Luận văn: PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG potx

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






HOÀNG THỊ LIỄU







PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG





L
L
U
U
Ậ

Ậ
N
N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T

T
O
O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C













Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






HOÀNG THỊ LIỄU




PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG


Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01


L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T
T
O

O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C





Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU







Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
R

n
.
R
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
28 09 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
• a b R
n
x ∈ R
n
{x ∈ R
n
| x = (1 − λ)a + λb, λ ∈ R}.
• a b R
n
x ∈ R
n
{x ∈ R
n
| x = (1 − λ)a + λb, 0 ≤ λ ≤ 1} .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
C ⊆ R
n
C
C
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
x x
1
, . . . , x

k
x =
k

i=1
λ
i
x
i
, x
i
∈ R
n
, λ
i
≥ 0, ∀i = 1, . . . , k,
k

i=1
λ
i
= 1.
C ⊆ R
n
C
∀k ∈ N, ∀λ
1
, . . . , λ
k
> 0 :

k

i=1
λ
i
= 1, ∀x
1
, . . . , x
k
∈ C ⇒
k

i=1
λ
i
x
i
∈ C.
k = 2.
k = 1 :
k = 2 :
k − 1 k
x k x
1
, . . . , x
k
∈ C,
x =
k


i=1
λ
i
x
i
, λ
i
> 0, ∀i = 1, . . . , k,
k

i=1
λ
i
= 1.
λ
k
> 0, α =
k−1

i=1
λ
i
0 < α < 1
x =
k−1

i=1
λ
i
x

i
+ λ
k
x
k
= α
k−1

i=1
λ
i
α
x
i
+ λ
k
x
k
.
λ
i
α
> 0 ∀i = 1, . . . , k − 1
k−1

i=1
λ
i
α
= 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
y =
k−1

i=1
λ
i
α
x
i
∈ C.
x = αy + λ
k
x
k
. α > 0, λ
k
> 0 α + λ
k
=
k

i=1
λ
i
= 1
x y x
k
C
x ∈ C.

A, B
R
n
C R
m
A ∩ B = {x | x ∈ A, x ∈ B} ,
αA + βB = {x | x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} ,
A × C = {x ∈ R
m+n
| x = (a; c), a ∈ A, c ∈ C} .
C
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
R
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
M = ∅
M = L + a L a ∈ M.
L
M a ∈ M
L = M − a 0 L
M = L + a.
M = L + a a ∈ M L
∀x, y ∈ M, λ ∈ R,
(1 − λ)x + λy = a + (1 − λ)(x − a) + λ(y − a).
x − a, y − a ∈ L L
(1 − λ)(x − a) + λ(y − a) ∈ L.
=⇒ (1 − λ)x + λy ∈ M.
M
L M = L + a
M = L


+ a

, L, L

a, a

∈ M
L

= M − a = L + a − a

= L + (a − a

).
a

∈ M = a + L a

− a ∈ L.
=⇒ L

= L + (a − a

) = L.
L
M
L
M M
M

a ∈ R
n
0
M = {a} L = {0}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
M ⊆ R
n
M = {x ∈ R
n
| Ax = b} (1.1)
A (m × n), b ∈ R
m
rank A = n − r.
rank A = n − r
M M = L + a
a ∈ M L = M − a
L = {x | Ax = 0}
A m × n rank A = n − r. M = L + a
M = {x | A(x − a) = 0} = {x | Ax = Aa = b} .
M a ∈ M Aa = b
M = {x | A(x − a) = 0} = a + L
L = {x | Ax = 0} .
A = n − r L
• R
n
{x ∈ R
n
| a, x = α}
a ∈ R
n

\ {0} , α ∈ R.
a
•
{x | a, x ≤ α} , {x | a, x ≥ α}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
a ∈ R
n
\ {0} , α ∈ R.
•
{x | a, x > α} , {x | a, x < α} .
a ∈ R
n
\ {0} , α ∈ R.
x
0
∈ C. a, x = α
x
0
a, x
0
 = α, a, x ≥ α, ∀x ∈ C.
H =

x | a, x − x
0
 ≤ 0

C x
0
.

C ⊆ R
n
C
C C
C.
C
x = λ
1
x
1
+ . . . + λ
k
x
k
(1.2)
x
i
∈ C, λ
1
+ . . . + λ
k
= 1 k ∈ N.
M
x, y ∈ M. M
x =
k

i=1
λ
i

x
i
y =
h

j=1
µ
j
y
j
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
x
i
∈ C, ∀i = 1, . . . , k; y
j
∈ C, ∀j = 1, . . . , h
k

i=1
λ
i
=
h

j=1
µ
j
= 1.
α ∈ (0; 1)
z = (1 − α)x + αy =

k

i=1
(1 − α)λ
i
x
i
+
h

j=1
µ
j
y
j
.
k

i=1
(1 − α)λ
i
+
h

j=1
αµ
j
= (1 − α) + α = 1
z = (1 − α)x + αy ∈ M.
M C ⊂ M.

x =
k

i=1
λ
i
x
i
x
i
∈ C,
k

i=1
λ
i
= 1
x ∈ C. M ⊂ C
M E.
x
1
, . . . , x
k

x
1
, . . . , x
k

x

1
−x
k
, . . . , x
k−1
−x
k
M k

x
1
, . . . , x
k

R
n
(k − 1)−
x ∈ M
x =
k

i=1
λ
i
x
i
,
k

i=1

λ
i
= 1.
C
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
C = {x ∈ R | x = 0}
C
λC ⊆ C, ∀λ > 0,
C + C ⊆ C.
C C
C x, y ∈ C
1
2
(x + y) ∈ C
x + y ∈ C
C x, y ∈ C λ ∈ [ 0, 1]
λx ∈ C (1 − λ)y ∈ C λx + (1 − λ)y ∈ C
C
C R
n
y = 0
C C
y C y
x + λy ∈ C, ∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0.
C re C
C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
C re C
C

x ∈ C x ∈ C
C
C
x + λy ∈ C, ∀λ ≥ 0
C.
x + λy ∈ C, ∀λ ≥ 0 x ∈ C ∀u ∈ C
∀µ > 0 C
x
λ
=
µ
λ + µ
(x + λy) + (1 −
µ
λ + µ
)u ∈ C.
λ −→ ∞ C u + µy ∈ C u ∈ C µ > 0.
C
R
2
C = {x = (x
1
, x
2
) | x
1
> 0, x
2
> 0} ∪ {0} .
y = (0, 1)

0 = x ∈ C C
x = 0
C ⊆ R
n
x ∈ C
N
C
(x) = {w | w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} .
0 ∈ N
C
(x) N
C
(x)
C x −N
C
(x)
C x
−N
C
(x) = {w | w, y − x ≥ 0 ∀y ∈ C} .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
C
∗
= {w | w, x ≥ 0 ∀x ∈ C} .
C x ∈ C d ∈ R
n
C ∃t
0
> 0 x + td ∈ C 0 ≤ t ≤ t
0

F
C
(x)
C
T
C
(x) F
C
(x) = T
C
(x).
T
C
(x) =

d ∈ R
n
| ∃d
k
→ d, ∃t
k
 0 : x + t
k
d
k
∈ C ∀k

.
C
C =


x ∈ R
n
| a
j
, x ≤ b
j
, j = 1, . . . , m

x ∈ C
J(x) =

j | a
j
, x = b
j

T
C
(x) =

x ∈ R
n
| a
j
, x ≤ 0, j ∈ J(x)

.
N
C

(x) (a
j
, j ∈ J(x)) {y =

j∈J (x)
λ
j
a
j
: λ
j
≥ 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
C ⊂ R
n
f : C → R
dom f = {x ∈ C | f(x) < +∞} ,
epi f = {(x, µ) ∈ C × R | f (x) ≤ µ} .
dom f epi f
f(x) = +∞ x ∈ C
dom f = {x ∈ R
n
| f(x) < +∞} ,
epi f = {(x, µ) ∈ R
n
× R | f(x) ≤ µ} .
λ = 0 λf(x) = 0
∅ = C ⊆ R
n
f : C →

R f
C f R
n+1
f
C −f C.
f : R
n
→ R ∪ {+∞}.
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f (y)
∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1).
f : R
n
→ R ∪ {+∞} C
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f (y)
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
f : R
n
→ R ∪ {+∞} C η > 0
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f (y) −
1
2
ηλ(1 − λ)  x − y 
2
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
C η > 0
h(.) = f (.) −
1
2
 . 

2
C
C ∀m ∈ N
∗
∀x
1
, . . . , x
m
∈ C ∀λ
j
≥ 0
m

j=1
λ
j
= 1,
f(
m

j=1
λ
j
x
j
) ≤
m

j=1
λ

j
f(x
j
).
f : C → R
∀x, y ∈ C ∀α > f(x), ∀β > f (y), ∀λ ∈ [ 0, 1] ,
f(λx + (1 − λ)y ≤ λα + (1 − λ)β.
x, y, α, β
α

∈ (f(x), α) β

∈ (f(y), β). (x, α

), (y, β

) ∈ epi f
epi f
((1 − λ)x + λy, (1 − λ)α

+ λβ

) ∈ epi f.
⇒ f((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)α

+ λβ

< (1 − λ)α + λβ.
(x, µ), (y, η) ∈ epi f λ ∈ (0, 1).  > 0
f(x) < µ + , f(y) < η + .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f [ (1 − λ)α

+ λβ

] < (1 − λ)(µ + ) + λ(η + ) = (1 − λ)µ + λη + .
⇒ (1 − λ)(x, µ) + λ(y, η) ∈ epi f.
f : R
n
→ R ∪ {+∞}
C ⊆ R
n
η η
f C ∀λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f (y) −
1
2
ηλ(1 − λ)  x − y 
2
.
η = 0 f C C η > 0
C η.
f dom f = ∅
f(x) > −∞
f epi f R
n+1
.
epi f
epi f.
f C f

f
e
(x) =

f(x) x ∈ C
+∞ x ∈ C.
f
e
(x) = f (x) ∀x ∈ C f
e
R
n
f
e
f f
e
f
f R
n
f f C
f
dom f = {x : f(x) < +∞} = {x : ∃µ, (x, µ) ∈ epif } .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f f
f
f(x) = a, x + α a ∈ R
n
, α ∈ R
f
α = 0

C = ∅
δ
C
(x) =

0 x ∈ C,
+∞ x ∈ C.
δ
C
C C δ
C
S = {x ∈ R
n
|  x = 1}
h : S → R
+
f(x) =





0  x < 1,
h(x)  x = 1,
+∞  x > 1.
f R
n
h S
C
S

C
(y) = sup
x∈C
< y, x >.
C C
d
C
(x) = min
y∈C
 x − y .
x = (x
1
, . . . , x
n
)
f(x) = x = max
i
| x
i
|
f(x) = x = (x
1
2
+ . . . + x
n
2
)
1
2
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
C = ∅ y
d
C
(y) = inf
x∈C
 x − y  .
d
C
(y) y C
π ∈ C d
C
(y) = π − y  π
C y C p
C
(y).
π = p
C
(y) p(y)
C
y ∈ C d
C
(y) = 0. C = ∅ d
C
(y)
0 ≤ d
C
(y) ≤ y − x  x ∈ C.
p
C

(y) y C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
x
min

1
2
 x − y 
2
| x ∈ C

.
y C
 x − y 
2
C
C
y C
C
y ∈ R
n
, π ∈ C
π = p
C
(y),
y − π ∈ N
C
(π).
(a) ⇒ (b) x ∈ C λ ∈ (0, 1).
x

λ
= λx + (1 − λ)π.
x, π ∈ C C x
λ
∈ C π y
 π − y ≤ y − x
λ
 .
 π − y 
2
≤  λ(x − π) + (π − y) 
2
.
λ > 0
λ x − π 
2
+ x − π, π − y ≥ 0.
x ∈ C λ ∈ (0, 1). λ → 0,
π − y, x − π ≥ 0, ∀x ∈ C.
y − π, x − π ≤ 0, ∀x ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
y − π ∈ N
C
(π).
(a) ⇒ (b) x ∈ C
y − π, x − π = y − π, x − y + y − π
=  y − π 
2
+ y − π, x − y.
 y − π 

2
≤ y − π, y − x ≤  y − π  .
y − π, x − π + y − π, y − x =  y − π 
2
.
y − π ∈ N
C
(π) y − π, x − π ≤ 0, ∀x ∈ C.
 y − π 
2
≤ y − π, y − x ≤  y − π  .  y − x  .
 y − π  ≤  y − x , ∀x ∈ C.
π = p(y).
C ⊂ R
n
y ∈ R
n
p
C
(y) y
C
d
C
(y) = inf
x∈C
 x − y 

x
k


⊂ C
lim
k→∞
 x
k
− y  = d
C
(y) < +∞.

x
k
 
x
kj

π C π ∈ C.
 π − y = lim
j→∞
 x
kj
− y  = lim
k→∞
 x
k
− y  = d
C
(y).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
π y C
π π

1
y
C
y − π ∈ N
C
(π), y − π
1
∈ N
C
(π
1
).
 π − y, π
1
− π  ≥ 0,
 π
1
− y, π − π
1
 ≥ 0.
 π − π
1
≤ 0 π = π
1
.
C
y ∈ C
p
C
(y) − y, x − p

C
(y) = 0
C p
C
(y) C
p
C
(y) − y, x − p
C
(y) ≥ 0, ∀x ∈ C
p
C
(y) − y, y − p
C
(y) < 0.
y − p
C
(y) ∈ N
C
(p
C
(y)),
 p
C
(y) − y, x − p
C
(y) ≥ 0 ∀x ∈ C.
p
C
(y) − y, x = p

C
(y) − y, p
C
(y) C
p
C
(y). y C y = p
C
(y)
p
C
(y) − y, y − p
C
(y)  = − p
C
(y) − y 
2
< 0.
C
y → p
C
(y)
 p
C
(x) − p
C
(y) ≤ x − y , ∀x, ∀y,
p
C
(x) − p

C
(y), x − y ≥  p
C
(x) − p
C
(y) 
2
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
x → p(x)
z − p
C
(z) ∈ N
C
(p
C
(z)), ∀z z = x z = y
 x − p
C
(x), p
C
(y) − p
C
(x) ≤ 0
 y − p
C
(y), p
C
(x) − p
C

(y) ≤ 0.
p
C
(y) − p
C
(x), p
C
(y) − p
C
(x) + x − y ≤ 0.
 p
C
(x) − p
C
(y) ≤ x − y  .
p
C
(x) p
C
(y)
 p
C
(x) − x, p
C
(x) − p
C
(y)  ≤ 0.
 y − p
C
(y), p

C
(x) − p
C
(y)  ≤ 0.
 p
C
(x) − p
C
(y) + y − x, p
C
(x) − p
C
(y) 
=  p
C
(x) − p
C
(y), y − x  +  p
C
(x) − p
C
(y) 
2
≤ 0.
p
C
(x) − p
C
(y), x − y ≥  p
C

(x) − p
C
(y) 
2
.
a ∈ C C
C C
C C
ri C = {a ∈ C | ∃B : (a + B) ∩ aff C ⊂ C}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
B O
C C. C \ ri C
C. C C = ri C.
C = ∅ ri C int C
C ⊆ R
n
a ∈ ri C ∀x ∈ aff C,
∃λ > 0
a + λ(x − a) ∈ C.
C
x
0
∈ ri C. C
x
0
C.
x
0
C p(x
0

).
int C = ∅. int C = ri C. x
0
∈ int C.
x
0
∈ C.
C
 p(x
0
) − x
0
, x  =  p(x
0
) − x
0
, p(x
0
) 
C p(x
0
) C x
0
x
0
∈ C.
x
0
∈ int C x
0

∈ R
n
\ C

x
k

x
k
→ x
0
x
k
∈ C C
C p(x
k
) x
k
C π
k
= 0
 π
k
, x  ≤  π
k
, p(x
k
) , ∀x ∈ C.
π
k

 π
k
= 1. B [ 0, 1]
R
n
π
k
→ π
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên