ:
 3x + 3 y + 2 = 0
⇒ I (− 3;1) .

y
=
1

Cách 2:
+ Gọi trực tâm H ( x; y ) của tam giác ABO thì:
 AH .OB = 0
 3x + y − 2 = 0
x = 3
⇔
⇔
⇒ H ( 3;−1)

y
+
1
=
0
y
=
−

1
BH
.
OA
=
0



+ Gọi I (a; b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB thì IA = IB = IO hay
IA2 = IB 2 = IO 2
a = − 3
 a 2 + b 2 = a 2 + (b − 2) 2
 − 4a + 4 = 0
⇔ 2
⇔
⇔
⇒ I (− 3;1)


2
2
2
2
3
a
+
6
=
0

a
+
b
=
(
a
+
3
)
+
(
b
+
1
)
b
=
1



Bài tập 2:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB=AC và góc BAC=90 0 biết
2
M (1;−1) là trung điểm cạnh BC và G ( ;0) trọng tâm của tam giác. Tìm tọa độ đỉnh A, B,
3
C.(ĐH-B2003)
Giải:
Vì G là trọng tâm ∆ABC và M là trung điểm BC nên:
C
MA = 3MG = (−1;3) ⇒ A(0;2)

Phương trình BC qua M(1;-1) và vuông góc với MA = (−1;3)
là − 1( x − 1) + 3( y + 1) = 0

M
G
A

B
17


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

− x + 3y + 4 = 0
Mà ∆ABC vuông cân tại A nên MA = MB = MC = 10
⇒ tọa độ B, C thỏa mãn phương trình đường tròn : ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 10 .
 − x + 3y + 4 = 0
 y =0⇒ x =4
⇔
Tọa độ B, C là nghiệm của hệ sau: 
2
2
 y = −2 ⇒ x = −2

( x − 1) + ( y + 1) = 10
Vậy tọa độ B, C là (4;0), (−2;−2) .
Bài tập 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác biết đỉnh A(2;1) trực tâm H(-6;-3) và
trung điểm cạnh BC là D(2;2).
Giải:
Đường thẳng BC qua D(2;2) và có VTPT HA(8;4) = 4(2;1) .

Phương trình BC dạng: 2( x − 2) + 1( y − 2) = 0 ⇔ 2 x + y − 6 = 0 .
Giả sử B(x;y) thì C(4-x;4-y) (Do D(2;2) là trung điểm của BC.)
AB ( x − 2; y − 1), CH ( x − 10; y − 7) . Vì AB ⊥ CH nên AB.CH = 0
5 x 2 − 20 x + 15 = 0
( x − 2)( x − 10) + ( y − 1)( y − 7) = 0
 x = 1, y = 4
⇔
⇔
⇔
2x + y − 6 = 0
y = 6 − 2x

 x = 3, y = 0

B(1;4) ⇒ C (3;0) hoặc B(3;0) ⇒ C (1;4)
nên phương trình AC và AB dạng: 3 x + y − 7 = 0; x + y − 3 = 0
3
Bài tập 4:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích S = , hai đỉnh
2
A(3;−2), B (2;−3) . Trọng tâm tam giác nằm trên đường thẳng 3 x − y − 8 = 0 . Tìm tọa độ
đỉnh C.
Giải:
C
Vì G ∈ đường thẳng : 3 x − y − 8 = 0 nên G (t ;3t − 8)
Phương trình đường thẳng AB: x − y − 5 = 0 và AB = 2
G
2S
3
⇒ chiều cao h =
=

B
AB
2
A
1
Khoảng cách từ G tới AB bằng h .
3
t − 3t + 8 − 5
1 3
=
Theo công thức khoảng cách ta có d (G; AB ) = .
3 2
2
 2t − 3 = 1
t = 2 ⇒ G1 (2;−2)
⇔ 2t − 3 = 1 ⇔ 
⇔
.
t
=
1
⇒
G
(
1
;
−
5
)
2

t
−
3
=
−
1

2

 x = 3.2 − 3 − 2
 xc = 3xG − x A − xB
 x =1
⇒ c
⇒ c
⇒ C (1;−1)
Với G1 (2;−2) thì ⇒ 
y
=
3
y
−
y
−
y
y
=
3
.(
−
2

)
+
2
+
3
y
=
−
1
 c
G
A
B
 c
 c

18


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

Với G1 (1;−5) thì
 x = 3.1 − 3 − 2
 x = 3xG − x A − xB
 x = −2
⇒ c
⇒ c
⇒ c
⇒ C (−2;−10)
y

=
3
.(
−
5
)
+
2
+
3
y
=
−
10
 y c = 3 yG − y A − y B
c

c

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn: C (1;−1), C (−2;−10) .
Bài tập 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1 : x + y − 2 = 0
và d 2 : x + y − 8 = 0 . Tìm tọa độ B, C lần lượt thuộc d1 , d 2 sao cho tam giác ABC vuông
cân tại A. (ĐH- B2007).
Giải:
Vì B ∈ d1 , C ∈ d 2 nên B (b;2 − b), C (c;8 − c)
 AB. AC = 0
 (b − 2)(c − 2) + (−b)(6 − c) = 0
⇔
Để ∆ABC vuông cân ở A thì 
2

2
2
2
(b − 2) + b = (c − 2) + (6 − c)
 AB = AC
 bc − 4b − c + 2 = 0
 (b − 1)(c − 4) = 2
⇔ 2
⇔

2
2
2
b − 2b = c − 8c + 18 (b − 1) − (c − 4) = 3
Đặt b − 1 = x; c − 4 = y ta được:
 x = −2, y = 1 b = −1, c = 3
 xy = 2
⇔
⇔
 2

2
x − y = 3
 b = 3, c = 5
 x = 2, y = 1
Vậy B(-1;3), C(3;5) hoặc B(3;-1), C(5;3).
Bài tập 6: Trong mặt phẳng Oxy xác định tọa dộ đỉnh C của tam giác ABC biết hình
chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1,-1), đường phân giác trong
của góc A có phương trình : x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình
4 x + 3 y − 1 = 0 . (ĐH – B2008)

Giải: Gọi
d1 : x − y + 2 = 0
d2 : 4 x + 3 y − 1 = 0
Vì d1 là phân giác trong của góc A nên đường thẳng l qua
H và vuông góc với d1 cắt AC tại điểm H’ đối xứng với H
qua d1. Gọi I là giao điểm của l và d1, I là trung điểm của
HH’. Phương trình đường thẳng l : y + 1 = −( x + 1)
Tọa
độ
điểm
I
là
nghiệm
của
hệ
:
 x− y+2=0
⇔ I (−2;0)

y
+
1
=
−
(
x
+
1
)


a − 1 = 2 x1 = −4
'
Gọi tọa độ của H’(a;b) thì
 ⇒ H ( −3;1)
b − 1 = 2 y1 = 0 

19


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

Đường thẳng AC qua H’(-3;1) và ⊥ d2: 4 x + 3 y − 1 = 0 nên AC có hệ số góc bằng k =

3
4

3
3
13
nên có phương trình là: y − 1 = ( x + 3) ⇔ y = x +
4
4
4
 x − y + 2 = 0
⇔ A(5;7)
1
suy ra tọa độ của điểm A: 
y
=
(

3
x
+
13
)

4
CH qua H(-1;-1) có VPPT là HA(6;8) = 2.(3;4) .
Phương trình CH dạng: 3( x + 1) + 4( y + 1) = 0 ⇔ 3x + 4 y + 7 = 0
3 x − 4 y + 13 = 0
10 3
⇒ C (− ; )
C = AC ∩ CH nên tọa độ C là nghiệm của hệ: 
3 4
 3x + 4 y + 7 = 0
Bài tập 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và có đỉnh
A(−1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 . Xác định tọa độc các
điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18 (ĐH-B2009)
Giải :
Gọi đường cao là AH
A
−1− 4 − 4
9
=
Ta được: AH = d ( A, ∆) =
2
2
2S ∆ABC 36 2
=
=4 2

BC =
AH
9
∆
2
B
H C
BC
97
AB= AC= AH 2 +
=
4
2
Hai điểm B(x; y), C(x; y) cùng thỏa mãn hệ sau:
97

11 3
3 5
( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 =

2 ⇔ ... ⇔ ( x; y ) = ( ; ) hoặc (x; y)= ( ;− )
2 2
2 2

x− y−4=0
11 3
3 5
3 5
11 3
Vậy B ( ; ), C ( ;− ) hoặc B ( ;− ), C ( ; ) .

2 2
2 2
2 2
2 2
Bài tập 8: Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, biết C ( 4;3) , ác đường phân giác
trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình x + 2 y − 5 = 0 ,
4 x + 13 y − 10 = 0 .
Giải:
A
Gọi C’ đối xứng với C qua phân giác AD: x + 2 y − 5 = 0
Khi đó C '∈ AB
H = AD ∩ CC ' thì H (5 − 2t ; t ) ⇒ CH (1 − 2t ; t − 3)
C’
H
VTCP của AD là u AD = ( 2;−1)
C
B
D M

20


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

Vì AD ⊥ CH ⇒ CH .u AD = 0
⇔ 2(1 − 2t ) − 1(t − 3) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (3;1) .
 xC ' = 2 x H − xC
 x =2
⇔  C'
⇒ C ' ( 2;−1).

H là trung điểm của CC’ nên 
y
=
2
y
−
y
y
=
−
1
H
C
 C'
 C'
A = AD ∩ AM (AM là trung tuyến từ A, M trung điểm BC) nên tọa độ A là nghiệm của
 x + 2y − 5 = 0
 x=9
⇔
⇒ A(9;−2) .
hệ: 
4 x + 3 y − 10 = 0
 y = −2
x−9 y +2
=
⇔ x + 7y + 5 = 0
Phương trình AB qua A(9;-2) và C’(2;-1) nên:
2 − 9 −1+ 2
B ∈ AB : x + 7 y + 5 = 0 ⇒ B (−7b − 5; b)
− 13m + 10

M ∈ AM : 4 x + 13 y − 10 = 0 ⇒ M (
; m)
4
M là trung điểm của BC nên:
− 13m + 10

− 14b + 13m = 12
 b =1
− 7b − 5 + 4 = 2.
⇔
⇔

4
 b − 2m = −3
m = 2

b + 3 = 2m
Vậy: B (−12;1) .
Bài tập 9: Cho tam giác ABC có cả 3 góc nhọn. Viết phương trình đường thẳng chứa
cạnh AC của tam giác, biết tọa độ chân đường cao hạ từ A, B, C tương ứng là: A1 (−1;−2)
, B1 (2;2) , C1 (−1;2)
A
Giải:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì:
B1
Từ tính chất của tứ giác nội tiếp, ta chứng minh được
C1
H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A1B1C1.
H
Đường thẳng A1B1 có phương trình : 4 x − 3 y − 2 = 0

B
Đường thẳng B1C1 có phương trình : y − 2 = 0
A1
Khi đó phương trình cặp đường phân giác góc A1B1C1:
 x − 2 y + 2 = 0 ( ∆1 )
4x − 3y − 2
= ±( y − 2) ⇔ 
5
2 x + y − 6 = 0 ( ∆ 2 )
− 1 − 2(−2) + 2 = 5 > 0
Thay tọa độ của A1, C1 vào phương trình của (∆1 ) ta được: 
 − 1 − 2.2 + 2 = −3 < 0
⇒ A1 ,C1 nằm về 2 phía khác nhau của (∆1 ) ⇒ (∆1 ) là phân giác trong của góc A1B1C1.
Nên BB1 là đường thẳng (∆1 ) ⇒ AC là phân giác ngoài của góc A1B1C1.
Vậy AC có phương trình là (∆ 2 ) : 2 x + y − 6 = 0 .
( Tương tự các đường phân giác ngoài của góc B1A1C1, A1C1B1 tương ứng là các đường
thẳng BC, AB của tam giác ABC).

21

C


Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy

Kết luận
- Vi mc ớch t hc v nõng cao trỡnh , nõng cao cht lng ging dy cho hc
sinh trong trng ph thụng, ng thi cung cp ti liu tham kho cho hc sinh lp 10.
Đề tài tôi đã nêu đợc phơng pháp chung cho mỗi dạng cũng nh minh họa bằng các bài
toán cụ thể, đồng thời cũng đa ra cho mỗi dạng một số bài tập tơng tự để vận dụng.

- Đề tài đã đợc tôi áp dụng giảng dạy trong giờ học tự chọn bám sát tại lớp 10A10,
10A12 trờng THPT Hồng Thái và thu đợc kết quả tôi xin trình bày trang sau.
- Tuy vậy, trong quá trình viết, do thời gian và kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên không
tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận đợc sự góp ý của Hội
đồng khoa học nhà trờng THPT Hồng Thái Đan Phợng Hà Nội, Hội đồng khoa học
Sở GD & ĐT Hà Nội. Tôi xin chân thành cảm ơn.

KT QU THC NGHIM
1. Kt qu thu c
ti ó c tụi ỏp dng trong quỏ trỡnh ging dy t chn bỏm sỏt lp 10, c
hc sinh ng tỡnh v t c kt qu, nõng cao kh nng tỡm im v phng trỡnh
ng thng trong tam giỏc khi bit mt s yu t liờn quan.
Cỏc em hng thỳ hc tp hn, khi ó quy bi toỏn hỡnh hc v cỏc yu t gii tớch.
nhng lp ó c ging dy v phõn loi bi toỏn cỏc em bit nh hng khi gii
bi tp dng ny. Hc sinh vi mc hc trung bỡnh khỏ tr lờn ó cú k nng gii bi
tp. Hc sinh bit ỏp dng tng rừ rt. Kt qu thu c c th nh sau :
Lp 10A10
S s 50

Khụng hiu bikhụng lm c

Hiu bi-lm
c bi tp

G

Hc lc
K
TB

Y

22


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

Trước khi
thực hiện
đề tài
Sau khi
thực hiện
đề tài

71 %

29 %

5%

29%

53%

13%

24 %

76 %

10%

55%

28%

7%

Lớp 10A12
Sĩ số 46
Trước khi
thực hiện
đề tài
Sau khi
thực hiện
đề tài

Không hiểu bàikhông làm được
74 %

Hiểu bài-làm
được bài tập
26 %

G
4%

Học lực
K
TB

20% 58%

Y
18%

28 %

72 %

8%

53%

9%

30%

Như vậy sau khi chuyên đề được áp dụng tôi thấy các phương pháp có hiệu quả
tương đối. Theo tôi khi dạy phần tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
giáo viên cần đưa thêm các bài toán dạng tương tự để học sinh vận dụng và nắm được
bài tốt hơn.
2. Bài học kinh nghiệm
Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề, đồng thời tôi có lấy ý
kiến của học sinh cho thấy:
a. Đối với giáo viên
− Sau nghiên cứu và viết sáng kiến xong tôi đã nắm rõ về phương pháp tìm các yếu
tố của tam giác khi biết các yếu tố đặc biệt.
− Nắm chắc cơ sở lý luận về phương pháp dạy học sinh “tìm một số yếu tố của tam
giác trong mặt phẳng Oxy”
b. Đối với học sinh

− Học sinh hiểu rõ, có phương pháp và kĩ năng giải bài tập
− Rèn luyện khả năng phân tích, tìm tòi lời giải, nghiên cứu khai thác lời giải một
bài toán.
Như vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức của sách
giáo khoa mà cần chú ý phân loại các dạng toán, khái quát được cách giải cho mỗi dạng
tạo hứng thú học tập cho học sinh.

23


Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy

Mục lục
Lời mở đầu...................................................................................................2
1. Lí do chọn đề tài: ........................................................................................2
2. Mục đích nghiên cứu: ..................................................................................2
3. Đối tợng nghiên cứu:....................................................................................3
4. Giới hạn nghiên cứu: ...................................................................................3
5. Nhiệm vụ của đề tài: ....................................................................................3

24


Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy

6. Phơng pháp nghên cứu: ...............................................................................3
Nội dung .........................................................................................................4
Phần 1: Lí thuyết về điểm đờng thẳng trong mặt phẳng .................................4
1. Vec tơ đặc trng ............................................................................................4
2. Phơng trình đờng thẳng................................................................................4

3. Vị trí tơng đối của đờng thẳng.....................................................................5
4. Góc giữa hai đờng thẳng...............................................................................5
5 Khoảng cách và phơng trình đờng phân giác...............................................5
Phần 2: Điểm và đờng thẳng đặc biệt trong tam giác.....................................6
Loại 1:Biết tọa độ 1 điểm và phơng trình 2 đờng cùng tính chất .............6
Loại 2: Biết tọa độ 1 điểm và phơng trình 2 đờng khác tính chất.............9
Loại 3: Biết tọa độ 1 số điểm và đờng đặc biệt.........................................12
Phần 3: Bài tập tổng hợp..................................................................................17
Kết luận ..........................................................................................................22
Tài liệu tham khảo
1. Phơng pháp giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Lê Hồng Đức, Lê Hữu
Trí.
2. Tuyển tập 750 bài tập toán hình học Nguyễn Sinh Nguyên.
3. Bài toán Thiết lập phơng trình đờng thẳng Nguyễn Thanh Cảnh.
4. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào ĐH, CĐ toàn quốc (2002 2010) Trần Tuấn
Diệp Ngô Long Hậu Nguyễn Phú Trờng.
5. Các tài liệu trên internet: Violet, VNmath.com, ebook.here.vn.

25


Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

NhËn xÐt cña héi ®ång gi¸m kh¶o cÊp trêng:

................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................

................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................

26