phương pháp dạy học bằng mô hình hóa trong dạy học môn toán bậc trung học phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BẰNG MÔ
HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Giáo viên hướng dẫn
ThS. Bùi Anh Tuấn

Sinh viên thực hiện
Trần Mỹ Tiên
MSSV: 1100136
Lớp: SP Toán – Tin học K36

Cần Thơ, 2014

Trang 1


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MHH

Mô hình hóa

THPT

Trung học phổ thông

Trang 2


DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 3.1 Bảng tổng hợp kết quả của lớp 10B1 và 10B2 theo từng phiếu .... 29
Bảng 3.2 Bảng tổng hợp kết quả của lớp 11B3 và 11B5 theo từng phiếu .... 34
Bảng 3.3 Bảng tổng hợp kết quả ý kiến của bốn lớp 10B1, 10B2, 11B3,
11B5 theo từng câu hỏi .......................................................................................... 38

Trang 3


DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 1.1 Quy trình giải quyết bài toán thực tiễn......................................... 13
Hình 1.2 Quy trình mô hình hóa khép kín .................................................. 16
Hình 2.1 Hình biểu diễn lá cờ ..................................................................... 21
Hình 2.2 Hình biễu diễn công viên .............................................................. 23
Hình 3.1 Hình biểu diễn kết quả khảo sát phiếu 1 của tình huống lá cờ ....... 30
Hình 3.2 Hình biểu diễn kết quả khảo sát phiếu 2 của tình huống lá cờ ....... 30
Hình 3.3 Hình biểu diễn kết quả phiếu 1 tình huống cây đèn....................... 35
Hình 3.4 Hình biểu diễn kết quả câu 1 ở phiếu 2 tình huống cây đèn .......... 35
Hình 3.5 Hình biểu diễn kết quả câu 2 ở phiếu 2 tình huống cây đèn .......... 36
Hình 3.6 Hình biểu diễn kết quả câu 1 phiếu lấy ý kiến............................... 39
Hình 3.7 Hình biểu diễn kết quả câu 2 phiếu lấy ý kiến............................... 40

Hình 3.8 Hình biểu diễn kết quả câu 3 phiếu lấy ý kiến.............................. 40

Trang 4


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin gởi lời cám ơn
đến thầy hướng dẫn của em là thầy Bùi
Anh Tuấn. Cám ơn sự giúp đỡ, đóng góp
ý kiến của thầy trong thời gian vừa qua.
Giúp em có thể hoàn chỉnh luận văn. Em
cũng xin cảm ơn ban giám hiệu và quý
thầy cô của trường Trung học phổ thông
Bùi Hữu Nghĩa đã tạo điều kiện thuận lợi
cho em hoàn thành phần thực nghiệm của
luận văn. Và em cũng cảm ơn những em
học sinh của các lớp thực nghiệm vì đã
tham gia nhiệt tình trong các tiết học. Em
xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của em
đến thầy hướng dẫn và các bạn đã nhiệt
tình giúp đỡ và ủng hộ.
Cần thơ, tháng 04 năm 2014
Người viết
SV Trần Mỹ Tiên

Trang 5


MỤC LỤC
Bìa......................................................................................................................... 1

Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt ................................................................... 2
Danh mục các bảng ............................................................................................... 3
Danh mục các hình ................................................................................................ 4
Lời cảm ơn ............................................................................................................ 5
MỤC LỤC ............................................................................................................ 6
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................... 8
PHẦN NỘI DUNG ............................................................................................... 10
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA DẠY HỌC BẰNG MÔ HÌNH HÓA ....... 10
1.1 Cơ sở lý luận .................................................................................... 10
1.1.1 Cơ sở triết học ....................................................................... 10
1.1.2 Cơ sở toán học ...................................................................... 10
1.1.3 Cơ sở giáo dục học ................................................................ 10
1.1.4 Cơ sở tâm lý học ................................................................... 10
1.1.5 Cơ sở logic học ..................................................................... 11
1.1.6 Cơ sở tin học, công nghệ thông tin ........................................ 11
1.2 Bài toán thực tiễn và bài toán toán học ............................................. 11
1.2.1 Khái niệm cơ bản .................................................................. 11
1.2.2 Vai trò và ý nghĩa của việc sử dụng các bài toán thực tiễn trong
dạy học toán ..................................................................................... 12
1.3 Mô hình hóa toán học....................................................................... 13
1.4 Dạy học mô hình hóa ....................................................................... 14
1.5 Dạy học bằng mô hình hóa ............................................................... 15
1.6 Thực hiện dạy học mô hình hóa ....................................................... 15
1.7 Những ưu điểm của dạy học bằng mô hình hóa ................................ 17
1.7.1 Ưu điểm ................................................................................ 17
1.7.2 Hạn chế ................................................................................. 18
1.7.3 Yêu cầu đối với giáo viên ...................................................... 19

Trang 6

Chương 2. VẬN DỤNG DẠY HỌC BẰNG MÔ HÌNH HÓA VÀO DẠY HỌC
MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ...................... 20
2.1 Đặc điểm của môn toán bậc THPT và nhiệm vụ của giáo viên ......... 20
2.1.1 Đặc điểm của môn toán bậc THPT ........................................ 20
2.1.2 Nhiệm vụ của giáo viên trong dạy học môn toán ở bậc trung
học phổ thông .................................................................................. 21
2.2 Vận dụng dạy học bằng mô hình hóa vào dạy học một số kiến thức
toán trung học phổ thông.......................................................................... 21
2.2.1 Vận dụng dạy học bằng mô hình hóa vào dạy học bài “Phương
trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai” .................................... 21
2.2.2 Vận dụng dạy học bằng mô hình hóa vào dạy học bài “Tích vô
hướng của hai vectơ” ....................................................................... 23
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................... 25
3.1 Mục tiêu thực nghiệm ...................................................................... 25
3.2 Đối tượng, nội dung và tiến trình thực nghiệm ................................. 25
3.3 Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm ............................................... 25
3.3.1 Dạy học bằng mô hình hóa bài “Phương trình quy về phương
trình bậc nhất, bậc hai……............................................................... 26
3.3.2 Dạy học bằng mô hình hóa bài “Tích vô hướng của hai vectơ”
.............................................................................................. 30
3.3.3 Phiếu lấy ý kiến của học sinh về phương pháp dạy học bằng
MHH .............................................................................................. 36
3.4 Nhận xét khi dạy học bằng MHH ở các lớp thực nghiệm ................. 42
3.4.1 Thuận lợi ............................................................................... 42
3.4.2 Khó khăn ............................................................................... 42
3.4.3 Kết luận................................................................................. 43
PHẦN KẾT LUẬN ............................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 42

Trang 7


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một khoa học suy diễn và phần lớn các tri thức toán học đều nảy
sinh từ thực tiễn. Toán học là công cụ hay phương tiện giải quyết các vấn đề của
thực tiễn. Dạy học toán học là cung cấp cho học sinh những tri thức toán học công
cụ, là cách vận dụng các tri thức này trong việc giải quyết các vấn đề nảy sinh từ
thực tiễn. Để không làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học hay
mất đi vai trò động cơ của các tình huống thực tiễn thì vấn đề đặt ra là cần phải có
một phương pháp dạy học hợp lí. Và phương pháp dạy học bằng mô hình hóa đạt
được yêu cầu đó.
Dạy học bằng mô hình hóa là phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức
theo cách tích cực, tạo động cơ học tập, tăng cường tính khoa học trong quá trình
dạy học môn toán ở trường phổ thông. Dạy học bằng mô hình hóa là con đường để
nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh.
Dạy học bằng mô hình hóa là một phương pháp dạy học tích cực, có hiệu
quả song trên thực tế việc vận dụng nó trong dạy học vẫn còn nhiều hạn chế chưa
thật sự được quan tâm.
Từ thực tế trên, cũng như muốn nghiên cứu thêm phương pháp dạy học tích
cực để vận dụng vào việc giảng dạy sau này, đồng thời được sự gợi ý của thầy Bùi
Anh Tuấn em quyết định chọn đề tài “Phương pháp dạy học bằng mô hình hóa
trong dạy học môn toán bậc trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp dạy học tích cực – phương pháp dạy học bằng mô
hình hóa nhằm giúp học sinh lĩnh hội kiến thức nhanh chóng và hiệu quả nhất.
Nghiên cứu vận dụng dạy học bằng mô hình hóa vào giảng dạy một số kiến
thức của môn toán ở bậc trung học phổ thông.
Trang bị cho bản thân phương pháp dạy học tích cực – phương pháp dạy học

bằng mô hình hóa vào công tác giảng dạy sau này.

Trang 8


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở lý luận của dạy học bằng mô hình hóa.
Vận dụng dạy học bằng mô hình hóa vào dạy học một số kiến thức.
Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và rút ra bài học
kinh nghiệm.
4. Đối tượng nghiên cứu
Hoạt động dạy và học giữa giáo viên và học sinh của trường trung học phổ
thông Bùi Hữu Nghĩa.
5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Giới hạn
Việc dạy học bằng mô hình hóa trong luận văn này chỉ giới hạn ở môn Toán
trong trường phổ thông.
Do thời gian thực tập ngắn nên em chỉ dạy thực nghiệm ở 4 lớp 10B1, 10B2,
11B3, 10B5 của trường trung học phổ thông Bùi Hữu Nghĩa.
6. Phương pháp nghiên cứu
Để phục vụ cho quá trình làm luận văn này, em đã tham khảo các tài liệu về
phương pháp dạy học mô hình hóa, sách giáo khoa, sách giáo viên của khối 10, …
Cùng với đó là việc giảng dạy thực nghiệm ở các lớp và sự đóng góp ý kiến của
giáo viên hướng dẫn.
Để đánh giá kết quả thực hiện, em đã tiến hành dạy thực nghiệm và thu thập
các thông tin về mức độ hiểu và áp dụng của học sinh thông qua việc lấy ý kiến của
học sinh.

Trang 9

PHẦN NỘI DUNG
Chương 1.

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA DẠY HỌC BẰNG MÔ HÌNH HÓA
1.1 Cơ sở lý luận
1.1.1 Cơ sở triết học
Triết học duy vật biện chứng và triết học duy vật lịch sử bao gồm các quy
luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên xã hội và tư duy của con người. Đó là
cơ sở phương pháp luận của mọi khoa học. Nhờ nó mà ta xác định được đối tượng,
phương pháp, logic, lịch sử của khoa học phương pháp dạy học toán học. Nó giúp
chúng ta lựa chọn, chỉnh lý tài liệu, thiết kế chương trình toán trong nhà trường
cũng như phát hiện những biện pháp hình thành thế giới quan duy vật biện chứng
cho thế hệ trẻ.
1.1.2 Cơ sở toán học
Để nghiên cứu về phương pháp dạy học bằng mô hình hóa, phải am hiểu đối
tượng, phương pháp, logic, lịch sử, thành tựu hiện đại của toán học ngày nay để
chọn lọc, phản ánh vào nhà trường những kiến thức, phương pháp toán học cơ bản,
phổ thông, thiết thực, đáp ứng nhu cầu của cách mạng khoa học kỹ thuật ngày nay.
1.1.3 Cơ sở giáo dục học
Lý luận dạy học bằng mô hình hóa phải dựa vào những thành tựu của giáo
dục học về mục tiêu, phương pháp đào tạo để xây dựng mục tiêu, vị trí, nhiệm vụ,
yêu cầu của môn toán trong toàn bộ hệ thống giáo dục. Lý luận dạy học bằng mô
hình hóa phải vận dụng những kết quả nghiên cứu của giáo dục học ở nước ta và
trên thế giới vào nghiên cứu việc dạy học toán.
1.1.4 Cơ sở tâm lý học
Lý luận dạy học bằng mô hình hóa dựa vào những thành tựu của tâm lý học:
quy luật hoạt động nhận thức toán lọc lứa tuổi; tâm lý học lứa tuổi, tâm lý học phát
triển và tâm lý học học tập để xác định khối lượng kiến thức, mức độ của từng cấp

Trang 10


học, từng lớp cũng như tổ chức điều khiển quá trình nhận thức môn toán trong từng
tiết học, trong từng hoạt động khác.
1.1.5 Cơ sở logic học
Tính logic là bắt buộc đối với bất kỳ khoa học nào, lý luận dạy học bằng mô
hình hóa cũng dựa vào logic học để trình bày chính xác những khái niệm, những lập
luận về quy luật của lý luận dạy học bằng mô hình hóa.
1.1.6 Cơ sở tin học, công nghệ thông tin
Tin học và công nghệ thông tin bổ sung cách nhìn khoa học hơn về quá trình
dạy học, cũng như góp phần bổ sung, hoàn thiện cho phương pháp dạy học bằng mô
hình hóa.
1.2 Bài toán thực tiễn và bài toán toán học
1.2.1 Khái niệm cơ bản
a) Bài toán thực tiễn
Bài toán thực tiễn là bài toán mà các dữ liệu, các biến, các yêu cầu, các câu
hỏi, các mối quan hệ, … chứa đựng trong bài toán đều là các yếu tố của thực tiễn
“thực”.
b) Bài toán phỏng thực tiễn
Bài toán phỏng thực tiễn là bài toán mà các dữ kiện, các biến, các yêu cầu,
các câu hỏi, các mối quan hệ, … không phải là các yếu tố của thực tiễn “thực” mà là
sự mô phỏng của thực tiễn này. Sự sai biệt giữa bài toán thực tiễn và bài toán phỏng
thực tiễn thường là hệ quả của những ràng buộc của hệ thống dạy học. Chẳng hạn,
giá trị của các dữ kiện cho trong bài toán phỏng thực tế thường được chọn sao cho
việc tính toán không quá phức tạp, kết quả đẹp hơn, …
c) Bài toán toán học
Bài toán toán học là bài toán trong đó các dữ kiện, các biến, các yêu cầu, các
câu hỏi, các mối quan hệ, … đều được diễn tả bằng ngôn ngữ và kí hiệu toán học.
Khi nghiên cứu về vấn đề dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình

hóa, việc phân biệt rạch ròi các khái niệm trên là rất cần thiết (Xem ở mục 1.2.2
dưới đây).

Trang 11


Trong phạm vi dạy học toán ở trường phổ thông, thuật ngữ “Bài toán thực
tiễn” để chỉ cả bài toán thực tiễn và bài toán phỏng thực tiễn. Thuật ngữ này được
sử dụng theo nghĩa rộng.
Thuật ngữ “thực tiễn” ở đây không chỉ bó hẹp trong thực tiễn cuộc sống
(cuộc sống đời thường, cuộc sống lao động sản xuất, cuộc sống chính trị xã hội, …),
mà bao hàm cả thực tiễn trong các nghành khoa học khác (vật lí, hóa học, sinh học,
…) và ngay cả thực tiễn của lịch sử toán học.
1.2.2 Vai trò và ý nghĩa của việc sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy học
toán
Cho phép làm rõ vai trò và ý nghĩa thực tiễn của các tri thức toán học.
Làm cho học sinh ý thức được về nguồn gốc thực tiễn của toán học. Dù toán
học là một khoa học suy diễn, nhưng phần lớn các tri thức toán học đều nảy sinh từ
thực tiễn, là công cụ hay phương tiện giải quyết các vấn đề của thực tiễn.
Nhấn mạnh đặc trưng của khoa học toán học cũng như mục tiêu của dạy học
toán. Toán học là một khoa học công cụ. Dạy học toán không chỉ đơn thuần là dạy
học các tri thức toán thuần túy mà còn dạy học cách vận dụng các tri thức này vào
việc giải quyết các vấn đề của thực tiễn, từ đó hình thành và phát triển ở học sinh
thói quen và khả năng vận dụng toán học vào thực tế.
Cho phép tiếp cận dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa.
Một trong những mục tiêu của dạy học toán học là cung cấp cho học sinh
những tri thức toán học công cụ, và quan trọng hơn là cách vận dụng các tri thức
này trong việc giải quyết các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.
Quy trình giải quyết bài toán thực tiễn thường trải qua các bước sau:
- Chuyển bài toán thực tiễn về bài toán toán học, “biên dịch” các yếu tố

thực tiễn sang ngôn ngữ toán học và cấu trúc lại chúng. Tổng quát hơn cần xây
dựng một mô hình toán học của thực tiễn.
- Giải bài toán toán học.
- Chuyển câu trả lời của bài toán toán học về câu trả lời cho bài toán thực
tiễn ban đầu.

Trang 12


Mối quan hệ giữa bài toán toán học và quy trình giải quyết bài toán thực tiễn
có thể được tóm lược trong sơ đồ sau đây, được phỏng theo sơ đồ của L. Coulange
(1997)

Phạm vi ngoài toán

Câu trả lời cho bài toán thực
tiễn

Bài toán thực tiễn

Bài toán phỏng thực tiễn

Câu trả lời cho bài toán
phỏng thực tiễn
Phạm vi

Mô hình phỏng thực tiễn

Bài toán toán học
Mô hình toán học

phỏng thực tiễn

Giải

Câu trả lời cho bài toán toán
học
Phạm vi toán
học

Hình 1.1 Quy trình giải quyết bài toán thực tiễn
Theo sơ đồ trên, việc xây dựng mô hình toán học của thực tiễn là phương
tiện trung gian cho phép giải các bài toán thực tiễn và ngược lại, giải các bài toán
thực tiễn lại là động cơ tiếp cận vấn đề mô hình hóa.
Một cách tổng quát hơn, việc tăng cường các bài toán thực tiễn trong dạy học
toán còn ngầm nhắm tới mục tiêu xa hơn, quan trọng hơn của dạy học toán học, đó
là dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa.
Ở cấp độ phổ thông, dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa
không được thực hiện một cách tường minh, mà chỉ ngầm ẩn qua việc dạy học giải
các bài toán thực tiễn.
1.3 Mô hình hóa toán học

Trang 13


Để vận dụng các kiến thức toán học vào giải quyết các tình huống thực tiễn,
người ta cần xây dựng một mô hình toán học phù hợp cho phép tìm câu trả lời cho
tình huống. Quá trình này được gọi là mô hình hóa toán học.
Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán
học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi

mà người ta đặt ra trên hệ thống này.
Theo PGS. TS Lê Thị Hoài Châu, mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc
lại vấn đề thực tế nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp
thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” để có thể gắn
vấn đề ban đầu với các quy trình toán học. Trong bước tìm kiếm mô hình phỏng
thực tế này người ta phải thực hiện những việc như đặt giả thuyết, tổng quát hóa,
hình thức hóa, … Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện trung
thực cho bối cảnh thực tế.
Mô hình hóa toán học là quá trình toán học hóa tình huống thực tiễn cần giải
quyết, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho
tình huống.
Việc xây dựng mô hình toán học của thực tiễn là phương tiện trung gian cho
phép giải các bài toán thực tiễn và ngược lại, giải các bài toán thực tiễn là động cơ
tiếp cận vấn đề mô hình hóa.
1.4 Dạy học mô hình hóa
Dạy học mô hình hóa là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của
thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.
Dạy học mô hình hóa là dạy học tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định
nghĩa, khái niệm hay định lý, công thức), từ đó vận dụng tri thức vào việc giải quyết
các bài toán thực tiễn; ở đó phải xây dựng mô hình toán học.
Ưu điểm: Tiết kiệm thời gian
Nhược điểm:
Làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của tri thức toán học: tri thức toán học
không còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn. Do đó làm mất
nghĩa của tri thức.

Trang 14


Trong trường hợp này, học sinh sẽ hướng đến việc xây dựng một mô hình

toán học phù hợp với tri thức vừa đưa vào. Khi đó, nếu như ở tình huống, bối cảnh
khác HS sẽ bị lúng túng, có thể sẽ không thể xây dựng được một mô hình toán học
phù hợp.
1.5 Dạy học bằng mô hình hóa
Dạy học bằng mô hình hóa bản chất là dạy học toán thông qua dạy học mô
hình hóa. Ở đây tri thức toán học cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá trình nghiên
cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết
vấn đề.
Dạy học bằng mô hình hóa xuất phát từ bài toán thực tiễn, người ta đi xây
dựng mô hình toán học và đi tìm câu trả lời cho bài toán, sau đó đưa ra tri thức cần
giảng dạy bằng cách nêu định lý hay công thức, từ đó vận dụng tri thức này vào giải
các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học
phù hợp.
Dạy học bằng mô hình hóa cho phép khắc phục những nhược điểm của dạy
học mô hình hóa. Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá trình nghiên cứu
các vấn đề thực tiễn nảy sinh như là kết quả hay phương tiện giải quyết vấn đề. Nó
hoàn toàn khác với cách dạy truyền thống vì nhằm giúp học sinh nắm kiến thức mới
thông qua các tình huống thực tiễn. Nó được xây dựng từ tình huống thực tiễn, học
sinh sẽ nhận thức tình huống rồi tìm ra lời giải cho tình huống.
Dạy học bằng mô hình hóa là một cách tiếp cận mới trong lĩnh vực phương
pháp dạy học, là một hệ thống các phương pháp kết hợp với nhau (phương pháp
đàm thoại gợi mở, phương pháp nêu vấn đề, …).
Với những trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng mô hình hóa là con đường
để nâng cao năng lực hiểu biết của học sinh. Việc vận dụng dạy học bằng mô hình
hóa vào thực tế là hết sức cần thiết.
1.6 Thực hiện dạy học bằng mô hình hóa.
Theo Swetz & Hartzler (1991), mô hình hóa tuân theo quy trình gồm 4 giai
đoạn sau:

Trang 15

 Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phát thảo tình huống và phát
hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó;
 Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn
ngữ toán học. Từ đó phát họa mô hình toán học tương ứng;
 Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán họ phù hợp để
mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình;
 Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa
ra kết luận.
Quy trình này được cho là khép kín vì nó được dùng để mô tả các tình huống
nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn
đề thực tiễn.
Theo Swetz & Hartzler (1991), quy trình mô hình hóa khép kín được mô tả
theo sơ đồ sau đây:

Tình huống

Quan sát, hiểu và

Mô hình

thực tiễn

xây dựng mô hình

toán học

Áp dụng

Phân tích

Kết luận,
thông báo

Kết luận
Hiểu và thông dịch

toán học

Hình 1.2 Quy trình mô hình hóa khép kín

Để vận dụng linh hoạt mô hình trên, quá trình mô hình hóa các bài toán có
thể gồm các bước sau:
 Bước 1 (Xây dựng mô hình toán học): Hiểu vấn đề thực tiễn, xác định
những yếu tố quan trọng và các quy luật trong tình huống. Từ đó diễn tả các yếu tố
này dưới dạng ngôn ngữ toán học. Lưu ý là ứng với vấn đề đang xét có thể có nhiều

Trang 16


mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ
nào giữa chúng quan trọng để lựa chọn xây dựng mô hình toán học cho phù hợp.
 Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học
thích hợp để khảo sát và giải quyết bài toán đã được mô hình hóa. Căn cứ vào mô
hình đã xây dựng để lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
 Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình
huống trong thực tiễn.
 Bước 4 (Đối chiếu): Xem xét mức độ phù hợp của mô hình và các kết
quả tính toán với thực tiễn. Nếu không phù hợp thì xem lại các giả thuyết, tìm hiểu

các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công
cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để điều chỉnh mô hình
cho phù hợp. Chuyển câu trả lời của bài toán toán học về câu trả lời của tình huống
thực tiễn.
Tóm lại, tuân theo quy trình và các bước cụ thể trên, học sinh cần xuất phát
từ tình huống thực tiễn, diễn đạt các yếu tố thực tiễn sang ngôn ngữ toán học và sắp
xếp chúng cho phù hợp; tiếp theo là sử dụng công cụ toán học để giải bài toán và
hiểu ý nghĩa của lời giải bài toán đối với thực tiễn. Sau đó xem xét và đối chiếu mô
hình với thực tiễn, nếu phù hợp thì diễn đạt lại tình huống ban đầu (thông báo kết
quả), đưa ra kết luận. Tìm hiểu những hạn chế hoặc khó khăn có thể gặp phải khi áp
dụng kết quả của bài toán vào tình huống thực tiễn.
1.7 Những ưu điểm của dạy học bằng mô hình hóa
1.7.1 Ưu điểm
Dạy học bằng mô hình hóa là phương pháp giúp học sinh tìm hiểu, khám phá
các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ
trợ của các phần mềm dạy học. Quá trình này cho thấy mỗi quan hệ giữa thực tiễn
với các vấn đề trong sách giáo khoa dưới góc nhìn của toán học. Ở phổ thông, cách
tiếp cận này giúp việc học toán của học sinh trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn,
tạo động cơ và niềm đam mê học tập môn toán.

Trang 17


Dạy học bằng mô hình hóa giúp học sinh hiểu sâu và nắm vững các kiến
thức toán học. Giúp học sinh phát triển sự thông hiểu các khái niệm và quá trình
toán học.
Sử dụng phương pháp dạy học bằng mô hình hóa giúp học sinh phát triển
các kỹ năng toán học, đồng thời nó hỗ trợ giáo viên tổ chức dạy học theo phương
pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn.
Với cách dạy học bằng mô hình hóa, học sinh không chỉ được học tri thức

mà còn học được tri thức về phương pháp, biết dự đoán và giải quyết các tình huống
trong thực tế.
Giáo viên nên sử dụng các dạng bài tập mô hình hóa cho cá nhân hoặc nhóm
nhỏ nhằm các mục đích sau đây:
 Giúp việc học toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn bằng cách tăng
cường và làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn. Tuy nhiên giáo viên cần
chú ý lựa chọn các tình huống thực tế phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh
cũng như lựa chọn các hình thức kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh
một cách phù hợp.
 Giúp học sinh nâng cao năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực
tiễn, rèn luyện các thao tác tư duy toán học.
 Nâng cao tinh thần hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự
tin cho học sinh thông qua quá trình trao đổi nhóm.
 Tăng cường tính liên môn trong học tập các môn như địa lý, lịch sử, sinh
học, … Ví dụ như thông qua hoạt động dạy học bằng mô hình hóa giúp học sinh
hiểu được đồ thị của hàm số f(x) mô tả tốc độ phát triển của các loài thực vật.
Tóm lại, vai trò của phương pháp dạy học bằng mô hình hóa là nhằm truyền
đạt nội dung kiến thức theo cách tích cực, tạo động cơ học tập, tăng cường tính liên
môn và tính khoa học trong quá trình học tập môn toán ở trường phổ thông.
1.7.2 Hạn chế
Để có một bài dạy áp dụng phương pháp dạy học bằng mô hình hóa, giáo
viên phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu và phải thuần thục các kỹ năng trên lớp
nên phương pháp này chưa được nhiều giáo viên chú ý.

Trang 18


1.7.3 Yêu cầu đối với giáo viên
Dạy học bằng mô hình hóa là kiểu dạy học có thể vận dụng kết hợp nhiều
phương pháp khác nhau (phương pháp đàm thoại gợi mở, phương pháp nêu vấn đề,

…). Muốn sử dụng hiệu quả kiểu dạy học này giáo viên cần phải biết lựa chọn kiến
thức, phối hợp với phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức khác nhau để đạt
được mục tiêu dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện
nay. Khi dạy học bằng mô hình hóa giáo viên cần chú ý:
a) Về kiến thức
Phải chuẩn bị kỹ kiến thức chuyên môn, các kiến thức liên quan để trình bày
lại một cách có hệ thống.
b) Về kỹ năng
Giáo viên phải có khả năng nhìn nhận vấn đề để lựa chọn tình huống thực
tiễn phù hợp với kiến thức muốn truyền đạt. Một tình huống đưa ra có thể học sinh
không giải quyết được hoàn toàn. Khi đó giáo viên phân tích và đưa ra cách giải
quyết tình huống. Giáo viên phải có khả năng so sánh và tổng hợp vấn đề.
c) Tính logic
Tình huống đưa ra phải gây hứng thú đối với học sinh.
Những câu hỏi phải phù hợp và vừa sức học sinh.
Giáo viên cần trình bày cách giải quyết vấn đề có logic, đầy đủ và ngắn gọn.
d) Về cách ứng xử
Tạo bầu không khí thoải mái, thân thiện để lôi cuốn học sinh.
Tạo điều kiện để học sinh phát huy năng lực bản thân.
Ngoài ra, giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu, nhất là phải
thuần thục các kỹ năng thao tác, hoạt động trên lớp nếu không sẽ không đủ thời gian
dạy hết bài.

Trang 19


Chương 2.

VẬN DỤNG DẠY HỌC BẰNG MÔ HÌNH HÓA VÀO DẠY HỌC MỘT
SỐ KIẾN THỨC TOÁN BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Đặc điểm của môn toán bậc THPT và nhiệm vụ của giáo viên trong dạy
học môn toán ở trường trung học phổ thông
2.1.1 Đặc điểm của môn toán bậc THPT
a) Vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông
Môn toán là một môn học “công cụ”, môn toán cung cấp kiến thức, kỹ năng,
phương pháp cần thiết để học tập tốt các môn khác trong nhà trường phổ thông.
Toán học là công cụ để giải quyết các vấn đề trong đời sống thực tế. Vì vậy, toán
học là phần không thể thiếu trong nền văn hóa phổ thông của con người.
Môn toán cũng góp phần phát triển nhân cách. Thông qua việc học tập môn
toán, học sinh phát triển những năng lực trí tuệ, rèn luyện những phẩm chất đạo
đức, những đức tính của người lao động mới.
b) Đặc điểm của môn toán ở bậc THPT
Tính phổ thông, cơ bản, hành dụng là những tiêu chí chủ yếu khi xác định
nội dung toán học phổ thông.
c) Mục tiêu chủ yếu của dạy học môn toán ở bậc THPT
Việc dạy học môn toán trong nhà trường phổ thông nhằm giúp học sinh đạt
các mục tiêu chủ yếu sau:
 Có những kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản, phổ thông, làm nền
tảng cho việc phát triển các năng lực chung cũng như năng lực riêng.
 Hình thành, phát triển năng lực tư duy. Phát triển trí tưởng tượng
không gian, trực giác toán học.
 Sử dụng được các kiến thức để học toán và các môn học khác. Đồng
thời giải thích một số hiện tượng, tình huống xảy ra trong thực tiễn. Qua đó phát
triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực mô hình hóa toán học.

Trang 20


 Phát triển vốn ngôn ngữ (ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ thông
thường) trong giao tiếp và giao tiếp hiệu quả.

 Góp phần cùng các bộ môn khác hình thành thế giới quan khoa học,
hiểu được nguồn gốc thực tiễn và khả năng ứng dụng rộng rãi của toán học trong
các lĩnh vực đời sống xã hội.
 Biết cách làm việc có kế hoạch, cẩn thận, chính xác, có thói quen tò
mò, thích tìm hiểu, khám phá; biết cách làm việc có kế hoạch; biết cách học độc lập
với phương pháp thích hợp cùng những kỹ năng cần thiết; hợp tác có hiệu quả với
người khác.
2.1.2 Nhiệm vụ của giáo viên trong dạy học môn toán ở bậc THPT
Nhiệm vụ của việc dạy học toán ở trường phổ thông:
 Truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản của toán học.
 Phát triển trí tuệ và bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học
sinh.
 Giáo dục tư tưởng, đạo đức cho học sinh thông qua việc dạy học môn
toán.
 Dạy phương pháp học tập môn toán cho học sinh.
Để làm tốt nhiệm vụ của người giáo viên dạy toán, bên cạnh lòng yêu nghề,
sự tận tụy đối với học sinh, người giáo viên phải có sự hiểu biết sâu sắc về những
nhiệm vụ của mình và có khả năng hoàn thành tốt nhiệm vụ ấy.
2.2 Vận dụng dạy học bằng mô hình hóa vào dạy học một số kiến thức toán
THPT
2.1.1 Vận dụng dạy học bằng mô hình hóa vào dạy bài “Phương trình quy về
phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai”
Tình huống: Tại sao Hiến pháp nước ta năm 2013 quy định lá cờ Việt Nam
có chiều rộng bằng

2
chiều dài? Điều này có liên quan gì đến toán học?
3

Hướng giải:

 Bước 1 (Xây dựng mô hình toán học): Giáo viên hướng dẫn học sinh
dựng hình chữ nhật biểu diễn cho lá cờ. Gọi a, b lần lượt là chiều rộng và chiều dài

Trang 21


của hình chữ nhật. Chia hình chữ nhật ban đầu thành một hình vuông cạnh a và một
hình chữ nhật mới có chiều rộng và chiều dài lần lượt là a , b . Ta định nghĩa hình
chữ nhật ban đầu là “hình chữ nhật vàng” khi và chỉ khi

a a b  a
 
(1)
b b
a

b

a

b’
r’
a’

Hình 2.1 Hình biểu diễn lá cờ
Tỉ lệ

a
bằng bao nhiêu thì hình chữ nhật được gọi là đẹp?
b

 Bước 2 (Giải bài toán): Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm tỉ lệ chiều
rộng và chiều dài của hình chữ nhật. Dùng kiến thức về giải phương trình bậc hai để
giải bài toán.
Đặt  

a
  0
b

Theo (1) ta có  

1
1   2   1  0


Giải phương trình trên ta nhận nghiệm  


 1 5
2

Bước 3 (Thông hiểu): Ta nhận thấy rằng  

 1 5
là một tỷ số
2

vàng. Vì vậy ta có thể tạo ra một hình chữ nhật vàng với tỉ số giữa chiều rộng và
chiều dài là

a  1 5

b
2

Để biết vì sao lá cờ Việt Nam chiều rộng bằng 2/3 chiều dài, trước hết
các em cần xác định tỷ số giữa chiều rộng và chiều dài sao cho tỷ số này là một tỷ
số vàng. Với tỷ số này các em có thể tạo được một hình chữ nhật vàng.

Trang 22


 Bước 4 (Đối chiếu): Trên thực tế, có nhiều công trình có quy mô lớn
và phức tạp đã sử dụng tỉ lệ vàng như đền thờ Parthenon (Hy Lạp), Kim tự tháp
Keop (Cheops) hay khuôn mặt nàng Mona Lisa, … Tùy theo quy mô mà chia hình
chữ nhật vàng thành nhiều hình chữ nhật vàng khác. Hay theo kiến trúc thì sử dụng
hình chữ nhật vàng, tam giác vàng, hay theo dãy số Fibonacci, …
2.1.2 Vận dụng dạy học bằng mô hình hóa vào dạy bài “Tích vô hướng của hai
vectơ”
Tình huống: Có một công viên nhỏ hình tam giác với các số đo như hình vẽ.
Người ta cần đặt một cây đèn để chiếu sáng toàn bộ công viên. Hỏi nên đặt cây đèn
ở đâu?

7m

3m

4m
Hình 2.2 Hình biễu diễn công viên

Hướng giải:
 Bước 1 (Xây dựng mô hình toán học): Trên hình vẽ tam giác biểu diễn
cho công viên, giáo viên hướng dẫn học sinh dựng hệ trục tọa độ Oxy, trong đó hai
đỉnh của công viên lần lượt nằm trên trục Ox và Oy. Khi đó ta gọi
A  0;3 , B  4; 0  , C  4; 7  là tọa độ các đỉnh của tam giác. Vùng cây đèn chiếu sáng

được biểu diễn bằng một hình tròn mà điểm đặt cây đèn là tâm. Vấn đề là đặt sao
cho tam giác nằm trong hình tròn trên.

Trang 23


 Bước 2 (Giải bài toán): Giáo viên hướng dẫn cho học sinh tìm tâm
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Sử dụng kiến thức về tích vô hướng để
giải bài toán.
Gọi I  x; y  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có: A  0;3 , B  4; 0  , C  4; 7 
Nên

IA    x;3  y   IA  x 2  (3  y )2

IB   4  x;  y   IB  (4  x )2  y 2

IC   4  x; 7  y   IC  (4  x )2  (7  y )2

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có
IA  IB, IA  IC , ta lập được hệ phương trình
7

x


8 x  6 y  7

2


8
x

8
y

56

y  7

2

7 7

Vậy I  ; 
 2 2
 Bước 3 (Thông hiểu): Dựa theo trên, giáo viên hướng dẫn học sinh
hiểu và thông dịch bài toán. Để xác định vị trí đặt cây đèn, các em phải xác định
được điểm cách đều cả ba đỉnh của công viên (tam giác) hay xác định tâm của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 Bước 4 (Đối chiếu): Giáo viên làm rõ khả năng ứng dụng lời giải của
bài toán vào thực tế. Một bài toán trong thực tế đòi hỏi kết hợp nhiều yếu tố, nhiều
mối quan hệ để có hướng giải quyết cho phù hợp. Đối với bài toán này, để có cách
giải quyết hợp lí cần phải biết thêm hình dạng, kích thước của công viên trong thực

tế đồng thời cần biết thêm về bán kính chiếu sáng của đèn.

Trang 24


Chương 3.

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1 Mục tiêu thực nghiệm
Khảo sát, đánh giá hiệu quả khi dạy học bằng mô hình hóa ở phổ thông.
Khảo sát ý kiến của học sinh khi áp dụng dạy học bằng mô hình hóa vào
môn toán ở bậc trung học phổ thông.
3.2 Đối tượng, nội dung và tiến trình thực nghiệm
Đối tượng thực nghiệm gồm 4 lớp 10B1, 10B2, 11B3, 11B5 trường THPT
Bùi Hữu Nghĩa (Thành phố Cần Thơ). Lớp 10B1 có sĩ số 41 học sinh, có 39 học
sinh tham gia khảo sát. Lớp 10B2 có sĩ số 43 học sinh, có 43 học sinh tham gia
khảo sát. Lớp 11B3 có sĩ số 38 học sinh, có 37 học sinh tham gia khảo sát. Lớp
11B5 có sĩ số 39 học sinh, có 37 học sinh tham gia khảo sát. Kết quả học tập môn
toán học kỳ I năm học 2013 – 2014 của các lớp thực nghiệm được đưa ra ở bảng
phụ lục 1, phụ lục 2, phụ lục 3, phụ lục 4.
Tiến hành thực nghiệm ở bốn lớp 10B1, 10B2, 11B3, 11B5 như sau:
 Tiến hành dạy học bằng mô hình hóa bài “Phương trình quy về
phương trình bậc nhất, bậc hai” ở hai lớp 10B1, 10B2.
 Tiến hành dạy học bằng mô hình hóa bài “Tích vô hướng của hai
vectơ” ở hai lớp 11B3, 11B5.
 Tổ chức lấy ý kiến của học sinh ở cả bốn lớp thực nghiệm về phương
pháp dạy học bằng mô hình hóa (Xem mẫu phiếu ý kiến ở bảng phụ lục 5).
Phần nội dung gồm hai phần chính:
 Dạy học bằng mô hình hóa bài “Phương trình quy về phương trình
bậc nhất, bậc hai” gắn với tình huống lá cờ Việt Nam (Xem giáo án ở bảng phụ lục

6).
 Dạy học bằng mô hình hóa bài “Tích vô hướng của hai vectơ” gắn với
tình huống cây đèn trong công viên (Xem giáo án ở bảng phụ lục 7).
3.3 Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm

Trang 25