Download sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học toán ứng dụng tích vô hướng để chứng minh bất đẳng thức

Sáng kiến kinh nghiệm
Phần I: Mở đầu
Trong chơng trình toán PTTH vấn đề tích vô hớng của hai vectơ có vị
trí rất quan trọng. Đặc biệt đối với việc bồi dỡng học sinh giỏi. Việc cung cấp
cho học sinh một phơng pháp mới (phơng pháp vectơ) để giải toán và nhất là
giải bài toán Đại số đã cho ta nhiều lời giải đẹp nên đã gây sức hấp dẫn cho
học sinh. Giúp cho học sinh có t duy sáng tạo, có ý chí và lòng say mê trong
học tập bộ môn Toán.
Dùng tích vô hớng sẽ giải đợc rất nhiều bài toán thuộc các loại sau đây:
1.Tính độ dài đoạn thẳng đợc đa về tích bình phơng vô hớng vectơ.
2.Chứng minh tính chất hình học có liên quan đến độ dài đoạn thẳng.
3.Tính độ lớn góc qui về tính tích vô hớng của hai vectơ.
4.Chứng minh tính chất hình học có liên quan đến độ lớn góc.
5.Chứng minh sự vuông góc.
6.Chứng minh bất đẳng thức hình học có liên quan đến đoạn thẳng.
7.Chứng minh bất đẳng thức hình học có liên quan đến độ lớn góc.
8.Tìm cực trị hình học có liên quan đến độ dài đoạn thẳng.
9. Tìm cực trị hình học có liên quan đến độ lớn góc.
10.Tìm tập hợp điểm có liên quan đến độ dài đoạn thẳng.
11.Giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình ...
ứng dụng của tích vô hớng thật là rộng rãi nhng trong phạm vi đề tài
này tôi chỉ đề cập vấn đề áp dụng tích vô hớng để chứng minh bất đẳng thức.
Đó là 2 loại bài toán 6 và 7 nói trên
Nhằm mục đích chủ yếu bồi dỡng cách phân tích đề bài để định hớng
cách giải và bồi dỡng kĩ năng giải toán chứng minh bất đẳng thức hình học
liên quan đến đoạn thẳng và độ lớn của góc thông qua các ví dụ.


Sáng kiến kinh nghiệm
Phần II: Nội dung của đề tài
1/Cơ sở để sử dụng tích vô hớng vào giải bài toán chứng minh bất đẳng

thức
Định nghĩa u & v là 2 vectơ bất kì từ u. v = |u|. |v| cos(u,v) |u|. |v|
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u & v cùng hớng hay một trong hai vectơ
là vectơ không. Nhng do vectơ không cùng chiều với mọi vectơ nên điều kiện
xảy ra dấu đẳng thức nói trên chỉ cần u & v cùng hớng là đủ.
2/Những ví dụ:
Bài 1 : Hai tam giác ABC và ABC có các cạnh là a,b,c và a,b,c. Chứng
minh rằng: a.a' + bb' + cc' a + b + c . a'+b'+c'

(1).

Phân tích kết luận bài toán để thấy rằng vế trái bất đẳng thức là biểu thức toạ
độ của tích vô hớng của hai vectơ u = (

a, b, c)&v=(

a , b , c )

còn vế phải là tích của hai độ dài của hai vectơ đó nên theo (*) bất đẳng thức
(1) đợc chứng minh.
- Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Khi u & v cùng chiều


a

=
a'

b
b'

=

c
c'

a

b

c

= k > 0 a' = b' = c' ABC ~ ABC .

Bài 2 : Với mọi a,b,c R, bất đẳng thức a 1 + b 1 + c 1 > (ab +1)c (2) là
đúng hay sai ?
(*) a, b, c < 1 bất đẳng thức vô nghĩa.
(**) a, b, c 1: trớc hết để ý rằng nếu u = ( x 1 ; 1 ); v = ( y 1 ; 1 )
u . v = x 1 + y 1 | u |. | v | = ( x 1) +1 . ( y 1) +1 = xy
x 1 + y 1 xy
áp dụng vào bài toán

( a 1 + b 1 )+ c 1 ab + c 1 (3) .
Mặt khác ab = (ab +1) 1
ab + c 1 (ab +1)c (4).
Từ (3) & (4) đpcm


Sáng kiến kinh nghiệm
bất đẳng thức (2) là bất đẳng thức sai.

Bài 3: Một tam giác có ba cạnh a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh
rằng:
a) a2 + b2 +c2 < 12 .
b) Không thể thay k < 12 để a2 + b2 +c2 < k
- Có bình phơng độ dài chuyển về bình phơng vô hớng của vectơ .
- Mặt khác từ giả thiết a, b, c là độ dài của 3 vectơ a, b, c thoả mãn điều
kiện a + b + c = 0 & a + b + c = 1
a) Để áp dụng tích vô hớng cần xét (a + b + c) 2 =0
a2+ b2+c2+2a.b+2a.c+ 2bc = 0
a2+ b2+ c2 = -(2ab +2ac + 2bc) 2 |ab + ac + bc | 2 (|ab| + |ac| + |bc |)
2 (ab + ac + bc ) = (a + b + c) 2 (a2+ b2+ c2) ( Vì | ab | ab (*) ) .
Mặt khác a + b + c = 1 nên từ kq trên a2+ b2+ c2 12 (a2+ b2+ c2 ) có
a) b) Chỉ cần chỉ ra có 3 vectơ x, y, z sao cho x + y + z = 0 & |x| = |y| = |z| = 1
và với mọi > 0 bé tuỳ ý , |x|2 + |y|2 + |z|2 1 - .
1

1

Với > 0 cho trớc, chọn a có độ dài = ; b có độ dài = 2 - ; c có độ dài = 2
trong đó a & b cùng chiều; c ngợc chiều với a & b. Với 3 vectơ trên ta có
a + b + c = (a + b ) + c = 0 & |a| + |b| + |c| = 1 đồng thời |a|2 + |b|2 + |c|2 =
1

1

1

1

2 +( 2 - )2 + ( 2 )2 = 22 - + 2 > -2 + 2

Sáng kiến kinh nghiệm

cos x = 1


cos y = 1

cos z = 1
sin x = 1


sin y = 1

sin z = 1

;

;

cos x = 1


cos y = 1

cos z = 1
sin x = 1

sin y = 1

sin z = 1

;

;

cos x = 1


cos y = 1

cos z = 1

sin x = 1


sin y = 1

sin z = 1

;

;

cos x = 1


cos y = 1

cos z = 1

sin x = 1


sin y = 1

sin z = 1

Bài toán tơng tự ?
Phần III
tổng kết kinh nghiệm:
Qua giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi vè chủ đề ứng dụng tích vô hớng để giải toán chứng minh bất dẳng thức, bản thân tôi nhận thấy làm tốt vấn
đề này sẽ rèn luyện đợc cho học sinh những phẩm chất và kỷ năng sau đây:
1. Kỹ năng chuyển bài toán thờng có bình phơng độ dài sang bình phơng vectơ để sử dụng tích vô hớng (Định hớng lời giải) a2 = AB2 = AB2
Chẳng hạn trong bài 3a do yêu cầu chứng minh a2 + b2 +c2 < 12
trong khi đó a,b,c là 3 cạnh một tam giác thì phải biết chuyển giả thiết thành
a + b + c = 0 và sử dụng (a + b + c) 2 = 0
2. Bồi dỡng óc t duy sáng tạo : Khi phân tích bài 7 do yêu cầu chứng
minh a2 + b2 + c2 > 32 + 22 + 12 và từ giả thiết 3a + 2b + c 32 + 22 + 12.
Học sinh sẽ liên tởng đến bất dẳng thức Bunhiacôpski và từ đó suy nghĩ đến
cách giải thứ hai là ứng dụng tích vô hớng. Khi phân tích bài 1 phải nghĩ đến
vế trái (*) bất đẳng thức là biểu thức toạ độ của tích vô hớng của 2 vectơ còn
vế phải là tích 2 độ dài của 2 vectơ đó. Tơng tự đối với bài 2 cũng với cách
suy nghĩ nh bài 1 mà định ra đờng lối giải.
3. Bồi dỡng cho học sinh một phơng pháp chứng minh bất đẳng thức


Sáng kiến kinh nghiệm

(phơng pháp vectơ). Chẳng hạn bài 4: biết chọn 3 vectơ e1, e2, e3 và sử dụng
(e1 + e2 + e3 )2 0 đối với câu 1 hoặc (OA + OB + OC) 2 0 đối với câu 2 và tơng tự đối với câu 3.
4. Rèn luyện cho học sinh đức tính lao động khoa học, ý thức tìm tòi
nghiên cứu . Ví dụ tơng tự ta dùng tích vô hớng để giải bài toán chứng minh
bất đẳng thức . Ta cũng giải đợc cho bài toán tìm cực trị. Phải biết chuyển bài
toán tìm cực trị về bài toán chứng minh bất đẳng thức và ngợc lại. Nh bài 7 có
thể yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của S = a + b + c & bài 4 thì chuyển đợc về
bài toán tìm giá trị lớn nhất của S = cosA + cos B + cosC đối với câu 1 hay
tìm giá trị nhỏ nhất của P = cos2A + cos2B + cos2C đối với câu 2
5) Những bài toán giải đợc bằng tích vô hớng nói riêng và bằng vectơ
nói chung đặc biệt là bài toán đại số thờng có lời giải đẹp; gọn gàng, chính
xác sẽ gây đợc hứng thú cho học sinh tạo cho học sinh lòng say mê trong học
tập của học sinh. ứng dụng tích vô hớng để giải toán nói chung và chứng
minh bất đẳng thức nói riêng là một nội dung quan trọng và là một chuyên đề
lớn trong giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi trong chơng trình phổ thông .
Trong phạm vi đề tài nhỏ này tôi chỉ muốn viết nên những suy nghĩ và công
việc của mình đã làm và có kết quả đáng khích lệ . Tuy vậy do khả năng bản
thân có hạn nên không thể tránh khỏi những khiếm khuyết .
Kính mong sự góp ý chân thành và những điểm chỉ bảo của đồng
nghiệp .
Xin chân thành cảm ơn.
Đồng Hới ngày 10 tháng 5 năm 2001
Trần Văn Kháng

Tài liệu tham khảo :
1) Phơng pháp toạ độ của Phan Huy Khải
2) Bài giảng của các giáo s, bồi dỡng cho giáo viên Toán.