hệ phương trình và phương pháp giải phần 1hocmai

Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA PEN – C 2015 - 2016

MÔN TOÁN

NGUYỄN BÁ TUẤN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
& CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
(Phần 1: Biến đổi đại số và phép thế)

Tài liệu dành tặng học sinh
/>
Trang 1


I. Phép rút - thế.

Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

II. Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích.
1. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản.
2. Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp.
3. Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2.
4. Hệ đồng bậc.
5. Phương pháp hệ số bất định (UTC).
6. Phương pháp liên hợp.

Khi gặp 1 bài hệ phương trình thì ta có thứ tự ưu tiên cho các hướng giải sau:
+ Phép rút - thế
Hệ có phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y thì rút x theo y hoặc y theo x và thay
vào phương trình còn lại. Ngoài ra còn tùy thuộc vào từng đề bài cụ thể mà ta có thể thế cụm
biểu thức hay thế hằng số.
+ Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích.
-

-

Nếu 1 trong 2 phương trình của hệ có dạng là hàm bậc 2 của x (y) thì giải PT bậc 2 đó như
bình thường để tìm mối quan hệ giữa x và y.
Phương pháp hệ số bất định (UCT): Với 1 vài hệ đơn giản ta quan sát nếu thấy 2 phương
trình của hệ có form giống nhau thì thử cộng (trừ) 2 vế tương ứng của các phương trình
trong hệ khi đó sẽ xuất hiện nhân tử chung. Đỉnh cao của việc kết hợp 2 phương trình để tìm
ra mối liên hệ x, y đó là phương pháp hệ số bất định (UCT).
Phương pháp liên hợp: biến đổi đưa 1 phương trình trong hệ về dạng nhân tử.

+ Sử dụng PP đặt ẩn phụ:
-

Quan sát phương trình có chứa các biệt thức: xy, x  y, ( x  y ) 2 , x  y, ( x  y ) 2 ...... thì đặt
tổng – tích (P=x+y, S=xy).

-

Sơ chế hệ bằng các phép nhân, chia x, y, xy, x 2 , y 2 , x k , y k .... để xuất hiện dấu hiệu đặt ẩn phụ.

-

Với những bài có chứa căn thì thường đặt căn thức đó làm ẩn phụ.

+ Sử dụng PP hàm số
+ Sử dụng PP đánh giá
+ Sử dụng PP lượng giác
+ Kết hợp vận dụng nhiều phương pháp
/>
Trang 2


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

I. PHÉP RÚT - THẾ

 x 4  x3 y  9 y  y 3 x  x 2 y 2  9 x (1)
Bài 1. Giải hệ phương trình: 
3
3
(2)
 x  y  x   7
Giải
Dựa vào PT(2) => x=y không phải là nghiệm=> x  y
Từ PT(1) nhận thấy các hệ số tương ứng của các hạng tử cùng bậc là như nhau, ta dễ dạng ghép cặp
để tìm nhân tử chung:

(1)   x 4  xy 3    x3 y  x 2 y 2   9  x  y   0
  x  y   x  x 2  xy  y 2   x 2 y  9   0
2

  x  y   x  x  y   9  0



 x  x  y   9  0 (do x  y )
2

 x  x  y   9 (3)

 x  0

2

(2)  y 3  x3 

7
7
 y  3 x3 
x
x

Thay vào (3) ta được:
2


7
x  x  3 x 3    9
x

2


7
7 

 x  x 2  2 x. 3 x 3   3  x 3     9  0

x
x 



2

7
7

 x  2 x . x   x. 3  x 3    9  0
x
x

3

2 3

3

 x 3  2 x. 3 x 6  7 x 2  3 x  x 4  7   9  0 (4)
2

Xét hàm số: f ( x)  x 3  2 x 3 x 6  7 x 2  3 x  x 4  7   9, x  0

2

/>
Trang 3


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i


6 x 6  14 x 2
3 6
2
f '( x)  3x  2  x  7 x 
2

3 3  x6  7 x2 

2

Phần1


8
4
 1 9 x  70 x  49
 0, x  0
  3.
2 2
4


3 x x 7








Suy ra f ( x ) đồng biến trên  0;   mà: f (1)  0
Suy ra: (4) có nghiệm duy nhất x  1  y  2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm:  x; y   1; 2 

 x 2  y 2  xy  x  3

Bài 2. Giải hệ phương trình: 
2
2
2
2
 x 1  4 xy   y 1  8 x 
Giải
Bình phương 2 vế của phương trình (1): x 2  y 2  x 2 y 2  x  3

2

Hệ phương trình tương đương với:

 xy  x  3  0
 xy  x  3  0

 2
 2 2
2
2
2
2 2
x

y

x
y
x

3




 x y  x  3  0
 2
 2
2
3 2
2 2
2
2
2 2
 x  y  4 x y  8 x y
 x  y  x y  x  3

 x  0
 xy  x  3  0

 x  0; y  0
 2 2
2
 y  0
  x y  x  1  0


 x  1
 x  1; y   5
 2

2
2
2 2

5
 x 2  y 2  x 2 y 2  x  3 2
 x  y  x y  x  3

 xy  2  y x 2  2

Bài 3. Giải hệ phương trình: 
 y 2  2  x  1 x 2  2 x  3  2 x 2  4 x

1
 2

Giải
Nhận xét: từ phương trình (1) ta có thể rút y theo biến x và do

x 2  2  x  x 2  x  x  x  0 x    x 2  2  x  0 x  

/>
Trang 4


Nên ta có (1)  y



Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i



x2  2  x  2  y 

2

x 2x
2

Phần1

 x2  2  x

Thế y  x 2  2  x vào phương trình (2) ta có:





2

x 2  2  x  2  x  1 x 2  2 x  3  2 x 2  4 x

 1  x x 2  2  2 x   x  1 x 2  2 x  3  0
  x  1 1 


 x  1

2

 2     x  1 



x

2

 2  (*)






Xét hàm số f ( x )  t 1  t 2  2 ta có:

f '(t )  1  t 2  2 

t2
t2  2

 0, t    f (t ) đồng biến trên 

(*)  f  x  1  f   x   x  1   x  x  

1
2

1

1
x  
x    y  1 . Vậy hệ đã cho có nghiệm là 
2
2
 y  1

 x3  4 y  y 3  16 x (1)
Bài 4: Giải hệ phương trình: 
2
2
1  y  5 1  x  (2)
Giải

“Thế hằng số”
PT (2)  y 2  5 x 2  4 (3)
Thay vào (1) ta được:

/>
Trang 5


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

x  0
x 3   y 2  5 x 2  y  y 3  16  x 3  5 x 2 y  16 x  0   2
 x  5 xy  16  0
x  0  y2  4  y  2
x 2  5 xy  16  0  y 

x 2  16
5x

2

 x 2  16 
2
4
2
2

  5 x  4  124 x  132 x  256  0  x  1

5
x


 x  1  y  3

 x  1  y  3
 2 x 2 y  3 xy  4 x 2  9 y
Bài 5. Giải hệ phương trình: 
2
7 y  6  2 x  9 x

Giải
Ta có từ (2) suy ra: y 

2x2  9x  6
(3)
7

Thay (3) vào (1) ta được:

 2x2  9x  6 
 2 x 2  9 x  6  7.4 x 2
 2x2  9x  6 
2x2 

3
x



9





7
7
7
7






  2 x 2  9 x  6  2 x 2  3 x  9   28 x 2
 4 x 4  24 x 3  31x 2  99 x  54  0
1

x  2

 x  2
1

2
  x    x  2   4 x  18 x  54   0  
 x  9  3 33
2


4


 x  9  3 33

4
Với x 

1
1
 y   suy ra hệ phương trình có nghiệm
2
7

Với x  2  y  

 1 1 
 ; 
2 7 

16
16 

suy ra hệ phương trình có nghiệm  2;

7
7 


/>

Trang 6


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Với x 

9  3 33
 y  3 suy ra hệ phương trình có nghiệm
4

 9  3 33 
;3 

4



Với x 

9  3 33
 y  3 suy ra hệ phương trình có nghiệm
4

 9  3 33 
;3 

4



Phần1

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm  x; y  là:
16 
 1 1  
 ;  ,  2;
,
7 
2 7  

 9  3 33   9  3 33 
;3  , 
;3 

4
4

 


2
 x  3 y  9
Bài 6. Giải hệ phương trình:  4
2
 y  4  2 x  3 y  48 y  48 x  155  0

Giải
Ta có (1) 

9  x2
y
3

Thay vào (2) ta có:

 9  x2 
y  4  2 x  3 y  48 
  48 x  155  0
 3 
 y 4  4  2 x  3 y 2  16 x 2  48 x  11  0
4

2

  y 2  4 x  11 y 2  4 x  1  0
 y 2  4 x  11 (3)
 2
 y  4 x  1 (4)

9  x2
y


3

Từ (3) và (1) ta được 
2 2
 9  x   4 x  11 (*)
 3 



/>
Trang 7


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

 x 2  3 2 x  3 2  0 (6)
(*)  x  18 x  36 x  18  x  18  x  1  
2
 x  3 2 x  3 2  0 (7)

3 2  18  12 2
12 2  6 36  24 2
x 
y
2
12
Ta có (6)  

 x  3 2  18  12 2  y  12 2  6 36  24 2

2
12

3 2  18  12 2
12 2  6 36  24 2

x 
y
2
12
(7)  

 x  3 2  18  12 2  y  12 2  6 36  24 2

2
12
4

2

2

4


9  x2
y


3

Thay (4) và (1) ta có: 
2 2
 9  x   4 x  1 (**)
 3 


(**)  x 4  18 x 2  36 x  72  0
  x 2  6 x  12  x 2  6 x  6   0
 x 2  6 x  6  0 (do x 2  6 x  12  0, x)
 x  3  3  y   1  2 3

 x  3  3  y  1  2 3

 x3  y 3  4 x  2 y
Bài 7. Giải hệ phương trình:  2
2
 x  1  3 1  y 
Giải
x 2  1  3 1  y 2   4  x 2  3 y 2

Xét 4  x 2  0  x  2, y  0 hoặc x  2, y  0 (cả hai đều thỏa mãn HPT)
Xét y  0 suy ra x  2 hoặc x  2 (thỏa mãn HPT)
Xét y  0 và x  2
Ta có:
/>
Trang 8


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

4 x  x3    y 3  2 y 
 x  4  x 2    y  y 2  2 
(*)  


2
2
2
2
4

x

3
y

4  x  3 y
 y 2  3 xy  2 (1)
Suy ra 3 xy    y  2  . Vậy  2
 x  10  9 xy (2)
2

Nhân (1) với 5 rồi + (2) ta được: 5 y 2  x 2  6 xy  5 y 2  x 2  6 xy  0  5


y2
y
 6 1  0
2
x
x

y
y 1
đến đây các bạn tự làm tiếp.

 1, 
x
x 5

2
3
2
 2 y x  2 x  y  y  1  7 y
Bài 8. Giải hệ phương trình:  2
 2 y  2 xy  1  7 y

Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương:
 y  2 y 2  2 y  1  2 x  y 3  y 2  1  7 y
 2
 2 y  2 y  1  7 y
 2 x  y 3  6 y 2  8 y  1
 2
 2 y  2 xy  1  7 y
 2 x  y 3  6 y 2  8 y  1
 2
3
2
 2 y  y  y  6 y  8 y  1  1  7 y
 2 x  y 3  6 y 2  8 y  1
 4
3
2
 y  6 y  10 y  6 y  1  0
3

2
 2 x  y  6 y  8 y  1  x  2


4
y

1

0


y 1


Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là  x; y    2;1





x y 1 1  7 y 1 1

Bài 9. Giải hệ phương trình: 
 x 2 y  x y  1  13 y  x 2  12

/>
Trang 9

Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

Giải

ĐK: y  1
Phương trình thứ hai của hệ đã cho, tương đương:

x

2

 13  y  1  x y  1  1  0 (*)

Ta thấy x  7 không là nghiệm của hệ.
=> x  7 , phương trình thứ nhất hệ đã cho tương đương:
x





y 1 1  7 y 1 1

 7  x y 1  x 1


Thế

y 1 

y 1 

x 1
7x

x 1
vào (*) ta được:
7x

 x  1  x  x  1
 13 
1  0

7x
7x
 x 4  x 3  5 x 2  33 x  36  0

x

Với x  1 , ta được
Với x  3 , ta được

2

x  1
  x  1 x  3  x 2  5 x  12   0  
x  3
1

9
y 1   y  
3
8

y 1  1  y  0

8

Vậy hệ đã choc có 2 nghiệm  x; y    1;   ,  3;0 
9


16 x 3 y 3  9 x 3   2 xy  y   4 xy 2  3
Bài 10. Giải hệ phương trình: 
2 2
2
2
4 x y  2 xy  y  3
Giải
Với y  0 không là nghiệm hệ.
/>
Trang 10


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

Với y  0 , ta chia phương trình thứ nhất cho y 3 , phương trình thứ hai cho y 2 ta được

 3

3 
16 x  9   2 x  1  4 x  2  (1)
y 



4 x 2  2 x  1  3 (2)

y2
Thế (2) vào (1) ta được:

16 x3  9   2 x  1  4 x  4 x 2  2 x  1  x 3  1  x  1


3
 3  y  1
y2

Vậy nghiệm của hệ là: 1;1 , 1; 1

 x
6 y  2  3 x  y  3 y
Bài 11. Giải hệ phương trình: 
2 3x  3x  y  6 x  3 y  4

Giải



Phương trình (1): 3 y  2 3x  y

 y 

3 y  2 3x  y  0 (3)
3x  y  0  
 y  3x  y  0 (4)



Thế phương trình (3) vào phương trình (2):


1
 x  6

 y  1

6 x  3 y  8
6 x  3 y  8
3

 2


3 y  2 3 x  y  0
3 y  16  10 y  0
 x  1


6

 y  1
3
 

13 

73



 5 

73

13 

73

 5 

73






Thế phương trình (4) vào phương trình (2)
/>
Trang 11


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

 x  4

  y  4
 y  3 x  y  0
 y  3 x  y  0


  x  1

2
4

6 x  5 y  4
2 y  4  7 y  0

1
 y 

2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

 x; y   



 





 



1
1
1
 1

1 1
13  73 ; 5  73  ;  13  73 ; 5  73  ;  4; 4  ;  ; 
3
3
6
 6

4 2

x 2  2xy  y  0


Bài 12. Giải hệ phương trình:  3
x  3xy  2 y  1 x  x 2y  2   4




(1)
(2)

Giải
Điều kiện: y  1; x 2y  2
Ta có: (1)  x 2  y  2xy
Ta có: (2)  x 3  xy  2xy  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0

 x (x 2  y )  (x 2  y )  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0
 x (2xy )  x 2  y  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0

 (x 2y  2  y  1  2 y  1 x 2y  2)  x 2 (y  1)  2x y  1  1  0


2
 2
2

   x y  2  y  1  x y  1  1  0







x 2 (y  1)  1

x y  1  1



 2
 x 2y  y  1  x 2 (y  1)(y  1)  x 2y
x y  2  y  1


x  0

/>
Trang 12


TH1: x  0  y  0 không thỏa mãn
TH2: y 2  y  1  0  y 

1 5
x 
2

Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

5 1
2

 5  1 1  5 

 là nghiệm của hệ.
;
Thử lại ta được: (x ; y )  
 2
2 
x 2 y  1  6y  2

1
 
Bài 13. Giải hệ phương trình:  4 2
x y  2x 2y 2  y x 2  1  12y 2  1 2






Giải
Điều kiện : y  0; y  1
Khi đó : 1  x 2y y  1  6y 2  2y  x 2  2 

4y  4 2
9y  1
;x  3 

.
y 1
y 1







Thay vào (2) , ta có : x 4y 2  x 2y 2  y  6y 2  2y  12y 2  1  x 2  2 x 2  3 y 2  y  1  0



4 y  19y  1 y 2
2

y  1

y  1  x   2
y  1



 y 1  

2
2
y  1  x  0
 4 9y  1 y  y  1



3


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

II. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
LÀM XUẤT HIỆN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản: công trừ, nhân, chia các vế của hệ phương trình
để tạo ra phương trình mới có dạng tích.

 x 4  y 4  240
Bài 1. Giải hệ phương trình:  3
3
2
2
 x  2 y  3  x  4 y   4  x  8 y 
/>
Trang 13


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

Giải

Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được:
(tại sao lại có -8 các bạn tham khảo thêm về phương pháp hệ số bất đinh UTC ở bên dưới)

x 4  8 x3  24 x 2  32 x  16  y 4  16 y 3  96 y 2  256 y  256
  x  2   y  4  x  2  y  4  x  2  4  y  x  y  2  x  6  y
4

4

Thay vào phương trình đầu ta được:

1  8 y 3  24 y 2  32 y  16  240
 y 3  3 y 2  4 y  28  0
  y  2   y 2  5 y  14   0
 y  2  x   4

 2   24 y 3  216 y 2  864 y  1296  240
 y 3  9 y 2  36 y  44  0
  y  2   y 2  7 y  22   0
 y 2 x4
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là:  x; y    4; 2  ,  4; 2 
 x 4  5 y  6 (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình:  2 2
 x y  5 x  6 (2)

Giải
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x4  x2 y 2  5  y  x   0

 x2  x2  y 2   5  x  y   0
 x 2  x  y  x  y   5  x  y   0
  x  y   x 2  x  y   5  0

x  y
 2
x  x  y  5  0

Nếu x = y, thay vào (1) ta được:

/>
Trang 14


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

 x  2  y   2
x 4  5 x  6   x 3  x  3  x  2  x  1  0  
x  1 y  1
Nếu x 2  x  y   5  0  y 

5
 x thay vào (1) ta được:
x2

 5 
x 4  5  2   6  x 6  5 x 3  6 x 2  25  0
x 

Từ (2) ta có: 5 x  6  x 2 y 2  6  x 
3

6
5

2

432
6
6
Do đó: 5 x  6 x  5.    6.   
 25  x 6  5 x 3  6 x 2  25  0
5
5
25
 
 
3

2

Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:  x; y    2; 2  , 1;1

 x  x  y  1  1 (1)
Bài 3. Giải hệ phương trình: 
2
2
 y  x  2 y x  y x  0 (2)
Giải

x  0

ĐK: 
x  y 1  0

(1)  x  x  y  1  1
 x  x  y 1 2 x  y 1  1
 y  2 x  y 1
 y 2  4  x  y  1
  y  2  4x
2

 y22 x



(2)  y  x



2

 xy 2  y  x  y x

1

 y  2  2 x
x  4
 y  2  2 x
 y  2  2 x
x 
(I )  


 2

4 
 y  y  2  0
2 y  y  2  y  y  2 
 y  x  y x
 y  1  y  2

/>
Trang 15


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

2
 y  xy  2   3 x (1)
Bài 4. Giải hệ phương trình:  2
2
 y  x y  2 x  0 (2)

Giải

 y  xy  2   3x 2 (1)
Hệ phương trình đã cho tương đương với: 
2
 y  y  x   2 x (2)
Suy ra:

xy  2 3x
4  3x3


y

(3)
y  x2
2
5x

Thế (3) vào (1), ta được


4  3x3  4  3x3
 2   3x 2
 x.
5x 
5x

  4  3 x 3   10.  4  3 x 3   75 x 3  0
2

 9 x 6  69 x 3  24  0
t  8
Đặt x  t , ta được 9t  69t  24  0  
t  1
 3
2

3

Với t  8 suy ra x  2 dẫn đến y  2
Với t 

1
suy ra x 
3

3

1
1
1
dẫn đến y 2  3 y  2 3  0
3
9
3
2

 1
1
Phương trình này vô nghiệm do    3   8. 3  0
3
 9
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y  duy nhất là  2; 2 
2
4
3

 4 x  y  4 xy  1 (1)
Bài 5. Giải hệ phương trình:  2
2
 4 x  2 y  4 xy  2 (2)

Giải
Trừ vế theo vế được:

/>
Trang 16


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

y 4  2 y 2  4 xy 1  y 2   1

Phần1

  y 2  1  4 xy  y 2  1
2

  y 2  1 y 2  1  4 xy   0
Với y 2  1  y  1 . Ta có 4 nghiệm (0; 1) và (1; 1) và (-1; -1) và (0; -1)
Với y 2  1  4 xy , thay vào (2), ta được 4 x 2  y 2  1  y 2  1  4 x 2 (3)
Lại thay (3) vào (1) ta có: 1  4 x 2   4 xy 1  4 x 2   1  4 x 2
2

Nếu 1  4 x 2  0 thì y  0 không thỏa hệ. Vậy 1  4 x 2  4 xy  1  x 2  xy  0
Với x  0  y  1
Với x   y thay vào hệ được x  

1
5

1   1 1 
 1
Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x; y) là: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1), 
;
;
, 

5 
5 5
 5

 x  y 4  13x  4
(1)
Bài 6. Giải hệ phương trình: 
 x  y  3x  y  2 (2)
Giải
Ta có:

x  y  3x  y  2
 x  y  3x  y  2

 x  y  3x  y   2

 4 x 2  4 x  1  3 x 2  2 xy  y 2 , x 

1

2

  x  y   4x 1
2

5

x

Thay vào (1) ta được:  4 x  1  13x  4 
16

x

1

2

Do x  1 

1
5
3
nên loại nghiệm này. Vậy x  . Suy ra y 
.
2
16
16

/>

Trang 17


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

 5 3 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:  ; 
 16 16 

 y 3  x3  9  x3  (1)
Bài 7. Giải hệ phương trình: 
2
2
 x y  y  6 x (2)
Giải
Xét trường hợp x  0 dẫn đến y  0
Xét trường hợp x, y  0 , ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:
 x 2  y  x 4  x 2  y 2   9 x 3 (1)

 2
6x
(2)
x  y 
y


Lấy (2) thế vào (1), ta được:

(1)  2  x 4  x 2 y  y 2   3x 2 y
 2  x4  2x2 y  y 2   9x2 y
  x2  y  
2

9 2
x y (3)
2

Bình phương 2 vế phương trình (2), ta có:

(2)   x 2  y  
2

36 x 2
(4)
y2

Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau: y 3  8  y  2
Với y  2 đem thế vào (2), ta được nghiệm x  2 và x  1
Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)
  x 2 y  2 xy 2  3 y 3  4  x  y   0
Bài 8. Giải hệ phương trình: 
2
2
2
 xy  x  y   1  3 xy   x  y 

Giải
+Phương trình thứ nhất tương đương:

 x 2 y  xy 2  3xy 2  3 y 3  4  x  y   0

/>
Trang 18


  x  y   3 y 2  xy  4   0

Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

 y  x
 2
3 y  xy  4  0 (*)
Thế y   x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được:

 x  1
2x  x 1  0  
x   2

2
4

2


2 2  2 2
Suy ra  x; y    1;1 , 1; 1 ,  

;
;
 , 
 là bốn nghiệm của hệ đã cho.
2
2
2
2

 


+ Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương:

 xy  1

 xy  1  x 2  y 2  1  0  

2
2
 x  y  1  0 (**)

Thế xy  1 vào (*), ta được: y 2  1  y  1 .
Suy ra  x; y    1;1 , 1; 1 là hai nghiệm của hệ đã cho.
Từ x 2  y 2  1 ta được y  0 . Do đó (*)  x 
Thế x 

3y2  4
y

3y2  4
vào (**), ta được: 10 y 4  25 y 2  16  0 (vô nghiệm)
y


2 2  2
2
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm  x; y    1;1 , 1; 1 ,  
;
;
 , 

2 
 2 2   2

x
 y  x  2y  6y  2
Bài 9. Giải hệ phương trình: 
 x  x  2 y  x  3y  2

Giải
Điều kiện: y  0
Phương trình thứ nhất tương đương:

/>
Trang 19


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

2
 x  2 y  3y
y
25 y 2

x

2
y






2
4

 x  2 y  2 y

+ Với

x  2 y  3 y thay vào PT(2) ta được:
x  3y  x  3y  2 





x  3y 1

x  3y  2



 x  3y  2
 x  3 y  4
 4  5 y  3 y  y 
+ Với

4
8
 x 
9
3

x  2 y  2 y  y  0 thay vào PT(2) ta được:
x  2 y  x  3y  2  x  2 y  x  2 y  5y  2
 2 y   2 y 

2

 y  2
 5y  2  
 y  2  x  12
 y  1  L

4

8 4
Vậy hệ đã cho có nghiệm:  ;  , 12; 2  .
3 9

 x  x2  y 2 9x

(1)

5
 x  x2  y 2
Bài 10. Giải hệ phương trình: 
5  3x
x
 y  6  5  y  (2)

Giải
y  0

Điều kiện:  x 2  y 2  0
(*)

2
2
 x  x  y  0

Ta biến đổi phương trình (2):
(2)  30 x  6 xy  5 y  3 xy 

x 5  9x

10 x 5

 x
 (**)
y
30
3y 9

Trục căn thức ở (1) ta được:

/>
Trang 20


x 
(1) 

x2  y 2



y2

2

Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Phần1

2

2


x
9x
x
9x



   1  
y

5
5
 y



2
2
2


x
x
x x
9x
x

xx
0
 2   2

1

1


6

1



1

3
 
 

y  y
5
y
y y
y
 y




x
y 0


2
 x   x   1  3  0
 y
 y

x  0
x

Với:  0  
5 (vô nghiệm)
y
x



9
2

x
x
Với:     1  3  0
y
 y
2

x

x
   1  3 
y
 y
x
y 3


2
2
 x   1  9  6 x   x 
 
 y 
y  y

x 5
 
y 3
Từ

x  5
x 5
. Thử lại điều kiện (*) ta thấy thỏa.
 thay vào (**) ta được 
y 3
y  3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    5;3
x 2  4 3x  2  10  2y


Bài 11. Giải hệ phương trình:  2
y  6 4y  3  11  x


(1)
(2)

Giải
/>
Trang 21


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

2
3
Điềukiện: x  ; y 
3
4

Phần1

Cộng 2 vế của phương trình với nhau ta được:
x 2  4 3x  2  10  y 2  6 4y  3  11  2y  x
 (3x  2  4 3x  2  4)  (x 2  4x  4)  (4y  3  6 4y  3  9)  (y 2  6y  9)  0







2

2

3x  2  2  (x  2) 



x  2
4y  3  3  (y  3)  0  
y  3




2

2

Thử lại ta được (2; 3) là nghiệm của hệ.

2 x 2  5 xy  y 2  1

Bài 12. Giải hệ phương trình: 
2
2
 y xy  2 y  4 y  xy  1





Giải
ĐK: 4 y  x  2 y  0
Trừ vế với vế ta được:
2 x 2  5 xy  y 2  y

Chia hai vế cho y 2 ta có:

Đặt

x 
2   5
 y 





xy  2 y 2  4 y 2  xy  0

x
 1
y

x
x
2  4  0

y
y

x
 t  t   2; 4 . Khi đó ta được
y
2t 2  5t  1  t  2  4  t  0
 2t 2  6t  t  2
 2t  t  3 



 t  3

 

t2

t  2 1



t 3
0
1 4  t


t2
1
  t  3  2t 


t  2 1 1 4  t

/>


t  2 1  1 4  t  0


  0

Trang 22


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Ta thấy 2t 

Phần1

t2
1

 0 với t   2; 4
t  2 1 1 4  t

Vậy t  3 suy ra x  3 y thế vào phương trình (1) của hệ ta được phương trình

1
3

x
2
2

2 y2  1  y 

 3 1 
Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   
;

 2 2

2. Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp (thường là đẳng cấp bậc 2,
bậc 3)

( x  y )( x  4 y 2  y )  3 y 4  0
Bài 12. Giải hệ phương trình: 
2
2
 x  2 y  1  y  y  1  0
HD
Từ phương trình (1) ta chỉ thấy có các cụm  x  y  , y 2 xuất hiện => để quan sát PT dễ hơn ta đặt
tạm a  x  y, b  y 2  (1) : a  a  b   3b 2  0 đây là PT đẳng cấp bậc 2 => dễ dàng tìm được mối
liên hệ giữa a và b đó là a  3b  0, a  b  0 . Vậy ta có lời giải sau:

PT 1  ( x  y ) 2  y 4   x  y  4 y 2  4 y 4  0


 x  y  y   4 y  x  y  y   0
  x  y  3 y  x  y  y   0

 x  y  y2

2

2

2

2

2

 x   y  3y2

2
 x   y  y

/>
Trang 23


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

) x   y  3 y 2

Phần1

 PT  2  :  y  3 y 2  2 y 2  1  y 2  y  1  0
  y  y 2  1  y 2  y  1  *
  y  y 2  1  y 4  y 2  1  2 y 3  2 y  2 y 2

 y 4  2 y3  y  0





 y  y  1 y 2  y  1  0
 y  0, y  1

 y  1 5 , y  1 5

2
2

 L

) x   y  y 2
 PT  2  :  y  y 2  2 y 2  1  y 2  y  1  0
  y  y2 1  y2  y 1
  y  y 2  1  y 4  y 2  1  2 y 3  2 y  2 y 2
 y 4  2 y3  2 y 2  3 y  0

 y  0 L

 y  1

  y  1  13
2



 y  1  13
2




1  13 
ĐS :  4  13;

2 


1  13 
 4  13;
 ; ( 2; 1)
2



8x 2  18y 2  36xy  5(2x  3y ) 6xy  0

Bài 13. Giải hệ phương trình:  2
2x  3y 2  30


(1)
(2)

Giải

/>
Trang 24


Hệ phươngtrı̀nh&cá cphươngphá pgiả i

Điều kiện: xy  0

Phần1

Ta có: (1)  2(2x  3y )2  12xy  5(2x  3y ) 6xy  0
(khi ta đặt: a  2x  3y, b  xy dễ thấy PT trên là ở dạng đẳng cấp bậc 2)
 (2x  3y  2 6xy )(4x  6y  6xy )  0

2x  3y  2 6xy


 4x  6y  6xy

TH1:

2x  3y  0

 2x  3y
2x  3y  2 6xy   2
4x  12xy  9y 2  24xy

Thay vào (2) ta được:

y  2  x  3

9y 2
 3y 2  30  
2
y  2  x  3

So sánh điều kiện ta được: (3;2) là nghiệm của hệ

4x  6y  0
4x  6y  0


TH2: 4x  6y  6xy  
 2
16x  48xy  36y 2  6xy
8x 2  21xy  18y 2  0  VN


3. Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2:
Lấy 1 biến có bậc cao nhất là bậc 2 làm ẩn, biến còn lại coi như là 1 tham số rồi tính delta như 1
phương trình bậc 2 nếu delta có dạng chính phương thì sử dụng công thức nghiệm của PT bậc 2 để
tìm mối quan hệ giữa 2 biến.

 1
y 2 x
 
 2 (1)

y
Bài 1. Giải hệ phương trình:  x x
 y x 2 1  1 = 3 x 2  3 (2)







Giải
/>
Trang 25