Cac dang bai tap va phuong phap giai phan ddch

CHUYÊN ĐỀ 2:
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
• Các phương pháp chính để tính nguyên hàm, tích phân.
1. Phương pháp bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm tích phân.
2. Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm, tích phân.
3. Phương pháp tích phân từng phần trong các bài toán nguyên hàm tích phân.
• Định nghĩa nguyên hàm:
- Giả sử f(x) là một hàm số liên tục / (a;b). Khi đó hàm số F(x) được gọi là một nguyên
hàm của f(x) /(a;b) khi và chỉ khi F’(x)=f(x) ,
( )
;x a b∀ ∈
.
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) / (a;b) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) là
tập hợp
{ }
( ) ;I F x C C R= + ∈
. Và họ các nguyên hàm của f(x) được kí hiệu:
( ) ( ) ;f x dx F x C C R= + ∈
∫
.
• Vi phân:
( ) '( )df x f x dx
=
• Các công thức cơ bản của nguyên hàm:
1. Nếu f(x) có nguyên hàm thì
( ) ( )
( ) ' ( ); ( ) ( )f x dx f x d f x dx f x dx= =
∫ ∫
2. Nếu f(x) có nguyên hàm thì:
( )
( )dF x F x C= +

∫
3. Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
+
( )
( )
( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
+
. ( ) . ( ) ,k f x dx k f x dx k R= ∈
∫ ∫
• Định nghĩa tích phân:
giả sử f(x) /(a;b) có nguyên hàm là F(x) khi đó ta định nghĩa:
( ) ( ) ( )
( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
Công thức trên thường gọi là công thức newton – leibnit
• Các tính chất cơ bản của tích phân:
1.
( ) ( )
( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ± 
 
∫ ∫ ∫

2.
( )
. . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
3.
( )
( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
4.
( )
( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
5. Nếu
( ) ( )
[ ]
; ;f x g x x a b≤ ∀ ∈
và f(x) và g(x) đều…..
[ ]
/ ;a b
thì:
( ) ( )

b b
a a
f x dx g x dx≤
∫ ∫
Phương pháp 1: Phương pháp bảng nguyên hàm.
“để sử dụng phương pháp bảng nguyên hàm, không những đòi hỏi phải sử dụng thành thạo
bảng nguyên hàm ngoài ra còn phải nắm vững các phép tính vi phân, biến đổi các đẳng thức
và vi phân”
Ví dụ Chìa khoá Lời giải
3
sinx+cosx
sinx-cosx
I dx=
∫
( )
sinx-cosx osx+sinxd c=
1
3
2
0
1
x
dx
x +
∫
2
2xdx dx=
1 1 1
3 2 2
2

2 2 2
0 0 0
. 1
1 1 2 1
x x x x
dx dx dx
x x x
= =
+ + +
∫ ∫ ∫
4
2 2
3
sinx
os x cos 1
dx
c x
π
π
+
∫
2
1
tan
os
dx d x
c x
=
2
1

2
tdt dt=
( )
4
2 2
3
4 4
2
2
3 3
2
3 3
2 2
1 1
sinx
os x cos 1
tan t anx tan t anx
1
1 (1 tan )
1
cos
t 2
t t 1
2
2 2
dx
c x
xd xd
x
x

d
d
t t
π
π
π π
π π
+
= =
+ +
+
+
= =
+ +
∫
∫ ∫
∫ ∫
1
x
0
1
dx
e+
∫
x x
e dx de=
( )
x x
1 1
x x

0 0
1 1
x
0 0
1
1 1
1
x
e e dx
dx
e e
de
dx
e
+ −
=
+ +
= −
+
∫ ∫
∫ ∫
Ta đã sử dụng thêm bớt để quy
tích phân cần tính thành tổng,
hiệu các tích phân dễ quy về
bảng nguyên hàm.
2
0
sin2x
osx 1
dx

c
π
+
∫
sinx x osxd dc
= −
( )
( )
2 2
0 0
2
0
2 2
0 0
2 2
0 0
sin2x sinx.cosx
2
osx 1 osx 1
sinx cosx+1 -sinx
2
osx 1
sinx
2 sinxdx-2
osx 1
d cosx+1
2 sinxdx-2
osx 1
dx dx
c c

dx
c
dx
c
c
π π
π
π π
π π
=
+ +
=
+
=
+
=
+
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
x+b
ln
x a
dx
I x a x b
x a x b
+

 
= + +
 
+ +
∫
( ) ( )
( ) ( )
ln ln
ln ln
x a x b
dx
x b x a
d x a x b
+ + 
+
 
+ +
 
= + +
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ln ln
ln ln
ln ln
x a x b
I dx
x b x a

d x a x b
x a x b C
+ +
 
= +
 
+ +
 
= + + 
 
= + + +
∫
∫
Phương pháp 2: phương pháp đổi biến số.
“Là phương pháp quan trọng nhất”
Chú ý: - khi đổi biến thì phải đổi cận
- về cơ bản, có 2 phép đổi biến:
+
( )
x t
ϕ
=
.
+
( )
t x
ϕ
=
Ví dụ Chìa khoá Lời giải
1. Phương pháp đổi biến

số:
( )
x t
ϕ
=
loại 1:
Khi hàm dưới dấu tích
phân có biểu thức dạng:
( )
f x
lúc đó, trong nhiều
trường hợp (chứ không phải
mọi trường hợp) ta có thể
sử dụng phép thay biến:
( )
t f x=
VD1:
(
)
ln3
3
x
0
1
x
e dx
y
e
=
+

∫
x 2 x
x
1 1
2
t e t e
tdt e dx
= + ⇒ = +
⇒ =
VD2:
ln5
2
x
ln 2
1
x
e dx
y
e
=
−
∫
x 2 x
x
1 1
2
t e t e
tdt e dx
= − ⇒ = −
⇒ =

VD3:
4
7
3
3 4
0
1 1
x dx
y
x
=
+ +
∫
Phương pháp dùng bảng nguyên hàm
không thích hợp trong VD này.
VD4:
3
5 3
2
0
2
1
x x
y dx
x
+
=
+
∫
VD5:

2
6 3 5
0
1 os inx.cosy c xs xdx
π
= −
∫
2. Phương pháp đổi biến
số:
( )
x t
ϕ
=
loại 2:
Phép đổi biến: x=-t đặc
biệt có tác dụng với 2
dạng toán sau đây:
Biểu thức dưới dấu tích
Chú ý: kết quả này chỉ để dự đoán từ
đó biết được phương pháp làm chứ
trong bài kiểm tra không được viết
ngay kết quả.
phân là hàm chẵn hoặc lẻ
và tích phân cần tính có
dạng:
( )
f x
a
a
dx

−
∫
ta sử
dụng kết quả sau đây:
- f(x) là hàm lẻ /[-a;a]
thì
( )
f x 0
a
a
dx
−
=
∫
- f(x) là hàm chẵn/[-a;a]
thì
( ) ( )
0
f x 2 f x
a a
a
dx dx
−
=
∫ ∫
VD1:
(
)
1
2

1
ln 1x x dx
−
+ +
∫
Phải nhớ ví dụ này để
làm mẫu.
Lưu ý:
- khi gặp dạng toán
trên, chỉ đổi biến I
1

hoặc I
2
(đổi biến 1
nửa). còn nếu đổi biến
ở cả I
1
và I
2
thì sẽ
quay trở lại đầu bài
ban đầu.
- Tích phân không phụ
thuộc vào biến.
- Hàm
(
)
2
ln 1y x x= + +

là
hàm lẻ.
Tvậy:
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
2
2 2
2
2
2
( ) ln 1
1 1
ln
1
1
ln
1
ln 1
f x x x
x x x x
x x
x x
x x

− = − + +
− + + + +
=
+ +
=
+ +
= − + +
(
)
(
)
(
)
1
2
1
0 1
2 2
1 0
ln 1
ln 1 ln 1
I x x dx
x x dx x x dx
−
−
= + +
= + + + + +
∫
∫ ∫
đặt:

(
)
(
)
0
2
1
1
1
2
2
0
ln 1
ln 1
I x x dx
I x x dx
−
= + +
= + +
∫
∫
có: đổi biến: t=-x suy ra dt=-dx
(
)
(
)
(
)
(
)

0
2
1
1
2 2
1
2
0
1 1
2
2
0 0
2
ln 1
1 1
ln
1
1
ln ln 1
1
I t t dt
t t t t
dt
t t
dt t t dt
t t
I
= − − + +
+ + − + +
=

+ +
= = − + +
+ +
= −
∫
∫
∫ ∫
1 2 2 2
0I I I I I⇒ = + = − + =
VD2:
2
2
2
osx
4-sin
x c
dx
x
π
π
−
+
∫
2
2
2
0
4-sin
x
dx

x
π
π
−
=
∫
vì là tích
phân của hàm lẻ.
2 2
2 2
2 2
osx
4-sin 4-sin
x c
dx dx
x x
π π
π π
− −
+
∫ ∫
2 2
2 2
0
2
osx osx
2
4-sin 4-sin
c c
dx dx

x x
π π
π
−
=
∫ ∫
Vì là tích phân của hàm
chẵn.
VD3:
1
4
x
1
x
2 1
dx
−
+
∫
Phép đổi biến x=-t còn áp
dụng cho trường hợp biểu
thức tích phân dạng:
( )
a
x
f x
k 1
a
dx
−

+
∫
trong đó f(x) là
hàm chẵn /[-a;a].
Dễ dàng chứng minh được
kết quả:
( )
( )
a
x
0
f x
k 1
a
a
d f x dx
−
=
+
∫ ∫
1 0 1
4 4 4
x x x
1 1 0
1 2
x x x
2 1 2 1 2 1
dx dx dx
I I
− −

= +
+ + +
= +
∫ ∫ ∫
Thực hiện đổi biến x=-t trên một nửa với
I
1
ta có:
( )
0 0
4 4
1
x -t
1 1
1 1
4 t 4
-t t
0 0
t 4 4
1
t
0
1 1 1
4
4 4
2
t
0 0 0
x t
2 1 2 1

t 2 t
2 1 2 1
2 +1 t
2 1
2 1
I dx dt
dt dt
t
dt
t
t dt dt t dt I
−
= = −
+ +
= =
+ +
−
=
+
= − = −
+
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
VD4:
2
x
sin
3 1

x
d
π
π
−
+
∫
2
2
x
0
sin
sin x
3 1
x
d dx
π π
π
−
=
+
∫ ∫
3.Phương pháp đổi biến
số:
( )
x t
ϕ
=
loại 3:
đổi biến: x=a-t

với các tích phân có cận
trên là a và biểu thức
dưới dấu tích phân
( )
a
f x dx
∫
là f(x) thường
có chứa các biểu thức
lượng giác và các biểu
thức này có liên quan đến
cận a ( theo nghĩa chúng
có mối liên hệ hàm số
lượng giác của góc liên
quan đặc biệt). Thông
thường
;2 ;
2
a
π
π π
=
VD1:
2
0
.sinx
4-cos
x
dx
x

π
∫
đổi biến:
x t
π
= −
VD2:
3
2
3 3
0
sin x
sin x+cos
dx
x
π
∫
đổi biến:
2
x t
π
= −
VD3:
2
0
1 sinx
ln
1+cos
dx
x

π
+
∫
đổi biến:
2
x t
π
= −