skkn khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:

KHAI THÁC CÁC ỨNG DỤNG
TỪ MỘT BÀI TOÁN LỚP 8


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
Phần I:

giới thiệu đề tài:

A.Lý do chọn đề tài:
Giải toán là một nghệ thuật thực hành;giống nh bơi lội,trợt tuyết,hay
chơi đàn Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập .Tuy
rằng,không phải là cứ giải bài tập là có kỹ năng.Việc luyện tập sẽ có hiệu
quả,nếu nh biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tơng
tự,nhằm vận dụng một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một phơng pháp chứng
minh nào đó. Thực tiễn cho thấy học sinh thờng học toán không chú ý đến
phơng pháp giải nên khi gặp những bài toán có sử dụng phơng pháp tơng tự
gặp nhiều lúng túng.
Vậy không ngoài tâm huyết với các em học sinh,niềm đam mê dành cho
bộ môn toán học và sự mong muốn nâng cao chất lợng tôi đ tiến hành học
tập tích luỹ soạn ra đề tài này.
B.nhiệm vụ:
+Cơ sở lý luận của đề tài:
việc khai thác bài tập toán có ý nghĩa hay không?
+Vận dụng lý luận vào thực tiễn:
khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
C.Phơng pháp nghiên cứu:
+phơng pháp nghiên cứu thực tiễn,lý thuyết

+phơng pháp tổng kết kinh nghiệm
+phơng pháp thực nghiệm s phạm
D.Giới hạn đề tài và mục đích nghiên cứu:
-Giới hạn đề tài khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8:áp dụng để dạy
học sinh lớp 6,7,8
-Mục đích đề tài:Phục vụ cho công tác bồi dỡng các khối 6,7,8 và làm tài liệu
tự học cho các em giúp các em tìm cho mình phơng pháp học tập tích cực.
Phần 2: nội dung
A.Cơ sở lý luận của đề tài:
Giải bài tập toán là quá trình suy luận,nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái
đ cho (giả thiết) với cái phải tìm (.kết luận).Nhng các quy tắc suy luận,cũng
nh các phơng pháp chứng minh cha đợc dạy tờng minh.Do đó,học sinh
thờng gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập.Thực tiễn dạy học cũng cho thấy:HS
khá giỏi thờng đúc kết những tri thức,phơng pháp cần thiết cho mình bằng con
đờng kinh nghiệm;cònHS trung bình ,yếu, kém gặp nhiều lúng túng.Để có kĩ
năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập.Tuy rằng,không phải cứ giải nhiều
bài tập là có nhiều kĩ năng.Việc luyên tập sẽ có nhiều hiệu quả,nếu nh biết
khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tơng tự,nhằm vận dụng
Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
1


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một phơng pháp chứng minh nàođó.
Quan sát đặc điểm bài toán,khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan
trọng,song quan trọng hơn là sự khái quát hớng suy nghĩ và phơng pháp
giải.Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải
đề bài trong một loạt vấn đề nào đó.Do đó hớng suy nghĩ và phơng pháp giải
bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó.Nếu ta chú ý từ đó mà khái
quát đợc hớng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể

dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra.Nhà toán học Đềcác
nói rất đúng rằng: Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực
dùng để giải quyết vấn đề khác.Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai
thác hớng suy nghĩ và cách giải.
B.Vận dụng lý luận vào thực tiễn:
xét bài toán 28 trang 21 sách bài tập toán 8 tập 1:
a.Chứng minh:

1
1
1

=
x x + 1 x( x + 1)

(1)

b.Đố: Đố em tính nhẩm đợc tổng sau:
1
1
1
1
1
+
+
+
+
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5)
1
1

1
x +1 x
=
-Hớng dẫn:a.Biến đổi vế trái thành vế phải :
=
x x + 1 x( x + 1) x( x + 1)

b.Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a:VP có mẫu là 1tích 2biểu thức cách nhau 1;1
1
1
1

=
.Tơng tự với đặc điểm nh VP ở câu a;ta có:
x x + 1 x( x + 1)
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
=
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

+

+

+

+

+
=
x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x

chính là tử thì có

-Cách phát biểu khác của bài toán:
a.Viết phân thức

1
thành hiệu của hai phân thức có tử bàng 1

x( x + 1)

b.Vận dụng kết quả câu a,h y rút gọn biểu thức sau:
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5

I.khai thác ứng dụng bài 28 trong tính toán;trong toán
rút gọn;toán chứng minh đẳng thức:
Từ(1),nếu thay x=1 thì ta có các bài toán sau:

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
2


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
Bài1:Tính:
1
2

a. +

1
1
1
1
1
+
+
+
+ ..... +
2 .3 3 .4 4 .5 5 .6
99.100

Hớng dẫn:
1 1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+ ..... +
2 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6
99.100
1 1 1 1 1 1 1
1
1

1
99
+ + + + ... +

= 1
=
2 2 3 3 4 4 5
99 100
100 100
1
2

1
1
1
+
+ ...... +
với n 1
2 .3 3 .4
n(n + 1)
1
n
=
Hớng dẫn:tơng tự câu a;ta có kết quả là:1n +1 n +1

+ Từ đó có bài toán tổng quát :b.Tính tổng +

*)Nhận xét đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài toán
khác:các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng:mẫu là một tích
2nhân tử cách nhau 1 đơn vị chính bằng tử.Vậy mẫu là tích 2nhân tử cách nhau 2

hay 3 hay 4thì giải bài toán nh thế nào?chẳng hạn:
Bài2:Tính tổng:
a.

1
1
1
1
+
+
+ .... +
1 .3 3 .5 5 .7
2005.2007

b.

1
1
1
1
+
+
+ .... +
với n 0
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)

Hớng dẫn:a.Viết mỗi hạng tử trong tổng dới dạng hiệu 2phân thức:
1
1 1 1 1

1 1 1 1
1 1 1
1
1 1
1
= ( );
= ( );
= ( );......
= (

) .Vậy
1 .3 2 1 3 3 .5 2 3 5 5 .7 2 5 7
2005.2007 2 2005 2007
1
1
1
1
+
+
+ .... +
=
1 .3 3 .5 5 .7
2005.2007
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1003
( + + + .... +

) = (1
)=
2 1 3 3 5 5 7
2005 2007
2
2007
2007

b.Phơng pháp làm tơng tự nh câu a.
1
1
1
1
= (

) nên ta có:
(3n + 2)(3n + 5) 3 3n + 2 3n + 5
1
1
1
1
+
+
+ .... +
=
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)
1 1 1 1 1 1 1
1

1
1 1
1
n +1
( + + + ... +

)= (
)=
3 2 5 5 8 8 11
3n + 2 3n + 5
3 2 3n + 5 3n + 5

Xét hạng tử tổng quát:

+Tơng tự nh vậy có thể đề xuất một loạt bài toán cùng loại và giải quyết với
cùng phơng pháp.
*)Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân thức ta có bài toán tổng quát
hơn:tử là một số(biểu thức) bất kỳ,mẫu là tích của 2 số(biểu thức) cách đều nhau
thì giải quyết bài toán nh thế nào?chẳng hạn:
Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
3


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
Bài3:Tính tổng:
5
5
5
5
5

+
+
+
+ .... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100
n
n
n
n
+
+
+ ......
b.
với a 2 a1 = a 3 a 2 = a 4 a 3 = ...... = a k +1 a k =b
a1a 2 a 2 a 3 a 3 a 4
a k a k +1

a.

Hớng dẫn:a.Phơng pháp làm:viết các hạng tử trong tổng dới dạng hiệu(tơng
5
5 1 1 5
5 1 1 5
5 1 1
5
5 1
1
) do đó:
= ( );

= ( );
= ( );....;
= (
2 .4 2 2 4 4 .6 2 4 6 6 .8 2 6 8
98.100 2 98 100
5
5
5
5
5
5 1 1 1 1 1 1
1
1
= ( + + + .... +
)=
+
+
+
+ .... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100 2 2 4 4 6 6 8
98 100
5 1
1
49
= ( )=
2 2 100
20

tự bài 2)

b.Phơng pháp làm tơng tự câu a.Đây chính là bài toán tổng quát rút ra từ các
bài toán trên.Vậy ta xét các trờng hợp sau:
+Trờng hợp 1:Nếu a 2 a1 = a 3 a 2 = a 4 a 3 = ...... = a k +1 a k =n
Bài toán này giải đợc dễ dàng theo cách phân tích của bài 1 vì khi đó:
n
1 1
=
a 1a 2 a 1 a 2

.
n
1
1
=
a k a k +1 a k a k +1
1
1
n
n
n
n
+
+
+ ......
=
a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4
a k .a k +1 a k a k +1
+Trờng hợp 2:Nếu a 2 a1 = a 3 a 2 = a 4 a 3 = ...... = a k +1 a k = b n
n

n
n
n
n
b
b
b
b
+
+
+ ......
Ta có
= (
+
+
+ .... +
)
a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4
a k .a k +1 b a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4
a k .a k +1

Cộng từng vế ta có:

Bài toán này thực chất đ đa về dạng bài 2;bài3.Do đó ta có kết quả là
n 1
1
(
)
b a k a k +1

-Nếu mẫu là tích của 3 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?Từ đó ta có các bài
toán khó hơn :
1
1
1
1
+
+
+ .... +
với
1.2.3 2.3.4 3.4.5
(n 1).n.(n + 1)
1
1
1
1
B=
+
+
+ .... +
với n N ; n 2
1.3.5 3.5.7 5.7.9
(2n 1)(2n + 1)(2n + 3)

Bài4:Tính tổng :A=

n1

,n N

Hớng dẫn: Phơng pháp giải tơng tự nh các bài trên:viết các hạng tử dới
dạng hiệu.
Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
4


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
2
1
1
=

Do đó ta có:
(n 1)n(n + 1) (n 1).n n.(n + 1)

Nhận xét:

1 1
1
1
1
1
1
1 1
1

+

+ ... +

)= (
)
2 1.2 2.3 2.3 3.4
(n 1).n n.(n + 1) 2 2 n.(n + 1)
4
1
1
=

Nhận xét:
Do đó ta có:
(2n 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3)
1 1
1
1
1
1
1
1
1
+ ... +

)
B= ( + +
4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9
(2n 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3)
1 1
1
)
= (

4 3 (2n + 1)(2n + 3)

A= (

1 1 b a
*)Nhận xét: Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn: =
với a 0; b 0 thì
a b a.b
việc áp dụng ngợc công thức trên trong thực tế đợc sử dụng rất nhiều. Chẳng
hạn với bài toán sau:
Bài 5: Cho biết a,b,c là các số thực khác nhau.Chứng minh:
bc
ca
ab
2
2
2
+
+
=
+
+
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a

Hớng dẫn:Đối với đề này nếu dùng cách hoà đồng mẫu số vế trái để
chứng minh thì quá trình tính phức tạp.Có cách gì ngắn gọn không?Quan sát các
số hạng ở vế trái ta thấy tử số vừa đúng bằng hiệu của 2 thừa số ở mẫu số:
b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).Điều đó gợi cho ta nhớ đến dùng
ba 1 1
bc

1
1
=
tức
=

. Do đó:
a.b
a b
(a b)(a c) a b a c
bc
ca
ab
1
1
1
1
1
1
+
+
=

+

+

=
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b a c b c b a c a c b
1

1
1
1
1
1
2
2
2
+
+
+
+
+
=
+
+
(ĐPCM)
ab ca bc ab ca bc ab bc ca
*)Chú ý đến mẫu: nếu ta thay x.(x+1)= x 2 + x ; (x+1)(x+2)= x 2 + 3x + 2 ;.ta sẽ có

ngợc

công

thức

các bài toán luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài6:Rút gọn các biêủ thức sau:
1
1

1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
x + x x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20
1
1
1
1
b. N= 2
+ 2
+ 2
+ 2
x 5x + 6 x 7x + 12 x 9x + 20 x 11x + 30

a. M=

2

Hớng dẫn:a.Để rút gọn M cần phân tích các mẫu thành nhân tử
Ta có: x 2 +x = x(x+1); x 2 + 3x + 2 = x 2 + x + 2x + 2 = (x+1)(x+2);
x 2 + 5x + 6 = x 2 + 2x + 3x + 6 = (x+2)(x+3); x 2 + 7x + 12 = x 2 + 3x + 4x + 12 =(x+3)(x+4);
x 2 + 9x + 20 = x 2 + 4x + 5x + 20 =(x+4)(x+5) Do đó:
Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
5

Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
1
1
1
1
1
+
+
+
+
(x + 1)x (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+

+

+

+

x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5
1
1
5
=
=
x x + 5 x(x + 5)

M=

b.Tơng tự ta có:
1
1
1
1
+
+
+
(x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) (x 5)(x 6)
1
1
1
1
1
1
1
1
=

+

+

+

x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6
1
1
4
=

=
x 2 x 6 (x 2)(x 6)

N=

Bài 7: Rút gọn:
a
a
a
a
1
+ 2
+ 2
+ 2
+
2
2
2
x + a.x x + 3a.x + 2a

x + 5.a.x + 6a
x + 7.a.x + 12a
x + 4a
a
a
a
a
1
b.H= 2
+ 2
+ 2
+ .. + 2
+
2
2
2
x + ax x + 3ax + 2a
x + 5ax + 6a
x + 19ax + 90a
x + 10a

a.K=

2

Hớng dẫn:
a
a
a
a

1
+
+
+
+
x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+

+

+

+
x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a
1
=
x
a
a
a

a
1
b.H=
+
+
+
+
x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a
1
a
1
+ ... +
+
x + 5a
(x + 9a)(x + 10a) x + 10a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
H==
+

+

+

+
x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a
1
1
1
1
+ ... +

+
x + 5a
x + 9a x + 10a x + 10a
1
H=
x
2x + 1
1
1
*)Xét biểu thức sau: (x + 1)2 x 2 = 2x + 1 nên ta có: 2
= 2
2
x .(x + 1)
x
(x + 1) 2

a.K=

Do đó ta có bài toán sau:

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền

6


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
Bài8:Rút gọn biểu thức sau:
A=

3
5
2x + 1
+
+ ........ +
2
2
(1.2) (2.3)
[x(x + 1)]2

Hớng dẫn:
2x + 1
=
x .(x + 1)2
1
1
1
1
1
A= 2 2 + 2 2 + 2
1
2
2

3
3
1
x(x + 2)
=1=
2
(x + 1)
( x + 1) 2

-Nhận xét:

2

1
1

nên ta có:
2
x
(x + 1) 2
1
1
1
+ ... + 2
2
4
x
(x + 1) 2

II.khai thác các ứng dụng bài 28 trong chứng minh bất

đẳng thức:
Bài9:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 :
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... +
<
2
2
2
4
6
8
(2n)
2
1
1
1
1
1
b.B = 2 + 2 + 2 + .... +
<
2
3
5
7
(2 n + 1)

4

a.A =

Hớng dẫn:
a.Nhận xét:

1
1 1
1
1
1
1
1
= . 2 < .
mà
=
nên ta có:
2
(2 n )
4 n
4 ( n 1).n
(n 1).n n 1 n

1
1
1
1
1
1 1

1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... +
= ( 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) nên
2
2
2
4
6
8
(2n)
4 1
2
3
n
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
) hay
A< (1 +
4
1.2 2.3 3.4
(n 1).n
1

1 1 1 1 1
1
1
) hay
A< (1 + 1 + + + ... +
4
2 2 3 3 4
n 1 n

A=

1
4

1
n

1
2

A< (1 + 1 ) hay A <

1
1
hay A<
4n
2

(ĐPCM)

b.Nhận xét:
1
1
1
1
1
1 1
1
<

<

< (
)
2
2
2
2
(2n + 1)
(2n + 1) 1
(2n + 1)
2n.(2n + 2)
(2n + 1)
2 2n 2n + 2
nên ta có:
1
1
1
1
+ 2

+ 2
+ ... +
hay
3 1 5 1 7 1
(2n + 1)2 1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
B<
hay
4.2 4.6 6.8
2n(2n + 2)

B<

2

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
7


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
B<

1 1 1 1 1 1 1
1

1
( + + + ... +

) hay
2 2 4 4 6 6 8
2n 2n + 2

B<

1 1
1
1
1
1
(
)B <
B<
2 2 2n + 2
4 4(n + 1)
4

(ĐPCM)

Bài10:Chứng minh với n nguyên,n>1 thì:
1
1
1
1
1
A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 2

1
2
3
n
n
Hớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội,tơng tự nh bài 9.
-Nhận xét: Với k=2;3;4;;n ta có:

1
1
1
1
1
<
hay 2 <

(2)
2
k
(k 1).k
k
k 1 k

Lần lợt cho k=2;3;4;;n trong (2) rồi cộng lại vế theo vế ta đợc:
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1
1

A= 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + + + ... +
1 2 3 4
n
1 2 2 3
n 1 n
A<2-

1
n

hay

(ĐPCM)

-Từ bài 10 ta có thể ra bài tập sau:
Bài11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 2 thì:
1
1
1
1
B = 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 1
2
3
4
n
Hớng dẫn: áp dụng kết quả bài 10 ta có A<2đó: B+1 < 2-

1
mà B = A-1 hay A = B+1 khi
n

1
1
hay B < 1- hay B < 1 (ĐPCM)
n
n

Bài12: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; n 2 thì:
1
1
1
1
2
C = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 <
2
3
4
n
3
Hớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội.Vậy vận dụng nó
nh thế nào?có giống với bài 11 không?(với bài 11 thì cha đánh giá đợc
2
3

C< ).H y xem nhận xét sau:
1
4
4
1
1

1
= 2 < 2
2 < 2(

) Do đó:
2
n
4n
4n 1
n
2n 1 2n + 1
1 1 1 1
1
1

) hay
C < 2( + + ... +
3 5 5 7
2n 1 2n + 1

1
3

C < 2(

1
)
2n + 1)

hay

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
8


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
C<

2
3

(ĐPCM)

Bài13: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 2 ta có:
1 1 1
1 1
D= 3 + 3 + 3 + ..... + 3 <
2 3 4
n
4
Hớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội.Vậy sử dụng nh
thế nào?H y xem nhận xét sau:
1
1
1
1
1 1
1
1
< 3

hay 3 <
hay 3 < (

) Do đó ta có:
3
k
k k
k
(k 1)k(k + 1)
k
2 (k 1)k k(k + 1)
D<

1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
+ 3
+ .... + 3
+

+ ... +

)
hayD< (

2 2 3 3
n n
2 1.2 2.3 2.3 3.4
(n 1)n n.(n + 1)
3

hay
1 1
2 2

D< (

1
1
) hay D <
(ĐPCM)
n(n + 1)
4

Bài14: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 3 ta có:
1 1 1
1
1
E= 3 + 3 + 3 + .... + 3 <
3 4 5
n 12
Hớng dẫn:Ta có:

1
1

1
1
1 1
1
1
<
hay
<
hay
<
(

)
n3 n 3 n
n3 (n 1)n(n + 1)
n3 2 (n 1)n n(n + 1)

Do đó :
1 1
1
1
1
1
1

+

+ ... +

) hay

E< (
2 2.3 3.4 3.4 4.5
(n 1)n n(n + 1)

1 1
1
(

) hay E < 1 (ĐPCM)
2 2.3 n(n + 1)
12
Bài15:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 2 ta có:
1 2 3
n 1
<1
H= + + + ... +
2! 3! 4!
n!
Hớng dẫn:Ta có:
n 1
1
1
=

Do đó:
n!
(n 1)! n!
1
1 1 1
1

1

hay H=1H=1- + + ... +
hay H<1 (ĐPCM)
2! 2! 3!
(n 1)! n!
n!
Bài16:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:
E<

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
9


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
2

n + n 1
1 5 11
K= + + + .+
<2
n!
2! 3! 4!
n 2 + n 1 n(n + 1)
1
1
1
=

=

Hớng dẫn:Ta có:
(n + 1)!
(n + 1)! (n + 1)! (n 1)! (n + 1)!
Do đó K=

1
1 1
1 1
1 1
1
1
+ ( ) + ( ) + ( ) + ... + (

) hay
2! 1! 3!
2! 4!
3! 5!
(n 1)! (n + 1)!

1
1 1 1
1
1
1
+ ( + + + ... +
) ( + ... +
) hay
2! 1! 2! 3!
(n + 1)!

3!
(n + 1)!
1 1 1 1
1
1
1
K= + +
hay K = 2-
Vậy K < 2 (ĐPCM)
2! 1! 2! n! (n + 1)!
n! (n + 1)!
Bài17: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:
3 5
7
2n + 1
+ .... + 2
<1
M= + +
4 36 144
n .(n + 1)2

K=

2n + 1
1
1
=

Do đó:
n 2 .(n + 1)2 n 2 (n + 1)2

1 1 1
1
1
1
=
1

M= 1 2 + 2 2 + ... + 2
<1
(ĐPCM)
2 2 3
n (n + 1)2
(n + 1)2
Hớng dẫn:Ta có:

Bài18:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:

1 1 1
1
9
+ + .... + 2
<
2
5 13 25
n + (n + 1)
20

N= +

Hớng dẫn:Ta có:

1
1
1
1
1 1
1
= 2
< .
= (
)
2
k + (k + 1)
2k + 2k + 1 2 k(k + 1) 2 k k + 1
2

1 1 1 1
< ( )
13 2 2 3
1 1 1 1
< ( )
k=3:
25 2 3 4
.
1
1 1
1
< (
)
k = n:

2
2
n + (n + 1)
2 n n +1
1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
) hay
) hay N< + (
Do đó N< + ( + + ... +
5 2 2 3 3 4
n n +1
5 2 2 n +1
1 1
9
N< + hayN <
(ĐPCM)
5 4
20

Với k=2:

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
10


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
III.khai thác các ứng dụng bài 28 trong giải phơng

trình,bất phơng trình:
Bài19:Giải phơng trình:
a.(

1
1
1
1
1
1
+
+ ..... +
).x = +
+ ... +
.
1.101 2.102
10.110
11 2.12
100.110

b.(

1
1
1
1
148
98
+
+

+ ... +
).(x 2) + x =
x
1.3 3.5 5.7
97.99
99
99

1
3

1 1
1
2007
+ ... +
=
x(x + 1) 2009
6 10
2

c. + +

1
1
1
1
1
1
1
1

1
=
)
+
+ ... +
(1
+
+ ... +
1.101 2.102
10.110 100
101 2 102
10 110
1
1 1
1
1 1
1
1
)
=
(1 + + + ... + )
(
+
+ ... +
100
2 3
10 100 101 102
110
1
1

1
1 1 1 1 1
1
1
Xét +
)
+ ... +
= ( + + ... +

11 2.12
100.110 10 1 11 2 12
100 110
1
1 1
1
1 1
1
1
)
= (1 + + + ... +
...
...
10
2 3
100 11 12
100
110
1
1
1

1
1
1
= (1 + + ... +
) Do đó ta có:

...
10
2
10 101 102
110
1 1
x= :
= 10
10 100
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
b.Xét
+
+
+ ... +
= (1 + + + ... +
)
1 .3 3 .5 5 .7

97.99 2
3 3 5 5 7
97 99
1
1
49
= (1 ) =
Khi đó ta có:
2
99
99
49
148
98
hay 49(x-2)+99x=148x-98 hay
( x 2) + x =
x
99
99
99
49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x R
2007
1 1 1
1
=
c. + + + ... +
hay
x
x
+

(
1
)
2009
3 6 10
2

Hớng dẫn:a.Xét

2
2
2
2
2007
+
+
+ ... +
=
2.3 3.4 4.5
x(x + 1) 2009
1 1 1 1 1 1
1
1
2007
)=
2( + + + ... +
2 3 3 4 4 5
x x + 1 2009
1
1

2007
2
2007
2
2
)=
=
2(
1
x=2008(thoả m n
=
2 x + 1 2009
x + 1 2009
x + 1 2009

x o; x 1 )
Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
11


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
Bài21:Giải phơng trình:
1
1
1
1
1
9
+
+

+ .... +
)( x 1) + x = x
1 .2 2 .3 3 .4
9.10
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
b.(
)
+
+
+ .... +
)x = (
+
+
+ ... +
1.51 2.52 3.53
10.60
1.11 2.12 3.13
50.60
1
1
1

1
1
9
Hớng dẫn:a. ( +
+
+ .... +
)( x 1) + x = x
1 .2 2 .3 3 .4
9.10
10
10
1 1 1 1 1
1 1
1
9
( 1 + + + ... + ) (x-1)+ x = x
2 2 3 3 4
9 10
10
10
9
1
9
( x 1) + x = x
0x=0 x R
10
10
10
1
1

1
1
1
1
1
1
)
b. .(
+
+
+ .... +
)x = (
+
+
+ ... +
1.51 2.52 3.53
10.60
1.11 2.12 3.13
50.60
1
1 1 1 1 1
1
1
1 1 1 1 1
1
1

(1 +
+ + ... + ) x = ( + + ... +
)

50
51 2 52 3 53
10 60
10 1 11 2 12
50 60
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1

(1 + + + ... +
... ) x = (1 + + ... +
... )
50
2 3
10 51 52
60
10
2
50 11 12
60
1
1
1 1

1
1
1
1
1
1
1
1

(1 + + ... +
... ) x = (1 + + ... +
... )
50
2
10 51 52
60
10
2
10 51 52
60
1 1

x= : =5
10 50

a.(

Bài22:Giải các phơng trình sau:
1
1

1
+ 2
=
a. 2
x + 4x + 3 x + 8x + 15 6
1
2
3
6
+ 2
+ 2
=
b. 2
x 5x + 6 x 8x + 15 x 13x + 40 5
1
1
1
+ 2
=
x + 9x + 20 x + 13x + 42 18
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ .... + 2
=
d. 2

x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12
x + 15x + 56 14

c.

2

Hớng dẫn:
a.Nhận xét: x 2 +4x+3=(x+1)(x+3)
x 2 +8x+15=(x+3)(x+5)
ĐKXĐ:x 1;x 3;x 5
1
1
1
+
=
(x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) 6
1 1
1
1
1
1

+

)=
(
2 x +1 x + 3 x + 3 x + 5 6

PT đ cho đợc viết:

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
12


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8


1 1
1
1
(

)=
2 x +1 x + 5 6

3(x + 5 x 1) = (x + 1)(x + 5)
2

2

(x + 3) = 4
x+3=4 hoặc x+3=-4
x=1 hoặc x=-7 (thoả m n ĐKXĐ)

*)Các câu b;c;d phơng pháp làm hoàn toàn tơng tự câu a.
Bài 23:Giải bất phơng trình:
(

1

1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
+ ... +
)x <
1.51 2.52
10.60
11 2.12 3.13
50.60

Hớng dẫn:Cách làm tơng tự bài 21b);chỉ có chú ý dấu bất đẳng thức thay cho
dấu đẳng thức và ta có giá trị biểu thức sau luôn dơng :
1 1
1 1 1
1
1 + + + ... + ...
nên ta có kết quả là x < 5
2 3
10 51 52
60
Phần 3:kết luận:
Phơng pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ bản giúp học sinh nắm
vững kiến thức,giải quyết linh hoạt các bài tập toán và đạt kết quả cao trong học

tập môn toán.Điều quan trọng nhất cần đề cập bài toán theo nhiều cách khác
nhau,nghiên cứu kỹ ,khảo sát kỹ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán
theo nhiều cách để mở rộng cho các bài toán khác.Đồng thời qua đó có thể khai
thác các ứng dụng của một bài toán cơ bản vào giải quyết các bài toán cùng loại.
Hi vọng rằng với một số ví dụ tôi đa ra trong đề tài này giúp các em học
sinh sẽ biết cách làm chủ đợc kiến thức của mình,thêm yêu mến môn toán,tự tin
trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này.
Đây mới chỉ là kinh nghiệm của bản thân tôi nên chắc chắn còn nhiều
khiếm khuyết,hi vọng đợc các bạn đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài
đợc hoàn chỉnh hơn.
*)Sau đây là một số bài tập đề nghị:
Bài 1:Tính các tổng sau:
a.

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.5 5.9 9.13
(4n 3)(4n + 1)

1
1
1
+
+ ... +
4.5 5.6

(n + 3)(n + 4)
7
7
7
1
+
+ ... +
+
c.
1.8 8.15
(7n 6)(7n + 1) 7n + 1

b.

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
13


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)
Bài 2:Rút gọn các biểu thức sau:
2

2
2
2
+
+
+
a.
(x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) x + 4

d.

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
A 1.(2n 1) 3.(2n 3) 5(2n 5)
(2n 3).3 (2n 1).1
b. =
1 1
1
B
1 + + + ... +
3 5
2n 1

Bài 3:Giải phơng trình:
1
1
1
1
149
99
+
+ ... +
)(2x ) + x =
.x
a.(
1.2 2.3
99.100
2
50
200
1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 6
Bài 4:Chứng minh rằng với n là số nguyên dơng bất kỳ thì:
1 1 1
1
A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 <1,65
1 2 3

n

b.

2

Ngày 21 tháng 5 năm 2008
Ngời thực hiện:

Lê thị hiền
Giáo viên:Trờng THCS Thị Trấn.

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
14