Phổ hạt higgs và boson chuẩn trong mô hình 3 3 1 với ba tam tuyến higgs

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

PHÙNG VĂN HOÀNG

PHỔ HẠT HIGGS VÀ BOSON CHUẨN TRONG
MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI BA TAM TUYẾN HIGGS
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. LÊ THỌ HUỆ

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Thọ Huệ, ngƣời đã tận
tình hƣớng dẫn, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và
thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên cùng nhóm nghiên cứu đã hợp tác và
giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận tốt
nghiệp.
Tôi xin cảm ơn các Thầy (Cô) giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa
Vật lý, Phòng đào tạo đại học, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội, đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
khóa luận.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên tôi rất nhiều
trong suốt 16 năm ngồi trên ghế nhà trƣờng.

Do còn thiếu kinh nghiệm cũng nhƣ thời gian giới hạn nên khóa luận của
tôi còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong đƣợc sự góp ý chân thành của quý Thầy
(Cô) và các bạn để khóa luận tốt nghiệp của tôi đƣợc hoàn thiện hơn.

Hà Nội, Ngày 05 tháng 04 năm 2015
Sinh viên

Phùng Văn Hoàng


LỜI CAM ĐOAN

Đây là đề tài nghiên cứu khoa học do tôi thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn
của TS. Lê Thọ Huệ.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng mình. Các số
liệu, kết quả trong khóa luận là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong
bất kì công trình khoa học nào khác. Các thông tin trích dẫn trong khóa luận
đều đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, Ngày 05 tháng 04 năm 2015
Sinh viên

Phùng Văn Hoàng


MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU .................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu.............................................................................. 2

5. Phƣơng pháp nghiên cứu ......................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận .................................................................................. 3
PHẦN II. NỘI DUNG ................................................................................ 4
CHƢƠNG 1. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ VẬT LÝ HẠT CƠ BẢN VÀ HẠT
HIGGS....................................................................................................... 4
1.1. Giới thiệu chung về vật lý hạt cơ bản .................................................... 4
1.1.1. Khái niệm vật lý hạt cơ bản ............................................................... 4
1.1.2. Phân loại hạt cơ bản .......................................................................... 4
1.2. Tìm hiểu về hạt Higgs. ......................................................................... 7
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NHÓM CHUẨN U(1),
SU(2) VÀ SU(3)......................................................................................... 9
2.1. Nhóm chuẩn U(1) ................................................................................ 9
2.2. Nhóm chuẩn SU(2) .............................................................................. 9
2.3. Nhóm chuẩn SU(3) .............................................................................10
CHƢƠNG 3. PHỔ HẠT HIGGS VÀ BOSON CHUẨN TRONG MÔ HÌNH
TỐI THIỂU 3-3-1 VỚI BA TAM TUYẾN HIGGS .....................................12
3.1. Giới thiệu về mô hình 3-3-1 với ba tam tuyến Higgs. ............................12
3.1.1. Mô hình 3-3-1 với ba tam tuyến Higgs. .............................................12
3.1.2. Phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs. ..........................................14
3.2. Phổ hạt boson chuẩn trong mô hình......................................................16


3.3. Phổ hạt Higgs trong mô hình ...............................................................28
CHƢƠNG 4. KẾT LUẬN ..........................................................................34
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..........................................................................35


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hạt Higgs đóng vai trò là hạt sinh khối lƣợng cho tất cả các hạt khác thông

qua cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát (cơ chế Higgs). Hạt boson Higgs có tầm
quan trọng đặc biệt trong Mô hình chuẩn cũng nhƣ trong vật lý học nói chung,
vật lý hạt nói riêng. Nó là chìa khoá để giải quyết “bí mật” của khối lƣợng.
Mô hình chuẩn chỉ ra thế giới vật chất hiện tại bao gồm:
- Các lepton: các hạt lepton và nơtrinô
- Các quark
Các lepton và quark là các hạt cơ bản sinh ra các hạt khác
Lớp hạt truyền tƣơng tác có spin = 1 gồm:
- Photon có khối lƣợng bằng 0 truyền tƣơng tác điện từ.
- W± và hạt trung hòa Z truyền tƣơng tác yếu
- Các gluon truyền tƣơng tác mạnh.
Hạt Higgs đóng vai trò sinh khối lƣợng cho tất cả các hạt trong thế giới vật
chất
Mô hình chuẩn giải thích sự sinh khối lƣợng của các hạt nhƣ sau:
- Lagrangian ban đầu của mô hình đƣợc xây dựng thỏa mãn điều kiện bất
biến đối với nhóm đối xứng chuẩn SU(3)CxSU(2)LxU(1)Y. Với Lagrangian này,
các số hạng khối lƣợng đều bằng 0 (trừ hạt Higgs). Chứng tỏ các hạt ban đầu
không có khối lƣợng.
- Cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát xảy ra khi trƣờng Higgs đƣợc khai triển
xung quanh giá trị trung bình nhân không của thành phần Higgs trung hòa.
Lagrangian sau khi khai triển sẽ không còn bất biến đối với nhóm đối xứng
chuẩn ban đầu, chỉ còn bất biến đối với nhóm đối xứng U(1)em. Kết quả là xuất
hiện các số hạng khối lƣợng trong Lagrangian tƣơng ứng với các hạt lepton
mang điện, các quark, các trƣờng chuẩn tƣơng tác yếu và 1 hạt Higgs trung hòa.
Các hạt còn lại có khối lƣợng bằng 0 là photon và các nơtrinô. Tuy nhiên thực
1


nghiệm hiện nay chỉ ra một số kết quả không còn phù hợp trong giới hạn mô
hình chuẩn: nơtrinô có khối lƣợng cho dù rất nhỏ, tồn tại các hạt vật chất tối mà

mô hình chuẩn không chỉ ra đƣợc. Về mặt lý thuyết, mô hình chuẩn không giải
thích đƣợc tại sao thế giới hiện tại bao gồm 3 thế hệ fermion, giải thích sự lƣợng
tử hóa điện tích các hạt. Từ đó suy ra mô hình chuẩn chỉ là giới hạn của một mô
hình thống nhất hơn mà vật lý hạt cơ bản phải xây dựng. Các mô hình cơ bản
này đƣợc gọi là mô hình chuẩn mở rộng.
Trong số các mô hình chuẩn mở rộng các mô hình 3-3-1 có 1 số ƣu điểm
nhất định: Giải thích đƣợc sự sinh khối lƣợng nơtrinô, giải thích đƣợc sự lƣợng
tử hóa điện tích, đƣa ra đƣợc một số hạt đóng vai trò là vật chất tối...
Mô hình 3-3-1 và sự mở rộng nhóm SU(2)L thành SU(3)L trong đó lƣỡng
tuyến chứa 2 fermion mở rộng thành tam tuyến chứa 3 fermion nên số hạt quark
sẽ tăng lên, đồng thời số hạt Higgs tăng lên, số trƣờng tăng lên so với mô hình
chuẩn, các hạt mới này có tính chất thú vị mà thực nghiệm có thể kiểm chứng
đƣợc ở các máy gia tốc hiện nay. Khóa luận này tập trung vào nghiên cứu các
hạt Higgs và boson chuẩn của mô hình tối thiểu 3-3-1 với ba tam tuyến Higgs.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu phổ hạt Higgs và boson chuẩn trong mô hình tối thiểu 3-3-1 với
ba tam tuyến Higgs.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu mô hình 3-3-1 với ba tam tuyến Higgs
- Tìm hiểu phổ hạt Higgs và boson chuẩn trong mô hình tối thiểu 3-3-1 với
ba tam tuyến Higgs
4. Đối tƣợng nghiên cứu
- Phổ hạt Higgs và boson chuẩn trong mô hình tối thiểu 3-3-1 với ba tam
tuyến Higgs.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc và tra cứu tài liệu.
2


- Phƣơng pháp toán học.

- Phƣơng pháp lý thuyết trƣờng lƣợng tử.
- Giải số bằng phần mềm Mathematica.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm các
chƣơng:
Chƣơng 1. Giới thiệu chung về vật lý hạt cơ bản và hạt Higgs
Chƣơng 2. Một số tính chất cơ bản của nhóm chuẩn U(1), SU(2), SU(3).
Chƣơng 3. Phổ hạt Higgs và boson chuẩn trong mô hình tối thiểu 3-3-1 với
ba tam tuyến Higgs.
Chƣơng 4. Kết luận: tóm tắt kết quả nghiên cứu khoa học.

3


PHẦN II. NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ VẬT LÝ HẠT CƠ BẢN
VÀ HẠT HIGGS
1.1. Giới thiệu chung về vật lý hạt cơ bản
1.1.1. Khái niệm vật lý hạt cơ bản
Vật lý hạt cơ bản là ngành khoa học nhằm giải quyết câu hỏi: thế giới vật
chất của chúng ta xây dựng từ những thành phần cơ bản nào, những quy luật của
chúng đƣợc xuất phát ra sao? Thời tiền cổ con ngƣời cho rằng: thế giới của
chúng ta đƣợc xây dựng từ đất, nƣớc, không khí và lửa. Sau này bốn yếu tố trên
đƣợc thay bằng nguyên tử, phân tử,... Ngày nay chúng ta biết các hạt cơ bản
gồm: các quark, các lepton nhƣ e, µ, νe, νµ,...
Vật lý hạt cơ bản là khoa học nghiên cứu về cấu tạo của thế giới vật chất,
những thành phần nhỏ nhất và tƣơng tác giữa chúng. Đây là ngành khoa học nối
những vật thể siêu nhỏ (hạt cơ bản) với thế giới siêu vĩ mô nhƣ thiên hà (vũ trụ
học).
1.1.2. Phân loại hạt cơ bản

Hạt cơ bản (còn gọi là hạt nguyên thuỷ, hạt sơ cấp – tiếng Anh là
elementary hay fundamental particles) đƣợc hiểu là những cấu tử dạng điểm của
thế giới vật chất mà bản thân chúng không có cấu trúc bên trong, ít nhất là trong
giới hạn kích thƣớc hiện nay vào cỡ 10-16 – 10-17 cm. Dựa theo tƣơng tác mà
trƣớc đây ngƣời ta phân loại các hạt theo hằng số tƣơng tác.
 Tƣơng tác mạnh (tƣơng tác giữa các nucleon trong hạt nhân) với hằng số
tƣơng tác αs ≈ 1.
 Tƣơng tác điện từ với hằng số tinh tế (fine constant)  
 Tƣơng tác yếu với hằng số tƣơng tác Fermi GFm

4

2
p

105 .

e2
4

1
.
137


 Tƣơng tác hấp dẫn: đƣợc thực hiện qua graviton với hằng số hấp dẫn
Newton Gm

2
p

6x1039 . Tất cả các hạt có khối lƣợng đề tham gia tƣơng tác này.

Do khối lƣợng các hạt cơ bản quá nhỏ nên lực hấp dẫn không đáng kể và đƣợc
coi nhƣ một vấn đề riêng biệt.
Ngoài ra, ngƣời ta còn gọi các hạt theo khối lƣợng của chúng.
- Hadron (nặng): chỉ các hạt tƣơng tác mạnh là chủ yếu và có tất cả các
tƣơng tác khác nữa. Các hadron gồm:
 Baryon (nặng) - đây là các hạt fermion: p, n, Ξ, Λ,...
 Meson (trung bình) – đây là các hạt boson: π 0, π±, η,...
- Lepton (các hạt nhẹ), không có tƣơng tác mạnh mà chỉ có tƣơng tác yếu
và tƣơng tác điện từ (nếu mang điện) nhƣ: e±, µ±, τ±. Các hạt neutrino trung hoà
νe, νµ, ντ chỉ tham gia tƣơng tác yếu.
Tuy nhiên trong vật lý hạt cơ bản, phân loại các trƣờng quan trọng nhất là
phân loại theo spin. Các hạt có spin nguyên tuân theo thống kê Bose – Einstein
gọi là các boson. Các hạt có spin bán nguyên tuân theo thống kê Fermi – Dirac
gọi là các fermion. Chú ý rằng tất cá các hạt có spin cùng loại có dạng
Lagrangian tự do giống nhau và như vậy sẽ có hàm truyền với dạng cũng giống
nhau. Dƣới đây là một vài loại trƣờng thông dụng trong vật lý hạt cơ bản hiện
đại:
 Trƣờng có spin bằng 0 có tên gọi là tƣờng vô hƣớng. Tuy nhiên ngƣời ta
còn phân ra thêm mấy loại sau:
+ Trƣờng vô hƣớng (scalar field) đƣợc mô tả bởi hàm  (x) bất biến với
phép phản xạ không gian
x'   ( x0 ,  x)   ( x0 , x)

Hạt Higgs trong mẫu Glashow – Weinberg – Salam (GWS) mà ngƣời ta
đang tìm có khối lƣợng là một ví dụ của trƣờng vô hƣớng.

5

+ Trƣờng giả vô hƣớng (pseudoscalar field) đƣợc mô tả bởi hàm  (x) có
tính chất sau:
x'   ( x0 ,  x)   ( x0 , x)

Các hạt giả vô hƣớng gồm các hạt π-meson, kaon, η (các hạt thuộc bát
tuyến O- của nhóm SU(3)).
+ Trƣờng vô hƣớng thực (real scalar field) mô tả hạt vô hƣớng trung hoà –
không mang điện. Đó là các hạt σ trong mẫu GWS và các hạt π0, K0,...
+ Trƣờng vô hƣớng phức (comlex scalar field) mô tả hạt vô hƣớng mang
điện: π±, K±,...
 Trƣờng với spin

đƣợc mô tả bởi spinor Dirac ψ(x) còn có tên gọi là

fermion vì tuân theo thống kê Fermi – Dirac hoặc spinor. Đây chính là các
trƣờng vật chất (matter field). Các spinor gồm: e±, µ±, νe,νµ, ντ, các quark và các


1
hạt thuộc bát tuyến baryon SU(3) nhƣ p, n, Λ,  , 0 , 0 ,  ,...
2
 Trƣờng

với spin bằng 1 đƣợc mô tả bởi một vector vµ(x) nên còn gọi là

trƣờng vector. Tuỳ theo sự biến đổi dƣới phép phản xạ không gian mà chúng có
những tên khác nhau.
 Trƣờng

với spin

đƣợc mô tả bởi hàm ψµα(x), trong đó α là chỉ số Dirac.

Trƣờng này còn có tên là trƣờng Rarita-Schwinger. Gravition, bạn đồng hành
siêu đối xứng của graviton thuộc hạt loại này.
 Trƣờng

với spin 2 đƣợc mô tả bởi tensor hµν (x). Graviton có khối lƣợng

bằng 0, hạt truyền tƣơng tác hấp dẫn là trƣờng có spin 2. Do không khối lƣợng
nên graviton chỉ có hai trạng thái vật lý.
Trong vật lý hạt cơ bản, chúng ta chủ yếu làm việc với các trƣờng có spin
nhỏ nhƣ vô hƣớng, spinor và vector.

6


1.2. Tìm hiểu về hạt Higgs.
Vào thập niên 1960, nhà vật lí ngƣời Anh Peter Higgs đi đến một ý tƣởng
tách khối lƣợng ra khỏi cái gì đó hoàn toàn hiển nhiên, thành một cái gì đó mơ
màng nhƣ bản thân thập niên 60 vậy.
Năm 1964, Peter Higgs đã gửi công trình về mô tả một thuật toán mang lại
khối lƣợng cho hạt đến tạp chí chuyên ngành “Physical Review Letters”. Đầu
tiên, các nhà thẩm định của tờ báo không tin vào ý tƣởng này, nên bài viết bị từ
chối. Các nhà thẩm định cho rằng nội dung bài báo không liên quan gì đến vật
lý. Bài viết này bao gồm 4 phƣơng trình và dài một trang rƣỡi.
Ông nói khối lƣợng không phải là một tính chất của vật chất. Thay vào đó,
một trƣờng không nhìn thấy chứa đầy mọi góc cạnh của vũ trụ, và các vật có

khối lƣợng bằng cách tƣơng tác với trƣờng đó. Trƣờng tƣơng tác với một hạt
càng mạnh (trƣờng này gọi là trƣờng Higgs), thì hạt càng nặng.
Hạt Higgs ra đời trong mô hình chính thống, nó giải thích nguyên nhân gây
ra khối lƣợng quán tính. Hạt Higgs cũng gây ra bất đối xứng trong các nhóm
gauge.
Hạt vật chất (hay chính xác hơn là trƣờng đi cùng với nó) đƣợc cho là nhận
khối lƣợng của chúng thông qua tƣơng tác với một trƣờng phổ biến (trƣờng
Higgs), do hạt Higgs mang theo “bám” lên và từ đó cung cấp cho chúng tính
chất gọi là khối lƣợng. Hạt Higgs là một boson có spin bằng không.
Các electron thật sự nhẹ, nên trƣờng Higgs khó tƣơng tác với chúng. Các
quark cấu tạo nên proton và neutron thì nặng hơn electron nhiều, vì trƣờng
Higgs tác dụng lên chúng mạnh hơn nhiều, khiến chúng khó tách rời ra hoặc
chuyển động chậm lại. Các photon, lƣợng tử năng lƣợng cấu tạo nên bức xạ điện
từ, không có khối lƣợng. Nên chúng lao qua vũ trụ nhƣ thể trƣờng Higgs không
hề có mặt – các photon và trƣờng Higgs hoàn toàn “phớt lờ” nhau.

7


Cơ chế Higgs là một quá trình trong đó các hạt, ví dụ boson chuẩn (gauge),
của lý thuyết chuẩn (gauge) có thể nhận đƣợc khối lƣợng khác 0 thông qua sự
phá vỡ đối xứng tự phát.
Cách thực hiện đơn giản nhất của cơ chế này là đƣa thêm từ ngoài vào lý
thuyết chuẩn một trƣờng gọi là trƣờng Higgs. Sau đó sự phá vỡ đối xứng tự phát
của đối xứng định xứ làm cho trƣờng Higgs tƣơng tác với (ít nhất là một) các
trƣờng khác. Phá vỡ đối xứng cũng sinh ra những hạt vô hƣớng (spin 0) cơ bản,
còn gọi là boson Higgs.
Cơ chế Higgs đƣợc áp dụng cụ thể cho sự sinh khối lƣợng cho các hạt
boson gauge boson W và boson Z của tƣơng tác yếu thông qua sự phá vỡ đối
xứng điện yếu trong mô hình chuẩn. Hiện nay, thực nghiệm đã phát hiện đƣợc

boson Higgs nhƣ Mô hình chuẩn đã tiên đoán.

8


CHƢƠNG 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NHÓM CHUẨN U(1),
SU(2) VÀ SU(3)
2.1. Nhóm chuẩn U(1)
Nhóm U(1) đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết hạt cơ bản. Điện
động lực học là lý thuyết dựa trên nhóm chuẩn U(1)Q.
Nhóm U(1) là nhóm của các viến đổi pha (phase transformations). Nếu Xa
là vi tử U(1) thì fabc = 0 đối với tất cả b và c.
Ta bắt đầu với đa tuyến của trƣờng vật chất [  1(x),...  1(x)] trong nhóm nào
đó. Khi đó vi tử của U(1) đƣợc biểu diễn bằng ma trận chéo n  n với trị riêng
là tích U(1) của trƣờng vật chất.
 1   e iQ1w
  
 2   0
 .   .
 
 .   .
.   .
  
 n  

0
e

0
0

.
.
.
.

 iQ2 w

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.   1 
 
.
.   2 
.
.  . 
 
.
.  . 
.

. . 
 
. e iQn w   n 

Công thức trên có thể đƣợc viết ngắn gọn nhƣ sau:
  x   U  x  ,

= e-iQw.

U
2.2. Nhóm chuẩn SU(2)

Đây là tổ hợp các ma trận 2  2, unita có định thức bằng 1
gg+ = 1,

det g = 1

Bất kỳ một phần tử nào của nhóm SU(2) đề có thể viết dƣới dạng
g w  e

iwa

a
2

, a = 1,2,3

trong đó σa là ma trận Pauli 2  2 thoả mãn hệ thức giao hoán
 a  b 
 2 , 2  i




c
abc

2

với 123 = 1, và hoàn toàn phản đối xứng.

9


Hằng số  abc gọi là hằng số cấu trúc nhóm SU(2). Dạng tƣờng minh của
các ma trận Pauli nhƣ sau:
 0 i 
,
0

0 1
1  
,
1 0

2  
i

1 0 
3  


 0 1

Các biến đổi SU(2) với tham số thực w = w* có dạng
U (w)  eiw a Ia

(2.1)

Ia đƣợc xem là toán tử spin đồng vị. Từ điều kiện unita
UU+ =1






ta có 1  i w a I a  ... 1  i  w a I a  ...   1


a





a

Do vậy Ia là hermitic
I a  I a

Nếu [Ia,Ib] = i  abc Ic, thì (2.1) là nhóm biến đổi SU(2).

Ta hãy xét một biến đổi SU(2) bất kỳ: ei  . Sử dụng công thức:
U  ei  cos   i n sin 

trong đó   12   22  32 , n 


. Bằng phép quay thích hợp, ta có thể chọn


n = (0,1,0). nhƣ vậy, mọi biến đổi của nhóm SU(2) có thể viết dƣới dạng

 cos 
U 
  sin 

sin  
.
cos  

2.3. Nhóm chuẩn SU(3)
Phải đến năm 1960 ngƣời ta mới mở rộng từ SU(2) thành SU(3). Nhóm
SU(3) là tổ hợp các ma trận 3 x 3 unita có định thức bằng 1.
gg+ = 1,

detg = 1

Bất kỳ một phần tử nào của nhóm SU(3) cũng đƣợc biểu diễn dƣới dạng:
g  wa   e

ia wa

a
2

,

10

a = 1,2,3,...,8


Từ điều kiện định thức bằng 1, ta có a  a (hermitic) và các ma trận λa
không vết: Trλa=0. Các ma trận λa gọi là các ma trận Gell-Mann thoả mãn các hệ
thức giao hoán sau:
c
 a b 
 2 , 2   if abc 2


c 1
 a b 
 ,   d abc   ab
2 3
2 2

hằng số fabc hoàn toàn phản đối xứng theo các chỉ số của mình, đƣợc gọi là
hằng số cấu trúc nhóm SU(3), còn các hệ số dabc đƣợc xác định nhƣ sau
dabc = [Tr(λaλbλc) + Tr(λbλaλc).
Các hằng số khác không của nhóm SU(3) là
f123 = 1; f147 = f246 = f257 = f 345 = f516 = f 376 = ; f458 = f678 =

√

d146 = d157 = d256 = d344 = d355 =
d247 = d366 = d377 =
d118 = d288 = d388 = -d888 =
d448 = d558 = d688 = d788 =

√
√

.

Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp trƣớc, việc xây dựng các đa tuyến cũng
hoàn toàn tƣơng tự.
Dạng tƣờng minh của các ma trận Gell-Mann:

0
1   1
0

0
5   0
1


1 0
0



0 0  ; 2   i
0
0 0 

0 1
0


0 0  ; 6   0
0
0 0 


i 0
1


0 0  ; 3   0
0
0 0 

0 0
0


0 1  ; 7   0
0
1 0 


11

0 0
0 0


1 0  ; 4   0 0
1 0
0 0 

0 0
1
1 

0 i  ; 8 
0
3
1
i 0 


1

0;
0 
0 0

1 0 .
0 2 

CHƢƠNG 3. PHỔ HẠT HIGGS VÀ BOSON CHUẨN TRONG MÔ HÌNH
TỐI THIỂU 3-3-1 VỚI BA TAM TUYẾN HIGGS

3.1. Giới thiệu về mô hình 3-3-1 với ba tam tuyến Higgs.
3.1.1. Mô hình 3-3-1 với ba tam tuyến Higgs.
Mô hình 3-3-1 của tƣơng tác điện yếu dựa vào liên kết nhóm chuẩn
SU(3)⊗U(1), tiên đoán về một số hạt mới nằm ngoài mô hình chuẩn (SM) và
dẫn đến hiện tƣợng vật lý thú vị. Đặc biệt, các mô hình dự đoán một thang năng
lƣợng phá vỡ đối xứng mới không quá lớn, mà thực nghiệm có thể kiểm chứng
đƣợc trong tƣơng lai gần. Chúng thuộc về một lớp các mô hình trong đó có
lƣỡng tuyến điện yếu SU(2)⊗U(1) của SM chứa trong một tam tuyến
SU(3)⊗U(1). Sự phá vỡ đối xứng từ SU(3)L⊗U(1)N → SU(2)L⊗U(1)Y xác
định thang phá vỡ đối xứng w, đƣợc ƣớc tính bằng cách khảo sát sự phụ thuộc
sin2θW vào w, dẫn đến giới hạn w  3 TeV.
Trong khóa luận này, chúng tôi thảo luận về phổ Higgs và boson chuẩn
trong mô hình 3-3-1 tối thiểu với ba tam tuyến Higgs. Mỗi tam tuyến đều chứa
các thành phần Higgs vô hƣớng thực trung hòa (CP-chẵn), giả vô hƣớng trung
hòa (CP-lẻ), Higgs mang điện đơn và Higgs mang điện đôi.Trong đó ít nhất một
Higgs trung hòa đƣợc đồng nhất với Higgs dự đoán bởi SM.
Các phần fermion (lepton và quark) của mô hình là giống với phổ fermion
trong mô hình 3-3-1 tối thiểu. Các thế hệ lepton phân cực trái (left-handed) biến
đổi theo biểu diễn 3 của nhóm SU(3)L

 la 
 
f aL   la 
 lc 
 a L

 3, 0 
.

Thế hệ quark đầu tiên biến đổi theo biểu diễn 3, hai thế hệ còn lại biến đổi
theo biểu diễn phản tam tuyến 3*:

12


 u1 
 
Q1L   d1 
T 
 L
 di 


QiL   ui 
D 
 i L

 2
 3, 
 3

  1
3 , 
3


(3.1)

Ở đây a = 1, 2, 3 và i = 2, 3. Các quark lạ T mang điện tích 5/3, còn D2 và
D3 mang -4/3. Trong phƣơng trình (3.1) các số 0, 2/3 và -1/3 là siêu tích yếu
U(1)X của các biểu diễn tƣơng ứng. Các quark phân cực phải đều là đơn tuyến
của SU(3)L.
uRa
TR

1, 2 / 3 , d Ra 1, 1/ 3 , a  1, 2,3,
1,5 / 3 , DiR 1, 4 / 3.

(3.2)

Với cách sắp xếp fermion nhƣ trên, mô hình thỏa mãn điều kiện khử dị
thƣờng.
Định nghĩa toán tử điện tích theo tổ hợp tuyến tính các vi tử chéo của nhóm
điện yếu:

Q 3
3
 
8  X
e 2 2

(3.3)

với λ3 và λ8 là ma trận chéo Gell-Mann, tƣơng ứng với biểu diễn tam tuyến
SU(3)L. Với các phản tam tuyến ta phải thay thế các ma trận Gell-Mann bởi ma
trận biễu diễn phản tam tuyến  = -λ*. Tƣơng tự với đơn tuyến các vi tử này có

ma trận biểu diễn bằng 0.
Phần vô hƣớng của mô hình chỉ cần hai tam tuyến Higgs sau:
 0 
 
  1 
2 
 

  


 3, 0  ,     0 
   



13

  


 3,1 ,      
 o 



 3, 1

(3.4)

Phổ tối thiểu này Higgs đủ để phá vỡ đối xứng tự phát và tạo ra khối lƣợng
của các fermion và boson gauge trong mô hình, nhƣng phải tính đến các đóng
góp hiệu dụng. Trung bình chân không (VEV) của các thành phần Higgs trung
0
hòa là  

v
2

0
và  

v
2

0
,  

v
2

với v  246 GeV.

Trong phần dƣới đây, chúng ta thảo luận cụ thể về cơ chế sinh khối lƣợng
cho các trƣờng. Phần tiếp theo sẽ tính chi tiết phổ trị riêng khối lƣợng và trạng
thái riêng khối lƣợng của các Higgs và boson chuẩn trong mô hình 3-3-1.
3.1.2. Phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs.
Các trƣờng chuẩn đều không có khối lƣợng khi chƣa có phá vỡ đối xứng tự
phát. Tƣơng tác yếu là tƣơng tác gần nên hạt truyền tƣơng tác yếu phải có khối

lƣợng. Do vậy ta phải tìm cách cho trƣờng chuẩn khối lƣợng.
Xét trƣờng hợp đơn giản: lý thuyết chuẩn của nhóm giao hoán U(1) với
một trƣờng vô hƣớng phức  (x) . Lagrangian toàn phần nhƣ sau:
2
1
L  D *  x  D   x    2 *  x    x     *  x    x   F F 
4

Trong đó:

D      igA  
F    A   A

Lagrangian trên bất biến với phép biến đổi định xứ,
  x    '  x   eigw x  x  , g là hằng số tƣơng tác của nhóm U(1)

Qua phép biến đổi trên, trƣờng chuẩn biến đổi nhƣ sau:
A'  x   A  x     w  x 

Khi µ2>0, thế năng:
V     2 *  x    x     *  x    x 

có cực tiểu tại:
1/2

 2 
v
  x 
,v   
2

  

14

2


Nhƣ vậy ta đã có phá vỡ đối xứng tự phát khi mà Lagrangian, phƣơng trình
chuyển động cả hai đề đối xứng với nhóm chuẩn G, nhƣng chân không lại không
đối xứng. Điều này có nghĩa là vi tử của nhóm Ta tác dụng lên chân không khác
0.
Ta chỉ có thể cho các thành phần trung hoà có VEV. Nếu cho các thành
phần mang điện có VEV sẽ dẫn đến các hệ quả vật lý sai nhƣ sự không bảo toàn
điện tích. Nhƣ vậy trƣờng υ không phải là trƣờng vật lý. Trƣờng vật lý sẽ là:
 '  x    0  0

Trong trƣờng hợp υ là trƣờng phức, ta có thể viết dƣới dạng 2 trƣờng thực:
  x 

1
1  x   i2  x  
2

Để thoả mãn điều kiện cực tiểu. ta có thể chọn:
0 1 0  v, 0 2 0  0

Nhƣ vậy các trƣờng vật lý thành phần tƣơng ứng là
1'  x   1  x   v;2'  x   2  x 

Ta sẽ chỉ ra rằng υ2 chính là trƣờng Goldstone hay boson Higgs không khối

lƣợng. Thay vào hàm Lagrangian của trƣờng chuẩn ta có:
1
L  D *  x  D   x   V    F F 
4
2
1
L    igA  F F 
4

L

1

1
  1'  1'  14  212  24   F F   gvA  2'
2
4
4

g2
 2v2

' '
' '
'
2

A A 11  22  2v1  v  
  21'2
2

4





4

'4
1

1
 2'4  4v1'3  4v1'2'2  21'22'2   F F 
4

Từ phƣơng trình trên ta có số hạng khối lƣợng trƣờng chuẩn Aµ
mA  gv

15


Trƣờng  2' không khối lƣợng vì Lagrangian không chứa số hạng khối
lƣợng, đúng nhƣ dự đoán ở trên. Trƣờng 1' có khối lƣợng m  2 . Ngƣời ta
'
1

có thể định nghĩa lại để trƣờng  2' mất hoàn toàn khỏi Lagrangian L, chỉ còn lại
1' và Aµ là các trƣờng vật lý. Ngƣời ta nói rằng trƣớc phá vỡ đối xứng Aµ không

có khối lƣợng, nhƣng sau khi phá vỡ đối xứng, Aµ nhận khối lƣợng nhờ hấp thụ

(ăn)  2' . Đây chính là cơ chế Higgs. Cụ thể, sau khi phá vỡ đối xứng các boson
chuẩn phải ăn các trƣờng Higgs không khối lƣợng (gọi là goldstone boson) để
có khối lƣợng khác không.
3.2. Phổ hạt boson chuẩn trong mô hình.
Phần này không xét gluon vì chúng tách biệt với nhóm điện yếu.
liên kết với SU(3)L và một đơn tuyến

Phổ hạt boson theo lí thuyết gồm
Bµ liên kết với U(1)N. Đạo hàm hiệp biến là:

Dµυi = ∂µυi+ ig ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

υj + ig’NυυiBµ

Trong đó: ⃗⃗⃗⃗⃗ =
υ = η,ρ,χ
Nυ: siêu tích


8

(3.5) ↔ Dµυi = ∂µυi + ig   Wa .
 a 1

a 

+ ig NυBµ 9


2 
2

Xét cụ thể cho từng trƣờng Higgs
 0 
 
+   1   (3; 0) → Nυ = 0
 2 



 v 


8
 2 
 
→Dµ(η) =  0  .    ig ( Wa . 9 ) 
2 

 
a 1
 0 





16

’

(3.5)


 v

[Dµ(η) ]† = -ig 


 
+     0
  


0

2

  8
 
0 .  W a. 9 
2 
  a 1



 =(3,1) → Nυ = 1



 0 


8
v  

 

.     ig ( Wa . 9 )  ig ' B 9 
→Dµ(ρ) =
 2 
2
2 
a 1


 0 



v

[Dµ(ρ) ]† = -i  0


2

  8
 

 
0   g   Wa . 9   g ' B 9 
2 
2 
   a 1

  
+         3, 1  N  1
 0 



 0 


8
v  

 

.    g ( Wa . 9 )  g ' B 9 
→Dµ(χ) = i.
 2 
2
2
a 1


 0 

* Lagrangian chứa số hạng khối lƣợng:
Lm   D H  .  D  H    D  .  D     D   .  D      D   .  D   
†

†

†

†

+ Số hạng khối lƣợng của trƣờng chuẩn nhận đƣợc từ ρ là:

LGm     0


v
2

Ta đặt t 

g'
g

  Wa

a
2

t

 0 


8
 
9   v 
a 9
'
0  .  g ( W . )  g B
.
2
2   2 
  a 1


 0 
2

9
2

B  W1 .

1
2

 ...  W8 .

17

8
2

t

9
2

B



0 1 0
 0 i 0 
1 0 0
0 0 1
1 1




2
3
4
  W  1 0 0   W  i 0 0   W  0 1 0   W  0 0 0 
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0











 0 0 i 
0 0 0
0 0 0 
1




6
7
8 1 
 W  0 0 0   W  0 0 1   W  0 0 i   W .
0
3
i 0 0 
0 1 0
0 1 0 
0








8
B
 3 W
t 
W1  iW 2
W 
3
6


B
1
W8
 
W1  iW 2
-W 3 
t 
2
3
6

W 4  iW 5
W 6  iW 7



5

0 0
1 0
 B 
1 0 
0 1
6
0 0
0 2 


W 4  iW 5 


W 6  iW 7 

8
B 
2W

 t  
3
6

0 

0 
1  

(3.6)

Với phổ boson: 2W    W1  iW2  ; 2V     W4  iW5  ;
2U     W6  iW7 

Khi đó:
 3 W8
B
t 
 W 
3
6


1
2W 
 3.6   
2


2V 



2W 
-W 
3

W8
3

t

2U 







2U


8
2W
B 

t
3
6 
2V 

B
6

(3.7)

- Xét phần tử mang điện của (3.7) → a11=0; a22=0; a33=0.

 LGm  


g  

2 0
4  

2

v
2



 0 W V     0 W  V   




0  . W
0 U    .  2  W 
0 U   


  V  U 
0     V  U 
0  





18




2 

0  

0
v


L

G
m  

L

G
m  

g 2  v

.W 

2  2



g 2v2
4

W W


0





v   
.U  . 
2






.W  
2

0 

v  

.U 
2

v

 U U  

- Xét phần tử trung hoà của (3.7) → a12=a13=a21=a23=a31=a32=0


 LGm    g 2  0


  3 W8
B
t 
  W 
3
6
 


 1
0  
0
2 
 
 
0
 

 

v
2

L

g2 

0
4 

L

v2 g 2  3 W8
B 

t  
 -W 
8 
3
6 

G
m  

G
m  

0

-W3 

8


W

3

t

B
6

0

v  3 W8
B 
t  
 -W 
2
3
6 


0





0


8
2W
B  

t
3
6  

2

0




  v  3 W8
B  
0
-W 
t

 2  
3
6  






0



2

+ Số hạng khối lƣợng của trƣờng chuẩn nhận đƣợc từ η là:

v
LGm    
 2



2
8
 

  
0 0  .  g ( Wa . 9 )  g ' B 9  . 
2
2 
  a 1




Tƣơng tự:

 W

a

a
2

t

9
2

B  W1 .

1
2

 ...  W8 .

8
2

t

19

9
2

B

v 

2
0 

0 










0 

v 
2

0 


 3 W8
B
t 
 W 

3
6


1
 
2W 
2


2V 



2W 
-W 
3

W8
3

t

2U 








2U


8
2W
B 

t
3
6 
2V 

B
6

(3.8)

- Xét phần tử mang điện của (3.8) → a11=0; a22=0; a33=0.

L

G
m 


g 2   v

2
4   2



 LGm  

L

G
m 



g2 
0
2 

g 2v2
4

v
2

.W 

W W


 0
W
 
0 0 . W

0
  V  U 








v


.V   . 
2










V    0
W
V 




U    .  2  W 
0 U   


0     V  U 
0  






v  

2 
0 

0 




0 

v

.W  
2



v
.V  
2


 V V  

- Xét phần tử trung hoà của (3.8) → a12=a13=a21=a23=a31=a32=0
  3 W8

B
t 
0
0
  W 

3
6
 

8



W
B
v
 1


 LGm   g 2   0 0   
0
-W3    t 
0
2

2
3
6




 

8
2W
B  
 
0
0

t
 
3
6  


 v  3 W8
B 

 t  

 W 
3
6  
 2
8
2 



W
B
g v


 LGm  
W3    t   0 0  
0






4  2 
3
6



0







20

2










v 

2
0 

0 

