Phổ hạt higgs và boson chuẩn trong mô hình 3 3 1 với hai tam tuyến higgs

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


NGUYỄN THỊ TÌNH

PHỔ HẠT HIGGS VÀ BOSON CHUẨN
TRONG MÔ HÌNH 3 – 3 – 1 VỚI HAI
TAM TUYẾN HIGGS

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

TS. KHU HỮU TRUNG
HÀ NỘI – 2015


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


NGUYỄN THỊ TÌNH

PHỔ HẠT HIGGS VÀ BOSON CHUẨN
TRONG MÔ HÌNH 3 – 3 – 1 VỚI HAI
TAM TUYẾN HIGGS

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. LÊ THỌ HUỆ

TS. KHU HỮU TRUNG
HÀ NỘI – 2015


LỜI CÁM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Lê Thọ Huệ, ngƣời đã tận tình
hƣớng dẫn, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện
khóa luận tốt nghiệp.
Tôi xin cám ơn các bạn sinh viên cùng nhóm nghiên cứu đã hợp tác và
giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận tốt
nghiệp.
Tôi xin cảm ơn các Thầy (Cô) giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa
Vật lý, Phòng đào tạo đại học, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội, đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
khóaluận.
Tôi xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên tôi rất nhiều trong
suốt 16 năm ngồi trên ghế nhà trƣờng.
Do còn thiếu kinh nghiệm cũng nhƣ thời gian giới hạn nên khóa luận của
tôi còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong đƣợc sự góp ý chân thành của quý Thầy
(Cô) và các bạn để khóa luận tốt nghiệp của tôi đƣợc hoàn thiện hơn.
Hà Nội, Ngày 05 tháng 04 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Tình


LỜI CAM ĐOAN

Đây là đề tài nghiên cứu khoa học do tôi thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn của
TS. Lê Thọ Huệ.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng mình.Các số liệu,
kết quả trong khóa luận là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kì
công trình khoa học nào khác.Các thông tin trích dẫn trong khóa luận đều đã
đƣợc ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, Ngày 05 tháng 04 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Tình


MỤC LỤC
PHẦN I. MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
I. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1
II. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2
III. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
IV. Đối tƣợng nghiên cứu.................................................................................. 2
V. Phƣơng pháp nghiên cứu. ............................................................................. 2
VI. Cấu trúc khóa luận....................................................................................... 2
PHẦN II. NỘI DUNG .......................................................................................... 4
CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ VẬT LÝ HẠT CƠ BẢNVÀ LÝ THUYẾT
CHUẨN. ............................................................................................................... 4
I.1. Tổng quan về vật lý hạt cơ bản. .................................................................. 4
I.2. Lý thuyết chuẩn. .......................................................................................... 5
I.2.1. Phân loại các hạt cơ bản. ....................................................................... 5
I.2.2. Đặc trƣng các hạt sơ cấp. ...................................................................... 8
CHƢƠNG II : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢNCỦA NHÓM CHUẨN U(1),
SU(2), SU(3) ......................................................................................................... 9
II.1. Nhóm đối xứng U(1).................................................................................. 9

II.2. Các đa tuyến SU(2). ................................................................................... 9
II.2.1. Nhóm SU(2) ........................................................................................ 9
II.2.2. Các đa tuyến SU(2)............................................................................ 10
II.3. Các đa tuyến SU(3). ................................................................................. 11
CHƢƠNG III: PHỔ HẠT HIGGS VÀ BOSON CHUẨN TRONG MÔ HÌNH 33-1 VỚI HAI TAM TUYẾN. ............................................................................. 13
III.1. Giới thiệu mô hình. ................................................................................. 13
III.1.1. Mô hình 3-3-1................................................................................... 13
III.1.2. Mô hình 3-3-1 với hai tam tuyến Higss. .......................................... 14
III.2. Phổ hạt Boson chuẩn . ............................................................................ 15


III.2.1. Tính đạo hàm hiệp biến. ................................................................... 17
III.2.2. Tính khối lƣợng của boson chuẩn xuất hiện ở từ Lagarangian động
năng hiệp biến Higgs. ................................................................................... 18
III.3. Thế Higgs, điều kiện cực tiểu và phổ hạt Higgs..................................... 27
III.3.1. Thế Higgs. ........................................................................................ 27
III.3.2. Điều kiện cực tiểu thế. ...................................................................... 27
III.3.3. Phổ hạt Higgs. .................................................................................. 28
CHƢƠNG IV : KẾT LUẬN............................................................................... 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 32


PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Theo giải thích của mô hình chuẩn trong vật lý hạt cơ bản, hạt Higgs là
Boson có spin không đóng vai trò sinh khối lƣợng cho tất cả các hạt cơ bản. Mô
hình chuẩn là mô hình vật lý mô tả thế giới hạt cơ bản đƣợc chấp nhận rộng rãi
nhất hiện nay. Mô hình chuẩn giải thích sự sinh khối lƣợng cho các hạt nhƣ sau:
1. Lagrangian ban đầu của mô hình đƣợc xây dựng thỏa mãn điều kiện bất
biến đối với nhóm đối xứng chuẩn SU (3) c x SU(2)L x U(1)Y. Với Lagrangian

này các số hạng khối lƣợng của các hạt trong mô hình đều bằng không. Điều
này chứng tỏ các hạt ban đầu có khối lƣợng bằng không.
2. Cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát xảy ra khi trƣờng Higgs đƣợc khai triển
xung quanh giá trị trung bình chân không của thành phần Higgs trung hòa.
Lagrangian sau khai triển sẽ không còn bất biến đối với nhóm đối xứng chuẩn
ban đầu, chỉ còn bất biến đối với nhóm đối xứng U(1)em(đối xứng điện từ không
bị phá vỡ tƣơng ứng photon có khối lƣợng bằng 0). Kết quả là xuất hiện các số
hạng khối lƣợng trong Lagrangian tƣơng ứng với các hạt lepton mang điện, các
quark, các trƣờng tƣơng tác yếu và hạt Higgs trung hòa. Các hạt còn lại có khối
lƣợng bằng không là photon, các neutrino và các gluon.
Tuy nhiên, thực nghiệm hiện nay chỉ ra một số kết quả không còn phù hợp
với mô hình chuẩn.
- Neutrino có khối lƣợng cho dù rất nhỏ.Tồn tại các dạng vật chất tối mà
mô hình chuẩn không chỉ ra đƣợc hạt nào thỏa mãn điều kiện vật chất tối. Về
mặt lý thuyết mô hình chuẩn không giải thích đƣợc tại sao số thế hệ phải là 3,
sự lƣợng tử hóa điện tích của các hạt. Vì vậy mô hình chuẩn chỉ là giới hạn của
mô hình cơ bản hơn, gọi là mô hình thống nhất. Các mô hình cơ bản này là mô
hình chuẩn mở rộng.
Trong số các mô hình chuẩn mở rộng các mô hình 3-3-1 có một số ƣu điểm
nhất định : Giải thích sự sinh khối lƣợng neutrino, giải thích đƣợc sự lƣợng tử
1


hóa điện tích, đƣa ra đƣợc một số hạt đóng vai trò làm vật chất tối. Phần chính
của mô hình 3-3-1 là sự mở rộng nhóm chuẩn từ SU(2)L thành SU(3)L trong đó
lƣỡng tuyến chứa 2 fermion đƣợc mở rộng thành tam tuyến chứa 3 fermion. Do
đó số hạt quark sẽ tăng lên đồng thời số hạt Higgs cũng tăng lên, số trƣờng
chuẩn tăng lên so với mô hình chuẩn.
Các hạt mới này có nhiều tính chất thú vị mà thực nghiệm có thể kiểm
chứng đƣợc ở các máy gia tốc hiện nay.

Vì vậy, trong khóa luận này tôi tập trung vào nghiên cứu các hạt Higgs và
các hạt boson chuẩn của mô hình 3-3-1 với hai tam tuyến Higgs.
II. Mục đích nghiên cứu
-Tìm hiểu khối lƣợng của hạt Higgs trong mô hình 3-3-1 với hai tam tuyến
Higgs.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
-Tìm hiểu về mô hình 3-3-1 với hai tam tuyến Higgs.
-Tìm hiểu khối lƣợng của hạt Higgs trong mô hình 3-3-1 với hai tam tuyến.
IV. Đối tƣợng nghiên cứu
-Khối lƣợng của hạt Higgs trong mô hình 3-3-1 với hai tam tuyến Higgs.
V. Phƣơng pháp nghiên cứu.
-Đọc và tra cứu tài liệu.
-Giải số bằng phần mềm Mathematica .
-Phƣơng pháp lý thuyết trƣờng lƣợng tử.
-Phƣơng pháp toán học.
VI. Cấu trúc khóa luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm các
chƣơng:
Chƣơng I:Tổng quan về vật lý hạt cơ bản và lý thuyết chuẩn.
Chƣơng II:Nhóm chuẩn U(1),SU(2),SU(3).

2


Chƣơng III:Phổ hạt Higgs và Boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 với hai tam
tuyến.
Chƣơng IV: Kết luận tóm tắt các kết quả nghiên cứu của khóa luận.

3

PHẦN II. NỘI DUNG
CHƢƠNG I:TỔNG QUAN VỀ VẬT LÝ HẠT CƠ BẢN
VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN.
I.1. Tổng quan về vật lý hạt cơ bản.
* Vài nét về lịch sử
Vật lý hạt cơ bản có mục tiêu là tìm kiếm, phân loại sắp xếp các thành
phần sơ cấp của vật chất và phám khá những tính chất cũng nhƣ những định luật
cơ bản chi phối sự vận hành của chúng.
Hạt cơ bản đầu tiên đƣợc tìm thấy là electron e- (Thomson, 1897): sau khi
nghiên cứu kĩ tính chất của tia âm cực. Thomson đã khẳng định rằng tia này
chính là chùm các hạt mang điện tích âm giống nhau - đó là các hạt e-.Electron
chính là gốc nguồn của hiện tƣợng điện-từ mà ngay từ thời xa xƣa con ngƣời đã
cảm nhận thấy khi nhìn sấm sét cũng nhƣ khi chà xát hổ phách. Từ ánh đèn lân
quang thời xa xƣa đến iPad- iphone tân kỳ thời nay, dấu ấn của electron vô hình
chung ngày càng đậm nét trong đời sống con ngƣời.
Năm 1911 Rutherford đã khám phá ra hạt nhân nguyên tử và sau đó (năm
1919) đã tìmthấy trong thành phần hạt nhân có hạt proton p với khối lƣợng bằng
1840 lần khối lƣợng electron, và điện tích dƣơng về mặt trị số đúng bằng điện
tích electron. Thành phần kháccủa hạt nhân, hạt neutron n, đƣợc Heisenberg và
Ivanenko đề xuất trên lí thuyết và đã đƣợc Chadwick tìm thấy trong thực nghiệm
tƣơng tác của hạt α với nguyên tố Be vào năm 1932.Hạt n có khối lƣợng gần
bằng hạt p, nhƣng không mang điện tích. Bằng việc phát hiện ra hạt neutron n
các nhà vật lý đã hoàn thành việc khám phá ra các thành phần cấu tạo nên
nguyên tử và do đó cấu tạo nên thế giới vật chất.
Cuối những năm 40 - đầu những năm 50 là giai đoạn phát hiện ra các hạt
lạ, những hạt đầu tiên (meson K±, hạt λ) đƣợc tìm thấy trong tia vũ trụ, còn

4

những hạt tiếp theo đƣợctìm trong các máy gia tốc, là kết quả các quá trình tán
xạ (va chạm) của các hạt p hay e− ở năng lƣợng cao. Từ những năm 50 trở đi
các máy gia tốc là công cụ chính để nghiên cứu hạt cơ bản.Ngày nay năng lƣợng
đạt đƣợc đã lên đến hàng hàng ngàn GeV (tức hàng TeV).
Máy gia tốc proton p với hạt nặng vài GeV đã giúp khám phá ra các phản
hạt nặng: phản proton (năm 1955), phản neutron (năm 1956), phản sigma (năm
1960), v.v... Năm 1964 ngƣời ta phát hiện ra hạt hyperon nặng nhất: hạt omega
Ω−, với khối lƣợng gần gấp đôi khối lƣợng hạt proton. Trong những năm 60
ngƣời ta còn khám phá ra rất nhiều hạt không bền gọi là các hạt cộng hƣởng, với
khối lƣợng hầu hết lớn hơn khối lƣợng proton.Đại bộ phận các hạt cơ bản biết
đƣợc hiện nay (vào khoảng 350 hạt) là các hạt cộng hƣởng.
Tất cả các hạt nặng nói trên đều đƣợc cấu thành từ các hạt cơ bản nhất nằm
trong giới hạn mô hình chuẩn, cụ thể là các quark.
I.2.Lý thuyết chuẩn.
I.2.1. Phân loại các hạt cơ bản.
Hạt cơ bản là những hạt nhỏ nhất không thể phân chia đƣợc. Dựa theo
tƣơng tác màtrƣớc đây ngƣời ta phân loại các hạt theo hằng số tƣơng tác.
Có 4 loại tƣơng tác cơ bản:


Tƣơng tác hấp dẫn là tƣơng tác giữa các hạt có m, thông qua trƣờng hấp



Tƣơng tác điện từ là tƣơng tác giữa các hạt có điện tích, thông qua trƣờng

dẫn.

photon.



Tƣơng tác yếu là tƣơng tác giữa các hạt mang tích đồng vị hoặc siêu tích

yếu, thông qua các hạt trung gian W± hoặc Z0. Thí dụ :trong phân rã b : n ® p +
e- + υ~


Tƣơng tác mạnh là tƣơng tác giữa các hadron, thông qua các hạt gluon,

nhƣ tƣơng tác giữa các nucleon tạo nên hạt nhân.
Phân loại hạt
5


Hạt sơ cấp là những thực thể vi mô tồn tại nhƣ một hạt nguyên vẹn, đồng
nhất, không thể tách thành các phần nhỏ hơn, bao gồm các quark, lepton hay
bosonchuẩn. Các hạt sơ cấp đƣợc phân biệt chủ yếu thông qua spin:


Các hạt Fermion : s=1/2, 3/2 ; 5/2



Các hạt Boson :

s= 0;1;2; …

Chú ý rằng tất cả các hạt có spin cùng loại có dạng Lagrangian giống nhau.
Dƣới đây là một vài loại trƣờng thông dụng trong vật lý hạt cơ bản hiện đại:

a) Trƣờng vô hƣớng (spin=0): là trƣờng bất biến với phép biến đổi khôngthời gian 4 chiều.
Trƣờng

vô

hƣớng

đƣợc

mô

tả

bằng

hàm

  x

bất

biến

  x    '  x     x0 ,  x     x0 , x 
gọi là trƣờng vô hƣớng thực, đảo dấu với phép biến đổi này là giả vô hƣớng
- Trƣờng vô hƣớng thực mô tả hạt vô hƣớng trung hòa (không mang điện).
Đó là các hạt

 trong mẫu Weinberg-Salam (WS), các hạt  0 , K 0 ,...

- Trƣờng vô hƣớng phức mô tả hạt vô hƣớng mang điện:  , K ,...




b) Trƣờng vector (spin=1)
Trƣờng vector có bốn thành phần   x  thỏa mãn quy luật biến
đổiLorentz:   x     x    .v  x 
'

v

Ta có quy luật biến đổi các thành phần:

0  x0 ,  x   0  x0 , x 
i  x0 ,  x   i  x0 , x 
Các hạt truyền tƣơng tác nhƣ photon,

W  , Z thuộc trƣờng loại này.

c) Trƣờng spinor(spin=1/2)
Trƣờng spinor có bốn thành phần đƣợc mô tả bởi spinor Dirac    x  còn

6


có tên gọi femion vì tuân theo thống kê Fermi-Dirac. Đây chính là các trƣờng
vật chất. Các spinor gồm: e



, ve ,   , v ,   , v , các hạt quark và các hạt thuộc




bát tuyến SU(2) nhƣ p, n,  , ,  ,  , ,... thỏa mãn quy luật sau:
0



  4i v v 
'
'
   x      x   e
    x


Với 
Ở đây

v

là các thông số biến đổi và:  



1

0

0  
0

0

i
   v   v  
2

là ma trận Dirac:

0
0 0


0
0 0
;1  
 0 1
0 1 0 


0 0 1
 1 0

0
1

0
0

 0 0 0 i 
0



0
0
i
0
;   0
2  
 0 i 0 0  3  1




i
0
0
0


0

0 1

1 0
0 0


0 0

0 1 0

0 0 1
0 0 0

1 0 0

Tuân theo các tính chất:

 0   0 ;  i  i i ;  02  1;  12  1;  ,  v   2v
d) Trƣờng với spin=2
Đƣợc mô tả bởi tensor hv  x  . Graviton có khối lƣợng bằng không, hạt
truyền tƣơng tác hấp dẫn là trƣờng có spin=2.
Trong vật lí hạt cơ bản chúng ta chủ yếu là việc với các trƣờng có spin nhỏ
nhƣ vô hƣớng, vector và spinor.

7


I.2.2. Đặc trưng các hạt sơ cấp.
-Đặc trƣng 1: . Khối lƣợng nghỉ m0 . Thí dụ: me=9,1.10-31kg
- Đặc trƣng 2 :Năng lƣợng nghỉ E0 = m0c2. Thí dụ: E0=0,511MeV
- Đặc trƣng 3: Điện tích Q có đơn vị là điện tích nguyên tố e. Thí dụ: quark
up Q = +2/3, photon Q=0
- Đặc trƣng 4: Về Spin:


là đặc trƣng cho chuyển động nội tại của một hạt cơ bản.



Momen spin đƣợc tính theo số lƣợng tử spin s. Thí dụ: Electron, proton,

neutron s = 1/2; photon s = 1.
- Đặc trƣng 5: Thời gian sống trung bình T:
Với Hạt bền :
o

Hạt bền là hạt không phân rã.

o

Có 4 hạt: proton, electron, photon, neutrino

Không bền: là các hạt phân rã thành hạt khác.
o

Các hạt có thời gian sống ngắn : từ 10-24 đến 10-6s.

o

Neutron thời gian sống dài, khoảng 932s

8


CHƢƠNG II : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
CỦA NHÓM CHUẨN U(1), SU(2), SU(3)

II.1. Nhóm đối xứng U(1).
Nhóm U(1) đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết hạt cơ bản. Điện
động lực họclƣợng tử (QED) là lý thuyết dựa trên nhóm chuẩn U(1)Q.
Nhóm U(1) là nhóm của các biến đổi pha (phase transformations). Nếu Xa
là vi tử U(1) thì fabc = 0 đối với tất cả b và c.
Ta bắt đầu với đa tuyến của trƣờng vật chất [  1(x),...  1(x)] trong một
nhóm nào đó. Khi đó vi tử của U(1) đƣợc biểu diễn bằng ma trận chéo n  n với
trị riêng là tích U(1) của trƣờng vật chất.

 1   e iQ1w
  
 2   0
 .   .
 
 .   .
.   .
  
 n  

0
e iQ2 w
.
.
.
.

0
0
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.   1 
 
.
.   2 
.
.  . 
 
.
.  . 
.
. . 
 
. e iQn w   n  s

Công thức trên có thể đƣợc viết ngắn gọn nhƣ sau:

  x   U  x  ,
II.2. Các đa tuyến SU(2).
II.2.1. Nhóm SU(2)

Nhóm SU(2) là tổ hợp các ma trận 2x2, unita và có định thức bằng 1

SU (2)   A : 2  2 : A. A†  A† . A  I , det A  1
Bất kì phần tử nào của nhóm SU(2) đều có thể viết dƣới dạng:

A    ei a Ia
Trong đó, I a 

a
2

(a=1,2,3) là các vi tử đóng vai trò nhƣ isospin còn  a là
9


ma trận Pauli thảo mãn hệ thức giao hoán:

c
 a  b 
,

i

abc
2 2
2


Hằng số  abc gọi là hằng số cấu trúc nhóm SU(2). Dạng tƣờng minh của
các ma trận Pauli nhƣ sau:

0 1
 0 i 
1 0 
 ; 2  
 ; 3  

1 0
i 0 
 0 1

1  

II.2.2. Các đa tuyến SU(2)
Giả sử có n hạt nào đó, chúng tƣơng ứng với n toán tử trƣờng

 1  x  , 2  x  ,..., n  x  . Dƣới tác động của nhóm SU(2), nó biến đổi nhƣ sau:

 i  x   i'  x   A i  x  A1  ei  M   x 
a

a

Trong đó tham số biến đổi  thực, Ma(a=1,2,3) là ma trận n x n thỏa mã hệ
thức:

 M a , M b   i abc M c
Thì n trƣờng tạo thành một đa tuyến n chiều của nhóm biến đổi SU(2).
Từ đó suy ra:

 I a , i  x     M a i  j  x 
j

Dƣới đây là một vài trƣờng hợp:
'
- Ma=0, n=1: toán tử trƣờng không đổi     . Ta có một hạt hay là

một đơn tuyến.

 I a ,   0
- Ma 

a
2

, n  2 . Đây là trƣờng hợp lƣỡng tuyến hay còn gọi là biểu diễn

cơ sở. Biểu diễn này là hàm có chỉ số dƣới.
10


 
a   1 
 2 


 I a , i     a   i
 2 i
j

1
1
 
 
  I 3 , 1     3   1    1 ;  I 3 , 2     3   2   2 .
2
2
 2 1
 2 2
1

2

 1   p 


Ví dụ: Lƣỡng tuyến a      có:
 2   n 

1
 2 ; p
I3  
 1 ; n
 2
-  M a b  i abc , n  3. Đây là trƣờng hợp tam tuyến. Dạng tƣờng minh
c

của ma trận nhƣ sau:

0 0 0 

 0 0 i
 0 i 0 






M 1   0 0 i  ; M 1   0 0 0  ; M 1   i 0 0  .
0 i 0 
 i 0 0 
 0 0 0






Hệ thức giao hoán trong trƣờng hợp này là:

 I a ,b   i abcc ;
 1    I 3 , 1   i2 ,

   2    I 3 , 2   i1 ,
Trong đó:
     I ,    0.
 3  3 3
II.3. Các đa tuyếnSU(3).
Nhóm SU(3) là tổ hợp các ma trận 3x3, unita và có định thức bằng 1.
11

SU (3)   A : 3  3: A. A†  A† . A  I , det A  1
Bất kì phần tử nào của nhóm SU(3) đều có thể viết dƣới dạng:

A a   e

i  a

Các ma trận

a
2

; a  1, 2,...,8.

a gọi là các am trận Gell-Mann thỏa mãn các hệ thức giao

hoán sau:

c
 a b 
,

if
abc
2 2
2



Với:

1
3
f123  1, f147  f 246  f 257  f 345  f 516  f 376  , f 458  f 678 
2
2
Dạng tƣờng minh của các ma trận Gell-Mann:

0
1   1
0

0
5   0
1


1 0
0


0 0  ; 2   i
0
0 0 

0 1
0



0 0  ; 6   0
0
0 0 


i 0
1


0 0  ; 3   0
0
0 0 

0 0
0


0 1  ; 7   0
0
1 0 


0 0
0 0


1 0  ; 4   0 0
1 0
0 0 


0 0
1
1


0 i  ; 8 
0
3
1
i 0 


1

0;
0 
0 0

1 0 .
0 2 

Nhƣ trong trƣờng hợp trƣớc, việc xây dựng cá đa tuyến hoàn toàn tƣơng tự
chúng ta hãy xét mô hình quark của Gell-Mann.

12


CHƢƠNG III: PHỔ HẠT HIGGS VÀ BOSON CHUẨN TRONG MÔ
HÌNH 3-3-1 VỚI HAI TAM TUYẾN.

III.1.Giới thiệu mô hình.
III.1.1. Mô hình 3-3-1.
Các mô hình 3-3-1 dựa trên nhóm đối xứng SU(3) ⊗ SU(3) ⊗ U(1), là
những mô hình chuẩn mở rộng đƣợc nhiều sự quan tâm hiện nay. F.Pisano,
V.Pleitez và P.H.Frampton đã kết hợp lƣỡng tuyến trái neutrino-lepton  vi , li  L ,
T

(i=1,2,3),với đơn tuyến lepton liLC thành một tam tuyến  vi , li , liC L của nhóm SU(3)L
T

, từ đó xây dựng mô hình 3-3-1 không có các lepton ngoại lai và đƣợc gọi là mô
hình 3-3-1 tối thiểu. Để phá vỡ đối xứng tự phát trong mô hình này, ta cần đến
ba đa tuyến Higgs.
H.N.Long, R.Foot, Tuan A. Tran đề xuất một mô hình 3-3-1 với neutrino
phân cực phải vào năm 1994. Mô hình này thêm vào lƣỡng tuyến neutrinolepton  vi , li  L , một neutrino phân cực phải viC . Vì vậy lƣỡng tuyến của
T

nhómSU(2)L trở thành tam tuyến SU(3)L  vi , li , liC L . Mô hình này đƣợc gọi là mô
T

hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải.Tƣơng tự nhƣ mô hình 3-3-1 tối thiểu,
ngƣời ta cần đến 3 đa tuyến Higgs để sinh khối lƣợng cho các hạt.Các mô hình
3-3-1 còn dự đoán thêm 5 boson chuẩn, trong đó có 4 boson mang số lepton đôi
(bilepton).Ngoài ra còn nhiều mô hình 3-3-1 khác nhƣ mô hình 3-3-1 với lepton
ngoại lai, mô hình 3-3-1 tiết kiệm với 2 tam tuyến Higgs, mô hình 3-3-1 tiết
kiệm siêu đối xứng.Các đặc tính của các mô hình 3-3-1 đang đƣợc nghiên cứu
một cách sâu rộng.

13

III.1.2. Mô hình 3-3-1 với hai tam tuyến Higss.
Các phần fermion (lepton và quark) của mô hình là giống với phổ fermion
trong mô hình 3-3-1 tối thiểu. Các thế hệ lepton phân cực trái (left-handed) biến
đổi theo biểu diễn 3 của nhóm SU(3)L
 la 
 
f aL   la    3, 0 
 lc 
 a L
.

Thế hệ quark đầu tiên biến đổi theo biểu diễn 3, hai thế hệ còn lại biến đổi
theo biểu diễn phản tam tuyến 3*:
 u1 
   2
Q1L   d1    3, 
T   3
 L
 di 
1

 
QiL   ui    3 ,  
3
D  
 i L

(1.1).

Ở đây a = 1, 2, 3 và i = 2, 3. Các quark lạ T mang điện tích 5/3, còn D2 và
D3 mang -4/3. Trong phƣơng trình (1.1) các số 0, 2/3 và -1/3 là siêu tích yếu
U(1)X của các biểu diễn tƣơng ứng. Các quark phân cực phải đều là đơn tuyến
của SU(3)L.
uRa  1, 2 / 3 , d Ra  1, 1/ 3 , a  1, 2,3,
TR  1,5 / 3 , DiR  1, 4 / 3.

(1.2)

Với cách sắp xếp fermion nhƣ trên, mô hình thỏa mãn điều kiện khử dị
thƣờng.
Định nghĩa toán tử điện tíchtheo tổ hợp tuyến tính các vi tử chéo của nhóm
điện yếu:

14


Q 3
3
 
8  X ,
e 2
2

(1.3)

với λ3 và λ8 là ma trận chéo Gell-Mann, tƣơng ứng với biểu diễn tam tuyến
SU(3)L. Với các phản tam tuyến ta phảithay thế các ma trận Gell-Mann bởi ma
trận biễu diễn phản tam tuyến  = -λ*. Tƣơng tự với đơn tuyến các vi tử này có
ma trận biểu diễn bằng 0.

Phần vô hƣớng của mô hình chỉ cần hai tam tuyến Higgs sau:
  
  




    0    3,1 ,         3, 1 .
   
 o 





(1.4)

Phổ tối thiểu này Higgs đủ để phá vỡ đối xứng tự phát và tạo ra khối lƣợng
của các fermion và boson gauge trong mô hình, nhƣng phải tính đến các đóng
góp hiệu dụng. Trung bình chân không (VEV)của các thành phần Higgs trung
0
hòalà  

vp
2

0
và  

v

2

, với v  246 GeV.

Sự phá vỡ đối xứng tự phát xảy ra theo các bƣớc sau:
0

0

SU  3 L  U 1 X 
 SU  2 L U 1Y 
U 1em

(1.5)

Và nhƣ vậy, chúng ta có thể dự đoán: v  v (1.6).
Vì các lepton mang điện và phản lepton tƣơng ứng đƣợc đặt trong cùng
một tam tuyến, mô hình xem xét không bảo toàn số lepton.
Phần tiếp theo ta tìm khối lƣợng và trạng thái riêng khối lƣợng của các
boson chuẩn và Higgs trong mô hình, từ đó suy ra các hạt boson mới đƣợc mô
hình tiên đoán.
III.2. Phổ hạt Boson chuẩn .
Số hạng khối lƣợng của boson chuẩn xuất hiện ở phần Lagrangian động
năng hiệp biến của các Higgs

15


L   D    D      D    D   
†

†

(2.1)

với định nghĩa đạo hàm hiệp biếncho nhƣ sau:

D     igA

a

với 9 

a
2

2
diage 1,1,1 sao cho
3

 ig x X

9
2

B ,

(2.2)

Tr  99   2 . Các hằng số tƣơng tác

tƣơng ứng với hai nhóm SU(3)L vàU(1)X thỏa mãn liên hệ sau:

6sW2
g X2

,
g 2 1  4sW2

(2.3)

Trong đó sử dụng các ký hiệu cW  cos W , sW  sin W , tW  tan W với θW
là góc trộn Weinberg. Các trạng thái riêng khối lƣợng của các boson chuẩnmang
điện dễ dàng xác định đƣợc nhƣ sau:
W 

A1  iA2
,
2

(2.4)

A4  iA5
V 
,
2


U  

A6  iA7
,
2

(2.5)

với khối lƣợng tƣơng ứng
2
W

m



g 2v2
4

2
V

,m



g 2v2
4

, mU2  mw2  mV2

Đồng nhất mW với bình phƣơng khối lƣợng W± đã biết trong mô hình

2

2
2
chuẩn ta đƣợc mW  80.4 GeV và v  246GeV .Nhƣ vậy khác với các mô

hình chứa các lepton mới trung hòa, mô hình tối thiểu có boson chuẩn mang
điện tích đôi U±.

16


Trị riêng khối lƣợng và trạng thái riêng khối lƣợng của các boson chuẩn
trung hòa phức tạp hơn, thông qua khai triển đạo hàm hiệp biến, thay trực tiếp
vào số hạng động năng hiệp biến Higgs. Chi tiết nhƣ sau:
III.2.1. Tính đạo hàm hiệp biến.
*Tính đạo hàm hiệp biến D    .
  
  
a







    0    3,1  D        igAa
 ig x 9 B    0 
2

2

    
   





Số hạng cho đóng góp vào khối lƣợng các boson chuẩn là:


a

9  
a 
 D        igA
 ig x B 
2
2





0 

v 
2


0 


 0 



a
†

9   v  
a 

  D       igA
 ig x B 

2
2
  2 




 0  

†

a

 v



a 
  D       igA
 ig x 9 B  0,  , 0 
2
2
2 


†

*Tính đạo hàm hiệp biến D    .
  
  
a







        3, 1  D        igAa
 ig x 9 B     
2
2

 0 
 0 






17




a




 D        igAa
 ig x 9 B  
2
2







0 

0 


v 

2





 0 


†


a
  D       igAa
 ig x 9 B   0  
2
2

  v 

  



 2  

†

v 
 a a


  D       igA
 ig x 9 B  0, 0,  
2
2
2


†

III.2.2.Tính khối lượng của boson chuẩn xuất hiện ở từ Lagarangian động
năng hiệp biến Higgs.
L   D H   D  H 
†

*Trƣờng hợp 1. Tính LGm  


 v   a  a
9  
  0,
, 0   gA
 g x B 
2
2
2



 


2

LGm  

t

Ta lại có

 Aa

a
2

t

9
2

gx
g

B  A1

0 

v 

2

0 

và a = 1,2,3,4,5,6,7,8.

1
2

 ...  A8

8
2

t

9
2

B

Thực hiện biến đổi toán học:


0 1 0
 0 i 0 
1 0 0
1 1 






A
 t B   A   1 0 0   A2   i 0 0   A3   0 1 0 
2
2
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0







a
a 

9

18


0 0 1
0




5
 A   0 0 0   A   0
1 0 0
i



0 0 0 
1
1



 A7   0 0 i   A8 
0
3
0 i 0 
0



4

0 i 
0


6
0 0   A   0

0
0 0 

0 0
1
t


1 0 
B  0
6 
0 2 
0

0 0

0 1
1 0 
0 0 

1 0 
0 1  

 3 A8 tB

1
2
4
5
A



A

iA
A

iA
 



 
3
6


8
a


A tB
9
1
a 
1
2
3
6
7

 A
 t B   A  iA
A 

A  iA 
2
2
2
3
6



2 A8 tB 
6
7
 A4  iA5
A  iA




3
6 

 3 A8 tB


2W 
2V  

 A 
3
6


8
a


A tB
9
1
a 

3



 A
 t B 
2W
A 

2U
2
2
2
3
6




8
2 A tB 



2V
2U


3
6 


Khối lƣợng các hạt mang điện đã đƣợc xét ở phần trƣớc.
Ma trận bình phƣơng khối lƣợng của các hạt mang điện(W, V, U) có dạng
chéo 3x3:
1 2 2
 4 g v

2
m  0


 0


0
1 2 2

g v
4
0

19





0


1 2 2
2 
g  v  v  
4

0