Số phức và một số dạng toán thường gặp (KL07200)

p

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*******

PHẠM THỊ THOA

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN
THƢỜNG GẶP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
ThS. GV. NGUYỄN VĂN VẠN

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán
trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong tổ
Hình Học đã tận tình dạy dỗ, chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi theo
học tại khoa và thời gian làm khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Vạn,
ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn tôi, luôn chỉ bảo, định hƣớng cho tôi để tôi có thể
hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và kinh nghiệm của
bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của tôi không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi kính mong nhận đƣợc sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các
thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi đƣợc hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Phạm Thị Thoa


LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Số phức và một số dạng toán
thường gặp” tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa
luận của mình. Danh sách tài liệu này tôi đã đƣa vào mục Tài liệu tham khảo
của khóa luận.
Tôi xin cam đoan khóa luận đƣợc hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực
của bản thân cùng với sự hƣớng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Vạn
cũng nhƣ các thầy cô trong tổ Hình học.
Khóa luận không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.
Tôi rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn
sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.

Sinh viên

Phạm Thị Thoa


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
NỘI DUNG ...................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC ................................................................................... 3

1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC .......................... 3
1.1.1 Định nghĩa số phức .................................................................................. 3
1.1.2. Các tính chất của số phức ....................................................................... 3
1.2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC ............................................... 5
1.3. SỐ PHỨC LIÊN HỢP VÀ MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC ............................. 6
1.3.1. Số phức liên hợp ..................................................................................... 6
1.3.2. Môđun của số phức................................................................................. 6
1.4. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC .................................................. 7
1.4.1. Số phức dƣới dạng lƣợng giác ................................................................ 7
1.4.2 Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác ........................................... 8
1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E2 .................................................................. 8
1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E2 ................................................................. 8
1.4.5 Biểu diễn số phức theo những điểm ........................................................ 8
1.4.6 Khoảng cách giữa hai điểm ..................................................................... 9
1.5 Công thức Moa- Vrơ .................................................................................. 9
1.5.1 Công thức Moa- Vrơ ............................................................................... 9
1.5.2 Căn bậc n của số phức. .......................................................................... 10
1.6 Phƣơng trình bậc hai với hệ số phức ........................................................ 10
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP ........................... 11
2.1 Các dạng toán thƣờng gặp về số phức ...................................................... 11
2.1.1 Dạng 1: Tổng hợp về kĩ năng cộng, trừ nhân chia số phức ................... 11
2.1.2 Dạng 2: Bài toán liên quan đến môđun của số phức ............................. 14


2.1.3 Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm M (x,y) trong mặt phẳng phức biểu diễn
số phức z = x + yi. .......................................................................................... 19
2.1.4 Dạng 4: Bài toán liên quan đến nghiệm phức, giải phƣơng trình với biến
số phức ............................................................................................................ 23
2.1.5 Dạng 5: Chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lƣợng giác và
công thức Moa- Vrơ ....................................................................................... 27

2.1.6 Bài tập .................................................................................................... 29
2.2 Ứng dụng của số phức .............................................................................. 33
2.2.1 Dạng 1: ứng dụng số phức vào giải các bài toán lƣợng giác và tổ hợp . 33
2.2.2 Dạng 2: ứng dụng số phức vào các bài toán đại số ............................... 39
2.2.3 Ứng dụng số phức vào các bài toán hình học ........................................ 46
KẾT LUẬN ................................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................ 53


MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chúng ta đã biết, do nhu cầu phát triển của toán học, số phức đã ra đời từ
những thế kỉ trƣớc. Sau đó, số phức lại thúc đẩy sự phát triển không những
toán học mà còn cả các ngành khoa học khác. Ngày nay, số phức không thể
thiếu đƣợc trong các ngành khoa học kĩ thuật và đƣợc giảng dạy trong chƣơng
trình toán bậc trung học ở hầu hết các nƣớc trên thế giới.
Với mong muốn đƣợc nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu
hơn về số phức, một số dạng toán về số phức, ứng dụng của số phức để giải
các bài toán lƣợng giác, tổ hợp, đại số và đặc biệt là các bài toán hình học, tôi
đã chon đề tài “Số phức và một số dạng toán thƣờng gặp”, làm khóa luận
tốt nghiệp.
Khóa luận “Số phức và một số dạng toán thƣờng gặp” trình bày một
số dạng toán thƣờng gặp về số phức và ứng dụng của số phức vào giải một số
bài toán.
2. ĐỐI TƢỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
2.1 Đối tƣợng nghiên cứu
Các dạng toán về số phức và ứng dụng của số phức
2.2 Phạm vi nghiên cứu
Các dạng toán về số phức và ứng dụng số phức vào giải các bài toán
lƣợng giác và tổ hợp, các bài toán đại số, các bài toán hình học.

3. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
3.1 Mục đích nghiên cứu
Trình bày một số dạng toán thƣờng gặp của số phức và ứng dụng số
phức vào giải một số bài toán lƣợng giác và tổ hợp, các bài toán đại số, các
bài toán hình học.

1


3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức
Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập tƣơng tự thể hiện một số
dạng toán của số phức
Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập thể hiện ứng dụng của số
phức trong một số bài toán điển hình.
4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo, các tạp chí toán học
có liên quan đến nội dung đề tài.
5. Ý NGHĨA KHOA HỌC, THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI.
Dùng số phức giúp ta giải quyết nhiều bài toán bậc Trung học cơ sở nên
nộ dung khóa luận này mang tính thiết thực có thể sử dụng làm tài liệu tham
khảo cho học sinh khá giỏi của bậc trung học cơ sở.

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC
1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
1.1.1 Định nghĩa số phức

Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a và b là những số
thực và số i thỏa mãn i2 =-1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.
i đƣợc gọi là đơn vị ảo, a đƣợc gọi là phần thực, kí hiệu Rez và b đƣợc
gọi là phần ảo kí hiệu Imz
Tập hợp các số phức đƣợc kí hiệu là C,
nghĩa là C = z = a + bi ,a,b  R và R  C
* Chú ý:


Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 đƣợc coi là số thực và viết là a +

0i = a  R  C
Số phức có phần thực bằng 0 đƣợc gọi là số ảo (còn đƣợc gọi là số thuần
ảo) z = 0 + bi (b  R)



Số 0 = 0 + 0i = 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức z = a +bi (a,b  R) z’= a’+ b’i (a’,b’  R) goị là bằng nhau

nếu a = a’ và b = b’. Khi đó ta viết z = z’.
1.1.2. Các tính chất của số phức
1.1.2.1. Phép cộng và phép trừ số phức
1.1.2.1.1. Tổng của hai số phức
Định nghĩa: Tổng của hai số phức z = a + bi (a,b  R), z’= a’ + b’i
(a’,b’  R) là số phức z + z’= a + a’ + ( b + b’)i.
Nhƣ vậy, để cộng hai số phức ta cộng các phần thực với nhau, cộng các phần
ảo với nhau.

3

1.1.2.1.2. Tính chất của phép cộng số phức
Phép cộng số phức có các tính chất nhƣ phép cộng các số thực
 Tính chất kết hợp: (z + z’) + z’’ = z + (z’+z’’) với mọi z,z’,z’’ C.
 Tính chất giao hoán: z + z’= z’+ z với mọi z,z’ C.
 Với số phức z= a+bi (a,b  R), nếu kí hiệu số phức -a - bi là -z thì ta có:
z + (-z) = (-z) + z = 0. Số -z đƣợc gọi là số đối của số phức z.
 Cộng với 0: z + 0 = 0+z = z với mọi z  C.
1.1.2.1.3. Phép trừ hai số phức
Định nghĩa: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z và –z’,
tức z – z’= z + (-z’)
Nếu z = a + bi (a,b  R), z’= a’+b’i (a’,b’  R) thì z – z’= a –a’+ (b –b’)i
1.1.2.1.4. Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức.
Trong mặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a,b) biểu diễn số

phức z = a+bi. Ta cũng coi mỗi véctơ u có tọa độ (a,b) biểu diễn số phức

z = a+bi. Khi đó nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là véctơ OM
biểu diễn số phức đó.
 
 
Dễ thấy rằng nếu u, u' theo thứ tự biểu diễn các số phức z thì u + u' biểu
 
diễn số phức z + z’, u - u' biểu diễn số phức z – z’.
1.1.2.2. Phép nhân số phức
1.1.2.2.1. Tích của hai số phức
Cho 2 số phức z = a + bi, z’= a’+ b’i (a,b,a’,b’  R). Thực hiện phép
nhân một cách hình thức biểu thức a + bi với biểu thức a ’+ b’i rồi thay i2 = -1
ta đƣợc:

(a + bi)(a’ + b’i) = aa’+ bb’i2 + (ab’+a’b)i = aa’-bb’+(ab’+a’b)i
Định nghĩa: Tích của hai số phức z = a + bi và z’= a’ + b’i (a, b, a’, b’ R)
là số phức zz’ = aa’- bb’+ (ab’ + a’b)i.

4


Nhận xét: Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, b  R) ta có
k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi, đặc biệt ) 0.z = 0 với mọi số phức z.
1.1.2.2.2. Tính chất của phép nhân số phức
Phép nhân các số phức có tính chất tƣơng tự nhƣ phép nhân các số thực
 Tính chất giao hoán: z.z’= z’.z với mọi z,z’  C.
 Tính chất kết hợp: (z.z’).z’’= z.(z’.z’’) với mọi z,z’,z’  C.
 Nhân với 1: 1.z = z.1= z với mọi z  C
 Tính chất phân phối ( của phép nhân đói với phép cộng):
z.(z’ + z’’) = z.z’ + z.z’’ với mọi z,z’,z’’  C.
Kết luận: Từ các tính chất vừa trình bày ta đi đến kết luận là mọi số phức đều
viết đƣợc dƣới dạng đại số z = a + bi (a,b  R) và để thực hiện phép cộng, phép
nhân số phức ta có thể tiến hành nhƣ đối với nhị thức a + bi ( coi a + bi là đa
thức của biến i với hệ số thực) mà khi gặp i2 thì ta thay bằng -1.
1.2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên trục số. Đối
với số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z = a + bi (a, b 
R) đƣợc biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a,b). Ngƣợc lại, rõ ràng mỗi điểm
M(a; b) biểu diễn một số phức là z = a + bi. Ta còn viết M(a + bi) hay M(z).
Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức nhƣ thế đƣợc gọi
là mặt phẳng phức.
y

Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các
số thực, do đó trục Ox còn đƣợc gọi là trục thực.

M(z)

b

Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo,
do đó trục Oy còn đƣợc gọi là trục ảo.

O

5

a

x


1.3. SỐ PHỨC LIÊN HỢP VÀ MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC
1.3.1. Số phức liên hợp
1.3.1.1. Định nghĩa
Số phức liên hợp của z = a + bi (a,b  R) là a - bi và đƣợc kí hiệu bởi z .
Nhƣ vậy z = a + bi = a - bi
Rõ ràng z = z nên ngƣời ta còn nói z và z là hai số pức liên hợp với
nhau (gọi tắt là hai số phức liên hợp).
Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối
xứng với nhau qua trục thực Ox.
1.3.1.2. Tính chất
 z + z = 2Rez z  C

 z - z = 2iImz ∀z  C
 ∀ z  C, z  z  z  R  C
 ∀ z  C, z = - z  z là số thuần ảo
 z = z ∀z  C
 z1 + z 2 = z1 + z 2 z1 ,z 2  C
 z1.z 2 =z1.z 2 , z1, z 2  C

z  z
  1  = 1 z1 ,z 2  C
 z2  z2
 λ.z = λ.z   R, z  C





 z.z = a 2 + b2 hay z z  0 z = a + bi  C
1.3.2. Môđun của số phức
Định nghĩa: Mô đun của số phức z = a + bi (a,b  R) là số thực không âm
a2  b2

và đƣợc kí hiệu là z

Nhƣ vậy z = a + bi (a,b  R) thì z  z.z  a 2  b 2

6


Nhận xét:
+ Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó.

+ z = 0 khi và chỉ khi z  0 .
1.4. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
1.4.1. Số phức dƣới dạng lƣợng giác
1.4.1.1. Acgumen của số phức z  0
Định nghĩa: Cho số phức z  0 . Gọi M là

y

điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z.

M(z)

b

Số đo (rađian) của mỗi góc lƣợng giác tia đầu Ox,
tia cuối OM đƣợc gọi là một acgumen của z.



Chú ý: Nếu  là một acgumen của z thì
mọi acgumen của z có dạng   k 2 , k  Z .

a

O

x

(Ngƣời ta thƣờng nói: Acgumen của z  0 xác định sai khác   k 2 , k  Z ).
1.4.1.2. Dạng lƣợng giác của số phức

Xét số phức: z = a + bi (a,b  R ).
Kí hiệu r là môđun của z và  là acgumen của z thì a = rcos φ , b = rsin φ .
Vậy z = a + bi  0 có thể viết dƣới dạng z = r(cos φ + isin φ )
Định nghĩa: Dạng z = r(cos φ + isin φ )
trong đó r > 0 đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của
số phức z ≠ 0.
Còn dạng z = a +bi (a,bR) đƣợc gọi là dạng đại

y
M(a

b

+ib)

r


số của số phức z.
Nhận xét: Để tìm dạng lƣợng giác

O

a

x

r( cos φ + isin φ ) của số phức z = a +bi (a,b ≠0 ) ta cần:
 Tìm r: Đó là môđun của z, r = a 2 +b2 số r đó cũng là khoảng cách từ
gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức.

7


 Tìm φ: Đó là một acgumen của z, φ là một số thực sao cho cosφ =
và sinφ =

a
r

b
, số φ đó cũng là số đo một góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối
r

OM.
+) z  1 khi và chỉ khi z = cosφ + isinφ ( φ ∈ R)
+) Khi z = 0 thì z = r =0 nhƣng acgumen của z không xác định ( đôi khi
acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0 = 0(cosφ + isinφ).
1.4.2 Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác
Nếu z = r(cos φ + isin φ ), z’ = r’( cosφ’+ isinφ’) ( r  0, r  0 ) thì
z.z’ = r.r’  cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)  .
z r
  cos(φ+φ'+isin(φ-φ') khi r > 0.
z' r'

Nhƣ vậy để nhân các số phức dƣới dạng lƣợng giác ta lấy tích các
môđun và tổng các acgumen, để chia các số phức dƣới dạng lƣợng giác ta lấy
thƣơng các môđun và hiệu các acgumen.
1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E2
Định nghĩa: Trong E2, điểm M(a; b) cho tƣơng ứng với số m = a + bi thì

số m đƣợc gọi là tọa vị của điểm M, kí hiệu là M(m).
Kí hiệu một điểm trong mặt phẳng bởi chữ cái in hoa và tọa vị của nó là
chữ cái in thƣờng tƣơng ứng.
1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E2

Định nghĩa: Trong E2 véctơ   a;b  cho tƣơng ứng số phức z = a + bi.


Khi đó z gọi là tọa vị của véctơ  . Kí hiệu là véctơ   z  .
1.4.5 Biểu diễn số phức theo những điểm
Trong E2 cho hai số phức dƣới dạng đại số z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2
Điểm O là gốc tọa độ. Xác định hai véctơ

8


 
OZ1 ,OZ2 biểu diễn hai số phức z1, z2
y

+ Nếu Z1, Z2 có cùng giá:
  
OZ
 OZ1  OZ2
Số phức z = z1 + z2 là

z

+ Nếu Z1, Z2 không cùng giá:

Z1

Z2

Dựng hình bình hành OZ1ZZ2.
Suy ra: z = (x1 + x2; y1 + y2) biểu diễn

O

x

tọa vị của z1 + z2
Do đó tổng của hai số phức có thể

y
Z

biểu diễn nhƣ tổng của hai véctơ trong

Z1

mặt phẳng.

Z2
O

x

Nhận xét: Sự biểu diễn số phức trong mặt phẳnghoàn toàn thích hợp khi
xem xét cộng, trừ hai vectơ với cộng, trừ hai số phức.

1.4.6 Khoảng cách giữa hai điểm


Giả sử M(z1), N(z2)  E2. Ta có MN  z 2  z1 . Khi đó khoảng cách giữa

hai điểm M, N đƣợc tính theo công thức: MN  MN   z 2  z1  z 2  z1 .





1.5 Công thức Moa- Vrơ
1.5.1 Công thức Moa- Vrơ
Với mọi số nguyên dƣơng n thì ta có:

 r(cosφ+isinφ)

n

 r n (cosnφ+isinnφ)

và khi r = 1 ta có:  cosφ+isinφ  =cosnφ+isinnφ .
n

Cả hai công thức đó đều gọi là công thức Moa- Vrơ
*Chú ý: Công thức Moa- Vrơ còn đúng khi n nguyên âm (và cả khi n =
0,

z = r(cos φ + isin φ ) ≠ 0).

9


1.5.2 Căn bậc n của số phức.
Cho số nguyên n  2 . Căn bậc n của số phức z là một số phức z’ sao cho
z'n  z ( nếu z = 0 thì z’ = 0). Nhƣ vậy z  C,z  0,z  z  cos  isin 

n  N* thì
đó

n

n

 k2 

  k2 
z  n z  cos 
  isin  
 k  z,k  0,n  1 (trong
n
n 
n 

n

z

là căn bậc n của một số thực không âm).
1.6 Phƣơng trình bậc hai với hệ số phức

Ax2 + Bx + C = 0 ( A≠ 0) với A, B, C là các số phức
∆ = B2 – 4AC
+, Nếu ∆ = 0 thì phƣơng trình có nghiệm kép z =

-B
2A

+, Nếu ∆ ≠ 0 thì ta tìm các căn bận hai w của ∆ thì phƣơng trình có hai
nghiệm phân biệt z1,2 =

B±w
2A

10


CHƢƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP
2.1 Các dạng toán thƣờng gặp về số phức
2.1.1 Dạng 1: Tổng hợp về kĩ năng cộng, trừ nhân chia số phức
Nguyên tắc chung để tính toán
 Do có các tính chất giao hoán, phối hợp nên quy tắc cộng, trừ số phức là
cộng riêng, trừ riêng các phần thực và phần ảo.
 Do có các tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân, tính chất phân phối
của phép nhân đối với phép cộng nên phép nhân hai số phức đƣợc thực hiện
theo quy tắc nhân đa thức thông thƣờng rồi thay:
i2  1,i3  i 2i  i,i 4  i 2 .i 2  1,........,i 4m  1,i 4m1  i,i 4m2  1

 Để tính

z

, ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu z '
z'

 Tổng quát là tính gọn từng bƣớc, dung các giá trị của i n và hạ bậc các lũy
thừa, tính gọn mẫu nếu có trƣớc khi nhân số phức liên hợp,…
Chú ý): +) z  z 2 ; z  z 2  z là số thực
2

2

+) Có thể dung công thức tính tổng các cấp số nhân:

u1  u 2  u 3  ......  u n  u1.

1  qn
,q  1,
1 q

hoặc hằng đẳng thức:
a n  bn   a  b   a n 1  a n 2b  a n 3b2  ........  abn 2  bn 1 

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau.

1  2i

2

a)

c) z =  2 + i  - (3 + 2i)3

3

3i

b) z =

 3+i 1-2i 
 3+2i 
2

d) z  1  3i2  i 
2

11

4  2i
1 3i


Lời giải:

1+4i-4 -3+4i  -3+4i  3+i 
-13+9i
=
=
=
3-i
3-i
10
10

a) Ta có z =

Vậy phần thực của z bằng 

13
9
, phần ảo
10
10

b) Ta có:

2 + i

3

= 23 + 3.22 .i + 3.2.i 2 + i 3 = 2+11i

 3+2i 

3

= 33 +3.32 .2i + 3.3.(2i) 2 + (2i)3 = -9 + 46i

Suy ra z = 11-35i.
Vậy phần thực của z bằng 11, phần ảo bằng -35.
c) Ta có (3 + i)(1 – 2i) = 5 - 5i ; (3 +2i)2 = 5 +12i.

suy ra z =

 5 - 5i  5 + 12i 
52 +122

Vậy phần thực của z bằng

=

85
35
, phần ảo bằng
169
169

d) Ta có z = (1 + 3i)(3 – 4i) 
= 15 + 5i 

85 + 35i
169

 4 -2i 1 + 3i 
10

10+10i
= 16 + 6i.
10

Vậy phần thực của z bằng 16; phần ảo bằng 6.
Ví dụ 2: Tìm môđun số phức z biết

1. 1 + 2z  3 + 4i  = 29 +22i1
2.  2 - i 3z + 1 =  z + 2  4 - 5i  2
Lời giải:
1. Ta có 2z + 1 

29+22i
13+9i
suy ra z 
=3–i
3+4i
3+4i

suy ra z  32  12  10

12


2. Ta có (6 – 3i)z + 2 – i = (4 – 5i)z + 8 – 10i
6 - 9i
3 15
=- i.
2 + 2i
4
4

 (2 + 2i)z = 6 – 9i suy ra z =
suy ra z 

3 26
.

4

Ví dụ 3: Tìm số phức liên hợp của số phức z biết

2 + i + 2 - i
2 + i - 2 - i
3

a)

3

3

b. z = i + i2 +...........+ i2009

3

 1 + 3 3i 
c) z = 

 2 - 3i 

2011

d. z = 1 + i  + 1 + i  +..........+ 1+i 
2

3

Lời giải:
a) Ta có  2+i   2 + 11i;  2 - 3i   2 – 11i
3

suy ra z =

3

2 + 11i + 2 - 11i
4
-2
2
=
=
. Vậy z = i .
2 +11i - (2 - 11i) 22i 11i
11

b) Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân ta có:

i 2009 -1
i-1
z=i
=i
= i. Vậy z = -i.
i-1
i-1
c) Đặt w 



1+3 3i
= -1 + 3i  w 2 = 2 1 + 3i
2- 3i









 w 3 = w 2 .w = -2 1 + 3i -1 + 3i = 8
 z = w 2011 =  w 3  .w = 8670 (-1 + 3i) = 22010 (-1 + 3i)
670





Vậy z = -22010 1 + 3i .
d) Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân, ta có:
z =  i + 1

1 + i 

-1
1 + i 
-1 - i = 1+ i 

1 + i -1
i
2010

2010

13

-1

-1 - i.

2010


Mà (1+i)2 =2i  1 + i 

2010

 z = -i. i + 1. 21005i -1

=  2i 

1005

= 21005 .i1004 .i = 21005.i

 -1-i=2

1005

i + 21005 - 2.

Vậy z = 21005 - 2 - 21005 i.
2.1.2 Dạng 2: Bài toán liên quan đến môđun của số phức
Để giải quyết tốt các dạng toán này chúng ta cần nắm chắc các kiến thức về
môđun số phức và các tính chất liên quan hình học phẳng, hàm số, hàm lƣợng
giác,…
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn z = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của:
2, B = 1 + z + 1 - z + z 2

1, A = 1 + z + 31 - z

Lời giải:
Đặt z = x + yi với x, y ∈ R
Vì z =1 nên y2 = 1 - x2 và x∈ [-1;1].
1, Ta có:
1+z =

1 + x 

1-z =

1 - x 

2

2

+ y2 = 2(1 + x)

+ y2 = 2(1 - x)

2 1 + x  + 3 2(1 - x) = f(x)

Do đó 1 + z + 31 - z =

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) =

2 1 + x  + 3 2(1 - x) với x∈ [-1;1].

Hàm số liên tục trên x∈ [-1;1] và với x∈ (-1;1) thì:
f’(x) =

1
2 1 + x 

-

3
2 1 - x 

, f’(x) = 0  x =

 -4 
Mà f(1) = 2, f(-1) = 6, f   = 2 10 nên:
5

14

-4
5


4 3
+) max A  2 10 khi z    i
z 1
5 5
+) min A  2 khi z  1
z 1

2, Vì 1 – z + z2 bằng 2x2 – x + y (2x – 1)y nên
1 - z + z2 =

 2x

2

- x  + y2  2x - 1 =
2

2

 2x - 1  x
2

2

+ y 2  = 2x - 1

Vậy nên B = 1 + z + 1 - z + z 2 = 2 1 + x  + 2x - 1
Đặt g(x) =

2(1 + x) + 2x - 1 với x∈ [-1;1].

Xét 2 trƣờng hợp:
1 
 Trƣờng hợp 1: Xét x   ;1 thì g(x) =
2 

Ta có g’(x) 

2(1 + x) + 2x - 1

1 
+ 2 > 0 ∀x   ;1 nên:
2 
2 1 + x 
1

1
 3.
2
 

max g x   g 1  3 , min g x   g 
1 
 2 ;1

 

1 
 2 ;1
 

 1
 Trƣờng hợp 2: Xét x   1;  thì g(x) =
 2

2 1 + x  - 2x + 1

1
7
- 2 > 0 , g’(x) = 0  x = - và:
8
2(1 + x)

Vì g’(x) 

 7  13  1 
g(-1) = 3 , g  -  =
, g  = 3
4
 8
2
 7  13
Nên max g(x) = g  -  =
và không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
 1

8
4
 
-1; 


2

So sánh hai trƣờng hợp, ta có:
 max B =
z =1

7
13
khi z = - ±
8
4

15
i
8

15


 min B  3 khi z =
z =1

1
3

±
i
2
2

Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn z + 2 - 2i = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của z .
Lời giải:
Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Vì z + 2 - 2i = 1 nên:
x + 2 +  y - 2  i = 1   x+2  +  y-2  = 1.
2

2

Vì thế có thể đổi biến x + 2 = cost, y - 2 = sint với 0  t  2π .
Khi đó:

x 2 + y 2 =  cost - 2  +  sint + 2 
2

2

 π
= 9 + 4  sint - cost  = 9 + 4 2sin  t - 
 4
r

Mà 1  sin  t -   1 nên 9 - 4 2  x 2 + y 2  9 + 4 2 , do đó:
 4

9 - 4 2  z  9 + 4 2  2 2 - 1 z  2 2 + 1

 z = 2 2-1 khi t 

2
2
7
,y = 2 .
hay x = -2 +
2
2
4

Vậy min z  2 2  1 đạt đƣợc khi z = -2 +

 z = 2 2+1 khi t =


2
2
+ i 2 .
2
2



3π
2
2
hay x = -2 ,y=2+

.
4
2
2

Vậy max z = 2 2 +1 đạt đƣợc khi z = -2 -


2
2
+ i 2 +
.
2
2



Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa z = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của:

16


1. A 

z  5i
z

2. B = z 2 + z + 1 + z3 + 1.
Lời giải:

1. Ta có: A  1 
Mà 4 =

5i
z

5i
5i 5i
- 1  1+ 
+ 1 = 6 4  A  6.
z
z
z

Khi z = -i  A = 4, suy ra minA= 4.
Khi z = i  A = 6, suy ra maxA = 6.
2. Ta có: B  z + z + 1+ z + 1 = 5
2

3

Đẳng thức xảy ra khi z = 1. Vậy maxB = 5.
Mặt khác: B 

1 - z3
1-z

+1 + z 
3

1 - z3
2

+

1 + z3
2



1- z3 +1+ z3
2

= 1.

Đẳng thức xảy ra khi z = -1. Vậy minB = 1.
Ví dụ 4: Cho α, β là hai số phức liên hợp thỏa mãn

α
 R và α - β = 2 3 .
β2

Tính  .
Lời giải:
Đặt  = x + yi  β = x – yi với x,y  R.
Không giảm tính tổng quát, ta coi y  0 . Vì α - β = 2 3 nên 2iy = 2 3

y = 3
α

α3
Do α,β là hai số phức liên hợp nên α.β ∈ R, mà 2 =
2  R do đó
β
 αβ 

α3  R khi và chỉ khi 3x 2 y - y3 = 0  y 3x 2 - y2  = 0  x 2 = 1 .
Vậy α  x 2 + y2  1  3  2 .

17


Ví dụ 5: Cho hai số phức z1 và z2. Chứng minh rằng



1. z1  z 2  z1  z 2  2 z1  z 2
2

2

2

2



2. 1  z1z 2  z1  z 2  1  z1z 2    z1  z 2 
2

2

2

2

3. z1  z 2  z1  z 2  z1  z 2
Lời giải.
1. Ta có:







z1  z 2  z1  z 2   z1  z 2  z1  z 2   z1  z 2  z1  z 2
2

2








  z1  z 2  z1  z 2   z1  z 2  z1  z 2

 

2



1  z1z 2  z1  z 2  1  z1z 2 1  z1z 2   z1  z 2  z1  z 2





 2 z1 z1  z 2 z 2  2 z1  z 2
2



2. Ta có
2

2















 1  z1z 2 1  z1 z 2   z1  z 2  z1  z 2
2

2

2

= 1 + z1 z 2 - z1 - z 2

2





(1)

Mặt khác:

1  z z    z
2

1 2

Vì

1

z1z 2  z1 z 2

1 +

z1z 2

 z2



2

 1  2 z1z 2  z1z 2  z1  2 z1z 2  z 2 .
2

2

2

nên

 - z
2

1

+ z2



2

2

2

2

= 1 + z1 z 2 - z1 - z 2

2

 2

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
3. Gọi M, N, P lần lƣợt là biểu diễn hình học của

 OM  z1 , ON  z 2 và PO  z1  z 2
Ta có:

18

z1 ,z 2

và

z1  z 2


z1  z2  OP  OM  MP  OM  ON  z1  z 2
z1  z 2  OM  ON  OM  MP  OP  z1  z 2
y

.

P
M

N

x
O
2.1.3 Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm M (x,y) trong mặt phẳng phức biểu
diễn số phức z = x + yi.
Biểu diễn số phức



- Nếu z biểu diễn bởi u và z’ biểu diễn u ' thì z + z’ biểu diễn bởi
 
 
u + u' và z – z’ biểu diễn bởi u - u'

- Nếu z, z’ biểu diễn bởi M, M’ thì z + z’ đƣợc biểu diễn bởi
 
  

OM + OM' , z – z’ đƣợc biểu diễn bởi OM - OM' = M'M .


Nếu k là số thực, z biểu diễn bởi u thì kz biểu diễn bởi k u

Nếu k là số thực, z biểu diễn bởi điểm M thì kz biểu diễn bởi k OM
Tập điểm biểu diễn số phức



Cho z = x + yi; M(x,y) hay u (x,y), z’ = x’ + y’i ; M’(x’,y’) hay u'

(x’,y’) thì có:

z = R, R > 0  x2 + y2 = R2 hay OM = R
z  R, R > 0  x2 + y2  R2 hay OM  R
z -  a+bi  = R,  R > 0    x - a  +  y - b  = R 2 hay IM = R với I(a,b)
2

2

z -  a+bi   R,  R > 0    x-a  +  y-b   R 2 hay IM  R với I(a,b)
2

2

w - (x + yi) = w -  x' + y'i  , N biểu diễn w  NM = NM’.

19

Các loại phƣơng trình, hình dạng tập điểm:
Ax + By + C = 0, A2 + B2 ≠ 0: đƣờng thẳng
y = ax2+ bx +c: parabol

x - a
x - a

2

2

+  y - b  = R : đƣờng tròn tâm I(a,b) bán kính R.
2

+  y - b   R : hình tròn tâm I(a,b) bán kính R.
2

MF1 + MF2 = 2a, F1F2 < 2a: elip

MF1 - MF2 = 2a, F1F2 > 2a: hypebol
MI = MJ: trung trực của đoạn IJ.
Ví dụ 1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa:
1) z + 4 + 3i là số thực

2) z -1 + 2i = 1

3) z + 3i = z + 2 - i

4) z + 4 + 3i + z + 3 + 2i = 2

5) 5  4i  3z  1

6) z + 1 + 1 - z - 2 - 3i = 2
Lời giải:

1) Gọi N là điểm biểu diễn của số phức -4 - 3i  N(-4;-3)

 z + 4 + 3i là số thực  MN // Ox
Quỹ tích của M là đƣờng thẳng đi qua N và song song với Ox, đó là đƣờng
thẳng y = -3.
y

x

O
y=-3
-3
2) Gọi I là điểm biểu diễn số phức z1 = 1 - 2i  I(1;-2)
Khi đó: z -1 + 2i = 1  z - z1 =1  IM=1
Vậy quỹ tích của M là đƣờng tròn tâm I bán kính R = 1

20