Lý thuyết hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa
1. Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y= xα, với α là một số thực đã cho. Các hàm số lũy thừa có tập xác
định khác nhau, tùy theo α:
- Nếu α ∈ ℤ+ thì tập các định là ℝ.
- Nếu α ∈ ℤ ℤ+ thì tập các định là ℝ{0}.
- Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).

Chú ý: Hàm số y=

có tập xác định là [0;+∞), hàm số y=

khi đó các hàm y=

, y=

y=

( hay y=

có tập xác định ℝ, trong

đều có tập xác định (0; +∞). Vì vậy y=
và y=

và

) là những hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
- Hàm số y= xα có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và (xα)’= αxα-1

- Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số
y= uα(x) cũng có đạo hàm trên J và (uα(x))’= αuα-1(x)u’(x).
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương
Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y= xn có tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên
toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, (xn)’= nxn-1 và ∀x ∈
J, (un(x))’= nun-1(x)u’(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.
4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y= xn có tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác
0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,(xn)’= nxn-1 và ∀x ∈ J,
(un(x))’= nun-1(x)u’(x) nếu u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J.
5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số

có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa

( tập xác định


của y=
chứa tập xác định của y=
hàm số trùng nhau).

và trên tập xác định của y=

Khi n lẻ thì hàm số y= có tập xác định ℝ. Trên khoảng (0; +∞) ta có y=
và

=

y=

, do đó =

hai

=

. Công thức này còn đúng cả với x < 0 và hàm số

không có đạo hàm tại x= 0.

Khi n chẵn hàm y=

có tập xác định là [0;+∞), không có đạo hàm tại x= 0 và có đạo hàm tại

mọi x > 0 tính theo

công thức

=

.

Tóm lại, ta có
đúng với mọi x làm cho vế phải có nghĩa. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp
ta suy ra: Nếu u=u(x) là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0, ∀x ∈ J khi n chẵn,
u(x) # 0, ∀x ∈ J khi n llẻ thì ∀x ∈ J,
6. Đồ thị hàm số y=xα trên khoảng (0; +∞)

Chú ý khi khảo sát hàm số y= xα với α cụ thể cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó( chứ không
phải chỉ xét trên khoảng (0; +∞) như trên).
>>>>> Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2016 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín,
nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu Hà Nội, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại
học.