Ứng dụng của nhóm lie trong các mô hình thống nhất tương tác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ NHUNG

ỨNG DỤNG CỦA NHÓM LIE TRONG XÂY DỰNG
CÁC MÔ HÌNH THỐNG NHẤT TƢƠNG TÁC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN
T.S PHÙNG VĂN ĐỒNG

Hà Nội, năm 2015


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy
Phùng Văn Đồng vì thầy đã tận tình hướng dẫn, chia sẻ những kinh nghiệm
qúy báu để tôi có thể dễ dàng tiếp thu và hoàn thành khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hoàng Ngọc Long và cô Nguyễn Thu
Hương đã truyền dạy cho tôi những kiến thức cơ bản nhất.
Xin cảm ơn qúy thầy, cô trong hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp đã
nhận xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong khóa luận của tôi.

Xin gửi lời cảm ơn đến qúy thầy cô trong khoa vật lý, trường đại học sư
phạm Hà Nội II đã truyền đạt cho tôi những kiến thức cơ bản nhất. Đó chính
là cơ sở, nền tảng để tôi hoàn thành khóa luận của mình.
Chân thành cảm ơn tới các anh chị lớp cao học vật lý lý thuyết tại Viện
vật lý đã tận tình hướng dẫn và cùng tôi trao đổi những kiến thức đã học và
các vấn đề trong cuộc sống.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn đến các thành viên trong gia đình
của tôi, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Nhung.

Nguyễn Thị Nhung

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1 : NHÓM LIE ............................................................................. 6
1.1. Nhóm Lie ................................................................................................ 6
1.2. Phương pháp weight cho SU(2) ............................................................ 13
1.3. Phương pháp tensor cho SU(3) ............................................................. 18

1.4. Phương pháp bảng Young cho SU(N) .................................................. 22
CHƢƠNG 2 : ĐỐI XỨNG CHUẨN VÀ MẪU QUARK .......................... 31
2.1. Đối xứng với nhóm giao hoán U(1) ...................................................... 31
2.2. Đối xứng chuẩn với nhóm không giao hoán SU(2) .............................. 36
2.3. Mẫu quak............................................................................................... 40
2.4. Nhóm SU(3) trong tương tác mạnh (QCD) .......................................... 43
CHƢƠNG 3 : MÔ HÌNH CHUẨN .............................................................. 47
3.1. Nhóm đối xứng chuẩn SU(2)L U(1)Y ................................................. 47
3.2. Toán tử điện tích và siêu tích yếu ......................................................... 48
3.3. Biến đổi chuẩn SU(2)L⨂ U(1)Y ............................................................ 50
KẾT LUẬN .................................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 53

Nguyễn Thị Nhung

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

MỞ ĐẦU
Kể từ khi có nền văn minh nhân loại, con người đã rất tò mò, hiếu kỳ trước
thế giới tự nhiên. Họ dần dần hiểu được những quy luật đơn giản như ngày đêm,
tháng và năm. Họ cũng hiểu được sự chuyển hoá của vật chất từ dạng này sang
dạng khác, như mộc sinh hỏa, hỏa sinh thổ v.v. Nhận thức của con người dần
dần rộng hơn, sâu sắc hơn phản ánh đúng hiện tượng hơn. Một điều không thể
phủ nhận, xã hội phát triển mạnh như ngày nay chính nhờ vào những nhận thức
đó, những sáng chế đó. Đây cũng là yếu tố cổ vũ, thúc đẩy con người chinh phục

và không khuất phục trước những bí ẩn của vũ trụ. Những câu hỏi về tự nhiên đã
được đúc kết lại: “ Cái gì cấu thành nên vũ trụ? Luật cơ bản nào tri phối vận
động nào của nó? Nguồn gốc của vũ trụ là gì? Nó kết thúc không? Tại sao chúng
ta xuất hiện? ’’ Nếu như trưóc kia chúng chỉ tồn tại trong triết học với những mô
tả định tính, đôi khi cảm tính, thì ngày nay chúng được trả lời bằng những khoa
học chính xác – hạt nhân của khoa học chính xác đó là Vật lý học.
Trước hết, ta biết rằng vũ trụ này gồm các hạt vật chất thông thường như
lepton, quark và các hạt truyền tương tác giữa chúng: photon cho tương tác điện
từ,W,Z cho tương tác yếu, gluon cho tương tác mạnh và gravito cho tương tác
hấp dẫn. Yếu tố đặc biệt còn lại là hạt Higgs khối lượng cho mọi hạt khác. Ba
tương tác đầu tiên được mô tả thành công bởi mô hình chuẩn và làm việc ở
thang vi mô như phân tử, nguyên tử, hạt nhân, các hạt cơ bản. Tương tác hấp dẫn
được mô tả thành công bởi thuyết tương đối rộng ở thang vĩ mô như trái đất, mặt
trời, sao, thiên hà khi các hạt cơ bản cô đặc. Có một điều ta chưa hiểu tường tận
là vật chất ngày nay chỉ cấu thành từ các hạt, không có bằng chứng cho phản vật
chất được cấu thành từ các phản hạt, gọi là vấn đề bất đối xứng vật chất – phản
vật chất (vì theo mô hình chuẩn số hạt phải bằng số phản hạt ). Ngoài ra, vật chất

Nguyễn Thị Nhung

1

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

thông thường chỉ tồn tại dưới dạng thiên hà, tinh vân, neutrino, bức xạ và chiếm

chỉ khoảng 5

thành phần vật chất vũ trụ.

Còn hai loại vật chất khác chiếm đến 95

thành phần vật chất vũ trụ là vật

chất tối và năng lượng tối, không có trong và cũng không được mô tả bởi các lý
thuyết chính thống của chúng ta, mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng (không
kể hằng số vũ trụ ).Vật chất tối (chiếm 25

vật chất vũ trụ) đổ đầy các thiên hà

và mở rộng ra vỏ ngoài thiên hà ở một thang lớn. Chúng trung hoà điện, không
hấp thụ và bức xạ ánh sáng. Hiệu ứng mạnh nhất là thông qua tương tác hấp dẫn
và có thể được ghi nhận thông qua năng kính hấp dẫn. Chúng gây nên sự phân
bố vận tốc gần như không đổi của các sao khi quay quanh tâm thiên hà, và đây
chính là bằng chứng đầu tiên chúng ta biết về nó. Năng lượng tối choán đầy vũ
trụ, chiếm đến 70

vật chất vũ trụ. Một đặc tính của năng lượng tối là nó sẽ sinh

lực hấp dẫn là lực đẩy khi các thiên hà nằm trong đó. Điều này giải thích cho
hiện tượng các thiên hà đang dần xa nhau với vận tốc tăng dần (sự giãn gia tốc
của vũ trụ ), quan sát được hơn mười năm qua .
Hiểu biết của chúng ta được tổng kết ở mô hình chuẩn và thuyết tương đối
rộng - những nền tảng cơ xở của vật lý hiện đại. Vì vậy, trước hết chúng ta hãy
điểm qua những học thuyết này. Có ba yếu tố cơ sở hình thành nên mô hình
chuẩn là 1) Đối xứng chuẩn , (2) phá võ đối xứng tự phát , và (3) mẫu quark .

Đối xứng chuẩn Abelian U(1) cho tương tác điện từ được ghi nhận trực tiếp
từ điện động lực Maxwell như một hệ quả do Weyl (1918)và Pauli (1941). Điện
động lực học vì vậy ẩn ý rằng đối xứng chuẩn chính là ngôn ngữ của các tương
tác cơ bản . Thực vậy , năm 1954 Yang và Mills đã xây dựng thành công lý
thuyết chuẩn dựa trên nhóm không Abelian. Đối xứng chuẩn của mô hình chuẩn
SU(3) ⨂ SU(2) ⨂ U(1) cho ba tương tác điện từ , yếu và mạnh là hệ quả của
những phát minh đó .Tương tự ,thuyết tương đối rộng cho tương tác hấp dẫn
Nguyễn Thị Nhung

2

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

chính là một lý thuyết chuẩn dựa trên hình học Riemann được xây dựng năm
1916 bởi Einstein . Một đặc tính của lý thuyết là các trường truyền tương tác
không có khối lượng do bất biến chuẩn . Điều này tốt cho tương tác điện từ,
mạnh và hấp dẫn. Tuy nhiên, tương tác yếu là tương tác tầm gần, các hạt truyền
tương tác W, Z phải có khối lượng lớn. Làm sao sinh khối lượng cho W,Z mà
vẫn bảo toàn đối xứng chuẩn.
Khó khăn đó được khắc phục bởi hiện tương phá vỡ đối xứng tự phát cholý
thuyết chuẩn, thông qua cơ chế Higgs. Đối xứng chuẩn là đối xứng của
Lagrangian không phải đối xứng của chân không. Trường vô hướng thực hiện
phá vỡ đối xứng gồm hai phần, phần thực và phần ảo. Phần thực, gọi là hạt
Higgs, sẽ có trung bình chân không và cho khối lượng đến mọi hạt khác kể cả
boson chuẩn khi chúng tương tác với Higgs. Khi boson chuẩn nhận khối lượng,

số bậc tự do của nó tăng từ 2 lên 3. Bậc tự do mới, thành phần dọc của trường
chttuẩn, chính là phần ảo của trường vô hướng hạt Goldstone. Ta nói boson
chuẩn ăn hạt Goldstone, khắc phục khó khăn của định lý Goldstone cho lý thuyết
với đối xứng toàn cục.
Những năm 1961-1964 là những năm có ý nghĩa nhất đối với sự phát triển
của tương tác mạnh thứ mà gắn kết proton và neutron cấu thành nên hạt nhân.
Gell- Mann, Ne’eman, Nishijima và Zweig đã khám phá ra rằng các hardron
trong đó có proton, neutron và meson được cấu thành và được phân loại bởi các
hạt cơ sở hơn gọi là quark. Một năm sau, năm 1965, người ta nhận ra rằng các
quark phải có thêm một số lượng tử mới (gọi là mầu) như biểu diễn cơ sở của đối
xứng chuẩn mới SU(3)C. Lý thuyết tương tác mạnh QCD giữa các quark thông
qua hạt truyền tương tác gluon ngay sau đó hình thành. Vì các hadron không có
màu tích, baryon xây dựng từ 3 quark và meson từ 2 quark sao cho bất biến với
nhóm màu. Các đặc tính của QCD là khi các quark gần nhau chúng coi như

Nguyễn Thị Nhung

3

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

không tương tác (tiệm cận tự do ), khi chúng xa nhau cỡ bán kính hạt nhân tương
tác trở nên cực kỳ mạnh. Thực tế các quark chỉ tồn tại trong các hadron, không
có quark tự do và điều này cũng đúng cho gluon, gọi là hiện tượng cầm tù quark.
Lực hạt nhân chính là tàn dư của tương tác mạnh, gọi là lực London, mặc dù các

nucleon thung hoà mầu, tương tự lực liên kết phân tử Wanderwalls
Mô hình chuẩn với hai phần cơ sở là lý thuyết điện yếu GWS (SU

⨂

U(2)Y) và sắc động lực học QAD (SU(3)C) với đối xứng chuẩn SU(3)C⨂ SU(2)L
⨂ U(2)Y. Các fermion được xếp theo thế hệ: thế hệ 1gồm
gồm

, μ, c, s và thế hệ 3 gồm

, e, u, d, thế hệ 2

, , t, b. Mỗi fermion có hai thành phần: phân

cực trái và phân cực phải .Riêng neutrino chỉ có phân cực trái. Các thành phần
trái phải là cấu thành cơ sở của mô hình chuẩn: hạt trái được xếp vào lưỡng
tuyến SU(2)L, trong khi hạt phải là đơn tuyến của nhóm này. Các quark nằm
trong tam tuyến của SU(3)C, trong khi lepton là đơn tuyến. Siêu tích yếu Y = Q , trong đó

isospin yếu và Q là điện tích. Phá vỡ đối xứng điện yếu và sinh

khối lượng được thực hiện thông qua cơ chế Higgs với một lưỡng tuyến vô
hướng

,

,𝑣+H+i

)

thành SU(3)C⨂ SU(2)L⨂ U(2)Y

. Khi này, đối xứng chuẩn bị phá vỡ

SU(3)C⨂ U(1)Q. Các hạt truyền tương tác yếu

, Z cà fermion (trừ neutrino) nhận khối lượng tỉ lệ với 𝑣 thông qua tương tác
với H. Phhoton gắn với U
không.

và

và các gluon gắn với SU

có khối lượng bằng

là các hạt Goldstone có khối lượng bằng không và bị ăn bởi các

boson chuẩn khối lượng

và Z (chúng không phải là hạt vật lý ). Hạt Higgls

H là hạt vật lý đã được tìm thấy trong thực nghiệm LHC năm 2012 với khối
lượng 125 Gev. Mô hình chuẩn với ba thế hệ fermion cùng với các hạt truyền
tương tác mạnh, yếu, điện từ và hạt sinh khối lương H giải thích mọi hiện tượng
vi mô liên quan đến 5
cao, hơn 99

vật chất thông thường của vũ trụ với độ chính xác rất

so với giá trị thực nghiệm. Kết hợp với tương tác hấp dẫn tác dụng

Nguyễn Thị Nhung

4

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

của thang vĩ mô, mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng là hai trụ cột của vật lý
hiện đại, mô tả thành công vật lý từ thang hạt cơ bản đến vũ trụ tổng thể .Vừa
qua,năm 2013,giải Nobel đã chao cho Higgs và Englert vì đã phát minh ra Higgs
năm 1964. Ngoài việc sinh khối lượng,Higgs còn có ý nghĩa sau : tiến hoá của vũ
trụ kể từ sau bigbang sẽ theo cách mà sự sống xuất hiện. Không có Higgs sẽ
không có chúng ta như ngày nay. Nhằm phần nào tìm hiểu các lý thuyết nói trên,
trong luận văn này em sẽ đề cập về lý thuyết nhóm liên tục, nhóm Lie, và ứng
dụng của nhóm Lie trong mô hình xây dựng các mô hình thống nhất tương tác.
Tên đề tài được chọn là: “ Ứng dụng của nhóm Lie trong các mô hình thống nhất
tương tác’’.

Nguyễn Thị Nhung

5

K37 Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý
CHƢƠNG 1 : NHÓM LIE

Phần này tôi giới thiệu chung về các khái niệm nhóm Lie như vi tử của
nhóm, biểu diễn nhóm và xây dựng đại số Lie về mối quan hệ giữa các vi tử qua
hằng số cấu trúc của nhóm. Từ hằng số cấu trúc lại xây dựng được một biểu diễn
gọi là biểu diễn phó tác động lên không gian vi tử. Lại áp dụng đại số Lie và biểu
diễn phó cho các nhóm unita chéo hoá ma trận đó, và yêu cầu tất cả các trị riêng
của toán tử chéo xác định dương sẽ xây dựng được đại số Lie compact tiện lợi
với các biểu diễn đơn giản. Sẽ lấy ví dụ cụ thể cho các nhóm SU(2), SU(3).
1.1. Nhóm Lie
1.1.1. Định nghĩa
Xét nhóm vô hạn , các yếu tố nhóm

là khả vi liên tục theo các tham

số độc lập
,
Trong đó ta quy ước ứng

{

,

,

,

}

coi là yếu tố đơn vị của nhóm vô hạn.

với

Khi đó biểu diễn của nhóm gồm các toán tử tuyến tính cũng tham số hóa theo
cùng cách đó gọi là toán tử đơn vị.
với
Ta sẽ chỉ ra biểu diễn của nhóm vô hạn có thể được tham số hóa thành dạng lũy
thừa.
(*)
Trong đó ta định nghĩa:
với
Trong đó

, , ,

..,

là vi tử của nhóm và Lie đã chứng minh được rằng tham số hóa lũy

thừa đúng cho mọi biểu diễn với mọi hữu hạn và đúng cho các nhóm trừu tượng,
nên các nhóm loại này gọi chung là nhóm Lie.
Xét 1 lân cận đủ nhỏ
Nguyễn Thị Nhung

quanh , ta có thể khai triển Taylor:

6

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Nếu

Khoa Vật Lý

hữu hạn, ta chia

đoạn bằng nhau

thành
[

]

thì:

i

Nhóm Lie là nhóm liên tục, tức là các yếu tố nhóm đóng kín
tùy ý) khi

(gần nhau

đóng kín. Và các biểu biễn của yếu tố nhóm cũng sẽ đóng kín, tức là

với
thì
Như vậy, nếu
, ta nói nhóm

liên tục và khả vi theo

đến mọi cấp, hay

giải tích theo

là nhóm Lie. Trong tài liệu người ta gọi đơn giản nhóm Lie là

nhóm liên tục.
Ví dụ cho nhóm SU(N):
SU(N) gồm các ma trận unita với det=1 tạo thành một nhóm.
Tính đóng kín:
,
,
,

,

Xét:
.
 . .

Đóng kín:
+)

+)
+)

( unita và
mà

)

và
,


Nguyễn Thị Nhung

7

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp
(

Khoa Vật Lý

là nghịch đảo của

)

Tính chất của nhóm SU(N):
 U11 U12

U =  U 21 U 22
U
 N1 U N 2

U1 N 
U2N 

U NN 

+) Số tham số thực: 2N2
, N2 phương trình biến thực

+) Điều kiện Unita:

+) Điều kiện det = 1  một phương trình biến thực
Số tham số thực độc lập : 2N2 – N2 – 1 = N2 – 1
Số vi tử: N2 – 1
Vậy với cách tham số hóa lũy thừa như trên thì mối quan hệ giữa các vi tử tương
ứng là như thế nào? Để biết được điểu đó, ta sẽ tìm hiểu đaị số Lie.
1.1.2. Đại số Lie
Ta sẽ chứng minh được với là hằng số cấu trúc của nhóm Lie.
Chứng minh:
Theo luật nhân nhóm: 



Xét , , đủ nhỏ, lấy ln hai vế ta có:
(
[

Nguyễn Thị Nhung

)

n
][

]

8

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

Ta có:

[

]

Mà:



[



Hay:

,

]

[

,

]

,

,

,

Hệ thức đúng cho mọi hệ số , , bất kỳ
Đặt tương ứng:
[

,

]

[

,

]

Trong đó:

là hằng số cấu trúc của nhóm, có tính phản đối xứng theo ,

1.1.3. Biểu diễn phó
Bản thân các vi tử, hay nói cách khác là hằng số cấu trúc sẽ sinh ra một biểu
diễn tác động lên không gian biểu diễn của các vi tử
[ ,
Ta hoàn toàn chứng minh được: [ ,

gọi là biểu diễn phó.

]
]

Chứng minh:

Nguyễn Thị Nhung

9

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

Từ đồng nhất thức Jacobi:
,[

[

]]

,
,[

[

]]

,

[



[

,

,[
[

]

]]

,
,[
[

,[

[
]]

,
,

[[

]

]]

,
,

],

]

,

]

[





Xét:
[ ,

]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

à

[ ]
[

,

]

[

,

]

[

]

Vậy ta có điều phải chứng minh
1.1.4. Đại số Lie compact
Vết của tích 2 biểu diễn phó có thể chéo hóa và giả sử rằng các trị riêng của toán
tử chéo xã định dương và chọn để bằng

thì định nghĩa được đại số Lie

compact.
,
Để chứng minh

ta có:

Nguyễn Thị Nhung

10

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

,

Xét

với các nhóm unita, trong đó

, có thể chéo hóa,

là số thực, và đối xứng theo

là ma trận unita.

tác động trong không gian N chiều. Để tìm
xét sự thay đổi của các không gian vi tử

(biểu diễn phó bị thay đổi) ta
tác động lên đó thông

vì ma trận

qua hằng số cấu trúc.
L: là ma trận chuyển cơ sở
L



[

]

,



[

,

[

]

]





[

[

]

]

[

]



Như vậy, ta đã chéo hoá được ma trận
,

,

,

⨂ dạng chéo. Trong đó

là các trị riêng của .

, , ,

+ Nếu mọi

về ma trận

,

thì có thể chọn để mọi

, lúc này ta có đại

số Lie compact:
Ví dụ: Nhóm SU(N), SO(N) thuộc loại này
+ Nếu tồn tại một

thì đại số Lie không compact

và một

Ví dụ: Nhóm Lorentz O(1,3), O(N)
+ Nếu tồn tại

thì chuẩn của vi tử tương ứng triệt tiêu
,

Ví dụ: Nhóm Abelian
+ Nếu

thì

Vậy chỉ cho chuẩn của vi tử về λ, không đổi dấu của

Nguyễn Thị Nhung

11

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

1.1.5. Đại số Lie đơn và nửa đơn
a) Đại số đơn và nhóm nửa đơn
Trước khi định nghĩa đại số đơn, ta có khái niệm đại số con bất biến.

Cho đại số Lie gồm các vi tử { } . Một tập hợp con { }của { }gọi là đại số con
bất biến nếu có thành chính nó khi giao hoán với một vi tử bất kỳ thuộc { }. Tức
là:
{ , }

{ }

Một đại số Lie gọi là đơn nếu nó không có đại số con bất biến nào khác
chính nó và { }, tức là không tồn tại số con không tầm thường. Từ đây ta có định
nghĩa của nhóm đơn là không tồn tại nhóm con bất biến không tầm thường. Ví
dụ SU(N) là nhóm đơn vì tập hợp các vi tử cuả nhóm {

}tạo thành đại số đơn.

SO(3) đẳng cấu với SU(2) cũng là một đại số đơn. Nhưng nhóm SO(4) chứa
nhóm con bất biến là SO(3) thì lại không phải là nhóm đơn.
b) Đại số nửa đơn và nhóm nửa đơn
Trước khi định nghĩa đại số nửa đơn ta có khái niệm đại số con bất biến giao
hoán (abelian)
Cho đại số Lie gồm các vi tử { }. Nếu tồn tại một vi tử N mà giao hoán với mọi
vi tử còn lại thì bản thân N tạo thành một đại số con bất biến gọi là đại số con bất
biến abelian [

,

]

. Nhóm mà có duy nhất một vi tử như thế chính là

nhóm U(1), tương ứng với phép biểu diễn

gọi là thừa số abelian.

Một đại số Lie { }gọi là nửa đơn nếu nó không có đại số con bất biến abelian
nào kể cả chính nó. Bởi vì nếu có đại số đó cũng sẽ giao hoán với mọi vi tử khác
của nhóm. Như vậy không gian toàn bộ đại số lại có thể tách thành tổng trực tiếp
của các không gian của đại số đơn, bởi:
{ }

Nguyễn Thị Nhung

{ }

{ }

.

12

{ }

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

Và nhóm nửa đơn sẽ là tích trực tiếp của nhóm đơn.
Ví dụ SU(3) ⨂ SU(2) là nhóm nửa đơn.

c) Định lý tổng quát
Mọi nhóm Lie đều viết được thành tích trực tiếp của các nhóm đơn và thừa số
abelian.
Ví dụ mô hình chuẩn chính là một nhóm Lie tổng quát.
⨂

⨂

Nhóm nửa đơn đóng vai trò rất quan trọng trong vật lý lượng tử, đặc biệt là ứng
dụng mô tả vật lý hạt. Bởi khi thống nhất các tương tác cần mở rộng nhóm đối
xứng chuẩn bao gồm một tập hợp các vi tử mà có thể không có nhóm đơn nào
đáp ứng. Ví dụ thống nhất tương tác điện – yếu cần 4 vi tử buộc ta phải sử dụng
tích trực tiếp của

và

. Khi đó, sử dụng nhóm nửa đơn là phương

pháp đơn giản nhất.
1.2. Phƣơng pháp weight cho SU(2)
Muốn tìm các biểu diễn của nhóm Lie, ta bắt đầu với các biểu diễn của đại số
Lie cuả nhóm, sau đó chuyển sang các biểu diễn của nhóm bằng cách tham số
hóa lũy thừa. Việc xây dựng các biểu diễn bất khả quy của đại số Lie bắt đầu xây
dựng một không gian biểu diễn mà có thể thực hiện nhờ các toán tử sinh hủy
hoặc các vi tử nâng hạ wieght. Các vi tử nâng hạ wieght lại được xây dựng chính
từ vi tử của nhóm không phải vi tử cartan. Chú ý SU(2) là thuộc nhóm unita nên
vi tử biểu diễn được chọn sẽ là hermitian.
Sau đây tội sẽ trình bày phương pháp weight để xây dựng biểu diễn của nhóm
Lie compact đơn giản nhất SU(2).
1.2.1. Vi tử Cartan

Nguyễn Thị Nhung

13

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

Trước tiên cần phải nói về đại số cartan, là đại số bao gồm những vi tử đôi
một có thể chéo hoá. Vật lý cần những vi tử như thế để mô tả cho các đại lượng
đo được. Nhóm SU(N) có N2 – 1 vỉ tử thì có N – 1 vi tử cartan. SU(2) có 3 vi tử,
trong đó có 1 vi tử cartan, do đó 3 vi tử đôi một không giao hoán nhau [

Gọi

là vi tử chéo của SU(2). Ta có:

m

,

]

mm

1.2.2. Vi tử nâng hạ wieght

Xét biểu diễn định nghĩa của SU(2), là biểu diễn có số chiều bằng chiều của
nhóm, tức là sẽ xây dựng các ma trận biểu diễn

của các vi tử. Các biểu

diễn khác có thể suy ra từ biểu diễn định nghĩa. Như vậy

sẽ có hai trị riêng

ứng với 2 vectơ riêng có thể chọn làm vecter cơ sở của biểu diễn.
Ta đưa ra một số khái niệm:
- Các trị riêng của vi tử chéo gọi là weight  m 
- Các vecter riêng của vi tử chéo gọi là vecter weight

m

- Trị riêng lớn nhất của vi tử chéo gọi là hight weight, ta ký hiệu là
a)Vi tử nâng hạ wieght
Trong cơ sở mà chéo hóa thì ta định nghĩa các vi tử nâng hạ

,

như sau.

√
Ý nghĩa vật lý của các vi tử nâng hạ trong cơ học lựơng tử chính là toán tử nâng
hạ spin, còn trong mô hình chuẩn thì chúng là vi tử của các boson chuẩn
Từ đại số của nhóm SU(2) ta chứng minh được:
[

Nguyễn Thị Nhung

,

]

14

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

Sử dụng các biểu thức trên ta lại chỉ ra được
của

ứng với trị riêng

m cũng là một vecter trị riêng

lại là trị riêng ứng với các vectơ

. Mà

m  1 . Vậy nên
m 1

m

Ta nhận thấy:
+ Các vi tử đã nâng weight lên một đơn vị
+ Các vi tử đã hạ weight xuống một đơn vị
Vậy, từ một vectơ m biết trước, sử dụng vi tử nâng hạ weight ta có thể tìm ra tất
cả các vectơ còn lại cuả không gian biểu diễn. Chỉ cần ta tìm được công thức
tính giá trị riêng của các vi tử nâng hạ weight.
b) Trị riêng của vi tử nâng hạ weight
Bởi vì làm việc với vi tử nâng và hạ là tương đương nên ta chọn vectơ riêng ứng
với weight cao nhất của vi tử chéo và sử dụng vi tử hạ để tìm các vectơ còn lại.
Dễ dàng chứng minh được:
j

√ j 1

Một cách tổng quát hơn:
jk

√

j  k 1

c) Ma trận biểu diễn
Trước tiên ta đi tìm ma trận biểu diễn của biểu diễn không tầm thường đơn giản
nhất.
Ta sử dụng ký hiệu chuẩn jm cở sở trực chuẩn cho không gian biểu diễn spin
m trạng thái của xung lượng

Các yếu tố ma trận ứng với spin j có 2j+1 giá trị m: {j, j-1,…,1, 0, -1,…,-j}

Nguyễn Thị Nhung

15

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

 có 2j+1 các trạng thái jj jj  1 ... j 0 ... j  j

Chiều của biểu diễn
Không gian biểu diễn:
.
(

.

)

.
Ta có một số công thức hay sử dụng:
jm  1

jm
jm '

jm

,

jm  1

jm
jm '

jm

,

1.2.3. Ứng dụng phƣơng pháp weight với SU(2)
Biểu diễn định nghĩa của SU(2) chính là biểu diễn trong không gian 2 chiều với
nên, ta có các trạng thái weight

1 1 1 1
. Ta cũng hoàn toàn làm phương
,
22 2 2

1
2

pháp weight được với spin1, spin ,….và tổng quát cho cả đại số cartan.
Mục đích của weight:
- Xây dựng không gian biểu diễn
- Xây dựng biểu diễn bất khả quy
1
2

1
2

Ví dụ, cụ thể tìm yếu tố ma trận của spin , spin có hai trạng thái

1 1 1 1
, ,
22 2 2

 kỳ vọng ma trận biểu diễn là ma trận Pauli

+ Tìm

:

Nguyễn Thị Nhung

16

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

11
11
1

1
X3
   X 3 1 1 
22
22
2
2
22
11
1 1
X3
 0   X 3 1 1  0
2 2
2 2
Ta có: 2 2
1 1
11
X3
 0   X 3  1 1  0
2 2
22
2 2
1 1
1 1
X2
 0   X 3  1 1  0
2 2
2 2
2 2

(

Vậy:
+ Tìm

)

sử dụng công thức: jm '

jm

,

Ta có:
11  11
1
X
  1 1  0   X   1 1  0
22
22
2 22
2 2
1 1  1 1
1
1
1
X

 1 1 
  X   1 1 

2 2
22
2 22
2
2
2 2
1 1  1 1
X
 0   X   1 1  0
2 2
2 2
2 2
1 1  1 1
X
 0   X   1 1  0
22
2 2
2 2

(

Vậy:

) là ma trận chỉ số

√

+ Tìm

sử dụng công thức: jm '

jm

,

11  11
X
 0   X   1 1  0
22
22
22
1 1  1 1
1
1
1
X

 1 1 
  X   1 1 
Ta có:
22
2 2
2 22
2
2
2 2
1 1  1 1
X
 0   X   1 1  0
2 2

22
2 2

(

Vậy:
Tìm

,

√

)là ma trận nâng chỉ số

:

Nguyễn Thị Nhung

17

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý
(

√

)

(

√

)

1.3. Phƣơng pháp tensor cho SU(3)
Ở phần này tôi trình bày về phương pháp tensor, bao gồm xây dựng các biểu
diễn cao chiều từ việc lấy tích tensor của các biểu diễn cơ sở, biểu diễn liên hợp
và ngược chiều, tách biểu diễn nhìn chung không bất khả quy của các tích tensor
này thành tổng của các biểu diễn bất khả quy thành phần. Tôi sẽ làm cụ thể cho
SU(3).
1.3.1. Tích tensor
Xét

,

là hai biểu diễn của

ứng với biểu diễn N chiều với các vectơ cơ sở i ,  i  1,...., N 
ứng với biểu diễn M chiều với các vectơ cơ sở x ,  x  1,...., M 
Vậy, tích tensor ứng với vectơ cơ sở ix  i x , và tích tensơ ứng với biểu diễn
chiều.
⨂

ix

i x

a) Biểu diễn tích tensor
Từ tích trực tiếp của một nhóm:

⨂

ix

đó minh họa cho nhóm SU(2) mà

i x thì ta có thể biểu diễn nào

từ đó, ta có biểu diễn tích tensor

như sau:
jy

Nguyễn Thị Nhung

⨂

ix

j

i

18

y

x

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý
[

]

⨂

[

,

] [

]

Ta khai triển vô cùng bé (chỉ giữ lại bậc nhất) ta có, công thức tổng quát:
⨂

[

]

[

,

]

[

]

Tích tensor hay tích biểu diễn chính là cộng vi tử.
Vi tử tác động lên không gian tích tensor bằng tổng các vi tử tác động lên không
gian thành phần.
i x

( i ) x

i (

x )

Ví dụ tìm ⨂ cho SU(2)
Biểu diễn 2 của SU(2) ứng với biểu diễn spin
Biểu diễn 3 của SU(2) ứng với biểu diễn spin
1
2

spin : có hai trạng thái

1 1 1 1

,
22 2 2

spin1 : có ba trạng thái 11 , 10 , 1  1
 Tích tensor:

1
m 1m '
2

1
1
m 1m ' có weight cao nhất là
2
2

+ Trạng thái với weight cao nhất:
33
11

11
22
22

(1)

+ Dùng toán tử X  tìm các trạng thái còn lại:
Ta có: X 

33

11
11
 X
11 
X  11
22
22
22



3 31
1 1 1
11

11 
10
2 22
22
2 2 2



31
1 1 1
2 11

11 
10
22

3 22
3 2 2

Nguyễn Thị Nhung

(2)

19

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp
Ta có: X 

Khoa Vật Lý

31
1  1 1
2  11

X
11 
X
10
22
2 2
3
22
3

31
1 1 1
2  11 
2 11

X  11  
X  10

X
 10 
22
3
22 
3 22
3 2 2
31
1 1 1
2 1 1 1
2 11
 2

10 
10 
11
22
3 2 2 2
3 22
3 2 2
 X

3 1
2 1 1
1 11

10 
1 1
2 2
3 2 2
3 22



Ta có: X 

3 1
2 1 1

2 2
3 2 2

X





(3)

10 

1   11 
X
 1 1
22 
3

3 3 3
2 1 1
1 1 1

11 
11
2 2 2
3 2 2
6 2 2



3 3
1 1

1 1
2 2
2 2



(4)
3

2

Biểu diễn bốn chiều của spin với bốn vectơ của biểu diễn tensor đôi một trực
giao nhau.
1.3.2. Tích tensor của SU(3)
SU(3) có hai biểu diễn cơ bản,
sở. Từ đó ta lấy tích tensor

⨂

là biểu diễn cơ sở và
,

trong đó,

là biểu diễn phản cơ
⨂

sinh ra mọi

biểu diễn khác nhau, mọi biểu diễn có thể xác định theo các biểu diễn cơ bản.
+ Biểu diễn cơ sở:
1

3

2

3

1 3
2 6
1 3

2 6
 3
 0
3



Nguyễn Thị Nhung

20

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp


Ta có:

Khoa Vật Lý



i

j

j

i

j



[ ]

i



[ ]

j

j

j

+ Biểu diễn liên hợp:

*

2

3

1  3
2 6
1 3

2 6
3
 0
3



1

3



i

i

Ta có:



i

[

i



j

j

]
⨂

+ Biểu diễn tích tensor của
i1

i2

i3

......

j1

j3

j2

in

n

Ta có: X a
X



j1 j2 ... jm
i1i2 ...in

k 1

i1

n

j1 j2 .... jm
a i1i2 ...in


k 1

i

......

jm



.... X a



ik

j1 j2 ... jm
i1i2 ...in



m

in

....

jm


k 1

m

j1 j2 ..... jm
i1i2 ..... ik 1 ik 1 .... in

 X a i  
k

k 1

j1 .... jk 1 ik 1 ...in
i1i2 ....in

i1

....

  Xa 

j1
in

.... X a

jk

....

jm

jk

Kết luận: Các tích tensor nhìn chung là không bất khả quy, có thể tách tích tensor
thành các biểu diễn bất khả quy.
1.3.3. Ví dụ tìm

⨂ , ⨂ *cho SU(3)

a) ⨂ ta có thành phần tensor

vàcó thành phần tensor

 ⨂ có thành phần tensor

có số chiều biểu diễn là 9 (khả quy)

Viết lại:
(

)

Biểu diễn bất khả quy 6 chiều đối xứng (2,0)
Nguyễn Thị Nhung

21

K37 Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lý

Biểu diễn bất khả quy chiều phản đối xứng (0,1)
Vậy: ⨂

⨂
,

b) có thành phần tensor

có thành phần tensor

 ⨂

Vậy: ⨂
1.4. Phƣơng pháp bảng Young cho SU(N)
Ở cuối của phần này là phương pháp bảng Young. Ta biết rằng các biểu diễn
bất biế khả quy của nhóm unita có thể thực hiện bằng bằng bảng Young. Các
tensor hoàn phản xứng và không vết cũng sẽ cho một bảng Young. Vậy thay vì
biểu diễn tích tensor phức tạp ta sẽ đưa về biểu diễn dạng bảng Young với những
quy tắc nhân bảng Young đơn giản tiện lợi hơn.
1.4.1. Bảng Young
a. Nhóm SU(3)
Ta thấy SU(3) có hai biểu diễn cơ bản ,
ra biểu diễn bất kỳ

. Từ hai biểu diễn cơ bản có thể sinh

,

⨂

đối xứng theo và phản đối

xứng theo , chứa mọi biểu diễn cần tìm.
Đối xứng hóa các chỉ số thích hợp sẽ cho biểu diễn bất khả quy tương ứng.
.

Cho tensor tổng quát:

.
.

biến đổi như V
Tính chất của
đối xứng theo các cặp

Nguyễn Thị Nhung

,

,

đối xứng theo ℓ

22

K37 Vật Lý