nghiên cứu Tích vô hạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

VŨ THỊ HÙY

TÍCH VÔ HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin được gửi lời cảm ơn tới các Giảng viên khoa Toán trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại
trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành bản khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn
Hào đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
thành khóa luận này.
Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận
không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Em xin chân thành cảm
ơn những ý kiến đã đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên để khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành như hiện
tại.

Xuân Hòa, ngày 30 tháng 4 năm 2015

Sinh viên

Vũ Thị Hùy

2


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào
khóa luận của em với đề tài “Tích vô hạn” được hoàn thành không
trùng với bất kì đề tài nào khác.
Trong quá trình làm đề tài, em đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự chân trọng và biết ơn.
Xuân Hòa, ngày 30 tháng 4 năm 2015
Sinh viên

Vũ Thị Hùy

3


Mục lục

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

1.2

1.3

Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương . . . . . . . .

12

1.1.3

Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý . . . . . . . . .

17

Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.2

Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số . .

22

1.2.3

Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều .

26

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3.1

Khái niệm về chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . .

27

1.3.2

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa . . . . . . .

28

1.3.3

Khai triển thành chuỗi lũy thừa của một số hàm
sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 TÍCH VÔ HẠN
2.1

8

31
32

Giới thiệu về tích vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.1

Một số khái niệm cơ bản và ví dụ . . . . . . . .

32

2.1.2

Mối liên hệ giữa tích vô hạn và chuỗi . . . . . .

34

4

Tích vô hạn của ln 2 và e. . . . . . . . . . . . .

37

2.2

Sự hội tụ tuyệt đối của tích vô hạn . . . . . . . . . . .

40

2.3

Định lý Tannery và hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.1

Định lý Tannery cho chuỗi . . . . . . . . . . . .

41

2.3.2

Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3.3

Định lý Tannery đối với tích vô hạn . . . . . . .

45

2.1.3

2.4

Khai triển tích vô hạn Euler cho hàm lượng giác và số π 46
2.4.1

Khai triển tích Euler thứ nhất đối với hàm sine

2.4.2

Khai triển tích vô hạn Euler thứ hai cho hàm sine 49

2.4.3

Ứng dụng của tích Euler . . . . . . . . . . . . .

5

46

53

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lí thuyết tích vô hạn được hình thành một cách khá tự nhiên xuất
phát từ các công trình tính toán của các nhà toán học từ nhiều lĩnh
vực thực tế. Theo tiến trình lịch sử có lẽ phải kể đến sự quan tâm của
các nhà toán học về việc tính toán số π. Vào thế kỉ XVI, nhà toán học
người Pháp F. Viete đã đưa ra công thức
√
2
2
=
.
π
2

2+
2

√

2

.

2+

2+
2

√

2

...

Đến thế kỉ XVII, John Wallis đưa ra công thức
∞
2n
2n
2 2 4 4 6 6
π
=
= . . . . . ...
2 n=1 2n − 1 2n + 1 1 3 3 5 5 7

Việc nghiên cứu tích vô hạn thu được kết quả quan trọng khi Euler
đưa ra khai triển của một số hàm thành tích vô hạn. Ví dụ như khai
triển hàm sine
∞

sin z = z
n=1

1 − z2
n2 z 2

Đồng thời Euler cũng đưa ra biểu diễn hàm Riemann - zeta thành tích
vô hạn vào năm 1749
ξ(k) =

1
;
−k
p∈P 1 − p

với P là tập hợp tất cả các số nguyên tố. Biểu diễn này là kết quả
quan trọng trong việc phát triển nghiên cứu đối với hàm Riemann zeta. Sự khai triển các hàm thành tích vô hạn tương tự như việc phân
tích đa thức thành các nhân tử tuyến tính. Bằng việc nghiên cứu tích
6


vô hạn, người ta có thể tính được số π một cách chính xác hơn hay
nghiên cứu các hàm thông qua sự khai triển thành tích vô hạn của nó.
Ngày nay, lí thuyết tích vô hạn đã được nghiên cứu gần như hoàn thiện
một cách chuẩn mực. Được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào
và mong muốn tìm hiểu về tích vô hạn, em đã chọn đề tài “Tích vô
hạn”.
Khóa luận được cấu trúc hai chương
Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi số, chuỗi hàm
và chuỗi lũy thừa.
Chương 2. Trình bày các khái niệm về tích vô hạn, chứng minh các
kết quả quan trọng và đưa ra một số ứng dụng của tích vô hạn.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về tích vô hạn, chứng minh các kết
quả quan trọng và một số ứng dụng của tích vô hạn.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về tích vô hạn, các kết quả quan
trọng và ứng dụng của tích vô hạn.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định

hướng của người hướng dẫn.

7


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1
1.1.1

Chuỗi số
Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa. Cho dãy số {an }. Tổng vô hạn
+∞

a1 + a2 + ... + an + ... =

an

(1.1)

n=1

được gọi là một chuỗi số.
+ an được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi số.
+ Tổng
n

sn = a1 + a2 + ... + an =

ak ,

(1.2)

k=1

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. Dãy {sn } được gọi là dãy
tổng riêng của chuỗi (1.1).
Nếu giới hạn của dãy tổng riêng lim sn = s tồn tại và hữu hạn thì
n→∞

chuỗi được gọi là hội tụ và có tổng riêng là s. Khi đó ta cũng viết
+∞

an = s.
n=1

Nếu lim sn = ±∞ hoặc không tồn tại giới hạn này thì chuỗi được gọi
n→∞

là phân kì.
Ví dụ 1.1. Xét chuỗi số
8


+∞

q n = 1 + q + q 2 + ... + q n + ...

n=0

Tổng riêng thứ n của chuỗi được xác định như sau
sn = 1 + q + q 2 + ... + q n−1 .
Ta xét các trường hợp
(i) Trường hợp q = 1, ta có tổng riêng thứ n của chuỗi là
sn =

1 − qn
.
1−q

+ Nếu |q| < 1 thì lim q n = 0. Do đó
n→∞

lim sn =

n→∞

1
.
1−q

Vậy chuỗi số đã cho là hội tụ và có tổng là
+∞

qn =

n=0

1
.
1−q

+ Nếu |q| > 1 thì lim sn = ∞ nên chuỗi đã cho phân kì.
n→∞

(ii) Trường hợp q = 1, khi đó ta có
lim sn = lim n = +∞.

n→∞

n→∞

Vậy chuỗi đã cho phân kì.
(iii) Trường hợp q = −1. Dãy tổng riêng được xác định như sau

 0 khi n = 2k
sn =
.
 1 khi n = 2k + 1
Như vậy dãy {sn } không có giới hạn. Do đó với |q| = 1 thì chuỗi đã
cho phân kì.
Ví dụ 1.2. Cho chuỗi số
+∞

1
.
n=1 n(n + 1)

9


Ta có
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
1
1
1 1
1 1
1
= 1−
+
−
+
−
+ ... +
−
2
2 3
3 4
n n+1
1

.
=1−
n+1
Từ đó, suy ra lim sn = 1. Vậy chuỗi đã cho là hội tụ với tổng bằng 1.
sn =

n→∞

1.1.1.1. Điều kiện để chuỗi hội tụ
Định lí 1.1 (tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi
với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và
mọi số nguyên dương p ta có
|an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε.

(1.3)

Chứng minh. Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn }
hội tụ. Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi ε > 0
tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và mọi số nguyên
dương p ta có
|sn+p − sn | < ε.
Điều này tương đương với
|an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε.
Hệ quả 1 (điều kiện cần để chuỗi hội tụ). Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì
lim an = 0.

n→∞

Thật vậy, theo (1.3) thì với mọi n ≥ N chọn p = 1 ta nhận được
|an+1 | < ε.

Do đó ta có
10


lim an = 0.

n→∞

Chú ý. Điều kiện trên chỉ là điều kiện cần chứ không phải điều kiện
đủ.
Ví dụ 1.3.
+∞

n
1
n
phân kì vì lim
= .
n→∞ 2n + 1
2
n=1 2n + 1
+∞ 1
1
b) Xét chuỗi
. Mặc dù lim = 0 nhưng chuỗi này phân kì. Thật
n→∞ n
n=1 n
vậy, ta có
1
1

1
s2n − sn =
+
+ ... +
n+1 n+2
2n
1
1
1
n
1
>
+
+ ... +
=
= .
2n 2n
2n 2n 2
a) Chuỗi

Nếu chuỗi này hội tụ thì các dãy tổng riêng {sn } và {s2n } phải dần
tới một giới hạn khi n → +∞, tức là lim (s2n − sn ) = 0. Tuy nhiên,
n→∞

điều này mâu thuẫn với đánh giá trên.
Hệ quả 2. Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách
thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc
cùng phân kì.
1.1.1.2. Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ
+∞

an ,

Định lí 1.2. Nếu các chuỗi
n=1
+∞

+∞

bn hội tụ và có tổng lần lượt là
n=1
+∞

(an ± bn ) và

s và t thì các chuỗi
n=1

(λan ) cũng hội tụ và lần lượt
n=1

được xác định theo công thức dưới đây
+∞

+∞

(an ± bn ) = s ± t;
n=1

λan = λs.

n=1

Chứng minh. Kí hiệu
sn = a1 + a2 + ... + an ; tn = b1 + b2 + ... + bn .

11


Khi đó
{sn ± tn }
+∞

(an ± bn ) và {λsn } là tổng riêng của chuỗi

là tổng riêng của chuỗi
n=1
+∞

(λan ). Theo tính chất của dãy số hội tụ ta có
n=1

lim (sn ± tn ) = s ± t; lim λsn = λs.

n→∞

n→∞

Vậy có điều cần chứng minh.

1.1.2

Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương
+∞

an được gọi là chuỗi dương nếu an ≥ 0 với

Định nghĩa. Chuỗi số
n=1

mọi n.
Định lí 1.3. Điều kiện cần và đủ để một chuỗi dương hội tụ là dãy
tổng riêng của nó bị chặn.
+∞

an hội tụ nên dãy tổng riêng (sn ) của nó hội tụ.

Chứng minh. Vì
n=1

Do đó dãy (sn ) bị chặn.
Ngược lại, do dãy tổng riêng của chuỗi dương là dãy (sn ) tăng nên nếu
+∞

dãy (sn ) bị chặn thì tồn tại giới hạn. Do đó chuỗi

an hội tụ.
n=1
+∞

+∞

an và

1.1.2.1. Dấu hiệu so sánh. Cho hai chuỗi số dương
n=1

bn
n=1

Định lí 1.4 (dấu hiệu so sánh thứ nhất). Giả sử tồn tại số nguyên
dương n0 và một hằng số C > 0 sao cho
an ≤ Cbn ; với mọi n ≥ n0 .
Khi đó ta có các khẳng định sau
+∞

(i) Nếu chuỗi

+∞

bn hội tụ thì kéo theo chuỗi
n=1

an hội tụ.
n=1

12


+∞

(ii) Nếu chuỗi

+∞

an phân kì thì kéo theo chuỗi
n=1

bn phân kì.
n=1

Chứng minh. Như đã nói trong hệ quả 2, mục 1.1, không mất tính
tổng quát ta có thể giả thiết n0 = 1. Gọi sn và tn lần lượt là tổng riêng
+∞

thứ n của các chuỗi

+∞

an và

bn . Khi đó ta có

n=1

n=1

sn ≤ Ctn ; với mọi n ≥ 1.
Như vậy nếu dãy {tn } bị chặn thì dãy {sn } cũng bị chặn và nếu dãy
{sn } không bị chặn thì dãy {tn } cũng không bị chặn. Từ đó ta suy ra
kết luận của định lý.

an
= k. Khi đó
n→∞ bn

Định lí 1.5 (dấu hiệu so sánh thứ hai). Giả sử lim
ta có các khẳng định sau

+∞

(i) Nếu 0 ≤ k < +∞ thì từ sự hội tụ của chuỗi

bn kéo theo sự
n=1

+∞

an .

hội tụ của chuỗi
n=1

+∞

(ii) Nếu 0 < k ≤ +∞ thì từ sự phân kì của chuỗi

bn kéo theo sự
n=1

+∞

an .

phân kì của chuỗi
n=1

an
= k và 0 ≤ k < +∞ nên tồn tại số
n→∞ bn
nguyên dương n0 để với mọi n ≥ n0
Chứng minh. (i) Bởi vì lim

an
≤ k + 1 ⇔ an ≤ (k + 1)bn .
bn
+∞

an hội tụ.

Theo định lí 1.4 thì chuỗi
n=1

+∞

(ii) Trường hợp 0 < k ≤ +∞ và chuỗi

bn phân kì. Khi đó ta có
n=1


 1

bn
k
lim
= k∗ =
n→∞ an
0
13

khi k = +∞
khi k = +∞


tức là 0 ≤ k ∗ < +∞. Theo phần chứng minh trên, nếu chuỗi

+∞

an
n=1

+∞

+∞

bn cũng phải hội tụ. Do đó, chuỗi

hội tụ thì chuỗi
n=1

an phân kì.
n=1

+∞

Ví dụ 1.4. Xét chuỗi

1
.
2
n=1 n

Với mọi n ta có
1
1
1
1
1
+
...
+
≤
1
+
+
+
...
+
22
n2
1.2 2.3
(n − 1)n

1 1 1
1
1
= 1 + 1 − + − + ... +
−
2 2 3
n−1 n
1
= 2 − < 2.
n
Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ theo định lý 1.3.
sn = 1 +

Từ kết quả trên đây cùng dấu hiệu so sánh thứ nhất, ta cũng suy ra
ngay hàm Riemann-zeta
∞

ζ(s) =

1
; với s ≥ 2
s
n=1 n

là một chuỗi hội tụ.
+∞

n tan

π

.
2n+1
π
Dễ dàng kiểm tra rằng nếu x ∈ 0,
thì tan x ≤ 2x. Do đó, với mọi
4
n ≥ 1 ta có
π
2π
n
n tan n+1 ≤ n. n+1 = π. n .
2
2
2
+∞ 1
Theo ví dụ 1.4, chuỗi
hội tụ. Lại vì
2
n=1 n
n
n
n2
2
lim
= lim n = 0,
n→∞ 1
n→∞ 2
2
n

+∞ n
hội tụ.Từ đó theo định lý 1.4, chuỗi
nên theo định lý 1.5, chuỗi
n
n=1 2
+∞
π
n tan n+1 hội tụ.
2
n=1

Ví dụ 1.5. Xét chuỗi

n=1

14


1.1.2.2. Dấu hiệu Cauchy
+∞

an . Gỉa sử lim

Định lý 1.6. Cho chuỗi dương

√
n

n→∞

n=1

an = c. Khi đó,

ta có các khẳng định sau
(i) Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
(ii) Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kì.
Chứng minh. (i) Nếu c < 1 thì tồn tại số p để c < p < 1. Vì
√
lim n an = c nên tồn tại n0 để
n→∞

√
n
+∞

an < p ⇔ an < pn ; với mọi n ≥ n0 .
+∞

n

p hội tụ, nên chuỗi

Vì chuỗi
n=1

an hội tụ theo định lí 1.4.
n=1

(ii) Nếu c > 1 thì tồn tại n0 để

√
n

an > 1 ⇔ an > 1; với mọi n ≥ n0 .

Như vậy chuỗi phân kỳ theo hệ quả 1 của định lý 1.1.
1.1.2.3. Dấu hiệu D’Alembert
+∞

an+1
=
n→∞ an

an . Giả sử tồn tại giới hạn lim

Định lý 1.7. Cho chuỗi dương
n=1

d. Khi đó ta có các khẳng định sau
(i) Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho hôi tụ.
(ii) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
an+1
=d
n→∞ an

Chứng minh. Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1. Vì lim
nên tồn tại số nguyên dương n0 để mọi n ≥ n0 và
an+1
< p ⇔ an+1 < pan .
an

Từ đó, ta có
an0 +1 < an0 q
an0 +2 < an0 +1 q 2 < an0 q 2
15


...........
an0 +k < an0 q k
............
+∞

Vì chuỗi

an0 q k hội tụ, nghĩa là chuỗi

n=1

+∞

an hội tụ theo định lý 1.1.
n=1

Nếu d > 1 thì tồn tại n0 để mọi n ≥ n0 và
an+1
> 1 hay an+1 > an ≥ an0 .
an
Vậy không có lim an = 0 nên chuỗi phân kỳ.
n→∞

1.1.2.4. Dấu hiệu tích phân Cauchy

+∞

an . Giả sử f (x) là một hàm đơn

Định lý 1.8. Cho chuỗi số dương
n=1

điệu giảm và liên tục trên [1; +∞) sao cho
f (n) = an ; với mọi n = 1, 2, ...
∞

+∞

an và tích phân

Khi đó, chuỗi
n=1

f (t)dt cùng hội tụ hoặc cùng phân
1

kỳ.
Chứng minh.Từ giả thiết của định lý, với mọi x ∈ [k, k + 1] và số tự
nhiên k ≥ 1, ta đều có
ak+1 = f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k) = ak .

(1.4)

Từ đó, ta có
k+1

ak+1 ≤

f (x)dx ≤ ak .
k

Lấy tổng các vế của bất đẳng thức trên theo k từ 1 đến n ta được
k+1

n

ak+1 ≤
k=1

n

f (x)dx ≤

ak
k=1

1

hay
n+1

sn+1 − a1 ≤

f (x)dx ≤ sn ;
1

16

(1.5)


+∞

trong đó sn là tổng riêng thứ n của chuỗi

ak .
k=1
n+1

kép (1.5) ta thấy rằng dãy {sn } và tích phân

Từ bất đẳng thức

f (x)dx cùng bị chặn
1

hoặc cùng không bị chặn. Điều đó cho ta khẳng định của định lý.
Chú ý. Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu
an+1
√
lim
= 1 hoặc lim n an = 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội
n→∞ an
n→∞
tụ hay phân kỳ của chuỗi. Tuy nhiên, nếu từ một số n0 nào đó trở đi

an+1
mà
≥ 1 thì có thể suy ra
an
am ≥ an0 ; ∀m ≥ n0 .
Điều đó cho ta khẳng định dãy an không tiến đến 0 khi n → +∞ và
+∞

an phân kỳ.

như vậy chuỗi
n=1

1.1.3

Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý

1.1.3.1. Chuỗi đan dấu
+∞

Định nghĩa. Một chuỗi số có dạng

(−1)n−1 an trong đó các số an

n=1

cùng dấu được gọi là chuỗi đan dấu.
1.1.3.2. Sự hội tụ
Định lý 1.9 (dấu hiệu Leibniz). Giả sử dãy {an } là đơn điệu giảm và
+∞

lim an = 0. Khi đó, chuỗi

n→∞

(−1)n−1 an hội tụ.

n=1

Chứng minh. Gọi {sn } là dãy tổng riêng của chuỗi. Bởi vì
s2m = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2m−1 − a2m )
các số hạng trong ngoặc đều không âm nên dãy {s2m } đơn điệu tăng.
Mặt khác, ta lại có thể viết
17


s2m = a1 − [(a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + ... + (a2m−2 − a2m−1 ) + a2m ].
Do đó, s2m ≤ a1 với mọi m. Vậy {s2m } hội tụ theo tiêu chuẩn đơn
điệu. Từ đó, nếu lim s2m = s thì với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên
m→∞
N1
dương N1 để với mọi m ≥
ta đều có
2
ε
|s2m − s| < .
2
Lại vì lim an = 0 nên với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N2 để
n→∞

với mọi n ≥ N2 cũng có
ε
|an | < .
2
Đặt N = max{N1 , N2 } thì với mọi n ≥ N ta có
ε
|sn − s| < ; với n chẵn.
2
Với n lẻ thì n + 1 chẵn nên ta cũng có
|sn − s| = |sn+1 − s − an+1 | ≤ |sn+1 − s| + |an+1 | <

ε ε
+ = ε.
2 2

Như thế, với mọi n ≥ N ta nhận được
1
|sn − s| < ε .
2
Vậy lim sn = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s. Chuỗi
n→∞

đan dấu thỏa mãn điều kiện của định lí 1.9 gọi là chuỗi Leibniz.
Vậy chuỗi Leibniz hội tụ.
1.1.3.3. Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ
+∞

Định nghĩa. Chuỗi số
+∞

an
n=1
+∞

|an | hội tụ. Khi chuỗi
n=1

được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
+∞

n=1

n=1

+∞

an được gọi là bán hội tụ.

thì chuỗi

|an | phân kỳ

an hội tụ nhưng chuỗi

n=1

18


Định lý 1.10. Một chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ.

+∞

|an | hội tụ thì theo định lý 1.1, với mọi

Chứng minh. Nếu chuỗi
n=1

ε > 0 tồn tại số nguyên dương N để với mọi n ≥ N và mọi p ∈ N∗ ta
có đánh giá
|an+1 + an+2 + ... + an+p | ≤ |an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p | < ε.
+∞

an hội tụ theo định lý 1.1.

Như vậy, chuỗi
n=1

+∞

1
hội tụ theo dấu hiệu Leibniz (định lý
n
n=1
+∞
+∞ 1
1
phân kỳ. Do đó chuỗi
(−1)n+1 là bán hội
1.9) nhưng chuỗi
n

n=1
n=1 n
tụ.
+∞ sin nx
Ví dụ 1.7 Chuỗi
.
2
n=1 n
+∞ 1
+∞ |sin nx|
|sin nx|
1
Ta có
≤ 2 , ta đã biết chuỗi
hội tụ nên chuỗi
2
n2
n
n2
n=1 n
n=1
+∞ sin nx
hội tụ tuyệt đối.
hội tụ. Vậy chuỗi
2
n=1 n
1.1.3.4. Các tính chất của chuỗi hội tụ
Ví dụ 1.6. Chuỗi

(−1)n+1

+∞

an hội tụ và có tổng

Tính chất 1 (tính chất kết hợp). Nếu chuỗi
n=1

là s thì chuỗi
(a1 + a2 + ... + an1 ) + (an1 +1 + an1 +2 + ... + an2 ) + ...

+(ank−1 +1 + ank−1 +2 + ... + ank ) + ...;

(∗)

cũng hội tụ và có tổng là s.
Chứng minh. Gọi tk là tổng riêng thứ k của chuỗi (∗) và sn là tổng
+∞

riêng thứ n của chuỗi

an . Ta có
n=1

tk = snk .
19


Do đó, từ lim sn = s suy ra lim tk = lim snk = s. Vậy ta có điều cần
n→∞

n→∞

n→∞

chứng minh.
+∞

an hội tụ tuyệt

Tính chất 2 (tính chất giao hoán). Nếu chuỗi số
n=1
+∞

đối và có tổng là s thì chuỗi

bn nhận được bằng cách đổi chỗ tùy ý
n=1

+∞

các số hạng của chuỗi

an
n=1
+∞

cũng hội tụ và có tổng bằng s.
+∞

|an | hội

an hội tụ tuyệt đối nên chuỗi

Chứng minh. Vì chuỗi
n=1

n=1

tụ. Do đó, theo định lý 1.1, với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n1
để
|ai | <
i∈F

ε
2

với mọi tập con hữu hạn F ⊂ {n ∈ N : n > n1 }.
+∞

an và chuỗi

Gọi sn và tn lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi
n=1
+∞

bn .
n=1

Giả sử lim sn = s. Khi đó tồn tại n2 ≥ n1 sao cho với mọi n ≥ n2

n→∞

ε
|sn − s| < .
2
Chọn n3 ≥ n2 sao cho các số hạng a1 , a2 , ..., an2 có đủ mặt trong các
số hạng b1 , b2 , ..., bn3 . Khi đó với mọi n ≥ n3 , ta có
|tn − s| = |tn − sn0 + sn0 − s| ≤ |tn − sn0 | + |sn0 − s| <

ε ε
+ = ε.
2 2

Vậy ta cũng có lim tn = s. Định lý trên chỉ đúng với chuỗi hội tụ
n→∞

+∞

an bán hội tụ thì ta có thể thay đổi

tuyệt đối. Còn nếu chuỗi số
n=1

thứ tự của các số hạng của nó để thu được chuỗi hội tụ và có tổng
bằng một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân kỳ.

20


1.2

1.2.1

Chuỗi hàm số
Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa. Cho dãy hàm {un (x)} cùng xác định trên tập X ⊂ R.
Gọi tổng vô hạn
+∞

u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... =

un (x)

(1.7)

n=1

là một chuỗi hàm xác định trên X
+ Hàm un (x) gọi là số hạng thứ n của chuỗi hàm.
+ Hàm sn (x) = u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) gọi là tổng riêng thứ
n của chuỗi hàm.
+ Điểm x ∈ X gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1.7)
nếu dãy tổng riêng {sn (x)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này.
Nếu X0 là miền hội tụ của dãy {sn (x)} thì ta cũng gọi X0 là miền hội
tụ của chuỗi (1.7). Nếu sn (x) → u(x) trên X0 thì ta cũng viết
+∞

un (x) = u(x); x ∈ X0
n=1

và gọi u(x) là tổng của chuỗi hàm.
Định nghĩa. Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ điểm trên X nếu với
mỗi x ∈ X và với mọi ε > 0 đều tồn tại một số tự nhiên n0 = n0 (ε, x)
phụ thuộc vào ε và x sao cho với mọi n > n0 ta có
+∞

uk (x) < ε.
k=n+1

Định nghĩa. Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ đều trên miền X
nếu các dãy tổng riêng của nó hội tụ đều trên X. Nói cách khác, chuỗi
hàm số (1.7) hội tụ đều trên X nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại một số
tự nhiên n0 = n0 (ε) chỉ phụ thuộc vào ε sao cho khi n > n0 ta có
21


+∞

uk (x) < ε; với mọi x ∈ X.
k=n+1

1.2.2

Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số
+∞

un (x) hội tụ

Định lý 1.11 (tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi hàm số
n=1

đều trên tập X khi và chỉ khi với số ε > 0 cho trước tồn tại số tự
nhiên n0 = n0 (ε) (không phụ thuộc vào x) sao cho với mọi n > n0 và
mọi số nguyên dương p ta có
|sn+p (x) − sn (x)| < ε; với mọi x ∈ X.
+∞

un (x) hội

Chứng minh. Thật vậy, theo định nghĩa chuỗi hàm
n=1

tụ đều trên X đến tổng S(x) của nó khi và chỉ khi dãy hàm tổng
n

uk (x) hội tụ đều trên X đến S(x). Theo tiêu chuẩn

riêng Sn (x) =
k=1

n

uk (x)

Cauchy về dãy hàm số ta có dãy hàm tổng riêng Sn (x) =
k=1

hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi với ε > 0 cho trước tồn tại số tự nhiên
n0 = n0 (ε) sao cho với mọi n > n0 và với mọi p ∈ N∗ ta có
|sn+p (x) − sn (x)| < ε; với mọi x ∈ X.

Vậy ta có điều phải chứng minh.
+∞

un (x).

Định lý 1.12 (tiêu chuẩn Weierstrass). Cho chuỗi hàm số
n=1

Nếu với mọi số nguyên dương n ta có
|un (x)| ≤ Cn ; với mọi x ∈ X
+∞

Cn hội tụ thì chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều

và chuỗi số
n=1

trên X.
Chứng minh. Với mọi x ∈ X theo dấu hiệu so sánh ta có các chuỗi
+∞

+∞

|un (x)| hội tụ. Đặt

un (x) và

số
n=1

n=1

22


+∞

u(x) =

+∞

n=1
+∞

Vì chuỗi

|un (x)|.

un (x) và σn =
n=1

Cn hội tụ nên ∀ε > 0, ∃N : ∀n ≥ N, ∀p ∈ N∗ , ta có

n=1

Cn+1 + Cn+2 + ... + Cn+p < ε.
Cho p → ∞ ta được
+∞

Cn+1 = Cn+1 + Cn+2 + ... < ε.

n=1

Từ đó, với mọi n ≥ N
+∞

+∞

n

u(x) −

un+i (x) ≤

uk (x) =
k=1

|un+i (x)|
i=1

i=1

+∞

n

|un+i (x)| ≤

= σ(x) −
i=1

n

Cn+i < ε.
i=1

n

|uk (x)|

uk (x) hội tụ đều đến u(x) trên X và chuỗi

Do đó, chuỗi
k=1

k=1

hội tụ đều đến σ(x) trên X.
+∞

Ví dụ 1.8. Cho chuỗi hàm số

cos nx
.
2
2
n=1 n + x

Bởi vì
1
|cos nx|

≤
; ∀n, ∀x ∈ R
n2 + x2
n2
+∞

và chuỗi

1
hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên
2
n=1 n

R.
xn
√ hội tụ tuyệt đối và đều trên [−1; 1]
Ví dụ 1.9. Chuỗi hàm số
n=1 n n
vì ta có
+∞

|x|n
1
√ ≤ √ ; ∀n, ∀x ∈ [ − 1; 1]
n n
n n
+∞

và chuỗi

1

3 hội tụ.
n
n=1 2
Định lý 1.13 (dấu hiệu Dirichlet). Cho hai dãy hàm {an (x)} và

{bn (x)} cùng xác định trên tập X. Giả thiết
23


+∞

(i) Dãy tổng riêng sn (x) của chuỗi hàm

an (x) bị chặn đều trên
n=1

X, có nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho
n

ak (x) ≤ M ; ∀n, ∀x ∈ X.

|sn (x)| =
k=1

(ii) Dãy hàm {bn (x)} đơn điệu, có nghĩa là với mỗi x ∈ X dãy bn (x)
là dãy số đơn điệu và dãy hàm {bn (x)} hội tụ đều trên X đến 0.
+∞

an (x)bn (x) hội tụ đều trên X.

Khi đó chuỗi hàm
n=1

Chứng minh. Ta có thể xem {bn (x)} là dãy đơn điệu giảm và dãy
hàm {bn (x)} hội tụ đều trên X đến 0.
Khi đó với ε > 0 tồn tại số tự nhiên n0 = n0 (ε) sao cho
0 < bn (x) <

ε
; ∀n > n0 , ∀x ∈ X.
2M

Từ bất đẳng thức này đồng thời kết hợp với giả thiết của định lý ta
nhận được
n+m

n+m

bk (x)[sk (x) − sk−1 (x)]

bk (x)ak (x) =
k=n

k=n

= |−bn (x)sn−1 (x) + [bn (x) − bn−1 (x)]sn (x)| +
...+[bn+m−1 (x)−bn+m (x)]sn+m−1 (x)+bn+ (x)sn+m (x)
≤ M [bn (x) + (bn (x) − bn+1 (x)) + ... + (bn+m−1 (x) − bn+m (x)) + bn+m (x)]

= 2M bn (x) < ε; ∀x ∈ X, ∀n > n0 , ∀m ∈ N∗ .
+∞

an (x)bn (x) hội tụ đều trên X.

Vậy chuỗi hàm
n=1

Định lý 1.14 (dấu hiệu Abel). Cho hai dãy hàm {an (x)} và {bn (x)}
cùng xác định trên tập X. Giả thiết
+∞

(i) Chuỗi hàm

an (x) hội tụ đều trên X.
n=1

(ii) Dãy hàm {bn (x)} đơn điệu với mọi x ∈ X và bị chặn đều. Có
nghĩa là với mọi x ∈ X, dãy số bn (x) là dãy đơn điệu và tồn tại số
24


M > 0 sao cho
|bn (x)| ≤ M ; ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ X.
+∞

an (x)bn (x) hội tụ đều trên X.

Khi đó chuỗi
n=1

Chứng minh. Từ giả thiết (i) với ε > 0 tồn tại số tự nhiên n0 = n0 (ε)
sao cho với mọi n > n0 và mọi số tự nhiên m ta đều có
n+m

|sn+m (x) − sn (x)| =

ak (x) <
k=n+1

ε
; ∀x ∈ X.
3M

trong đó
n

sn =

ak (x).
k=1

Đặt
σ1 (x) = an+1 (x) = sn+1 (x) − sn (x)
σ2 (x) = an+1 (x) + an+2 (x) = sn+2 (x) − sn (x)
.................
σm (x) = an+1 (x) + ... + an+1 (x) = sn+m (x) − sn (x).
Khi đó
|σj (x)| <

ε
; ∀j = 1, 2, ..., m
3M

và
+∞

ak (x)bk (x) = bn+1 α1 + bn+2 (α2 − α1 ) + ... + bn+m (αm − αm−1 )
n=1

= (bn+1 −bn+2 )α1 +(bn+2 −bn+3 )α2 +...+(bn+m−1 −bn+m )αm−1 +bn+m αm .
Bây giờ ta giả sử {bn } là dãy hàm đơn điệu tăng (trường hợp là dãy
hàm đơn điệu giảm được chứng minh tương tự). Khi đó với mọi n > n0
và với mọi n ∈ N∗ ta có
25