sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học bất đẳng thức

Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ

Gv: Lờ Xuõn Thng



1

BT NG THC-THT N GIN
I.Lý do chọn đề tài.
Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng thức tôi nhận thấy các em
thờng:
+ Các em thờng sợ các bất đẳng thức. b qua v khụng cú hng thỳ. bi vỡ tụi
nhn thy cỏc em:
+Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán nh thế nào ?.
+Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng nh các hệ quả của các
bất đẳng thức nh côsi, bunhiacopski ,vv
+ Khụng nm ủc mt s bt ủng thc ủn gin thng gp v cú nhiu ng
dng.
+Khi giải đợc bài toán rồi thì dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác, biến
đổi thay đổi giả thuyết và giải bài toán bằng nhiều cách, từ đó nếu có thể suy ra bài
toán tổng quát.
Để khắc phục đợc hạn chế trên, định hớng các em t duy lôgíc. Tôi mạnh dạn đa
ra một vài kinh nghiệm nhỏ trong bài viết này hy vọng các em học tập hiệu quả hơn
bằng cách tip cn vn ủ bng mt bt ủng thc ht sc quen thuc, dễ chứng minh
d nh v ủc bit cú rt nhiu ng dng lp 10 cng nh chng trỡnh ph thụng.
Bi toỏn: Vi hai s dng x v y ta cú:
1 1 1 1
( )
4
x y x y

+
+
(1)
ng thc xy ra khi x =y.
Bt ủng thc (1) cú nhiu cỏch chng minh ủõy ủa ra hai cỏch chng minh ph
bin nht.
Cỏch 1
. Vi hai s dng x v y ta cú:

)( yx
+
2


0 (x + y)
2
1 1 1 1
4 ( )
4
xy
x y x y
+
+

Rừ rng, ủng thc xy ra khi x = y.
Cỏch 2
. ỏp dng bt ủng thc Cụ-si cho hai s dng ta cú

y
x

+
,2 xy

1 1 1 1 2
2 .
x y x y
xy
+ =
T ủú:
( )
x y
+
(
1 1 1 1 1 1
) 4 ( )
4
x y x y x y
+ +
+

V ủng thc xy ra khi x =y.
Tng quỏt
: Cho hai s x, y dng v a, b l hai s bt kỡ ta cú:
(
)
2
2 2
( )
a b
a b

x y x y
+
+
+
hay
(
)
2
2 2
( )
a b
a b
x y x y
+
+
+
.
Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ

Gv: Lờ Xuõn Thng



2

Du bng sy ra khi v ch khi
a b
x y
=
. ( chng minh bt ủng thc ny cng cú nhiu

cỏch chng minh xin dnh cho bn ủc).
II. Biện pháp thực hiện.
Để làm đợc việc này cần có nhiều việc phải làm.
Thứ nhất: yêu cầu và rèn luyện cho học sinh nắm vững các lý thuyết cơ bản nh
côsi,bunhiacopski,trêbsep,v,vvà các cách chứng minh thông thờng.
Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt hớng cho các em phân tích
các bài toán bằng cách trả lời câu hỏi:
-Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không?
-Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các số hạng phải
thoả mn điều kiện nào. Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết của
bài toán.
Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen
thuộc. đặc biệt là bất dẳng thức (1)
Thứ t: Sau khi khuyến khích các em giải bài toán theo nhiều cách, nhiều công
cụ. Tổng quát bài toán.Công việc này rất có lợi cho t duy cũng nh khả năng tổng
hợp kiến thức của các em.
III. Phạm vi nghiên cứu.

Sáng kiến này đợc thực hiện ở các lớp khối tại trờng THPT Triệu Sơn 4.
V. Thực hiện


Bi toỏn 1
. Cho ba s dng a, b, c, ta cú:

1 1 1 1 1 1 1
( )
2
a b b c c a a b c
+ + + +

+ + +
(2)
ng thc xy ra khi a = b = c.
p dng (1) ta cú ngay ủiu phi chng minh.
* Phỏt trin: p dng (2) cho 3 s a+b, b+c, c+a ta ủc:

1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 2 2
a b c b c a c a b a b b c c a
+ + + +
+ + + + + + + + +
(3)
* Kt hp (2) v (3) ta cú
Bi toỏn 2
. Vi a, b, c l cỏc s dng:

1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 2 4
a b c b c a c a b a b c
+ + + +
+ + + + + +
(4)
ng thc xy ra khi a = b = c.

Chỳ ý
: Nu thờm gi thit
1 1 1
4

a b c
+ + =
thỡ bi toỏn 2 l ni dung cõu V, thi
i hc v Cao ủng khi A, nm 2005.
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phí

Gv: Lê Xuân Thắng



3

Bài toán 3
. Chứng minh rằng với a, b, c dương:

1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3
a b c b c a c a b a b b c c a
+ + ≤ + +
+ + + + + + + + +
(5)
Giải:
Vận dụng bất ñẳng thức (1) ta có:

1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2
a b b c a a b b c a a b c
+ ≥ =
+ + + + + + + + +

1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2
b c c a b b c c a b b c a
+ ≥ =
+ + + + + + + + +


1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2
c a a b c c a a b c c a b
+ ≥ =
+ + + + + + + + +

Cộng vế với vế các bất ñẳng thức trên và rút gọn ta có bất ñẳng thức (5)
ðẳng thức xảy ra khi:
3 2
3 2
3 2
a b b c a
b c c a b a b c
c a a b c
+ = + +


+ = + + ⇔ = =


+ = + +


Bài toán 4
. Hãy xác ñịnh dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn
thỏa mãn ñẳng thức sau:

1
2 2 2
1 . 1 . 1 . 4. . .
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C
tg tg tg
B C C A A B A B C
tg tg tg tg tg tg tg tg tg
+ + =
+ + +

Giải
: ðặt
tg
x
=
, ,
2 2 2
A B C
y tg z tg
= = thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1
Hệ thức trở thành:
1
1 1 1 4
x y z

yz zx xy xyz
+ + =
+ + +

Ta có:

1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
4 4 4
1 1 1 1 1
4 4 4
x y z
yz zx xy
x y z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
x x y y z z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
x z x y y z xy yz zx
xy yz zx yz xy zx x y z x
+ + =
+ + +
= + + ≤
+ + + + + + + + +
     
≤ + + + + + =
     
+ + + + + +
     
   

+ + + + +
= + + = + + =
   
+ + +
   
1
4
yz xyz
=

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC ñều.
Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ

Gv: Lờ Xuõn Thng



4

Bi toỏn 5
. Cho x, y, z l cỏc s thc tha món ủiu kin x + y + z = 0, x +
1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hóy tỡm giỏ tr ln nht ca

1 1 4
x y z
Q
x y z
= + +
+ + +

Gii:
t a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta cú: a + b + c = 6
v

1 1 4 1 1 4
3
a b c
Q
a b c a b c


= + + = + +



Theo bt ủng thc (1) ta cú:

1 1 4 4 4 16 8
( )
3
8 1
3
3 3
a b c a b c a b c
Q
+ + + =
+ + +
=

ng thc xy ra khi v ch khi:

3 1
2 2
3 1
6
a b
a b x y
a b c
c z
a b c
=


= = = =

+ =


= =
+ + =



Vy:
1
3
MaxQ
=
ủt ủc khi
1
2

1
x y
z

= =



=

.
Bi toỏn 6 : Chứng minh rằng :
2 2 2 1 1 1
6 4 6 4 6 4 4 4 4
x y z
x y y z z x x y z
+ + + +
+ + +

với x, y, z là các số dơng. Dấu bằng sảy ra khi nào ?
Giải :
( )
2
2
1
1 1 1 4
4 4 6 4 6 4 6 4
x
x x
x y x y x y x y

+
+ = +
+ +
. Tơng tự ta cũng có
1 1 4 1 1 4
;
4 4 6 4 4 4 6 4

y z
y z y z z x z x
+ +
+ +
. Cộng từng vế bất dẳng thức trên ta có bất
dẳng thức cần chứng minh. Dờu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
Bi toỏn 7
: Cho 3 s thc dng a, b v c tho :ab+bc+ca = abc. chng minh
rng :


( ) ( ) ( )
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
+ + +
+ +
+ + +

Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ

Gv: Lờ Xuõn Thng



5

Giải: ta có ab+bc+ca = abc
1 1 1
1
a b c
+ + =
. Đặt
1 1 1
; ;
x+y+z=1
x y z
a b c
= = = .
Khi đó ta có:

(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
1 1
2
3 3
4 4 4 4 6 64 4
3 3
3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2
1 1 1
3 3
2
2 2
3 3 4 4 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
x y
a b x y x yx y
x y
ab a b x x y y x y x y x y

xy
x y
x y
x y x y x y x y
x y
x y
x x y y x y x y x y




+
+
+ +
= = = +
+
+ + + + +
+
+
+ + +
= = + =
+
+
+ + + +

Tơng tự ta có
( ) ( )
4 4 4 4
3 3 3 3
;

2 2
y z z x
b c c a
bc b c ca c a
+ +

+ +

+ +

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có
( ) ( ) ( )
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
x y z
ab a b bc b c ca c a
+ + +
+ + + + =
+ + +
.
Suy ra điều phải ch

ng minh

Bi toỏn 8:
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc

x t t y y z z x

A
t y y z z x x t

= + + +
+ + + +

Vi x, y, z, t l cỏc s dng.
Gii
: Ta cú:

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4
4
1 1 1 1
( ) ( ) 4
4 4
( ) ( ) 4
4( )
4 0
x t t y y z z x
A
t y y z z x x t
x y t z y x z t
t y y z z x x t
x y t z
t y z x y z x t
x y t z
x y z t x y z t
x y z t
z y z t

= + + + + + + + =
+ + + +
+ + + +
= + + + =
+ + + +

= + + + + +

+ + + +

+ + + =
+ + + + + +
+ + +
= =
+ + +

Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phí

Gv: Lê Xuân Thắng



6

Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
Trên ñây là một số bài toán áp dụng bất ñẳng thức (1) sau ñây là một số bài tập
tương tự:

Bài 1
. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất ñẳng thức:

1 1 1 1 1 1 1
1/ .
2 3( ) 2 3( ) 2 3( ) 4
1 1 1 1 1 1 1
2 /
2 3 2 3 2 3 2 2 2 2
a b c b c a c a b a b b c c a
a b c b c a c a b a c b a c b
 
+ + ≤ + +
 
+ + + + + + + + +
 
 
+ + ≤ + +
 
+ + + + + + + + +
 

Bài 2
. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
abc = ab + bc + ca thì:

1 1 1 17
2 3 2 3 2 3 96
a b c b c a c a b
+ + <
+ + + + + +

Bài 3
. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y
1
≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

1 2
4
2 2
A xy
xy
x y
= + +
+

Bài 4.
Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không ñổi), BC = a, CA =
b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2
ab bc ca
T
a b c b c a c a b
= + +
+ + + + + +


Bài 5.
Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là ñộ dài 3 cạnh). Chứng
minh rằng:

1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
 
+ + ≥ + +
 
− − −
 

III. Mở rộng.
Cho x, y,z là ba số dương. chứng minh rằng:
( )
1 1 1 1 1
( ) 7
9

x y z x y z
≤ + +
+ +
;Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Tổng quát:
Cho ba số a, b, c bất kì, x, y, z la ba số thực dương ta có:
(
)
( )
2
2 2 2
6
a b c

a b c
x y z x y z
+ +
+ + ≥
+ +
.(Bất ñẳng thức s-vac) Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi
a b c
x y z
= =
.
Chứng minh:
Áp dụng bất ñẳng thức bunhiacopski ta có:
Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ

Gv: Lờ Xuõn Thng



7

( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
.

a b c a b c
x y z x y z
x y z
x y z
a b c







+ + + + = + + + +













+ +

T ủú suy ra ủiu phi chng minh.
IV. p dng

Bi toỏn 1:
Chứng minh rằng

:
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + + +
với a, b, c là các số thực
dơng.
Giải

:
á
p dụng bất đẳng thức (6) ta có

:
( )
2
2 2 2
a b c
a b c
a b c
b c a a b c
+ +
+ + = + +
+ +
. Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng sảy ra
khi và chỉ khi

a b c
a b c
b c a
= = = =


Bi toỏn 2
: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
6 6 6
3 3 3 3 3 3
a b c
B
b c c a a b
= + +
+ + +
trong đó a, b, c là các số thực dơng thỏa mn
1
a b c
+ + =

Giải

:
á
p dụng bất đẳng thức (6) ta có

:
(
)
( )

2
3 3 3
6 6 6 3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2
2
a b c
a b c a b c
B
b c c a a b
a b c
+ +
+ +
= + + =
+ + +
+ +
. Mặt khác theo bất
đẳng thức Bunhiacovski ta có

:
( )
( )
(
)
( )
( ) ( ) ( )
2
2
4

2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 3 3
1
9 9
9
a b c a b c aa a bb b cc c
a b c a b c a b c a b c


= + + + + = + +


+ + + + = + + + +
.
Vậy
1
18
B


Bi toỏn 3
: Cho các số thực dơng x, y, z, t thỏa mn xyzt=1. chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
1 1 1 1 4
3
x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy
+ + +
+ + + + + + + +

Giải

:
Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ

Gv: Lờ Xuõn Thng



8

đặt
1 1 1 1
; ; ;
y z t=
x
a b c d
= = =
, theo bài ra ta có abcd = 1 và
( )
2
3
3
1 1
1 1 1 1
a
x yz zt ty b c d
a bc dc bd
= =

+ + + +

+ +



; tơng tự ta có

:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3
1 1 1
; ;

b c d
y xz zt tx a c d z yt xt xy a b d t yz zx xy a b c
= = =
+ + + + + + + + + + + +
Công các vế bất đẳng thức trên ta có

:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
3 3 3 3
2
2 2 2 2
4
1 1 1 1

3
4 4
3 3 3
x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy
a b c d
a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
a b c d abcd
+ + +
+ + + + + + + +
+ + +
= + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + +
= =

(M rng t nhiờn bt ủng thc (6) cho bn s)
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi
1a b c d
a b c d
b c d a c d a b d a b c
= = = =



= = =

+ + + + + + + +

Bi toỏn 4
: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
8 8 8
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
B
b c a c b a
= + +
+ + +
, trong đó a, b, c là các số thực dơng thỏa
điều kiện
1
ab bc ca
+ + =

Giải

:
á
p dụng bất đẳng thức (6) ta có

:
( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
( )

( ) ( )
2
4 4 4
8 8 8
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
4 4 4
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2
a b c
a b c
B
b c a c b a b c a c b a
a b c
a b c a b b c a c
+ +
= + +
+ + + + + + + +
+ +
=
+ + + + +

Xét biểu thức
2 2 2 2 2 2
a b b c a c
+ +
. Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có

:

Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ

Gv: Lờ Xuõn Thng



9

2 2 2 2 2 2 4 4 4
a b b c a c a b c
+ + + +
. Do đó
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2 2
4 4 4 4 4 4
4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4
4
2 2 4
a b c a b c
a b c
B
a b c a b c a b c
+ + + +
+ +

= =
+ + + + + + +
.
Mát khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski
(
)
2
4 4 4
1
ab bc ca a b c
= + + + +
.
Bi toỏn 5
:
Cho x,y,z>0 v tho :
2 2 2
1
3
x y z
+ +

Tỡm giỏ tr nh nht ca:
3
3 3
2 3 5 2 3 5 2 3 5
y
x z
x y z y z x z x y
+ +
+ + + + + +

Nh

n xét: Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. dự đoán dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi
chúng bằng nhau và bằng
1
3
.
Giải:
á
p dụng bất đẳng thức (6) ta có

:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 3 4 4 4
2 2 2

2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 8 2 8 10
1
2 2 2
30
x y z x y z
x y z y z x z x y
x xy xz y yz yx z xz yz
x y z x y z x y z
x y z xy yz zx x y z x y z x y z
x y z
+ + = + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +

+ + + + + + + + + + + +
= + +

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi
2 2 2
2 2 2
2 3 5 2 3 5 2 3 5
1
3
1

2 2 2
3
x y z
x xy xz y yz yx z xz yz
x y z x y z
x y z











= =
+ + + + + +
= = = = =
+ + =
.
Bi toỏn 6
:
Cho a,b,c>0 v tho : a.b.c = 1
Chng minh rng:
( )
( )
( )
2 2 2

3
3 3 3
a b c b c a c a b
+ +
+ + +

Nh

n xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. dự đoán dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi
chúng bằng nhau và bằng 1.
- Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt
1 1 1
; ;
b c .
a
x y z
= = =

Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ

Gv: Lờ Xuõn Thng



10
Giải: Đặt
1 1 1
; ;
b c .
a

x y z
= = = Theo giả thiết ta có: xyz = 1
Ta có
( )
2
3
3
2 2 2
1 1 1
x
a b c y z
x y z



= =
+ +
+
; tơng tự ta có:
( )
2
3
3
2 2 2
1 1 1
y
b a c x z
y x z

= =
+ +
+
;
( )
2
3
3
2 2 2
1 1 1
z
c b a y x
z y x



= =
+ +
+
. Do đó
á
p dụng bất
đẳng thức (6) ta có

:
( )
( )
( )
( )

( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2
3
3 3
2 2
y
x z
y z x z y x
b c a
a b c c a b
x y z x y z
xyz
x y z
+ + = + +
+ + ++
+ +
+ + + +
= =
+ +

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi
1

x y z
= = =


Bi toỏn 7
: Cho 3 s thc dng x,y,z >o tho :
3
x y z
+ +
.Tỡm GTNN ca
A =
2
2 2
y
x z
x yz y zx z xy
+ +
+ + +

Giải:
á
p dụng bất đẳng thức (6) ta có

:
( )
2
2
2 2
x y z
y

x z
x yz y zx z xy x y z yz zx xy
+ +
+ +
+ + + + + + + +
.Ta
có
yz zx xy x y z
+ + + +
.
Do đó
( )
2
2
2 2
3
2 2
x y z
y x y z
x z
x y z x y z
x yz y zx z xy
+ +
+ +
+ + =
+ + + + +
+ + +

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi
3

1
x y z
x y z x y z
x y z
x yz y zx z xy


+ + =


= = = = =



= =

+ + +



Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phí

Gv: Lê Xuân Thắng



11
Bài toán 8
:
Với x, y, z là số dương và

. . 1
x y z
≥

Chứng minh rằng:
3
2
x y z
x yz y zx z xy
+ + ≥
+ + +

(1)

Hướng dẫn.
ðặt
, ,
a x b y c z
= = =
Bài toán trở thành : a, b, c là số dương và
. . 1
a b c
≥

Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2
3
2
a b c

a bc b ac c ab
+ + ≥
+ + +

(2)

Áp dụng bất ñẳng thức trên ta có
(
)
( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
a b c
a b c
a bc b ac c ab a bc b ac c ab
+ +
+ + ≥
+ + + + + + + +

Bình phương hai vế bất ñẳng thức:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 4
2

2
2 2 2
2 2 2
4 4
2
2 2 2
4
2
(3)
3( )
3 3
3 3
a b c a b c
VT
a bc b ac c ab
a bc b ac c ab
a b c a b c
a b c ab bc ac
a b c ab bc ac
a b c
a b c
 
+ + + +
≥ =
 
+ + + + +
 
 
+ + + + +
 

 
+ + + +
≥ ≥
+ + + + +
 
+ + − + +
 
+ +
≥
 
+ + −
 

( Vì
( )
2
3
3 3
ab bc ac abc
+ + ≥ ≥
)

ðặt
(
)
2
t
a b c
= + +
thì

9
t
≥
( vì
3
3 3
a b c abc
+ + ≥ ≥
)
Ta có:
2
3 15 3 3 3.9 15 3 3 9
2 .
3( 3) 12 12 3 12 12 3 2
t t t t
t t t
+ − + −
= + + ≥ + =
− − −


2
9 3
(5 ') (4 ')
2 2
VT VT
⇒ ≥ ⇒ ≥

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1
⇒

ñiều phải chứng minh
Tổng quát
: ta có bài toán sau: với
(
)
1 2
, , , 2
n
x x x n
≥
là số dương và
1 2
. 1
n
x x x
≤

Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ

Gv: Lờ Xuõn Thng



12
Cmr:
1 2
1 2 3 2 3 4 1 2 1

2
. . .

n
n n n n
x
x x
n
x x x x x x x x x x x x

+ + +
+ + +


Bi toỏn 9
: chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dơng thỏa mn
abc ab bc ca
= + +
thì
3
16
1 1 1
2 3 2 3 2 3
a b c b c a c a b
<
+ +
+ + + + + +

Giải

:
Từ
abc ab bc ca

= + +
suy ra
1 1 1
1
a b c
+ + =
. đặt
1 1 1
; ;
y z
x
a b c
= = =
thì
1
x y z
+ + =

á
p dụng bất đẳng thức (7) ta có

:
1 2 3 36 1 2 3
2 3
2 3 2 3 36
x y z
a b c
x y z x y z a b c
+ +
+ + = + +

+ + + +

Tơng tự ta cũng có
2 3 2 3
; ;
36 36
1 1
2 3 2 3

y z x z x y
b c a c a b
+ + + +

+ + + +

Cộng ba bất đẳng thức trên ta có
(
)
6
1 3
36 6 16
1 1 1
2 3 2 3 2 3
x y z
a b c b c a c a b
+ +
= <
+ +
+ + + + + +

Cách2

:
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3
.
2 3 9 9 4
a b c a c b c b c a c b c b c a b c

= + + + +

+ + + + + + + + + +


Tơng tự ta
cú:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2
. ;
2 3 9 9 4
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2
.
2 3 9 9 4
b c a a c a c b a a c a c b a a b c
c a b b c b a b a b c a b b a b c a

= + + + +

+ + + + + + + + + +

= + + + +

+ + + + + + + + + +


cng v vi v ta cú:
1 1 1 1 6 6 6 3
2 3 2 3 2 3 36 16
a b c b c a c a b a b c

+ + + + <

+ + + + + +


suy ra ủiu phi chng minh.
du bng sy ra khi v ch khi a=b=c=3.
Bi toỏn 10
Cho
{
, , 0
1
x y z
x y z

+ + =
. Cmr:
2 2 2

9
1 1 1 10
x y z
P
x y z
= + +
+ + +

Gii:
Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ
Gv: Lờ Xuõn Thng



13
( )
2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 2 2
2
2 2 2
4 4 4
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
1 1
x y z

P x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x x y y z z x y z x y z


= + + =


+ + +



= + + =

+ + +

+ +

= + +

+ + + + + + + +


t
2 2 2
t x y z

= + +
t ủiu kin
1
3
t


p dng bt ủng thc
bunhiacopxki
v
Cụsi
ta cú:
(
)
(
)
( )
3 3 3 2 2 2
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
1 3 1
1 3
2 3 2 2 3
x y z x y z x y z xy yz zx xyz
x y z t
x y z x y z t t
+ + = + + + + +
+ +

+ + + + + = +




2 2 2
2
2
2
2 2 3 10 3 9 9
1 1
3 10 3 10 10
3 1
1 3 3
3
3
1
( )(57 9)
9 9
3
3 10 3 10 10
t t t t
P
t
t t
t
t t
t t

t t
P
t t
+ +
= + =
+ +
+ + +
+ +
+
+
+ +

Du bng xy ra khi v ch khi x = y = z =
1
3


ủpcm.
Bi toỏn 11:
Cho x, y, z là các số thực dơng thay đổi và thoả mn điều kiện:
xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: P =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 2 2
x y z y z x z x y

y y z z z z x x x x y y
+ + +
+ +
+ + +

Gii:
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2
x y z y z x z x y
x yz z xy
y xz
P
y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y
y y
x x z z
y y z z z z x x x x y y
+ + +

= + + + +
+ + + + + +
= + +
+ + +

ủ ủn gin ủt
; ; ;
b c
a x x y y z z
= = =
Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ

Gv: Lờ Xuõn Thng



14
Ta cú
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 3
2
4
3 3
a b c
a b c a b c
P
b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca
a b c ab bc ca a b c
ab bc ca
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
a b c
ab bc ca
+ +
= + + = + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + +
+ +
= = +
+ + + + + +
+ +

= +
+ +

Mt khỏc ta cú
2 2 2
a b c ab bc ca
+ + + +
. Nờn ta cú:
2
P

. du bng sy ra khi v ch khi
a b c
= =
. Hay
x=y=z=1
x x y y z z= =
Mt s bi tp tng t:

Bi toỏn 1: Tỡm giỏ tr nh nht cu biu thc Q =
yx
z
xz
y
zy
x
+
+
+
+

+
333
,vi
x, y ,z l cỏc s dng tho món ủiu kin x+y+z
6


VI. Kết quả thực hiện
Đây là một phần khó thực hiện trên đối tợng học sinh đa dạng nên gặp không ít khó
khăn.Tuy nhiên qua khảo sát học sinh kết quả thu đợc tơng đối khả quan

Kết quả nh sau

Giỏi Khá TB Yếu Kém
Khối 10 25% 31% 10% 26% 18%
Khối 11 27% 25% 11% 29% 8%

Trên đây là môt số kinh nghiệm có đợc trong quá trình dạy học, tìm tòi tự bồi dỡng
nghiệp vụ chuyên môn,
cỏc bi tp ủc su tm v chn lc k lng t ủ thi ủi
hc cỏc nm v b ủ thi tuyn sinh. Mc dự ủó rt c gng song kinh nghim cũn hn
ch
. Rất mong sự quan tâm đóng góp ý kiến của các đồng chí để bài viết này đợc
hoàn thiện hơn.



Triệu sơn 22/5/2009

Tỏc gi

Lê Xuân Thắng
Lê Xuân Thắng Lê Xuân Thắng
Lê Xuân Thắng