TUYỂN tập hệ PHƯƠNG TRÌNH ôn thi đAI HỌC

Tuyển tập HỆ PHƯƠNG TRÌNH ôn thi THPT QUỐC GIA năm 2016
 x 2  y 2  x 2  y 2  y  1  y 4  y 3  y

Bài 1. Giải hệ phương trình 
 y  1 13  x  12  y x  25

Lời giải
Điều kiện: 13  x  0; y  0 .







 x, y   



Bình phương trình thứ nhất của hệ, chúng ta có:  x 2  y 2   x 2  y 2  y  1  y 4  y 3  y
2

 x4  2x2 y2  y 4  x2 y 2  x2 y  x2  y4  y3  y  x4  x2 y 2  x2  x2 y  y3  y  0
 x 2  x 2  y 2  1  y  x 2  y 2  1  0   x 2  y 2  1 x 2  y   0  y  x 2

Với y  x 2 thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta được:  x  1 13  x  12  x  x  25
a  13  x
Đặt 
b  x



 

 a, b  0   a 2  b2  13 , khi đó suy ra:

2
2
a 2  b 2  13
 a  b 2  13  2ab
 a  2; b  3
a  b  13



 2
2
 a  b  ab  1  25
 a  3; b  2
 a  1 b   b  1 a  25
 a  b  ab  1  25

 13  x  2
Với a  2; b  3 suy ra 
 x  9  y  81
x

3


 13  x  3

Với a  3; b  2 suy ra 
 x  4  y  16
 x  2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là  x; y    4;16  ,  9;81 


 x 2  y  x  y  6  2 x 2  x  3 y  2
Bài 2. Giải hệ phương trình 
3
2
 y  2 y  x  6   x  4  6 y  1
Lời giải
Điều kiện: x  y  6  0; 6 y  1 .
Phương trình thứ nhất của hệ đã cho trở thành:

x

2

 y  x  y  6  2  x2  y   x  y  2   x2  y 

x


2

 y   x  y  2
x y62

 x, y   





x y6 2  x y20



x2  y
 x  y  2  0   x  y  2 
 1  0
 x y6 2 



 

1
1
 x 2  y  nên x 2  y  x  y  6  2  0 , do đó    x  y  2  0  x  y  2 .
6
6
Thế x  y  2 xuống phương trình hai trong hệ, chúng ta có: y 3  2 y 2  y  4   y  2  6 y  1

Vì y 






 y  3 y  2 y  2   y  2  y  1  6 y  1  0   y  1  y  4 y  2  
3

2

2

 y  2  y2  4 y  2
y 1 6 y 1

0

1

y  2  2  x  2


y2
y 
  y  4 y  2  y  1 
0

6


y  1  6 y  1 
 y2  4 y  2  0


 y  2  2  x   2

2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là  x; y  



 



2; 2  2 ,

2; 2  2 

2 x  y  x   4  x  3x  2 y 2 

Bài 3. Giải hệ phương trình 
2
2
 7 x  3 xy  y 1  2 x   4  4 y
Lời giải
2
Điều kiện: x  7 x  3 y   0; y 1  2 x   4 .

 x, y   

Phương trình một của hệ tương đương với: 2 xy  2 x 2  4  3 x 2  2 xy 2  2 xy 2  4  5 x 2  2 xy
Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta có:

7 x 2  3 xy  5 x 2  2 xy  y 2  4 y

 7 x  3 xy  2 y  5 x  2 xy  y  2 y  0 
2

2

2

 x  y  7 x  4 y    x  y  5x  3 y 

7 x 2  3 xy  4 y 2

7 x 2  3 xy  2 y

5 x 2  2 xy  3 y 2



 y  0

5 x 2  2 xy  y 2  2 y

0



7x  4 y
5x  3 y

  0 i 
 0   x  y

2
2
 7 x 2  3xy  2 y

7 x 2  3 xy  2 y
5 x 2  2 xy  y 2  2 y
5
x

2
xy

y

2
y


2
2
2
Mặt khác, từ phương trình một suy ra 2 xy  2 xy  5 x  4  2 xy 1  y   5 x  4  x  0 .


Do đó, phương trình  i   x  y  0 , thế ngược lại phương trình một của hệ, ta được:
 x  y  0
x  y  0


 x y2
 3

2
2
2 x  3 x  4  0
 x  2   2 x  x  2   0

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    2; 2  
 x 2  xy  2 y  1   x  1 y  0
Bài 4. Giải hệ phương trình 
 x3  5 x 2  7 y  6  3 y  2
Lời giải
2
Điều kiện: x  1; y  .
3

 x, y   

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 2 x 2  2 xy  4 y  2  2

 2 x 2  2 xy  4 y  2  x  1  y 
  2 x  3 x  1  y  





x 1  y

x 1  y



2



2

 x  1 y  0

 2 x 2  2 xy  x  3 y  3 

  2 x  3



x 1  y





x 1  y

 

x 1  y 



2

x 1  y



2


 x 1  y  0
 y  x 1  0


 2 x  3 x  1  y  x  1  y
 2 x  2  x  1   2 x  4  y  0






VN : x  1

Với y  x  1  0 thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, chúng ta có: x3  5 x 2  7 x  1  3 x  5
x2  5x  6
 x  5x  6 x  x  1  3x  5  0  x  x  5x  6  
0

x  1  3x  5
x  2  y  1
1


2
  x 2  5x  6   x 

0

x

5
x

6

0

x  3  y  2

x  1  3x  5 


Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là  x; y    2;1 ,  3; 2  
3

2

2

 x  y  x  y  2  x  3 y  2
Bài 5. Giải hệ phương trình 
 x  y  x  y  2   x  y  1 x  y  2
Lời giải
Điều kiện: x  y  2; x  y  2 .

 x, y   

a  x  y  2
Đặt 
nên hệ phương trình đã cho trở thành:
b  x  y  2  0

a  b  2  0
a  b  2   b 2  4  0
ab  2a  b 2  4

 2
  b  2
 2
 2
 b  2  b   a  1 a  2
 b  2  b   a  1 a  2
 b  2  b   a  1 a  2
5

 x  2
b  2
a  3

x  y  3




b  2
x  y  2
 a  1 a  2  4
y  1

2
5 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    ;  
2 2
 x  y  1 y  1  y x  y  4
Bài 6. Giải hệ phương trình 
2
2
 y  y  xy  8  4 xy  x  y  y
Lời giải
Điều kiện: x  y  1 .

a  y  1
Đặt 
b  x  y

 x, y   

2
2

 x  a  b  1
, khi đó phương trình thứ nhất trong hệ trở thành:
 a, b  0   
2
 y  a  1

b

2

 1 a   a 2  1 b  4   a  b  ab  1  4

Và phương trình thứ hai của hệ tương đương với:


y  y  x  1  8  4

 x  y  y  1   a 2  1 b 2  1  8  4ab   a  b 

2

  ab  1  8
2

Từ đó ta suy ra hệ phương trình đã cho được viết lại thành:
 a  b  ab  1  4
 y  1  1
a  b  2
x  3



a

b

1





2
2
y2
ab  1
 a  b    ab  1  8
 x  y  1 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    3; 2  

4 x 2  x 2  2 y 3  4 y  5

Bài 7. Giải hệ phương trình 
1  4 y  2 x  1  4  2 y  2   4  2 y  2 x  1
Lời giải
1
3
Điều kiện:   x  2; y  . Phương trình thứ hai trong hệ được viết lại thành:
2
4

1  4 y 

2x  1  2  4  2 y







2x  1  1  3  4 y 2x  1  2  4  2 y



Vì 3  4 y  0 nên từ phương trình  i  suy ra 2  4  2 y
Mặt khác, ta có: 4 x 2  x 2  2 x 8  4 x 2 





 x, y   





2x  1  1

i 

2x  1 1  0  2  4  2 y  0  y  0

4 x2  8  4 x2
 4 và theo bất đẳng thức AM – GM suy ra:
2

 2y  2y  3  4y 
4 y 2  3  4 y   2 y.2 y.  3  4 y   
  1 2y 3  4y 1
3


x  1
2 x  8  4 x 2

2
Do đó 4 x 2  x  2 y 3  4 y  5 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

1
 y  2
2 y  3  4 y
 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y   1;  
 2
3

4 x 3  12 x 2  15 x  7   y  1 2 y  1
Bài 8. Giải hệ phương trình 
6  x  2  y  x  26  6 3 16 x  24 y  28

Lời giải
Điều kiện: x  ; 2 y  1  0 .
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

 x, y   

2  4 x3  12 x 2  15 x  7    2 y  2  2 y  1  8 x 3  24 x 2  30 x  14   2 y  2  2 y  1

  8 x 3  24 x 2  24  8  3  2 x  2    2 y  1  3 2 y  1   2 y  1 2 y  1  3 2 y  1
  2x  2  3  2x  2 
3





2y 1  3
3





2 y  1  2x  2  2 y  1

x  1
x  1
Với 2 x  2  2 y  1   2

thế xuống phương trình thứ hai, ta có:

2
4 x  8 x  4  2 y  1 2 y  4 x  8 x  5


3  4 x 2  8 x  5   x  2   x  26  6 3 12  4 x 2  8 x  5  16 x  28  12 x 3  48 x 2  62 x  4  6 3 48 x 2  80 x  32

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số thực không âm, ta có:

48 x 2  80 x  32  64  64  3 3 64.64  48 x 2  80 x  32   48 3 48 x 2  80 x  32

Nên suy ra

8 12 x 3  48 x 2  62 x  4   48 x 2  80 x  32  64  64
  x  2   2 x  1  0   x  2   0
2

2

 x  1  x  2  y 

 5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    2;  
 2

 x 2  y 2  xy  7 x  6 y  14  0

Bài 9. Giải hệ phương trình 
11
7
3

 2 1  2  y3  y 2  7
x 
2x
x
2

Lời giải
Điều kiện: x  0; y   .

5
2

 x, y   

 x 2   y  7  x  y 2  6 y  14  0
Xét phương trình thứ nhất, ta có: x  y  xy  7 x  6 y  14  0   2
2
 y   x  6  y  x  7 x  14  0
2

2

Có  x   y  7   4  y 2  6 y  14   10 y  3 y 2  7 và  y   x  6   4  x 2  7 x  14   16 x  3x 2  20 .
2

 

2

 x  0 10 y  3 y 2  7  0

10
7
Để hệ phương trình   có nghiệm  


 x  2;  y  1
2
3
3
 y  0 16 x  3 x  20  0



Xét hàm số f  x   x 

11
7
10
 2 1  2 với
 x  2 , ta có:
2x
x
3

2
7 
7
7 
7 




Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki suy ra  3     3.1  7.
   9  7  1  2   16 1  2 
x 
x 
x 
x 




Do đó f  x   x 

2

11 1 
7 3 
9
3
9 15
 3      x   
 2 x. 
AM

GM
2x 2 
x 2 
x
2

x 2
3
7
7
 Xét hàm số g  y   y 3  y 2  7 với  y  1 , ta có g  y   3 y 2  3 y  3 y  y  1  0;   y  1 .
2
3
3
15
 7
Do đó g  y  là hàm số đồng biến trên 1;  nên suy ra g  y   g 1  
2
 3
x  3
15 15
Từ đó suy ra được f  x   g  y     0 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
.
2 2
y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    3;1 


2 x  2  y  2 y  x  1
Bài 10. Giải hệ phương trình 
2
2
8  2 x  2 y  1 2 x  y  1  x  y  11
Lời giải
Điều kiện: x  1; y  2; 2 x  y  1 .

 x, y   

Xét phương trình thứ nhất trong hệ, ta có: 2 x  2  y  2 y  x  1  2 x  2 y  x  1  2  y  0
Theo bất đẳng thức Bunhiacopki, suy ra:

1.

x  1  1. 2  y

  1
2

2

 12   x  1  2  y   2  x  y  1 

x  1  2  y  2  x  y  1

Khi đó, ta được: 0  2 x  2 y  x  1  2  y  2  x  y  1  4  x  y   2  x  y   2  0  0  x  y  1 .
2

Lại có, áp dụng bất đẳng thức AM – GM thì 4 2 x  y  1  2 x  y  1  4  2 x  y  3 nên phương trình thứ hai
của hệ được viết lại thành: 8  2 x  2 y  1 2 x  y  1  2  2  x  y   1  2 x  y  3  2  2 x  y  3 .
Do đó, suy ra:

x  2
2
2
x 2  y 2  11  8  2 x  2 y  1 2 x  y  1  2  2 x  y  3    x  2    y  1  0  
y 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    2;1 