Khoá luận tốt nghiệp nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu kỳ dị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

CAO THỊ THOA

NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYEN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIẼU KỲ DỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

CAO THỊ THOA

NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYEN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIẼU KỲ DỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS. TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa
luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải
tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban
chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khóa luận
này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian, do
trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không
tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận
được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Cao Thị Thoa


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn
tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiên cứu nghiệm của phương
trình vi phân thường cấp hai ph i tuyến bằng phương pháp nhiễu kỳ d ự là
kết quả của việc nghiên cứu, học tập và sự nỗ lực của bản thân, không có sự

trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm.

Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Cao Thị Thoa


Mục lục

1

2

Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Phương trình vi phân cấp hai

3

1.2

Phương trình tuyến tính

4

1.3

Phương trình autonom trong mặt phẳng pha

5

1.4

Chu trình giới hạn

12

Phương pháp nhiễu kì dị

22

2.1

Sự xấp xĩ không đều của các hàm số trên một đoạn

22

2.2

Nhiễu tọa đ ộ ................................................................

24

2.3

Phương pháp L ig h th ilĩỊ ...............................................................

33

2.4

Thang thòi gian đối vói nghiệm chuỗi của phương trình autonom 36

2.5

Phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút

47

2.6

Kết hơp các xấp xỉ trên môt đoan

61

2.7

Kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân

67

2

Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

MỞ ĐAU

Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối
quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó
(có bậc khác nhau). Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của
khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do vậy việc nghiên
cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực tế việc giải các
phương trình vi phân tuyến tính có thể thực hiện được nhưng đối với phương
trình vi phân phi tuyến, không có công thức chung đê giải, ngoại trừ chúng
có tính đối xứng. Thay vào đó, họ thường nghiên cứu các xấp xỉ nghiệm của
phương trình vi phân ở các bài toán có điều kiện ban đầu.
Do vậy chúng ta phải có một hướng mới để nghiên cứu phương trình vi
phân phi tuyến, đó là nghiên cứu nghiệm của nó bằng phương pháp nhiễu kỳ

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về phương trình vi phân phi tuyến
hay cụ thể hơn là phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến, em đã mạnh
dạn chọn đề tài: “Nghiên cứu nghiêm của phương trình vi phân thường cấp
hai ph i tuyến bằng phương pháp nhiễu kỳ d ị”. Nội dung đề cập trong khóa
luận được trình bày trong hai chương:
Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp hai và
một số khái niệm liên quan đến phương trình autonom trong mặt phăng pha,
chu trình giới hạn của phương trình vi phân.
Chương 2: Trình bày về sự xấp xỉ không đều của hàm số trên một đoạn, các
phương pháp nhiễu kỳ dị: phương pháp nhiễu tọa độ, phương pháp Lighthill,

1

Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

phương pháp sử dụng thang thời gian đối với nghiệm chuỗi của phương trình
autonom, phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút, phương
pháp kết hợp xấp xỉ trên một đoạn và kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho
phương trình vi phân.
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân
còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu
sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề
tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Phương trình vi phân cấp hai

Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng

F(x, y, ỷ, ỹ)

= 0,

( 1. 1)

ở đây X là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và ỷ(x),ỹ(x) là các đạo hàm của

Nếu giải được phương trình (|1.1|) đối với ỹ, nó có dạng

ỹ = f ( x, y, ỷ) -

( 1.2 )

Đinh lý 1.1. (Sự tồn tại VCI duy nhắt nghiệm). Cho phương trình (Ị1.2Ị)
dý
df
Nêu f ( x , ỵ , ỷ ) , -zr^(x,y.ỷ) và -^-{x.y.ỷ) liên tục trong một miên D nào đó
ày
ởỳ
tro n g R3 và n ếu (xq , , )’()) là m ộ t đ i ể m liên tục th u ộ c D thì tr o n g m ộ t lân c ậ n
nào đó của điểm X =

Xo, tồn

tại một nghiệm

3

duy nhất y = y(x) của phương


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

trình (1 1 .21) thỏa mãn các điều kiện

— Vo 7 ỳ |x = x 0 — ỷO'

(1.3)

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (Ị1.2Ị) thỏa mãn điều kiện (Ị1.3Ị) được
gọi là bài toán Cauchy của phương trình (Ị1.2Ị).
Nghiệm tổng quát của phương trình (|l.2Ị) là hàm y = ẹ>(x,Ci,C 2 ), trong đó
C\ ,C 2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau:
(i) Nó thỏa mãn phương trình (Ị1.2Ị) vối mọi C\ ,C 2 ,

(ii) Với

mọi ( x o - j o , > 7 o ) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất

nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C\ = C p C2 =
sao cho hàm số y = ọ(x,Cị

thỏa mãn

3'L'=A'() — Vo, )’|x=x0 — JQ.

Hệ thức <ĩ>(x1y,C \,C 2 ) — 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình (|l.2Ị)
dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó.
Nghiệm riêng của phương trình (Ị1.2Ị) là một hàm số y = (p(x,CpC?) nhận
được bằng cách cho C \ , C2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C p c®.
Hệ thức <ĩ>(jc,y,CpC2 ) = 0 được gọi là tích phân riêng.

1.2

Phương trình tuyến tính

Đó là phương trình vi phân có dạng

ỹ + p ( x ) ỹ + q(x)y = f ( x ) ,
4

(1.4)


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

trong đó p(x), q(x), f ( x ) là những hàm số liên tục. Phương trình vi phân
không tuyến tính thì được gọi là phương trình vi phân phi tuyến.

1.3

Phương trình autonom trong mặt phẳng pha

Ta phân biệt giữa hai loại phương trình vi phân:
(1) Loại autonom ứng với / không phụ thuộc tường minh vào t;
(2) Loại không autonom ứng vối / phụ thuộc tường minh vào t.
Trong chương này, ta sẽ chỉ đề cập tới các hệ autonom, được cho bởi
phương trình vi phân

x = f(x,x),

(1.5)

trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình. Để nhận được biểu diễn trong
mặt phẳng pha, ta đặt
\x = y

\

( 1.6)

( ỳ = f(x,y).
Đây là một hệ phương trình cấp một, tương đương với (Ị1.5Ị).
Trong mặt phẳng pha với các trục X và y, trạng thái tại một thời điểm
bao gồm cặp số (x(to),ỵ(to)), các giá trị

X,

to

y này tương ứng với một điểm p

nào đó trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ phương
trình vi phân cấp một (Ịl.ổỊ), và vì vậy xác định tất cả các trạng thái, qua đó
hệ thực hiện trong một chuyển động riêng. Các trạng thái tiếp theo cho bởi

5

Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

phương trình tham số

x = x(t), y = y(t),

(1-7)

vạch ra một đường cong qua điểm đầu p : (x(to),x(to)), gọi là đường cong
pha hay quỹ đạo pha.
Khi đó, phương trình vi phân xác định đường cong pha là:

ẵdx
- = —y

-

( 1 -8 )

Một đường cong pha riêng được xác định bằng cách yêu cầu đi qua một điểm
cụ thể p : (x,y), tương ứng với trạng thái ban đầu (xo,)7o)ì trong đó

(1.9)

yo = y{xo)-

Các điểm cân bằng trên lược đồ pha tương ứng với các nghiệm hằng của
phương trình (Ị1.5Ị), hoặc của hệ tương đương (Ị1.6Ị). Chúng xảy ra khi đồng

thời X, ỷ bằng 0; do đ ó là điểm thỏa mãn:

y = 0, và / ( x , 0 ) =

0

.

(1 .1 0 )

Trong biểu diễn mặt phẳng pha, thời gian t không được chỉ rõ về định
lượng nhưng ta có thể đặc trưng bởi các yếu tố sau đây. Hình 1.1 (a) cho thấy
một cung AB của đường cong pha. Giả sử rằng hệ đang ở trạng thái A tại thời
điểm t = tA. Điểm chuyển động p biểu diễn các trạng thái tại các thời điểm
t > t ẩ4 ; nó di chuyển dọc theo AB (từ trái qua phải trong nửa mặt phẳng y > 0
) khi t tăng dần, và gọi là một điểm biểu diễn trên cung AB.
6


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

(a)

(b)
y

y
p

A
X

H ình 1.1: (a) Điểm biểu diễn p trên một đoạn của đường cong pha.
p đi từ A và trở về A vô hạn lần.

(b) Một đường cong pha đóng:

Vận tốc của p dọc cung AB được cho dưới dạng từng thành phần

chỉ phụ thuộc vào vị trí p (x,y), mà không phụ thuộc vào cả t và ÍA (điều này
chỉ đúng đối với các phương trình autonom). Nếu ÍB là thời điểm p tới B, thì
Tab là khoảng thời gian p đi từ A tới B

T a b — tB — ĩ A ĩ

không phụ thuộc vào thời điểm đầu ÍA. TAB gọi là thòi gian chuyển từA tới B
dọc theo đường cong pha.
Từ quan sát trên ta thấy, nếu x(t) là một nghiệm riêng của

X

=

f(x,x),

thì

họ nghiệm x(t — t\), với 11 là giá trị bất kì, sẽ biểu diễn cùng một đường cong

pha và cùng một điểm biểu diễn. Đồ thị của các hàm x(t), x(t — 11 ), và của
y(í) = x(t),y(t — tị) sẽ có hình dáng giống nhau, nhưng được dịch theo trục
thời gian một khoảng t \ , giống như cùng một hệ nhưng được mở vào hai thời
điểm khác nhau trong ngày.

7


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

Trường hợp khi một đường cong pha là một đưòng cong kín, như trong
Hình 1.1 (b). Một đường cong pha kín biểu diễn một chuyển động tuần hoàn
theo thời gian.
Ngược lại nói chung là không đúng, 1 đường cong pha không kín cũng có
thể biểu diễn một chuyển động tuần hoàn.
Thời gian chuyển TAB = ÍB — ÍA của điểm biểu diễn p từ trạng thái A tới
trạng thái B dọc theo 1 đường cong pha có thể được tính theo nhiều cách:
ftB

Ta b =

■JtA

ftB d x. _ -i d x

dt=

Q )-'ĩ£ d t=

dt

dt

[

dx

f

/

- =

l - f r .

J ab X

clx

JAB y ( x )

(1.12)

Ví dụ 1.1. Các đường cong pha của một hệ được cho bởi họ x + ỵ 2 = c , trong
đó c là một hằng số tùy ý. Trên đường cong pha ứng với c = 1 điểm biểu diễn
di chuyển từ A : (0,1) tới B : (—1 ,—y /ỉ). Tính Ta b ?
Lời giải
Đường cong pha được biểu thị trong Hình 1.2. Nó cắt trục X tại điểm c : (1,0).
Trên cung AC, y = (1 —x ) 1/ 2 và trên cung CB, ỵ = —(1 —x )1/ 2, có

í
AB

dx

í

dx

Ịx

dx

Ị~x

dx

Jac y
Jcb y
Jq (1 —x )1/ 2 J\
[—( ì —x y / 2]
[ - 2 ( 1 - x ) 1/2]? + [2 ( 1 - x ) ]/2]ỉ_ ỉ = 2 + 2 ^ 2 .

Sau đây chúng ta tóm tắt các tính chất chính của phương trình autonom
X = f ( x , x ) , được biểu diễn trong mặt phẳng pha bởi hệ phương trình

x= y
(1.13)
[ỳ = f ( x , y ị

8


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

H ình 1.2: Đường cong pha AB trên đó ta đã tính thời gian chuyển.

(i) Phương trình cho các đường cong p h a :
ịỵ_ _ /(*>>’)
clx
y

(1.14)

(ii) Hướng của đường cong p h a : từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên, từ
phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới.
(iii) Điểm cân bằng: tại điểm (x, 0) với X là nghiệm của phương trình / ( JC, 0) =
0

; đại diện cho các nghiệm hằng.

(iv) Giao điểm với trục x\ các đường cong pha cắt trục

X

theo các góc vuông,

ngoại trừ tại các điểm cân bằng (xem (ii)).

(y) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A đến
điểm B dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường

Ta r =

f

cỉx

/

—

J ab y

(1.15)

(vi) Đường cong pha kín: các đường cong pha kín biểu diễn các nghiệm tuần
hoàn theo thời gian.
9


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

(vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian : giả sử X\ (t) là một nghiệm
riêng của X = f ( x . x ) khi đó, các nghiệm X\ (t — 1\), với t\ bất kỳ, cho
cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn.
Ví dụ 1.2. Xây dựng lược đồ pha cho phương trình dao động điều hòa đơn

giản jc+ co2x =

0

.
Lời giải

Phương trình này xấp xỉ với phương trình con lắc có biên độ nhỏ. Với phương
trình này thì hệ (Ị1.13Ị) trở thành:

(1.16)
Ịỹ = - ( 0 2x,
có 1 điểm cân bằng, tại (0,0). Các đường cong pha là các nghiệm của d1.14Ị):

(a)

y

(b)
X

H ình 1.3:

(a)Tâm dao động điều hòa đơn giản.

(b) Nghiệm điển hình.

Đây là một phương trình tách biến, và ta dễ dàng có tích phân tổng quát:
ỵ2 + (0 2x 2 =

10

c,


Khóa luận tốt nghiệp

trong đó

Cao Thị Thoa

c là tùy ý, điều kiện c > 0 để nhận được nghiệm thực. Do đó, lược

đồ pha bao gồm họ các elip đồng tâm tại gốc (Hình 1.3 (a)). Hình 1.3(b) biểu
diễn một nghiệm tuần hoàn theo thời gian, ứng với một đường cong pha kín.
Ví dụ 1.3. Tìm điểm cân bằng và phương trình tổng quát cho các đường cong
pha của Jc+ sinx = 0. Tìm đường cong pha riêng thỏa mãn các điều kiện ban
đầu (a) xựo) =

0

= x(tn) =

1

;

(b) x(t„) = 0,y(t„) = 2 .

Lời giải

Hệ phương trình vi phân trong mặt phẳng pha là:

(1.17)
Ự = —sinx.
Điểm cân bằng nằm trên trục X tại các điểm mà sinx = 0; hay X = ỈIK (n =
0 , ± 1 , ± 2 , ...). Khi n chẵn chúng là tâm, khi n là lẻ chúng là điểm yên ngựa.
Phương trình vi phân cho các đường cong pha là:
dy

sinx

dx

y

Đây là phương trình vi phân tách biến, nên ta có nghiệm:
y = ± \ / 2 (cosx +

c)1/2,

đó là phương trình của các đường cong pha với

c là tham

số của các đường

cong pha.
Do y phải là số thực nên

c > —1. Xem Hình

chia ra như sau:

11

1.5, ở đó phạm vi của

c được


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

H ình 1.4: Đường cong pha của X + sinx = 0.
G iá trị củ a c

L oại chuyến động

c = -1

Các điểm cân b ằng tại điểm ( n 7T,0)

-1 < c < 1

Các đường cong pha kín (chuyển đ ộn g tuần hoàn)

c=

1

Các đường con g pha kết nối các điểm cân bằng

c > 1

C hu yển đ ộng quay tít

(a) x(to) = 0 ,ỵ(í0) = 1. Từ (i) ta có - = 1 +
cong pha tương ứng là y = \/2 (c o sx —-

) 1/ 2

c hay c =

Các đường

là đường P\ trong Hình 1.4 Đó

là đường cong kín, nên biểu diễn một chuyến động tuần hoàn.
(b) x(to) = 0 ,y(to) = 2. Từ (i) ta có 2 = 1 +

c hay c = 1. Đường cong pha

tương ứng là ỵ = \/2 (c o s x + - ) 1/ 2. Trên đường này y = 0 tại X = ±n7t, do đó,
nó kết nối hai điểm cân bằng (lưu ý rằng nó không vượt ra khỏi hai điểm cân
bằng đó). VI t —y °°, đường đó tiến tới điểm (7T,0) và xuất phát từ ( —7T,0 ) tại
t = —oo. Đường này được gọi là một đường phân lập, vì nó phân biệt hai chế
độ chuyển động, dao động và quay tít. Nó cũng kết nối hai điểm yên ngựa.

1.4

Chu trình giới hạn

Xét hệ autonom
x = f(x,x).
12


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

trong đó / là một hàm phi tuyến, và / có dạng
f ( x , x ) = - h ( x , x ) - g{x),
khi đó phương trình vi phân, trở thành

(1.18)

và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là

x=y
(1.19)
[ý = - h { x , y ) - g ( x ) .
Với mục đích giải thích hiện tượng, chúng ta sẽ giả sử rằng có một điểm cân
bằng duy nhất, và đó là gốc (đã được chuyển đến gốc, nếu cần thiết, bằng
cách đổi hệ tọa độ). Do đó
/j( 0 , 0 ) + g( 0 ) =

0

và nghiệm duy nhất của /z(x, 0) + g(x) = 0 là X = 0. Chúng ta tiếp tục giả định
rằng

s(0) = 0,

(1.20)

khi đó
/z(0 , 0 ) =

0

.

( 1.21)

Trong những trường hợp này, bằng cách viết phương trình (Ị1.18Ị) dưới dạng

x + g(x) = - / ỉ( x ,i ) ,

13

( 1.22)


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

chúng ta có thể coi hệ là mô hình hóa của một hạt đơn vị trên lò xo chuyển

động tự do được điều khiển bởi phương trình x + g(x) =

0

(một hệ bảo toàn),

nhưng bị tác động bởi một ngoại lực —/ỉ(x,i) đóng vai trò là nguồn cung cấp
hoặc hấp thụ năng lượng. Nếu g(x) là một lực phục hồi, thì chúng ta mong
đợi một xu hướng dao động điều khiển bởi ngoại lực —h(x,x). Trong cả hai
trường hợp tự do và cưỡng bức, trạng thái cân bằng xảy ra khi X = X = 0.
Định nghĩa một hàm thế năng cho hệ thống lò xo bởi

v(x) = Jg(x)dx,

(1 .2 3 a )

và động năng của hạt bởi
1

2

T = - x 2.

(1.23b)

Năng lượng toàn phần £ cho hạt và lò xo khi không có ngoại lực là:

£= T+

v=

- X 2 + [ g(x)dx,
2
J

(1-24)

do đó có quy tắc biến đổi năng lượng
de
...
, .
— = xx + g(x)x.
dt
Khi đó, từ (Ị1.18Ị) ta có
CỈ£
-7 - = x ( - g ( x ) - h(x,x) + g(x)) = - x h ( x , x ) = - y h ( x , y )

(1.25)

trong mặt phăng pha. Biểu thức này đại diện cho tốc độ bên ngoài của nguồn
cung cấp năng lượng sinh bởi —h(x,x) hay đại diện cho ngoại lực.
Giả sử rằng, trong một miền liên thông R của mặt phẳng pha chứa điểm
cân bằng (0 , 0 ),
14


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

(1.26)

(1.27)
trong R (với y Ỷ 0 ) thì năng lượng tăng dọc theo mỗi đường cong như vậy,
biên độ của các đường cong pha tăng liên tục khi đường cong pha vẫn còn
trong miền R. Ớ đây h có tác dụng như của giảm tốc âm, bổ sung năng lượng
vào hệ cho các trạng thái nằm trong R.
Ví dụ 1.4. Khảo sát sự ảnh hưởng của năng lượng bố sung và giảm tốc qua
phương trình
X+

(x2 + X2 — 1 ) i + X = 0.
Lời giải

Đặt X

= y,

khi đó
h(x,ỵ) = (x2 + x 2 — l)x,

và từ (Ị1.25Ị), có — = —yh(x,y) = —(x2 + y 2 — ĩ ) y 2.
Do đó năng lượng trong hệ hạt - lò xo có tính chất:
0

dọc theo các đường trong miền X2 + y 2 < 1 ;

—- < 0
dt

doc theo các đường trong miền X2 + y 2 > 1.

- 7- >
dt

Các miền có liên quan được biểu thị trong Hình 1.5. Ta có thể kiểm tra rằng
X = cos t thỏa mãn phương trình vi phân đã nêu ở trên. Vì vậy X = y = —sirư
15


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

và do đó ranh giới giữa hai miền là đường tròn

X2 + y 2

= l, nó là một đường

cong pha. Dọc theo nó
T + V = - X 2 + - X 2 = - ( x 2 + y 2) = 2
2
2
• '
2
không đổi nên nó là một đường cong với năng lượng e không đổi, được gọi là
một mức năng lượng .
Đường tròn trong Hình 1.5 là một đường cong cô lập kín: "cô lập" được
hiểu theo nghĩa là không có đường cong kín nào khác trong lân cận của nó.

Một đường cong cô lập kín được gọi là một chu trình giới hạn, khi tồn tại,
nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu
trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến.

H ình 1.5: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định X2 + V2 = 1 sinh bởi hệ X + (X2 +
X2 - l ) i + jc = 0.

Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường
cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình giới hạn.
Phương trình có dạng
x = f(x),
16


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

không thể dẫn tới một chu trình giới hạn.
Chúng ta kết thúc mục này bằng cách minh họa một số phương pháp tiếp
cận đối với phương trình có dạng:

x + h(x,x) + g (x )

=

0

,

(1.28)

mà không liên quan đến bất kì mô hình cơ học hoặc năng lượng nào:
(i) Tọa độ cực
Chúng ta sẽ nhắc lại Ví dụ 1.4 bằng cách sử dụng tọa độ cực. Khi đó, lược đồ
pha được thể hiện rõ ràng hơn cùng với các phương trình liên quan. Gọi r, 6
là tọa độ cực, trong đó X = rcos

0

, y = r sin 0 , ta có:

r 2 = x 2 + y 2,

ta n 0 = -,

Đạo hàm các phương trình này theo biến thời gian t,
2 rr = 2xx + 2ỵỷ,

ÒsecO2 = —

- .

xz

Từ đó, ta có
/ • =' ư :
r

ở

=

^

ỉ

.

(1.29)

Tiếp theo, chúng ta sẽ thay
X=rcos0.

X = y = rsin6

và ỷ (nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức trên để
nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực.
Ví dụ 1.5. Biểu diễn phương trình (xem Ví dụ 1.4)
X + (x

+ X

— 1) i + X = 0

17


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

trên mặt phẳng pha, trong tọa độ cực r, 0 .
Lời giải
Chúng ta có X = rcos 6 và X = y = rsin ỡ, và
ỷ = —(x2 + x 2 — \)jt —x = —(r 2 — l)rs in 6 — r cos 0 .
Bằng cách thay các hàm này vào d1.29Ị) chúng ta có được
r = —r ( r 2 — 1 )sin ớ 2,
ớ = — 1 — ( r 2 — 1) s i n 0 c o s 0 .

Một nghiệm riêng là
r=

1

6 = —t

,

tương ứng với chu trình giới hạn, X = cosr, y = — sin í đã quan sát thấy trong
Ví dụ |1 Aị Ngoài ra (trừ khi sin 6 = 0, có nghĩa là, ngoại trừ trên trục x)
Ỳ>

khi

0

r<

0

khi

0

< r<
r>

1

1

,

,

nên các đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn r —

1

từ cả hai phía.

Phương trình xác định ỏ cũng cho thấy một chuyển động xoắn ốc theo chiều
kim đồng hồ ổn định cho các điểm biểu diễn, xung quanh chu trình giới hạn.
(ii) Đường cong trắc địa
Ví dụ 1.6. Nghiên cứu xu hướng của các đường cong pha đối vối phương
trình vi phân
Jc+ 1x 1x + x 3 =

0

.


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

Lời giải
Hệ này chỉ có một điểm cân bằng tại (0,0). Viết phương trình dưới dạng
X + X3 = — \x\x, và nhân hai vế với x:
XX + X 3X = — \ x \ x 2 .

Theo các biến mặt phẳng pha x ,y phương trình này trở thành
dy

,dx

2

Xét một đường cong pha đi qua một điểm tùy ý A vào thời điểm tA, và đến
một điểm B tại thời điểm tB>tA - Bằng cách tích phân phương trình trên từ tA
tới tỵ chúng ta có được

dọc theo đường cong pha. Do đó, các giá trị của biểu thức trong ngoặc vuông,

2>’2 + 4 * 4 = h^nể số
là một họ hình bầu dục quanh gốc khi hàm số giảm.
Họ các đường cong kín đó, có thể được sử dụng để vạch các đường cong
pha đến một phạm vi nhất định, được gọi là đường cong trắc địa. Các đường

năng lượng không đổi, hoặc các đường mức năng lượng, là một trường hợp


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

X

H ình 1.6:

Lược đồ pha c h o i = y,ỷ = — |yIV —JC3: các đường nét đứt là các đường mức.

đặc biệt của đường cong trắc địa.
(iii) Phương trình chuyên động trong hệ tọa độ tổng quát
Giả sử ta có một hệ cơ học bảo toàn, có thể là trong một, hai, hoặc ba chiều,
và có thể có các yếu tố rắn như các hạt, nhưng cấu hình của chúng hoàn toàn
được xác định bởi giá trị của một biến

X.

Biến không nhất thiết là độ dịch

chuyển, có thể chẳng hạn là một góc, hoặc thậm chí một thành phần trong các
yếu tố hình thành nên một phần của hệ. Nó được gọi là tọa độ tổng quát.
Nói chung, động năng và thế năng T và V sẽ có dạng:
T = p(x)x2 + q(x),

V = V(x),

a đó p(x) > 0. Phương trình chuyển động có thể được dẫn ra bằng cách sử
dụng phương trình Lagrange.

dt dx

dx

dx

Thế T và V ở trên chúng ta có được phương trình của chuyển động theo x:

2 p(x)x + p'(x)x2 + (V'(x) — qf (xỴ) =
20

0

.

(1.30)