Lý thuyết về giới hạn của hàm số.

Giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, các giới hạn đặc biệt.
Lý thuyết về giới hạn của hàm số.
Tóm tắt lý thuyết
1. Giới hạn hữu hạn
+) Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}.

f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \{x0} và xn → x0, ta có
lim f(xn) =L.
+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b).

f(x) = L khi và chỉ khi dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0 ,ta có lim f(xn) = L.
+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0).

f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có
lim f(xn) = L.
+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).

f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn ) bất kì, xn > a, xn → +∞ thì lim f(xn) = L.
+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞; a).

f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn ) bất kì, xn < a, xn → -∞ thì lim f(xn) = L.
2. Giới hạn vô cực
Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞),
bất kì, xn > a, xn → +∞ thì ta có lim f(xn) = -∞

f(x) = -∞ khi và chỉ khi với dãy số (xn)


+) Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}.

f(x) = +∞ và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \{x0} và xn → x0 thì ta có
lim f(xn) = +∞.
Nhận xét: f(x) có giới hạn +∞ khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞.
3. Các giới hạn đặc biệt

a)

x = x0;

b)

c = c;

c)

c = c;

d)

= 0 (c là hằng số);

e)

xk = +∞, với k nguyên dương;

f)

xk = -∞, nếu k là số lẻ;
xk = +∞ , nếu k là số chẵn.

g)

4. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1.

a) Nếu

= L và

g(x) = M thì:

•

[f(x) + g(x)] = L + M;

•

[f(x) - g(x) = L - M;

•

[f(x) . g(x)] = L.M;

•

b) Nếu f(x) ≥ 0 và

=

(nếu M ≠ 0).

f(x) = L, thì L ≥ 0 và

√f(x) = √L


Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x → +∞ hoặc x → -∞.
Định lí 2.

f(x) = L khi và chỉ khi

f(x) =

f(x) = L.

5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x ≠ x0 ).