Giáo trình Đại số tuyến tính

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
BỘ MÔN TOÁN  KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGUYỄN XUÂN VIÊN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
(Dùng cho sinh viên các trường Đại học Kỹ thuật)

HÀ NỘI  2013
1


2


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU
CÁC KÝ HIỆU CHUNG
Chương1. LOGIC – TẬP HỢP – ÁNH XẠ VÀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
1.1. Sơ lược về logic mệnh đề
1.1.1. Mệnh đề và các phép toán trên mệnh đề
1.1.2. Vị từ
1.2. Tập hợp và ánh xạ
1.2.1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
1.2.2. Quan hệ thứ tự và nguyên lý qui nạp toán học
1.2.3. Ánh xạ
1.3. Sơ lược về cấu trúc đại số
1.3.1. Phép toán trong
1.3.2. Sơ lược về nhóm, vành, trường
1.4. Số phức

1.4.1. Trường số phức
1.4.2. Dạng lượng giác của số phức và công thức Mauvra
1.4.3. Căn bậc n của số phức
1.5. Đa thức
1.5.1. Vành đa thức trên trường
1.5.2. Lý thuyết chia hết
1.5.3. Nghiệm của đa thức
Bài tập chương 1.
Chương 2. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1. Ma trận và các phép toán trên ma trận
2.1.1. Vành ma trận
, ( )
2.1.2. Nhóm tuyến tính ( , )
2.2. Định thức
2.2.1. Hoán vị, nghịch thế
2.2.2. Định nghĩa định thức cấp n
2.2.3. Tính chất của định thức
2.2.4. Phân tích định thức theo hàng, cột. Định lý Laplace
2.2.5. Các phương pháp tính định thức
2.2.6. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
2.2.7. Định lý Hamilton – Kelly
2.3. Hạng của ma trận
2.3.1. Khái niệm hạng của ma trận

3
7
9
11
11
11

15
16
16
19
22
25
25
27
29
29
31
31
33
33
34
38
39
49
49
49
54
55
55
56
59
62
66
69
70
72

72
3


2.3.2. Các tính chất của hạng ma trận
2.3.3. Phương pháp biến đổi sơ cấp tìm hạng của ma trận
2.4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp
2.4.1. Đưa ma trận vuông về dạng đường chéo
2.4.2. Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp
2.4.3. LU – phân tích
2.5. Hệ phương trình tuyến tính
2.5.1. Hệ Gauss và công thức Cramer
2.5.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
2.5.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
2.5.4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp giải hệ PTTT
Bài tập chương 2.
Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
3.1. Không gian vectơ và không gian vectơ con
3.1.1. Khái niệm không gian vectơ và không gian vectơ con
3.1.2. Các không gian vectơ quan trọng
3.2. Cơ sở và chiều
3.2.1. Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính
3.2.2. Định lý cơ bản về cơ sở
3.2.3. Ma trận chuyển cơ sở
3.2.4. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
3.3. Hạng của hệ vectơ
3.3.1. Khái niệm về hạng của hệ vectơ
3.3.2. Định lý về hạng của ma trận
3.4. Đẳng cấu không gian vectơ
3.5. Không gian tổng, không gian giao. Tổng trực tiếp

3.5.1. Định lý về chiều của không gian tổng, không gian giao
3.5.2. Tổng trực tiếp
3.6. Ánh xạ tuyến tính
3.6.1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính và toán tử tuyến tính
3.6.2. Cách cho ánh xạ tuyến tính
3.6.3. Không gian nhân và không gian ảnh
3.7. Ánh xạ tuyến tính ngược
3.8. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
3.8.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính, của toán tử tuyến tính
3.8.2. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính
3.8.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi đổi cơ sở
4

72
73
76
76
79
81
83
83
85
89
90
92
113
113
113
116
118

118
120
122
125
126
126
127
130
131
131
134
135
135
137
138
141
142
142
145
147


3.8.4. Hạng của ánh xạ tuyến tính
148
3.9. Giá trị riêng, vectơ riêng
150
3.9.1. Khái niệm giá trị riêng, vectơ riêng của toán tử tuyến tính
150
3.9.2. Định lý về giá trị riêng, vectơ riêng
152

Bài tập chương 3.
156
Chương 4. HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN EUCLID
175
4.1. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trong không gian vectơ 175
4.1.1. Khái niệm song tuyến tính và dạng toàn phương
175
4.1.2. Ma trận dạng toàn phương khi đổi cơ sở
178
4.2. Dạng chính tắc của dạng toàn phương
178
4.2.1. Khái niệm cơ sở chính tắc của dạng toàn phương
178
4.2.2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
180
4.2.3. Định luật quán tính
187
4.3. Dạng toàn phương xác định dương
188
4.4. Không gian Euclid
191
4.4.1. Tích vô hướng
191
4.4.2. Các bất đẳng thức của tích vô hướng
192
4.4.3. Hệ cơ sở trực chuẩn
194
4.4.4. Không gian con trực giao. Định lý về chiếu trực giao
200
4.4.5. Định lý chéo hóa trực giao ma trận đối xứng

206
4.4.6. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp chéo hóa
trực giao
209
4.5. Siêu mặt bậc hai
211
Bài tập chương 4.
220
Đáp số, trả lời các bài tập
229
Tài liệu tham khảo
249
Bảng chỉ dẫn chữ cái
251

5


6


LỜI NÓI ĐẦU
Giáo trình “ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH” này được viết và
hoàn thiện dựa trên cuốn “Đại số tuyến tính” của cùng tác giả xuất bản năm 1996 và
được dùng làm tài liệu giảng dạy tại Học viện Kỹ thuật Quân sự từ đó đến nay. Sau hơn
15 năm tồn tại, đến nay đã có nhiều thay đổi cả về chương trình giảng dạy toán ở các
trường đại học lẫn phương pháp dạy và học toán, từ dạy và học theo niên chế nhiều
trường đại học, học viện đã chuyển sang đào tạo theo tín chỉ, từ việc lên lớp truyền đạt
cho sinh viên các kiến thức hàn lâm cần thiết chuyển sang giảng giải các kiến thức
chính trên lớp, gợi ý, hướng dẫn sinh viên tự đọc, tự học, từ học tập thụ động trên lớp

theo thầy, chuyển sang học tập tích cực, phát huy tính sáng tạo của sinh viên. Những
thay đổi này đòi hỏi sự ra đời của một giáo trình môn Đại số tuyến tính và Hình học
giải tích mới, có đủ các kiến thức hàn lâm của môn học, lại chứa đựng cả những
phương pháp tư duy toán học vừa tương đối trừu tượng vừa cụ thể theo phương pháp tư
duy thuật toán, giúp cho sinh viên tuy có ít thời gian hơn lên lớp nghe giảng nhưng vẫn
có điều kiện tự đọc giáo trình, phát huy được tính sáng tạo tự học, tự nghiên cứu của
học viên. Tác giả hy vọng, cuốn giáo trình này đáp ứng được phần nào những kỳ vọng
nêu trên.
Có thời lượng lên lớp 3-4 tín chỉ, so với giáo trình đã xuất bản năm 1996, giáo trình
này đã lược bớt một số kiến thức không cần thiết, nhất là tìm các phương pháp trình
bày một số phần quan trọng theo cách mới mang rõ tính thuật toán hơn, ngắn gọn hơn
(LU-phân tích, định thức, hệ phương trình tuyến tính, ánh xạ tuyến tính, QR-phân tích,
hình học trong không gian Euclid, siêu mặt bậc hai). Các định lý mang tính nguyên tắc
về phát triển tư duy toán học được trình bày chặt chẽ, có nhiều ví dụ minh họa, giúp
cho người học, trong lần học qua đầu tiên cũng đã nắm được ý tưởng và có thể giải
được các bài tập cơ bản của chương trình. Vì thời gian lên lớp theo học chế tín chỉ ít
hơn nên phần lớn các định lý, kể cả một số định lý quan trọng, sinh viên cũng phải tự
đọc ở nhà. Giáo trình này cũng được viết với ý tưởng làm giảm nhẹ bớt công việc bắt
buộc này của sinh viên, giúp họ chủ động tích lũy kiến thức cần thiết và phát huy tính
sáng tạo khi học trên lớp cũng như tự học ở nhà.
Trong giáo trình có trình bày một số phương pháp Gauss mang tính thuật toán như:
“Thuật toán” tìm hạng ma trận, phương pháp Gauss chứng minh định lý Cronecker –
Capelli, phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính, phương pháp Gauss tìm
cơ sở và chiều không gian sinh bởi hệ vectơ, phương pháp Jacobi đưa dạng toàn
phương về dạng chính tắc v.v. Sau mỗi chương đều có bài tập đa dạng, phong phú.
Giáo trình lý thuyết này cùng với cuốn “Bài tập ĐSTT và HHGT. – Hà Nội:
Nxb QĐND – 2010”, của các tác giả Nguyễn Xuân Viên, Nguyễn Hoài Anh,
Nguyễn Thị Thanh Hà – tạo thành một gắn kết thống nhất, giúp sinh viên tiếp thu tốt
7

môn học “Hình học giải tích và Đại số tuyến tính” trong các trường đại học kỹ thuật.
Một số phần mở rộng kiến thức hoặc ứng dụng như các mục con 1.5.2, 2.4.3, mục
3.4, bổ đề 4.8, 4.9 dành để đọc thêm có thể bỏ qua hoặc cho sinh viên tự đọc ở nhà.
Các định nghĩa, bổ đề, định lý, hệ quả, chú thích, ví dụ được đánh số theo từng
chương.
Cuối cùng, tác giả muốn bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các đồng nghiệp Toán ở HV
KTQS đã động viên, góp ý và giúp đỡ tác giả hoàn thành công việc khó khăn này.
Hà Nội 2-9-2013

8


CÁC KÝ HIỆU CHUNG
ℕ = {0,1,2, … , , … } tập tất cả các số tự nhiên
ℤ = {0, ±1, ±2, … , ± , … } tập tất cả các số nguyên
ℚ, ℝ, ℂ theo thứ tự là tập tất cả các số hữu tỷ, số thực, số phức
∖ {0} tập con trong trường số thiếu số 0
∗ =
trường số ( = ℝ hoặc = ℂ )
| | lực lượng của tập
tập tất cả các tập con của tập X
[ ] tập tất cả các đa thức với hệ số trên trường
[ ]
tập tất cả các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số trên trường
bậc của đa thức ( ) ∈ [ ]
=

−

ma trận đơn vị với cấp thích hợp

1 ế =
− ký hiệu Kronecker
0 ế ≠
− hạng của ma trận
− vết của ma trận
hay | | − định thức của ma trận
( ) − tập tất cả các ma trận cấp (m,n) trên trường
( ) − tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường
− ma trận chuyển vị của ma trận A
− chuyển vị của liên hợp ma trận A, tức là
= ( ̅)
= ( , , … , ) − là vectơ trong không gian vectơ được viết dưới dạng tọa độ
=

[ ] = … − ma trận cột (cỡ n), [

]∈

( )

…
[ ] =[
] − ma trận hàng (cỡ n), [ ] ∈
( )
= { = ( , , … , ): ∈
( = 1,2, … , )} − không gian tọa độ n chiều
trên trường
E – không gian Euclid

〈 , 〉 − tích vô hướng của hai vectơ a,b
∆ bất đầu chứng minh, lời giải hoặc ví dụ
□ kết thúc chứng minh, lời giải, ví dụ hoặc chú thích, nhận xét

9


10


Chương1

LOGIC – TẬP HỢP – ÁNH XẠ VÀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
1.1.

SƠ LƯỢC VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ

1.1.1. Mệnh đề và các phép toán trên mệnh đề
a) Mệnh đề
Mệnh đề là một khẳng định mà ta có thể biết nó đúng hoặc sai. Ví dụ “hôm nay ở
Hà Nội có tuyết rơi” – đây là một khẳng định sai, còn “2 > 1” là một khẳng định đúng.
Các mệnh đề thường được ký hiệu bằng các chữ Latin in hoa: A, B, C, …. Khi mệnh
đề A đúng ta sẽ nói A nhận giá trị đúng và viết − hoặc : . Khi mệnh đề B sai thì
ta nói B nhận giá trị sai và viết − hoặc : tùy theo các trường hợp thuận lợi khác
nhau.
Trong logic toán, mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá trị: hoặc đúng (T) hoặc sai
(F), không có mệnh đề vừa đúng vừa sai.
b) Các phép toán trên mệnh đề
Từ các mệnh đề nào đó ta sẽ xây dựng các mệnh đề mới bằng năm phép toán logic
sau đây.

b1. Phép tuyển
Dấu của phép toán: ⋁ (đọc là “tuyển” )
Giả sử , là các mệnh đề, khi đó ⋁ (đọc là “ hoặc ” ) cũng là một mệnh
đề, nó nhận giá trị sai chỉ trong một trường hợp khi mà cả lẫn đều sai.
Để xác định các giá trị của một mệnh đề mới xây dựng, người ta thường cho các giá
trị của nó dưới dạng bảng giá trị chân lý.
Bảng 1.1
Bảng giá trị chân lý của mệnh đề ⋁
A
B
⋁
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
Mỗi mệnh đề A, B có 2 giá trị T, F nên ( , ) có 4 cặp giá trị được viết trên 4 hàng
ngang của bảng giá trị chân lý.
b2. Phép hội
Dấu của phép toán: ⋀ (đọc là “hội”).
Giả sử ,

là các mệnh đề, khi đó ⋀ (đọc là “

nhận giá trị đúng chỉ trong một trường hợp khi mà cả

và ”) cũng là một mệnh đề, nó
lẫn

đều đúng.
11


Bảng 1.2
Bảng giá trị chân lý của mệnh đề ⋀
A
T
T
F
F

B
T
F
T
F

⋀
T
F
F
F

b3. Phép suy diễn
Dấu của phép toán: ⇒ (đọc là “suy ra”).
Giả sử , là các mệnh đề, khi đó ⇒ (đọc là “
nó nhận giá trị sai chỉ trong một trường hợp khi mà

suy ra ”) cũng là một mệnh đề,
đúng còn sai.
Bảng 1.3
Bảng giá trị chân lý sau đây của mệnh đề ⇒

A
T
T
F
F

B
T
F
T
F

⇒
T
F
T
T

Trong phép suy diễn ⇒ , A được gọi là giả thuyết, B – kết luận. Như vậy, theo
định nghĩa, phép suy diễn ⇒ chỉ được coi là sai nếu từ giả thuyết đúng suy ra kết

luận sai.
b4. Phép tương đương
Dấu của phép toán: ⇔ (đọc là “tương đương”)
Giả sử , là các mệnh đề, khi đó ⇔ (đọc là “ tương đương với ”) cũng là
một mệnh đề, nó nhận giá trị đúng nếu A và B nhận các giá trị giống nhau.
Bảng 1.4
Bảng giá trị chân lý sau đây của mệnh đề ⇔
A
T
T
F
F

B
T
F
T
F

⇔
T
F
F
T

b5. Phép phủ định
Dấu của phép toán: ¬ (hoặc ) (đọc là “phủ định”).
Giả sử A là mệnh đề. Khi đó ¬ (hoặc ̅) ( đọc là “không A”) cũng là mệnh đề, nó
nhận các giá trị ngược với các giá trị của A.
12

Bảng 1.5
Bảng giá trị chân lý của mệnh đề
¬
F
T

A
T
F

c) Công thức và định lý
Xuất phát từ một số các mệnh đề cho trước ban đầu , , , … người ta xây dựng
các mệnh đề mới với sự giúp đỡ của năm phép toán logic đã được định nghĩa ở trên.
Các mệnh đề ban đầu được gọi là các mệnh đề sơ cấp, các mệnh đề mới nhận được
được gọi là công thức. Khi viêt các công thức, như thường lệ, ta có sử dụng các dấu
ngoặc (). Ví dụ như: (¬ ) ⇒ ⋀ , ( ⋁ ) ⇔ là các công thức. Trong đó công
thức thứ nhất được xây dựng từ ba mệnh đề sơ cấp , , ; còn công thức thứ hai được
xây dựng từ hai mệnh đề sơ cấp , . Giống như trong số học, để tránh rườm rà, khi sử
dụng các dấu ngoặc người ta qui ước thứ tự ưu tiên các phép toán như sau: phép phủ
định được thực hiện trước tiên, sau đó đến phép hội, kế tiếp đến phép tuyển rồi mới đến
các phép suy diễn và tương đương. Theo qui ước này, các công thức trên có thể được
viết lại cho gọn như sau: (¬ ⇒ )⋀ , ⋁ ⇔ .
Công thức luôn nhận giá trị đúng với mọi giá trị khác nhau của các mệnh đề sơ cấp
được gọi là công thức hằng đúng hay còn gọi là định lý, định luật.
Ví dụ 1.1. Ta hãy chứng tỏ công thức ⋀ ⇒ ⋁ là một công thức hằng đúng.
Thật vậy, theo định nghĩa công thức này chỉ có thể sai khi giả thuyết ⋀ − T, còn
kết luận ⋁ − F. Nhưng khi ⋀ − T thì cả A lẫn B đều đúng, cho ta ⋁ − T .
Điều này chứng tỏ công thức đã cho là công thức hằng đúng. □

Có một cách khác đơn giản hơn để chứng tỏ một công thức nào đó hằng đúng là
thành lập bảng giá trị chân lý của nó và chứng tỏ với mọi giá trị khác nhau của các
mệnh đề sơ cấp công thức đã cho là công thức luôn nhận giá trị đúng.
Bảng 1.6
Bảng giá trị chân lý của công thức ⋀ ⇒ ⋁
A
T
T
F
F

B
T
F
T
F

⋀
T
F
F
F

⋁
T
T
T
F

⋀ ⇒ ⋁

T
T
T
T

Mệnh đề hằng đúng thường được viết tắt, bắt đầu bởi ký hiệu ⊨ (đọc là “hằng
đúng”). Ví dụ 1.1 cho ta ⊨ ⋀ ⇒ ⋁ .
d) Các định luật quan trọng của logic mệnh đề
13


Công thức nhận được từ một công thức nào đó bằng cách thay đồng thời các phép
toán hội thành tuyển, tuyển thành hội được gọi là công thức đối ngẫu của công thức đã
cho. Ví dụ công thức ⋁ ⇒ ⋀ là công thức đối ngẫu của ⋀ ⇒ ⋁ . Sau đây
chúng ta nêu ra các định luật quan trọng nhất của logic mệnh đề và các định luật đối
ngẫu của chúng.
d1. Các định luật giao hoán
⋁ ⇔ ⋁

⋀ ⇔ ⋀

d2. Các định luật kết hợp
( ⋁ )⋁ ⇔ ⋁( ⋁ )

( ⋀ ) ⋀ ⇔ ⋀( ⋀ )

d3. Các định luật phân phối
⋀( ⋁ ) ⇔ ( ⋀ ) ⋁( ⋀ )

⋁( ⋀ ) ⇔ ( ⋁ ) ⋀( ⋁ )

d4. Các định luật lũy đẳng
⋁ ⇔

⋀ ⇔

d5. Các định luật hấp thụ
⋀( ⋁ ) ⇔

⋁( ⋀ ) ⇔

d6. Các định luật De Morgan
¬( ⋁ ) ⇔ (¬ )⋀(¬ )

¬( ⋀ ) ⇔ (¬ )⋁(¬ )

d7. Định luật hai lần phủ định
⇔ ¬(¬ )
d8. Định luật chứng minh bằng phản chứng
¬( ⇒ ) ⇔ ( ⋀¬ )
Chứng minh. Tất cả các định luật trên đây đều có thể chứng minh được bằng
phương pháp lập các bảng giá trị chân lý tương ứng. Ví dụ như đối với định luật
chứng minh bằng phản chứng ta có
Bảng 1.7

14

A

Bảng giá trị chân lý của công thức ¬( ⇒ ) ⇔ ( ⋀¬ )

( ⋀¬ )
( ⇒ )
B
¬
⇒
¬( ⇒ )
⇔ ¬( ⋀¬ )

T
T
F
F

T
F
T
F

F
T
F
T

T
F
T
T

F
T

F
F

F
T
F
F

T
T
T
T


Từ định luật chứng minh bằng phản chứng và định luật De Morgan thứ hai dễ dàng
nhận được
( ⇒ ) ⇔ (¬ ⋁ )
mà ta có thể coi đây là một dạng khác của phương pháp chứng minh bằng phản chứng
thứ nhất.
1.1.2. Vị từ
a) Hàm mệnh đề
Ta nói ( , , … , ) là hàm mệnh đề n ngôi xác định trên tập hợp M nếu thay
=
∈ , =
∈ ,…, =
∈
ta được mệnh đề ( , , … , ). Ví dụ
( > ) là hàm mệnh đề hai ngôi xác định trên tập số nguyên ℤ. Thật vậy nếu thay
= , = ; , ∈ ℤ thì rõ ràng ta nhận được mệnh đề ( > ).
b) Vị từ

Tập hợp là khái niệm cơ sở đầu tiên của toán học, người ta không định nghĩa tập
hợp là gì mà chỉ mô tả tập hợp. Người ta ký hiệu các tập hợp bằng các chữ Latin in
hoa: A, B, C, …; các phần tử bằng các chữ Latin thường: a, b, c,…. Khi a là phần tử
của tập A thì ta viết ∈ (đọc là “a nhỏ thuộc A lớn”). Khi b không phải là phần tử
của tập B thì có thể viết tắt ∉ (đọc là “b nhỏ không thuộc B lớn”). Như vậy
∉ ⇔ ¬( ∈ ).
Lượng tử chung ∀ − đọc là “với mọi”.
Lượng tử riêng ∃ − đọc là “tồn tại”.
Vị từ là mệnh đề có chứa các lượng tử. Các vị từ được xác định như sau:
Giả sử ( ) là hàm mệnh đề xác định trên tập A khi đó ∀ ( ) (đọc là “với mọi
( )”) là một mệnh đề, nó nhận giá trị đúng nếu với mọi
∈ ( ( ) − ); ∃ ( )
(đọc là “tồn tại
( )”) là một mệnh đề, nó nhận giá trị đúng nếu tồn tại
∈ ( ( ) − ). Như vậy mệnh đề ∀ ( ) chỉ sai khi mà ta tìm thấy một ∈ để
( ) − ; còn mệnh đề ∃ ( ) chỉ sai khi mà với mọi ∈ ta đều có ( ) − .
Tương tự xác định vị từ đối với hàm mệnh đề nhiều biến, ví dụ như ∀ ∀ ( , ),
∃ ∃ ( , ), ∀ ∃ ( , ), …
Dễ dàng nhận thấy các lượng tử cùng loại trong một vị từ thì giao hoán, còn các
lượng tử khác loại không giao hoán. Thật vậy, xét hàm mệnh đề hai ngôi xác định trên
tập số nguyên ( , ) là ( ≤ ); khi đó mệnh đề ∀ ∃ ( ≤ ) − đúng; trong khi
đó nếu đổi chỗ hai lượng tử trong vị từ cho nhau ta lại được mệnh đề ∃ ∀ ( ≤ ) −
sai vì trong tập số nguyên ℤ không tồn tại số nguyên lớn nhất. Như vậy do các lượng tử
khác loại trong vị từ không giao hoán nên không được tùy tiện đổi chỗ chúng.
Ví dụ 1.2. Ta hãy viết dưới dạng vị từ định nghĩa dãy ( ) có giới hạn bằng a khi
→ ∞.
15


Giả sử , ∈ ℝ; , ∈ ℕ. Để đơn giản trong cách viết người ta qui ước

∀ ( > 0) viết thành ∀ > 0. Từ đó ta có
lim
= ⇔ ∀ > 0 ∃ ∀ ( ≥ ) ⇒ | − | < .□
→

c) Phủ định của vị từ.
Từ định nghĩa của vị từ có thể chứng minh được qui tắc sau đây về lấy phủ định của
vị từ.
Phủ định của vị từ nhận được bằng cách thay các lượng tử bằng lượng tử khác loại,
thay hàm mệnh đề thành phủ định của nó.
Ví dụ 1.3. Hãy viết dưới dạng vị từ khẳng định dãy ( ) không có giới hạn bằng a.
Theo định luật chứng minh bằng phản chứng và qui tắc phủ định của vị từ ta có
ngay
¬ lim
→

1.2.

=

⇔ ∃

> 0∀ ∃

(

≥

)⋀

−

≥

TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ

1.2.1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
a) Khái niệm
Như đã nói trong mục 1.1.2.b) tập hợp là khái niệm cơ sở của toán học, người ta
không định nghĩa mà chỉ mô tả tập hợp. Muốn cho một tập hợp ta phải chỉ ra được cách
xác định tất cả các phần tử của tập hợp ấy. Nếu tập hợp có ít phần tử thì ta có thể liệt kê
tất cả các phần tử của nó. Nếu tập hợp có nhiều phần tử thì có thể phân nhỏ ra các tập
con rồi liệt kê các phần tử của các tập con này. Ví dụ để xác định một lớp lớp học nào
đó trong trường ta chỉ cần chỉ ra danh sách các học sinh của lớp đó. Để xác định dân cư
của một xã, phường ta sẽ lập danh sách dân cư của các thôn trong xã, v. v.. Để xác định
tập hợp ta có thể chỉ ra các qui luật xác định phần tử của tập ấy. Chẳng hạn như A là tập
tất cả các nghiệm thực của đa thức
+ − + 1 hay ℕ = {0,1,2, … } là tập tất cả
các số tự nhiên.
Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng. Tập rỗng được ký hiệu là ∅. Như vậy,
theo định nghĩa, ∅ là tập thỏa mãn điều kiện ∀ ( ∉ ∅).
Định nghĩa 1.1. Hai tập hợp , được gọi là bằng nhau và viết = nếu chúng
có chứa các phần tử như nhau.
Như vậy, theo định nghĩa
( = )⇔∀

( ∈ )⇒( ∈ ) ⋀ ( ∈ )⇒( ∈ )

Định nghĩa 1.2. Tập A được gọi là tập con của tập B và ký hiệu là
chứa tất cả các phần tử của A.

Như vậy, theo định nghĩa
( ⊆ )⇔∀ ( ∈ )⇒( ∈ ) .
16

⊆

nếu B


Từ đây dễ dàng thấy, hai tập hợp bằng nhau khi và chỉ khi tập nọ là tập con của tập
kia và ngược lại:
( = ) ⇔ ( ⊆ )⋀( ⊆ ).
Ví dụ 1.4. Gọi = {1,2,3}; = {2,1,3}; = {1,1,2,3}; D là tập tất cả các nghiệm
của phương trình
− 6 + 11 − 6 = 0. Theo định nghĩa ta có = = ,
nhưng ≠ vì tập C có 4 phần tử trong đó có hai số 1 mà tập A có 3 phần tử, trong
đó chỉ có một số 1. Tuy nhiên nếu xét và như các tập các số tự nhiên (khác
nhau) thì = .□
b) Các phép toán trên tập hợp
b1. Phép hợp
Dấu của phép toán: ∪ (đọc là “hợp”)
Định nghĩa 1.3. Giả sử , là hai tập hợp, khi đó hợp của chúng, được ký hiệu là
∪ , gồm tất cả các phần tử của và tất cả các phần tử của B.
Như vậy, theo định nghĩa,
∈( ∪ ) ⇔( ∈ )∨( ∈ )
Với mọi tập , hiển nhiên ta có ∪ ∅ = .
b2. Phép giao
Dấu của phép toán: ∩ (đọc là “giao”)
Định nghĩa 1.4. Giả sử , là hai tập hợp, khi đó giao của chúng, được ký hiệu là
∩ , gồm tất cả các phần tử chung của và của B.

Như vậy, theo định nghĩa,
∈( ∩ ) ⇔( ∈ )∧( ∈ )
Với mọi tập , hiển nhiên ta có ∩ ∅ = ∅.
b3. Phép hiệu
Dấu của phép toán: ∖ (đọc là “hiệu”)
Định nghĩa 1.5. Giả sử , là hai tập hợp, khi đó hiệu của chúng, được ký hiệu là
∖ , gồm tất cả các phần tử của nhưng không là của B.
Như vậy, theo định nghĩa,
∈ ( ∖ ) ⇔ ( ∈ ) ∧ ¬( ∈ )
Với mọi tập , hiển nhiên ta có ∖ ∅ = , ∅ ∖ = ∅.
b4. Phép hiệu đối xứng
Dấu của phép toán: ∆ (đọc là “hiệu đối xứng”)
Định nghĩa 1.6. Giả sử , là hai tập hợp, khi đó hiệu đối xứng của chúng, được
ký hiệu là ∆ , gồm tất cả các phần tử của nhưng không là của B và của B nhưng
không là của A. Nói một cách chính xác hơn, theo định nghĩa,
∆ = ( ∖ )∪( ∖ )
Với mọi tập , hiển nhiên ta có ∆∅ = ∅∆ = .
17


b5. Phép lấy phần bù
Khi ⊆ thì hiệu ∖ được viết như phép trừ thông thường, tức là − .
Định nghĩa 1.7. Ta coi các tập A, B, C, … đều là tập con của một tập U nào đó, khi
đó hiệu − được gọi là phần bù của A (trong U) và ký hiệu là ̅. Như vậy, theo định
nghĩa, ̅ = − .
Rõ ràng là ∪ ̅ = và ∩ = .
Trong sơ đồ Venn, minh họa cho tập hợp, người ta lấy tập U là một hình chữ nhật
trong mặt phẳng, còn các tập A, B, C,.. là các hình tròn nằm trong U.
c) Các tính chất của phép toán
Các phép toán trên tập hợp có các tính chất đối ngẫu giống như trong logic mệnh

đề (1.1.1.d)).
c1. Tính chất giao hoán
∪ = ∪
∩ = ∩
c2. Tính chất kết hợp
( ∪ )∪ = ∪( ∪ )
c3. Tính chất phân phối
∩ ( ∪ ) = ( ∩ )∪( ∩ )

( ∩ )∩

∩( ∩ )

=

∪ ( ∩ ) =( ∪ )∩( ∪ )

c4. Tính chất lũy đẳng
∪ =

∩

c5. Tính chất hấp thụ.
∩( ∪ )=

=

∪( ∩ ) =

c6. Tính chất hai lần lấy phần bù

̅=
c7. Các tính chất De Morgan
∪ = ̅∩

∩

= ̅∪

Chứng minh.
Các tính chất của các phép toán trên tập hợp nêu trên đều có thể dễ dàng chứng
minh được bằng phương pháp đưa về các tính chất tương ứng của logic mệnh đề. Ví
dụ như tính chất thứ nhất trong c5 có thể chứng minh như sau: theo định nghĩa của
các phép toán trên tập hợp và định luật De Morgan thứ nhất trong logic mệnh đề ta
có
∈ ∩( ∪ ) ⇔ ( ∈ )∧
∈( ∪ ) ⇔
( ∈ ) ∧ ( ∈ ) ∨ ( ∈ ) ⇔ ( ∈ ), và như thế theo định nghĩa hai tập bằng
nhau ta đã nhận được điều cần phải chứng minh ∩ ( ∪ ) = . □
Chú thích 1.1. Người ta thường sử dụng ngôn từ “đại số tập hợp” để ám chỉ các
18


biến đổi trong lý thuyết tập hợp mà có sử dụng đến các tính chất cơ bản nêu
trên của tập hợp mà không cần trở lại với logic mệnh đề. Ví dụ, để chứng minh
công thức
∪ =( ∆ )∪( ∩ )
trong đại số tập hợp, ta sử dụng các tính chất c1 - c7 và biến đổi vế phải của công
thức cần chứng minh ra vế trái như sau:
( ∆ )∪( ∩ ) = ( ∩ )∪( ̅∩ )∪( ∩ )= ( ∩ )∪
∩( ̅∪ )

= ( ∩ ) ∪ = ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) = ∪ (đ.p.c.m.); trong đó sau dấu bằng
thứ nhất ta đã sử dụng định nghĩa của phép toán hiệu đối xứng, sau dấu bằng thứ hai
ta đã sử dụng tính phân phối ở hai số hạng cuối cùng, sau dấu bằng thứ ba và dấu
bằng thứ tư ta đã sử dụng hệ thức ̅ ∪ = ∪ = và ∩ = với tập C tùy
ý. □
1.2.2. Quan hệ thứ tự và nguyên lý qui nạp toán học
a) Tích Decac và quan hệ
a1. Tích Decac
Định nghĩa 1.8. Tích Decac của hai tập , được ký hiệu là × , là tập tất cả các
bộ hai thứ tự ( , ); ∈ , ∈ .
Tương tự tích Decac n ngôi của các tập
, , … , , được ký hiệu là
×
× …×
, là tập tất cả các bộ n- thứ tự ( , , … , ); ∈ , = 1,2, … , .
Khi
=
=⋯=
= thì
×
× …×
được viết thành .
Ví dụ 1.5. Ta coi = {1,2}, = { , , }. Khi đó
× = {(1, ), (1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (2, )}. □
a2. Quan hệ
Định nghĩa 1.9. Tập con ⊆
được gọi là quan hệ trong tập .
Khi ( , ) ∈ người ta thường viết cho dễ hiểu thành
theo mẫu của quan hệ
thứ tự ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng) thông thường trên tập số tự nhiên.

Ví dụ 1.6. Ta lấy ⊆ ℝ bởi = {( , ): = }. Dễ dàng thấy quan hệ R này
xác định mối quan hệ giữa hoành độ và tung độ các điểm trên mặt phẳng ℝ sao
cho các điểm ( , ) nằm trên parabol = . □
a3. Quan hệ thứ tự và quan hệ tương đương
Định nghĩa 1.10. Quan hệ R trong tập A được gọi là quan hệ thứ tự (hay còn gọi là
quan hệ thứ tự từng phần) nếu nó thỏa mãn các tính chất sau đây với mọi , , ∈ :
i)
– tính phản xạ
ii)
và
thì
– tính bắc cầu
iii)
và
thì = – tính phản đối xứng
Tập A được gọi là tập có thứ tự nếu trong A có một quan hệ thứ tự R.
19


Hai phần tử , ∈ được gọi là nằm trong quan hệ R, hay còn gọi là so sánh được
với nhau trong quan hệ R nếu
hoặc
.
Quan hệ thứ tự trong tập A được gọi là quan hệ thứ tự tuyến tính nếu hai phần tử bất
kỳ trong A đều so sánh được với nhau trong quan hệ R. Tập A mà trong đó có quan hệ
thứ tự tuyến tính R được gọi là tập có thứ tự tuyến tính (một số tác giả còn gọi A là tập
có thứ tự toàn phần).
Định nghĩa 1.11. Quan hệ R trong tập A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó
thỏa mãn các tính chất sau đây với mọi , , ∈ :
i)

– tính phản xạ
ii)
và
thì
– tính bắc cầu
iii)
thì
– tính đối xứng
Ví dụ 1.7. Trong tập số nguyên ℤ ta đưa vào hai quan hệ , như sau:
⇔ ≤ ; trong đó ≤ là thứ tự “nhỏ hơn hoặc bằng” thông thường.
⇔ | tức là m là thừa số của n ( hay n chia hết cho m, tức là tồn tại số
nguyên q để n = mq).
trong ℤ đều là các quan hệ thứ
Dễ dàng kiểm tra được, rằng cả hai quan hệ ,
tự. Đối với
hai số nguyên bất kỳ đều so sánh được với nhau, vì rằng ∀ , ∈ ℤ
ta có hoặc
≤ hoặc ≤ . Tuy nhiên đối với
thì lại khác, không phải hai số
nguyên nào cũng so sánh được với nhau, ví dụ như đối với 2 và 3 thì, 2 không phải
là thừa số của 3 mà 3 cũng không phải là thừa số của 2. Theo định nghĩa thì
là
chỉ là quan hệ thứ tự (từng phần) trên tập số
quan hệ thứ tự tuyến tính còn
nguyên. □
Định nghĩa 1.12. Họ = ( ) ∈ các tập con của tập A được gọi là phân hoạch của
A nếu
i)
∩ = ∅ với ≠ ;
ii) = ⋃ ∈ .

Các tập con , ∈ , được gọi các lớp của phân hoạch .
Ví dụ 1.8. Xét quan hệ
trong tập số nguyên ℤ xác định theo qui tắc
⇔ 2/( − ) (khi đó trong lý thuyết số người ta viết
≡ (mod2), đọc là
“m đồng dư n theo modul 2” ). Dễ dàng kiểm tra được, quan hệ vừa xác định là
quan hệ tương đương, người ta thường gọi đó là quan hệ đồng dư theo modul 2.
Quan hệ này chia tập số nguyên thành hai lớp: một lớp gồm tất cả các số nguyên
chia hết cho 2, lớp thứ hai gồm các số nguyên còn lại: chia cho 2 dư 1. □
Một cách tổng quát, nếu
là một quan hệ tương đương trong tập A thì tồn tại một
phân hoạch A thành các tập con; trong đó các phần tử tương đương với nhau được cho
vào cùng một lớp. Ngược lại, mỗi một phân hoạch A thành các lớp con cho ta một quan
hệ tương đương R. Thật vậy khi đó ta chỉ việc xây dựng quan hệ R theo qui tắc:
20


⇔ a, b thuộc cùng một lớp của phân hoạch đã cho. Như vậy là, việc cho một quan
hệ tương đương trong tập A tương đương với việc cho một phân hoạch nào đó của tập
A.
Định nghĩa 1.13. Giả sử R là quan hệ thứ tự trong tập A,
⊆ ; phần tử
∈
nếu ∀ ∈
ta đều có
.
được gọi là phần tử nhỏ nhất của
Định nghĩa 1.14. Tập A được gọi là tập có thứ tự hoàn toàn nếu mọi tập con của nó
đều có phần tử nhỏ nhất.
Trong tập có thứ tự hoàn toàn có phép qui nạp siêu hạn. Tập có thứ tự hoàn toàn

đơn giản nhất là tập số tự nhiên ℕ với quan hệ thứ tự ≤ thông thường. Trong tập ℕ có
phép qui nạp toán học quan trọng, sẽ được trình bày ngay sau đây.
b) Nguyên lý qui nạp toán học
Định lý 1.1. (Nguyên lý qui nạp toán học) Khẳng định ( ) đúng cho mọi số tự
( ∈ ℕ) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
nhiên , ≥
1) ( ) đúng
2) Từ ( ) đúng cho tùy ý,
≥
suy ra ( + 1) đúng
Chứng minh. Bằng phản chứng, giả sử cả hai điều kiện trong định lý 1 đều được
mà ( ) − sai. Khi đó gọi P là tập tất
thỏa mãn nhưng vẫn tồn tại ∈ ℕ, ≥
cả các số tự nhiên như vậy. P có phần tử nhỏ nhất là , ( ) −sai. Mặt khác
theo giả thiết 1) ta phải có
>
, khi đó thì do
≤ −1<
nên
( − 1) − đúng. Nhưng mà theo giả thiết 2) của định lý thì từ ( − 1) − đúng
phải suy ra ( ) − đúng; điều này trái với ( ) −sai theo xây dựng số
ở trên.
Định lý đã được chứng minh.
Chú thích 1.2. Nguyên lý qui nạp toán học trên tập số tự nhiên còn có thể được
phát biểu dưới dạng sau đây:
( ∈ ℕ) nếu thỏa mãn hai
Khẳng định ( ) đúng cho mọi số tự nhiên , ≥
điều kiện sau:
1) ( ) đúng
2) Từ ( ) đúng cho các số

≤ ≤
suy ra ( + 1) đúng
Như vậy, để chứng minh một tính chất nào đó ( ) đúng cho mọi số tự nhiên ∈ ℕ
ta cần thực hiện hai bước: bước thứ nhất kiểm tra (0) đúng, bước này được gọi là
bước cơ sở qui nạp. Bước thứ hai chứng minh từ ( ) đúng cho ≥ 0 tùy ý suy
ra ( + 1) đúng hay là tương đương, từ ( ) đúng cho các số 0 ≤ ≤
suy ra
( + 1) đúng. □
Giả thuyết ( ) đúng được gọi là giả thuyết qui nạp.
Ví dụ 1.9. Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên
∈ ℕ∗ ta đều có
1. (1!) + 2. (2!) + ⋯ + . ( !) = ( + 1)! − 1.
21


Ta chứng minh hệ thức này bằng phương pháp qui nạp toán học.
Cơ sở qui nạp: với = 1 ta có 1. (1!) = (2!) − 1 = 1 − đúng.
∈ ℕ∗, tức là
Giả sử hệ thức đã cho đúng cho số tự nhiên
1. (1!) + 2. (2!) + ⋯ + . ( ! ) = ( + 1)! − 1, ta sẽ chứng minh nó đúng cho
+ 1, tức là phải chứng minh
1. (1!) + 2. (2!) + ⋯ + ( + 1). ( + 1)! = ( + 2)! − 1.
Thật vậy, theo giả thuyết qui nạp, ta có:
1. (1!) + 2. (2!) + ⋯ + ( + 1). ( + 1)! =
( + 1)! − 1 + ( + 1). ( + 1)! = ( + 2)! − 1. □
∈ ℕ ta đều có số
Ví dụ 1.10. Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên
(6. 7 − 2. 3 ) chia hết cho 4.
Ta chứng minh hệ thức này bằng phương pháp qui nạp toán học.
Cơ sở qui nạp: với = 0 ta có 6. 7 − 2. 3 = 4 chia hết cho 4 – đúng.

Giả sử hệ thức đã cho đúng cho các số tự nhiên 0 ≤ ≤ , ta sẽ chứng minh nó
đúng cho
+ 1, tức là phải chứng minh số (6. 7
− 2. 3
) chia hết cho 4.
Thật vậy, theo giả thuyết qui nạp, vì
). 7.3
− 2. 3
= (6. 7 − 2. 3 ). (7 + 3) − (6. 7
− 2. 3
6. 7
là hiệu của hai nguyên cùng chia hết cho 4 nên nó chia hết cho 4. □
1.2.3. Ánh xạ
a) Các khái niệm chung
Định nghĩa 1.15. Giả sử , là hai tập hợp. Người ta nói là một ánh xạ từ A vào
B và viết : → nếu mỗi phần tử ∈ đặt tương ứng với một phần tử duy nhất
∈ , khi đó viết = ( ) và nói b là ảnh của a, còn a gọi là đảo ảnh của b qua ánh
xạ .
Giả sử : → là một ánh xạ. Khi đó tập A được gọi là tập xác định (miền xác
định), − tập tới của f. Tập ( ) = { ( ); ∈ } hay là cũng như thế, tập tất cả các
∈ sao cho tồn tại ∈ để ( ) = được gọi là tập ảnh (hay miền giá trị) của ánh
( ) = { ∈ | ( ) = } tất cả các phần tử a của tập A sao
xạ f. Với mỗi ∈ tập
cho ( ) =
được gọi là đảo ảnh toàn phần của b. Hiển nhiên ta có
( )= =
( ) . Hai ánh xạ : → và : → được gọi là bằng nhau
nếu chúng có chung miền xác định, sao cho ∀ ∈ ( ( ) = ( )).
Như vậy, để một phép tương ứng giữa các phần tử của tập với các phần tử của
tập B là ánh xạ từ vào B điều kiện là phép tương ứng này phải thỏa mãn hai điều

kiện: thứ nhất là, mỗi phần tử a của đều phải có ảnh ( ); thứ hai là, mỗi phần tử a
của chỉ có một ảnh; không một phần tử nào của lại có nhiều hơn một ảnh. Tính

22


chất thứ nhất được gọi là tính xác định, còn tính chất thứ hai được gọi là tính đơn trị
của ánh xạ.
Ánh xạ : → xác định bởi ( ) = với mọi ∈ được gọi là ánh xạ đồng
nhất trên tập A.
Ví dụ 1.11. Nếu , là các tập con của tập số thực thì ánh xạ : → được gọi là
hàm số. Hàm số ( ) = + 1 có miền xác định ℝ và có miền giá trị là ℝ, còn hàm
số =
: ℝ → ℝ là hàm có miền xác định ℝ và có miền giá trị là đoạn [−1,1].
Ví dụ 1.12. Gọi = { , , }, = { , }. Ta xác định các phép tương ứng
giữa các phần tử của tập A với các phần tử của tập B bắng cách viết tất cả các bộ hai
tương ứng
, ; trong đó ( ) = . Xét ba phép tương ứng sau
= {( , ), ( , )}; = {( , ), ( , ), ( , ), ( , )};
= {( , ), ( , ), ( , )}.
Ta thấy không phải ánh xạ vì phần tử
của tập A không có ảnh;
cũng
không phải ánh xạ vì phần tử có hai ảnh , , là ánh xạ vì nó thỏa mãn cả hai
điều kiện xác định ánh xạ: mọi phần tử của A đều có ảnh và mỗi phần tử chỉ có một
ảnh.
Định nghĩa 1.16. Ánh xạ : → được gọi là đơn ánh nếu các phần tử khác nhau
thì có ảnh khác nhau. Nói một cách chính xác, ánh xạ : → được gọi là đơn ánh
nếu

∀ ,

∈

(

∀ ,

∈

(

)= (

≠

)⇒
) ⇒(

( )≠ ( )
=

hay tương đương với nó

) .

Định nghĩa 1.17. Ánh xạ : → được gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử của B đều
có đảo ảnh. Nói một cách chính xác, ánh xạ : → được gọi là toàn ánh nếu
∀ ∈ (
( ) ≠ ∅).

Định nghĩa 1.18. Ánh xạ : → được gọi là song ánh nếu nó đồng thời là đơn
ánh, toàn ánh.
Định nghĩa 1.19. Hai tập hợp A và B được gọi là tương đương hay có cùng lực
lượng và viết ~ hay | | = | | nếu tồn tại song ánh : → . Tập tương đương với
tập số tự nhiên ℕ gọi là tập đếm được.
Ví dụ 1.13. Trong ví dụ 8, hàm số ( ) = + 1: ℝ → ℝ là hàm song ánh,
hàm
: ℝ → ℝ là hàm không phải đơn ánh, cũng không phải toàn ánh. Hàm
: − ,
tại

∈ − ,

→ ℝ là hàm đơn ánh nhưng không toàn ánh vì, ví dụ như, không tồn
để

= 2. Tuy nhiên nếu xét hàm
( )=

: − , → [−1,1]
2 2
23


thì đây lại là hàm song ánh, thật vậy trên − ,

hàm sinx là hàm đơn điệu tăng

thực sự nên nó là hàm đơn ánh. Ngoài ra nó cũng là hàm toàn ánh vì với mọi số
∈ [−1,1] luôn tồn tại

∈ − ,

để

= .□

Ví dụ 1.14. Ta có thể chứng minh được tập số nguyên là tập đếm được bằng cách
thiết lập song ánh : ℕ → ℤ như sau:
Cho (0) = 0, (2 ) = , (2 − 1) = − ( = 1,2, … ). Đây là một song ánh.
Thật vậy, rõ ràng đây là một ánh xạ: mọi số tự nhiên đều có ảnh, mỗi số tự nhiên
chỉ có một ảnh; đây là đơn ánh vì hai số tự nhiên khác nhau có hai ảnh khác nhau và
đây là toàn ánh vì số nguyên nào cũng có đảo ảnh.□
Thực ra ta có ℕ~ℤ~ℚ.
b) Ánh xạ ngược
Định nghĩa 1.20. Giả sử : → , : → là các ánh xạ. Ánh xạ ℎ: → xây
( ) được gọi là hợp thành của các ánh xạ và và
dựng theo qui tắc ℎ( ) =
được ký hiệu là ∘ .
Ví dụ 1.15. Nếu ( ) =
: ℝ → ℝ, ( ) = (2 + 1): ℝ → ℝ thì
( ) =2
( ) = sin(2 + 1).
+1 а
Định nghĩa 1.21. Giả sử : → là các ánh xạ. Ánh xạ : → được gọi là ánh
xạ ngược của nếu thỏa mãn điều kiện ∘ = và ∘ = . Ánh xạ ngược của
ánh xạ thường được ký hiệu là
.
( ): ℝ → ℝ;
Vídụ 1.16. Xét hàm số ( ): ℝ → ℝ; ( ) = 2 + 1 và hàm số

1
( ) = ( − 1).
2
Dễ dàng thấy, theo định nghĩa 1.20, với mọi ∈ ta có
( ∘ )( ) =
nghĩa là
thì

∘

( ) = (2 + 1) = (2 + 1 − 1) =
=

. Tương tự ta cũng có

∘

=

=

( ) − điều này có

. Như vậy với ( ) = 2 + 1

1
( ) = ( − 1). □
2
Định lý 1.2. (Định lý tồn tại ánh xạ ngược) Để ánh xạ : → có ánh xạ ngược
điều kiện cần và đủ là là song ánh.

Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử : → là ánh xạ ngược của . Ta sẽ chứng minh là song
ánh. Giả sử bây giờ ( ) = ( ), khi đó tác động lên hai vế của hệ thức cuối
( ) =
( ) ⇔
cùng, theo định nghĩa của ánh xạ ngược, ta có

24


( ∘ )( ) = ( ∘ )( ) ⇔
( )= ( )⇔
= − chứng minh xong
là đơn ánh.
Do : → là ánh xạ, với ∈ tùy ý ta có ( ) = ∈ ; tác động lên hai vế
của hệ thức cuối cùng, ta có theo định nghĩa của ánh xạ ngược
( ) = ( ) ⇔ ( ∘ )( ) = ( ) ⇔ ( ) = ( ) ⇔ = ( ) chứng minh
xong là toàn ánh.
Điều kiện đủ. Giả sử : → là song ánh. Khi đó mỗi ∈ có một và chỉ một
∈ sao cho ( ) = cho nên ta có thể xây dựng một phép tương ứng mới
: → theo qui tắc ( ) = ⇔ ( ) = . Do là song ánh, ( ) = nên
( ) = { }, từ đó : → là ánh xạ: mỗi ∈ đều có ảnh ( ) = và mỗi
chỉ có một ảnh . Ngoài ra từ cách xây dựng dễ dàng thấy ∘ = và ∘ =
nên ánh xạ : → được xây dựng như trên là ánh xạ ngược của . □
Trong ví dụ 1.16, do ( ): ℝ → ℝ; ( ) = 2 + 1 là hàm đơn điệu tăng thực sự
trên ℝ nên nó là đơn ánh. Mặt khác dễ thấy nó cũng là toàn ánh, vì với mọi ∈ ℝ
ta luôn tìm được

∈ ℝ để có

= 2 + 1, đó chính là

= ( − 1) Như vậy

( ) = 2 + 1: ℝ → ℝ là song ánh nên theo định lý tồn tại ánh xạ ngược, tồn tại
( ): ℝ → ℝ. Như trong ví dụ 1.16,
=
1
( ) = ( − 1)
=
2
mà ta dễ dàng nhận được bằng cách đổi vai trò , cho nhau trong hệ thức đã nhận
được
1
= ( − 1). □
2
1.3. SƠ LƯỢC VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
1.3.1. Phép toán trong
Định nghĩa 1.22. Giả sử là một tập hợp. Ánh xạ : × → được gọi là phép
toán (phép toán trong hay luật hợp thành) xác định trên tập .
Theo truyền thống người ta ký hiệu dấu của phép toán tổng quát là “dấu tròn”: ∘,
như dấu của phép hợp thành ánh xạ; thay vì viết = ( , ) ta sẽ viết = ∘ . Như
vậy với hai phần tử tùy ý , ∈ xác định một phần tử duy nhất = ∘ , gọi là kết
quả của phép toán “dấu tròn” tác động lên , .
Ví dụ 1.17. Các phép toán ta thường gặp:
- Phép cộng (+), nhân (.) trên các tập số ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ.
- Phép hợp thành ánh xạ (∘) trên tập
tất cả các ánh xạ : → .
Định nghĩa 1.23. Người ta nói phép toán ∘ trên tập

25