Download tuyển tập các bài toán chọn lọc thì học sinh giỏi lớp 9, thi tuyển sinh vào THPT

Đề toán hay
1) Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn:
(a + b - c)3 + (b + c- a)3 + (c + a - b)3 = a3 + b3 + c3
Chứng minh rằng a = b = c.
Lời giải: Đặt a + b - c = x, b + c - a = y, c + a - c = z
b=

x+ y
y+z
x+z
;c=
;a=
2
2
2

8(x3 + y3 + z3) = (x + z)3 + (x + y)3 + (y + z)3
2(x3 + y3 + z3) = xz(x + z) + xy(x + y) + yz(y + z)
(x + y)(x - y)2 + (x + z)(x - z)2 + (y + z)(y - z)2 = 0
2) Cho A là số tự nhiên có ba chữ số, B là số viết ngợc lại các chữ số của A và
S là tổng các chữ số của A.
Tìm số A nếu A = 2B + S .
1)A = 100a+10b+c, 1 a, b, c 9
B = 100c + 10b + a
100a+10b+c = 200c + 20b + 2a + a +b +c
97a - 200c = 11b 97a - 200c chia hết cho 11 2(c+a) chia hết cho 11
c+a chi hết cho 11 c+a =11 (*)
Mặt khác 97a - 200c - 2b = 11b 2(a+b+c) chia hết cho 9 từ (*) b =7
97a - 200c =11.7 -(4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7
4c+a chia hết cho 7 4a+c = 7, 14, 21, 28, 35, 42 kết hợp (*)
c=8a=3

vậy số cần tìm là 378
Kiểm tra lại không thoả mãn vậy không tồn tại số nh vậy
3.Cho các số thực dơng a, b, c. Chứng minh:
b
a +b
2

2

c

+

b +c
2

2

a

+

c +a
2

2

3 2
2

hdẫn:
P=

b
a2 + b2

+

c
b2 + c2

+

c
c2 + a2

Chia cả tử và mẫu với mỗi số hạng a, b, c
P=

1
1+ x2

+

1
1+ y2

+

1

1+ z2

x, y, z nh nhau chứng minh
Từ (a+b)2 2(a2+b2)
chứng minh

2(

; ( x = a/b; y = b/c; z = a/z xyz = 1)

1
1+ x2
1
1+ x2

+

+

1
1+ y2
1
1+ y2



2
1 + xy

2(

với 0 < xy 1;

1
1
+
)
2
1+ x
1+ y2

2
1
1
2
1
1
+

+
)

2
2
2
2
1 + xy
1 + xy
1+ x
1+ y

1+ x
1+ y

qui đồng:
1


(2+x2+y2)(1+xy) 2(1+x2+y2+x2y2)
x2+y2 +2x2y2- (x2+y2)xy 2xy 0
(xy - 1)(x - y)2 0 dấu bằng khi x = y hoặc xy = 1
Từ 0 < xy 1 z 1 Q =
Q=

t
1+ t

2

+

2
1+ t



1

1+ z

2

+

2

1

do xyz =1 ; đặt t =
1 + xy
z

2t
2
2t 2 1 + t
+
+
=
; ( vì 1+t 2(1 + t 2 ) )
1+ t
1+ t
1+ t 1+ t

2
2t 2 1 + t 3 2 2t +
2 2(1 + t ) 3t + 3 bình phơng có (t - 1) 00,50
+

1+ t
1+ t
2

4.Cho ba số thực a, b, c thoả mãn:
1

1

1

a b c > 0 ; abc = 1 và a + b+ c > + +
a b c
Chứng minh a + b > ab + 1.
HD:
1
1
1
, a b c > 0 b và c
a
b
c
1 1 1
a + b + c + + mâu thuẫn
a b c

a1a

0,50

a>1

1

1
; b - 1 1 a
b
1
1
(a - 1)(b - 1) (1 )(1 )
a
b
1 1 1
ab - a - b + 1 1 - +
a b ab
1
1 1
-ab- +c
c
a b
1 1 1
+ + a + b + c mâu thuẫn
a b c

Nếu b 1 a - 1 > 1 -

b < 1 (a - 1)(b - 1) < 0 ab - a - b + 1 < 0
a + b > ab + 1

0,25

0,25
0,25
0,25

Bài 5
Cho biểu thức:
(a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 ) = 2005

Tính tổng a + b.
Bài 6
a) Phân tích đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc thành nhân tử ;
b) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức sau:
1
3

4 3 2 +3

Bài 7
Cho tam giác vuông ABC (A = 900), AD là phân giác của góc A (D
thuộc BC). Chứng minh:
2


AD AD
+
= 2
AB AC

Bµi 8
Chøng minh r»ng:
sin22030' =

1

2− 2
2
Híng dÉn

Bµi 5

(a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 )( a 2 + 2005 − a ) = 2005( a 2 + 2005 − a)
2005(b + b 2 + 2005 ) = 2005( a 2 + 2005 − a )
a + b = a 2 + 2005 − b 2 + 2005 (1)
(a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 )( b 2 + 2005 − b) = 2005( b 2 + 2005 − b)
2005(a + a 2 + 2005 ) = 2005( b 2 + 2005 − b)
a + b = b 2 + 2005 − a 2 + 2005 (2)

Céng (1) víi (2) a + b = 0

Bµi 6
1) Ph©n tÝch a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 - ab - bc- ca)
2) ¸p dông nh©n tö vµ mÉu sè víi
Tö sè 3 16 + 3 4 + 9 + 3 4 3 2 − 33 4 + 33 2
MÉu sè ( 3 16 + 3 4 + 9 + 3 4 3 2 − 33 4 + 33 2 )( 3 4 − 3 2 + 3)
= 4 - 2 +27 + 3 4 3 2 .3 =35
Bµi 7
Tõ D kÎ DM ⊥AB vµ DN⊥AC
Chøng minh tø gi¸c AMDN lµ h×nh vu«ng ⇒ DM = DN =

AD
2

dt(ABC) = dt(ABD) + dt(ADC)
AB. AC = (AB + AC)DM = (AB + AC)

Chia ca hai cho AB. AC (®pcm)

AD
2

Bµi 8
Dùng tam gi¸c vu«ng c©n ABC (A= 900), kÎ BD lµ ph©n gi¸c cña gãc B
AD
(*)
BD
AD AB
AB
1
=
=
=
TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c
DC BC AB 2
2
AD
1
⇒ DC + AD =
2 +1
0
'
∠ABD = 22030' ⇒ sin 22 30 =

AD
=
AB

1
2 +1

⇒ AD =

AB
2 +1

⇒ AB = AD( 2 + 1)

BD 2 = AB2+AD2 = AD2[( 2 +1)2 + 1] ⇒ BD = AD 4 + 2 2 thay vµo (*)
3


0
'
sin 22 30 =

AD
=
BD

1

=

4+2 2

Bài 9

Chứng minh rằng sin 18 0 =

1

=

2( 2 + 2 )

2 2
=
2.2

2 2
2

5 1
4
B

D

A

C

Dựng tam giác cân có góc đỉnh 360 (AB = AC), kẻ phân giác BD.
Tính chất đờng phân giác

CD BC
BC. AC

CD =
=
AD AB
BC + AB

Mặt khác ABC BCD
AB

AB BC
=
AB.CD = BC2
BC CD

BC. AC
2
2
2
= BC 2 AB = BC + AB.BC chia hai vế cho AB
BC + AB
2

2

BC
BC
BC
BC
1 = 0 4
1 = 0

+
+ 2.
AB
2 AB
AB
2 AB
4 sin 2 18 0 + 2 sin 18 0 1 = 0 => sin 18 0 =

5 1
4

Bi 10
Cho a, b, c l cỏc s thc tho món cỏc iu kin:
a < b < c ; a + b + c = 6 ; ab + bc + ca = 9.
C/ minh : 0 < a < 1 < b < 3 < c < 4
HD:

a +b+c = 6 a +b = 6c

9 = ab + bc + ac = ab + c ( a + b ) = ab + c ( 6 c )

( c 3) = ab , tng t ( b 3) = ac , ( a 3) = bc
+ Ta cú a, b, c khụng th cựng õm vỡ a + b + c = 6
2

2

2

2

2
2
a+b
+ a, b 0 vụ lớ a, b, c > 0, ab <
ữ vi mi a, b 4 ( c 3) < ( 6 c )
2
2
c 4c < 0 c ( c 4 ) < 0,c > 0 c < 4

+ c 2 do a < b < c a + b + c <3c 6 vụ lớ vy c > 2
2
+ c > 2 2 < c < 4 1 < c 3 < 1 , do ab = ( c 3)
ab < 1 a <1 , ( a 3) = bc , a < 1 bc > 4, c < 4 b > 1
b 3 a + b + c > b + c > 2b 6 vụ lớ b < 3
2

( a 3) ( b 3) ( c 3) = abc 3 ( ab + bc + ac ) + 9 ( a + b + c ) 27 = abc > 0

c - 3 >0 c > 3
0Bài 11
Tìm đa thức f(x) và g(x) với các hệ số nguyên sao cho.
4


f ( 2 + 7)
g( 2 + 7)

= 2

Bài 12
Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 là các số nguyên tố.
HDẫn:
Bài 11
Đặt u = 2 + 7 , tìm đa thức h(x) và g(x) sao cho h(u) - g(u) 7 = 0
hay u là nghiệm của pt: h(x) - g(x) 7 = 0
Xét tích (x - 7 - 2 )(x - 7 + 2 ) = x2 - 2 7 x + 5
Từ đó u là nghiệm của phơng trình x2 - 2 7 x + 5 = 0
u2 + 5

u2 + 5

u2 5

= 7 2 =u 7 =u
=

2u
2u
2u
Từ đó f(x) = x2 - 5 và g (x) = 2x

Kiểm tra

( 2 + 7)2 5
2( 2 + 7 )

=

2 + 14
2+ 7

= 2

Bài 12
* p = 2 và p = 3 không thỏa mãn
* Giả sử p = 5k + r , k nguyên và r là một trong các số 0, 1, 2, 3, 4.
* 4p2 + 1 = 100k2 + 40kr + 4r2 + 1
* 6k2 + 1 = 150k2 + 60kr + 6r2 + 1
* Từ đó ta có nhận xét sau:
Nếu r = 0 p chia hết cho 5, 4p2 + 1và 4p2 + 1 đều không chia hết cho 5
Nếu r = 1 4p2 + 1 chia hết cho 5, p và 6p2 + 1 không chia hết cho 5
Nếu r = 2 6p2 + 1 chia hết cho 5 , p và 4p2 + 1 không chia hết cho 5
Nếu r = 3 6p2 + 1 chia hết cho 5 , p và 4p2 + 1 không chia hết cho 5
Nếu r = 4 4p2 + 1 chia hết cho 5, p và 6p2 + 1 không chia hết cho 5
p nguyên có một và chỉ một trong 3 số p, 4p2 +1 và 6p2 + 1 chia hết cho 5
do p > 3 4p2 + 1> 5, 6p2 + 1 > 5
điều này chỉ đúng khi p chia hết cho 5 vậy p = 5
1/ A =

3+ 5
10 + 3 + 5



3 5

Rút gọn

10 + 3 5

B = a + b + c + 2 ac + bc a + b + c 2 ac + bc
2
2 + 3

3
3
2
3
C =
+
+ 2 ữ
+
24
+
8
6
+
ữ

ữ
ữ 4 2

2
2 + 3 ữ
2 3 ữ
3

2+ 3

1 1
1 1
1
1
D = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
2
2 3
3 4
2007 20082

(

E = 6 + 2 2. 3
G=

)

2 + 12 + 18 128

2 3 + 5 3 + 48
6+ 2

5


H=

3
2

1+

+

1

3
2

3
3
1 1
2
2
2 + 3 + 6 + 8 + 16
P=
2+ 3+ 4
1
1
1
1
K=
+
+
+ .. +
1+ 5
5+ 9
9 + 13
2007 + 2008

1+ 1+

2/cho biểu thức
A=

x+4 x4 + x4 x4
8 16
1 + 2
x x

Rút gọn rồi tìm giá trị nguyên của x để A nhận

giá trị nguyên.
3/rút gọn biểu thức

x 2 2 x 3 + x + 1 4 x 3 với 3 x 4

4/Rút gọn
M=

2x
5 x +1
x + 10
+
+
x+3 x +2 x+4 x +3 x+5 x +6

5/ Rút gọn
M=

x2 x
x2 + x

+ x +1
x + x +1 x x +1

với 0 x 1

6/Rút gọn
A= x+

3
4

2 3. 6 7 + 4 3 x

9 4 5. 2 + 5 + x

Các bài tập vận dụng BĐT

a + b a + b dấu bằng xảy ra khi: ab 0 (*)

Vào rút gọn, tính giá trị biểu thức.
Bài 1: Cho biểu thức:
A=

x+ y
x+ y
1
1

xy +
+ xy x y với xy
2
2
2
2

0

a) Rút gọn biểu thức A.
1
1
b) Tìm x, y biết A = x + y
3
3
Bài 2:
Rút gọn biểu thức:

A = x + x 2 y 2 + x x 2 y 2 x + y x y với x y
Bài 3: Cho x thoả mãn:

x 2 1003 x x 2 2006 + x 2 1003 + x x 2 2006 = 1003 2
Hãy tính giá trị biểu thức: A = x1002

x 2 + 1003 x
6


Giải:

Bài1
a) áp dụng tính chất: 1.8) nếu ab 0 thì a + b = a + b .
Ta xét:
2
2
2
x y)
(
x+ y
x + y
x+ y
xy ữ
+ xy ữ =
0 .

ữ xy =
4
2
2
2
Suy ra:

(

A=

)

x+ y
x+ y

1
1
xy +
+ xy x y
2
2
2
2

x+ y
x+ y
1
1
xy +
+ xy x y
2
2
2
2
1
= x + y ( x + y ) (1). Cũng do xy 0 nên x + y = x + y .
2
1
1
Do vậy từ (1) suy ra: A = x + y x + y = x + y
2
2
1
1
1

Theo kết quả phần a) đối chiếu đề bài, ta có: A = x + y = x + y
2
3
3
=



1
1
1
1
1
x + y = x + y ( x + y) = 0 x = y = 0 x= y= 0
2
2
3
3
6

Chú ý: Bài tập trên có cách giải khác bằng cách xét hai trờng hợp:
1) x 0, y 0
2) x 0, y 0.
Bài 2

(

Ta có: x x 2 y 2

)( x +

x y
2

2

) = x (
2

x y
2

2

)

2

= y 2 0 . Suy ra:

A = x + x2 y 2 + x x2 y 2 x + y x y
7


= x + x2 − y2 + x − x2 − y2 − x + y − x − y
= 2 x −( x+ y + x− y )

MÆt kh¸c:
x ≥ y ⇒ ( x − y) ( x + y) ≥ 0 ⇒ x + y + x − y = x + y + x − y = 2 x
Do ®ã: A = 2 x − 2 x = 0

Bµi3 Nh©n hai vÕ víi 2 ta cã:
x 2 − 2 x x 2 − 2006 + x 2 − 2006 + x 2 + 2 x x 2 − 2006 + x 2 − 2006 = 2006

(

⇔

x − x 2 − 2006

)

2

+

(

x + x 2 − 2006

)

2

= 2006

⇔ x − x 2 − 2006 + x + x 2 − 2006 = 2006(*)

(

)(

)

Do x − x 2 − 2006 x + x 2 − 2006 = x 2 − ( x 2 − 2006 ) = 2006 ≥ 0 nªn:
x − x 2 − 2006 + x + x 2 − 2006
= x − x 2 − 2006 + x + x 2 − 2006 = 2 x
Tõ ®ã: (*) ⇔ 2 x = 2006 ⇔ x = 1003 ⇔ x = ±1003 .
NÕu x = 1003 ta cã A = 10031002 10032 + 1003.1003 = 10031003 2
NÕu x = - 1003 ta cã A = ( −1003) 1002

( −1003)

2

− 1003.1003 = 0

8