CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH
KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
GV: Ths. Nguyễn Hoàng Dũng
Bộ Môn Tự Động Hóa, Khoa Công Nghệ,
Đại Học Cần Thơ
E-mail:


THIẾT LẬP PTTT (Phương Trình Trạng Thái)
Cho hệ thống:
n

n −1

d y (t )
d y (t )
dy (t )
a0
+ a1
+  + an −1
+ an y (t ) =
n
n −1
dt
dt
dt
m
m −1
d r (t )
d r (t )
dr (t )

b0
+ b1
+  + bm −1
+ bm r (t )
m
m −1
dt
dt
dt
Với n=m+1


THIẾT LẬP PTTT
Đặt

y (t ) = x1 (t )
x 1 (t ) = x2 (t ) + h1r (t )
x 2 (t ) = x3 (t ) + h2 r (t )

an
an −1
a1
x n (t ) = − x1 (t ) −
x2 (t ) −  − xn (t ) + hn −1r (t )
a0
a0
a0
Trong đó:

THIẾT LẬP PTTT
h1 = b0
h2 = b1 − a1h1
h3 = b2 − a1h2 − a2 h1

hn = bn −1 − a1hn −1 − a2 hn − 2 −  − an −1h1


MỘT VÀI VÍ DỤ
Cho hệ thống có phương trình vi phân sau:

d 3 y (t )
dt 2 y (t )
dy (t )
d 2 r (t )
dr (t )
+3
+2
+ y (t ) = 6
+3
+ r (t )
3
2
2
dt
dt
dt
dt
dt
Đặt

y (t ) = x1 (t )
x 1 (t ) = x2 (t ) + h1r (t )
x 2 (t ) = x3 (t ) + h2 r (t )
x 3 (t ) = − x1 (t ) − 2 x2 (t ) − 3 x3 (t ) + h3 r (t )


VIẾT DƯỚI DẠNG MA TRẬN
Phương trình trạng thái:

1
0   x1 (t )   h1 
 x 1 (t )   0
 x (t ) =  0





0
1   x2 (t ) + h2  r (t )
 2  
 x 3 (t )  − 1 − 2 − 3  x3 (t )   h3 
Phương ngõ ra:

Với

 x1 (t ) 



y = [1 0 0]  x2 (t )
 x3 (t ) 

h1 = b0 = 6
h2 = b1 − a1h1 = 3 − 3 * 6 = −15
h3 = b2 − a1h2 − a2 h1 = 1 − 3 * (−15) − 2 * (−15) = 76


THIẾT LẬP PTTT
d n y (t )
d n −1 y (t )
dy (t )
a0
+ a1
+  + an −1
+ an y (t ) = bn r (t )
n
n −1
dt
dt
dt
an −1 dy (t ) an
bn
d n y (t ) a1 d n −1 y (t )
+
++
+ y (t ) = r (t )
n
n −1
dt

a0 dt
a0 dt
a0
a0
y (t ) = x1 (t )
x 1 (t ) = x2 (t )
x 2 (t ) = x3 (t )
Đặt


x n −1 (t ) = xn (t )
an
an −1
bn
a1
x n (t ) = − x1 (t ) −
x2 (t ) −  − xn (t ) + r (t )
a0
a0
a0
a0


PTTT DẠNG MA TRẬN
Hay

y (t ) = x1 (t ) + 0.x2 (t ) +  + 0.xn (t ) + 0.r (t )
x 1 (t ) = 0.x1 (t ) + x2 (t ) + 0.x3 (t ) +  + 0.xn (t ) + 0.r (t )
x 2 (t ) = 0.x1 (t ) + 0.x2 (t ) + x3 (t ) + 0.x4 (t ) +  + 0.xn (t ) + 0.r (t )


x n −1 (t ) = 0.x1 (t ) + 0.x2 (t ) +  + xn (t ) + 0.r (t )
an
an −1
b0
a1
x n (t ) = − x1 (t ) −
x2 (t ) −  − xn (t ) + r (t )
a0
a0
a0
a0


PTTT DẠNG MA TRẬN
0


x
(
t
)
 1 
 x (t )   0
 2  
  = 

  0
 x n −1 (t )  an
 x n (t )  −
 a0

1
0

0
an −1
−
a0

0
1

0
an − 2
−
a0

0   x (t )   0 
1

0   x (t )   0 
 2 
     +  0  r (t )

 

1  x (t )   
a1   n −1   b0 
 −
 xn (t ) 

 a0 
a0 





Phương trình ngõ ra:

 x1  0
 x  0 
 2  
y (t ) = [1 0 0  0]  x3  + 0 r (t )
   
    
 xn  0


PTTT DẠNG MA TRẬN
Hay

 x (t ) = A.x(t ) + B.r (t )

 y (t ) = C.x(t ) + D.r (t )
Trong đó:

 x1 (t ) 
 x (t ) 
 2 
x(t ) =   



 xn −1 (t )
 xn (t ) 

 x 1 (t ) 
 x (t ) 
 2 
x (t ) =   


 x n −1 (t )
 x n (t ) 


PTTT DẠNG MA TRẬN
 0
 0

A =  
 0
 − an
 a0

1
0

0
1


0
a
− n −1
a0


0
a
− n−2
a0

C = [1 0 0  0]

0
0
 
B =  0 
 
 b0 
 a0 

0 
0 

 

0
1 
a

 − 1
a0 



D=0


MỘT VÀI VÍ DỤ
Cho hệ thống có phương trình vi phân:

d 3 y (t )
d 2 y (t )
dy (t )
+3
+2
+ y (t ) = 6r (t )
3
2
dt
dt
dt
Đặt

y (t ) = x1 (t )
x 1 (t ) = x2 (t )
x 2 (t ) = x3 (t )
x 3 (t ) = − x1 (t ) − 2 x2 (t ) − 3x3 (t ) + 6r (t )

MỘT VÀI VÍ DỤ
Hay

1
0   x1 (t )  0
 x 1 (t )   0
 x (t ) =  0
  x (t ) + 0 r (t )
0
1
 2  
 2   
 x 3 (t )  − 1 − 2 − 3  x3 (t )  6
Phương trình ngõ ra:

 x1 (t ) 


y (t ) = [1 0 0]  x2 (t )
 x3 (t ) 


HÀM CHUYỂN VÒNG KÍN

 x (t ) = A.x(t ) + B.r (t )

 y (t ) = C.x(t ) + D.r (t )
Lấy biến đổi Laplace hai vế

s. X ( s ) = A. X ( s ) + B.R ( s )

X ( s ) = [ sI − A] B.R( s )
−1

Y ( s ) = C.[ sI − A] B.R ( s ) + D.R ( s )
−1

[

Y (s)
−1
= C.[ sI − A] B + D
R( s)

]


MỘT VÀI VÍ DỤ
Cho hệ thống có PTTT

 x 1 (t )  − 3 10 0  x1 (t )  0
 x (t ) =  0 − 1 1  x (t ) + 0
 2  
 2   
 x 3 (t )   − 1 0 0  x3 (t )  1
A
Phương trình ngõ ra:

B

 x1 (t ) 
y (t ) = [1 0 0]  x2 (t )
 x3 (t ) 
C
Yêu cầu: Xác định hàm chuyển vòng kín

D=0


MỘT VÀI VÍ DỤ
Hàm chuyển vòng kín:

[

Y (s)
−1
= C.[ sI − A] B + D
R( s)

]
−1

  s 0 0 − 3 10 0  0
Y (s)


= [1 0 0]  0 s 0 −  0 − 1 1  0
R(s)
 0 0 s   − 1 0 0  1
−1

 s + 3 − 10 0  0
Y (s)
= [1 0 0]  0
s + 1 − 1 0
R(s)
 1
0
s  1


GỢI Ý
Cho

 a1
A=
a3

a2 

a4 

Ta có

1
A =
a1a4 − a2 a3
−1

 a4

− a
 3

− a2 
a1 


Cho

 a1
A = a4
a7

a2
a5
a8

a3 
a6 
a9 

 b1
1 
−1
A =
b4

det ( A)
b7

b2
b5
b8

b3 
b6 
b9 

det(A)=a1a5a9 - a1a6a8 - a4a2a9 + a4a3a8 + a7a2a6 - a7a3a5
b1=a5a9 - a6a8

b4=-(a4a9 - a6a7)

b7=a4a8 - a5a7

b2=-(a2a9 - a3a8)

b5=a1a9 - a3a7

b8=-(a1a8 - a2a7)

b3=a2a6 - a3a5

b6=-(a1a6 - a3a4)

b9=a1a5 - a2a4


MỘT VÀI VÍ DỤ
−1

 s + 3 − 10 0 
 b1
1 
 0

s + 1 − 1 =
b4


det
 1
b7
0
s 

b2
b5
b8

b3 
b6 
b9 

det = s ( s + 1)( s + 3) + 10
b1=s.(s+1) – (-1).0=s.(s+1)

b6=-(-1.(s+3) – 0.0)=s+3

b2=-(-10.s – 0.0)=10.s

b7=0.0 – (s+1).1=-(s+1)

b3=-10.(-1) – 0.(s+1)=10

b8=-((s+3).0 – (-10).1)=-10

b4=-(0.s – (-1).1)=1
b5=s.(s+3) – 0.1=s.(s+3)

b9=(s+3)(s+1) – (-10).0
=(s+1)(s+3)


MỘT VÀI VÍ DỤ
 b1
Y (s)
1
[1 0 0] b4
=
R ( s ) det
b7
1
=
[ b1 b2
det

b2
b5
b8

b3  0
b6  0
b9  1

0 
b3


b3 ] 0 =
det
1

10
=
s ( s + 1)( s + 3) + 10

Y ( s)
10
=
R ( s ) s ( s + 1)( s + 3) + 10


NGHIỆM CỦA PTTT
Phương trình trạng thái:

x (t ) = A.x(t ) + B.r (t )
Nghiệm của PTTT:
t

x(t ) = Φ (t ) x(0 ) + ∫ Φ (t − τ).B.R(τ)dτ
+

0

Trong đó:

Φ (t ) = L-1 ( Φ (s ) )

Φ ( s ) = [ sI − A]
Hay

là ma trận quá độ

−1

Φ (t ) = e = C0 I + C1 [ A] + C2 [ A] + 
βt

2


NGHIỆM CỦA PTTT
λ 0 
Với β = 

0
λ



Và λ là nghiệm của phương trình:

det(λI − A) = 0

eβt = C0 I + C1 [ β]

λ1t

e
e βt = 
 0

 λ1 0 
0 
1 0
= C0 
+ C1 


λ 2t 
0
λ
0
1
e 


2


Đồng nhất thức hai vế sẽ tìm được nghiệm C0 và C1
Φ(t) được xác định dựa vào công thức sau:

Φ (t ) = C0 I + C1 [ A]
Ghi chú: Nếu hai nghiệm trùng nhau

dΦ (t )
= t.eβt
dβ


MỘT VÀI VÍ DỤ
Cho hệ thống có phương trình trạng thái sau:

1   x1 (t )  0
 x 1 (t )   0
 x (t ) = − 3 − 4  x (t ) + 1 r (t )
 2   
 2  
A
Phương trình ngõ ra:

B

 x1 (t ) 
y (t ) = [1 0] 

x
(
t

)
 2 
C

Yêu cầu xác định ma trận quá độ Φ(t )


MỘT VÀI VÍ DỤ
Cách 1
Ta có

Φ ( s ) = [ sI − A]

−1

  s 0  0
1 
Φ(s) = 
−



 0 s   − 3 − 4  
s − 1 
Φ(s) = 

3 s + 4

−1

−1


MỘT VÀI VÍ DỤ
−1

s − 1 
 s + 4 1
1
Φ(s) = 
=



s ( s + 4) + 3  − 3 s 
3 s + 4
s+4

−1
 ( s + 3)( s + 1)
s − 1 
Φ(s) = 
=

−3

3 s + 4
 ( s + 3)( s + 1)

1


( s + 3)( s + 1) 
s

( s + 3)( s + 1) 