không gian vectơ tôpô không gian lồi địa phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

----------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài :

KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ
KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG



Giảng viên hướng dẫn:
Th.s Lê Hồng Đức

SVTH : Châu Thị Tuyết Trang
MSSV : 1100070
Lớp : Sư Phạm Toán K36

Cần Thơ, tháng 5 năm 2014


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

LỜI CẢM ƠN
 

 

 
 
 
Trên con đường chinh phục thành công, một
phần động lực lớn cho em vượt lên những khó
khăn, thử thách chính là sự quan tâm, giúp đỡ
của các thầy, cô - những người trang bị cho em
kiến thức, kĩ năng vững vàng trong suốt quá
trình học tập, rèn luyện; gieo cho em niềm tin
vào tương lai tươi sáng.
Qua bốn năm đại học, dưới sự chỉ dạy, động
viên của các thầy, cô Bộ môn Toán- Khoa Sư
phạm – Trường Đại học Cần Thơ, em càng nhận
thức rõ hơn về năng lực bản thân và cố gắng
phát huy để tiếp tục hành trình lập nghiệp.
Đến đây, em muốn gửi lời cảm ơn chân thành
đến các thầy, cô – đặc biệt là thầy Lê Hồng Đức
– giảng viên hướng dẫn em hoàn thành luận văn
này. Kính chúc các thầy, cô nhiều sức khỏe,
thành công trong cuộc sống!
 

05/2014
Sinh viên
                                           Châu Thị Tuyết Trang 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 1
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

MỤC LỤC
 
A. PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................. 3
B. PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................... 6
Chương 1: Không gian vectơ tôpô ...................................................................... 6
1.1 Định nghĩa ................................................................................................... 6 
1.2 Tính chất ...................................................................................................... 6 
1.3 Một số loại tập trong không gian vectơ tôpô ................................................ 8 
1.4 Cơ sở lân cận ............................................................................................. 11 
1.5 Tập bị chặn và tập compact trong không gian vectơ tôpô ........................... 15 
1.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục và phiếm hàm tuyến tính liên tục ...................... 20 
1.7 Không gian vectơ tôpô con- Không gian vectơ tôpô thương ....................... 22 
1.8 Một số không gian vectơ tôpô .................................................................... 23 
CHƯƠNG 2: Không gian lồi địa phương ......................................................... 32
2.1 Tập lồi – Tập tuyệt đối lồi .......................................................................... 32 
2.2 Định nghĩa không gian lồi địa phương ....................................................... 37 
2.3 Cơ sở lân cận ............................................................................................. 37 
2.4 Nửa chuẩn liên tục và phiếm hàm Minkowski ............................................ 39 
2.5 Tập bị chặn và hoàn toàn bị chặn ............................................................... 47 

2.6 Không gian thùng ...................................................................................... 49 
Chương 3: Bài tập ............................................................................................. 52
C. PHẦN KẾT LUẬN ....................................................................................... 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 78
 
 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 2
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là  một ngành toán học đã được tìm hiểu và phát triển lâu đời. 
Với  những ứng  dụng  thực  tiễn  quan trọng,  Giải  tích  hàm  đã được  đưa  vào giảng 
dạy ở bậc Đại học, làm nền tảng cho các nghiên cứu sau này. Qua đó, chúng ta biết 
được  cách  xây  dựng  các  không  gian  như  không  gian  định  chuẩn,  không  gian 
Banach,  không  gian  Hilbert...Tuy  nhiên,  các không gian  kể trên  chưa  đủ rộng để 
nghiên cứu các vấn đề của Giải tích.  
Sự hình thành của lớp các không gian vectơ tôpô, đặc biệt là  không gian lồi 
địa phương cùng việc nghiên cứu các tính chất, mối liên hệ của các không gian này 

đã góp phần giải quyết nhiều vấn đề nảy sinh.  Từ đó, được sự hướng dẫn, gợi ý 
của thầy Lê Hồng Đức, em đã chọn đề tài “Không gian vectơ tôpô – Không gian
lồi địa phương” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình. 
II. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu, nâng cao mảng kiến thức Giải 
tích hàm về các lớp không gian tổng quát như không gian vectơ tôpô và không gian 
lồi địa phương. Đồng thời, thực hiện luận văn là bước đầu tạo đà cho các nghiên 
cứu khoa học sau này Với cách trình bài khá chi tiết, rõ ràng, hi vọng luận văn sẽ 
trở thành một tài liệu tham khảo cho các bạn đọc đam mê nghiên cứu toán học. 
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương và các tính chất của các 
không gian đó. 
IV. Phương pháp nghiên cứu
Tìm kiếm, tổng hợp tài liệu. 
Khái quát, phân loại, hệ thống kiến thức.  
Trình bày theo một thứ tự hợp lí. 
V. Tóm tắt nội dung nghiên cứu
Luận văn gồm 3 chương: 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 3
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

Chương 1: KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ
Trong phần này, định nghĩa không gian vectơ tôpô được trình bày theo quan 
điểm các lân cận. Qua đó, rút ra được một số tính chất thú vị của nó, đặc biệt là 
tính bất biến của phép tịnh tiến và phép vị tự. Tiếp theo, luận văn làm nổi bật các 
tập phổ dụng của không gian vectơ tôpô như tập cân, tâp hút, ... Từ đó, các tập này 
như một công cụ hỗ trợ giúp ta nghiên cứu các đặc điểm cơ sở lân cận của không 
gian này. Đồng thời, rút ra một tính chất quan trọng cũng như cách trang bị tôpô 
cho  một  không  gian  vectơ;  đó  là:  Cấu  trúc  tôpô  trong  không  gian  vectơ  tôpô  X  
hoàn toàn xác định nếu biết được một cơ sở lân cận tại 0 của nó. 
Bên cạnh đó, thông qua các định lý, mệnh đề; một số không gian vectơ tôpô 
được khảo sát như không gian vectơ tôpô Hausdorff, không gian vectơ tôpô mt hóa 
được, không gian vectơ tôpô hữu hạn chiều... 
Chương 2: KHÔNG GIAN LỒI ĐịA PHƯƠNG
Trước khi trình bày khái niệm của không gian lồi địa phương, luận văn đã nêu 
các tính chất của tập lồi, tập tuyệt đối lồi và mối liên hệ giữa các tập này với tập 
cân,  tập  hút  trong  không  gian  vectơ  tôpô...Việc  nghiên  cứu  các  tập  này  nhằm 
hướng đến định nghĩa không gian lồi địa phương theo quan điểm cơ sở lân cận lồi 
tại 0. 
Tiếp đến, ta sẽ thấy được một cách xây dựng không gian lồi địa phương khác 
thông qua  nghiên  cứu  họ  các  nửa  chuẩn liên  tục, phiếm  hàm Minkowski với  các 
tính chất liên hệ giữa cơ sở lân cận tại 0 và tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn liên tục. 
Khi đó, dễ dàng cho ta nghiên cứu sâu hơn các thuộc tính của nó như tính chất bị 
chặn, hoàn toàn bị chặn. 
Luận  văn  cũng  khẳng  định  được  không  gian  định  chuẩn  cũng  là  một  không 
gian lồi địa phương; đồng thời giới thiệu một số lớp không gian lồi địa phương với 
tôpô sinh bởi họ  các nửa chuẩn Đặc biệt, nghiên cứu không  gian thùng cùng với 
tính chất chặn đều cho ta thấy được sự đa dạng của không gian lồi địa phương. 
Chương 3: BÀI TẬP

Bài tập về không gian vectơ tôpô và không gian lồi địa phương trong luận văn 
được phân thành 5 dạng bao gồm: 
SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 4
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

- Các bài toán chứng minh một không gian vectơ tôpô có là không gian vectơ 
tôpô ( không gian lồi địa phương). 
- Bài tập liên quan đến tính chất các tập cân, lồi, hút... 
- Bài tập về phép toán trên các nửa chuẩn, chứng minh điều kiện để một nửa 
chuẩn liên tục. 
- Các bài tập liên quan đến các lớp không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa 
phương. 
- Một số bài tập khác. 
 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 5
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

B. PHẦN NỘI DUNG
Chương 1:

KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

1.1 Định nghĩa
Cho  X  là một không gian vectơ trên trường  K (trường thực hoặc phức) và    
là một tôpô trên  X . 

 

Xét hai ánh xạ  () : X x X  X
 
   
  x, y   x  y

( ): K x X  X

, x

x

 

Khi  đó,   X ,     được  gọi  là  một  không  gian  vectơ  tôpô  nếu  các  ánh  xạ  trên 
liên tục. 
Theo quan điểm lân cận, 
* Ánh xạ (+) liên tục nếu với mỗi   x, y   X x X  luôn tồn tại  U x , V  y  
sao cho  U  V  W,  W  x  y . 
* Ánh xạ  ( )  liên tục nếu với mỗi    , x   K x X  luôn tồn tại  V  x  sao cho 

  0,   K :      thì V  W,  W  x . 
Hai ánh xạ (+) và  ( )  liên tục thì    được gọi là tôpô tương thích với cấu trúc 
đại số trên  X . 
Nhận xét
Mọi tính chất đúng trong không gian tôpô và không gian vectơ đều đúng trong 
không gian vectơ tôpô.  
1.2 Tính chất
1.2.1 Định nghĩa 
Cho  X  là một không gian vectơ tôpô trên trường  K ,  a  X ,   K . 
Ánh xạ 

Ánh xạ 

Ta : X  X
x  xa
V : X  X
x  x

 được gọi là một phép tịnh tiến (theo  a ) trong  X . 

 là một phép vị tự (theo tỉ số   ) trong  X . 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 6
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

1.2.2 Mệnh đề 
Phép tịnh tiến  Ta  và phép vị tự  V   (  K \ 0)  là các phép đồng phôi. 
Chứng minh
Dễ dàng kiểm tra được  Ta  là một song ánh. 
Theo định nghĩa phép cộng trong không gian vectơ tôpô  X , ta suy ra được  Ta  
và  Ta1 : X  X Ta1 ( y )  y  a, y  X   là các ánh xạ liên tục. 
Như vậy, phép tịnh tiến là một phép đồng phôi. 
Tương  tự,  ta  cũng  chứng  minh  được  V   là  một  phép  đồng  phôi  với  ánh  xạ 
y
ngược  V1 ( y )  . 



* Nhận xét  
i. Ánh xạ   : X  X

 ( x)  a   x   liên tục. Hơn nữa, khi    0  thì    là 

một phép đồng phôi. 
ii. Nếu  G  là một tập mở trong  X  và với    K \ 0 , a  X , A  X  thì các 
tập  a  G, G, A  G  là các tập mở trong  X . 
iii. Nếu  F  là một tập đóng trong  X  và với    K \ 0 , a  X , A  X  thì 
các tập  a  F ,  F , A   F  là các tập đóng trong  X . 
Chứng minh
i. Ta nhận thấy    Ta  V .  
Mặt khác, theo định nghĩa trên  Ta  và  V  là các ánh xạ liên tục nên tích của nó 
là một ánh xạ liên tục. 
Hơn nữa, từ mệnh đề trên,    là tích của hai phép đồng phôi khi    0  nên    
là một phép đồng phôi. 
Ta có thể kiểm tra    qua định nghĩa phép đồng phôi với   1 ( y ) 

1



 y  a  . 

ii. Ta thấy  a  G  Ta (G ),  G  V (G ) . 
Đồng thời,  G  là  một tập mở trong  X  và  Ta ,  V  là các phép đồng phôi nên 
ảnh của  G  là một tập mở. 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 7
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

Do đó,  a  G ,  G  là các tập mở. 
Ta xét  a  G  là ảnh của  G  qua phép đồng phôi   , vậy  a  G  cũng là một 
tập mở. 
Khi đó,  A   G   a  G  là hợp một họ các tập mở nên là một tập mở. 
aA

iii. Tương tự như (ii). 
1.2.3 Mệnh đề
Giả sử  V  là một lân cận của    X ,    K \ 0 , x  X . 
Khi đó,  x  V  là lân cận của  x  và  V  là lân cận của   . 
Chứng minh 
Ta có:  V  là  một  lân cận của  0  X  nên  tồn tại tập  G  mở trong  X  sao cho 
0  G  V . 

 x  x  G  x  V , x  X
Do đó,  
 mà các tập  x  G và G  là các tập mở. 
  K
0   G  V ,
Vậy  x  V  x  và  V 0 . 
1.3 Một số loại tập trong không gian vectơ tôpô
1.3.1 Tập cân

a) Định nghĩa 
Cho  A  X  với  X  là không gian vectơ tôpô  trên trường  K . 
A  là tập cân nếu   A  A,   K và   1.  

* Nhận xét
i) Mọi tập cân đều chứa 0. 
ii) Giao của một họ các tập cân là một tập cân. 
Chứng minh
i) Giả sử  A  là tập cân trong không gian vectơ tôpô  X . 
Khi đó,   A  A,   K và   1  0  0  0. A  A . Vậy  A  chứa 0. 
ii) Giả sử  Ai  là các tập cân   i  I  . Đặt  A   Ai .  
iI

Vì  Ai  là tập cân nên   Ai  Ai ,   K và   1.  

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 8
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

Suy ra   A    Ai    Ai   Ai  A   (   K và   1 ). 
iI

iI

iI

Vậy  A  là tập cân. 
b) Mệnh đề
Với  X   là  không  gian  vectơ  tôpô  trên  trường  K .  A, B   là  hai  tập  cân, 

 ,  ,   K . Khi đó, 
i)   A,  A   B  là các tập cân trong  X . 
ii) Nếu    1 thì  A  A.  
iii) Nếu     thì  A   A.  
Chứng minh
i)    K :   1. 
Ta có:     A      A   A  nên   A  là tập cân. 
Tương tự:     A   B    A   B     A      B    A   B .  
 Vậy   A   B  là tập cân. 
ii) Ta có:    K :   1    1.   

  A   A  (vì  A  là tập cân)                                                                        (1) 
Mặt khác,    1 

1



1  

1



 1.  

A  là tập cân suy ra   A  là tập cân, vậy thì  A 

1



 A     A    A.        (2) 

Từ (1) và (2) ta có được    1 thì  A  A.  
iii) Ta xét hai trường hợp: 
(+)   0 :      0    0 thì  A   A.  



 1 vì A cân nên A  A   A   A.  


Vậy nếu     thì  A   A.  

(+)   0 :     

c) Định lý
Giả sử  X  là không gian vectơ tôpô trên trường  K ,  A  là một tập cân trong  X . 
i)  A  cũng là một tập cân. 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 9
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

ii) Nếu  Ao  chứa 0 thì   Ao  là một tập cân. 
Chứng minh
i. Ta có:    K :   1.  
Ta  thấy   A   là  ảnh  của  A   qua  phép  vị  tự  V   nên   A   là  tập  đóng  hay 

 A   A . Mà   A  A   A   A  A , vậy  A  là một tập cân. 
ii. Giả sử  0  Ao , ta cần chứng minh   Ao  Ao ,   K :   1.  
o

Ta thấy   Ao    A  ,   K : 0    1.  
Thật vậy: 
o

()  Ao    A . 
Lấy  b   Ao  a  Ao : b   a.  Mà  a  là một điểm trong của  A  nên tồn tại 

G  mở sao cho  a  G  A  nên   a  G   A . Mặt khác,  G  là một tập mở trong 

o

X , vậy   a  là một điểm trong của   A  hay  b   a    A . 
o

()  Ao    A  . 
o

Với  b    A  G   mở  sao  cho  b  G   A ,  vì    0   nên 

b



1
 G  A . 



1
b
Do  G  mở nên ta có được   Ao  hay  b   Ao .  





Thêm vào đó  0  Ao  nên với    0  thì  Ao  là một tập cân. 
1.3.2 Tập hút
a) Định nghĩa 

Cho  X  là không gian vectơ tôpô trên trường  K . 
Tập  A  X  được gọi là một tập hút nếu  x  X , tồn tại    0 sao cho  

 x  A, với mọi    thỏa  0     . 
b) Tính chất
Cho  X  là không gian vectơ tôpô trên trường  K . 
i. Tập hút chứa 0. 
ii. Giao một họ hữu hạn các tập hút là tập hút. 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 10
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

iii. Tập  A  X  là tập hút và dãy  i iN  là dãy số không bị chặn trong  K  thì 


X   i A . 
i 1

Chứng minh
i.  Theo  định  nghĩa,  nếu  A   là  tập  hút  thì  x  X ,  tồn  tại    0 sao cho  

 x  A, với mọi    thỏa  0     . Ta chọn  x  0 , khi đó  0   .0  A.  



n



ii. Giả sử  Ai i  1, n  là các tập hút trong  X . Đặt  A   Ai . 
i 1





Khi  đó,  ,  tồn  tại  i  0 sao cho  x  Ai ,   K thỏa  0    i i  1, n  
x  X . 

Chọn  u  min ui i 1,n , ta được    0 sao cho  x  Ai , x  X .  
Vậy  x  X , tồn tại    0 sao cho  x  A,     K  thỏa  0     .  
iii) Giả sử  A  X  là tập hút và dãy  i iN  là dãy số không bị chặn trong  K . 




i 1

i 1

Lấy  x   i A  io : x  i o A  X nên  i A  X . 
Ngược  lại,  với  x  X ,  vì  A  X   là  tập  hút  nên  tồn  tại    0 sao cho  

 x  A,   K  thỏa  0     .  

i iN  

Do   

io :  io 

1





Suy ra 

1
 io

1
 io

là  dãy  số  không  bị  chặn  trong 

K ,  vậy  thì 

  . 





i 1

i 1

x  A  x  io A   i A . Khi đó   i A  X . 


Hay  X   i A . 
i 1

1.4 Cơ sở lân cận
1.4.1 Định lý
Cấu  trúc  tôpô  trong  không  gian  vectơ  tôpô  X   hoàn  toàn  xác  định  nếu  biết 
được một cơ sở lân cận tại 0 của nó. 
Chứng minh

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 11
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

(+)  Lấy  điểm  x  X .  Giả  sử  V   là  một  lân  cận  của  x . Khi  đó,  tồn  tại  G   mở 
trong  X  sao cho  x  G  V . Suy ra,  y  y  x  G  y  x  V  hay  y  x  V  y . 
(+) Giả sử  Bx  là một  cơ  sở  địa  phương  tại  x  X ,  với  y  X   và  U  y .  Ta 
được,  Tx  y U   x  y  U . Hơn nữa,  x  y  U  là một lân cận của  x  X . 
(+)  Vậy  tồn  tại  tập  mở  W  Bx   sao  cho  W  x  y  U  y  x  W  U mà 

y  x  W  là một lân cận của  y  nên   y  x  W: W  B x   là cơ sở lân cận tại  y . 
Cho  x    thì   y  W: W  B0   là  một cơ sở lân cận mở của  y . 
(+)  Do  hợp  của  các  cơ  sở  lân  cận  mở  trong  X   là  một  cơ  sở  của  X   nên 

 y  B0 : y  X     y  W: W  B0  là một cơ sở trong  X . 
Từ đó, ta có thể trang bị cho một không gian vectơ  X  thành một không gian 
vectơ tôpô bằng cách xây dựng một cơ sở lân cận tại 0 cho nó. 
1.4.2 Mệnh đề
Cho  X  là một không gian vectơ tôpô,  B0  là một cơ sở lân cận tại 0 thuộc  X . 
Khi đó: 
i) Mọi tập thuộc cơ sở  B0 là một tập hút. 
ii) Tồn tại ít nhất một lân cận cân của 0 thuộc  B0 . 
iii) Tồn tại  U  B0  sao cho  U  U  V , V  B0 .  
Chứng minh
i) Lấy bất kì  V  B0 , xét ánh xạ:  f : K  X  với  f ( )   x, x  X .  
Vì   X  là một không gian vectơ tôpô nên  f  liên tục. Mà  f (0)  0 nên   0  

sao cho f ( )  V ,     . 
Suy ra   x  V , x  X ,     .  Vậy  V  B0  là một tập hút. 
ii)  Với  ánh  xạ  nhân  là  liên  tục  và  U 0 ,  ta  có  được   x  V , x  X ,     .  
Suy  ra  U  V , x  U ,     .   Chọn   


   1 ,  ta  được   U  V ,  


   1 . 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 12
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

(+) Đặt  W   V . Khi đó,  W 0  và   U   V  W ,    1 . 
 1

 1



V  x  V   x  V , x  W . 
 1 


Vậy thì   W  V ,    1,   1   W   V  W,    1.  Do đó, tồn 

(+) Lấy  x  W  và  0    1.  Ta có:  x  

 1

tại lân cận cân trong cơ sở lân cận tại 0. 
iii)  Xét  ánh  xạ  g : X x X  X   với  g  x, y   x  y .  Ánh  xạ  g   là  liên  tục  trong 
không gian vectơ tôpô  X . Vậy tồn tại  U1 , U 2 0  sao cho  U1  U 2  V ,  V 0 .  
Chọn  U  U1 U 2  U  U  V , V 0 .  
* Nhận xét
Cho  X  là một không gian vectơ tôpô,  B0  là một cơ sở lân cận tại 0 thuộc  X . 
n

Tồn tại  U  B0  sao cho  U  V , V  B0 .  
i 1

Chứng minh
Quy nạp theo iii). 
1.4.3 Định nghĩa
Tôpô     trong  không  gian  vectơ  X   bất  biến  đối  với  phép  tịnh  tiến  nếu  mọi 
phép tịnh tiến trong  X  là một phép đồng phôi. 
1.4.4 Mệnh đề
Cho  X là một không gian vectơ và    bất biến với phép tịnh tiến sao cho có cơ 
sở lân cận  B0  của 0 thỏa: 
i)  V  B0 , tồn tại  U  B0  sao cho  U  U  V .  
ii)  V  là tập cân và hút. 
Khi đó,   X ,    là một không gian vectơ tôpô. 
Chứng minh
Ta cần chứng minh    tương thích với cấu trúc đại số trong  X , điều đó tương 

đương với phép toán cộng và nhân liên tục.  
(+)  x, y  X và W  B0 , theo i) thì tồn tại  V  B0 sao cho V  V  W . 
Mà  x  V x , y  V  y  và  x  y  W  x y . 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 13
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

Mặt khác,   x  V    y  V   x  y  V  V  x  y  W  x  y . 
Từ đó, suy ra phép toán cộng là liên tục. 
(+)   K , x  X và W  B x . 
Vậy tồn tại một lân cận mở  V  B0  sao cho   x  V  W . Hơn nữa, theo i) thì 
tồn tại  U  B0 sao cho U  U  V . 

     x  U ,      
  Do  U  là tập hút và cân nên tồn tại    0  sao cho  
. 
    U  U ,      
Chọn  n  1 để  1      n . 
1
Theo    mệnh  đề  1.4.2  thì  ta  có  J  J  ...  J  nJ  U  J  U   với  J   là 

n
một lân cận tại 0 của  X . Suy ra  x  J  x . 
Lấy  y  x  J  y  x  J và       . 
Vì  U  là cân và 


n





 1  nên    y  x    J  U  U . 
n
1   

Do đó,   y   x       x    y  x    x  U  U   x  V  W ,         . 
Vậy ánh xạ nhân là liên tục. Khi đó,   X ,    là một không gian vectơ tôpô. 
1.4.5 Định lý
Giả sử  X  là một không gian vectơ tôpô. Khi đó, mỗi lân cận của 0 đều chứa ít 
nhất một lân cận  mở, cân. 
Chứng minh
(+) Theo 2.4.2, với mỗi  V 0  thì tồn tại một lân cận cân  U  V . 
Vì  U 0  nên tồn tại tập  G '  mở sao cho  0  G '  U .  Khi đó,  G '  và - G '   là 
các lân cận mở, cân của 0. 
(+) Đặt  G  G '  G ' .  
Khi đó,  G  là giao của hai tập mở, cân nên là một tập mở, cân. Vậy  G  là một 
lân cận mở, cân được chứa trong  V . 
1.4.6 Mệnh đề

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 14
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

Cho X  là một không gian vectơ tôpô,  F  X . Khi đó,  F    F  V V 0  .  
Hơn nữa, với mỗi lân cận của 0 đều chứa một lân cận đóng cân của 0. 
Chứng minh
Ta cần chứng minh  F   F  V V 0  và  F  V V 0   F . 
(+) Lấy  x  F  và  V  là một lân cận đối xứng của 0. Lúc này,  x  V  x . 
Vì  x  F  nên   x  V   F    y   x  V   F , vậy  y   x  V  và y  F . 
Suy  ra,  y  x  V  x  y  V   (do  V   là  một  lân  cận  đối  xứng).  Vậy  thì 
x  F  V . 

Cho nên  x   F  V V 0   hay  F    F  V V 0   
(+)  Với  x   F  V V 0   F  V    y  V y  F  , V 0 .  Do  đó,  tồn  tại 

z  F   sao  cho  x  z  V  z  x  V  x  V x .  Vậy  z   x  V   F     nên 
x  F . Điều này tương đương với   F  V V 0   F . 
Giả sử  V 0 . Suy ra, tồn tại  U 0 sao cho U  U  V . Do  U 0  tồn tại 

F 0  sao cho  F  U  và  F  cân. 

Theo chứng minh trên, ta được  F  F  U  F  U  U  V  . 
Vậy lân cận  V  của 0 chứa một lân cận đóng cân  F  của 0. 
Nhận xét
Trong một không gian vectơ tôpô, phần tử 0 luôn có một cơ sở lân cận đóng. 
Chứng minh
Đặt F   F : F 0 . Ta thấy F  là một tập đóng. 





Theo 1.4.6, mỗi lân cận của 0 đều chứa một lân cận đóng.  
Khi đó,  V 0 , F F : 0  F  V  vậy F  là một cơ sở lân cận đóng. 
1.5 Tập bị chặn và tập compact trong không gian vectơ tôpô
1.5.1 Tập bị chặn
a) Định nghĩa

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 15
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

Tập bị chặn trong một không gian vectơ tôpô  X  là một tập con của  X  bị hút 
bởi một lân cận bất kì của 0. 

A  X  bị chặn   V 0 ,   0 :  A  V ,      
b) Tính chất
i. Trong một không gian vectơ tôpô, mỗi tập một phần tử là tập bị chặn. Hơn 
nữa, tập chứa hữu hạn các phần tử cũng là một tập bị chặn. 
ii. Tập con của một tập bị chặn là tập bị chặn. 
iii. Bao đóng của một tập bị chặn thì bị chặn . 
iv. Tổng và hợp hữu hạn của các tập bị chặn là tập bị chặn. 
Chứng minh
Giả sử  X không gian vectơ tôpô 
i) Lấy x  X ,   X không gian vectơ tôpô nên ánh xạ nhân liên tục.  
Khi đó  V 0 :  x  V ,    1 . Vậy   x  là tập bị chặn. 
(*) Giả sử  A   x1 , x2 ,..., xn  x X   là một tập gồm  n  phần tử. Khi đó, mỗi  xi  A  thì 
i

 i  0 :  xi   i ,     i . Chọn    max  i i 1,n  0 :  xi   ,     , i . 
Vậy  V 0 ,   max  i i 1,n  0 :  A  V ,     .  Do  đó,  A   là  một  tập 
bị chặn. 
ii. Với  B  A  là một tập bị chặn trong  X . Ta có:  V 0 ,   max  i i 1,n  0  

 A  V   B   A  V ,     . Vậy  B  bị chặn. 
iii. Với  A  là một tập bị chặn trong  X .  V 0 ,   0 :  A  V ,      
Suy ra  V 0 , U  V ,   0 :  A   A  U  V ,     . Vậy  A  bị chặn. 
iv.  Ta  chứng  minh  nếu  A, B   bị  chặn  trong  X   thì  A  B, A  B   là  những  tập  bị 
chặn. 

1  0 :  A  V ,    1
 Thật vậy, với  V  là một lân cận tại 0. Như vậy,  

. 
 2  0 :  B  V ,     2
(+)  Chọn    max 1 ,  2  :   A  B    A   B  V ,     .  Vậy A  B   bị 
chặn. 
SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 16
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

(+) Tồn tại  U  là một lân cận của 0 và  U  V  sao cho  U  U  V . 
Ta được    0 :   A  B    A   B  U  U  V ,      nên  A  B  bị chặn. 
Từ đó, dùng phương pháp qui nạp, ta có điều phải chứng minh. 
c) Định lý
Cho X  là một không gian vectơ tôpô, tập  A  X  là một tập bị chặn khi và chỉ 
khi tồn tại một   dương thỏa   A  V , với  V  là một lân cận tùy ý của 0. 
Chứng minh

    Với  A  X  là tập bị chặn, theo định nghĩa    0 :  A  V . 
     Giả  sử  có  một   dương  thỏa   A  V , 

V 0 .  Do  đó,        thì 

A   A 
Suy ra,   A  V ,       . Vậy  A  bị chặn. 
1.5.2 Tập hoàn toàn bị chặn
a) Định nghĩa
Cho  X  là không gian vectơ tôpô,  A  X  là một tập con hoàn toàn bị chặn khi 
và  chỉ  khi  tồn  tại  một  tập  hữu  hạn  B  X   sao  cho  với  mọi  lân  cận  V 0   thì 
A  B  V . 

b) Nhận xét
Tập hoàn toàn bị chặn thì bị chặn. 
Chứng minh
(+)  Giả  sử  A   là  tập  hoàn  toàn  bị  chặn.  Khi  đó,  với  mọi  lân  cận  V 0   thì 
A  B  V , với  B  X  là tập hữu hạn. 

(+)  Do  B   hữu  hạn  nên  theo  2.5.1b,  B là  một  tập  bị  chặn.  Vậy  thì 

 U 0 ,   0 :  B  U ,     .  
(+) Với mọi  V 0 , U 0 : U  U  V , chọn   



2
1
n  *  , suy ra  B  U . 

n
n

1
1

1
1
A  B  U  B  U  U  U  V . 
n
n
n
n

Vậy  V 0 ,   

1
 0 :  A    A  U ,      . Cho nên  A  là tập bị chặn. 
n

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 17
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

1.5.3 Tập compact
a) Định nghĩa
Cho   X ,   là không gian vectơ tôpô,  A  X  là một tập compact nếu với mọi 

phủ mở của  A  trong  X  thì  A  có một phủ con hữu hạn. 
Định nghĩa này tương đương  Vi 0 ,  Vi  A, n0 : A   Vi . 
i

i 1, n0

Thật  vậy,  Vi   là  một  lân  cận  của  0  thì  tồn  tại  lân  cận  mở  Gi   của  0  sao  cho 

Vi  Gi , vậy họ   Gi i  là một phủ mở chứa  A . 
Khi đó, tồn tại một phủ con hữu hạn   Gi  chứa  A . 
i 1, n0

Nhận xét
Tập con của một tập compact là tập compact. 
Chứng minh
Với  B  là một tập con của tập compact  A .  
Khi đó, mọi phủ mở của  A  cũng là phủ mở của  B . Do  A  compact nên  A chứa 
một  phủ  con hữu  hạn.  Mà  B  A  nên  B  cũng có  một  phủ  con  hữu hạn.  Vậy  B  
compact.
b) Mệnh đề
Cho  A1 , A2   là  các  tập  compact  trong  X .  Khi  đó,  A1  A2 , A1  A2   là  các  tập 



n



n

compact. Hơn nữa, với các   i  K i  1, n  thì    i Ai  và    i Ai  cũng là các tập 
i 1

i 1

compact. 
Chứng minh
Giả sử  A1 , A2  là các tập compact trong không gian vectơ tôpô X . 
(+)  Vi 0 ,   Vi  A1  A2  
i

Vi  A1 , n0 : A1   Vi
i 1, n0
i
, Vi 0  
Theo định nghĩa, ta có:  
i Vi  A2 , m0 : A2  i 1,m0 Vi
Đặt   k  max n0 , m0  , suy ra  A1  A2   Vi . Do vậy,  A1  A2  compact. 
i 1, k

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 18
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 





Hơn nữa, dễ thấy   i Ai  với   i  K i  1, n  là các tập compact. Khi đó, bằng 
n

quy nạp, ta suy ra được    i Ai  cũng là các tập compact. 
i 1

(+)  X  là một không gian vectơ tôpô nên ánh xạ 

( ) : A1 x A2  X
x y

 x, y 

 liên tục. Mà 

ảnh của tập compact là tập compact nên  A1  A2  là một tập compact. 
n

Tương  tự  chứng  minh  trên,  để  chứng  minh    i Ai   là  tập  compact,  ta  dùng 
i 1

quy nạp. 
c) Định lý

Nếu  A  là một tập compact và  B là một tập con đóng trong không gian vectơ 
tôpô  X . Khi đó,  A  B  là một tập đóng. 
Chứng minh
(+) Lấy  x  X \  A  B   x  A  B   x  xi   B   , với mỗi  xi  A  
(+) Vì  B là một tập con đóng nên theo 1.4.6 thì  Vi 0 :    x  xi  Vi   B   .  
Mà  Vi 0  nên  U i 0 : U i  U i  Vi  ( U i  mở) cho nên   xi  U i  là tập mở. 
(+)  Ta  thấy    xi  U i    là  một  phủ  mở  chứa  A .  Do  A   compact  nên 
i

n

A    xi  U i   
i 1

n

n

i 1

i 1

(+) Đặt  V  U i , suy ra   x  A  V     x  xi  U i  U i     x  xi  Vi   
i





 i0 :  x  A  V   x  xi0  Vi0   x  A  V   B   . 

  x  V    A  B    . Mà  x  V  x  nên  A  B  là một tập đóng. 
d) Định lý
Cho  X  là một không gian vectơ tôpô. Nếu Y  là một tập con compact và  Z là 
một  tập  con  đóng  trong  X   thì  tồn  tại  một  lân  cận  mở  V   của  0  sao  cho 

Y  V    Z  V    . 
Chứng minh
SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 19
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

(+) Ta có  Z  là một tập đóng và  Y  Z    nên với  x  Y , V 0  x  V x  
sao cho   x  V   Z   . 
(+) Mặt khác, do  X  là một không gian vectơ tôpô nên ánh xạ  ( ): X x X x X  X  
liên tục. Từ đó, tồn tại một lân cận  U  mở, đối xứng của 0 sao cho  U  U  U  V . 
Suy ra,  x  U  U  U  x  V , x  Y  nên  x  U  U  U  Z  , x  Y . 
(+) Mà  U  U     x  U  U    U  Z    x  U  U    Z  U   , x  Y . 
(+)  Hơn nữa,  U   mở  nên   x  U xY   là  một  phủ  mở  của  Y   mà  tập  Y  là  một  tập 
n

compact nên tồn tại hữu hạn  xi  Y i  1, n  sao cho  Y   xi  U xi , với  U xi  là 









i 1

lân cận tương ứng của 0 với mọi  xi . 
(+) Đặt  V  U xi , mà giao hữu hạn của  U xi  mở là mở. Khi đó  V  là một tập mở. 
i

n

n

Vậy  Y  V   xi  U xi  V   xi  U xi  U xi . 





i 1







i 1



Ta lại có  xi  U xi  U xi   Z  V   , i  nên  Y  V    Z  V    . 
1.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục và phiếm hàm tuyến tính liên tục
1.6.1 Định nghĩa
Cho  X  là một không gian vectơ tôpô và ánh xạ  f : X  Y . 
Ánh xạ  f  là ánh xạ tuyến tính liên tục nếu thỏa: 
i)  f ( x   y )   f ( x)   f ( y ),

 ,   K , x, y  X . 

ii)  f  liên tục. 
Thay  Y  K , ta được  f  là một phiếm hàm tuyến tính liên tục. 
1.6.2 Tính chất
i) Ảnh của một tập cân qua ánh xạ tuyến tính liên tục là một tập cân. 
ii) Ánh xạ tuyến tính liên tục trong không gian vectơ tôpô biến một tập bị chặn 
(hoàn toàn bị chặn) thành một tập bị chặn (hoàn toàn bị chặn) 
iii) Nếu  f : X  Y  là một toàn ánh tuyến tính liên tục thì ảnh của một tập hút 
là một tập hút. 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 20

 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

Chứng minh
i) Giả sử  A  là một tập cân trong không gian vectơ tôpô  X  và  f : X  Y  là ánh xạ 
liên tục. 
Ta có:    K ,   1 thì  A  A . Khi đó,   f  A  f   A  f  A  . 
Vậy  f  A   là một tập cân. 
ii) Với  B  là một tập bị chặn trong không gian vectơ tôpô  X  và  f : X  Y  là ánh 
xạ liên tục. 
Do vậy,  V  f  0 , U 0 : f U   V . Hơn nữa,  B  là một tập bị chặn nên 

  0 :  B  U . Vậy    0 :  f  B   f   B   f U   V . 
Ta được  f  B   là một tập bị chặn. 
iii) Giả sử  C  là một tập hút trong  X . 
Vì  f  là một toàn ánh nên  y  Y , x  X : f  x   y  
Do  C  là tập hút nên    0,  x  C   y   f  x   f   x   f  C  ,     . 
1.6.3 Định lý
Cho  X   là  các  không  gian  vectơ  tôpô,  f : X  K   là  một  phiếm  hàm  tuyến 
tính. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương 
i)  f  liên tục. 
ii)  Ker f  là tập đóng. 
iii) Tồn tại một lân cận của 0 sao cho  f  bị chặn trong lân cận đó. 
Chứng minh

i)  ii)  Ta  có  Ker f   x  X : f  x   0 .  Khi  đó,  V   là  lân  cận  của  0  thì 
x  V  x . 

Vậy với mọi  x  Ker f  thì  Ker f  x  V   . 
ii)  iii) Với  Ker f  là tập đóng thì  Ker f  X  hoặc  Ker f  không đâu trù mật. 
(+) Nếu  Ker f  X thì  f  x   0, x  X . Vậy  f  bị chặn bởi 0,  V  x . 
(+) Nếu  Ker f  không đâu trù mật thì  X \ Ker f  là tập mở khác rỗng. 

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 21
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

Lấy  x  X \ Ker f  x  Ker f , tồn tại lận cân  U 0 : x  U   Ker f   . 
Do  U  cân nên  f U   cân, suy ra  f U   bị chặn  
iii)  i) Giả sử với  V  là một lân cận tại 0, và  k  K , k  0   f V   k  
Lấy    0 , suy ra  x  V 

k

k
x V  f 





x   k  f  x    . 


Vậy  f  liên tục tại 0 nên  f  liên tục trên  X . 
1.7 Không gian vectơ tôpô con- Không gian vectơ tôpô thương
1.7.1 Không gian vectơ tôpô con
Cho   X ,   là các không gian vectơ tôpô. 

Y ,    được gọi là không gian vectơ tôpô con của   X ,  khi và chỉ khi  Y  X  và 
  là tôpô cảm sinh bởi    phải tương thích với cấu trúc đại số của  Y . 
Nhận xét
Nếu  M là  một  không  gian vectơ  tôpô  con của  không  gian  vectơ  tôpô  X   thì 

M ,  X / M  cũng là các không gian vectơ tôpô con. 
1.7.2 Không gian vectơ tôpô thương
a) Định nghĩa
Với  M là một không gian vectơ tôpô con của không gian vectơ tôpô  X . Xét 
không gian vectơ thương  X / M  và ánh xạ chính tắc 

i: X  X /M
x xM

.  

X / M với tôpô mạnh nhất trên  X / M làm cho  i  liên tục lập thành một không gian 

vectơ tôpô thương. 
Nhận xét
Tập con của   X / M  là mở nếu nó là ảnh của một tập mở qua ánh xạ  i  
Chứng minh
Giả sử  G  là một tập mở trong  X . Khi đó,  i  G   G  M .Vì  G  nên  G  M  là 
tập mở. 
1.7.3 Tích và tổng các không gian vectơ tôpô
a) Tích các không gian vectơ tôpô

SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 22
 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

Cho   X i iI  là họ các không gian vectơ tôpô. 
Xét không gian vectơ tích   X i  với tôpô tích, trong đó các cơ sở lân cận của 
iI

x   xi iI  là  Vi , Vi  xi .   X i  cùng với tôpô tích lập thành không gian vectơ 
iI

iI

tôpô tích. 
b) Tổng các không gian vectơ tôpô
Trong  không  gian  vectơ  tôpô  tích 

X

i

,  không  gian  vectơ  con 

iI

 X i   x   xi iI   chứa các phần tử có cơ sở lân cận   Vi , Vi  xi  là một không 
iI

iI

gian vectơ tôpô tổng. 
Nhận xét
i) Ánh xạ đồng nhất   X i   X i  là liên tục hay tôpô trong   X i  mạnh hơn 
iI

iI

iI

tôpô cảm sinh bởi tôpô của   X i . 
iI

ii) Phép nhúng   : X j   X i  và phép chiếu  p :

X

iI

i

 X j  là các ánh xạ 

iI

liên tục. 
1.8 Một số không gian vectơ tôpô
1.8.1 Không gian vectơ tôpô Hausdorff
a) Định nghĩa
Cho   X ,    là  các  không  gian  vectơ  tôpô,  X   là  một  không  gian  vectơ  tôpô 
Hausdorff nếu   X ,  là một không gian Hausdorff  T2  không gian  . 
Các  định  lý  sau  đây  khẳng  định  các  điều  kiện  để  một  không  gian  vectơ  tôpô  là 
Hausdorff. 
b) Định lý
Giả sử  X  không gian vectơ tôpô,  X  là Hausdorff khi và chỉ khi với mọi phần 
tử khác 0 thuộc  X  có một lân cận tại 0 không chứa nó. 
Chứng minh

    Giả sử  X  là không gian vectơ tôpô Hausdorff. 
SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 23

 

Lớp: Sư phạm toán học K36


Luận văn tốt nghiệp 

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 

Lấy  x  X \ 0 ,  khi  đó  có  U , V 0   để  x  U  x , V 0   và 

 x  U   V   . Vậy tồn tại lân cận  V  của 0 không chứa  X . 
    (Phản chứng) Giả sử với mọi phần tử khác 0 thuộc  X  có một lân cận tại 0 
không chứa nó thì  X  không là Hausdorff. 
(+) Lấy tùy ý  x, y  X : x  y , suy ra  x  y  0 . Vậy  V 0 : x  y  V . 
(+) Do  V 0  nên  U 0 : U  U  V . Như vậy,  x  U  x và y  U  y . 
Mà  X  không là Hausdorff nên  x, y  X : x  y  để   x  U    y  U     (*) 

 z   x  U   z  x  U

Suy ra,  z   x  U    y  U   
. 
 z   y  U   z  y  U
Ta được,  x  y   x  z    z  y   U  U  V     (mâu thuẫn (*)). 
Vậy X  là không gian vectơ tôpô Hausdorff. 
c) Định lý
Một không gian vectơ tôpô là Hausdorff khi và chỉ khi mỗi tập hợp chứa duy 
nhất một phần tử là tập đóng. 
Chứng minh

     Giả  sử  X   là  không  gian  vectơ  tôpô  Hausdorff  và  x  X ,  ta  chứng  minh 
X \  x  là một tập mở. 
(+) Lấy bất kỳ  y  X \  x  y  x  0 , theo 2.8.1b) thì tồn tại  V 0 :  y  x  V  

hay y  x  V  x  vậy tồn tại  U 0 :  y  U   ( x  V )    
Cho nên  y  U  là một lân cận của  y  không chứa  x . Suy ra,  y  U  X \  x . 
(+) Do  y  U  là một lân cận của  y  nên tồn tại  G  mở sao cho  y  G  y  U  . 
Ta được,  y  G  X \  x  hay  y  là điểm trong của  X \  x , với mọi  y  X \  x . 

X \  x  là tập mở hay   x là tập đóng trong  X . 

    Giả sử   xxX là một tập đóng. 
(+)  y  X \  x  V 0 :  y  V    x    (*). Vì  V 0  nên tồn tại lân cận 
mở, đối xứng  U 0 : U  U  V . 
(+) Ta chứng minh   y  U    x  U    . Giả sử  y  U    x  U    . 
SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang
 

Trang 24
 

Lớp: Sư phạm toán học K36