PHÉP NGHỊCH đảo và một số ỨNG DỤNG

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

PHẫP NGHCH O V MT S NG DNG
Nguyn Hong Cng
Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong, Nam nh
I. M u:
Phộp di hỡnh l phộp bin hỡnh bo ton khong cỏch gia hai im bt kỡ, phộp
v t v ng dng l cỏc phộp bin hỡnh bo ton t s khong cỏch gia hai im bt
kỡ. Chỳng u bin ng thng thnh ng thng, ng trũn thnh ng trũn.
Ngoi cỏc phộp di hỡnh, phộp v t v ng dng, cũn mt phộp bin hỡnh khỏc
vi nhng tớnh cht rt thỳ v. ú l phộp nghch o. Phộp nghch o cng cú th
bin ng thng thnh ng thng, ng trũn thnh ng trũn, nhng cú th bin
mt ng thng thnh mt ng trũn, cũn 1 ng trũn thnh mt ng thng. c
bit hn l nú bo ton gúc gia hai hỡnh.
Phộp nghch o cng cú mt s ng dng rt quan trng trong vic gii cỏc bi
toỏn hỡnh hc phng.
II. Ni dung chuyờn :
A. Cỏc khỏi nim:
1. nh ngha:
a) Cho trc mt im O v mt s thc k 0 , vi mi im M khỏc O ta dng
mt im M trờn ng thng OM sao cho OM .OM ' = k (1)
Khi ú ta núi M l nh ca im M qua phộp nghch o tõm O phng tớch k
(hoc h s k )


O

M

M

Khi M O thỡ M l im vụ cc v kớ hiu v khi M l im vụ cc thỡ
M trựng vi O
Kớ hiu phộp nghch o tõm O, h s k bin im M thnh im M l:
f ( O, k ) : M M '
b) Cho mt hỡnh H. Tp hp nh ca mi im thuc H trong phộp nghch o
f ( O, k ) lp thnh hỡnh H c gi l nh ca hỡnh H (hỡnh nghch o ca H) v
c kớ hiu: f ( O, k ) : H H
1


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

2. Các khái niệm khác liên quan:
a) Xét phép nghịch đảo f ( O, k ) với k > 0. Đường tròn tâm O, bán kính R = k
được gọi là đường tròn nghịch đảo thực. Nếu k < 0, thì đường tròn tâm O bán kính

R=

k được gọi là đường tròn nghịch đảo ảo
Khi đó, mọi điểm trên đường tròn nghịch đảo là các điểm bất động đối với phép

nghịch đảo đó.
b) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Gọi d1 và d2 lần
lượt là các tiếp tuyến của hai đường tròn tại A. Góc tạo bởi d1 và d2 được gọi là góc tạo
bởi hai đường tròn (O1) và (O2). Nếu góc đó vuông thì ta nói hai đường tròn (O1) và
(O2) trực giao (hoặc hai đường tròn vuông góc với nhau) tại điểm A.
Ta nhận thấy góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại B bằng góc đó tại A.
Góc tạo bởi một đường thẳng và một đường tròn là góc tạo bởi đường thẳng đó
với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm chung của chúng.
B. Các tính chất:

Cho phép nghịch đảo f ( O, k ) với k ≠ 0
1. Tính chất 1: Phép nghịch đảo f ( O, k ) là phép biến đổi 1 - 1
2. Tính chất 2: Phép biến đổi f = f ( O, k )  f ( O, k ) là phép đồng nhất.
3. Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua phép f ( O, k ) thì A' B' =

k
OA.OB

AB

4. Tính chất 4: Ảnh của một đường thẳng d đi qua tâm nghịch đảo là đường thẳng d.
5. Tính chất 5: Ảnh của một đường thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O là một
đường tròn đi qua tâm nghịch đảo O.
6. Tính chất 6: Ảnh của một đường tròn (C) đi qua tâm nghịch đảo O là một đường
thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O và song song với tiếp tuyến của đường tròn (C)
tại O.

2


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

7. Tớnh cht 7: nh ca ng trũn ( ) khụng i qua tõm nghch o O l mt ng
trũn ( ') . ng trũn ( ') cng l nh ca ng trũn ( ) qua phộp v t V( O , ) vi

=

k
, p l phng tớch ca O i vi ng trũn ( ) .
p

8. Tớnh cht 8: Gúc to bi ng thng d v ng trũn ( ) cựng i qua tõm nghch
o O cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch o ú.
9. Tớnh cht 9: Gúc to bi hai ng trũn ( ) v ( ') cựng i qua tõm nghch o O
cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch o ú.
10. Tớnh cht 10: Nu ng thng d v ng trũn ( ) khụng i qua tõm nghch o
O, thỡ gúc to bi d v ( ) cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch
o ú.
11. Tớnh cht 11: Gúc to bi hai ng trũn ( ) v ( ') khụng cựng i qua tõm nghch
o O cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch o ú.
C. Cỏc bi toỏn ỏp dng:
I. Dng toỏn: Chng minh cỏc tớnh cht hỡnh hc
Bi 1: Cho a giỏc A1 A2 ... An ni tip ng trũn (C). M l mt im bt kỡ trờn cung
A1 An (cung khụng cha nh no ca a giỏc). Gi d1 , d 2 , ..., d n ln lt l khong cỏch
t M n cỏc ng thng A1 A2 , A2 A3 , ..., An A1 . Chng minh rng:
an n 1 ai
= vi ai l di cỏc cnh Ai Ai +1
d n i =1 d i

(A

n +1

A1 )

Gii:
d1

Gi R l bỏn kớnh ca ng

M
an

trũn (C).

An

A1
a1

Xột phộp nghch o tõm M

O

A2
A4

phng tớch k
A3

d

A'1

A'2

A'3

A'4

3


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Khi ú phộp nghch o f ( M , k ) bin ng trũn (C) thnh ng thng d khụng i

qua M
'
'
'
'
'
'
'
'
'
Trờn ng thng d ta gi Ai = f ( Ai ) thỡ ta cú: A1 An = A1 A2 + A2 A3 + ... + An 1 An (*)

'
'
Do ú ta cú i = 1, n Ai Ai +1 = k

=k

2 S MA A .sin Ai MAi +1
i i +1

2 S MA A .d i
i i +1

Thay vo (*) ta cú: k

=k

Ai Ai +1
Ai Ai +1 .d i .sin Ai MAi +1
=k
MAi .MAi +1
MAi .MAi +1 .d i .sin Ai MAi +1

sin Ai MAi +1
sin Ai MAi +1
ai
=k
=k
di
di
2 Rd i

n 1
an
ai
a
a
=k
n = i (pcm)
2 Rd n
2 Rd i
d n i =1 d i

Bi 2: Cho tam giỏc ABC khụng cõn. ng trũn tõm I ni tip tam giỏc ABC tip xỳc
vi cỏc cnh BC, CA, AB ln lt ti A, B, C. Gi M, N, E ln lt l giao im ca
cỏc cp ng thng: BC v BC; CA v CA; AB v AB. Chng minh rng 3 im
M, N, E thng hng.
Gii:

Gi (C1), (C2) ln lt l ng trũn

A

ng kớnh AI v A1I
Khi ú: B1C1 l trc ng phng ca hai
ng trũn (I) v (C1) v; BC l trc ng
phng ca hai ng trũn (I) v (C2)
M BC B1C1 = M

B'

C'

I
P

M
B

A'

C

nờn PM / ( C ) = PM / ( C )
1

2

Gi M l giao im th hai (khỏc I) ca

E

hai ng trũn (C1) v (C2) thỡ M IM
Ta cú: IM AM v IM A1M nờn 3
im A, A1, M thng hng.
N

Theo nh lý Ceva ta cú 3 ng thng
AA1, BB1, CC1 ng quy ti P
ã ' P = 900 hay M thuc ng trũn (C) ng kớnh IP
Suy ra IM

Tng t nu gi

4


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

N l giao im th hai ca ng trũn (C1) v ng trũn ng kớnh B1I
E l giao im th hai ca ng trũn (C1) v ng trũn ng kớnh C1I
thỡ N v E cng thuc ng trũn (C) ng kớnh IP

IM.IM = IN.IN = IE.IE = R (vi R l bỏn kớnh ng trũn ng kớnh IP)
2
Xột phộp nghch o cc I, phng trỡnh R2 : f ( I , R ) ta cú:

f ( I , R 2 ) bin cỏc im M, N, E thnh cỏc im tng ng l M, N, E
f ( I , R 2 ) bin ng trũn (C) ng kớnh IP thnh ng thng d khụng qua I

Do cỏc im M, N, E thuc ng trũn (C) nờn cỏc im M, N, E thuc ng thng
d hay M, N, E thng hng.
Bi 3: Cho hai ng trũn (O) v (O) tip xỳc ngoi nhau ti A. Mt tip tuyn ca
(O) ti im M bt kỡ trờn ng trũn ct (O) ti B v C. Chng minh rng AM l
ng phõn giỏc ca gúc to bi hai ng thng AB v AC.
Gii:

d'

d

A

O'

O
M'

C
I

B'
H

B

M
2
H AH BC. Xột phộp nghch o cc A, phng tớch k = AH2 : f ( A, AH )

f ( A, AH 2 ) bin tip tuyn ti M vi ng (O) thnh tip tuyn vi ng trũn (I)

ng kớnh AH
5


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

f ( A, AH 2 ) : M M; B B; C C sao cho M, B, C thuc (I)
f ( A, AH 2 ) : (O) d l tip tuyn vi (I) ti M; d OA

(O) d qua B, C v d OA
ẳ'B' = M
ẳ 'C '
Vỡ d // d v M l tip im ca tip tuyn d vi (I) M
ẳ ' = NC
ẳ '
Gi N l im i xng vi M qua I N (I) NB

AN l phõn giỏc ca gúc BAC AM l phõn giỏc ca gúc BAC
Vy AM l phõn giỏc ca gúc to bi AB v AC.
Bi 4: (Thi Olympic Bungari - vũng 4 - 1995)
Cho tam giỏc ABC cú chu vi 2p cho trc. Cỏc im E, F nm trờn ng thng AB sao

cho CE = CF = p. Chng minh rng ng trũn bng tip (k1) ng vi cnh AB ca tam
giỏc ABC tip xỳc vi ng trũn (k2) ngoi tip tam giỏc EFC.
Gii:
C

Vỡ CP = CQ = CE = CF = p nờn suy ra 4 im P, Q,
E, F cựng thuc ng trũn (C, p)
Xột phộp nghch o cc C phng tớch p2 ta cú:
f (C, p2 ) : P P ;

Q

Q Q
P

Do ú: f ( ( k1 ) ) = ( k1 )
Mt khỏc:

f ( E) = E

f (F) = F

F

B

A

E

O
O'


f ( ( k2 ) ) = EF


M ( k1 ) tip xỳc vi EF nờn ( k1 ) tip xỳc vi ( k 2 )

k2

k1

Bi 5: Cho hai ng trũn (C1) cú tõm O1 v bỏn kớnh
R1, ng trũn (C2) cú tõm O2 v bỏn kớnh R2. im I khụng nm trờn c hai ng trũn.
Gi f l phộp nghch o cc I phng tớch k 0 , f ( C1 ) ; f ( C2 ) l cỏc ng trũn nh
d 2 R12 R22
ca ( C1 ) ; ( C2 ) . t: ( ( C1 ) , ( C2 ) ) =
vi d = O1O2 . Chng minh rng:
2 R1 R2
1. Nu I ng thi nm trong hoc nm ngoi c hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) thỡ:
6


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )

2. Nu I nm trong mt ng trũn v nm ngoi mt ng trũn thỡ

( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )
Gii: Gi f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ;

f ( C2 ) = ( I 2 , r2 )

I1 I 2 r12 r22
Khi ú: ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) =
2r1r2
2

Vỡ f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ;
II1 =

k
IO1
p1

f ( C2 ) = ( I 2 , r2 ) nờn: I = V p ( O ) v I = V p ( O )
1
I
1
2
I
2

v

k

k

1

II 2 =

2

k
IO2 (vi p1 = PI / ( C ) = IO12 R12 v p2 = PI / ( C ) = IO2 2 R22 )
p2
1

2

Khi ú ta cú:
2

(

I1 I 2 = I1 I 2 = II 2 II1
2

)

2

2

2

IO22
2
k

k
2 IO1
IO1.IO2
= IO1 IO2 = k 2 + 2
p2
p1 p2
p2
p1

p1


p1 + R12 p2 + R22 IO12 + IO22 O1O2 2

+

= k
2
2
p
p
p
p
1
2
1 2

2

2
1
1 R12 R22 p1 + p2 + R12 + R22 O1O2

+ 2+ 2
= k +
p1 p2
p1 p2 p1 p2

2

R12 R22 R12 + R22 O1O2 2

= k 2 + 2
p
p
p
p
2
1 2
1

2

k

k

Vỡ I = V p ( O ) v I = V p ( O ) ;
1
I
1
2
I
2
1

nờn ta cú: r1 =

2

f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ;

f ( C2 ) = ( I 2 , r2 )

k
k
R1 v r2 =
R2
p1
p2

Do ú:
2
2
2

r12 r22 R12 + R22 O1O2 2
2
2
2
2 O1O2 R1 R2
I1 I 2 r1 r2 = k
I1 I 2 = k 2 + 2
k
p1 p2
p1 p2
k


2

2

I1 I 2 r12 r22
k 2 O1O2 R12 R22
( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) =
=
.
r1r2
2r1r2
p1 p2
2

2

7

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

1
=
2r1r2

(

)

2
kk
1 r1 p1 .r2 p2 O1O2 R12 R22
2
2
2
O1O2 R1 R2 =



p
p
p1 p2
1 2
2r1r2 R1 R2


(

)

p1 p2 O1O2 2 R12 R22
p1 p2
.
. ( ( C1 ) , ( C2 ) )
=
=
p1 p2
p1 p2
R1 R2

Do ú:
1. Nu I nm ng thi trong hoc ngoi c hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) thỡ
p1 p2 > 0 nờn ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )
2. Nu I nm trong mt ng trũn v nm ngoi mt ng trũn thỡ p1 p2 < 0 nờn

( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )
Bi 6: Cho hai ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tip xỳc vi nhau ti A . Mt ng thng l qua

A ct cỏc ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng ti C1 , C2 khỏc A . Mt ng trũn ( C ) qua
C1 , C2 ct li hai ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) ti B1 , B2 tng ng. Gi ( x ) l ng trũn

ngoi tip tam giỏc AB1B2 . ng trũn ( k ) tip xỳc vi ng trũn ( x ) ti A , ct

( C1 ) , ( C2 )

ln lt ti D1 , D2 khỏc A . Chng minh rng:
1. Cỏc im C1 , C2 , D1 , D2 hoc cựng thuc mt ng trũn hoc cựng thuc mt

ng thng.
2. Cỏc im B1 , B2 , D1 , D2 cựng thuc mt ng trũn khi v ch khi AC1 , AC2
ln lt l ng kớnh ca ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng.
Gii:
(c)

k'1

k2

(x')

l

(k)

k'2

B'1

D2

B'2

C'1
C2

D1
k1
A

C1

B1

C'2

B2
(x)

Hỡnh 1

D'2
(k')

D'1

Hỡnh 2

8


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

1. Xột phộp f l phộp nghch o cc A , phng tớch k 0 thỡ
+) f bin ng trũn ( k1 ) , ( k2 ) thnh cỏc ng thng k1' , k2' tng ng v k1' / / k2'
+) f bin ng trũn ( x ) , ( k ) thnh cỏc ng thng x '; k ' tng ng v x '/ / k '
+) f bin ng thng ( l ) thnh chớnh nú
Suy ra f bin cỏc im B1 , B2 , C1 , C2 , D1 , D2 tng ng thnh cỏc im
B1' = x ' k1' ; B2' = x ' k 2' ; C1' = l k1' ; C2' = l k 2' ; D1' = k ' k1' ; D2' = k ' k2'

Do ú t giỏc B1' B2' D2' D1' l hỡnh bỡnh hnh (Hỡnh 2)

ã ' B' D' + B
ã ' D ' D ' = 1800 (1)
B
2 1 1
1 1 2
Vỡ C1 , C2 , B1; B2 thuc ng trũn ( C ) v A khụng thuc ng trũn ( C )
C1' , C2' , B1' ; B2' thuc ng trũn ( C ') = f

( ( C ) ) Bã B D
'
2

'
1

'
1

ã 'C ' D ' (2)
=C
1 2 2

ã ' D' D' + C
ã 'C ' D ' = 1800
T (1) v (2) suy ra C
1 1 2
1 2 2
'

C1' , C2' , D1' , D2' cựng thuc mt ng trũn ( k3 )

C1 , C2 , D1 , D2 hoc cựng thuc ng thng, hoc cựng thuc 1 ng trũn l to nh ca
'
ng trũn ( k3 ) qua phộp nghch o f .

2. Ta cú: Cỏc im B1 , B2 , D1 , D2 cựng thuc mt ng trũn
Cỏc im B1' , B2' , D1' , D2' cựng thuc mt ng trũn B1' B2' D2' D1' l hỡnh ch nht

ã ' B ' B ' = 900 C
ã 'C ' D ' = 900 ng thng l v ng trũn ( C ' ) trc giao vi nhau
D
2
1 1 2
1 2 2
ng thng l v ng trũn ( C2 ) trc giao vi nhau

AC1 , AC2 ln lt l ng kớnh ca ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng.

Bi 7: Cho ng trũn ( O ) cú ng kớnh AB v mt im C trờn ( O ) , ( C A, C B ) .
Tip tuyn vi ( O ) ti A ct ng thng BC ti M . Gi N l giao im ca cỏc tip
tuyn vi ( O ) ti B v ti C . ng thng AN ct li ng trũn ( O ) ti D khỏc A v
ct ng thng BC ti F . ng thng qua M , song song vi AB ct ng thng
9


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

OC ti I . ng thng qua N , song song vi AB ct ng thng OD ti J . Gi K l
giao im ca hai ng thng MD, NC v E l giao im ca hai ng thng MN , IJ .

1. Chng minh rng hai ng trũn ( MCE ) v ( NDE ) tip xỳc vi nhau.

2. Chng minh rng K l tõm ng trũn i qua cỏc im C , D, E , F .
Gii:
A

P

M

X

I

OC 2 = CP.CN = AP.BN = OB 2

C
O
F

K
E

Y

D
J

B

1. Gi P l giao im ca AM
v NC thỡ PA = PM = PC .
Ta cú OPN vuụng ti O ,
ng cao OC nờn suy ra

N

2OB.OC = BN .2 AP
OA. AB = BN . AM
AOM : BNA
ã
ãAMO = BAN
= ãADO
Suy ra t giỏc AMDO ni tip

ã
ã
ng trũn ng kớnh OM nờn ODM
= OAM
= 900
Do ú MD l tip tuyn ca ( O ) KC = KD

Vỡ OBC : ICM v OAD : JDN nờn suy ra IC = IM v JD = JN
Mt khỏc ta cú OM AN ti X v ON BM ti Y nờn F l trc tõm ca OMN .
Gi E ' l giao im ca OF v MN thỡ OE ' MN . Ta chng minh E ' E .
Ta cú MA2 = MD 2 = MX .MO = ME '.MN = MB.MC
Xột phộp nghch o f cc M , phng tớch k = MA2 ta cú: f bin cỏc im B, N
thnh cỏc im C , E ' tng ng
Suy ra f bin ng thng BN thnh ng trũn ( MCE ')
Vỡ BN tip xỳc vi ( O ) ti B v BN || AM nờn ng trũn ( MCE ') tip xỳc vi ( O )

ti C v tip xỳc vi AM ti M . Do ú I l tõm ng trũn ( MCE ')
Chng minh tng t ta cú J l tõm ng trũn ( NDE ') .
Khi ú ta suy ra hai ng trũn ( MCE ') v ( NDE ') tip xỳc nhau ti E ' .
E ' l giao im ca IJ v MN nờn E ' E

10


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

Vậy hai đường tròn ( MCE ) và ( NDE ) tiếp xúc với nhau tại E.
2. Vì KC là tiếp tuyến chung của ( O ) và ( I ) ; KD là tiếp tuyến chung của ( O ) và ( J )
nên ta suy ra PK /( I ) = PK / ( O ) = PK /( J ) , do đó K là tâm đẳng phương của 3 đường tròn

( O) , ( I ) , ( J )

⇒ KC = KD = KE . Suy ra K là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CDE (1).

Mặt khác ta có MA2 = MD 2 = MX .MO = ME.MN = MB.MC = MF .MY nên phép nghịch
đảo f cực M , phương tích k = MA2 biến các điểm F , C , D, E tương ứng thành các
điểm Y , B, D, N .
Mà 4 điểm Y , B, D, N cùng thuộc đường tròn đường kính BN nên 4 điểm F , C , D, E
cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra K là tâm đường tròn đi qua 4 điểm F , C , D, E .
Bài 8: Cho tam giác ABC có trực tâm H , ba đường cao là . Gọi M , N , P lần lượt là
trung điểm các cạnh BC , CA, AB . Gọi ( ω ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP . Kí
hiệu A ', B ', C ' lần lượt là các giao điểm thứ hai của MH , NH , PH và ( ω ) ,. Chứng
minh rằng A1 A ', B1 B ', C1C ' đồng quy tại một điểm X nằm trên đường thẳng Euler của
tam giác ABC .
Giải:

Ta kí hiệu đường tròn qua 3 điểm X , Y , Z là ( XYZ ) .
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP . Ta biết rằng ( ω ) đi qua 9 điểm:
M , N , P, A1 , B1 , C1 và trung điểm các đoạn AH , BH , CH .

11


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

Giả sử là điểm đối xứng với M , N , P qua O .
Xét phép nghịch đảo cực H phương tích k = HM .HA ' = HN .HB ' = HP.HC '
Phép nghịch đảo này biến các đường thẳng A1 A ', B1 B ', C1C ' tương ứng thành các
đường tròn ( HMM ') , ( HNN ' ) , ( HPP ') , biến đường tròn ( ω ) thành chính nó và biến
đường thẳng Euler của ∆ABC thành chính nó.
Ta sẽ chỉ ra rằng trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ' ) là đường thẳng Euler của
∆ABC . Thật vậy:
Trục đẳng phương của ( ω ) và ( HNN ') là NN ' ;
Trục đẳng phương của ( ω ) và ( HPP ' ) là PP ' ;
Suy ra trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') đi qua H và giao của NN ' và PP '
hay trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') là đường thẳng HO .
Do đó trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') chính là đường thẳng Euler ∆ABC .
Tương tự, trục đẳng phương của ( HPP ' ) và ( HMM ') , trục đẳng phương của ( HMM ')
và ( HNN ') cũng là đường thẳng Euler của ∆ABC .
Do đó ba đường tròn cùng đi qua một điểm trên đường thẳng Euler của ∆ABC . Từ đó
suy ra A1 A ', B1 B ', C1C ' đồng quy tại một điểm X nằm trên đường thẳng Euler của tam
giác ABC .
Bài 9: Cho đường tròn ( O ) và dây cung UV . M là một điểm trên dây cung UV ; AC
và BD là hai dây cung khác của đường tròn ( O ) cùng đi qua M . Gọi X là giao điểm
của BC và UV ; Y là giao điểm của AD và UV . Chứng minh rằng:

1
1
1
1 .
+
=
+
MX MV MY MU

B

Giải:

A
E

U

X

M

I
O1

J

V
Y

N
O

F

Đặt k = MA.MC = MB.MD = MU .MV
Xét phép nghịch đảo f cực M , phương
tích k , ta có

O2

C
D

12


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

f biến các điểm A, D, U tương ứng thành các điểm C , B, V .

Suy ra f

biến các đường thẳng BC , AD tương ứng thành các đường tròn

( AMD ) , ( BMC )

và biến đường thẳng UV thành chính nó.

Vì X là giao điểm của BC và UV và Y là giao điểm của AD và UV nên f

biến các điểm X ,Y tương ứng thành các điểm F , E với F là giao điểm khác M của
đường tròn ( AMD ) và UV ; E là giao điểm khác M của đường tròn ( BMC ) và UV
Khi đó ta có: k = MU .MV = MX .MF = MY .ME ⇒ MU .MV = MX .MF = MY .ME = k
Do đó

1
1
1
1
+
=
+
⇔ MF + MU = ME + MV ⇔ FU = EV ⇔ EU = FV
MX MV MY MU

Gọi O1 , O2 lần lượt là tâm của các đường tròn ( BMC ) , ( AMD ) thì OO1 ⊥ BC (1)
Mặt khác ta có góc giữa O2 M và BC bằng góc giữa O2 M và đường tròn ( AMD ) và
bằng 900 (vì phép nghịch đảo f biến O2 M thành chính nó) nên O2 M ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OO1 || O2 M
Chứng minh tương tự ta suy ra OO2 || O1M , do đó tứ giác MO2OO1 là hình bình hành
có tâm N .
Gọi I , J lần lượt là hình chiếu vuông góc của O1O2 xuống UV thì tứ giác O1O2 JI là
hình thanh vuông tại I , J
Mà N là trung điểm của O1O2 nên suy ra NI = NJ
Hai tam giác EMO, FMO có NI , NJ tương ứng là hai đường trung bình nên suy ra
OE = OF (3)
Mặt khác OU = OV (4)
Nên từ (3) và (4) suy ra EU = FV (đpcm)
Một số bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với nhau và cắt nhau ở A, B. Lấy các điểm

C, D trên hai đường tròn đó sao cho CD không đi qua A, B. Chứng minh rằng các đường
tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD trực giao với nhau.

13


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Bi 2: Cho bn ng trũn cựng i qua mt im P nhng khụng cú ng trũn no cha
trong ng trũn no. Hai ng trũn tip xỳc vi ng thng (d1) ti P, hai ng trũn
cũn li tip xỳc vi ng thng (d2) ti P. Cỏc giao im khỏc P ca 4 ng trũn l A,
B, C, D. Chng minh rng 4 im A, B, C, D cựng thuc mt ng trũn khi v ch khi
hai ng thng (d1) v (d2) vuụng gúc vi nhau.
Bi 3: Cho ba im A, B, C thng hng theo th t ú. Cỏc na ng trũn ng kớnh
AB, BC, CA nm v cỳng mt na mt phng b AC. Chng minh rng ng trũn (O)
cú ng kớnh bng khong cỏch t O n BC vi (O) l ng trũn tip xỳc vi c ba
na ng trũn trờn.
Bi 4: ( thi hc sinh gii tnh Nam nh nm hc 2004 - 2005)
Cho ng trũn (O, R). Gi s cú 6 ng trũn thay i nm bờn trong (O;R) l
(I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) tho món tớnh cht : chỳng ln lt tip xỳc trong vi (O,
R) ti A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; ng thi ng trũn (I1) tip xỳc ngoi vi ng trũn
(I2), ng trũn (I2) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I3), ng trũn (I3) tip xỳc ngoi
vi ng trũn (I4), ng trũn (I4) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I5), ng trũn (I5)
tip xỳc ngoi vi ng trũn (I6), ng trũn (I6) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I1).
1. Chng minh rng: A1A2.A3A4.A5A6 = A2A3.A4A5.A6A1
2. Cho ng trũn (I , r) nm bờn trong (O; R) . Gi d = OI; chng minh rng: Tn ti
6 ng trũn (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) tho món tớnh cht ó nờu bi v ng thi 6
ng trũn ny li u tip xỳc ngoi vi ng trũn (I , r) khi v ch khi

( R r)

2

d2 =

4
Rr .
3

Bi 5: ( thi VMO - 2003)
Cho hai ng trũn c nh (k1), (k2) tip xỳc trong ti P cú tõm tng ng l K1, K2
v bỏn kớnh ln lt l R1, R2 (R1 < R2). Cho im K di ng trờn (k2) sao cho 3 im K,
K1, K2 khụng thng hng. T K k cỏc tip tuyn KB, KC ti (k1) (vi B, C l cỏc tip
im). Cỏc ng thng PB, PC ct ng trũn (k2) ti D, E tng ng. F l giao im

14


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

ca DE vi tip tuyn ca ng trũn (k2) ti K. Chng minh rng F di ng trờn mt
ng thng c nh.
II. Dng toỏn: Tỡm tp hp im
Bi 1: Cho ng trũn (C) tõm I, bỏn kớnh R v mt im O c nh sao cho OI = 2R. Gi
(C1), (C2) l hai ng trũn thay i qua O, tip xỳc vi ng trũn (C) v trc giao vi nhau.
Gi M l giao im th hai ca (C1) v (C2). Tỡm qu tớch im M.
Gii:
Phn thun:
Xột

phộp

nghch

f ( O, k )

o

c1

vi

P'

k = PO / ( C ) = 3R . Khi ú:
2

P

f ( O, k ) :

(C) (C)
(C ) d
M'
(C ) d
Vỡ ( C ) ; ( C ) trc giao vi nhau v cựng tip
xỳc vi ( C ) nờn ta cú d d v ln lt tip
xỳc vi ( C ) ti P ' ; Q' tha món: OP.OP ' = OQ.OQ' = 3R
( C ); ( C ) vi ( C ) .
1

J

1

1

2

2

M

c2

Q

Q'

2

1

1

O

I

2

2

vi P, Q l tip im ca

2

Gi M l giao im ca hai ng thng d1 , d 2 thỡ khi ú M ' = f ( M ) vỡ M l giao
im ca hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 )
Mt khỏc t giỏc IPMQ l hỡnh vuụng cnh R

(
)
( ') = ( I , R 2 ) = f ( ( ) )

(

IM ' = R 2 M ' I , R 2 . Gi ( ') l ng trũn I , R 2

M ( ) vi

)

Vỡ M ' = f ( M ) OM .OM ' = 3R 2 M = f ( M ')

(

)

Ta cú: PO / ( ' ) = OI 2 R 2 = 2 R 2 = ON .OM ' vi N ( )

2

3
3
3
3
OM .OM ' = ON .OM ' OM = ON M = VO2 ( N ) M ( ) = V 2 ( ( ') )
O
2
2

15


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

3
3R 2
Gọi ( J , r ) là tâm của đường tròn ( γ ) ⇒ OJ = OI và r =
hay J là giao điểm
2
2
của đường tròn ( C ) và đường thẳng OI.

Phần đảo:

Lấy điểm M bất kì trên đường tròn ( γ ) = ( J , r ) . Gọi M ' = f ( M ) . Qua M’ kẻ các

tiếp tuyến M’P’, M’Q’ với đường tròn ( C ) . Khi đó
f ( O, k ) :

(C) →(C)

; M ' P ' → ( C1 ) ; M ' Q' → ( C2 )

Ta phải chứng minh hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 ) cùng đi qua M, cùng tiếp xúc với ( C ) và
trực giao với nhau.
Thật vậy: vì f ( O, k ) :

( C ) → ( C ) ; M ' P' → ( C ) ; M ' Q' → ( C ) và M ' = f ( M )
nên hai đường tròn ( C ) ; ( C ) cùng đi qua M, cùng tiếp xúc với ( C )
1

1

2

2

Ta có: M ' = f ( M ) nên M ' thuộc đường tròn ( C ) = V p ( ( γ ) )
0
O
k

2

Với p = PO / ( γ )
⇒ OJ ' =

 3R 2  9 R 2

 =
= OJ − 
2
2


2

và k = 3R 2 , ( J ' , r ') là đường tròn ( C0 )

(

k
2
k
OJ = OJ và r ' = r = R 2 ⇒ J ' ≡ I ⇒ ( C0 ) ≡ I , R 2
p
3
p

)

⇒ IM ' = R 2 nên tứ giác IP’M’Q’ là hình vuông cạnh R ⇒ M ' P' ⊥ M ' Q'

Do đó hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 ) trực giao với nhau.

Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn
 3R 2 
 J ,
 với J là giao điểm của đường tròn ( C )

2


và đường thẳng OI.
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi
d1 là tiếp tuyến của (O) tại B. Gọi (C) là đường tròn
thay đổi và luôn tiếp xúc với (O) và d1 tại hai điểm
phân biệt. Gọi (C1), (C2) là hai đường tròn bất kì của
(C). Biết rằng (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau tại M.
Tìm quỹ tích điểm M.
Giải:

c1

(D)

d1

(d)

M c2

A
J

B
O

H

I
c'1

M' c'
2

16


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

*) Phần thuận:
Gọi f ( B, k ) là phép nghịch đảo cực B, phương tích k = −4R 2 .
Do B ∈ d1 và B ∈( O ) nên:
f ( B, k ) biến:
d1 → d1

( O ) → ( d ) với d ⊥ AB tại H = f ( A)
( C1 ) → ( C '1 ) ; ( C2 ) → ( C '2 )
Do ( C ) ; ( C ) tiếp xúc với (O ) và d ⇒ ( C ' ) , ( C ' ) tiếp xúc với d , ( d ) (1)
Mặt khác ( C ) ; ( C ) tiếp xúc nhau tại M
⇒ ( C ' ) , ( C ' ) tiếp xúc nhau tại M’ (2) ⇒ M ' = f ( M )
Từ (1) và (2) suy ra M ' thuộc đường thẳng ( D ) vuông góc với AB tại trung điểm I của BH.
Do M ' = f ( M ) ⇒ M thuộc đường tròn ( C ) đi qua B là ảnh của đường thẳng ( D ) qua
phép f ( B, k ) trừ điểm B
Gọi J = f ( I ) thì ( C ) là đường tròn đường kính BJ
*) Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên đường tròn ( C ) .Gọi M ' = f ( M ) , ( d ) = f ( ( O ) )
Vẽ hai đường tròn ( C ' ) , ( C ' ) cùng tiếp xúc với d , ( d ) và tiếp xúc với nhau. Gọi
( C ) = f ( ( C ' ) ) ; ( C ) = f ( ( C ' ) ) . Ta phải chứng minh hai đường tròn ( C ); ( C ) tiếp xúc
1

2

1

1

1

1

2

1

2

2

0

0

0

1

1

1

2

2

2

1

1

2

với (O) , d1 và tiếp xúc với nhau tại M.
(Điều này dễ dàng chứng minh được)

*) Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn ( C0 ) đường kính BJ trừ điểm B.
Một số bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định khác O, A không thuộc đường tròn
(O). Xét các đường tròn tâm O’ đi qua A và trực giao với đường tròn (O)
1. Tìm quỹ tích các tâm O’
2. Gọi H là giao điểm của OO’ với dây cung chung của hai đường tròn.
Tìm quỹ tích điểm H.
Bài 2: Cho đường tròn (O, R) và hai đường thẳng ∆, ∆ ' song song với nhau, không có
điểm chung với đường tròn. ∆ ' và đường tròn (O) nằm về hai phía đối với đường thẳng

∆ . Dựng hai tiếp tuyến x, y của đường tròn (O) song song với nhau và cắt ∆, ∆ ' lần
17

Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

lượt tại A, B, C, D. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD. Từ I kẻ các
tiếp tuyến IP, IQ với (O) (P, Q là các tiếp điểm). Gọi K là giao điểm của PQ và OI.
Tìm tập hợp điểm K khi các tiếp tuyến x, y thay đổi hướng.
Bài 3: Cho đường tròn (O, R) và dây AB cố định. Với mỗi điểm M trên đường tròn (O),
dựng đường tròn (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (O2) qua M và tiếp
xúc với AB tại B. Gọi M’ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Tìm quỹ
tích điểm M’ khi M di động trên đường tròn (O).

18


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Ti liu tham kho:
1. Cỏc phộp bin hỡnh trong mt phng - Nguyn Mng Hy
2. Cỏc phộp bin hỡnh trong mt phng - Thanh Sn
3. Cỏc bi toỏn v hỡnh hc phng Tp 2 V.V Praxolov.
4. INVERSION IN GEOMETRY ARTHUR BARAGAR.
5. Din n toỏn hc Mathscope.
6. Cỏc ti liu trờn Internet.

19