Bài giảng: Một số bài toán thường gặp về đồ thị (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

GIẢI TÍCH 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§8 Một số bài tốn thường gặp về đò thị



Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.

Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.

2

Đ8 một số bài toán thờng gặp về đồ thị
bài giảng theo chơng
chơng trình chuẩn
1. Giao điểm của hai đồ thị

Để xét sự tơng giao của hai đồ thị:
y = f(x) và y = g(x)
chúng ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Thiết lập phơng trình hoành độ giao điểm:
f(x) = g(x).
(1)
Bớc 2: Giải hoặc giải và biện luận (1), tõ ®ã ®a ra lêi kÕt ln.
ThÝ dơ 1: Cho hµm sè (C): y = x4  2x2  3.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b. Với các giá trị nào của m đờng thẳng y = m cắt đồ thị của hàm số đà cho tại
bốn điểm phân biệt ?
(
Giải
y
A
BC
a. Ta lần lợt có:
)x
O
1. Hàm số xác định trên D = .
2. Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực:


lim y = lim x 4  1  22  34   .

x 
x
x
x


Bảng biến thiên:
3
1

y' = 4x34x,
y
1
x 0
3
y' = 0  4x 4x = 0  
.

=
 x 1
4
x 
0
1
+

m
y'
0
+

0
0
+


y +
CT
C§
CT
+
4
3
4
 §iĨm n:
1
y'' = 12x24, y'' = 0 12x24 = 0 x =
.
3
1
Vì y" đổi dấu khi x qua các điểm
nên đồ thị hàm số có hai điểm
3
1
1
32
32
uốn là U1  
;
;
 vµ U 2 

.
9 
9 
3

 3





 



3. Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A 3; 0 , B 3; 0 .
b. Ta cã thĨ lùa chän mét trong c¸c cách sau:
Cách 1: Phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đ ờng thẳng y = m
cã d¹ng:
x4  2x2  3 = m  x4 2x2 3 m = 0.
(1)
Đặt t = x2, t 0, khi đó (1) có dạng:
t2t m  3 = 0.
(2)

3


Đờng thẳng y = m cắt đồ thị của hàm số đà cho tại bốn điểm phân biệt khi ph ơng
trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt dơng (0 < t1 < t2), tøc lµ:

 '  0
4  m  0


 4 < m< 3.
 S  0  2  0
P  0
 m  3  0


Vậy, với 4 < m< 3 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Cách 2: Dựa vào đồ thị ta thấy ngay đờng thẳng y = m cắt đồ thị của hàm số đà cho
tại bốn điểm phân biệt khi 4 < m< 3.


Nhận xét: Nh vậy, các em cũng cần linh hoạt trong việc sử dụng phơng pháp
đồ thị để thực hiện yêu cầu của bài toán.
Hoạt động

x 2 2x
.
1 x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng
= x m luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
Cho hàm số (H) : y

y

Chú ý: Để tăng độ khó cho bài toán ngời ta thờng đa thêm vào tính chất của
giao điểm.
Thí dụ 2: Cho hµm sè (H) : y 

x 2
.
2x  1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Chứng minh rằng đờng thẳng y = mx + m 1 luôn đi qua một điểm cố định
của đờng cong (H) khi m biến thiên.
c. Tìm các giá trị của m sao cho đờng thẳng đà cho cắt đờng cong (H) tại hai
điểm thuộc cùng một nhánh của (H).
Giải
a. Bạn đọc tự giải.
b. Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của họ đờng thẳng, khi ®ã:
y0 = mx0 + m  1, m  (x0 + 1)m  1  y0 = 0, m
x  1 0
x  1
  0
  0
 M(1; 1)  (H).
 1  y 0 0
y 0  1
Vậy, họ đờng thẳng luôn đi qua điểm cố định M(1; 1) của đờng cong (H) khi m
biến thiên.
c. Phơng trình hoành độ giao điểm của đờng thẳng với đồ thị hàm số là:
x2
= mx + m 1
2x 1

1
 f(x) = 2mx23(m  1)x + m  3 = 0 với x .
(1)
2
Đờng thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị:
1
(1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 vỊ mét phÝa cđa 
2
4


1

m 0
2m 0
 x1  x 2   2


 
   0
 m 2  6m  9  0
 1  x  x
m.f(  1/ 2)  0
m  0
1
2

 2

 3  m < 0.

VËy, với 3 m < 0 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Hoạt động

2x 1
.
x 1
Với các giá trị nào của m đờng thẳng (dm) đi qua điểm A(2;
2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đà cho cho:
a. Tại hai điểm phân biệt ?
b. Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?
c. Tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị ?
Cho hµm sè (H) : y 

ThÝ dơ 3: Cho hµm số:
(C) y = 2x3 + 3x2 + 1.
a. Tìm các giao ®iĨm cđa ®êng cong (C) víi parabol (P): y = 2x2 + 1.
b. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại các giao điểm của chúng.
c. Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dới (P)
Giải
a. Phơng trình hoành độ giao điểm cã d¹ng:
2x3 + 3x2 + 1 = 2x2 + 1  2x3 + x2 = 0  x2(2x + 1) = 0
(1)



 x 0  y 1
 
.
 x  1 y 3

2
2
1 3
Vậy, ta đợc (C) (P) = {A(0; 1), B(A(0; 1), B( ; )}.
2 2
b. Vì A là giao điểm kép (x = 0 là nghiệm kép) nên phơng trình tiếp tuyến tại A của
(C) vµ (P) gièng nhau, cơ thĨ:
(dA): y  1 = y'(0).x (dA): y = 1.
Tại giao điểm B lần lợt với (C) và (P):
Với (C) ta có y' = 6x2 + 6x do đó phơng trình tiếp tuyến t¹i B cã d¹ng:
3
1
1
3
3
(d1B): y  = y'( ).(x + )  (d1A): y =  x + .
2
2
2
2
4
 Víi (P) ta có y' = 4x do đó phơng trình tiÕp tuyÕn t¹i B cã d¹ng:
3
1
1
1
(d2B): y  = y'( ).(x + )  (d1A): y = 2x + .
2
2
2

2
c. B»ng viƯc xÐt dÊu biĨu thøc ë VT cđa (1), ta cã kÕt luËn:
1
 (C) n»m díi (P) khi x thuéc (;  ).
2
1
 (C) n»m trªn (P) khi x thuéc ( ; +)\{A(0; 1), B(0}.
2

5


Hoạt động

a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2 x + 1 và đồ thị (H) của hàm
1
số y =
.
x 1
b. Tìm giao điểm của hai ®êng cong (P) vµ (H). Chøng minh
r»ng hai ®êng cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm
của chúng.
c. Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phÝa
díi cđa (H).

2. sù tiÕp xóc cđa hai ®êng cong

Sư dụng mệnh đề:
" Hai đồ thị hàm số y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc nhau khi vµ chỉ khi hệ phơng
trình sau có nghiệm:

f(x) g(x)
"

f '(x) g'(x)
Khi đó, nghiệm của hệ phơng trình chính là hoành độ tiếp điểm.
Thí dụ 4: Chứng minh rằng các đồ thị cđa ba hµm sè:

f(x) = x2 + 3x + 6, g(x) = x3  x2 + 4 vµ h(x) = x2 + 7x + 8
tiếp xúc với nhau tại điểm A(1; 2).
Giải
Ta lần lợt thực hiện:
Xét hệ phơng tr×nh:
 x 2  3x  6 x 3  x 2  4
x 3  3x  2 0
f(x) g(x)



 2

2
 2x  3 3x  2x
3x  3 0
f '(x) g'(x)
 x = 1  y = 2.
Suy ra, đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau tại điểm A(1; 2).
Xét hệ phơng trình:
x 2 3x 6 x 2  7x  8
x 2  2x  1 0
f(x) h(x)

 
 

f '(x) h '(x)
4x  4 0
 2x  3 2x  7
 x = 1 y = 2.
Suy ra, đồ thị hai hàm sè y = f(x) vµ y = h(x) tiÕp xóc với nhau tại điểm A(1; 2).
Vậy, các đồ thị của ba hàm số tiếp xúc với nhau tại điểm A(1; 2).
Hoạt động

Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số:
1
3
3x
f(x) = x2 + x vµ g(x) =
2
2
x2
tiÕp xóc víi nhau. Xác định tiếp điểm của hai đờng cong trên
và viết phơng trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó.

Bài toán: Chứng minh rằng đờng thẳng (d): y = px + q lµ tiÕp tun cđa parabol
(P): y = ax2 + bx + c khi và chỉ khi phơng trình:
ax2 + bx + c = px + q hay ax2 + (b  p)x + c  q = 0
cã nghiƯm kÐp, tøc lµ  = (b  p)2  4a(c q) = 0.
Giải
Để (d) tiếp xúc với (P) ®iỊu kiƯn lµ hƯ sau cã nghiƯm:

6

ax 2  bx  c px  q
ax 2  (b  p)x  c  q 0
 
.

2ax  b p
2ax  b p
p b

x

a 0
2a

 
2
a  p  b   (b  p). p  b  c  q 0
  2a 
2a
 (b  p)2  4a(c  q) = 0, ®pcm.


Chó ý: Có thể áp dụng điều khẳng định trong bài toán trên để xét sự tiếp xúc
của đờng thẳng và parabol.
1
3
Thí dụ 5: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A  ;   cña parabol (P): y =
2

2

x2 3x + 2.
Giải
Đờng thẳng (d) đi qua A víi hƯ sè gãc k cã d¹ng:
3 1

(d) : y k x .
2 2


Phơng trình hoành ®é giao ®iĨm cđa (d) vµ (P) lµ:
3 1

x 2  3x  2 k  x   
 2x2  2(k + 3)x + 3k + 5 = 0.
2 2


(1)

Để (d) tiếp xúc với (P) điều kiện là phơng trình (1) có nghiệm kép, tức:
= 0 (k + 3)2  2(3k + 5) = 0  k2  1 = 0  k = 1.
Khi ®ã:
 Với k = 1 ta đợc tiếp tuyến (d1): y = x 2.
Với k = 1 ta đợc tiÕp tuyÕn (d2): y = x + 1.
VËy, tån t¹i hai tiếp tuyến (d1), (d2) thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Hoạt động
Cho parabol (P): y = x2 + 2x 3.
Viết phơng trình tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến:

a. Song song với đờng thẳng y = 2x + 3.
b. Vuông góc với đờng thẳng y = x + 3.
c. Đi qua điểm A(2; 4).

Thí dụ 6: Cho hàm số:
2
y = ax bx .
x 1

a. Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đà cho ®i qua ®iĨm A   1;

vµ tiÕp tun cđa (C) tại điểm O có hệ số góc bằng 3.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a, b đà tìm đợc.
Giải
a. Tríc tiªn ta cã:

5
2 

7


ax 2  2ax  b
 hƯ sè gãc cđa tiếp tuyến tại điểm O là kO = y'(0)
(x 1)2
 3 = b  b = 3.
a( 1)2  ( 3)( 1)
5
Vì điểm A thuộc đồ thị hàm số nên =
a = 2.

( 1) 1
2
Vậy, víi a = 2 vµ b = 3 tháa m·n điều kiện đầu bài.
b. Bạn đọc tự giải.

y' =

bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho hàm số:
(H) : y

2x 2 x 1
.
x 1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = m x cắt đồ thị hàm số đà cho tại
hai điểm phân biệt ?
c. Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn
thẳng AB khi m biến thiên.
Bài tập 2: Cho hàm số:
(C): y = x3 3x + 1.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn I của nó.
c. Gọi (dm) là đờng thẳng ®i qua ®iĨm I cã hƯ sè gãc m. T×m các giá trị của m
sao cho đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số đà cho tại ba điểm phân biƯt.
Bµi tËp 3: Cho hµm sè:
(Cm): y = x3  2m(x + 1) + 1.
a. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt.

b. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
Bài tập 4: Cho hµm sè:
(C) y = x3 + px + q.
a. Với điều kiện nào để hàm số có một cực đại và một cực tiểu ?
b. Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phơng trình:
x3 + px + q = 0
(1)
có ba nghiệm phân biệt.
c. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có ba nghiệm
phân biệt lµ 4p3  27q2 > 0.
2x  1
Bµi tËp 5: Cho hàm số (H) : y
.
x 1
Với các giá trị nào của m đờng thẳng (dm) đi qua điểm A(2; 2) và có hệ số góc m
cắt đồ thị của hàm số đà cho:
a. Tại hai điểm phân biệt ?
b. Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?
c. Tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị ?
Bµi tËp 6: Cho hµm sè (C): y = x33x.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đờng thẳng cho bởi phơng trình y = m(x +
1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại điểm A cố định. HÃy xác định m để đờng thẳng
8


cắt đồ thị (C) tại ba điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B
và C vuông góc với nhau.
Bài tập 7: Cho hàm sè:
(Cm): y = 2x3 + 2(6m1)x23(2m1)x3(1 + 2m) = 0.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổng
các bình phơng các hoành độ bằng 28.
Bài tËp 8: Cho hµm sè:
(Cm): y = mx3 + (3m4)x2 + (3m7)x + m3.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ
không dơng.
Bài tập 9: Cho hµm sè:
y = x4  (m + 1)x2 + m.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
b. Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành tại bốn
điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có ®é dµi b»ng nhau.
Bµi tËp 10: Cho hµm sè:
2
y = x x a .

x a
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
b. Xác định a để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d): y = x1 tại hai điểm
phân biệt. Khi đó gọi y 1, y2 là tung độ của hai giao điểm, hÃy tìm một hệ
thức giữa y1, y2 không phụ thuộc a.
Bài tập 11: Chứng minh rằng đồ thị của hai hµm sè:
1
3
3x
f(x) = x2 + x vµ g(x) =
2
2
x2

tiÕp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đờng cong trên và viết phơng trình
tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó.
Bài tập 12: Cho hàm số (Cm): y = 2mx3(4m2 + 1)x2 + 4m2.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =

1
.
2

b. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.

Xác định toạ độ tiếp điểm trong mỗi trờng hợp tìm đợc.

Bài tập 13: Cho hµm sè y = x3(m + 1)x2(2m23m + 2)x + 2m(2m1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Tìm các điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m. Từ kết quả đó xác định m
để đồ thị hàm sè tiÕp xóc víi trơc hoµnh.
Bµi tËp 14: Cho hµm số:
y = (x + 1)2(x1)2.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Xác định a để đồ thị hàm số tiếp xúc với (P): y = ax23.
Bµi tËp 15: Cho hµm sè:
2
y = ax  3ax 2a 1 .

x2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với a = 1.
b. Với giá trị nào của a thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = a.

9


Bài tập 16: Tìm các hệ số a và b sao cho parabol y = 2x 2 + ax + b tiếp xúc với
1
1
hypebol y =
tại điểm M ; 2  .
x
2 
Bµi tËp 17: Cho hµm sè (Cm): y = x2 + (2m + 1)x + m21.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đờng thẳng cố định.
Bài tËp 18: Cho hµm sè:
2 2
2
(Hm): y = 2m x  (2  m )(mx  1) .

mx  1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sè víi m = 1.
b. Chøng tá r»ng tiƯm cËn xiên của đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một
Parabol cố định.
Bài tập 19: Cho hàm số: (H): y =

x 2
.
x 2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(6; 5).
2
Bµi tËp 20: Cho hµm sè (H): y = x 2x 2 .
x 1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(1; 0) và hai
tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao.

10


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.250.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết

B. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Giao điểm của hai đồ thị.
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng kiến thức trong phần giao điểm của hai đồ thị.



Chú ý: Khi thực hiện bớc 2 các em học sinh cần nhớ lại các kiến thức về giải
phơng trình đại số, bao gồm:
Các phơng pháp giải phơng trình đa thức.
Các phơng pháp giải phơng trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ.
Các phơng pháp giải phơng trình mũ và lôgarit.
Các phơng pháp giải phơng trình lợng giác.
Ví dụ 1:
Cho hàm số:
(H) : y

2x 2 x 1
.
x 1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

11


b. Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = m x cắt đồ thị hàm số đà cho tại
hai điểm phân biệt ?
c. Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn

thẳng AB khi m biến thiên.
Giải
a. Bạn đọc tự giải.
b. Phơng trình hoành độ giao điểm của đờng thẳng với đồ thị hàm số là:
2x 2  x  1 = mx
x 1
 f(x) = 3x2  (m + 2)x + m + 1 = 0 với x 1.
(1)
Đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1
m 4 2 6
m 2  8m  8  0
  0
 
 
 
.
(2)
 m  4  2 6
f(1) 0
2 0
VËy, víi m > 4 + 2 6 hoặc m < 4 2 6 thỏa mÃn điều kiện đầu bài.
c. Với kết quả trong b), phơng trình (1) cã hai nghiƯm xA, xB tho¶ m·n:
m2

x A  x B  3
 A(xA; mxA), B(xB; mxB).

x x  m  1
 A B

3
Khi dã, täa ®é trung ®iĨm M(x; y) của AB đợc cho bởi:
xA xB
xA xB
m2



x  2
x  2
x  6
 
 

y  y A  y B
y m  x A  x B
y m  m  2



6
2
2

6x m  2
 
 30x  6y  12 = 0  5x  y  2 = 0.
6y 5m  2
VËy, tËp hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m biến thiên thuộc đờng
thẳng 5x y 2 = 0.

Chú ý: Nếu chỉ với yêu cầu b), chúng ta có thể sử dụng phơng pháp đồ thị
nh sau:
Biến đổi phơng trình hoành độ giao điểm về dạng:
2
2x 2  x  1
3x 2  2x  1
m. (*)
 x m 
m  3x  1 
x 1
x 1
x 1
Số nghiệm của phơng trình (*) bằng số giao điểm của đờng thẳng y = m với đồ thị
2
hàm số y 3x  1 
.
x 1
2
XÐt hµm sè y 3x 1
, ta có:
x 1
1. Hàm số xác định trªn D  \  1 .
2. Sù biÕn thiªn cđa hµm sè:

12


y' = 3

x

lµ:




2
2
, y' = 0  3(x  1)2 = 2  x1, 2 1  .
(x  1) 2
3
x2
x1
1
+

y'
+
0
0
+


CĐ
CT
+
+
y
f(x2)

f(x1)

Từ bảng biến thiên, suy ra điều kiện để phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt
m 4 2 6
 m  f (x 2 )
 
.

 m  f (x1 )
 m  4  2 6

VËy, víi m > 4 + 2 6 hc m < 4 2 6 thỏa mÃn điều kiện đầu bài.
Ví dụ 2:
Cho hµm sè:
(C): y = x3  3x + 1.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn I của nó.
c. Gọi (dm) là đờng thẳng đi qua điểm I có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m
sao cho đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số đà cho tại ba điểm phân biệt.
Giải
a. Bạn đọc tự giải.
b. Với điểm uốn I(0; 1) phơng trình tiếp tuyến có dạng:
(d): y 1 = y'(0).x  (d): y = 3x + 1.
c. Đờng thẳng (dm) có phơng trình:
(dm): y = mx + 1.
Phơng trình hoành độ giao điểm của (dm) với đồ thị hàm số là:
x 0
x3 3x + 1 = mx + 1  x3  (m + 3)x = 0   2
 x m  3 (*)
§êng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt khi:

Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt kh¸c 0
 m + 3 > 0  m > 3.
Vậy, với m > 3 thỏa mÃn điều kiện đầu bµi.
VÝ dơ 3:
Cho hµm sè:
(Cm): y = x3  2m(x + 1) + 1.
a. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
Giải
a. Phơng trình hoành độ giao điểm:
x3 2m(x + 1) + 1 = 0  (x3 + 1)  2m(x + 1) = 0
 x  1 0
(x + 1)(x2  x + 1  2m) = 0  
2
 g(x) x x 1 2m 0 (1)
Để đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt điều kiện là:
Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
13


  0
1  4(1  2m)  0
m  3 / 8
3
3
  g
 
 
 m .

8
2
g(  1) 0
3  2m 0
m 3 / 2

VËy, víi

3
3
 m thoả mÃn điều kiện đầu bài.
8
2

b. Bạn đọc tự giải.


Nhận xét: Nh vậy, với hai ví dụ trên cho dù phơng trình hoành độ giao điểm
là một phơng trình bËc ba, xong viƯc biƯn ln vỊ sè nghiƯm cđa nó đều đợc đa về
phơng trình bậc hai. Trong trờng hợp không thể phân tích để chuyển về phơng
trình bậc hai đợc chúng ta có thể sử dụng kết quả đợc trình bày thông qua ví dụ
sau:
Ví dụ 4:
Cho hàm sè:
(C) y = x3 + px + q.
a. Víi ®iỊu kiện nào để hàm số có một cực đại và một cực tiểu ?
b. Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phơng trình:
x3 + px + q = 0
(1)
có ba nghiệm phân biệt.

c. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có ba nghiệm
phân biệt là 4p3 27q2 > 0.
Giải
a. Miền xác định D = .
Đạo hàm:
f'(x) = 3x2 + p,
f'(x) = 0 3x2 + p = 0.
(*)
Để hàm số có một cực đại và một cực tiểu điều kiện là:
Phơng trình (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt  p < 0.
VËy, víi p < 0 thỏa mÃn điều kiện đầu bài.
b. Với hàm số trên (liên tục trên R), ta có ngay nhận xét xCĐ < xCT. Khi đó:
f(xCD) > 0 và f(xCT) < 0
lim f(x) = , vËy tån t¹i c1 < xCĐ để f(c1) < 0,
x
lim f(x) = + , vậy tồn tại c2 > xCT để f(c2) > 0,

x  

suy ra:
f(c1).f(xCD) < 0; f(xCD).f(xCT) < 0; f(xCT).f(c2) < 0.
Vậy, phơng trình (1) luôn có có ba nghiệm phân biệt.
c. Ta có:
f(xCD).f(xCT) < 0 ( x3CĐ + pxC§ + q)( x3CT + pxCT + q) < 0
 (3 x3C§ + 3pxC§ + 3q)(3 x3CT + 3pxCT + 3q) < 0
 [(3 x2C§ + p)xC§ + 2pxC§ + 3q][(3 x 2CT + p)xCT + 2pxCT + 3q] < 0
 (2pxC§ + 3q)(2pxCT + 3q) < 0  4p2xC§.xCT + 6q(xC§ + xCT) + 9q2 < 0
 p
 4p2    + 9q2 < 0  4p3  27q2 > 0.
 3


Chó ý: C¸c vÝ dơ tiÕp theo chóng ta sÏ quan t©m tíi tÝnh chÊt cđa giao ®iĨm.
14


Ví dụ 5:

Cho hàm số:

2x 1
.
x 1
Với các giá trị nào của m đờng thẳng (dm) đi qua điểm A(2; 2) và có hệ số góc m
cắt đồ thị của hàm số đà cho:
a. Tại hai điểm phân biệt ?
b. Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?
c. Tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị ?
Giải
Đờng thẳng (dm) có phơng trình:
(dm): y = m(x + 2) + 2  (dm): y = mx + 2m + 2.
Phơng trình hoành độ giao điểm của (dm) với đồ thị hàm số là:
2x 1
= mx + 2m + 2
x 1
 f(x) = mx23mx + 2m + 3 = 0 với x 1.
(1)
a. Đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt:
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
m 0

m 0
m 0
 2


   0
 9m  4m(2m  3)  0  m 2  12m  0
f(  1) 0
3 0
3 0



 m < 0 hc m > 12.
VËy, víi m < 0 hc m > 12 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
b. Đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị:
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biÖt x1 < 1 < x2
 af(1) < 0  m.3 < 0  m < 0.
VËy, víi m < 0 đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (dm) tại hai điểm thuộc hai nhánh
của đồ thị.
c. Đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị:
(1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 vỊ mét phÝa cđa 1
(H) : y 



m 0
m 0
 x1  x 2   1



 
   0
 m 2  12m  0  m > 12.
  1  x1  x 2
m.f(  1)  0
3m  0


VËy, víi m > 12 thoả mÃn điều kiện đầu bài.


Chú ý: Nếu dựa vào kết quả các câu a), b) chúng ta sẽ có ngay kết quả cho
câu c).
Ví dụ 6:
Cho hàm số:
(C): y = x33x.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đờng thẳng cho bởi phơng trình y = m(x +
1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại điểm A cố định. HÃy xác định m để đờng thẳng
cắt đồ thị (C) tại ba điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B
và C vu«ng gãc víi nhau.
15


Giải
a. Bạn đọc tự giải.
b. Hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 và đồ thị là nghiệm
phơng trình:
x33x = m(x + 1) + 2  (x + 1)(x2x2m) = 0

 x  1
 
2
 g(x) x  x  2  m 0 (*)
Vậy, khi m thay đổi, (d) luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm A(1; 2) cố định.
Đồ thị (C) cắt đờng thẳng (d) tại ba điểm phân biệt A, B, C
Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1
g 0
9 4m 0
9
 
 
  < m  0.
(**)

m

0
4
g( 1) 0

Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Vi - Ðt ta cã:
x B  x C 1
.

x B x C  2  m
TiÕp tun t¹i B, C theo thø tù cã hƯ sè gãc:
kB = y'(xB) = 3 x2B 3, kC = y'(xC) = 3 x2C 3.
Các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau khi:
kB. kC = 1  (3 x 2B  3)( 3 x2C 3) = 1

(**)
 9m2 + 18m + 1 = 0  m =  3 2 2 .
3
VËy, víi m =  3 2 2 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
3
Ví dụ 7:
Cho hµm sè:
(Cm): y = 2x3 + 2(6m1)x23(2m1)x3(1 + 2m) = 0.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổng
các bình phơng các hoành độ bằng 28.
Giải
a. Bạn đọc tự giải.
b. Phơng trình hoành ®é giao ®iĨm cđa (Cm) víi Ox lµ:
2x3 + 2(6m1)x23(2m1)x3(1 + 2m) = 0.
(1)
 (x1)[2x2 + 12mx + 3(1 + 2m)] = 0

 x 1

 

2
 f (x) 2x  12mx 3(1 2m) 0

(2)

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổng bình phơng các
hoành độ bằng 28
(1) có ba nghiệm phân biệt có tổng bình phơng bằng 28.

Trớc hết, phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt
phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

16



1 7
m 
 f  0
36m  12m  6  0
6
 
 
 
.
f
(1)

0

17

6m

0

17
1 7



m 

6
 6
2

Khi ®ã, (2) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mÃn:
x1  x 2  6m


3(1  2m) .
 x1.x 2
2



Tổng các bình phơng hoành độ các giao điểm bằng 28 khi:
x12 + x 22 + 12 = 28  x12 + x 22 = 27  (x1 + x2)22x1x2 = 27
 m 1

 36m23(1 + 2m) = 27 
.
m 1/12 (loại)
Vậy, với m = 1 thoả mÃn điều kiện đầu bài.


Chú ý: Trong trờng hợp việc xác định điều kiện để " Phơng trình (2) có hai
nghiệm phân biệt khác 1 " phức tạp chúng ta kiĨm tra ®iỊu kiƯn x12 + x 22 = 27 trớc sau đó thực hiện phép thử lại.
Ví dụ 8:

Cho hµm sè:
(Cm): y = mx3 + (3m4)x2 + (3m7)x + m3.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ
không dơng.
Giải
a. Bạn đọc tự giải.
b. Phơng trình hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lµ:
mx3 + (3m4)x2 + (3m7)x + m3 = 0
(1)
 (x + 1)[mx2 + 2(m2)x + m3] = 0
 x  1 0

 

2
 g(x) mx  2(m  2)x m 3 0 (2)

(I)

Để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ không dơng
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt không dơng
(2) có 2 nghiệm phân biệt không dơng (x1 < x2  0) kh¸c 1

m 0
a 0

 '  0
4  m  0
 g

 m  3
0
 P 0
 
 3  m < 4.
 m
S  0
 2(m 2)

0

g( 1) 0
m

1 0

Vậy, với m[3; 4) phơng trình có ba nghiệm phân biệt không dơng.
17



Chú ý: Trong chủ đề về "Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ toạ độ" chúng ta đÃ
biết cách giải bài toán "Tìm điều kiện để đồ thị hàm đa thức bậc ba cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng", ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ
yêu cầu này với hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng.
Ví dụ 9:
Cho hàm số:
y = x4 (m + 1)x2 + m.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
b. Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành tại bốn

điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Giải
a. Bạn đọc tự giải.
b. Đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ
dài bằng nhau tức là đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt với hoành độ
lập thành cấp số cộng.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phơng trình:
y = x4 (m + 1)x2 + m = 0.
(1)
Đặt t = x2, t 0, khi đó (1) có dạng:
t2(m + 1)t + m = 0.
(2)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phơng trình (2) phải có
hai nghiệm phân biệt dơng 0 < t1 < t2
 '  0

  b / a  0 
c / a  0


(m  1)2  4m  0

 0 < m  1,
m 1 0
m 0


và khi đó bốn nghiệm cđa (1) lµ  t 2 ,  t1 , t1 , t 2 .
Bốn nghiệm trên lập thành cấp sè céng:
 t 2  t 1  2 t1

 
 t 2 = 3 t1  t2 = 9t1.
 t 1 t 2 2 t 1
Theo định lí Vi - Ðt ta cã:
t 1  t 2 m 1

t 1t 2 m
Thay (3) vào (I) đợc:
t 1  9t1 m  1 10t 1 m  1
 2
 9m282m + 9 = 0 

t
.(9t
)

m
9t

m

1 1
 1

(3)

(I)

 m 9
m 1/ 9 .

1
đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành
9
ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Vậy, với m = 9 hoặc m =

Ví dơ 10:

Cho hµm sè:
2
y =  x x a .

x a

18


a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
b. Xác định a để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d): y = x1 tại hai điểm
phân biệt. Khi đó gọi y 1, y2 là tung độ của hai giao điểm, hÃy tìm một hệ
thức giữa y1, y2 không phụ thuộc a.
Giải
a. Bạn đọc tự giải.
b. Phơng trình hoành độ giao điểm của(d) với đồ thị hàm số là:
x 2 x a = x1  f(x) = 2x2 + (a2)x2a = 0 với x a.
x a
Đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d) tại hai điểm phân biệt khác a

phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
2
6 4 2  a 0
  0
(a  2)  16a  0
 
 

.

2
 a   6  4 2
f ( a) 0
(  a)  (a  2)( a) 2a 0
Khi đó phơng trình (1) có hai nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n:
a 2

 x1  x 2 
2

 x1x 2  a
Gäi y1, y2 lµ tung ®é cđa hai giao ®iĨm th×
 y1 x1  1
 x y  1
  1 1

 y 2 x 2  1  x 2 y 2  1
Thay (II) vào (I) đợc:
a 2

y1 y 2 2 
2  y1y2(y1 + y2) = 1,

(y1  1)(y 2 1) a
đó là một hệ thức giữa y1, y2 không phụ thuộc a.

(1)

(I)

(II)

Bài toán 2: Sự tiếp xóc cđa hai ®êng cong.
VÝ dơ 1:

Chøng minh r»ng ®å thị của hai hàm số:
f(x) =

1 2 3
3x
x + x và g(x) =
2
2
x2

tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đờng cong trên và viết phơng trình
tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó.
Giải
Xét hệ phơng trình:
3x

1 2 3
x  x

f(x) g(x)
2
x 2
2
 
 x = 0  y = 0.

3
6
f '(x) g'(x)
x  

2 (x  2)2
Suy ra, đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau tại gốc O.

19




Ví dụ 2:

Phơng trình tiếp tuyến chung có dạng:
3
(d): y = g'(0).x  (d): y = x.
2
Cho hµm sè (Cm): y = 2mx3(4m2 + 1)x2 + 4m2.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =

1
.
2

b. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.

Xác định toạ độ tiếp điểm trong mỗi trờng hợp tìm đợc.
Giải
a. Bạn đọc tự giải.
b. Đồ thị hàm số tiếp xóc víi trơc hoµnh khi vµ chØ khi hƯ sau cã nghiÖm:
2mx 3  4(m 2  1)x 2  4m 2 0 (1)
 y 0

.


2
2
(2)
 y ' 0
6mx  8(m 1)x 0
Từ (2), ta đợc
x 0

2
,
x 4(m 1)

3m
1
thay vào (1) đợc m = 0, m =
.
2
Vậy, ta lần lợt có:
Với m = 0 đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox tại điểm M 1(0; 0).
1
Với m =
đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox tại điểm M 2 2 2; 0 .
2
1
Với m =
đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox tại điểm M3 2 2; 0 .
2











Chú ý: Với hàm đa thức bậc ba chúng ta còn có thể sử dụng điều kiện nghiệm
kép để thiết lập điều kiện cho đồ thị của nã tiÕp xóc víi trơc hoµnh.
VÝ dơ 3:

Cho hµm sè y = x3(m + 1)x2(2m23m + 2)x + 2m(2m1).
a. Kh¶o sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Tìm các điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m. Từ kết quả đó xác định m
để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
Giải
a. Bạn đọc tự giải.
b. Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định của họ (Cm). Khi đó:
y0 = x 30 (m + 1) x 02 (2m23m + 2)x0 + 2m(2m1), m
 (2x0 + 4)m2( x 02 3x0 + 2)m + x 30  x 02 2x0y0 = 0, m
 2x 0  4 0
 x 0 2

  x 02  3x 0  2 0
 
 M(2, 0).
y0 0

 3
2
 x 0  x 0  2x 0 y 0 0
Vậy, họ (Cm) luôn đi qua điểm cố định M(2,0).

20