Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh trong dạy học nội dung lượng giác ở trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ HOÀNG CÚC

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHO
HỌC SINH TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG LƢỢNG GIÁC Ở
TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2013

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHO
HỌC SINH TRONG DẠY HỌC LƢỢNG GIÁC Ở TRƢỜNG TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN
TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Tiến sĩ Lê Phê Đô

HÀ NỘI – 2013

2


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
1. ĐPCM
2. GTLN
3. GTNN
4. THPT
5. VT
6. VP

Điều phải chứng minh
Giá trị lớn nhất
Giá trị nhỏ nhất
Trung học phổ thông
Vế trái
Vế phải

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Ngày nay trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất
nước để tránh nguy cơ bị tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc
cấp bách và lâu dài là nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Tầm quan
trọng đó đặt lên vai những người làm công tác giáo dục và dạy học nhiều
trách nhiệm nặng nề.

Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng và
nổi bật. Công việc dạy toán của giáo viên nhằm rèn luyện cho học sinh tư
duy toán học cùng những phẩm chất của con người lao động mới để các
em vững vàng trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước.
Ở trường phổ thông dạy toán học là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các
bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không
thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt
động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy
học toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài
tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Như
vậy việc hướng dẫn cho học sinh giải toán là một trong những khâu then
chốt, chiến lược trong quá trình dạy học môn toán.
Hơn nữa, hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh chúng ta học môn
toán một cách rất thụ động, rập khuôn theo những dạng bài toán mà các
thầy giáo, cô giáo hay các sách đã chỉ sẵn mà không chịu suy nghĩ tìm
đường lối giải, đặt vấn đề trở lại đối với bài toán đó, lời giải đó.

4


Chính vì vậy, gặp một bài toán mà các em chưa từng tiếp xúc thì việc tìm
lời giải cho bài toán đối với rất nhiều học sinh là rất khó khăn , không thể
tự tim
̀ đường lố i giải được . Quá trình tìm đường lối giải có tính chất quan
trọng, quyết định nhất trong việc giải một bài toán. Quá trình này là cơ sở
cho việc rèn luyện khả năng tư duy, làm việc sáng tạo - một khả năng
không thể thiếu đối với một người giải toán.
Lươ ̣ng giác là mô ̣t trong những phân môn quan tro ̣ng và chiế m nhiề u thời

lươ ̣ng trong chương trình Toán bâ ̣c THPT . Lươ ̣ng giác đươ ̣c ứng du ̣ng rấ t
nhiề u trong viê ̣c giải phương trình , hê ̣ phương trình , bấ t phương trình ; ứng
dụng trong tính tích phân bằ ng phương pháp đổ i biế n số … Các em được
rèn luyện nhiều trong việc biến đổi các công thức

lượng giác và giải

phương trình lươ ̣ng giác . Tuy nhiên giải các bài toán lượng giác vẫn còn
là vấn đề tương đối khó và lúng túng đối với đại đa số học sinh cả về tư
duy và cách tìm ra lời giải của bài toán.
Chính vì những điều trên đây, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu luận văn của
mình là:
“ Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh trong
dạy học nội dung lƣợng giác ở trƣờng trung học phổ thông.”
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp sư phạm hướng vào việc phát huy tính tích cực
học tập của học sinh trong điều kiện và hoàn cảnh hiện nay nhằm rèn
luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác cho học sinh góp
phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trong trường trung học phổ
thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận phương pháp dạy học tìm tòi lời giải các bài
toán.

5


- Đề ra một số biện pháp sư phạm nhằm giúp rèn luyện khả năng tìm tòi
lời giải các bài toán lượng giác, từ đó nâng cao năng lực giải toán cho học
sinh THPT

- Thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài.
4. Giả thuyết nghiên cứu
Các biện pháp sư phạm hợp lý nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải
các bài toán lượng giác nếu được vận dụng tốt sẽ có vai trò quyết định
trong việc rèn luyện phương pháp suy luận và khả năng tư duy của học
sinh trong toàn bộ quá trình dạy toán và học toán từ đó góp phần nâng cao
chất lượng học toán ở trường THPT.
5. Các phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận dạy học môn toán
- Nghiên cứu đề tài và luận văn của đồng nghiệp
- Nghiên cứu tài liệu tham khảo, các báo và tạp chí
- Thực nghiệm sư phạm
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận của đề tài.
Chương 2: Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi
lời giải các bài toán cho học sinh trong dạy học lượng giác ở trường
trung học phổ thông.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

6


CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1 Dạy học giải bài tập toán
1.1.1 Vai trò, vị trí và chức năng của bài tập toán học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải bài
tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng
và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động

toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những
hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý
khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ,
để làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra… Đặc biệt là về mặt
kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả
năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh… Tất nhiên, việc
dạy giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất
nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu.
Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy
học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác
nhau. Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy
học. Trong môn Toán, bài tập mang các chức năng sau:
Với chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo
ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. Qua đó học sinh hiểu sâu
hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào giải quyết các tình huống cụ
thể. Có khi bài tập là một định lí vì lý do nào đó không đưa vào lý thuyết cho
nên qua việc giải bài tập học sinh còn mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
Với chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh
thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất
đạo đức của người lao động mới.

7


Với chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
Với chức năng kiểm tra: Bài tập đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh
giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời
nhau. Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể
tức là hàm ý nói đến việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách
tường minh và công khai. Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông
phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có
thể có của một bài tập. Các chức năng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào nội
dung và phương pháp khai thác lời giải của nó. Điều đó định hướng cho việc
lựa chọn bài tập của giáo viên, tránh tình trạng ra bài tập một cách tùy hứng
hoặc chỉ chủ trọng đến số lượng thuần túy. Tóm lại người giáo viên chỉ có thể
khám phá và thực hiện được những chức năng đó bằng năng lực sư phạm và
trình độ nghệ thuật dạy học của mình.
1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán:
Để phát huy tác dụng và khai thác tốt các chức năng của bài tập toán học,
trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải.
a) Lời giải không có sai lầm:
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về
phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không
có sai lầm về ngôn ngữ diễn đạt. Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thói
quen xem xét, kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, qua đó giáo
dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán.
Cần giúp học sinh kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu
hỏi của đề bài, xét tính hợp lí của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một
phương pháp giải khác nếu có thể, rồi so sánh các kết quả giải được theo các

8


phương pháp khác nhau. Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng hình
thức vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học chứ không chỉ đơn thuần
bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn làm.

Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều
quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó, bởi vì
“ con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”
(Polya 1975). Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là học
sinh không nắm vững các định nghĩa, định lí, quy tắc… vận dụng chúng một
cách máy móc, không chú ý đến các điều kiện ấy hạn chế phạm vi tác dụng
của chúng. Trong giải toán, học sinh còn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu
thả, sơ suất trong tính toán, không ghi chép đúng và xem xét kĩ đầu bài.
b) Lập luận phải có căn cứ chính xác:
Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận,
phải dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức… đã học, đặc biệt
phải chú ý đảm bảo thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí.
c) Lời giải phải đầy đủ:
Điều này có nghĩa là không được bỏ sót một trường hợp, một khả năng, một
chi tiết nào. Nó cũng có ý nghĩa là lời giải phải không thừa, không thiếu.
Muốn vậy cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luôn luôn
suy xét và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì? Như vậy đã
đủ chưa? Còn trường hợp nào nữa không? Đã đủ các trường hợp đặc biệt
chưa? Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường
hợp, các khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là các bài toán có tham biến,
những bài toán đòi hỏi phải biện luận…
Ngoài ba yêu cầu cơ bản nói trên, người giáo viên còn cần yêu cầu lời giải
ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng, hợp lí. Tìm được lời giải hay
của một bài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán,

9


điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng
niềm vui thắng lợi” ( Polya 1975 )

1.1.3 Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán
Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hướng
dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đây là cơ hội rất tốt để giáo
viên trang bị cho học sinh một số tri thức phương pháp – phương pháp giải
toán, phương pháp toán học hóa – nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực
tư duy khoa học. Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi
gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó sử
dụng khéo léo những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.
Pôlya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học
là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá
trình dạy học giải bài tập toán. Đó là lời khuyên của người có kinh nghiệm
giải toán chứ không phải là những bản chỉ dẫn có tính chất thuật toán. Tiếp
thu những lời khuyên này, mỗi người có thể thực hiện khác nhau, cả về cách
thức lẫn thời gian, để đi đến kết quả, và có thể có người không đi đến kết quả.
Điều đó nói lên tính chất khó khăn, phức tạp của việc truyền đạt phương pháp
và kinh nghiệm giải toán chứ không hề phủ nhận vai trò của việc này. Không
có thuật toán nào để giải mọi bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học
giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh
nghiệm tiến tời nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán. “
Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” ( Polya, 1975 ).
Phương pháp tìm tòi lời giải của Pôlya thường được tiến hành theo 4 bước:
- Tìm hiểu nội dung của bài toán
- Xây dựng chương trình giải
- Thực hiện chương trình giải
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

10

a) Tìm hiểu nội dung bài toán: Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu
đề bài và ham thích giải bài toán đó. Vì thế người giáo viên cần chú ý gợi
động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú của học sinh và giúp các em hiểu bài
toán phải giải. Phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu hiểu toán
bộ bài toán, tránh vội vàng đi vào ngay các chi tiết.
Tiếp theo, phải phân tích bài toán: cái gì đã cho, cái gì chưa biết? có mối
liên hệ nào giữa cái phải tìm và cái đã cho? …
Chẳng hạn cho bài toán: Biết tan(a+b) = 5 và tan(a-b) = 3. Tính tan2a và tan
2b.
Hãy chú ý xem xét bài toán, chưa nên vội vàng khai triển tan(a+b) và
tan(a-b) ( mặc dù cũng đi đến kết quả nhưng dài và phức tạp ).
Ta đã biết tan(a+b) và tan(a-b), phải tính tan2a và tan2b thì ta xem góc 2a và
2b có mối quan hệ gì với các góc đã cho là a+b và a-b.
Điểm mấu chốt đó được khám phá: 2a = (a+b)+(a-b)
Do đó việc tính tan2a = tan [(a+b)+(a-b)] rồi sử dụng giả thiết ta sẽ được kết
quả phải tìm.
b) Xây dựng chương trình giải: Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toán đã
cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa,
định lí, quy tắc… ) có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong
đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện
của bài toán, mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng, kể cả trường hợp
đặc biệt, xét một bài toán tương tự hoặc một bài toán khái quát của bài toán đã
cho …
Ví dụ cho bài toán:
Chứng minh rằng ba cạnh a, b, c của một tam giác bất kì thỏa mãn bất đẳng
thức:
a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca )

11

Bài toán đề cập mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác. Hãy huy động
những định lí, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác:
a>b–c
aa2 = b2 + c2 – 2bccosA
2(a2 + b2 ) = c2 + 4mc2
Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, trước hết ta hãy loại 2 đẳng thức cuối
vì chúng đề cập đến mối quan hệ “đẳng thức” chứ không phải “bất đẳng
thức”. Đối chiếu với điều phải chứng minh ta thấy mỗi số hạng phải có bậc 2,
trong đó mỗi cạnh được tính bình phương một lần. Thử bình phương 2 vế của
bất đẳng thức đầu ta có:

a2 > b2 + c2 – 2bc

Tương tự ta có: b2 > c2 + a2 – 2ca
c2 > a2 + b2 – 2ab
cộng từng vế và ước lược ta sẽ có điều phải chứng minh.
Hãy tiếp tục thử với bất đẳng thức thứ 2, nếu được ta sẽ có cách giải
khác, bằng không thì cũng là một bước luyện tập. Nếu làm như trên thì ta
được :
a2 + b2 + c2 > - ( ab + bc + ca ) là điều hiển nhiên nhưng không
phải là điều cần chứng minh.
Thử chọn phép biến đổi khác, để xuất hiện bình phương của mỗi cạnh,
nhân 2 vế của bất đẳng thức với a ta được :
a2 < ab + ac
tương tự :

b2 < ab + bc
c2 < ac + bc

cộng các vế và ước lược ta lại có điều cần chứng minh. Như vậy ta lại có
được cách giải khác.
Trong quá trình giải toán, có khi ta phải biến đổi bài toán, thay điều phải
chứng minh hay cái phải tìm bằng cái tương đương, phát biểu bài toán dưới

12


một dạng khác… Việc tìm tòi lời giải bài toán nhiều khi đạt được bằng cách
xét một bài toán tương tự.
c) Thực hiện chương trình giải:
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
Cần phải luyện tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải bài toán, xem
xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là các bài toán có đặt điều
kiện hay phải biện luận. Đồng thời cũng nâng dần yêu cầu đi sâu cải tiến lời
giải, khai thác lời giải. Việc kiểm tra lại kết quả phải yêu cầu học sinh tiến
hành thường xuyên. Chẳng hạn, khi giải một phương trình sau khi tìm được
nghiệm, học sinh phải đối chiếu lại với điều kiện đã nêu hoặc thay vào
phương trình đã cho để đánh giá kết quả. Đặc biệt đối với phương trình lượng
giác, học sinh thường dễ mắc sai lầm khi kiểm tra nghiệm hoặc loại nghiệm.
Ví dụ: Cho phương trình

sinx + cosx
=
cos2x

2

Có học sinh giải như sau:
Điều kiện: cos2x ≠ 0 tức là x 


4

k


2



Thay sin x  cosx  2 cos x   phương trình rồi ước lược ta được:
4




cos x    cos2x
4




  2x  k2



x





x


 k2

4

 x    k 2

12
3

4

(1)
(2)

13


Giá trị (1) của x không thỏa mãn điều kiện đã nêu nên bị loại, vậy nghiệm của
phương trình là (2).
Trong cách giải này học sinh đã tiến hành kiểm tra lại nghiệm nhưng chưa
triệt để. Nhìn hình thức thì dễ ngộ nhận cho rằng các giá trị ở (2) đều thỏa

mãn điều kiện đã nêu. Với phương tiện đơn giản là đường tròn đơn vị, cần lưu
ý học sinh biểu diễn cả điều kiện lẫn các giá trị (2) trên đó mới thấy trong các
giá trị này phải loại đi những trường hợp ứng với k = 1, 4, 7, …nghĩa là
nghiệm của phương trình có dạng: x 
Hoặc viết theo cách khác: x 


12


12

k

2
với k  1  3t ( t nguyên )
3

 k2 ; x  

7
 k2
12

Cần phải nhìn lại xem đã xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán
hay chưa, nhất là bài toán có liên quan đến những đối tượng hay quan hệ có
nhiều khả năng xảy ra hoặc bài toán có chứa tham biến. Bằng cách này sẽ dần
dần luyện tập cho học sinh thói quen nhìn nhận vấn đề một cách toàn diện,
theo nhiều khía cạnh, tránh phiến diện, hời hợt.
Trong quá trình giải bài tập, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải

cho một bài toán. Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các
dữ kiện cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách
nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho
việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác tìm được nhiều cách giải thì sẽ chọn
được cách giải hay nhất, đẹp nhất.
Ví dụ: Xét bài toán
Cho a, b là các góc nhọn, dương và cosa 
Học sinh thường khai triển



11
 cos(a  b)  cosa cosb  sin asin b
14

14

1
11
, cos(a  b)   . Tính cosb?
7
14


1
1
48
Rồi thay cosa  , sin a  1 
và thay sin b  1  cos2b ( vì a, b


7
49
7
là các góc nhọn dương ) để được:

1
48
11
cosb 
1  cos2b  
7
7
4
Đặt x = cosb > 0 sẽ đi đến phương trình:

48
x 11
1  x2  
7
7 4
Giải phương trình này ta được x  cosb 

1
71
còn giá trị x  
bị loại
2
98

Có một cách giải quyết khác. Hãy chú ý tìm mối quan hệ giữa góc b cần phải

tính với các góc đã biết a và a + b. Đó chính là: b = ( a + b ) – a cho nên
cosb = cos[( a + b ) – a ] = cos(a + b)cosa + sin( a + b )sina

1
1
48
thay cosa  , sin a  1 
,

7
49
7
cos(a  b)  

75
11
, sin(a  b)  1  cos2 (a  b) 
vào rồi ước lược ta
14
14

được ngay kết quả cosb 
1.2

1
2

Tìm tòi lời giải bài toán trong hoạt động toán học, hoạt động giải

toán của học sinh

a)

Hoạt động học toán của học sinh là hoạt động nhằm lĩnh hội các tri

thức, khái niệm, kỹ năng giải quyết các vấn đề toán học. Nó bao gồm việc
định hướng tìm tòi, lập kế hoạch thực hiện, bản thân hoạt động và kiểm tra
hiệu quả của nó. Vấn đề tâm lý chủ yếu ở đây là hứng thú tìm tòi, lòng ham
hiểu biết và mong muốn hoàn thiện bản thân. Nếu sự hứng thú không được
hình thành thì bản thân sự lĩnh hội sẽ diễn ra thấp hơn nhiều so với tiềm năng
sẵn có ở học sinh.

15


Động cơ học toán đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung toán
học, nghĩa là nắm vững các khái niệm, định lý, hệ quả, quy luật phát triển
toán học, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, kỹ năng ứng dụng toán học
vào thực tiễn,…
Động cơ này lại được cụ thể hóa thành từng nhiệm vụ học tập của hoạt
động học toán. Để giải quyết nhiệm vụ đó, học sinh phải tiến hành một loạt
các hành động với các thao tác tương ứng và được diễn ra theo các giai đoạn
sau:
- Tiếp nhận nhiệm vụ đề ra chương trình hành động.
- Thực hiện các hành động và các thao tác tương ứng.
- Điều chỉnh hoạt động học toán dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáo
viên, của sự tự điều chỉnh và tự kiểm tra của bản thân.
- Phân tích các kết quả thu được của hoạt động học, từ đó dần hình thành
được phương pháp học tập có hiệu quả cho mình.
b)

Trong hoạt động giải toán, hành động dự đoán chiếm vị trí trung tâm,

nó xuất hiện sau khi đã hiểu kĩ đề bài, phải dự đoán giới hạn phạm vi đi tìm
lời giải. Tiếp theo trong tư duy diễn ra hai hành động trí tuệ: động viên và tổ
chức kiến thức. Động viên thường bắt đầu bằng thao tác nhận biết một số yếu
tố nào đó chứa đựng trong bài toán và được tiếp tục bằng thao tác nhớ lại
những yếu tố khác đã quen thuộc và có liên quan tới yếu tố vừa nhận biết.
Hành động tổ chức bào hàm trong nó thao tác bổ sung và nhóm lại. Hành
động tách biệt một chi tiết, một bộ phận ra khỏi cái tổng thể bao quanh nó
nhằm tập trung chú ý vào chi tiết, bộ phận đó. Hành động kết hợp lại liên kết
những chi tiết, bộ phận đã được xem xét lại với nhau trong cái toàn thể.
Có thể sử dụng sơ đồ của G. Polia để biểu thị mối quan hệ qua lại giữa các
thành tố trên:
Tách biệt
Nhận biết

Nhóm lại

16


ng viờn

D oỏn
Nh li

T chc
B sung

Kt hp

Trong ú hnh ng d oỏn t v trớ trung tõm ca hỡnh vuụng, cỏc
cp hnh ng trớ tu i lp nhng thng nht nh: ng viờn t chc, tỏch
bit kt hp c t cỏc nh i nhau ca hỡnh vuụng, cỏc thao tỏc trớ
tu c t trờn cỏc cnh ca hỡnh vuụng y.
C ch hot ng c túm tt nh sau: t nhng chi tit c ng viờn
i n cỏi ton th cú t chc. T mt t chc, mt chi tit phõn bit c
tỏch ra nghiờn cu ri li c liờn kt li vi nhau cú th dn n vic
thay i quan nim ca ngi gii bi toỏn. Cũn cỏc thao tỏc trớ tu s xut
hin khi ngi gii thc hin cỏc nhim v nhn thc.
Trong quỏ trỡnh gii toỏn, c mt ln trớ tu vn hnh theo c ch trờn l
mt ln ngi gii toỏn li nhỡn bi toỏn cỏc khớa cnh khỏc nhau. Tt nhiờn
s cú ln kt qu ca hot ng khụng em li li gii ca bi toỏn nhng ú
cng l b ớch bi ta loi b c mt con ng v hn th na, hc sinh li
mt ln na c rốn luyn nng lc gii toỏn.
1.3 Quan nim v vn dy gii toỏn
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài tập là một yêu
cầu quan trọng đối với mọi học sinh. Có thể chia bài tập toán học ra làm hai
loại:

a) Loại có sẵn thuật toán.
Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học rèn luyện
kỹ năng, kỹ xảo. Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn.
Yêu cầu cho học sinh là:

17


- Nắm vững quy tắc giải đã học.
- Nhận dạng đúng bài toán
- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

b) Loại ch-a có sẵn thuật toán.
Loại bài tập này chiếm số l-ợng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho
học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả
năng của mình. Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ v-ơn lên trong học
tập của học sinh. Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuần
cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ
tìm ra con đ-ờng hợp lý để giải bài toán.
Tuy nhiờn thc t cho thy hin nay nhiu giỏo viờn vn cha nhn thc rừ
rng vic ny. Vic ging dy cỏc bi toỏn cho hc sinh gm 2 ni dung ch
yu l: tỡm tũi li gii cỏc bi toỏn v gii cỏc bi toỏn trong ú vic rốn kh
nng gii cỏc bi toỏn l th yu trong cụng vic dy toỏn bi:
- Dự cú k thut cao, cú thnh tho trong vic thc hin cỏc thao tỏc v cỏc
phộp tớnh nhng khi cha cú phng hng tt thỡ cha th cú li gii hoc
li gii tt.
- Mt khỏc, phi xem lao ng trong khõu thc hin cỏc thao tỏc khi ó cú
phng hng l lao ng cú tớnh cht k thut, khụng th cú nhng sỏng to
ln nh lao ng tỡm tũi phng hng gii.
- Ngoi ra, coi trng khõu rốn luyn phng phỏp v kh nng tỡm tũi li gii
cỏc bi toỏn chớnh l c s quan trng cho vic rốn luyn kh nng c lp,
sỏng to.
Nhng lý do ú ó chng t tớnh cht quyt nh ca khõu rốn luyn
phng phỏp tỡm tũi li gii cỏc bi toỏn trong ton b quỏ trỡnh dy gii toỏn.
Mt s ngi cú tham vng mun cú mt thut gii tng quỏt gii mi bi
toỏn. ú l iu o tng. Trong mụn toỏn trng ph thụng cú rt nhiu
bi toỏn cha cú hoc khụng cú thut gii. Ngay c i vi nhng lp bi toỏn
riờng bit cng cú trng hp cú, trng hp khụng cú thut gii. Tuy nhiờn

18

trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách
giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
1.4

Các yêu cầu trong việc giảng dạy bài tập nhằm rèn luyện khả năng

tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh
Bài giảng không thể chỉ dừng lại ở mức độ trình bày một lời giải đúng
đắn, đầy đủ và mạch lạc mà phải biết cách hướng dẫn học sinh thực hành việc
giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm lời giải. Nói gọn lại là việc rèn
luyện học sinh giải các bài toán trong các giờ bài tập phải làm tốt cả hai khâu:
Tìm tòi lời giải và lời giải.
Để làm tốt khâu giảng dạy phần tìm tòi lời giải cho học sinh, trước hết
người học sinh cần phải tự rèn luyện để làm tốt yêu cầu đó.
Vấn đề này thuộc về nhận thức. Cần xác định rằng nếu không có phần tìm
tòi lời giải các bài toán khi giảng dạy thì vai trò của người thầy giáo chưa đáp
ứng đúng yêu cầu.
Việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cần tiến hành theo
trình tự từ thấp đến cao:
- Tập dần từ những bài toán dễ, không phải là lời giải mà là công việc tìm
tòi lời giải đơn giản.
- Từ các bài toán đã có lời giải hay, hãy thực hành việc tìm lời giải khi đã
có lời giải bài toán đó.
- Đến mức cao hơn, rèn luyện toàn bộ quá trình một cách đầy đủ. Từ một
bài toán chưa có lời giải, tìm cách phân tích để tìm lời giải rồi đi đến giải bài
toán đó.
Tóm lại, việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán là một công
việc khó khăn. Phải có thói quen tốt là khi nghiên cứu một bài toán thì phải
bắt đầu từ quá trình tìm tòi lời giải.

19


1.5 Một số khả năng cần thiết góp phần rèn luyện khả năng tìm tòi lời
giải các bài toán
Quá trình dạy học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của
thầy và hoạt động học của học sinh. Lâu nay, chúng ta thường chú ý nhiều
đến chất lượng của hoạt động dạy. Khi dự giờ, rút kinh nghiệm ta thường
phân tích nhiều về khía cạnh hoạt động của thầy giáo ở trên lớp ( chất lượng
bài giảng, khả năng lôi cuốn học sinh học tập, phong thái, cách trình bày
bảng...). Điều đó là cần thiết vì giáo viên là người điều khiển, tổ chức quá
trình dạy học. Nhưng việc ít quan tâm hoặc quan tâm không đầy đủ, sâu sắc
đến hoạt động học của học sinh lại là một thiếu sót lớn. Nhân cách của học
sinh, trong đó có kết quả trí dục, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường
đào tạo cho xã hội. Vì vậy, cần thiết phải chú ý đến hoạt động học, trước hết
phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng học tập bộ môn.
Trong tâm lí – giáo dục người ta chia kỹ năng thành 4 nhóm: kĩ năng nhận
thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức và kĩ năng tự
kiểm tra, đánh giá.
Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán là một kĩ năng quan trọng
trong kĩ năng thực hành bởi hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ
yếu của hoạt động toán học đối với mỗi học sinh. Nó là điều kiện để thực hiện
tốt các mục đích của việc dạy học môn toán ở trường phổ thông. Kĩ năng vận
dụng tri thức một cách có hiệu quả vào hoạt động giải toán của học sinh được
huấn luyện trong quá trình họ tìm tòi lời giải của bài toán.
Để làm được điều này, người học sinh cần rèn luyện các khả năng sau:
a) Rèn luyện khả năng phân tích bài toán.
Đó là việc xem xét, phân tích bài toán đã cho. Ở đây vấn đề quan trọng
là biết cách nhìn bài toán. Phải biết cách nhìn bài toán dưới dạng chính quy,

lại phải nhìn bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ. Nhìn bài toán trong bối

20


cảnh chung chưa đủ, lại phải biết nhìn bài toán trong các điều kiện cụ thể và
biết nhìn bài toán đã cho trong mối tương quan đối với các bài toán khác.
Trong việc nhìn bài toán, có thể xem điều nêu ra dưới đây là một lời
khuyên hay cũng là một châm ngôn cần ghi nhớ: Trong mỗi bài toán, mỗi ký
hiệu, mỗi con số, mỗi biểu thức và các điều kiện đã cho cũng như kết quả của
bài toán chứa đựng (trong lòng chúng ) những điều muốn nói ra. Người làm
toán phải tìm cách “nói giúp” những điều muốn nói của các con số, các kí
hiệu và các yếu tố có mặt trong bài toán đó. Nói đúng những điều mà mọi cái
đó muốn nói ra, người làm toán đã khám phá được bài toán và từ đó mới có
cơ sở để định hướng đường lối giải bài toán. Mặt này cũng là một thước đo
khả năng biết làm toán của người học sinh.
Ví dụ 1:
Giải phương trình: tan2x + cot 2x + 2tanx + 2cotx = 6 với 0 < x <


2

Lời giải:
- Nếu nhìn bài toán dưới dạng chính quy ta nghĩ ngay đến việc chuyển
phương trình về dạng chỉ chứa tanx hoặc cotx bằng cách thay cot x 

1
t anx

Khi đó phương trình được đưa về dạng:

tan4 x  2tan3 x  6tan2 x  2tan x  0
 (t anx  1)2 (tan2 x  4tan x  1)  0
Đến đây ta đưa về phương trình cơ bản có thể giải được.
- Nếu căn cứ vào dạng riêng của bài toán từ cách viết phương trình đã cho
dưới dạng:

tan2x + cot 2x + 2(tanx + cotx) = 6
Và để ý đến hệ thức: tan2x + cot 2x = (tanx + cotx)2 - 2 thì ta nghĩ ngay đến
việc đặt ẩn phụ: t = tanx+cotx

21


Khi đó phương trình đối với t có dạng: t2 + 2t -3 =0 ( giải được t rồi quay lại
tìm x )
- Khi quan tâm đến điều kiện cụ thể của bài toán: 0  x 


2

khi đó tanx , cotx

> 0 cho phép ta đánh giá

t anx  cot x  2
tan2 x  cot 2 x  2
Dấu đẳng thức trong hai bất đẳng thức đó xảy ra khi tanx =1, tức là x 
Vì thế ta có VT ≥ 6, dấu = xảy ra khi x 


4

. Từ đó ta có x 


4


4

là nghiệm

duy nhất của phương trình.
Một mặt khác, cách nhìn một bài toán còn mang ý nghĩa khám phá bài toán
đó. Một trong các nhiệm vụ của việc khám phá đó là tìm cách lột bỏ hình thức
“ có tính chất ngụy trang” của bài toán để xác định đúng thực chất của bài
toán. Tác giả của bài toán thường hay “tô son trát phấn” cho các bài toán vốn
có bản chất “hiền lành” trở thành con “ ngoáo ộp” đối với người làm toán.
Mạnh dạn tìm cách lột bỏ cái vỏ bọc bề ngoài của một bài toán cũng là một
công việc cân làm đối với người giải toán.
Ví dụ 2:
Giải phương trình:

1
1
9
3
1
 cos4 x  cos2 x 

 cos4 x  cos2 x 
16
2
16
2
2

Lời giải:
Thoạt nhìn thì có lẽ ai cũng hoảng sợ vì trước mắt chúng ta là một phương
trình vô tỉ lượng giác. Nhưng không phải vì sợ mà chúng ta không dám giải
phương trình đó. Vấn đề cần đặt ra trước hết là: phải chăng phương trình đã
cho là phương trình vô tỉ? ( còn tính lượng giác thì hiển nhiên rồi ). Suy nghĩ
như vậy cũng là lẽ tự nhiên bởi các lý do sau đây:

22


- Quá trình suy nghĩ thường đi từ đơn giản đến phức tạp, từ cái riêng đến cái
chung. Cái riêng ở đây là xét xem các biểu thức dưới căn có phải là bình
phương đúng hay không? Còn cái chung ở đây là tính chất vô tỉ ( nếu đúng
vậy )
- Ngoài ra cũng nên nghĩ thêm rằng nếu phương trình đã cho mang tính chất
vô tỉ thì quả là bài toán không có gì hay ngoài tính phức tạp của nó.
Nhằm vào cái riêng ta phát hiện ra ngay các biểu thức dưới căn là các bình
phương đúng. Cụ thể là:


1
1
1

+ cos 4 x - cos 2 x =  cos 2 x - 
16
2
4


2


9
3
3
+ cos 4 x - cos 2 x =  cos 2 x - 
16
2
4


2

Như vậy tính vô tỉ trong bài toán chỉ còn là cái áo ngụy trang mà thôi, vì do

A2 | A | và khi đó phương trình được đưa về thực chất là:
cos2 x 

1
3 1
 cos2 x  
4
4 2

(*)

Phương trình (*) là phương trình lượng giác có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Do đặc điểm về dạng của phương trình có thể đặt:
t = cos2x

với 0≤ t ≤ 1

Khi đó ta có phương trình đối với t:

t

1
3 1
 t 
4
4 2

(**)

Cách suy nghĩ trên là hợp lý vì phương trình đại số nói chung dễ giải hơn
phương trình lượng giác.
Xem xét tiếp phương trình (**) nhìn phương trình dưới dạng chính quy thì nó
sẽ giải được bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp phân
khoảng.
Ta hãy nhìn cách khác đối với phương trình (**)

23

Xem t 

1
là độ dài đoạn thẳng nối điểm M có hoành độ t và điểm A có
4

hoành độ

1
3
; t  là độ dài đoạn thẳng nối điểm M và điểm B có hoành độ
4
4

3
1
, phương trình có dạng mới: MA + MB =
4
2
Bài toán mới được phát biểu lại là: Xác định vị trí điểm M trên trục số sao cho
tổng các khoảng cách từ M đến A và B bằng
Khi đó độ dài đoạn AB bằng

1
.
2

1
cho nên dễ thấy rằng bài toán được thỏa mãn

2

khi M chạy trong đoạn thẳng AB tức là :

1
3
≤t≤
4
4

Đến đây việc giải bài toán chỉ còn là các bước đơn giản.
Tóm lại trong việc luyện cách nhìn một bài toán hơn nhau ở chỗ là phải có
cách nhìn và cái nhìn đúng đắn. Đây chính là chìa khóa mở đường cho việc
tìm kiếm đường lối giải.
b) Rèn luyện khả năng xác định đường lối giải
Đây là khâu quyết định sự thành hay bại, hay hoặc dở của một bài toán. Vốn
kiến thức nhiều hay ít ảnh hưởng lớn đến việc rèn luyện khả năng xác định
phương hướng giải bài toán. Để làm tốt mặt này, việc trang bị nội dung của
chương trình đóng góp phần quan trọng.
Rèn luyện tốt khả năng nhìn một bài toán cộng với vốn kiến thức đầy đủ về
nội dung và phương pháp là điều kiện quan trọng góp phần đáng kể cho việc
rèn luyện khả năng xác định đường lối giải.
Việc xác định đường lối giải một bài toán trước hết và chủ yếu là phải xác
định đúng đắn thể loại của bài toán đó. Để làm tốt việc này cần nghiên cứu kỹ
bài toán đã cho mà chủ yếu căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đòi hỏi để khẳng
định đúng đắn thể loại của bài toán. Các đường lối giải của các bài toán nói

24

chung đã được xác định trong nội dung những tri thức về loại toán đó mà
người làm toán phải biết và phải nhớ. Cái khó khăn chủ yếu về mặt này là mỗi
bài toán nói chung tuy nằm trong một thể loại nào đó nhưng lại có những vẻ
riêng biệt của nó. Người làm toán phải biết nắm vững cái chung lại phải phát
hiện đúng cái đặc thù, cái riêng của mỗi bài toán để chọn được đường lối
thích hợp nhất.
Một mặt đáng chú ý là ở các bài toán có nhiều cách giải, người làm toán cần
có một cách đánh giá đúng ưu, nhược điểm của từng lời giải để rút ra bài học
đáng ghi nhớ cho việc giải toán.
c) Rèn luyện khả năng lựa chọn phương pháp và công cụ cũng như các
công thức biến đổi thích hợp.
Một mặt nữa cần lưu ý khi xác định đường lối giải một bài toán là phải gắn
liền việc xác định đường lối với việc lựa chọn phương pháp và công cụ. Có
những trường hợp bài toán đã cho có đường lối giải đúng, tuy vậy việc chọn
phương pháp và công cụ không thích hợp nên vẫn không đi tới đích của lời
giải được. Vì vậy, việc rèn luyện một tầm nhìn bao quát, bao gồm các việc:
xác định đường lối, chọn lựa công cụ và phương pháp để thực hiện đường lối
đó là cần thiết đối với người giải toán.
Việc lựa chọn phương pháp và công cụ có tính chất kỹ thuật. Tuy vậy tính
sáng tạo của học sinh có tác dụng đáng kể trong quá trình dẫn bài toán từ chỗ
đã có phương hướng đúng đến lời giải của bài toán . Chọn được phương pháp,
công cụ tối ưu thì có được lời giải tốt nhất. Điều này lại càng cần thiết đối với
các bài toán có nhiều lời giải. Quá trình phân tích và cách nhìn bài toán đóng
góp phần quan trọng trong công việc này. Nói một cách cụ thể hơn là: Vì có
những đặc điểm nào đó mà bài toán giải được bằng các phương pháp này hay
công cụ khác. Ngay cả việc sử dụng một công thức toán học cũng phải linh
hoạt, phải biết sử dụng công thức theo chiều nào, dưới dạng nào trong các
dạng vốn có của một công thức.

25