Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng phương trình lagrange loại II

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


NGUYỄN THÚY AN

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT
GIẢI BẰNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE
LOẠI II

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

HÀ NỘI – 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


NGUYỄN THÚY AN

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT
GIẢI BẰNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE
LOẠI II

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI – 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn
Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo và nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành
khóa luận này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm
say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ
tôi hoàn thành khóa luận này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã
luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thúy An


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng
phương trình Lagrange loại II” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân
cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà
Loan. Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của
bất kì một tác giả nào. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin
hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thúy An


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Nội dung của khóa luận................................................................................. 2
7. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 2
NỘI DUNG
Chương 1: Những khái niệm cơ bản
1.1: Khái niệm về liên kết ................................................................................. 3
1.1.1: Số bậc tự do- liên kết .............................................................................. 3
1.1.2: Dịch chuyển ảo và dịch chuyển khả dĩ ................................................... 5
1.2: Tọa độ suy rộng.......................................................................................... 5
1.3: Liên kết lý tưởng ........................................................................................ 6
1.4: Hàm Lagrange .......................................................................................... 6
1.5: Hàm Haminton ......................................................................................... 10


Chương 2: Phương trình Lagrange
2.1: Phương trình Lagrange loại I ................................................................... 11

2.1.1: Nguyên lí Đalămbe –Lagrange ............................................................. 11
2.1.2: Phương trình Lagrange loại I ................................................................ 11
2.2: Những hạn chế của phương trình Lagrange loại I ................................... 13
2.3: Phương trình Lagrange loại II .................................................................. 14
2.3.1: Xây dựng phương trình ......................................................................... 14
2.3.2: Ý nghĩa vật lí của Qk ............................................................................. 15
2.3.3: Ý nghĩa của Zk....................................................................................... 17
2.3.4: Phương trình Lagrange loại II viết cho trường lực thế ......................... 16
2.3.3: Phương trình Lagrange loại II là một phương trình vi phân bậc hai đối
với tọa độ suy rộng .......................................................................................... 17
Chương 3: Ứng dụng của phương trình Lagrange loại II trong việc giải
một số bài tập cơ lý thuyết
3.1: Các bước vận dụng phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số
bài toán cơ học ................................................................................................ 19
3.2: Vận dụng giải một số bài tập trong cơ lý thuyết ...................................... 19
KẾT LUẬN .................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 49


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết cho đến thế kỉ XIX 1 chuyên ngành vật lý mới ra
đời, đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học đó là “chuyên
nghành vật lý lý thuyết”. Sự ra đời của ngành vật lý lý thuyết này đã góp phần
nâng cao và khái quát hóa những định luật vật lý thành những quy luật, những
học thuyết hết sức tổng quát, có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển của khoa
học, đời sống và kĩ thuật. Với sự kết hợp những phương pháp toán học hiện
đại, phát triển cao, vật lý lý thuyết còn tìm ra được những quy luật mới chưa
tìm được bằng thực nghiệm và tiên đoán trước những mối quan hệ giữa các
hiện tượng vật lý.

Phương pháp toán học giải tích nghiên cứu vật lý đặc biệt là nghiên cứu
cơ học được gọi là cơ lý thuyết. Đối với cơ hệ có chịu liên kết đã được nhà
vật lý Lagrange tìm ra và được gọi là phương trình Lagrange. Phương trình
Lagrange loại II thì có ưu điển hơn phương trình Lagrange loại I.
Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số bài tập cơ lý thuyết giải
bằng phương trình Lagrange loại II” giải quyết một số bài toán trong cơ lý
thuyết.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khóa luận này là áp dụng phương trình Lagrange loại II
trong việc giải một số bài tập cơ lý thuyết để nghiên cứu các hệ dao động bé
và chuyển động của vật rắn mà chúng ta thường gặp trong thực tế.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những khái niệm cơ bản về liên kết, liên kết lý tưởng, tọa
độ suy rộng, hàm Lagrange, hàm Haminton.

1


- Xây dựng phương trình Lagrange loại I tìm ra những hạn chế của
phương trình Lagrange loại I để từ đó xây dựng phương trình Lagrange loại
II.
- Ứng dụng phương trình Lagrange loại II vào việc giải một số bài tập.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương trình Lagrange loại II là cơ sở quan trọng của nhiều bài toán.
Đối tượng của khóa luận là ứng dụng phương trình Lagrange loại II vào giải
một số bài tập cơ lý thuyết.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và giải tích
toán học trong việc ứng dụng để giải các bài tập cơ lý thuyết bằng phương
trình Lagrange loại II.

6. Nội dung nghiên cứu
Chương 1: Những khái niệm cơ bản.
Chương 2: Phương trình Lagrange.
Chương 3: Ứng dụng của phương trình Lagrange loại II trong việc giải
một số bài tập cơ lý thuyết.
7. Đóng góp của đề tài.
- Vận dụng để giải các bài tập một cách đơn giản để tìm đặc điểm
chuyển động của chất điểm…
- Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi nghiên cứu về cơ học lý thuyết.

2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1: Khái niệm về liên kết
1.1.1: Số bậc tự do – Liên kết
1.1.1.1: Số bậc tự do
Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ
hệ gọi là số bậc tự do của nó.
1.1.1.2: Khái niệm về liên kết
Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ
trong không gian gọi là liên kết.
Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết củả
tọa độ và vận tốc.
Giả sử ta xét cơ hệ gồm 3 chất điểm có tọa độ A  x1 , y1 , z1  ;
B  x2 , y2 , z2  ; C  x3 , y3 , z3  . Khoảng cách giữa 3 điểm lần lượt là r12 ; r23 ; r31

biểu diễn như hình vẽ:

A  x1 , y1 , z1 

r31

C  x3 , y3 , z3 

r12

B  x2 , y2 , z2 

r23

Hình 1.1

3


Biểu thức nêu lên điều kiện liên kết của 3 chất điểm là:
( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2  r12 2

2
2
2
2
( x3  x2 )  ( y3  y2 )  ( z3  z2 )  r23
( x  x ) 2  ( y  y ) 2  ( z  z ) 2  r 2
1
3
1
3

31
 1 3

Hay:
( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2  r12 2  0

2
2
2
2
( x3  x2 )  ( y3  y2 )  ( z3  z2 )  r23  0
( x  x ) 2  ( y  y ) 2  ( z  z ) 2  r 2  0
1
3
1
3
31
 1 3

Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng
k phương trình:
.

f ( x1 , y1 , z1 ,....xN , yN , zN ;x1 , y1 ,z1 ,...x N , y N , zN , t)  0 với (  1,2,3,.....,k )
f (ri , ri , t )  0 (  1,2,...k , i  1,2,...N )

Hay rút gọn:

- Khi cơ hệ không phụ thuộc vào vận tốc hay chỉ phụ thuộc vào tọa độ và
thời gian thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết hình học:


f  (ri , t )  0 (  1,2,...k , i  1,2,...N )

- Khi cơ hệ phụ thuộc cả tọa độ, vận tốc, thời gian thì liên kết đặt lên cơ
hệ được gọi là liên kết động học:
f  ri , ri , t   0 với (  1,2,...k , i  1,2,...N )

f
f
dri   dt  0 với (  1,2,...., N)
t
i 1 ri
N

- Ta có: df (ri , t )  

4

(1.1)


Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là
liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được.
1.1.1.1.3: Hệ hôlônôm
Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên
nó gọi là cơ hệ hôlônôm.

P i ri  g   ri , t   0
a i xi  b i yi  c i zi  g   ri , t   0
P i

dri
 g   ri , t   0
dt

P i dri  g   ri , t  dt  0 với (   1,2,...., N;i  1,2,...N)

(1.2)

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không
tích phân được. Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được
gọi là cơ hệ không hôlônôm.
1.1.2: Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo
1.1.2.1: Dịch chuyển khả dĩ
Dịch chuyển khả dĩ là những dịch chuyển thỏa mãn phương trình liên
kết (1.1) và (1.2):

f
f
dri   dt  0
t
i 1 r
i
N

df (ri , t )  

f
f
dri   dt  0

t
i 1 r 
i
N

df (ri , t )  

P i dri  g   ri , t  dt  0
P i dri  g   ri, t  dt  0

5


1.1.2.2: Dịch chuyển ảo
Dịch chuyển ảo là hiệu của 2 dịch chuyển khả dĩ vô cùng bé

 ri  dri  dri
1.2: Tọa độ suy rộng
Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Mi (i= 1,2,…N) với liên
kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m
phương trình liên kết động học.
Để xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s = 3N-m-n tọa độ độc lập q1,
q2,…. qs thì q1, q2,…. qs là những tọa độ suy rộng.

qk  qk (ri , t )
ri  ri (qk , t )

với ( i  1, N ; k  1, s )

Số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự

do của nó.
1.3: Liên kết lý tưởng
Liên kết được gọi là lý tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên
kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là:
N

 

N

 R r   ( R x
i 1

i

i

i 1

ix

i

 Riy yi  Riz zi )  0

1.4: Hàm Lagrange
1.4.1: Hàm Lagrange
- Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s tọa độ suy rộng q1 , q2 ,...qs
thì

hàm

Lagrange

L  L  q1 ,q 2 ,...qs , q1 , q2 ,...qs , t  hay : L  L  qk , qk , t  với

k=1,2…s

6


- Nếu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyển trạng thái
của cơ hệ là thực thì có thể xác định các qk nhờ phương trình Lagrange:

d L L

 0 với k=1,2,..s
dt qk qk
Trong đó: L=T-U
a) Hàm Lagrange có tính chất cộng tính.
Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là LA, LB. Nếu
bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L = LA + LB
b) Hàm Lagrange có tính bất định
Xét 2 hàm L  qk , qk , t  và L  qk , qk , t  liên hệ với nhau bằng biểu thức:
L  qk , qk , t   L  qk , qk , t  
t2

t2

t1

t1

df  qk , t 
dt

S    Ldt; S   Ldt
t
df  qk , t 
df  qk , t 
S    Ldt  
dt  S  
dt
dt
dt
t
t
t
t2

t2

1

1

2

1

t2

 S    S    df  qk , t 
t1

t2

t2

t1

t1

  df  qk , t    d ( f  qk , t )   f  qk , t 

t1
  f  q2 , t    f  q1 , t   0
t2

  S   S

Vậy L và L cùng mô tả 1 trạng thái vật lí, có nghĩa là hàm Lagrange có
ý nghĩa bất định.

7


1.4.2: Hàm Lagrange của hạt tự do
- Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L
của hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào r , t có nghĩa là L chỉ phụ

thuộc vào vận tốc v .
- Từ tính đẳng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng
của v có nghĩa là:

L  L (v 2 )
- Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v2) phải
có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính.
- Khi chuyển từ hệ K sang K’ thì:
v  v  V ; t  t  ; r  r  Vt

L(v 2 )  L  v  V 
L  av 2

2





L(v 2 )  av 2  a  v  V   av2  2avV  aV 2
2

v 

dr 
dt

d
2ar V  aV 2t 


dt
df  qk , t 
d
2ar V  aV 2t  

dt
dt

 L(v 2 )  L(v2 ) 

mv 2
m
Chọn a  do đó L 
2
2

8


mi v 2i
Đối với hệ: L  
trong đó n là số chất điểm của cơ hệ.
2
i 1
N

- Trong hệ tọa độ Đềcác:
2

 dl 

dl
 v       
 dt   dt 
dl 2  dx 2  dy 2  dz 2

2

2

m  dx 2 dy 2 dz 2 
L 


2  dt
dt
dt 
L

m 2
(x  y2  z2 )
2

- Trong hệ tọa độ trụ:

x  r cos
y  r sin 
zz
dl 2  dr 2  r 2 d  dz 2
m
L   r 2  r 2 2  z 2 

2
- Trong hệ tọa độ cầu:

x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
z  r cos
dl 2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2
m
 L   r 2  r 2 2  r 2 sin 2  2 
2

1.4.3: Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau.
- Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các
vật bên ngoài hệ.
9


mi vi 2
L
 U  r1 , r2 ,...rN 
2
i 1
N

- Dùng các hệ tọa độ suy rộng:

xi  fi  q1 , q2 ,...qs 
fi
qk
k 1 q

k
s

xi  
L


1 N
 mi  xi  yi  zi   U  xi , yi , zi 
2 i 1

1
 aik (q)  qi qk  U  q 
2 i ,k

1.5: Hàm Haminton
Ta có hàm Haminton:
s

H   pk qk  L trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ
k 1

 r

Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng  i  0  thì:
 t

H  T  U ; L  T  U ;U  U (ri )

 pk 

L T
H

 qk 
k  1, s
qk qk
pk



10




CHƯƠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE
2.1: Phương trình Lagrange loại I
2.1.1: Nguyên lí Đalămbe - Lagrange
Xét một cơ hệ gồm N chất điểm chịu những liên kết lí tưởng đặt lên nó.
Phương trình chuyển động của chất điểm i của cơ hệ :
 

mi wi  Fi  Ri

(2.1)

 


mi wi  Fi  Ri

Hay:

 
R
 iri  0 suy ra:
N

Từ điều kiện:

i 1

 m w
N

i

i 1

i



 Fi  ri  0

(2.2)

Phương trình này gọi là phương trình tổng quát của động lực học cơ hệ
hay nguyên lí Đalămbe – Lagrange.

Nếu cơ hệ nằm trong trạng thái cân bằng w i  0 tức là:
N

 F r  0 : Nguyên lí dịch chuyển ảo nguyên lí Đalămbe.
i 1

i

i

2.1.2: Phương trình Lagrange loại I
Từ nguyên lí Đalămbe – Lagrange và k phương trình biểu diễn liên kết
đặt lên cơ hệ:
N

 A r  0 (  1,2,...k )
i 1

i

i

11

(2.3)


Ta có thể tìm được hệ phương trình vi phân mô tả chuyển động của cơ
hệ không tự do. Thật vậy, nhân (2.3) với nhân tử vô định ( ) rồi lấy tổng
N



k



  A ri  0

theo  ta có:

(2.4)

i

i 1  1

Cộng 2 vế của phương trình (2.2) và (2.4) ta có:

 
 k

(
m
w

F


A

 i i i    )ri  0
N

 1

i 1

(2.5)

i

Trong 3N dịch chuyển ảo xi ,yi ,zi (i= 1,2,…N) có s= 3N- k dịch
chuyển ảo độc lập và k dịch chuyển ảo phụ thuộc. Ta có thể chọn  sao cho
k

mỗi nhân tử mi wi  Fi    A đứng trước dịch chuyển ảo phụ thuộc của
 1

i

tổng (2.5) bằng không. Khi đó tổng (2.5) chỉ còn lại s số hạng tương ứng với s
dịch chuyển ảo độc lập tùy ý. Để tổng còn lại luôn luôn bằng không thì các
k

nhân tử mi wi  Fi    A đứng trước các dịch chuyển ảo độc lập trong tổng
 1

i

k

buộc phải bằng không. Thành thử tất cả các nhân tử mi wi  Fi    A đứng
 1

i


trước ri của (2.5) đều bằng không và ta nhận được hệ phương trình sau:


 k

mi wi  Fi    A
 1

Hay:

mx  F  k  A

ix
 
 i
 1

k



m
y


F

 A

 i
iy
 1

mz  F  k  A

iz
 
 i
 1

i

(i= 1,2,…N)

(2.6)

(i=1,2,..N)

(2.7)

ix

i,y

i,z

12


Hệ 3N phương trình (2.7) và k phương trình (2.3) cho phép xác định
(3N+k) đại lượng vô hướng xi , yi , zi ,  (i= 1,2, ...N;   1,2,...k ) .
Những phương trình (2.6) hay (2.7) gọi là những phương trình
Lagrange loại I.
2.2: Những hạn chế của phương trình Lagrange loại I
k

Phương trình Lagrange loại I: mi wi  Fi    A
 1

i

Trong quá trình giải bài tập bằng phương trình Lagrange loại I do số ẩn
rất lớn, số phương trình nhiều nên việc giải hệ thống những phương trình
Lagrange loại I là một bài toán vô cùng phức tạp.
Khi nghiên cứu chuyển động của cơ hệ tự do bài toán cho ta biết:
- Khối lượng của các chất điểm mi.
- Lực chủ động tác dụng lên các chất điểm Fi .
- k phương trình liên kết.
Yêu cầu của bài toán:
- Xác định phương trình động học của chất điểm ri (t ) .
- Xác định phản lực liên kết đặt lên các chất điểm Ri ( Rix , Riy , Riz ) .
Vậy có tất cả 3N+k phương trình trong đó có 3N phương trình mô tả
chuyển động.
Và k phương trình liên kết: f  ri , ri , t   0 với   1,2,...k .

Vì vậy để giải quyết bài toán đơn giản hơn, thuận tiện và dễ dàng hơn
người ta nghiên cứu và đưa ra phương trình Lagrange loại II.
13


2.3: Phương trình Lagrange loại II
2.3.1: Xây dựng phương trình
Ta khảo sát 1 cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm. Liên kết đặt lên cơ hệ
được biểu diễn bằng n phương trình:

   
f (r1 , r2 , r3 ,...rN , t )  0 (   1,2,...n)

(2.8)

Số bậc tự do của cơ hệ là s= 3N-n. Vị trí của cơ hệ được xác định bởi s

tọa độ suy rộng q1 , q2 ,...qs . Các bán kính véctơ ri là hàm của q1 , q2 ,...qs và t:
 
ri  ri (q1 , q2 ,...qs , t )

(i=1,2,…N)

(2.9)

Xuất phát từ nguyên lí Đalămbe- Lagrange (2.2) ta có thể thành lập
phương trình chuyển động của cơ hệ trong tọa độ suy rộng.
Khi thực hiện dịch chuyển, qk thay đổi theo thời gian và theo liên kết:
qk  qk (t , )

(2.10)

Trong đó: t là biến số thời gian

 là thông số thực biểu diễn tất cả các yếu tố khác mà qk phụ thuộc, kể cả
liên kết.
Khi liên kết thay đổi nhỏ hoặc tọa độ thay đổi nhỏ thì:

qk (t )  qk (t ,   )  qk (t , ) 

qk



(2.11)

Đại lượng qk (t ) được gọi là biến phân của tọa độ suy rộng qk(t).
Dễ thấy:

d
d

qk (t )    qk (t )  q k (t )
dt
 dt

14

(2.12)

 ri  ri (   , t )  ri ( , t ) 

ri



Vì ri  ri (qk , t ); qk  qk ( , t );(k  1,2,...s) nên:

 ri 

s
s
 ri
r q
r
   i . k    i  qk .

k 1 qk 
k 1 qk

(i=1,2,…N)

(2.13)

Thay vào phương trình tổng quát (2.2) ta được:
N
s
ri
r

(mi wi )
 qk   Fi  i  qk  0

i 1
k 1 qk
i 1
k 1 qk
N

s


Do Fi chỉ phụ thuộc vào chất điểm thứ i mà không phụ thuộc vào k nên


đưa Fi vào trong dấu

s



và hoán vị 2 dấu tổng ta được:

k 1

s

N

 mi wi

k 1 i 1

s



s N
ri
r
 qk  Fi i  qk  0
qk
qk
k 1 i 1

ri

N

N

   m w q
k 1

 i 1

i

  Fi

i

i 1

k

ri
qk


  qk  0



N
 ri
 ri
Đặt Qk   Fi
; Z k   mi wi
(k=1,2,…s) ta được:
qk
qk
i 1
i 1
N

s

 (Z
k 1

k

 Qk ) qk  0

(2.14)

2.3.2: Ý nghĩa vật lí của Qk ( xét công của các lực chủ động trong mọi
dịch chuyển ảo).
Công nguyên tố của những lực hoạt động đối với mọi dịch chuyển ảo
bằng:

15


  s
A   Firi   Qk qk
N

i 1

(2.15)

k 1

Thay (2.15) vào (2.17) ta được:


N
s 
 s ri

ri
A   Fi 
qk   Fi
qk
qk
i 1
k 1 q k
i 1 k 1
N

s

A   Qk q  Q1q1  Q2q2  ...  Qk qk  Qk 1qk 1  ....  Qsqs
k 1

Ta chỉ cho một tọa độ biến thiên (dịch chuyển theo một phương) tức là

qk  0,q j  0 với j  k: A  Qk qk
Suy ra: Qk 

A
qk

Qk bằng công của mọi dịch chuyển ảo chia cho biến thiên tọa độ suy
rộng. Đó chính là lực ứng với tọa độ suy rộng thứ k, gọi là lực suy rộng ứng
với bậc tự do thứ k.
2.3.3: Ý nghĩa vật lí của Zk

N
 ri

Z k   mi wi
  mi
qk i 1
i 1
N

 


N
dri ri
d N  ri
 d  ri
  mi ri
  mi ri 
dt qk dt i 1
qk i 1
dt  qk





(2.16)

Từ (2.9) và (2.10) ta có:







s
s
ri dqk ri
ri
ri
 dri
ri 



q k 
dt k 1 qk dt
t k 1 qk
t


ri
ri

q k qk

d  ri  


dt  qk  qk

16





 
 dri  ri 
 
 dt  qk 

(2.17)


Thay (2.17) vào (2.16) ta có:



N
d N  ri
 ri
Z k   mi ri
  mi ri
dt i 1
q k i 1
qk
Gọi T là động năng của cơ hệ:

(2.18)

N
1  2

T   mi ri 
i 1 2


N
T
1
  2 N  ri 
  mi
(ri )   mi ri

qk i 1 2 qk
qk 
i 1


N
T
 ri

  mi ri

q k i 1
q k

(2.19)

Từ (2.18) và (2.19) ta xác lập được công thức liên hệ giữa Zk và động
năng T:
Zk 

d  T

dt  q k

 T
 
 qk

Để phương trình (2.16) luôn thỏa mãn với mọi qk thì Zk - Qk = 0


d  T

dt  q k

 T
 
 Qk (k=1,2,…s)

q

k

(2.20)

Phương trình (2.20) là phương trình Lagrange loại II hay phương trình
Lagrange trong tọa độ suy rộng.
2.3.4: Phương trình Lagrange loại II viết cho trường lực thế
Xét cơ hệ chỉ chịu tác dụng của những lực thế. Ta có thế năng tương tác

của họ U (r1 , r2 ,...rN ) và lực thế Fi liên hệ với nhau bằng hệ thức:

F 

U
ri

17




Hay: Fi   gradU i (ri )

Công nguyên tố của những lực chủ động đối với mọi dịch chuyển ảo bằng:
 

 

A   Firi   gradU i (ri )ri  U i    U i   U
N

i 1

N

i 1

N

i 1

N

 i 1



N

Trong đó: U i lấy tổng theo số chất điểm nên U là thế năng của toàn hệ.
i 1

Lực suy rộng ứng với bậc tự do thứ k:

Qk  

Thay (2.21) vào (2.20) ta có:



Vì U  U (r1 ,..., rN ) nên

U
U

 qk
qk

(2.21)

d T T
U


dt qk qk
qk

d T  (T  U )

0
dt qk
qk
U
0
qk

d  T U


dt  qk qk

  T  U 
0

qk


d  (T  U )  T  U 


0
dt qk
qk
Đặt T – U = L: L được gọi là hàm Lagrange ta có:

d L L

0
dt qk qk

18

(2.22)


Phương trình (2.22) là phương trình Lagrange loại II viết cho cơ hệ
trong trường lực thế và chỉ chịu tác dụng của trường lực thế.
Nếu hệ chuyển động chịu tác dụng của những lực thế và lực không thế
Q’k thì:

Qk  

U
 Q'k
qk

d L L

 Q'k
dt qk qk

(k=1,2,…s)

(2.23)

Phương trình (2.23) là phương trình Lagrange cho cơ hệ chuyển động
trong trường lực thế chịu tác dụng của lực thế và lực không thế.
Nhận thấy trong cả 3 phương trình (2.20), (2.22), (2.23) không thể hiện
các phản lực liên kết mặc dù đó là hệ có chịu liên kết.
Ưu điểm của phương trình Lagrange loại II là không chứa các phản lực
liên kết và số phương trình đủ để mô tả chuyển động của cơ hệ là ít nhất đúng
bằng số bậc tự do của cơ hệ.
2.3.5: Phương trình Lagrange loại II là phương trình vi phân bậc 2 đối
với tọa độ suy rộng.
Biểu thức động năng của cơ hệ:

1 N
T   mi rr
i i
2 i 1
 ri s ri   ri s ri 
rr

qk    
qj 
 
i i


 t k 1 qk   t j 1 q j 

2
s
r  s
 ri  ri  s ri
    
qk   i q j   
 k 1
j 1 q
 t  t  k 1 qk
j


19

s

ri

 q
j 1

k

qk

ri
qj
q j