Nghiên cứu bài toán điện môi trong điện trường

A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ở chương trình sách giáo khoa phổ thông người ta định nghĩa về hằng số điện môi ε như sau: Giả
sử trong không gian có một phân bố điện tích nào đó, nếu ta giữ nguyên phân bố này và lấp đầy toàn
bộ không gian bằng chất điện môi, thì cường độ điện trường ở khắp nơi trong không gian đó giảm đi ε
lần. Ở đây ε là đặc trưng vật lý của điện môi và được gọi là hằng số điện môi ε. Định nghĩa này của
hằng số điện môi không cho biết cơ chế tương tác của chất điện môi với điện trường ngoài.
Một ví dụ điển hình của tình huống nói trên là một tụ điện (phẳng, cầu hoặc trụ) đã tích điện. Nếu
chúng ta giữ nguyên điện tích trên các bản tụ và lấp đầy trong tụ điện bởi một chất điện môi có hằng số
điện môi ε thì cường độ điện trường tại bất cứ nơi nào trong tụ đều giảm đi ε lần. Nhưng nếu điện
trường trong tụ giảm mà các điện tích trên bản tụ được giữ nguyên, thì điều này có nghĩa là phải xuất
hiện các điện tích phụ tạo nên điện trường phụ ngược hướng với điện trường ban đầu. Và quả thật đã
xảy ra như vậy: trên bề mặt các điện môi áp vào bản tụ đã xuất hiện các điện tích ngược dấu với điện
tích áp trên bề mặt đó. Và khi này điện này điện trường trong tụ là điện trường tạo bởi các điện tích, kể
cả điện tích trên bề mặt của điện môi.
Còn nếu ta duy trì hiệu điện thế trên các bản tụ không đổi thì ngay cả khi lấp đầy tụ điện bằng chất
điện môi, điện trường trong tụ vẫn không thay đổi. Sở dĩ có sự không đổi này là do điện tích tự do trên
bản tụ tăng và tăng ε lần. Xảy ra điều này là do tụ được nối với nguồn điện.
Còn một nhân tố nữa ảnh hưởng đến điện trường trong chất điện môi, đó là cấu hình của vùng
không gian lấy đầy chất điện môi. Trong đề tài này ta chỉ giới hạn nghiên cứu cấu hình đơn giản nhất
là các tấm phẳng.
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, các bài toán về điện môi là những bài toán rất
phức tạp, giải quyết được những bài toán đó sẽ rèn luyện cho học sinh kĩ năng tư duy trừu tượng. Điều
đó đòi hỏi học sinh cần nắm rất vững các công thức, định luật và linh hoạt trong vận dụng các công
thức và định luật đó.
Các đề thi chọn học sinh giỏi ở một số năm đều xuất hiện các bài toán về điện môi, đặc biệt là một
số bài toán về chuyển động của lớp điện môi trong điện trường. Học sinh chủ yếu quen với cách giải
các bài toán điện môi trong tụ điện phẳng ở mức độ vận dụng các công thức ở sách giáo khoa để giải.
Nhưng khi gặp các dạng bài toán khó hơn, học sinh trở nên rất lúng túng.
Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Nghiên cứu bài toán điện môi trong điện trường” làm đề tài nghiên
cứu của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu lí thuyết và cách giải quyết một số bài toán điện môi trong điện trường.
3. Phương pháp và đối tượng nghiên cứu của đề tài
Phương pháp chủ yếu trong khi thực hiện đề tài này là tập hợp, chọn lọc, nghiên cứu các bài toán
điển hình và đề xuất cách giải.
1


Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là phương pháp giải quyết các bài toán điện môi trong điện
trường. Thông qua đó, bạn đọc nhận ra được những kiến thức cơ bản, những kĩ thuật tính toán, cách
lập luận thường gặp khi giải bài toán đó.
4. Bố cục của đề tài
Bố cục của đề tài bao gồm các phần:
A. Mở đầu
B. Nội dung
C. Kết luận
D. Tài liệu tham khảo

2


B. NỘI DUNG
Bài 1: Một tụ phẳng bên trong là không khí có các bản hình vuông được lấp đầy một phần bởi chất
điện môi, như được chỉ ra ở hình 1 với ba trường hợp khác nhau. Hãy xác định điện trường bên trong
chất điện môi, nếu điện tích trên các bản tụ Q và diện tích mỗi bản là S và chất điện môi có hằng sô
điện môi là ε. Kích thước của khôi điện môi được cho trên hình vẽ.
Giải
++++++++++++

++++++++++++

d

ε
h

ε
----------------Hình vẽ 1a

++++++++++++
d

----------------l
Hình vẽ
1b

ε

h

----------------l
Hình vẽ

1c
a. Khi chưa có điện môi, cường độ điện trường giữa hai bản tụ là
E=

U Q
Q
Q

=
=
=
d Cd εoS d εoS (1)
d

Khi chất điện môi lấp đầy một phần bên trong tụ điện, ta có thể coi như một bộ tụ gồm hai tụ mắc nối
εoS
d−h
εε S
= o
h

tiếp: một tụ bên trong là không khí với điện dung là Ckk =
còn tụ kia lấp đầy bởi chất điện môi có điện dung là Cdm

Do trên mỗi bản có điện tích Q, nên hiệu điện thế giữa hai bản của tụ lấy đầy điện môi bằng
U=

Q
Qh
=
Cdm εεoS

Nên cường độ điện trường trong chất điện môi là E dm =

U dm
Q
=
(2)

h
εεoS

So sánh biểu thức (1) và (2) ta thấy cường độ điện trường trong chất điện môi giảm đi ε lần và sự làm
yếu điện trường này không phụ thuộc vào bề dày của lớp điện môi. Với phương pháp làm đầy như thế,
sự yếu đi của điện trường trong chất điện môi là lớn nhất.
b. Ta có thể coi tụ điện ban đầu như một bộ tụ gồm hai tụ điện mắc song song với nhau, điện dung
tương ứng của mỗi tụ là

Ckk =

εo S( S − l)
d

Cdm =

εo ε Sl
d

trong đó S là kích thước của bản tụ điện. Điện dung của cả bộ tụ là
C = Ckk + Cdm =

εoS  l(ε − 1) 
1 +
÷
d 
S 

Qd
 l(ε − 1) 

Hiệu điện thế giữa hai bản tụ bây giờ là
ε oS  1 +
÷
S 

U
Q
E dm = =
d
 l(ε − 1)  (3)
Cường độ điện trường trong chất điện môi là
ε oS  1 +
÷
S 

U=

Q
=
C

Khi cho l tiến điến S , điện trường trong chất điện môi giảm và tiến tới giá trị E dm

( S ) = εεQS
o

3


Khi cho l tiến đến 0, thì điện trường tăng và khi l=0 thì điện trường bằng E dm ( 0 ) =

Q
ε oS

Như vậy tùy vào giá trị l thì điện trường trong lớp điện môi nằm trong khoảng
Q
Q
≤ E dm ( l ) ≤
εεoS
ε oS

c. Ta có thể coi tụ điện ban đầu như một bộ tụ gồm: C1 P(C 2 ntC3 ) , trong đó
εo S( S − l)
d
ε Sl
điện dung của tụ C2 bên trong cũng là không khí C2 = o
d−h
εε Sl
điện dung của tụ C3 bên trong lấp đầy bởi điện môi C3 = o
h
 S −l

εl
+
Điện dung của bộ tụ điện là C = C1 + C 23 = εo S 

h + ε(d − h) 
 d

điện dung của tụ C1 bên trong là không khí C1 =

trong đó C23 =

C 2 C3
εεo Sl
=
C 2 + C3 h + ε(d − h)

Hiệu điện thế giữa các bản tụ là U =

Q
C

Điện tích của hai tụ mắc nối tiếp là Q23 = UC23 =
Hiệu điện thế trên tụ C3 là U3 =

QC23
C

Q 23 QC23
=
C3
CC3

Cường độ điện trường trong chất điện môi

E dm =

U3
=

h

Q
h 
l   h
hl   .
ε oS   1 −
+ ε 1 − +
÷
÷
S   d d S 
d 

Khi l= S thì biểu thức vừa nhận được ở trên chuyển thành biểu thức (2) và khi h=d thì chuyển thành
biểu thức (3)
Bài 2: Một tụ điện phẳng bên trong là không khí có diện tích mỗi bản tụ là S=150cm 2 và khoảng cách
giữa các bản là d=6cm được mắc vào nguồn điện có suất điện động E=200V. Xác định công tôi thiểu
cần thực hiện để đưa vào khoảng không gian giữa hai bản tụ một lớp điện môi có bề dày h=4mm và
hằng sô điện môi ε=7. Biết rằng kích thước ngang của các bản tụ và của lớp điện môi là như nhau.
Giải
- Trước khi đưa lớp điện môi vào giữa hai bản tụ điện thì
+ điện dung của tụ: C1 =

ε oS
d

+điện tích của tụ: Q1 = C1U = C1E =

εoSE
d

1
2

+ năng lượng của tụ: W1 = C1E 2
- Sau khi đưa lớp điện môi vào giữa hai bản tụ (hình vẽ 1a ở bài 1)
C kk Cdm
εε oS
=
Ckk + Cdm h + ε(d − h)
εε oS
E > Q1
+điện tích của tụ: Q2 = C 2 E =
h + ε(d − h)
1
+ năng lượng của tụ: W2 = C 2 E 2
2
1
- Độ biến thiên năng lượng của tụ: ∆W = W2 − W1 = ( C 2 − C1 ) E 2
2

+ điện dung của tụ: C2 =

4


- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: ∆W = A + A ng → A = ∆W − A ng
trong đó A là công đưa lớp điện môi vào giữa hai bản tụ
Ang là công của nguồn thực hiện làm dịch chuyển điện lượng Q2-Q1 bằng
A ng = E(Q 2 − Q1 ) = ( C 2 − C1 ) E 2

- Vậy
1
( C2 − C1 ) E 2 − ( C2 − C1 ) E 2
2
(ε − 1)εoS
1
A = − ( C2 − C1 ) E 2 = −
E 2 = −5,9.10−7 J
2
2d [ h + ε(d − h) ]
A = ∆W − A ng =

Bài 3: Một tụ điện phẳng có diện tích mỗi bản bằng S, khoảng cách giữa
các bản bằng d, được nôi vào nguồn điện có suất điện động E. Cần phải
thực hiện một công tôi thiểu bằng bao nhiêu để đưa vào khoảng không gian
giữa các bản tụ một tấm kim loại có độ dày L(Lcủa nguồn điện.
Giải

E

d

L

- Trước khi đưa lớp điện môi vào giữa hai bản tụ điện thì
+ điện dung của tụ: C1 =

ε oS

d

+điện tích của tụ: Q1 = C1U = C1E =

εoSE
d

x

1
2

+ năng lượng của tụ: W1 = C1E 2
- Sau khi đưa tấm kim loại vào giữa hai bản tụ (hình vẽ)
C x Cd − L − x
εS
= 0
+ điện dung của tụ: C2 =
C x + Cd −L − x d − L
εS
+điện tích của tụ: Q2 = C 2 E = o E
d−L
1
+ năng lượng của tụ: W2 = C 2 E 2
2

d-L-x

1
( C2 − C1 ) E 2

2
- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: ∆W = A + A ng → A = ∆W − A ng

- Độ biến thiên năng lượng của tụ: ∆W = W2 − W1 =

trong đó A là công đưa lớp điện môi vào giữa hai bản tụ
Ang là công của nguồn thực hiện làm dịch chuyển điện lượng Q2-Q1 bằng
A ng = E(Q 2 − Q1 ) = ( C 2 − C1 ) E 2

- Vậy
1
( C2 − C1 ) E 2 − ( C2 − C1 ) E 2
2
εoSL
1
A = − ( C2 − C1 ) E 2 = −
E2
2
2d(d − L)
A = ∆W − A ng =

Bài 4: Người ta đưa tấm thủy tinh có hằng sô điện môi ε=9 vào một tụ điện phẳng bên trong là không
khí sao cho khe không khí còn là có bề dày h=1mm. Khoảng cách giữa các bản tụ là d=1cm. Tụ được
mắc vào nguồn có hiệu điện thế không đổi là U 0=100V. Xác định hiệu điện thế trên các bản tụ sau khi
ngắt tụ khỏi nguồn và rút tấm thủy tinh ra.
Giải
- Ban đầu, tụ điện được xem như là một bộ tụ gồm hai tụ mắc nối tiếp
với nhau (hình vẽ )
+ điện dung của tụ: C1 =

Ckk Cdm
εεoS
=
C kk + Cdm d + h(ε − 1)

5


+điện tích của tụ: Q1 = C1U 0 =

εεoS
U0
d + h(ε − 1)

- Ngắt tụ ra khỏi nguồn, điện tích của tụ được giữ không đổi, đồng thời rút tấm điện môi ra khỏi tụ
điện
εεoS
U0
d + h(ε − 1)
εS
+ điện dung của tụ: C2 = o
d

+điện tích của tụ: Q2 = Q1 =

+ hiệu điện thế mới giữa hai bản tụ là:

U2 =

εU o

Q2
=
= 500V
C2 1 + h (ε − 1)
d

Bài 5: Một tụ điện phẳng bên trong là không khí có các bản hình vuông diện tích S, khoảng cách giữa
hai bản là d, được nạp điện đến hiệu điện thế U, rồi ngắt khỏi nguồn. Sau đó người ta đẩy một tấm
điện môi rộng với hằng sô điện môi ε vào đến chính giữa của tụ điện. Bề dày của tấm điện môi là d.
Hãy xác định lực mà tấm điện môi bị hút vào trong tụ ở vị trí này.
Giải
Điện dung của tụ chứa không khí là C0 =

ε oS
d

Sau khi ngắt tụ ra khỏi nguồn điện, điện tích của tụ không đổi và bằng
Q0 = UC0 =

ε oSU
d

++++++++++++

Khi đưa tấm điện môi vào, một nửa tụ được lấp đầy bởi chất điện môi, một
nửa kia là không khí. Điện dung của tụ lúc này là C1 =
Năng lượng của tụ lúc này là W1 =

ε

εoS(ε + 1)
.
2d

Q02
Q02 d
=
2C1 εoS(ε + 1)

-----------------

Giả sử ở vị trí đó, tấm điện môi bị điện trường chịu tác dụng một lực F đặt
vào chỗ điện trường không đều nhất và hướng về phần không khí. Đặt lên
tấm điện môi một ngoại lực cũng bằng F nhưng có hướng ngược lại. Dịch
tấm điện môi một đoạn rất nhỏ dx, lực F thực hiện một công dA=F.dx. Ro
ràng công này dùng để làm thay đổi năng lượng của tụ điện. Ta tính được
điện dung mới và năng lượng mới của tụ sau khi tấm điện môi dịch đi một
đoạn dx.
 2(1 − ε)dx 
C2 = C1 1 +

(1 + ε) S 


W2 =

Q 02
2C 2

Q02  1

1  Q 2 (C − C 2 )
− ÷= 0 1

2C 2  C 2 C1  2 C1C 2
Vì điện dung C1 và C2 khác nhau không nhiều lắm nên có thể xem C1C 2 = C12

Độ biến thiên năng lượng của tụ lúc này là dW = W2 − W1 =

Lúc đó dW =

2(1 − ε)dQ02 dx
εo (1 + ε) 2 S3/ 2

Theo định luật bảo toàn năng lượng dW=dA
Suy ra F =

2(1 − ε)dQ 02
εo (1 + ε) 2 S3/ 2

2εo (1 − ε) SU 2
Thay biểu thức Qo ở trên ta được F =
(1 + ε) 2 d

Bài 6: Một tụ điện phẳng bên trong là không khí, khoảng cách giữa các bản là d,
được nhúng một phần trong chất lỏng với hằng sô điện môi ε và khôi lượng riêng
6


ρ (như hình vẽ). Tụ được mắc vào nguồn có suất điện động E qua một khóa K mở. Bỏ qua điện trở
trong của nguồn, độ nhớt của chất lỏng và hiện tượng mao dẫn. Hãy xác định độ cao cực đại của cột

chất lỏng dâng lên trong tụ khi đóng khóa K. Hỏi chất lỏng được xác lập ở độ cao nào nếu tính đến
tổn hao vì nhiệt?
Giải
Vì bỏ qua điện trở trong của nguồn, nên sau khi đóng khóa K và thời gian sau đó hiệu điện thế trên hai
bản tụ luôn bằng E. Giả sử sau khi đóng khóa K, điện môi trong chất lỏng dâng lên trong tụ ở độ cao
cực đại là h. Công do nguồn thực hiện khi đó có tác dụng làm biến thiên năng lượng của tụ và biến
thiên thế năng trọng trường của cột chất lỏng.
Điện dung của tụ ban đầu chứa không khí là C0 =

ε oS
d

Điện dung của tụ khi cột chất lỏng dâng lên độ cao h là Ch = Co +

ε o (ε − 1)ah
d

trong đó a là bề rộng của bản tụ. Độ biến thiên năng lượng của tụ sau khi chất lỏng dâng lên là
∆W =

ε (ε − 1)ahE 2
1
( C h − C0 ) E 2 = o
2
2d

Độ biến thiên thế năng của cột chất lỏng dâng lên là ∆Wt =

ρgah 2 d
2

εo (ε − 1)ahE 2
d
ε (ε − 1)ahE 2 ε o (ε − 1)ahE 2 ρgah 2 d
Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có o
=
+
d
2d
2
εo (ε − 1)ahE 2
Theo phương trình bậc hai trên có hai nghiệm h1=0 và h 2 =
ρgd 2

Công do nguồn thực hiện là A = ( C h − C0 ) E 2 =

Nghiệm thứ nhất (h1=0) tương ứng với vị trí ban đầu của mức chất lỏng trong tụ, còn nghiệm thứ hai
(h2) tương ứng với mức dâng lên cực đại của chất lỏng trong tụ sau khi khóa K đóng một thời gian. Vị
trí ổn định của mức chất lỏng trong tụ sau khi khóa K có tính đến sự mất mát vì nhiệt cần phải tương
ứng với cực tiểu năng lượng của hệ.
Ký hiệu độ cao khi ổn định của cột chất lỏng là z. Điện dung của tụ trong trường hợp này bằng
C z = Co +


Điện tích của tụ Qz = C z E = Co +


εo (ε − 1)az
d

εo (ε − 1)az 
E
d



Năng lượng dự trữ trong nguồn là Wng = Wo − Q z E = Wo − Co +


εo (ε − 1)az  2
E
d


trong đó W0 là năng lượng ban đầu (khi khóa K mở) của nguồn. Năng lượng của tụ điện là
Wtd =

ε (ε − 1)az  2
1
Co + o

E
2
d


Độ biến thiên thế năng của cột chất lỏng ∆Wt =

ρgaz 2 d
2

1

Năng lượng toàn phần của hệ là W = Wng + Wtd + ∆Wt = Wo − Co +
2

ε o (ε − 1)az  2 ρgaz 2 d
E + 2
d



ε (ε − 1)aE
ε (ε − 1)E 2
=0⇒z = o
Điều kiện để năng lượng cực tiểu ρgazd − o
2d
2ρgd 2
2

Từ biểu thức trên, độ cao ứng với vị trí ổn định của mức chất lỏng nhỏ hơn độ cao cực đại hai lần. Khi
không có tắt dần, chất lỏng sẽ dao động quanh vị trí h=z với biên độ z. Với độ tổn hao năng lượng nhỏ,
dao động sẽ tắt dần và mức ổn định của chất lỏng là ở độ cao z.

7


C. KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu đề tài, tôi rút ra một số kết luận sau:
- Các bài toán về điện môi trong điện trường rất phức tạp, đa dạng. Muốn tìm ra lời giải đòi hỏi người
học cần vận dụng hết sức linh hoạt các kiến thức đa học. Người học cần nắm vững các quy tắc, các

biểu thức toán học, kĩ thuật tính toán.
- Các kĩ thuật tính toán và phương pháp giải toán cần được rèn luyện thông qua các bài tập cụ thể. Qua
quá trình rèn luyện mới hình thành nên kĩ năng giải quyết các bài toán ở học sinh. Vì các bài toán hết
sức đa dạng và tính toán chi tiết phức tạp đòi hỏi học sinh phải chăm chỉ luyện tập từ các bài toán cơ
bản rồi mở rộng sang các bài toán nâng cao.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, bản thân đã tiếp cận và vận dụng được các dạng bài tập về
điện môi trong điện trường. Điều này rất hữu ích trong công tác tự nghiên cứu, trau dồi kiến thức và kĩ
năng của bản thân.
Trong quá trình thực hiện đề tài bản thân đã rất nỗ lực, cố gắng tuy nhiên sẽ không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót, nên tôi mong nhận được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp và
các em học sinh. Tôi hi vọng đề tài này là một tư liệu tham khảo có ích cho các em học sinh và các bạn
đồng nghiệp.

8


D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bùi Quang Hân, Đào Văn Cư, Phạm Ngọc Tiến, Nguyễn Thành Tương-Giải toán Vật lý 11- Nhà
xuất bản giáo dục 2000.
2. Vũ Thanh Khiết, Vũ Đình Túy-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí THPT-Tập 2: Điện học 1Nhà xuất bản giáo dục 2005.
3. Vũ Thanh Khiết, Tô Giang- Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí THPT- Điện học 1- Nhà xuất bản giáo
dục 2009.
3. Vũ Thanh Khiết, Tô Giang- Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí THPT- Điện học 1- Nhà xuất bản giáo
dục 2009.
4. Tạp chí Vật lý và tuổi trẻ.

9


E. MỤC LỤC

Trang
A. Mở đầu..........................................................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................................................1
3. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................................1
4. Bố cục của đề tài.........................................................................................................................2
B. Nội dung đề tài..............................................................................................................................3
C. Kết luận.........................................................................................................................................8
D. Tài liệu tham khảo.......................................................................................................................9
E. Mục lục........................................................................................................................................10
Quảng Bình, ngày 20 tháng 4 năm 2014

Nhận xét và xếp loại của Tổ trưởng chuyên môn

10


Nhận xét của Hội đồng khoa học Trường

11