Cơ sở Groebner và chứng minh định lý hình học bằng máy tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI ĐỨC THẮNG

CƠ SỞ GROEBNER VÀ CHỨNG MINH
ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI ĐỨC THẮNG

CƠ SỞ GROEBNER VÀ CHỨNG MINH
ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Danh Nam

THÁI NGUYÊN, 2015

Công trình đƣợc hoàn thành tại
Trƣờng Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Danh Nam

Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Việt Hải

Phản biện 2: PGS.TS. Trịnh Thanh Hải

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trƣờng Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên
Ngày 31 tháng 5 năm 2015

Có thể tìm hiểu tại:
Thƣ viện Trƣờng Đại học Khoa học và
Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

0


MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC .................................................................................................................. 1
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ GROEBNER ......................................................................... 4
1.1. Thứ tự từ .............................................................................................................. 5
1.2. Iđêan khởi đầu và cơ sở Groebner . ..................................................................... 6
1.3. Định lý Hilbert về không điểm .........................................................................10
CHƢƠNG 2: PHẦN MỀM MAPLE VÀ GÓI LỆNH GEOPROVER .............. 12
2.1. Phần mềm Maple ..............................................................................................12

2.2. Gói câu lệnh GeoProver ....................................................................................13
CHƢƠNG 3: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH ..... 16
3.1. Đại số hóa giả thiết và kết luận của định lý ....................................................... 16
3.2. Quy trình chứng minh định lý hình học bằng máy tính ..................................... 20
3.3. Chứng minh một số định lý hình học ................................................................. 25
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 57

1


MỞ ĐẦU
Với sự phát triển nhanh chóng của công nghệ thông tin và truyền thông, các
phương tiện - thiết bị dạy học hiện đại đã và đang được sử dụng một cách có hiệu
quả trong giáo dục. Phần mềm dạy học là một trong những phương tiện dạy học hỗ
trợ giáo viên thực hiện được phần nào các ý tưởng sư phạm của mình. Maple là một
phần mềm toán học tạo ra một cách tiếp cận mới sinh động và sáng tạo. Ngoài các
câu lệnh có chức năng kiểm tra, tính toán, minh hoạ hình ảnh,…nó còn cho phép
các giáo viên có thể sử dụng ngôn ngữ lập trình của Maple để tạo các công cụ mới,
các gói câu lệnh mới. Vì thế, Maple có khả năng đầy đủ để giảng dạy và học tập từ
bậc phổ thông (các gói chức năng về đại số, số học, giải tích, hình học,…) lên đại
học (đại số tuyến tính, phương trình vi phân, hình học cao cấp, đại số hiện đại,…).
Xuất phát từ ý tưởng rằng có rất nhiều định lý hình học hoàn toàn được mô
tả bằng các khái niệm đại số bằng cách biểu diễn các hình hình học trong toạ độ
Đề-các vuông góc. Khi đó, hầu hết các hình hình học và biên của nó có thể xem là
tập không điểm của các đa thức, và các quan hệ giữa chúng đều có thể mô tả bằng
các phương trình đa thức cũng như tập không điểm phải xét trên trường số thực.
Như vậy, để kiểm tra tính đúng - sai của một giả thuyết hay một định lý hình học
nào đó hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ những kết quả quan trọng liên quan
đến khái niệm cơ sở Groebner được nhà toán học Bruno Buchberger đưa ra năm

1965 trong luận án phó tiến sĩ của mình.
Tính toán hình thức hay còn gọi là Đại số máy tính, xuất hiện khoảng ba
chục năm nay và gần đây trở thành một chuyên ngành độc lập. Đây là một chuyên
ngành kết hợp chặt chẽ toán học và khoa học máy tính. Nó được ra đời dưới ảnh
hưởng của sự phát triển và phổ cập máy tính cá nhân. Một mặt, sự phát triển này
đòi hỏi phải xây dựng các lý thuyết toán học làm cơ sở cho việc thiết lập thuật toán
và các phần mềm toán học. Mặt khác, khả năng tính toán mỗi ngày một tăng của
máy tính giúp triển khai tính toán thực sự nhiều thuật toán. Sự phát triển của Đại số
máy tính cũng có tác dụng tích cực trở lại trong nghiên cứu toán học lý thuyết.

2


Nhiều kết quả lý thuyết đã được phán đoán hoặc có được phản ví dụ nhờ sử dụng
máy tính.
Hầu hết những vấn đề mà lý thuyết cơ sở Groebner cho lời giải bằng thuật
toán đã được biết trước đó, đó là tính giải được. Tuy nhiên giữa việc chứng minh
tính giải được và thực hiện tính toán trên thực tế là khoảng cách lớn. Hơn nữa,
nhiều đối tượng trong các ngành khá trừu tượng như Đại số giao hoán và Hình học
đại số có thể tính toán thông qua cơ sở Groebner chứng tỏ có một tầm quan trọng
của lý thuyết này.
Mục đích của luận văn là giới thiệu thuật toán tính cơ sở Groebner cho các
Iđêan đa thức, để trình bày một số ứng dụng của lý thuyết cơ sở Groebner trong
tính toán hình thức bằng máy tính là Đại số giao hoán và Hình học đại số. Hiện
nay, có nhiều phần mềm xử lý toán học như Maple, Macaulay, CoCoA ... để phục
vụ cho việc tính toán. Nhưng luận văn này chọn phần mềm Maple để trình bày cách
đại số hóa bài toán hình học và chứng minh định lý hình học bằng máy tính. Tuy
nhiên, nếu chỉ đơn thuần sử dụng gói công cụ Groebner của Maple thì giáo viên
nhiều khi khó thực hiện được kịch bản sư phạm của mình. Giải pháp cho vấn đề
này là giáo viên sử dụng ngôn ngữ lập trình của Maple để xây dựng các gói công cụ

phù hợp. Do đó, chúng tôi đã xây dựng gói GeoProver để hỗ trợ chứng minh một
số định lý hình học sơ cấp.

3


Chƣơng 1
CƠ SỞ GROEBNER
Khái niệm cơ sở Groebner ra đời trong những năm 1970 để giải quyết bài
toán chia đa thức. Sau hơn 20 năm khái niệm này đã có những ứng dụng to lớn
trong nhiều chuyên ngành toán học khác nhau từ Đại số đến Hình học, Tô pô, Tổ
hợp và Tối ưu [9].
Việc sử dụng các hệ đa thức giống như cơ sở Groebner đã xuất hiện từ đầu
thế kỉ này với các công trình của Gordan, Macaulay, Hilbert. Người đầu tiên thấy
được tầm quan trọng của thuật toán chia là nhà toán học người Áo Broebner. Ông
đã đặt vấn đề tính cơ sở Groebner làm một đề tài luận án phó tiến sĩ cho học trò của
ông là Buchberger. Năm 1970, Buchberger tìm thấy một thuật toán hữu hiệu để tính
cơ sở Groebner. Sau này người ta mới phát hiện ra rằng Groebner đã biết những nét
cơ bản của thuật toán này từ những năm 50. Cùng thời gian này cũng xuất hiện
những kĩ thuật tương tự giống như thuật toán chia trong các công trình của
Hironaka về giải kì dị, của Grauert trong Giải tích phức và của Cohn trong Lý
thuyết vành không giao hoán [9].
Cơ sở Groebner được nghiên cứu đúng thời kì máy tính cá nhân ra đời và bắt
đầu trở nên phổ cập. Ngay lập tức người ta thấy rằng có thể lập trình thuật toán chia
để giải quyết các bài toán với các biến số mà ngày nay được gọi là tính toán hình
thức (symbol computation). Bản thân thuật toán chia đã chứa đựng những thuận lợi
cơ bản cho việc lập trình như:
(1) Việc sắp xếp thứ tự các hạng tử của một đa thức cho phép ta biểu diễn
một đa thức như một véc-tơ các hệ số và do đó ta có thể đưa dữ liệu về các đa thức
vào trong máy tính một cách dễ dàng.

(2) Việc xét hạng tử lớn nhất của các đa thức cho phép máy tính chỉ cần thử
tọa độ đầu tiên của các véc-tơ tương ứng.
Về mặt lý thuyết khái niệm cơ sở Groebner cũng đưa ra những phương pháp
và vấn đề nghiên cứu mới. Trước tiên, người ta thấy rằng nhiều khi chỉ cần xét tập
hợp các hạng tử đầu của cơ sở Groebner là đủ để có các thông tin cần thiết về hệ đa
4


thức ban đầu. Có thể thay các hạng tử này bằng các đơn thức nên thực chất là ta
phải xét một số hữu hạn các bộ số tự nhiên ứng với các số mũ của các biến trong
đơn thức. Ta có thể coi các bộ số tự nhiên này như những điểm nguyên là các điểm
có tọa độ là các số nguyên. Vì vậy, nhiều bài toán Hình học và Đại số có thể quy về
việc xét các tính chất tổ hợp hay tô pô của một tập hợp hữu hạn các điểm nguyên.
Sau đây luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về cơ sở Groebner trước
khi đưa ra thuật toán để chứng minh định lý hình học.
1.1. THỨ TỰ TỪ
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Thứ tự từ  là một thứ tự toàn phần trên tập M tất cả các
đơn thức của vành K[x] thoả mãn các tính chất sau:
i) Với mọi m  M, 1  m.
ii) Nếu m1, m2, m  M mà m1  m2 thì mm1  mm2.
1.1.2. Một số thứ tự từ
Định nghĩa 1.2. Thứ tự từ điển là thứ tự








 le x

xác định như sau:

x1 1 ... x n n  le x x1 1 ... x n n

nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ

  1   1 , ...,  n

là một số âm. Nói cách khác, nếu tồn tại 0  i  n sao cho

 n 

 1   1 , ...,  n   n ,

nhưng  i  1

  i 1 .

Thứ tự từ điển tương tự như cách sắp xếp các từ trong từ điển, và do đó có
tên gọi như vậy.
Định nghĩa 1.3. Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự  g le x xác định như sau:








x 1 1 ... x n n  g le x x 1 1 ... x n n

nếu













và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ   1   1 , ...,  n
một số âm. Nói cách khác, x1 ... x n  g le x x 1 ... x n
n

1

hoặc

 1  ...   n   1  ...   n

1

n

nếu









nếu



 n 

là

 1  ...   n   1  ...   n

và x1 ... x n  le x x1 ... x n .
1

n

n

1

Định nghĩa 1.4. Thứ tự từ điển ngược là thứ tự
x1 1 ... x n n  r le x x1 1 ... x n n



d eg ( x1 1 ... x n n )  d eg ( x1 1 ... x n n ) hoặc d eg ( x1 1 ... x n n )  d eg ( x1 1 ... x n n )









d e g ( x1 1 ... x n n )  d e g ( x1 1 ... x n n )

5

hoặc

 r le x

xác định như sau:








d eg ( x1 1 ... x n n )  d eg ( x1 1 ... x n n )


và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên phải của véctơ   1   1 ,...,  n   n  là
một số dương. Nói cách khác, x1 ... x n  r le x x1 ... x n nếu  1  ...   n
n

1

hoặc  1

 ...  

nhưng  i

 i

n

  1  ...   n

n

1

và và tồn tại 1  i  n sao cho  n

  1  ...   n

  n , ...,  i  1   i  1

.

Thứ tự từ điển ngược được định nghĩa như theo sơ đồ của thứ tự từ điển phân
bậc, chứ không phải của thứ tự từ điển - một điều tưởng chừng không tự nhiên.
Thực ra việc so sánh bậc tổng thể trước trong trường hợp này là bắt buộc để đảm
bảo đơn thức 1 là nhỏ nhất.
Mệnh đề 1.1. Ba thứ tự kể trên là các thứ tự từ.
1.2. IĐÊAN KHỞI ĐẦU VÀ CƠ SỞ GROEBNER
1.2.1. Từ khởi đầu, đơn thức khởi đầu
Định nghĩa 1.5. Cho  là một thứ tự từ và f  R  K  x1 , ..., x n  . Từ khởi
đầu của

f

, kí hiệu là in   f  , là từ lớn nhất của đa thức

f

đối với thứ tự từ  .

Nếu in   f    x a , 0    K , thì lc   f    được gọi là hệ số đầu và
lm 

f

x

a

là đơn thức đầu của

f

đối với thứ tự từ  .

Nếu thứ tự từ  đã được ngầm hiểu, ta sẽ viết in  f  (tương ứng lc  f  ,
lm

 f  ) thay cho

in 

 f  (tương ứng

lc 

 f ,

lm 

 f  ).

Từ khởi đầu của đa thức 0 được xem là không xác định (có thể nhận giá trị
tuỳ ý).
Từ khởi đầu còn gọi là từ đầu hay từ đầu tiên. Như vậy nếu trong biểu diễn
chính tắc của đa thức

f

ta viết các từ theo thứ tự giảm dần, thì in  f  sẽ xuất hiện

đầu tiên. Đương nhiên cách viết này cũng như từ khởi đầu của
tự từ đã chọn.

6

f

phụ thuộc vào thứ


1.2.2. Iđêan khởi đầu và cơ sở Groebner
Định nghĩa 1.6. Cho I là iđêan của R và  là một thứ tự từ, Iđêan khởi đầu
của I, kí hiệu là in   I  , là iđêan của R sinh bởi các từ khởi đầu của các phần tử của
I, nghĩa là:
in   I





 in 

f

f  I



Cũng như trên ta sẽ viết in  I  thay vì in   I  nếu  đã rõ. Rõ ràng cũng có
in  I



 Im  f 

f  I



nên in  I  là iđêan đơn thức.

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xác định được iđêan khởi đầu in  I  của một
iđêan I cho trước. Cách tốt nhất là tìm một hệ sinh tối tiểu của nó. Tuy nhiên, mọi
iđêan đơn thức đều có một tập sinh đơn thức và tập đó hữu hạn. Do đó ta có thể đưa
vào khái niệm quan trọng sau đây:
Định nghĩa 1.7. Cho  là một thứ tự từ và I là iđêan của R. Tập hữu hạn các
đa thức khác không

g 1 , ..., g s  I

được gọi là một cơ sở Groebner của I đối với thứ

tự từ  , nếu:
in   I

Tập

g 1 , ..., g s  I

   in   g 1  , ..., in   g s  

được gọi là một cơ sở Groebner, nếu nó là cơ sở Groebner của

iđêan sinh bởi chính các phần tử này.
Mệnh đề 1.2. Cho I là một iđêan tuỳ ý của R. Nếu
Groebner của I đối với một thứ tự từ nào đó, thì

g 1 , ..., g s là

g 1 , ..., g s  I

là cơ sở

cơ sở của I.

Định nghĩa 1.8. Cơ sở Groebner rút gọn của iđêan I đối với một thứ tự từ đã
cho là một cơ sở Groebner G của I thoả mãn các tính chất sau:
i) lc  g   1 với mọi
ii) Với mọi
in  g '  | m

g G

g G

.

và mọi từ m của g không tồn tại

g '  G \  g  để

.

Mệnh đề 1.3. Cho I  0 . Khi đó đối với mỗi thứ tự từ, I có duy nhất một cơ
sở Groebner rút gọn. Mọi cơ sở Groebner rút gọn đều là cơ sở Groebner tối tiểu.
7


Định nghĩa 1.9. Cho I là iđêan của vành R. Tập hợp:
I  r  R n  N : r  I 
n

lập thành một iđêan. Iđêan này được gọi là căn của I.
Rõ ràng I 

I

. Nếu I 

I

thì I được gọi là một iđêan căn.

1.2.3. Một số tính chất của cơ sở Groebner
Cơ sở Groebner có một số tính chất sau:

(i) Cho I là một iđêan tuỳ ý của R. Nếu
với một thứ tự từ nào đó thì

g 1 , ..., g s

g 1 , ..., g s là

cơ sở Groebner của I đối

là cơ sở của iđêan I.

(ii) Cho  là một thứ tự từ. Khi đó mọi iđêan đều có cơ sở Groebner tối tiểu
và mọi cơ sở Groebner tối tiểu của cùng một iđêan đều chung số lượng phần tử và
chung tập từ khởi đầu.
(iii) Cho I  0 . Khi đó đối với mỗi thứ tự từ, I có duy nhất một cơ sở
Groebner rút gọn.
(iv) Cho trước s là một số nguyên dương. Khi đó tồn tại iđêan I sinh tối tiểu
bởi

f 1 , ..., f s

nhưng

in ( I )

thực sự chứa

( in ( f 1 ) , ..., in ( f s ) )

.

Định lý 1.1. Cho G  I là một cơ sở hữu hạn của iđêan I. Khi đó, G là cơ
sở Groebner của I nếu và chỉ nếu với mọi
g G

f  I

,

chia hết cho

in ( f )

in ( g )

với

nào đó.
Chứng minh. G là cơ sở Groebner của I 

(với G   g 1 , ..., g s  ). Cần chứng minh
với mọi

f  I

,

in ( f )

chia hết cho

Thuận: Với mọi

i n ( I )  ( i n ( g 1 ) , ..., i n ( g s ) ) .

in ( I )  ( in ( g 1 ) , ..., in ( g s ) )

i n ( g ) với g  I

khi và chỉ khi

nào đó.
s

f  I

, do I

 ( g 1 , ..., g s )

nên

f 



fi g i

.

i 1

Ta có
in ( g k )

in ( f )  in ( I )



in ( f )  ( in ( g 1 ) , ..., in ( g s ) )

với 1  k  s .

8



in ( f )

chia hết cho


Nghịch: Rõ ràng
thì

in ( f )

chia hết cho

( in ( g 1 ) , ..., in ( g s ) )  in ( I )

in ( g )

với

g I

. Với

nào đó 

f  R  K [x ] ,

*

in ( f )  in ( I )



.

kí hiệu M(f) là tập tất cả các

đơn thức của f. Cho  là một thứ tự từ trên M. Với
f  g  M ( f )  'M (g ) ,

, hay

in ( f )  ( in ( g 1 ) , ..., in ( g s ) )

in ( I )  ( in ( g 1 ) , ..., in ( g s ) )  in ( I )  ( in ( g 1 ) , ..., in ( g s ) )

Định lý 1.2. Với mỗi đa thức

f  I

f ,g  R

ta định nghĩa

nghĩa là:

- Nếu

M ( f )  M (g)

thì f  * g và g  * f .

- Nếu

M ( f )  M (g)

thì f  * g .

- Nếu

M ( f )  M (g)

, sắp xếp các đơn thức của

M (f )

và

M (g)

theo thứ tự

giảm dần. Tại cặp đơn thức khác nhau đầu tiên kể từ bên trái, đa thức nào có đơn thức
bé hơn thì bé hơn. Khi đó * là giả thứ tự tốt trên R và là mở rộng của giả thứ tự
trên tập các từ của R.
Chứng minh. Vì  là thứ tự từ nên nó là thứ tự tốt. Kiểm tra được * giả thứ
tự toàn phần. Cần chứng minh nó là giả thứ tự tốt. Giả sử nó không là giả thứ tự tốt suy
ra tồn tại tập A   gồm các đa thức trên R và A không có phần tử nhỏ nhất theo
giả thứ tự *.
Trên A: Gọi A1 là tập các đa thức có cùng đơn thức đầu bé nhất (điều này là
tồn tại do  là thứ tự tốt trên M).
Trên A1: Gọi A2 là tập các đa thức có cùng đơn thức thứ hai bé nhất (đa thức
được viết theo thứ tự giảm dần các đơn thức).
…
Trên An: Gọi An+1 là tập các đa thức có cùng đơn thức thứ n + 1 bé nhất.
Rõ ràng

A  A1  ...  A n  ...

Gọi mi là đơn thức thứ i của Ai , i = 1, 2, …

m 1  m 2  ...  m n  ...

Điều này mâu thuẫn với M(A) tập các đơn thức của các đa thức của A là có

phần tử nhỏ nhất.

9


Định lý 1.3. Cho I là iđêan của vành R = K[x]. Trên R cố định một thứ tự từ và
cho

T  in ( I )

là một từ nào đó. Khi đó tập các đa thức

f  I

với

in ( f )  T

chỉ có

một phần tử tối tiểu (theo giả thứ tự định nghĩa như ở Định lý 1.2).
Chứng minh. Theo Định lý 1.2 thì tập đó có phần tử tối tiểu. Bây giờ chứng
minh nó duy nhất. Thật vậy, giả sử ngược lại, tập đó có ít nhất 2 phần tử tối tiểu
khác nhau f và g. Khi đó chúng có dạng:
f  T   1x

a1

  2x

a2

 ...   n x

an

g  T  1x

a1

 2x

a2

 ...   n x

an

trong đó  i ,  i  0 ,  i  1, n .
Gọi k là chỉ số nhỏ nhất mà 
Do I là iđêan và

f ,g  I

k

 k

 

1

. Không mất tính tổng quát ta giả sử k  1 .

. f , 1.g  I

 

1

. f   1.g  I

.

 (  1   1 )T  ( 1  1   1  1 ). x a 1  ( 2  1   1  2 ). x a 2  ...  ( n  1   1  n ). x a n  I

 (
Do 

1

1

  1 ) T  ( 2  1   1  2 ). x
 1  1  1  0

  (1   1)

1

 0

a2

 ...  ( n  1   1  n ). x

an

I

.

, và do K là một trường nên tồn tại   K sao cho

. Từ đó suy ra:

 ((  1   1 ) T  ( 2  1   1  2 ). x

a2

 ...  ( n  1   1  n ). x )  I
an

.

 T   ( 2  1   1  2 ). x a 2  ...   ( n  1   1  n ). x a n  I .
Điều này mâu thuẫn với f, g là phần tử tối tiểu.
1.3. ĐỊNH LÝ HILBERT VỀ KHÔNG ĐIỂM
Không gian afin n - chiều trên trường K là tập A Kn gồm các điểm
n

 a 1 , ..., a n   K . Khi K đã rõ, ta chỉ kí hiệu đơn giản là

f

 x   K  x  xác định một hàm từ

A

n

A

n

. Mỗi đa thức

vào K biến mỗi điểm  a 1 , ..., a n  thành

phần tử f  a 1 , ..., a n  . Thông thường khi xét không gian afin n - chiều ta đôi khi
xét cùng với vành đa thức n - biến K  x  . Để nói rõ mối liên quan này, đôi khi
x 1 , ..., x n

còn gọi là các toạ độ của không gian
10

A

n

.

Với mỗi tập A  K  x  , kí hiệu Z  A  là tập nghiệm chung của các đa thức
f  A

trong không gian
Z

A



A

n

 a

:
1

, ..., a n   A

n

f

 a 1 , ..., a n  

0, f  A



Mỗi phần tử của tập này còn được gọi là không điểm của tập đa thức A.
Định lý 1.4. (Định lý Hilbert về không điểm) Cho K là trường,

K

là bao

đóng đại số của K và f , f 1 , ..., f n  K  x  . Các điều khẳng định sau tương đương:
i) Với mọi a  A Kn , f 1  a   ...  f n  a   0 suy ra f  a   0 .
ii) Tồn tại 0  s  N sao cho f s   f 1 , ..., f n  .
Chú ý rằng hai điều kiện trên có thể diễn đạt như sau:
i) Z  f 1 , ..., f n   Z  f  , trong đó các tập không điểm xét trong A Kn .
ii) f 



f 1 , ..., f n

.

Định lý 1.5. Cho I   f 1 , ..., f n  là iđêan và f là đa thức của K  x  . Gọi G
là cơ sở Groebner của iđêan  f 1 , ..., f n ,1  fy  trong vành K  x , y  , trong đó y là
biến mới. Khi đó các điều kiện sau tương đương:
i) f 

I

.

ii) G chứa một đa thức hằng.
iii)  f 1 , ..., f n ,1  fy   K  x , y  .
Hệ quả. Cho I   f 1 , ..., f n  là iđêan và f là đa thức của K  x  . Khi đó, ta
f 

có
I 



I

khi và chỉ khi 1 là cơ sở Groebner rút gọn của iđêan

f 1 , ..., f n ,1  fy   K  x , y  .

11


Chƣơng 2

PHẦN MỀM MAPLE VÀ GÓI LỆNH GEOPROVER

2.1. PHẦN MỀM MAPLE
Một thực tế là những bài toán đặt ra trong thực tiễn thường là không thể giải
quyết bằng những mẹo mực tính toán mang tính thủ công, mà phải dùng tới năng
lực tính toán của máy tính điện tử. Phần mềm tính toán ra đời nhằm đáp ứng nhu
cầu của thực tiễn, đưa các tính toán phức tạp trở thành công cụ làm việc dễ dàng

cho mọi người.
Phần mềm Maple là kết quả nghiên cứu của nhóm các nhà khoa học Trường
Đại học Waterloo (Canada) và là một trong những bộ phần mềm toán học được sử
dụng rỗng rãi nhất hiện nay. Maple là phần mềm có môi trường tính toán khá phong
phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực của toán học như: Giải tích số, đồ thị, đại số hình
thức, ... do đó ta dễ dàng tính được các giá trị gần đúng, rút gọn biểu thức, giải
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tính giới hạn, đạo hàm, tích phân
của hàm số, vẽ đồ thị, tính diện tích, thể tích, số phức,... và lập trình giải các bài
toán với cấu trúc chương trình đơn giản. Ngoài ra, với phần mềm này ta dễ dàng
biên soạn các sách giáo khoa điện tử với chức năng Hyperlink tạo các siêu liên kết
văn bản rất đơn giản mà không cần đến sự hỗ trợ của bất kì một phần mềm nào khác
(chẳng hạn Page Text, Word, FrontPage...). Với các chức năng trên, Maple là công
cụ hỗ trợ đắc lực cho những người làm Toán.
Phân mềm Maple tích hợp gói Groebner làm công cụ khai thác những ứng
dụng của cơ sở Groebner trong giải một số bài toán hình học phẳng. Một thứ tự từ
được gọi là một termorder. Khi xét các thứ tự từ dễ sử dụng nhất là thứ tự từ điển
ngược. Thứ tự từ điển được gọi là plex (tức pure lexicographic) và thứ tự từ điển
ngược được gọi là tdeg (tức total degree). Maple cần biết termorder muốn dùng
plex hay tdeg và một danh sách các biến. Các lệnh sử dụng phổ biến trong gói
Groebner của Maple là normalf để thực hiện thuật toán chia và gbasis để tính một
cơ sở Groebner. Kết quả là phần dư của đa thức f trong phép chia cho các đa thức
thuộc danh sách polylist sử dụng thứ tự từ quy định bởi termorder.
12


Nếu sử dụng các đa thức với hệ số nguyên hay hữu tỷ trong normalf hay
gbasic, Maple sẽ giả định rằng ta đang thực hiện trên trường ℚ. Chú ý rằng ở đây
không giới hạn trên kích thước của các hệ số. Để Maple cố định một biến trong
trường cơ sở (một tham số), ta chỉ cần bỏ qua nó trong danh sách các biến trong
termorder.

Ta thấy Maple là một ngôn ngữ lập trình bậc cao, rất mạnh nhưng cũng dễ
tiếp cận. Về lập trình tính toán vượt xa các ngôn ngữ khác trên cả hai phương diện:
mạnh và đơn giản, bởi vì mỗi hàm của nó tương đương với cả một gói chương trình
con. Nắm được phần này, người đọc có thể tự mình thiết lập nhưng gói chương
trình phục vụ cho mục đích riêng của mình (chưa sẵn có trong Maple). Maple cho
ta công cụ lý tưởng để soạn giáo trình và giáo án điện tử. Tóm lại, đây là phương
tiện để người thầy thiết lập công cụ hỗ trợ cho phương pháp và phong cách giảng
dạy của mình, không bị lệ thuộc vào những gì có sẵn.
2.2. GÓI LỆNH GEOPROVER
Gói Groebner trong Maple chưa cung cấp đủ những câu lệnh đủ mạnh giúp
đại số hoá các định lý hình học. Vì vậy, gói GeoProver được xây dựng dựa trên
ngôn ngữ lập trình Maple để giải quyết vấn đề này, từ đó ta có thể dùng máy tính để
kiểm tra tính đúng sai của một giả thuyết hình học. Sau đây là các câu lệnh được sử
dụng trong gói:
[> restart: with(Groebner):
[> read(“D:/Maple/GeoProver.mpl”): with(geoprover):
Để sử dụng gói này, chúng ta phải chú ý đường dẫn đến file GeoProver.mpl
trong câu lệnh trên. Cần chú ý, kết quả trả lại của các câu lệnh trong gói này là 0
nếu giả thiết đưa ra luôn đúng.
Sau đây là một số câu lệnh cơ bản trong gói câu lệnh GeoProver:
Kiểm tra ba điểm thẳng hàng:
[> A:= Point(x1, x2): B:= Point(x3, x4): C:= Point(x5, x6):
[> is_collinear(A, B, C);

x1x4 – x1x6 – x3x2 + x5x2 – x5x4
13


Điều trên có nghĩa là với điều kiện ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ta có đa
thức trên.

Kiểm tra ba đường thẳng đồng quy:
[> D_:= Point(1, 2): E:= Point(3, 0): F:= Point(0, 1):
[> is_concurrent(pp_line(A, B), pp_line(C, D_), pp_line(E, F));
–x4x6 + 2x4x5 + x2x6 – 2x2x5 + 2x2x3 – 2x1x4 – x6x2x3 + x6x1x4
Kiểm tra hai đường thẳng trực giao:
[> is_orthogonal(pp_line(A, B), pp_line(C, D_));
2x4 – 2x2 – x4x6 + x2x6 + x1x5 – x3x5 – x1 + x3
Kiểm tra hai đường thẳng song song:
[> is_parallel(pp_line(A, B), pp_line(C, D_));
x4x5 – x4 – x2x5 + x2 – 2x1 + x1x6 + 2x3 – x3x6
Kiểm tra đường thẳng tiếp xúc với đường tròn:
[> is_cl_tangent(p3_circle(D_, E, F), pp_line(A, B));
–4x22x32 – 4x12x42 + 16x1x42 + 16x22x3 + 8x12x4 + 8x2x32 – 8x42 + 16x4x2 – 8x22 + 4x12
– 8x1x3 + 4x32 + 16x1x2 – 8x3x1x4 – 16x2x3 – 16x1x4 – 8x1x2x3 – 16x4x2x3 + 8x2x3x1x4
– 16x2x1x4 + 16x3x4
Kiểm tra hai đường tròn tiếp xúc với nhau:
[> is_cc_tangent(p3_circle(D_, E, F), p3_circle(Point(0, 0), Point(-1, 0), C));
92x62 – 4x52 – 8x53 – 8x5x62 – 40x5x6 – 4x54 – 8x52x62 – 40x52x6 – 4x64 – 40x63
Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng:
[> on_line(E, pp_line(A, B));
3x – 3x2 + x2x3 – x1x4
Kiểm tra điểm thuộc đường tròn:
[> on_circle(A, p3_circle(D_, E, F));
–x12 – x22 + 4x1 + 2x2 – 3
Kiểm tra bốn điểm cùng thuộc một đường tròn:
[> is_concyclic(A, F, C, E);
–8x1x6 + 8x2x5 + 6x6 – 6x2 + 2x12x6 + 2x22x6 – 2x2x52 – 2x2x62

14

Kiểm tra khoảng cách bằng nhau (AB = EF), hai góc bằng nhau:
[> eq_dist(A, B, E, F);
x12 – 2x1x3 + x32 + x42 – 2x4x2 + x22 – 4
[> eq_angle(A, B, C, D_, E, F):
Ngoài ra còn nhiều câu lệnh để khai báo và kiểm tra khác như: khai báo
điểm, trung điểm của đoạn thẳng, đường thẳng qua hai điểm, đường tròn qua ba
điểm, đường cao, trung tuyến của tam giác, trọng tâm, trực tâm của tam giác, tâm
và bán kính đường tròn nội tiếp, tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn
Ơle, đường thẳng qua một điểm và vuông góc (song song) với một đường thẳng,
góc giữa hai đường thẳng (hoặc góc xác định bởi ba điểm), khoảng cách, diện tích
tam giác, điểm đối xứng qua một điểm (đường thẳng, đường tròn), điểm ngẫu
nhiên, giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm thứ hai (khác giao điểm đã cho)
của hai đường tròn (đường thẳng và đường tròn), vẽ đồ thị... Với các câu lệnh trên,
về cơ bản ta có thể đại số hóa được hầu hết các bài toán hình học trong mặt phẳng
và kiểm nghiệm tính đúng sai của nó.

15


Chƣơng 3

CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH
3.1. ĐẠI SỐ HÓA ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC
3.1.1. Các bƣớc đại số hóa định lý hình học
Người ta nhận thấy rằng rất nhiều định lý hình học hoàn toàn được mô tả
bằng các khái niệm đại số. Khi biểu diễn các hình hình học trong toạ độ Đề-các
vuông góc thì hầu hết các hình hình học và biên của nó có thể xem là tập không
điểm của các đa thức, và các quan hệ giữa chúng đều có thể mô tả bằng các phương
trình đa thức cũng như tập không điểm phải xét trên trường số thực.

Quy trình chứng minh định lý hình học trên Maple được tóm tắt thông qua
các bước sau đây:
Bƣớc l: Đại số hóa bài toán hình học.
Bƣớc 2: Chạy trên phần mềm Maple tìm cơ sở Groebner của iđêan (f1 = 0,...,
fs, 1 - yg) với chú ý xem các biến độc lập như tham số.
Bƣớc 3: Cơ sở Groebner của iđêan (f1 = 0, ... , fs, 1 - yg) chứa các đa thức 1
khi và chỉ khi định lý hình học cần chứng minh là đúng.
Nếu tại bước 2 ta vẫn xem các biến độc lập là biến, thì tại bước 3 nếu cơ sở
Groebner của iđêan (f1 = 0, ..., fs, 1 - yg) chứa đa thức 1 hoặc chứa đa thức chỉ chứa
biến độc lập, thì ta vẫn kết luận được định lý hình học cần chứng minh là đúng.
Tuy nhiên điều ngược lại chỉ đúng nếu ta chọn thứ tự từ khử đối với các biến không
độc lập và y (chẳng hạn dùng plex và xếp các biến độc lập ở sau cùng).
3.1.2. Đại số hóa một số định lý hình học
Giả sử cho định lý hình học với:
Giả thiết: Được mô tả bởi hệ phương trình 𝑓1 = ⋯ = 𝑓𝑠 = 0.
Kết luận: Khi đó mọi nghiệm thực của nó phải thoả mãn hệ phương trình
𝑔1 = ⋯ = 𝑔𝑟 = 0 với 𝑓1 , … , 𝑓𝑠 , 𝑔1 , … , 𝑔𝑟 ∈ ℝ 𝑢1 , … , 𝑢𝑡 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 là những đa thức
với hệ số thực. Các biến 𝑢1 , … , 𝑢𝑡 độc lập đại số (tức là toạ độ của các điểm tương
ứng với các biến này có thể chọn tuỳ ý), còn các biến 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 là phụ thuộc, nghĩa
là từng biến trong danh sách này phải xuất hiện trong ít nhất một đa thức fi nào đó.
16


Ta sử dụng ngôn ngữ đại số để mô tả một số định lý hình học sau đây:
Ví dụ 3.1. Trong một tam giác, ba đường trung trực đồng quy.

Hình 3.1
Đại số hóa định lý trên như sau: Không mất tính chất tổng quát, ta có thể đặt
tọa độ các điểm A(0, 0), B(c, 0) và điểm C(a, b). Giả sử các đường trung trực của
các cạnh AB và BC cắt nhau tại điểm O1(x1, y1). Các đường trung trực hoàn toàn

được xác định bởi các điểm A, B, C và O1 và ta có các phương trình sau đây:
𝑐

(p1): 𝑥1 − = 0
2

(p2):

𝑐−𝑎
𝑏

. 𝑥1 − 𝑦1 +

𝑏 2 −𝑐 2 +𝑎 2
2𝑏

=0

Giả sử rằng các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại điểm O2(x2, y2).
Điều này dẫn đến hai phương trình khác như sau:
𝑐
(𝑝1′ ): 𝑥2 − = 0
2
(𝑝3 ):

𝑎
𝑏 𝑎2
. 𝑥2 + 𝑦2 − −
=0
𝑏

2 2𝑏

Từ đó, ta có hệ 𝐺 = {𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝1′ , 𝑝3 }. Ta cần chứng minh 𝑂1 ≡ 𝑂2 nghĩa là
𝑥1 , 𝑦1 = 𝑥2 , 𝑦2 . Để sử dụng phương pháp cơ sở Groebner, cơ sở Groebner G’
của G được tính và mục tiêu là chứng minh 𝑥1 − 𝑥2 → 𝐺 ′ = 0 và 𝑦1 − 𝑦2 → 𝐺 ′ = 0.
Với đa thức phía trái của phương trình là mệnh đề được mô tả.
Ví dụ 3.2. (Định lý con bướm) Cho đường tròn tâm O. Các điểm A, B, C, D
thuộc đường tròn trên. Gọi P là giao điểm của AC và BD. Gọi F, G tương ứng là
giao điểm của đường thẳng đi qua P và vuông góc với OP với đường thẳng AB,
CD. Khi đó P là trung điểm của FG.
17


Chứng minh. Ta chọn hệ trục toạ độ Đề-các với điểm P là gốc toạ độ, trục
hoành nằm trên đoạn thẳng OP. Khai báo tọa độ các điểm như sau:

Hình 3.2
[> P:= Point(0, 0): O_:= Point(u1, 0):
[> A:= Point(u2, u3): B:= Point(u4, x1):
[> C:= Point(x2, x3): D_:= Point(x4, x5):
[> F:= Point(0, x6): G:= Point(0, x7):
Ta khai báo đường tròn tâm O, bán kính OA:
[> c:= pc_circle(O_, A):
Từ giả thiết B, C, D thuộc đường tròn tâm O ta có:
[> on_circle(B, c), on_circle(C, c), on_circle(D_, c);
u42 + x12 – 2u1u4 + 2u2u1 – u22 – u32, x22 + x32 – 2u1x2 + 2u2u1 – u22 – u32,
x42 + x52 – 2u1u4 + 2u2u1 – u22 – u32
Từ giả thiết P là giao điểm của AC và BD, F thuộc AB và G thuộc CD, ta có:
[> on_line(P, pp_line(A, C)), on_line(P, pp_line(B, D_)),
on_line(F, pp_line(A, B)), on_line(G, pp_line(D_, C));

u3x2 – u2x3, x1x4 – u4x5, x6u2 – x6u4 + u3u4 – u2x1, x7x4 – x7x2 + x2x5 – x3x4
Kết luận điểm P là trung điểm của đoạn thẳng FG được cho bởi đa thức:
[> numer(sqrdist(P, midpoint(F, G)));
(x7 + x6)2
18


Ví dụ 3.3. (Định lý về điểm Phéc-ma) Cho tam giác ABC. Lấy BC, CA, AB
làm cạnh dựng các tam giác cân đồng dạng BCP, CAQ, ABR ra phía ngoài tam
giác. Khi đó các đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy tại một điểm. Điểm đó được
gọi là điểm Phéc-ma.
Ta chọn hệ trục toạ độ Đề-các với điểm A là gốc toạ độ, trục hoành nằm trên
đoạn thẳng AB:
[> A:= Point(0, 0): B:= Point(u1, 0):
[> C:= Point(u2, u3): P:= Point(x1, x2):
[> Q:= Point(x3, x4): R:= Point(x5, x6):

Hình 3.3
Từ giả thiết dựng ra ngoài tam giác ABC ba tam giác đều ta có hệ đa thức
sau:
[> polys:={eq_dist(P, B, B, C), eq_dist(P, C, B, C), eq_dist(Q, A, A, C),
eq_dist(Q, C, A, C), eq_dist(R, B, A, B), eq_dist(R, A, A, B)};
polys= {–2x1u1 + x12 + x22 – u22 + 2u2u1 – u32, –2u2x1 + x12 – 2u3x2 + x22 + 2u2u1 –
u12, x32 + x42 – u22 – u32, –2u2x3 + x32 – 2u3x4 + x42, x52 + x62 – u12, –2u1x5 + x52 +
x6 2 }
Kết luận ba đường thẳng đồng quy được cho bởi đa thức:
[> con:=is_concurrent(pp_line(A, P), pp_line(B, Q), pp_line(C, R));
19

con:=x2u1u3x5 – x2u1x6u2 – x2x3u3x5 + x2x3x6u2 + x2u2x4u1 – x2u1x4x5 + x1x4u3x5 –
x1x4x6u2 + x1x4u1x6 – x1u1x4u3
Trong ba ví dụ trên, các biến ui là các biến độc lập, các biến xi là các biến phụ
thuộc. Chúng ta phải phân biệt các biến này để tìm các trường hợp suy biến của
định lý (hay là các trường hợp mà định lý không còn đúng).
3.2. QUY TRÌNH CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ BẰNG MÁY TÍNH
3.2.1. Các bƣớc chứng minh định lý hình học bằng máy tính
Để chứng minh định lý hình học bằng cơ sở Groebner với sự hỗ trợ của phần
mềm Maple ta phải tiến hành theo các bước sau:
Bƣớc 1: Chọn hệ trục toạ độ để biểu diễn các điểm và các dữ kiện của định
lý. Ta chọn sao cho số lượng các biến trong cơ sở Groebner là ít nhất bởi vì số
lượng biến càng nhiều, thời gian tính toán trên máy tính càng lâu.
Bƣớc 2: Đại số hoá giả thiết và kết luận của định lý.
Bƣớc 3: Liệt kê một danh sách bao gồm các đa thức giả thiết và một đa thức
kết luận được nhân với một biến phụ thuộc mới, sau đó trừ đi 1.
Bƣớc 4: Tìm đa thức dư của đa thức 1 cho các đa thức trong danh sách trên
bằng lệnh: [> normalf(1, WL, T), trong đó WL là danh sách các đa thức, T là một
thứ tự từ. Nếu kết quả trả lại bằng 0 thì định lý luôn đúng. Ngược lại chúng ta tiếp
tục tìm cơ sở Groebner rút gọn của iđêan sinh bởi WL.
Bƣớc 5: Tìm cơ sở Groebner rút gọn G của WL.
Bƣớc 6: Tìm iđêan khử bằng các dòng lệnh sau:
[> for j from 1 to nops(G) do
k[j]:= degree(leadterm(G[j], plex(T’)), {T’}):
if k[j] = 0 then print(G[j]); fi: od;
Trong đó T là một thứ tự từ đối với các biến phụ thuộc.
Bƣớc 7: Giải các phương trình đa thức sinh ra iđêan khử để tìm ra các trường
hợp suy biến.
Chú ý rằng khi đại số hoá giả thiết và kết luận của định lý ta không tránh khỏi
kết quả của các phép tính toán không là một đa thức. Lúc đó, ta dùng câu lệnh
20

numer() để lấy phần tử thức. Còn phần mẫu thức bằng 0 chúng ta coi như một
trường hợp suy biến, cần xét thêm.
Sau đây là một số nhận xét về các bước trên:
(1) Phương pháp trình bày ở trên có thể đòi hỏi tính toán cồng kềnh so với
chứng minh bằng hình học, nhưng phương pháp này có lợi thế là có thể thực hiện
được bằng máy tính và không đòi hỏi sự lắt léo nào (như vẽ thêm đường, chọn thêm
điểm). Khi đã đại số hoá được bài toán thì thời gian chạy máy tính không đáng kể.
(2) Khi đại số hoá bài toán hình học phải đảm bảo để các toạ độ u1,...,ut được
chọn tuỳ ý, hay nói cách khác chúng độc lập đại số trên Z(f1,...,fs). Chú ý rằng có
nhiều cách đại số hoá một bài toán hình học, và do đó có thể nhận được nhiều bài
toán T tương ứng mà độ phức tạp của lời giải có thể rất khác nhau.
(3) Bằng phương pháp này ta có thể xây dựng các giả thuyết hình học. Sau
đó ta đại số hoá và tìm các trường hợp suy biến. Từ đó, chúng ta có thể khẳng định
được nhìn chung giả thuyết đó có đúng hay không? Điều này cũng đem lại một lợi
thế khác: tìm phản ví dụ dựa trên các trường hợp suy biến cho một số bài toán hình
học.
3.2.2. Xét các trƣờng hợp suy biến của định lý
Không phải bài toán nào cũng tương đương với phát biểu hình học của nó,
bởi vì khi xét tập không điểm của các đa thức trong giả thiết, ta không hề phân biệt
đâu là biến độc lập, đâu là biến phụ thuộc. Như vậy có thể có một số điểm nào đó sẽ
ứng với một hình hình học ngoại lai, hay như thông thường vẫn nói là trường hợp
suy biến.
Ví dụ 3.4. Nếu ABCD là một hình thoi thì hai đường chéo AC và BD vuông
góc với nhau và cắt nhau tại điểm N là trung điểm của mỗi đường chéo.
Sau đây ta sẽ đại số hoá định lý trên. Ta chọn hệ trục toạ độ Đề-các mà gốc
toạ độ là A và trục hoành trùng với tia AB (nhằm hạn chế tối đa các biến độc lập).
Ta sẽ dùng phần mềm Maple để thiết lập các hệ phương trình giả thiết và kết luận.
Trong Maple, khi khai báo các điểm mà toạ độ của nó chứa tham số và sử dụng các

câu lệnh để thực hiện các phép tính trên các điểm đó thì bao giờ Maple cũng yêu

21


cầu các điểm đó phải thoả mãn một số điều kiện nhất định để thực hiện được phép
tính.
Khi dùng lệnh khai báo một đường thẳng đi qua hai điểm có toạ độ cho trước
dưới dạng tham số thì Maple sẽ đưa ra một thông báo là hai điểm đó phải là hai
điểm phân biệt (tức là chúng ta phải đưa ra câu lệnh giả thiết rằng hai điểm đó là
phân biệt trước khi khai báo đường thẳng). Với mỗi thủ tục đó khi thực hiện phép
tính sẽ rất phức tạp mà nhiều khi chưa chắc đã làm được. Do vậy, vấn đề xây dựng
một gói công cụ mới dựa trên ngôn ngữ lập trình Maple để giải quyết vấn đề trên là
không thể thiếu được. Sau đây là các câu lệnh để đưa ra hệ phương trình giả thiết và
kết luận của định lý:
Ta tiến hành khai báo các điểm:
[> A:=Point(0, 0): B:=Point(u1, 0): C:=Point(u2, u3): D_:=Point(x1, x2):
N:=Point(x3, x4):

Hình 3.4
Các biến u1, u2, u3 là các biến độc lập, còn các biến x1, x2, x3, x4 là các biến
phụ thuộc và nó bị ràng buộc bởi điều kiện ABCD là hình thoi và N là giao điểm của
hai đường chéo.
Từ giả thiết AB = AD và

N  AC , N  BD

ta có các phương trình:

[> sqrdist(A, B ) - sqrdist(A, D_) = 0;

u 1  x1  x 2  0
2

2

2

[> on_line(N, pp_line(B, D_)) = 0;
x 2 x 3  x 4 x1  x 4 u 1  x 2 u 1  0

22