GHÉP các tụ điện đã TÍCH điện điện LƯỢNG DI CHUYỂN TRONG một đoạn MẠCH

CHUYÊN ĐỀ

GHÉP CÁC TỤ ĐIỆN ĐÃ TÍCH ĐIỆN
ĐIỆN LƯỢNG DI CHUYỂN TRONG MỘT ĐOẠN MẠCH
Lại Xuân Duy
Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên
Bái
I) CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Nếu ghép các tụ điện đã tích điện với nhau, các kết quả về điện tích
(đối với bộ tụ ghép không tích điện trước) không áp dụng được.
*) Bài toán về bộ tụ ghép được giải quyết trong trường hợp này
được giải quyết dựa vào hai loại phương trình:
+) Phương trình về hiệu điện thế:
- Ghép nối tiếp: U = U1 + U2 + . . .
- Ghép song song: U = U1 = U2 = . . .
- Với một mạch AB bất kì: UAB= UAM + UMN +UNB
+) Phương trình bảo toàn điện tích của hệ cô lập:

∑Q

i

= const

*) Điện lượng di chuyển qua một đoạn mạch được xác định bởi:
∆Q =

∑ Q −∑ Q
2

1

∑ Q : tổng điện tích trên các bản tụ nối với một đầu của đoạn
2

mạch lúc sau

∑ Q : tổng điện tích trên các bản tụ nối với một đầu của đoạn
1

mạch lúc trước


II) VẬN DỤNG
Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ 1: C1 = C2 =
3µF,

C 3 = 6µF, UAB = 18V. Ban đầu

C1
A

C2

khóa K ở vị trí (1) và trước khi mắc vào mạch

M C3
2
K

B

1

Hình vẽ 1

các tụ chữa tích điện.

a) Tìm hiệu điện thế mỗi tụ khi khóa K ở vị trí (1) và khi khóa K đã
chuyển sang vị trí (2).
b) Tính điện lượng di chuyển qua khóa K khi khóa K chuyển từ vị
trí (1) sang vị trí (2) và số electron dịch chuyển đến mỗi tụ điện.
Bài giải
a) Khi khóa K ở vị trí 1 (hình vẽ 1a) các tụ điện mắc theo sơ đồ:
(C1ntC3)//C2.
+
A

C1

C
+ 3-

-

C
+ 2-

+
B

A

K

Hình vẽ 1a

Vì C1ntC3:

C1

- M+

C
+ 2-

C3

B

K

Hình vẽ 1b
C13 =

C1C3
= 2µ F
C1 + C3

.

Điện tích và hiệu điện thế trên các tụ điện là:

Q1 = Q3 = Q13 = C13 U = 2.18 = 36µ C
U1 =

Q 36
Q1 36
=
= 12V ; U 3 = 3 =
= 6V
C1 3
C3 6

; U 2 = U = 18V → Q2 = C2U 2 = 3.18 = 48µC

Khi khóa K chuyển sang vị trí 2 (hình vẽ 1b). Giả sử dấu của điện
tích trên các bản tụ điện là không đổi có dấu như hình vẽ 1a,b. Gọi hiệu
điện thế và điện tích trên các tụ điện lần lượt là:
Ta có: U1' = U 2' (1) và U1' + U 3' = U = 18 (2).

U1' , U 2' ,U 3'

và

Q1' , Q2' , Q3' .


Mặt khác, áp dụng định luật bảo toàn điện tích đối với hệ 3 tụ điện
mắc thông qua khóa K, ta có:
Chú ý rằng

−Q1' − Q2' + Q3' = −Q1 − Q2 + Q3 (3)

Q1' = C1U1' ; Q2' = C2U 2' ; Q3' = C3U 3'

và thay các giá trị bằng số vào

phương trình (1), (2), (3) ta được hệ phương trình:
U1' = U 2'
 '
'
U1 + U 3 = U = 18

'
'
'
 −3U1 − 3U 2 + 6U 3 = −48

giải hệ ta được

Ta thấy rằng các đại lượng

U1' = 13V
Q1' = C1U1' = 39µ C
 '
 '
'
U 2 = 13V → Q2 = C2U 2 = 39 µC
 '
 '
'
U 3 = 5V

Q3 = C3U 3 = 30 µC

Q1' , Q2' , Q3' đều

dương chứng tỏ giả thiết về

dấu của các điện tích trên các bản tụ điện hình vẽ 1b là đúng.
b) Điện tích dịch chuyển qua khóa K qua điểm M.
Điện tích dịch chuyển qua khóa K chính là độ biến thiên điện tích
dịch chuyển qua điện tích Q2. Điện tích qua tụ C2 đã giảm đi một lượng:
∆Q = Q2 − Q2' = 48 − 39 = 9µ C

Như vậy có nghĩa là lượng điện tích 9 µC dịch chuyển qua khóa K
khi khóa K chuyển từ 1 sang 2 làm điện tích qua tụ C 1 tăng lên một
lượng

∆Q1 = Q1' − Q1 = 3µ C điện

. Tức là đã có

tích qua tụ C3 giảm một lượng

9.10−6
= 5, 625.1013
−19
1, 6.10

3.10−6
= 1,875.1013 electron
−19

1, 6.10

đến tụ

electron di chuyển qua khóa K và có

6.10−6
C1, 1, 6.10−19 = 3, 75.1013

electron đi đến tụ C3.

Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ 2: C1 = C4 =
6µF;

C 2 = C3 = 3µF. Ban đầu các tụ

điện chưa tích điện và khóa K mở. Đặt hiệu điện
thế UAB = U = 24V.

∆Q3 = Q3 − Q3' = 6µ C

C1

C2

M

A

B

K

C3
N

C4

Hình vẽ 2

a) Tính điện tích và hiệu điện thế trên mỗi tụ điện khi đóng khóa K.


b) Tính điện lượng dịch chuyển qua khóa K và số electron di
chuyển đến mỗi tụ điện.
Bài giải
a) Khi K mở, hệ tụ điện mắc theo sơ đồ như hình
vẽ 2a:

+

C1

C2

B

A
+

Vì (C1ntC2)//(C3ntC4) ta có:
C12 =

+

-

C3

C
+ 4-

-

Hình vẽ 2a

CC
C1C2
= 2 µ F ; C34 = 3 4 = 2 µ F
C1 + C2
C3 + C4

Vì ban đầu các tụ điện chưa tích điện nên:
Q12 = Q1 = Q2 = C12U = 48µC ; Q34 = Q3 = Q4 = C34U = 48µC .

Khi K đóng hệ tụ điện được mắc theo sơ đồ: (C 1//C3)nt(C2//C4). Giả
sử dấu điện tích của các tụ điện trước và sau khi đóng khóa K không đổi
như hình vẽ 2a,b. Gọi điện tích và hiệu điện thế
trên các bản tụ điện ngay sau khi đóng khóa K là
'

1

'
2

'
3

'
4

Q ,Q ,Q ,Q

và U ,U
'
1

'
2

'
3

,U , U

'
4

+

C1

A

.

+

Áp dụng định luật bảo toàn điện tích cho nút

C3

C
- M+ 2 K
-

+

C4

B
-

N

M ngay sau khi đóng khóa K và khi ổn định.
−Q1' + Q2' − Q3' + Q4' = −Q1 + Q2 − Q3 + Q4 = 0 .

Với

Q1' = C1U1' = 6U1' ; Q2' = C2U 2' = 3U 2' ; Q3' = C3U 3' = 3U 3' ; Q4' = C4U 4' = 6U 4' .

Và ta có hệ phương trình sau:
U1' = U 3'
 '
'
U 2 = U 4
 '
giải
'
U1 + U 2 = 24
 −6U ' + 3U ' − 3U ' + 6U ' = 0
1
2
3
4


Ta nhận thấy

hệ ta được

Q1' , Q2' , Q3' , Q4' đều

U1' = 12V
Q1' = C1U1' = 72 µC
 '
 '
'
U 2 = 12V

Q2 = C2U 2 = 36 µC
→ '
 '
'
U 3 = 12V
Q3 = C3U 3 = 36 µC
U ' = 12V
Q ' = C U ' = 72 µC
 4
 4
4 4

dương, chứng tỏ giả thiết về dấu điện

tích trên các tụ như hình vẽ 2b là đúng.


b) Điện tích dịch chuyển qua khóa K chính là độ biến thiên điện tích qua
hệ 2 tụ (C1 và C2) hoặc (C3 và C4).
∆Q = ( −Q1' + Q2' ) − (−Q1 + Q2 ) = (−72 + 36) − (−48 + 48) = −36 µC

Dấu (-) chứng tỏ electron dịch chuyển qua khóa K từ N đến M.
Như vậy có nghĩa là, qua tụ C1, C2, C3, C4 đã thay đổi những lượng:
∆Q1 = −Q1' − (−Q1 ) = −72 + 48 = −24 µC

'
 ∆Q2 = Q2 − Q2 = 36 − 48 = −12 µC

'
 ∆Q3 = −Q3 − (−Q3 ) = −36 + 48 = 12 µC

 ∆Q = Q ' − Q = 72 − 48 = 24 µC
 4
4
4

Tức là đã có

24.10−6
= 1,5.1014 electron
−19
1, 6.10

electron đi tới tụ C2,
24.10−6
= 1,5.1014 electron
−19
1, 6.10

đi tới tụ C1,

12.10−6
= 0, 75.1014 electron
−19
1, 6.10

12.10−6
= 0, 75.1014
−19
1, 6.10

ra khỏi tụ C3 và

đi ra khỏi tụ C4.

Bài 3: Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ 3. Biết nguồn

C2

C1

có suất điện động E, các tụ điện C 3 = 2C1 = 2C2 = 2C.
Ban đầu khóa K đóng, khóa K1 và K2 ngắt. Sau khi tụ

C3

K2

C1 và C2 nạp điện xong thì ngắt khóa K và đóng khóa

E

K1. Khi trạng thái cân bằng tĩnh điện được thiết lập

Hình vẽ 3

K1
K

trong mạch thì ngắt khóa K1 và đóng khóa K2. Hỏi điện lượng sau cùng
trên mỗi tụ điện bằng bao nhiêu?

Bài giải
Sau khi đóng K (K1, K2 vẫn ngắt) C1 và C2 mắc nối tiếp hình vẽ 3a,
điện lượng của chúng bằng nhau.
1
Q1 = Q2 = CE (1)
2


Sau khi ngắt K, đóng K1, C1 và C3 tạo thành mạch kín hình vẽ 3b.
Giả thiết điện tích của chúng là
+

C2

+

-

C1

C3

K2

Q1' , Q3' ,
+

-

C2

K2

K1
K

E

C1

+

-

+
C3
K1

C2

K2

C1

-

K

E
Hình vẽ 3c

Hình vẽ 3b

1
Q1' + Q3' = Q1 = CE (2);
2

+

-

+
C3
K1

K

E

Hình vẽ 3a

Ta có:

+

-

Q'

Q'

mặt khác U1' = U 3' → C1 = 2C3 (3)

1
1
Q1' = CE ; Q3' = CE .
6
3

Từ (2) và (3) ta được:

Sau khi ngắt K1, đóng K2 thì C2 và C3 tạo thành mạch kín hình vẽ
3c. Gọi điện lượng cuối cùng của tụ là

Q1'' , Q2'' , Q3'' ,

giả sử dấu của điện tích

của tụ C3 không đổi. Ta có:
1
Q2'' − Q3'' = Q2 − Q3' = CE (4)
6

và

Giải hệ (4), (5) ta được:
Q3''

U 2'' = U 3'' →
Q1'' =

Q ''
Q2''
=− 3
C
2C

1
1
1
CE ; Q3'' = − CE ; Q2'' = Q1' = CE .
18
9
6

mang giá trị âm chứng tỏ dấu của

Bài 4: Tính điệnClượng
1

M

mạch điện hình vẽ 4a,b?
C3

∆q chuyển
C2

E

a)

Q3'' trái

với giả thiết ban đầu.

qua điện kế G khi đóng khóa K trên
C1

G

N

(5)

C4

K

M
C2

K
E

Hình vẽ 4

N

b)

G
E


Bài giải
Xét sơ đồ hình vẽ 4a. Sau khi đóng khóa K, các tụ
(C1//C3)nt(C2//C4). Vì ban đầu các tụ điện chưa tích điện.
Điện dung tương đương của bộ tụ điện là:

Ta có:

C=

(C1 + C3 )(C2 + C4 )
C1 + C2 + C3 + C4

U1 = U 3 = U13 =

Q13
C2 + C 4
C 2 + C4
=
E → Q1 = C1U1 = C1
E
C13 C1 + C2 + C3 + C4
C1 + C2 + C3 + C4

U 2 = U 4 = U 24 =

C1 + C3
C1 + C3
Q24
=
E → Q2 = C2U 2 = C2
E
C24 C1 + C2 + C3 + C4
C1 + C2 + C3 + C4

Điện tích dịch chuyển qua điện kế G chính là độ biến thiên điện
tích qua tụ C1 và C2 trước và sau khi đóng khóa K, tức là (do các tụ C 1
và C2 ban đầu chưa tích điện):
∆Q = −Q2 + Q1 =

C1C4 − C2C3
E
C1 + C2 + C3 + C4

+ Nếu

C1C4 > C2C3 → ∆Q > 0 dòng

electron di chuyển từ M đến N.

+ Nếu

C1C4 < C2C3 → ∆Q < 0 dòng

electron di chuyển từ N đến M.

Xét sơ đồ hình vẽ 4b. Khi khóa K mở C1nối tiếp với C2, điện tích
trên tụ C1 và C2 là:

Q1 = Q2 = Q12 = C12 E =

C1C2
E
C1 + C2 .

Sau khi đóng khóa K, với giả thiết dấu các điện tích trên tụ điện
không đổi.


Ta có hệ phương trình:

U1' + U 2' = E
U1' = 0
Q1' = 0
→ '
→ '
 '
U1 = E − E = 0 U 2 = E Q2 = C2 E

Điện lượng dịch chuyển qua điện kế G chính là biến thiên điện tích
qua tụ C1 và C2 trước và sau khi đóng khóa K, tức là:
∆Q = ( −Q1' + Q2' ) − (−Q1 + Q2 ) = Q2' = C2 E .

Bài 5: Cho mạch điện như hình vẽ 5: U = 60V (không đổi), C1 = 20µF,
C2 = 10µF.
a) Ban đầu các tụ điện chưa tích điện. Khóa K ở

vị trí b, chuyển sang a rồi lại về b. Tính điện lượng
qua R.

a
+

U

C1

b
K

-

b) Sau đó chuyển K sang a rồi lại về b. Tính

C2
R

Hình vẽ 5

điện lượng qua R trong lần nạp thứ 2.
c) Tính tổng điện lượng qua R sau n lần tích điện như trên.
d) Tính điện tích của C2 sau một số lần rất lớn lần tích điện như
trên.
Bài giải
a) Lần 1, khi K ở chốt a tụ C1 tích điện Q1 = C1U.
Khi chuyển K từ chốt a sáng chốt b lần 1 điện tích trên các tụ điện
là:


C12
Q
=
U
 Q11 Q21
 11
=
C1 + C2
U11 = U 21


→  C1 C2
→

Q11 + Q21 = C1U
Q + Q = C U
Q = C1C2 U
 11
21
1
 21 C1 + C2

Điện lượng dịch chuyển qua điện trở R là:
∆Q1 = Q1 − Q11 =

C2
C1U = 400 µC
C1 + C2

b) Khi chuyển K từ chốt a sang chốt b lần 2 ta có:

C12
C2
 Q12 Q22
=
Q12 =
U (1 +
)
U12 = U 22

C
C2
C1 + C2
C1 + C2

 1

→
→
C1C2

Q12 + Q22 = C1U + C + C U
Q + Q = C U + C1C2 U
Q = C1C2 U (1 + C2 )
12
22
1


1
2

 22 C1 + C2
C1 + C2
C1 + C2

Điện lượng dịch chuyển qua R lần 2 là:
2

 C2 
C12
C2
400
∆Q2 = Q1 − Q12 = C1U −
U (1 +
)=
µC
÷ C1U =
C1 + C2
C1 + C2  C1 + C2 
3

c) Sau khi chuyển K sang chốt b lần 3 ta được:
1

2

 C2   C 2 
C12

Q13 =
U (1 + 
÷ +
÷)
C1 + C2
 C1 + C2   C1 + C2 

1

và

Điện lượng dịch chuyển qua R lần 3 là:

C1
C2 1
C2 2 
C2 3
∆Q3 = Q1 − Q13 = C1U 1 −
(1 + (
) +(
) ) = (
) C1U
C1 + C2
C1 + C2  C1 + C2
 C1 + C2

Sau khi chuyển K sang chốt b lần thứ n ta được:
1
n −1


 C2 
 C2 
C12
Q1n =
U (1 + 
÷ + ... + 
÷ )
C1 + C2

 C1 + C2 
 C1 + C2 

1
n −1
 C2 
 C2 

C1C2
U (1 + 
÷ + ... + 
÷ )
Q2 n =
C1 + C2
 C1 + C2 
 C1 + C2 


Điện lượng dịch chuyển qua R lần n là:
∆Qn =


C1C2
C1
C2 1
C2 n − 2 
C2 n
U 1 −
(1 + (
) + ... + (
) ) = (
) C1U
C1 + C2  C1 + C2
C1 + C2
C1 + C2
 C1 + C2

Vậy tổng điện lượng qua R sau n lần K chuyển sang chốt b là:
∆Q = ∆Q1 + ∆Q2 + ... + ∆Qn =
= (1 − (

d) Với

C2
C2
C2 2
C2 n −1
(1 +
+(
) + ... + (
) )C1U

C1 + C2
C1 + C2 C1 + C2
C1 + C2

C2 n
1
) )C2U = (1 − n ).6.10 −4 C
C1 + C2
3

n → ∞ điện

tích trên tụ C2 là:

2

 C2   C2 
CC
Q23 = 1 2 U (1 + 
÷ +
÷)
C1 + C2
 C1 + C2   C1 + C2 


n −1

 C2 
1− 
1

n −1
÷
 C2 
 C2 
CC
C1C2
 C1 + C2 
Q2 n = 1 2 U (1 + 
+
...
+
)
=
U
÷

÷
C2
C1 + C2
C1 + C2
 C1 + C2 
 C1 + C2 
1−
C1 + C2

= C2U = 6.10−4 C

III) TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải toán vật lý 11 tập 1.
2. Kiến thức cơ bản và nâng cao vật lý tập 2.

3. Ôn tập vật lý 11.
4. Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý THPT – Bài tập điện học –
Quang học.
5. Bài tập vật lý đại cương tập 2.