Khoá luận tốt nghiệp nghiên cứu mô hình khí lý tưởng trong vật lý thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC

su' PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ BÍCH PHƯƠNG

NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH KHÍ LÝ TƯỞNG
TRONG VẬT LÝ THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hưóng dẫn khoa học

PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước hết em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô
PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Đồng thời em xin cảm ơn sự giúp đỡ quan tâm
của thầy cô trong tổ vật lí lý thuyết và các thầy cô trong khoa Vật Lý trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận của
mình.Cuối cùng em xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè nhũng người đã luôn
giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp.
Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên và là lần đầu tiên
được làm quen với nghiên cứu khoa học, nên trong quá trinh thực hiện khóa luận

này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được ý kiến đóng
góp của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xỉn chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Bích Phưong


LỜI CAM ĐOAN

Đây là công trình khoa học của riêng em dưới sự hướng dẫn của cô PGS.TS
Lưu Thị Kim Thanh. Đề tài “ Nghiên cứu mô hìnhtrong yật lý thống kê khí lý
tưởng” được hoàn thành trên cơ sở nghiên cứu các giáo trình tài liệu về nhiệt
động lực học, vật lý thống kê, vật lý chất rắn.
Hà Nội, tháng 5 nẵm 2015
Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Bích Phưong


MỤC LỤC

A. PHÀN MỞ ĐÀ U .....................................................................................................1
1 .Lí do chọn đề tà i.......................................................................................... 1
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài..................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứ u..................................................................................2
4. Phạm vi nghiên c ú n ..................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên c ú n .............................................................................2
B.NỘI DUNG.............................................................................................................. 3

CHƯƠNG 1: KHÍ LÝ TƯỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIÊN......................... 3
1.1 Mô hình về khí lý tưởng............................................................................3
1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng...................................................................... 3
1.1.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng..........................................4
1.1.3. Mối liên hệ giữa khí lý tưởng với khí thực...................................... 7
1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cổ điển.................................... 8
1.3. Khảo sát hệ khí lý tưởng bằng phân bố Gibbs cổ điển......................... 17
1.3.1. Năng lượng tự d o .............................................................................22
1.3.2. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng....................................... 22
1.3.3. Biểu thức entropi của khí lý tưởng................................................. 23
1.3.4. Biểu thức nội năng và nhiệt dung Cy của khí lý tưởng đơn
nguyên tử.....................................................................................................23
Kết luận chương 1 .....................................................................................................24
CHƯƠNG 2: KHÍ LÝ TƯỞNG LƯỢNG TỬ ........................................................25
2.1. Khí Boltzmann........................................................................................ 25
2.1.1. Phân boBoltzmann........................................................................... 25
2.1.2 Năng lượng và nhiệt dung của khí lý tưởng Boltzmann lưỡng
nguyên tử.....................................................................................................25
2.2 Khí lý tưởng Fermi và Bose.................................................................... 33


2.2.1 .Khí lý tưởng Fermi.......................................................................... 33
2.2.2. Khí lý tưởng Bose............................................................................33
2.2.3. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Fermi và B ose.............34
2.3 Khí electron tự do trong kimloại.............................................................37
2.4. Photon: Những bức xạ cân bằng............................................................ 42
Kết luận chương 2 .....................................................................................................44
CHƯƠNG 3: MỘT SÓ BÀI TẬP VỀ KHÍ LÝ TƯỞNG......................................45
3.1 Bài tập về khí lý tưởng cổ điển...............................................................45
3.2 Bài tập về khí lý tưởng lượng tử .............................................................48

Ket luận chương 3 .....................................................................................................54

c. KẾT LUẬN.......................................................................................................55
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................56


A. PHẦN MỞ ĐÀU

1.Lí do chọn đề tài
Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật
lý. Dựa trên nền tảng mô hình vật lý các nhà khoa học xây dựng các thuyết vật
lý. Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh vực,
một phạm vi vật lý nhất định. Dựa trên một mô hình vật lý tưởng tượng , các
nhà vật lý lý thuyết bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học
đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật lý dùng làm
cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra các khả năng
tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Đe biết được cấu
tạo của các phân tử tạo nên vật chất qua đó giải thích được nhung tính chất vĩ
mô của chúng liên quan đến sự chuyển động của các phân tử, chúng ta phải
nghiên cún các trạng thái khác nhau ( khí, rắn, lỏng ) của vật chất. Muốn nghiên
cún được chúng thì ta phải xuất phát từ việc nghiên cún các trạng thái có tính
chất đơn giản nhất sau đó mới đi đến các trạng thái phức tạp hơn. Các trạng thái
rắn, lỏng, khí có tính chất khác nhau. Trong đó trạng thái khí của vật chất là đơn
giản hơn cả, nhưng để đơn giản hơn người ta đã đưa ra mô hình khí lý tưởng.
Dựa vào nghiên cứu mô hình này có thể mở rộng thêm cho các khí loãng, khí
thực, chất lỏng, chất rắn.
Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học giúp chúng ta có cái nhìn tổng
quát và sâu sắc hơn các vấn đề từ vi mô đến vĩ mô và áp dụng phương pháp
thống kê ta có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác. Như vậy
việc tìm hiểu về khí lý tưởng trong vật lý thống kê là rất cần thiết. Vì vậy em

chọn đề tài “ Nghiên cứu mô hình khí lý tưởng trong yật lý thống kê ”.
2. Mục đích, nhiệm yụ của đề tài
- Nắm được các khái niệm về khí lý tưởng.

1


- Đưa ra được các phân bố thống kê cổ điển về khí lý tưởng,đưa ra được
các hàm phân bố từ đó tính được năng lượng và một số đại lượng nhiệt động của
khí lý tưởng.
- Đưa ra được các phân bố thống kê về khí lý tưởng: Khí Fermi, khí Bose,
từ đó được năng lượng và nhiệt dung của các khối khí đó.
- Vận dụng giải một số bài tập về khí lý tưởng.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các hàm phân bố thống kê.
4. Phạm vi nghiên cứu
Các hàm phân bố thống kê cho khí lý tưởng.
5. Phưong pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cún vật lí lý thuyết.Đọc và tra cún tài liệu.
- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và phương pháp toán trong vật lý.

2


B.NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: KHÍ LÝ TƯỞNG THEO QUAN ĐIẺM CỎ ĐIỂN

1.1 Mô hình về khí lý tưỏng
1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng
Đe vận dụng thuyết động học phân tử vào việc nghiên cứu các tính chất của

chất khí. Trước hết cần phải hiểu rõ cấu tạo phân tử của chất khí, bỏ qua những
yếu tố thứ yếu không ảnh hưởng rõ rệt đến tính chất của chất khí. Xuất phát từ
quan niệm này đã xây dựng một mẫu khí bao gồm nhũng đặc điểm cơ bản của
chất khí gọi là mẫu khí lý tưởng. [5]
- Trong một thể tích vĩ mô của khí lý tưởng có chứa một số rất lớn phân tử,
có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách trung bình giữa các phân tử, các phân
tử chuyển động hỗn loạn không ngừng .
- Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm vì vậy giữa hai
va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyến động tự do nghĩa là chuyển động thắng
đều.Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy
luật va chạm đàn hồi.
Ớ đây chúng ta chỉ xét khí lý tưởng ở trạng thái cân bằng nhiệt nghĩa là coi
nhiệt độ và áp suất ở mọi chỗ trong chất khí đều bằng nhau và không đổi, do đó
tron g chất khí không xuất hiện những dòng khí gây đối lun hoặc chênh lệch do
áp suất.
Nhờ mẫu khí lý tưởng này bằng việc đon giản hóa sự chuyển động của các
phân tử trong chất khí rất thuận tiện trong việc tính toán định lượng giữa các đại
lượng đặc trưng cho tính chất của chất khí như: Áp suất, nhiệt độ, phương trình
trạng thái, các hiện tượng truyền, hệ số khuếch tán, hệ số dẫn nhiệt, độ ma
sát,...nhưng nhờ những kết quả thu được dựa trên sự đơn giản hóa này chỉ gần
đúng và chỉ phản ánh được những nét cơ bản nhất của chất khí. Khi ở nhiệt độ

3


thấp và áp suất cao mẫu khí lý tưởng không dùng được cho việc tính toán trên vì
lúc này phải xét đến lực tương tác giữa các hạt trong khí ( các phân tử hay
nguyên tử ) có ảnh hưởng đáng kể trong các tính chất của khí.
1.1.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng
Thông số trạng thái: Áp suất, nhiệt độ, thể tích được gọi là các thông số

trạng thái của chất khí, chúng không hoàn toàn độc lập với nhau. Theo tiên đề 3
của nhiệt động lực học ( thông số nội là hàm của các thông số ngoại và nhiệt độ)
. Phương trình nêu lên mối liên hệ giữa 3 thông số: áp suất, nhiệt độ và thể tích
của một khối khí xác định gọi là phương trình trạng thái có dạng tổng quát sau:
p = f(V ,T ) [5]
Đối với khí lý tưởng phương trình trạng thái của một khối khí chứa N phân
tử trong thể tích V sẽ là p = nkT
Với n = —

=> PV = NkT

(*)

Với k là hằng số Boltzman
M

Sô phân tử khí N của khôi khí được xác định N = — N 0
ự
Với M là khối lượng của chất khí
là khối lượng của

1

mol khối khí

N ữ là số Avogradro N 0= 6,02.1026 kmol’1
=> Phương trình trạng thái của khí lý tưởng
p V = — N 0k T = — R T

(1.1)

Đây là phương trình Clapâyrôn - Menđelêep
Trong đó R = N0k = 6,02.1 o26.1,38.10"23 = 8,31.1 o 3 J/ kmol.độ là hằng số
khí

* Đối với lkmol khí thì phương trình trạng thái có dạng
pVo = RT

4


Trong đó Vo là thể tích của

1

kmol khí

Từ phương trình trạng thái của khí lý tưởng ta có thể dễ dàng suy ra các định
luật quy định tính chất của các khí gọi là các định luật của khí lý tưởng. Sau khi
so sánh các kết quả lý thuyết với các kết quả thu được do thực nghiệm ta thấy
hai kết quả này trùng nhau
- Định luật Bôilơ - Mariốt ( định luật về tính chất đẳng nhiệt của khí lý
tưởng ) nêu lên mối tương quan giữa áp suất p và thể tích V của một khối khí
xác định. Khi nhiệt độ T không đổi ta có pV = const được gọi là phương trình
đẳng nhiệt
+ Định luật Bôilơ - Mariốt có tính chất gần đúng nó chỉ khá chính xác với
đa số chất khí ở nhiệt độ gần với nhiệt độ thường trong phòng và chịu áp suất
không khác xa với áp suất khí quyến lắm. Ớ áp suất cao của chất khí ít chịu nén
hơn so với định luật Bôilơ - Mariốt. Khi áp suất tăng các kết quả thu được từ
thực nghiệm của tích pV không còn là hằng số nữa mà có những sai lệch.

Nguyên nhân của những sai lệch là vì định luật Bôilơ - Mariốt được thành lập
trên cơ sở tính toán định lượng theo thuyết động học phân tử của khí lý tưởng,
nghĩa là không xét đến sự tương tác giữa các phân tử , nhưng ở áp suất cao thì
không thể không chú ý đến ảnh hưởng của sự tương tác này.
- Định luật Sáclơ
Định luật xét đến trường hợp của thể tích của một khối lượng khí xác định
được giữ không đổi và nêu lên mối tương quan giữa áp suất và nhiệt độ.
Từ phương trình trạng thái của khí lý tưởng
P V = M -R T

Khi v = const

=>-¥- =
= c o n s t đươc goi là phương trình đẳng
T
JLl V'

tích và biểu thị định luật Sác lơ

5


Gọi P 0 là áp suất của 1 khối khí xác định ở nhiệt độ to=0°C ( T=273°K ). Khi
biến đổi đẳng tích tới áp suất p và nhiệt độ T
Tl _/l
Ta có

p = Po
.
=>

T
T

7— =

„ = Po T _ p „ ơ + 2 7 3 )
J = -------- ——----T
273

= > p = p 0 ( \ + ccp t )

Trong đó a p = —

gọi là hệ số nhiệt biến đổi áp suất đẳng tích của khí

- Định luật Gay - Luytxac xét trường họp áp suất của một khối lượng khí
cho trước được giữ không đổi và nêu lên mối tương quan giữa thể tích và nhiệt
độ.
Từ phương trình trạng thái

Khi p = const

p V = ---- R T
ụ

V
M R
=> — = — — = const
T

JLl p

=>V=Voạ + a vt)
Trong đó av = ——gọi là hệ số giãn đẳng áp của khí
Định luật Sác lơ và định luật Gay - Luytxac cũng chỉ mang tính gần đúng
như định luật Bôi lơ - Mariốt
- Định luật Đantôn : Xét áp suất của một hỗn họp khí
Giả sử trong một bình thế tích V có chứa một hỗn hợp gồm N 1, N 2, N 3 ...là
số phân tử của các khí thành phần tương ứng của hỗn họp
Phương trình trạng thái : pV = ( Ni+N 2+N3+....)kT
Trong đó N 1+N 2+N 3+ ... .= N là tổng số phân tử khí trong bình
=> Áp suất của hỗn họp khí là
N
N
N
P = ^ k T + ^ k T + ^ k T + ....
V
V
V
p = p, + P2 + P 3 +...

6


Với pi , p2 , p 3 ,...là những áp suất riêng phần của các khí thành phần của
hỗn họp
Nội dung của định luật Đantôn là áp suất của một hỗn hợp khí bằng tổng các
áp suất riêng phần của các khí thành phần tạo nên hỗn họp.
Vì định luật này được thiết lập dựa vào phương trình trạng thái của khí lý
tưởng nên cũng có tính chất gần đúng đối với các hỗn họp khí thực. Trong khí lý

tưởng giữa các phân tử không còn tương tác, các phân từ “không biết” đến sự
tồn tại của các phân tử khác.
Như vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tưởng để thành lập các
định luật quy định tính chất của k h í. Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và
thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tưởng là chất khí tuân theo chính xác
các định luật Bôilơ - Mariốt
1.1.3. Mối liên hệ giữa khỉ lý tưởng với k h í thực.
Phương trình trạng thái khí lý tưởng có dạng:
2—

pv2

p - £— = - e,
3
3
Trong đó €đ là mật độ động năng trung bình

Việc so sánh phương trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép
đưa vào đối với khí lý tưởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối
là thước đo động năng trung bình của h ạ t)
mv 2

—

2

3o

= —k T

2

Sau khi đưa vào khí lý tưởng khái niệm nhiệt độ ta tìm được phương trình
trạng thái cho khí lý tưởng dưới dạng Clapâyrôn - Menđêlêép [3]
pV = kTN đối với N hạt trong thế tích V
Vậy khí thực nào tuân theo phương trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép
có thể coi như là khí lý tưởng

7


Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lý tưởng khi chúng càng
loãng. Ở những nhiệt độ và áp suất nhất định tất cả các khí thực có thể xem như
khí lý tưởng. Muốn vậy khí thực cần phải loãng đến mức xác suất va chạm đồng
thời của ba phân tử phải nhỏ hơn rất nhiều so với xác suất va chạm của hai phân
tử
Các phân tử khí thực khác về căn bản các hạt của khí lý tưởng, các phân tử
thực không phải luôn luôn là tuyệt đối đàn hồi chúng tương tác với nhau không
chỉ là do va chạm trục tiếp , thế tương tác của chúng có dạng rất phức tạp
Ở trường hợp riêng biệt, sự khác nhau giữa các phân tử thực với các hạt của
khí lý tưởng không phải là căn bản.Ví dụ như: ở nhiệt độ không quá ca ova
chạm giữa các phân tử với thành bình sẽ đàn hồi, trong các chất khí quá đặc
khoảng cách giữa các phân tử lớn hơn bán kính tác dụng của lực phân tử gấp
nhiều lần, vì vậy tương tác giữa các phân tử là nhỏ không đáng kể. Trong trường
họp đó khí thực có tính chất như khí lý tưởng
Khi mật độ và áp suất tăng lên và khi nhiệt độ giảm đi các tính chat scuar
khí thực sẽ khác với các tính chất của khí lý tưởng mà ta khảo sát. Các khí thực
sẽ không còn tuân theo phương trình Clapâyrôn - Menđêlêép nữa mà tuân theo
các phương trình trạng thái khác.
1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cồ điển.

Các hàm phân bố trong vật lý thống kê thường được giới hạn xét các hệ hạt
có số hạt rất lớn và bỏ qua tương tác giữa các hạt với nhau, xem chúng như các
hạt tự do. Như vậy chúng ta có thế coi hệ các hạt trong vật lý thống kê là các
“khí lý tưởng” và trong hệ nhiều hạt có thể biểu hiện quy luật tính thống kê. Đe
tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của
thông số vĩ mô ) Gibbs đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng gọi là phương pháp
Gipxơ. Cơ sở của phương pháp này là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã
cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương ứng với các hệ
đã cho.

8


Dựa vào phân bố Gipxơ chúng ta sẽ tìm lại được các phương trình trạng thái và
các đại lượng nhiệt động học như: Entropy, nhiệt dung đẳng tích ,... của khí lý
tưởng.
Xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt (tecmoxta).
Theo quan điểm vi mô hệ điều nhiệt này là một hệ cơ học nhưng có số bậc tự do
rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn khảo sát rất nhiều. [3]
Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát là Cl và hệ điều nhiệt là с 2 có các số hạt
tương ứng là X] và x 2, đồng thời N ] » N 2
Ta có thể coi hệ bao gồm 2 hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt vì vậy đối với
hệ chung đó ta có phân bố chính tắc
a* X l, X 2) = - ± - S { E - H ( X l, X 2)}
ÍÌ(E)
Trong đó H(XbX2) = H(X,) + H(X2) + Ư 12(X, x 2)

(1.2)
(1.3)

Ui2(Xi x 2) là năng lượng tương tác giữa các hạt của hai hệ mà ta có thể
bỏ qua
Hàm phân bố của hệ mà ta xét с ị được tính theo công thức

й*х,)=(

л2)

cữ(Xn X 2) dX2

( 1 .4 )

Đe tìm (ớ{Xx)trong trường hợp tổng quát ta dựa vào giả thiết sau:
Ta coi rằng Hị(Xi) « E
Tức là ta chỉ xét những trạng thái của hệ mà ở đó năng lượng của hệ là rất
nhỏ so với năng lượng toàn phần của hệ điều nhiệt
Để tìm ứ>(X,)ta tiến hành như sau. Ta chia hệ mà ta muốn khảo sát Cl ra làm
hai phần С 1 và С 1. Các hàm phân bố (ư{Xx') và co(Xì")đối với hai hệ con đó sẽ
phụ thuộc vào năng lượng toàn phần của từng hệ con

<а(Х 1') = /{ [ Я 1'( Х 1'))}

9


Năng lượng toàn phần của hệ đẳng nhiệt mà ta khỏa sát bằng tổng các năng
lượng toàn phần của cả hai hệ con và năng lượng tương tác giữa chúng
h ì ( x ì) = h ; ( x ; ) + h ì\ x ì' ) + u ì2

Neu các hệ con C] và Cl là đủ lớn thì ta có thể coi năng lượng tương tác

Ư 12 giữa hai hệ con là 1'ất nhỏ so với năng lượng toàn phần của các hệ con Hị
và H| nghĩa là

Do đó ta có thể coi hai hệ con đó độc lập với nhau và có thể vận dụng định lí
nhân xác suất
Ta có / { н , ‘ + H " , ] d X l d X l ' = f ( H t ) d X ^ ( H t' ) dX ",
Hay
- Lấy logarit 2 vế ta có
\ п / { н ^ +H, ' ) +\ ndXj +\ndx, ' = ì n f ( H Ì ) + \ndX,'

=> ln /Ị#, + # , j = ln/ ( # , ) + ln /(Я,")
- Lấy vi phân 2 vế ta có
ỂHn / Ị t t , + Я , " Ị = J l n / ( # , ) + đ l n / ( t f "i)

Ịin/(//1'+ //1")Ị(dff,l +Coi rang dH] , dHi có thể tiến đến 0 một cách độc lập
Ta tìm được [ln / ( « ; + fí, ")] = [ln / ( « ,') ] + [ln/ ( # , ) ] = - ß

(1.5)

Trong đó ß là một hằng số nào đó vì các đạo hàm của một hàm số với các
đối số khác nhau chỉ có thế bằng nhau khi chúng là hằng số
Ta đặt dấu “ - ” trước ß để cho thuận tiện khi xét điềukiện chuẩn hóa của
hàm phân bố
Lấy tích phân đắng thức (1.5) ta có
f { H ) = Dexp{-ßH}

10

Từ điều kiện vật lý khi chuẩn hóa, ß là số dương
Đặt ß = —, D = exp Щ

với 0>o

Ta có

/ ( t f ) = exp j ^ p - j

Dođó

w(X|) = е х р |^ ~ ^ |

( 1.6 )

(1.7)

Với 0, ụr là hằng số
Bởi vì sau này ta không cần xét sự điều nhiệt c 2 và ta chỉ cần nghiên cún hệ
Cl mà ta phải khảo sát nên ta không cần viết chỉ số

1

Khi đó (1.7) có dạng
/v ,_
\у /{ в ,а )-Н { Х ,а )\
co(X) = expịi-----------ị----------V

(1.8)

(1.8) được gọi là phân bố chính tắc Gipxơ
Thông số ự được gọi là môđun của phân bố chính tắc
Ц/ được xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố
у /{в л )-Н { Х ,а )

*

h i r \

0

= > e x p { ^ ■|=
j = JJ ee xx ppỊ №
J

(X )

IX =1

-> W

L

Lấy logarit 2 vế ta có
- w ( 0 ,a )

_ 1

j

Ị-H (X ,a )

=>у/(в,а) = - в In I exp I —

IX

jdx

11

(1.9)


Ụ/(X) = -Ữ\n Z(ỡ,a)

( 1. 10)
( 1 . 1 0 ) được gọi là tích phân trạng thái (hay tích phân thống kê)
Tích phân trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của một hệ, vì phép tích phân
được thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ. Nói cách khác, z là hàm
trạng thái và phụ thuộc vào a và

0

Neu hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau thì các phép chuyển vị khác nhau của
các hạt đó sẽ không đưa đến một trạng thái vi mô mới nào đó, mặc dù chúng sẽ
được biểu diễn bằng các điểm khác nhau của một không gian pha. Vì vậy đối
với các hệ gồm các hạt đồng nhất như nhau ta cần phải loại trù’ tất cả các điểm
của không gian pha tương ứng với các phép chuyển vị khác nhau của các hạt.
Bởi vì, với N hạt có thể thực hiện N! phép chuyển vị, cho nên không gian
pha của một hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau phải giảm đi N! lần. Khi đó phân

bố chính tắc được viết dưới dạng

Thiết lập phương trình cơ bản của hệ nhiệt động lực học dựa vào phân bố
chính tắc
Từ điều kiện chuẩn hóa.

Lấy vi phân hai vế theo ak

= > ( X)
J ổ
^ exp
u u k

12


1 f Õ y/ __
= > ^ J p exp
0 ấ ) õak
L

W
J

<9

_ i f ^ exp| ^ Ị = o
ớ^aa,
ớ /

Theo định nghĩa của trị trung bình ta có
ÕH

r ạ"

{

^

F1

Từ đó =>

u

ớ

J

=

^ a//^
\ dak J 0

( õự/ ^
\ ÕakJg

Đạo hàm cơ năng của hệ theo thông số ngoại chính là lực suy rộng với
dấu( - )

( 1.12)

= -A ,
\ da«Je
Từ điều kiện chuẩn hóa
J (D(X ) d ( X ) = J cxp ụ/
(X )

(X )

dX = 1
V

Lấy đạo hàm theo 0 có:
dO

J ex p
(X)

ị —----— \dx
e
L

= > J dO e x p
(*)

=>J
(.X)

ụ/ - H

o

=o

'X = 0

3 ụ/ - (y/ - H )
ÕO
exp \ —----— \-dX = o
e-

Bởi VÌ 0 và ụ/ không phụ thuộc vào X nên
e\f õ y/
V d 6 )a
Ta đi tính biểu thức d H +

y/ — H
Akda

k

13

(1.13)
(1.14)


Thay (1.12) và (1.13) vào (1.14)

k

àO )

k

(1.15)

So sánh với phương trình cơ bản của nhiệt động lực học
TdS = d u +

Aịdciị
ì

Ta nhận thấy rằng vế phải của hai phương trình hoàn toàn tương tự với nhau,
vì trong vế phải của hai phương trình đều có độ biến thiên năng lượng của hệ và
tổng các công nguyên tố đã được thực hiện. Tuy nhiên trong vật lý thống kê khái
niệm năng lượng được hiểu chính xác hơn, bởi vì thay thế cho hàm năng lượng
E ta dùng trị trung bình H của năng lượng của hệ, mặc dù đối với hệ vĩ mô hai
giá trị trên thực tế là trùng nhau. Hon nữa các lực suy rộng Ak trong nhiệt động
lực học cũng được thay thế bằng trị trung bình Ak của các lực. Sự giống nhau
của vế phải của hai phương trình cho phép ta xét sự tương tự của vế trái của
chúng. Thay cho nhiệt độ tuyệt đối T trong phương trình thống kê (1.15) ta có
nhiệt độ thống kê 0. Ta sẽ có sự hoàn toàn tương tự nhau của hai phương trình
'
í ri \
đó nếu như ta công nhận rằng vi phân d
là đại lượng tương tự của vi
phân dS của entropi nhiệt động lực học

14


õụ/ _ H —y/
~ÕÕ=
0

( 1.16)

=>ụ/ = H —0.S

(1.17)

So sánh các phương trình (1.12), (1.13), (1.16), (1.17) với các phương trình
của nhiệt động lực học:
ư —T S = F

Ta thấy rằng thông số ụ/cỏ ý nghĩa của năng lượng tự do F và phương trình
(1.13) phương trình Gipxơ - Hemhônxơ. Từ đây ta suy ra hệ thức giữa entropi
nhiệt động lực học

Hay

s. Với 0 = kT

s =—
k

Những kết quả trên đây là hết sức quan trọng.Thực vậy, dựa vào quan niệm
cấu trúc hạt của hệ vĩ mô và áp dụng phương pháp thống kê, ta đã suy ra được

phương trình cơ bản của nhiệt động lực học. Không những như vậy mà còn tìm
ra được đại lượng tương tự thống kê của hàm nhiệt quan trọng là entropi, nội
năng và năng lượng tự do của hệ.
Ta đã nghiên cún phân bố chính tắc đối với hệ nằm tiếp xúc và có thế trao
đổi năng lượng với điều nhiệt.Nhưng ta đã biết trong vật lý còn có những hệ
trong đó không những năng lượng biến đổi mà ngay cả số hạt trong hệ có thể
thay đồi, đó là hệ có số hạt thay đối. Đối với hệ có số hạt thay đối, trong nhiệt
động lực học người ta đưa vào thế hóa học |i biểu thị qua năng lượng tự do ụ/ .

15


( dy/^\
Ju = T7T

( 1.18)

VỠ N ) V T

Lấy tích phân không định hạn N ta suy ra
ụr = juM + £1{jli, V , t )

(1.19)

Trong đó Q là thế nhiệt động mới
Ở một thời điểm nào đó, hệ có số hạt thay đổi chứa nột số hạt nhất định.
Nhưng tại thời điểm này tiếp sau số hạt này trong hệ sẽ thay đổi.
Ta biết rằng một hệ có số hạt nhất định N các hạt đồng nhất như nhau sẽ
nghiệm đúng phân bố chính tắc, cụ thế là sự phân bố của hệ có dạng

( 1.20)

Đối với hệ có số hạt thay đổi

( 1.21)
Xác định phân bố ta phải tìm đối với hệ có số hạt thay đổi. Phân bố đó được
gọi là phân bố chính tắc Gipxơ, n ( |U,V,T) là thế nhiệt động lớn.
Điều kiện chuẩn hóa ta lấy tích phân trên theo các biến số vi mô X (còn gọi
là biến số pha) của tập họp chính tắc và lấy tổng theo toàn bộ các tập chính tắc
tạo thành tập họp chính tắc lớn hơn nghĩa là

( 1.22)

16


*

Đối với hệ có số hạt thay đổi trị trung bình của một đại lượng bất kỳ

F(N,X) được xác định theo công thức
^ = ẳ ~ í F (N ’x )exp | ° + /jN ~ H ]dX
kT
r

n
C-23)

Bởi vì thế nhiệt động lớn Q không phụ thuộc vào các biến số pha X và số hạt
N, cho nên đẳng thức (1.21) có thể viết dưới dạng

w J,exp{ - # h = 1
Dođó: n = - m n |

exp{

^

(í expf ể

o-24)
b

(1.25)

Lấy đạo hàm riêng của thế nhiệt động Q có
íf ì
\ ơỉ Jv,M

= i ( Q + /^
1

) =i ( ^ )
1

l Sịl)v.T
Đối với phân bố chính tắc lớn ta có

z = Y e x p ị ^ - Ị — f e x p j-— w
h

1 k T ) N \ ,ỉ, H1 kTị
sẽ đóng vai trò tích phân trạng thái
1.3. Khảo sát hệ khí lý tưởng bằng phân bố Gibbs cỗ điển.
a.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động
Biểu thức liên hệ giữa năng lượng tự do của hệ với tích phân trạng thái Z:

17


lự = —k T \ n z

(1.26)

Từ đó chúng ta có thể biểu diễn các thông số nhiệt động và hàm nhiệt động
bất kỳ của hệ theo tích phân trạng thái z, điều đó cho phép ta xác định nhiều
tính chất của hệ nhiệt động. Việc tìm lại các hệ thức nhiệt động và tính các hàm
nhiệt động lực học thống kê
Đầu tiên ta hãy tìm áp suất p được xác định qua năng lượng tự do ¥ theo
công thức:
(1.27)
Áp dụng công thức (1.26) ta thu được:
(1.28)
Đó là phương trình trạng thái của hệ.Vì vế phải của (1.28) phụ thuộc vào V
và T.Ta có thể viết lại phương trình trạng thái của (1.28) dưới dạng sau
Nhân 2 vế của đẳng thức với V ta được:
/

\

PV = kTV

(1.29)
Từ phương trình Gipxơ - Hemhônxơ:
y/ = ~ H - e s
Ta tìm được nội năng U:

(1.30)

18


Tương tự ta có thể tính các hàm nhiệt động khác:
* Thế nhiệt động Gipxơ
ộ = Ụ/ + p V
Với V =-kT\nZ

P = -\

dy/
ÕV

= kT

õ ìn Z
ÔV

=> ộ = —kT\n z + kTV

=>ộ = k T

íõ\nZ
ô \n V

ỡln z

dv

-ỉnZ

Với z là tích phân trạng thái ^

í exp|

* Biểu thức của Entropi theo tích phân trạng thái
Theo phân bố chính tắc thì tích phân trạng thái có dạng:

-

í -

Ta có

s--

m

-

ồy/
d T jv

ộ = —ln {6, à )
=> s = — ỡ\nZ{ỡ,a) = — [kT\nZ(ỡ,a)]

ÔT

=> s —k ln z + k T

ÕT

õìnZ
ÕT

* Tìm biểu thức Entanpi theo tích phân trạng thái
Ta có Entanpi
H = ệ +TS
= kT

ỡln z
- l n Z + kT ln Z + T
d\nV
V

19


=>H = k

õìnZ

õ\nZ^

---------h T ----- —
d \n V
ổln t )

Như vậy tất cả các hàm nhiệt động có thể biểu thị theo tích phân trạng thái

z. Nhưng thực tế dù có biết được hàm phân bố trong không gian pha thì việc
tính tích phân trạng thái cũng tương đối khó vì z được xác định bằng một biểu
thức phức tạp [3]

Vì vậy trong trường họp tổng quát việc tính tích phân trạng thái là rất phức
tạp
b.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khỉ lý tưởng
Áp dụng hàm phân bố chính tắc

Chúng ta hãy đi tính một số hàm nhiệt động của khí lý tưởng.
Để tính tích phân trạng thái z ta cần biết hàm Hamintơn H.Đối với khí lý
tưởng hàm Hamintơn bằng tổng của các năng lượng của các hạt riêng lẻ nghĩa
(1.31)

y

Trong đó Uk(X) biểu thị thế năng của hạt thứ k mà chúng ta đưa vào xuất
phát từ lập luận sau đây: Các hạt của khí lý tưởng có thể chuyển động hoàn toàn
tùy ý bên trong bình có thê tích V nhung chúng không thê ra khỏi giới hạn của
bình. Điều đó tương đương với giả thuyết là ở bên trong bình các hạt có thế
năng vô cùng lớn.

20