Khoá luận tốt nghiệp lý thyyết chuyển pha loại II trong mô hình ginzbur landau hai tham số trật tự

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI
» HỌC
» s u PHẠM
» HÀ NỘI
• 2
KHOA: VẬT LÝ

VŨ THỊ LAN
•

LÝ THUYẾT CHUYẺN PHA LOẠI II TRONG MÔ
HÌNH GINZBURG - LANDAU HAI THAM SỐ
TRẬT T ự

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

T.s NGUYỄN TRÍ LÂN

HÀ NỘI 2015


i

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới T i ế n sĩ N g u y ễ n T r í L â n - Viện
Vật lý thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Thầy đã hướng dẫn tận
tình, đầy hiệu quả, thường xuyên chỉ bảo. giúp đỡ, động viên, tạo môi trường làm việc

tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài.
Tôi xin chân th àn h cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội II, các thầy cô trong
khoa vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và làm luận
văn tốt nghiệp.
Xin cảm ơn các thầy cô trong Viện Vật Lí đã giúp đỡ, đóng góp, cung cấp cho tôi những
kiến thức bổ ích về vấn đề nghiên cứu.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình và
bạn bè đã cổ vũ động viên, tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt thời gian học tập vả làm
khóa luận.

H à N ội, tỉiáng 05 năm 20ỉ 5
Tác giả

Vũ Thị Lan


ii

LỜI C A M Đ O A N

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến
sĩ Nguyễn Trí Lân. Luận văn không hề trùng lặp với những đề tài khác.

H à N ội, tháng 05 năm 2015
Tác giả

Vũ Thị Lan


Mục lục

Lời cảm ơ n ............................................................................................................................................................................

i

Lời cam đ o a n ......................................................................................................................................................................

ii

Mục

ii

l ụ c .....................................................................................................................................................................................

Mở đầu

1

Lý do chọn đề t à i ................................................................................................................................................................

1

Mục đích nghiên c ứ u .....................................................................................................................................................

2

Nhiệm vụ nghiên c ứ u .....................................................................................................................................................

2

Đối tượng nghiên c ứ u .....................................................................................................................................................

3

Phương pháp nghiên c ứ u ...............................................................................................................................................

3

Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

4

1.1

Hiện tượng chuyển pha.......................................................................................................................................

4

1.2

Phân loại chuyển pha...........................................................................................................................................

7

1.3

Các lý thuyết chuyển pha.................................................................................................................................

8

1.3.1
1.4

Lý thuyết chuyển pha của Landau.................................................................................................

Lý thuyết chuyển pha trong hệphức hợp................................................................................................ 13
1.4.1

Lý thuyết Landau trong hệ phức hợp............................................................................................ 13

1.4.2

Lý thuyết Ginzburg - Landau...............................................................................................................16

Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau

18

2.1

Tham số trật t ự ...................................................................................................................................................18

2.2

Phiếm hàm Ginzburg - Landau một tham số trật t ự ................................................................19
2.2.1

2.3

9

Các nghiệm không đồng đều của lý thuyết Ginzburg Landau

.............................20

Phiếm hàm Ginzburg - Landau hai tham số trật t ự ....................................................................... 25
2.3.1

“ Một hàm sóng vĩ mô” ..........................................................................................................................25

2.3.2

Trật tự tầm xa ngoài đường chéo và các trạng thái kếth ợ p ....................................... 27

2.3.3

Tính chất cứng pha và tính siêu chảy (Phase rigidity

2.3.4

andsuper flow)

. . .

Các xoáy và tính on định tôpô của siêu chảy (Vortices and topological
stability of s u p e r f l o w ) ........................................................................................................................ 33

31

ii

Mục lục
2.4 Một số ứng dụng của lý
số trật tự đối vói các hệ

3

A

thuyết chuyển pha bậc haiGinzburg - Landau hai tham
phức hợp.......................................................................................................... 35

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38

Tích phân Gaussian và tích phân phiếm hàm

39


M ở đầu

Lí do chọn đề tài

Hiện tượng chuyển pha có thể được tìm thấy khắp nơi trong tự nhiên. Các pha khác nhau
của nước HọO (hơi nước, lỏng và băng) được biết đến thường xuyên nhất cũng với sự
biến đổi qua lại giữa các pha này trong các vận động của tự nhiên. Những thay đổi của
các pha (lược gọi là chuyên pha. Các hiện tượng chuyên pha có ý nghĩa quan trọng không
chỉ trong các quá trình vận động của tự nhiên, mả còn trong cả các ngliảnh công nghiệp.
Những ví dụ hàng ngày về hiện tượng chuyển pha có thể được kể tới bao gồm sự bay hơi
của chất lỏng, sự hình thành của các khối băng, lớp nước dạng lỏng trên các bề m ặt, sự
chế tạo các vật liệu khác nhau trong công nghiệp luyện kim ...
Nghiên cứu chuyển pha lả một chủ đề có tầm quan trọng đặc biệt cung cấp các hiểu
biết sâu sắc về tự nhiên và về xã hội. Trong nhiều th ập k}r, các nỗ lực nghiên cứu đã,
đang và sẽ được thực hiện nhằm phát triển và thúc đẩy nhận thức về hiện tượng chuyển
pha trong các khoa học truyền thống và trong các khoa học liên ngành mới nổi trên các
khía cạnh lý thuyết vả thực nghiệm.
về mặt lịch sử. các nghiên cứu về hiện tượng chuyên pha được bắt đầu từ những nghiên
cứu vật lý. Sự hiểu biết mang tính vi mô tiên phong về hiện tượng chuyển pha được thiết
lập bởi Van Der Waals, người đã vào năm (1873) đã trình bày một lý thuyết nguyên thủy
về sự chuyển pha khí - lỏng. Trong luận án tiến sĩ của mình, ông đã trình bày phương
trình trạng thái Van Der Waals, và liên kết các thông số của phương trình với một mô
hình phân tử. Mặc dù đó mới chỉ là nỗ lực đầu tiên, nghiên cứu của Van Der Waals đặt
ra những ý tưởng cơ bản mà sự hiểu biết lý thuyết hiện đại lấy làm nền tảng. Sau đó,
Landau (1937) đã đề xuất một cách tiếp cận (không hoàn toàn vi mô) đặc biệt có ý nghĩa
đồi với việc hiểu biết về chuyển pha bậc hai và đối với sự phát triển sau này của lý thuyết
chuyên pha. Một bước phát triển tối quan trọng được (lưa ra do Wilson (1971) và những
người khác, những người đã phát triến một tập hợp m ạnh mẽ và thống nhất các khái
niệm (về cơ bản, ý tưởng về mở rộng quy mô gần điểm tới hạn và nhóm tái chuẩn hoá)
đối với chuyển pha bậc hai.
Vê m ặt lý thuyết vi mô, chuyển pha bậc một chưa có được những hiểu biết đầy đủ như
chuyển pha bậc hai, và các nghiên cứu hiện tại hầu như chỉ dựa trên lý thuyết trường
trung bình, mà trong khuôn khổ cuả luận văn sẽ chỉ được đề cập trong lý thuyết chung

1


M ở đầu

về chuyển pha.
Hiện tượng chuyển pha bậc hai xảy ra khi một trạng thái mới với đối xứng rút gọn phát
triển một cách liên tục từ trạng thái m ất trậ t tự tại Iihiệt độ cao. P ha trật tự mới hình
thành có tính đối xứng thấp hơn trong mô tả vi mô ban đầu

hiện tượng phá vỡ đối xứng

tự phát. Theo hình thức luận Landau, để mô tả trạng thái trậ t tự, một vài tham số trậ t
tự vĩ mô được định nghĩa nhằm phản ánh các đặc trưng và cường độ của tính đối xứng
bị phá vỡ. Hệ thức năng lượng tự do phụ thuộc vào tham số trậ t tự, do vậy, được gọi là
phiếm hàm năng lượng Ginzburg

Landau, ghi nhận ý tưởng nguyên thuỷ của Landau

và Ginzburg trong lý thuyết chuyên pha bậc hai.
Lý thuyết chuyên pha bậc hai Ginzburg
cứu chuyển pha kim loại

Landau đặc biệt thành công trong các nghiên

siêu dẫn, thuận từ

sắt từ, ngưng tụ Bose - Einstein, lỏng

rắn trong các vật liệu hai chiều, tinh thể lỏng, ... Những nghiên cứu gần đây trong các
khoa học liên ngành và vật lý hệ phức hợp cũng đã chỉ ra tính hiệu quả của các ứng dụng
lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg

Laudau trong việc mô tả hàng loạt hiện tượng

chuyển pha và tính tới hạn không chỉ trong các khoa học tự nhiên mà còn cả trong các
khoa học kinh tế

xã hội, những lĩnh vực dường như không tìm được các liên hệ trực

tiếp với vật lý.
Một cách tổng quát, các hiện tượng chuyến pha của hệ phức hợp trong vật lý nói riêng
và trong tự nhiên và xã hội nói chung (tòi hỏi được mô tả một cách đồng thời bởi nhiều
tham số trậ t tự (vô hướng và có hướng), phản ánh nhiều pha trậ t tự đồng xuất hiện và
đồng tồn tại trong các hệ phức hợp. Do vậy, việc nghiên cứu lý thuyết chuyển pha bậc
hai Ginzburg - Landau với nhiều tham số tham số trậ t tự được đặt ra như một đòi hỏi
tấ t yếu của sự p h á t triển lý thuyết tổng quát về chuyển pha.
Vì những lí do trên, đề tài ”L ý th u yế t chu yên pha loại hai trong m ô hỉnh

Ginzburg - La n d a u hai th a m số tr ậ t tự ” được chọn làm khóa luận tốt nghiệp của
sinh viên Vũ Thị Lan.

Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu m ột cách tổng quát về lý thuyết chuyển pha.
• Tìm hiếu ứng (lụng của lý thuyết chuyên pha bậc hai Ginzburg

Landau trong

nghiên cứu các hệ phức hợp nói chung và các hệ vật lý nói riêng.

Nhiệm vụ nghiên cứu

• Xây (lựng phiếm hàm Ginzburg

Landau hai tham số trậ t tự trong một số hệ phức

hợp.

2


M ở đầu

• Thực hiện một số tính toán giải tích đồi với phiếm hàm Ginzburg

Landau hai

tham số trậ t tự tổng quát.

Đối tượng nghiên cứu

• Lý thuyết chuyên pha bậc hai Ginzburg
• Phiếm hàm Ginzburg

Landau.

Landau hai tham số trậ t tự.

• Tính tới hạn và các hiện trượng tập thể trong các hệ phức hợp.

Phương pháp nghiên cứu

• ứ n g dụng các công cụ vật lý lý thuyết hiện đại như lý thuyết hệ nhiều hạt, lý thuyết
các hệ phức hợp, vật lý thống kê, ...
• Sử dụng các phần mềm tính số và xây dựng đồ thị thể hiện các kết quả giải tích thu
được trong và sau quá trình tính toán giải tích đồi với các đối tượng thuộc phạm vi
nghiên cứu.
• Thảo luận, trao (toi với những nhà nghiên cứu cỏ cùng đối tượng nghiên cứu nhằm
làm rõ và nâng cao nhận thức và kỹ năng trong lĩnh vực nghiên cứu

3


CHƯƠNG 1

Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

- SECTION 1.1 -------------------------------------------------------------------

Hiện tượng chuyển pha.

Nghiên cứu hiện tượng tới hạn và sự chuyển pha là một phần quan trọng trong vật lý vật
chất Iigưng tụ hiện đại. Sự chuyến pha liên q u a il tới sự thay đổi pha của một hệ. dẫn tới
sự thay đối của những tham số bên ngoài như nhiệt độ. (lẫn điện... Đặc biệt, sự chuyến
pha lượng tử là sự chuyến tiếp khi nhiệt độ giảm đến nhiệt độ nào đó thì (tiện trở của hệ
tiến về 0, và quá trình chuyển pha của hệ được biểu diễn bằng một hàm Hamilton. Qúa
trình chuyển pha của hệ khi đi qua điểm tới hạn, thì có một số tính chất của chúng như độ
dài tương quan (correlation length), độ dài kết hợp, nhiệt dung riêng và độ cảm từ trỏ lên

phân kỳ. Sự chuyển pha liên tục của hệ được miêu tả trong lý thuyết Ginzburg-Landau.
Đầu tiên chúng ta nghiên cứu về hiện tượng chuyển pha từ chất khí sang chất lỏng (
hay còn gọi là hiện tượng ngưng tụ của chất khí ). Các giai đoạn chuyển pha của hiện
tương này được mô tả bằng biểu đồ pha như hình vẽ
Trong đồ thị (P , T ), hiện tượng chuyên pha được mô tả theo đường cong có (lạng một
nửa hình Parabol và đi qua điểm tới hạn có tọa độ là (TC, P C).
Trong đồ thị ( P , v — V Ị N ) quá trình chuyến pha (liễn ra trong một khoảng
ngắn, khi hỗn hợp chất khí và chất lỏng có mật độ

pg = 1/vg,
và ở nhiệt độ

T < Tc.
Không phân biệt được mật độ chất khí và chất lỏng khi ở gần Tc,

4

thời gian


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

p

Hình 1.1.1.: Chuyển pha Lỏng - Khí

Hình 1.1.2.: Chuyển pha Lỏng - Khí

5

Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

tức là ,

pl ->• pg,
giống như ,

Đường đẳng nhiệt là đường biểu diễn sự phụ thuộc của áp suất vào thể tích sẽ thẳng
hơn nếu ở gần Tc. Điều này có nghĩa

1 ỠV

k,T = - — — ,
V dP
cũng như

T

TỊ.

Làm thế nào để phân biệt giai đoạn chuyển pha trong chất thuận từ và trong chất sắt
từ trong Sắt. Những vật liệu này sẽ trở thành nam châm tự nhiên khi nó ở nhiệt độ Curie
”7V’. Đường biểu diễn cường độ từ trường đi qua điểm này bằng 0, giống với đường đắng
nhiệt. Moomen từ trường M ( H ) có nhiều điểm chung giống như hiện tượng ngưng tụ.
Hình dạng của biêu đồ pha rất đơn giản bởi vì các (tối xứng H — y —H. ta biết rằng có
điểm tới hạn khi H c = M c = 0.
Bằng trực giác ta thấy rằng chuyến pha sắt. từ và chuyến pha lỏng khí là khác nhau.
Chuyển pha sắt từ mà chúng ta quan sát được là chuyển pha loại I I , khối lượng m đóng
vai trò là tham số trậ t tự, hiện tượng chuyển pha diễn ra liên tục trong quá trình chuyển

pha. Mặt khác, khi chúng ta đun sôi nước ta thấy nước chuyển đổi từ chất lỏng sang chất
khí gọi lả chuyển pha loại / , tham số trậ t tự là m ật độ xác định và mật độ tại điểm tới
hạn, p — pc có bước nhảy tại điểm tới hạn và kèm theo một nhiệt lượng (entropy của hệ

Q l = TCA S ).
Tuy nhiên chúng ta có thể nhận thấy sự khác nhau trong hai trường lìỢp trên bằng
thực nghiệm:
Đối với chất sắt từ giá trị cường độ từ trường

6


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

H = 0.
Ờ nhiệt độ ,

T > Tc,
mooinen từ trung bình ,

M = 0.
Đối với nhiệt (tộ .

T < Tc,
rnoornen từ tăng liên tục từ 0. Đây là chuyến pha loại I I .
Còn đối với chất lỏng nhiệt độ không phụ thuộc vào áp suất mà phụ thuộc vào m ật độ.
Đây là chuyển pha loại I .
- SECTION 1.2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phân loại chuyển pha.

Bây giờ chúng ta xét sự chuyến pha, tức là sự chuyến trạng thái của hệ từ pha

I1Ọ

qua

pha kia. Có hai loại chuyến pha, lả chuyển pha loại một và chuyến pha loại hai.
Chuyển pha loại I: Chuyển pha loại một là chuyển pha trong đó có các đại lượng quảng
tính như thể tích, nội năng, entropy,... biến đổi gián đoạn. Vì các đại lượng như thế đều
là đạo hàm bậc nhất của các hàm thế nhiệt động lực nên cũng có thể nói chuyển pha
loại một là chuyển pha trong đó đạo hàm bậc nhất của các hàm thế nhiệt động lực là
gián đoạn, còn bản thân các hàm thế thì vẫn liên tục. Sự tan chảy của băng hoặc nước

7


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

từ trạng thái lỏng sang trạng thái hơi đều là chuyển pha loại ỉ.
Chuyển pha loại II: Các loại chuyển pha mà khi năng lượng của hệ thay đổi liên tục
nhưng đạo hàm của năng lượng theo nhiệt độ thay đổi kliông liên tục. Nhớ rằng nhiệt
dung Cy vả Cp lả đạo hàm của năng lượng theo nhiệt độ.

Cv = (ỡf)

k

và
r

p

= ( d- ị \ ,
\ ỹ T ) 'p

Vì thế chuyển pha loại I I là nhiệt dung ( hoặc nhiệt dung riêng ) không liên tục.

Hình 4. chuyến pha loại 1 và chuyển pha loại 2
Thí dụ đặc trưng nhất về chuyển pha loại hai lả chuyến pha từ chất (lẫn điện thường
sang chất siêu clẫn. Như chúng ta đã biết, ở nhiệt độ đủ thấp, trong rất nhiều kim loại
xảy ra hiện tượng chuyển pha sang rạng thái mới, trạng thái siêu dẫn. Ớ trạng thái này
các tính chất nhiệt động và điện tử của kim loại khác xa so với tính chất của nó ở trạng
thái thường. Có thể hầu hết các vấn đề này là, khi kim loại bị làm lạnh xuống dưới một
nhiệt độ tới hạn xác điịnh nào đó, nó chấm dứt ngay lập tức sự có m ặt của điện trở đối
với dòng điện..., không có sự tiêu hao năng lưựng xảy ra khi dòng đi qua vật siêu dẫn.
Chuyển pha từ trạng thái thường sang trạng thái siêu dẫn là chuyển pha loại I I với đặc
trưng là nhiệt dung của kim loại có bước nhảy tại nhiệt độ chuyến pha.
- SECTION 1.3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các lý thuyết chuyển pha.

Các định luật đơn lẻ trong vùng lân cận của điểm tới hạn được đặc trưng bởi tập hợp
các hàm số mũ. Các hàm số mũ mô tả hiện tượng chuyển pha là các hàm tích phân nhiệt
động lực học. Đáng chú ý là một số quá trình chuyên pha khác nhau như chuyến pha chất

8


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

lỏng sang chất khí và chuyển pha sắt từ có thể được mô tả bằng cùng một hàm mũ tổng

quát.
Hàm mũ xác định luật tới hạn có thể được xác định bằng lý thuyết xác suất thống kê.
Đầu tiên ta xét hàm m ật độ xác suất theo hàm số mũ như sau:

P ( x ) = ae~ax,
Với

X <

o,

ta có:

(x) = 1/ a , {x2) = 2Ịa.
vì vậy xác định một hàm phân bố điển hình là I/o,, ta được:

P(x) = —
v '
x 1+li
Với

/V, < 1, (x) —> oo,
nó không bị chặn, đối với

/y, < 2, (x) —> oo.
bị chặn nên nó bị giới hạn.
- SUBSECTION 1.3.1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lỷ thuyết chuyển pha của Landau.
- SUBSUBSECTION 1.3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ánh hưởng của thế nhiệt động học:

Tại điểm tới hạn (là điểm ở đó xảy ra liiện tượng chuyển pha liên tục vói tham số không
gian) các tham số biến mất trong quá trình liên tục, khi đó cấu trúc của quá trình chuyển
pha đối xứng. Trong lý thuyết Landau tham số trậ t tự tp được coi là một biến vĩ mô, mô

9


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

tả một trạng thái cân bằng chưa đầy đủ. giá trị cân bằng được tìm thấy nhỏ đúng bằng
thế nhiệt động học
Xét hệ kín tại điểm giới hạn thì các tham số trậ t tự là nhỏ nhưng xa điểm tới hạn hệ
có thể được giả định là một hàm đồng nhất và thế nhiệt động lực học là hàm của các
tham số thứ tự và các biến trạng thái. Thế nhiệt động lực học được khai triển bằng hàm
của tham số trậ t tự và các biến số trạng thái ban đầu là nhiệt độ và áp suất như sau:

G (p , T, ip) = Go (P , T ) + a

Các hạn tuyến tính sẽ biến m ất trong trường hợp tham so vector của thế

(1.3.1)
I1Ộ

năng

Gibbs biến đối. Trong biếu thức thứ ba dành cho quá trình chuyên pha liên tục, quá trình
chuyển pha liên tục tồn tại trong cả biểu thức thứ hai và thứ tư. Đe đảm bảo tồn tại quá
tr ì n h c â n b ằ n g th ì B > , và, m ặ c d ù h à m c ủ a p và T đ ư ợ c coi là k h ô n g đổi. với A > 0 giá

trị tối thiểu của 2.3.1 là (p = 0. Tuy nhiên trong trường hợp A < 0 . Kì dị không biến
m ất mà ở giữa hai giá trị tối thiểu. Đường biểu diễn giá trị A — 0 là đường đi qua điểm
chuyển pha. Các giá trị nằm trên đường chuyển pha biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ là
A = a(T — Tc).
- SUBSUBSECTION 1.3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tham số sắt từ:

Y tưỏng cơ bản của lý tlmyen Landau (lược chứng minh trong các ví (lụ về chuyến pha
sắt từ. Biếu hiện từ hóa bằng m nhấn m ạnh đó là th am số trậ t tự biếu biễn giá trị của
quá trình từ hóa cân bằng. Trong đó có mối liên hệ:

d ư sys = T d S + ị io V h .d m ,

(1.3.2)

d Faya = —S d T + tioVh.dm,

(1.3.3)

đại lượng fi, — h(T, m) là đạo hàm của thế nhiệt động lực học theo các tham số trậ t tự.
Trong quá trình cân bằng.

I1Ó

được biếu (liễn bằng cưòng độ từ trường H . Tham số trậ t

tự của năng lượng tự do phụ thuộc và T và m . .. Fsyÿ = F SÿS(T, m). Thế nội năng Gibbs
hàm sắt từ là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của các tham số trật tự:

G sys (T, H \ m) = Fsys (T, m) - ạ 0V H . m .

(1.3.4)

Chọn m nhỏ

10


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

G : ỒGỊỗĩìì, = ỖFsyaỊỏm — ụ,0V H = Ị-IqV ỉĩ — fi0V H —>■0.
Trong quá trình cân bằng chúng ta có h (T, m ) = H và trong đó m = m (T, H ) = M ì ầ
moomen từ hóa trong quá trình cân bằng và lấy đạo hàm ta được kết quả

dGgys = —S d T - ị i o V M A H .

(1.3.5)

Năng lượng phụ thuộc vào tham số trậ t tự m =1 711 I . Khi đó có thế I11 Ở rộng F

F (T, m) = Ftì (T ) + a 2 (T) m 2 H— ữ 4 (T) m 4 + ....

(1.3.6)

Gỉa sử

a 2 {T)

= a (T — Tc ) ;

a A{T)

= b = const > 0

a> 0

(1.3.7)

Hình biếu (liễn sự phụ thuộc năng lượng tự (lo vào tliam số tr ậ t tự trong lý thuyết của
Landau.
Đầu tiên H = 0 giá trị cực tiểu của G là giá trị cực tiểu của F. Từ điều kiện:

-í
—— = 2a (T — T c ) m + 2ỏm = 0,
ốm
từ đây độ cân bằng từ hóa (tược tìm thấy là:

T > T c{ .

M o (T)

=0,

M „ (T)

= ± ự l (Tc - T ) ,

(1-3.8)

T < T ,c

Mối quan hệ được xác định bằng hàm mũ giới hạn Ị3, nó mô tả tham số trậ t tự ọ giống
như hàm biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trậ t tự vào nhiệt độ của điểm tới hạn


T < T C, H = 0

(1.3.9)

11


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

Như vậy, trong lý thuyết Landau ß =
Moomen từ hóa M

q (T)

biểu diễn sự phụ thuộc trong hình .Gía trị năng lượng tự do

tại điểm có giá trị M 0 như sau

F ( T , Mo) = F q (T) ;T > Tc
(1.3.10)
F (T, M o) = F0 (T ) - ^ { T c - T ) 2 ;T < Tc
r SUBSUBSECTION 1.3

Năng lượng tự do Landau

Lý thuyết Landau tập trung vào miền ĩp nhỏ, khai triển năng lượng tự do của hệ nhiều
hạt như một đa thức đơn giản:

1
T
h [’/>] = y F m =

U

(1.3.11)

• Năng lượng tự do Landau mô tả sự phụ thuộc chủ yếu của năng lượng tự do toàn
phần vào 1 ‘p. Năng lượng tự do toàn phần được cho bởi

ftoi = fn ( T ) + f M

+ oiip*},

trong đó f n là năng lượng của ’’trạng thái thường” không kể đến trậ t tự tầm xa.
• Đối với tham số trậ t tự Ising, cả hamiltonian và năng lượng tự do đều là hàm chẵn
của ĩp

= H[—ĩp]. Ta nói rằng hệ sở hữu một “tính đối xứng z 2 toàn p h ầ n ”

(global Z -2 symmetry), bởi vì Hamiltonian bất biến đối với phép biến đổi của nhóm
Zọ thực hiện ĩị) —> ±ĩị).
Với điều kiện r và u lớn hơn không, cực tiểu của/lỊV’] nằni tại •0 = 0. Lí thuyết Lanđau

giả thiết rằng tại nhiệt độ chuyến pha, r thay đối dấu, vì vậy

(1.3.12)

r = a (T -T c)
Cực tiểu năng lượng tự do xuất hiện khỉ

(T > Ta)

(1.3.13)

(■T < Tc)
vì vậy khi T < Tc, có hai cực tiểu của hàm năng lượng tự do. Lưu ý rằng

12


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

• Nếu chúng ta làm lạnh hệ trong một trường ngoài nhỏ, dấu của tham số trậ t tự cho
biết dấu của trường :

(1.3.14)

Nhánh cắt này dọc theo trục nhiệt độ của giản đồ pha, là một ví dụ về điều kiện biên
chuyển pha loại một. Điểm T — Tc , h — 0 ở đây nằm ở cuối đường cắt nhánh gọi là
” điểm tới h ạ n ” .
Nếu u < 0 năng lượng tự do trở nên không bị giới hạn bên dưới. Đế xử lí vấn đề này,
năng lượng tự do Landau phải đưực khai triển theo ĩị) tới bậc sáu:

/ m = y F M
(1.3.15)

ru ,
u & f.
= -ĩị> + —lị) + — 'ìp
2
4
6

Khi u < 0 đường cong năng lượng tự (lo tiến triển ba cực tiếu và sự chuyến pha trở
thành loại một; (tiếm đặc biệt tại r = ÌI = u = 0 lả m ột tụ (liếm của các điếm tới hạn gọi
là điểm ba.
I - SECTION 1.4 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lý thuyết chuyển pha trong hệ phức hợp.

r SUBSECTION 1.4.1

Lý thuyết Landau trong hệ phức hợp.

Các hàm nhiệt động lực học khác có thê lấy (tược từ các hàm phân bố tương ứng.

Kí hiệu / D m ( x ) dùng để chỉ tích phân phiếm hàm

Ị

D m (x ) Z [ m { x ) ,ỡ m .. .] — lim

I

dmiz[mi, { m i+1 — n i ị ) / a , ...].
ỉ=\

ước tính của z bằng cách áp dụng một điểm cực tiểu hoặc gần đúng trường trung bình
cho các thành phần phiếm hàm:

13


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

Với

m i n m [/3H[m,h]]
là cực tiểu m ật độ năng lượng tự do Landau.

2+, um 4—_hm.
7
tft( m ,1 h)J = ---v = —
2m
Trong vùng lân cận điểm tới hạn m là nhỏ và ta xác định được giá trị của m bằng cách
chỉ việc giữ lại năng lượng thấp nhất của sự khai triển của /(m ,/z ) phụ thuộc nhạy cảm
vào dấu của t.
1, Đ ối với t > 0, cực tiể u x ả y r a k h i m — h .t , m —)• o kh i h —»■ 0 b á o h iệ u đ â y là h à n h

vi thuận từ.
2, Đối với t < 0, hàm f ( m , h ) bây giờ suy biến cực tiểu tại một giá trị khác 0 nào đó
của m. Do đó, m ột giá trị cực tiểu của hàm Hanilton Ginzburg - Landau cho thấy hành
vi thuận từ ứng với t > 0 và hành vi sắt từ ứng với t < 0, chúng ta có thế xác định được

các tham số trậ t tự ứng với nhiệt độ giảm (t = T — Tc / T c )- Tổng quát hơn có thể thấy
biến đối pha Hamilton Ginzburg - Landau bằng cách thiết lập:

t (T , ...) = (T - Tc )/ Tc + 0(T - Tc ) \

U( T , ...) = U„ + U1( T - Tc) + 0(T - T c ) \

K ( T , ...) = A'„ + K ^ T - T c ) + ü ự - T c ) \
Trong đó

t=(T-Tc)/Tc,
là hằng số (lương chưa biết, phụ thuộc vào tính chất vật liệu của hệ.
Từ tính: giá trị trung bình của từ tính

77/,

có thể tìm được trong điều kiện tĩnh:

df_
dm
till + 4urn - h.

14


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

Trong trường không tĩnh chúng ta tìm

[0,

m = \ --------{ V —í / ,

t> 0
t < 0

Nhiệt năng: cho h = 0 , m ật độ năng lượng tự do được xác định bởi:

ị

f ( m , h = 0)X =

,
|/t=0= í°’
*

ự 2/ 1 6 u ,

1> 0
t

<0

Vì vậy bằng cách lảm truyền thống:

Ồỉ ĩ l

E

op ’

d

„ ồ
= - k BT 2—
0T

ỠỊ5

= —kỹ Tc——.
ỠT
Sự đóng góp kì dị dẫn đến nhiệt dung được tìm thấy là:

c Sing

_

dE
D'J1

Ị 0,

t > 0

[ kB/8u,

t < 0

Độ cảm ứng từ:

dm

Xi

dh
dh

|/i=0, Xi

dm
t + 12uĩh2 |,1=0
í

í

[-2Í,

t > 0
t < 0

Phương trình State:

15


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

m = (h / A u ) l/'Ầ
~ h 1/s.
Lý thuyết trường trung bình của Lanđau chỉ thích ứng với cấu hình năng lượng tối
thiểu.
r SUBSECTION 1.4.2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lý thuyết Ginzburg - Landau.

Xem xét các tính chất từ của kim loại sắt ở gần điểm Curie. Các hạt vi mô là nguồn gốc
của cơ học lượng tử, sự tham gia của các thành phần , electron tự clo, spin và nguyên lý
loại trừ. Từ đó ta thấy việc mô tả các hạt vi mô rất phức tạp, phụ thuộc vào bản chất
của vật liệu. Cần đề xuất một lý thuyết để xác định vật liệu sắt từ. Một lý thuyết mô tả
sự biến động của nhiệt. Điều này là bởi vì trong cơ học thống kê các e tương tác với nhau
rất phức tạp. Do đó có thể sử dụng hạt thô m nhỏ hơn rát nhiều so với khoảng cách giữa
các nút mạng. Định nghĩa m(x) đặc trưng cho giá trị trung bình của các spin nguyên tố
trong vùng lân cận điếm

X.

Trong

I11Ô

tả các loại chuyến pha. vị trí của m ( x ) (tược chỉ ra

bằng các tham số trậ t tự.
X = ( x 1,...,3 : (ỉ) e R d ( k h ô n g g ia n ),

m = (m-i,

m d) e Rn (Spin)

Một số trường hợp đặc biệt đề cập đến là:
n — l chuyển pha lỏng khí,
n — 2chuyển pha siêu dẫn, siêu chảy, nam châm hai chiều,

n = 3nam châm đẳng hướng.
Cả

3trường hựp trên đều diễn ra trong không

gian một chiều (d = 1) và hai chiều

(<1 = 2).
Hàm Hamilton phụ thuộc vào cường độ từ trường được thế hiện qua hàm građien:

Đối xứng quay: Nếu không có từ trường ngoài, hàm Harnilton đắng hướng trong không
gian và khi đó nó bất biến khi quay m —> R nm .

ßH[ 111] =
Tịnh tiến và đối xứng quay trong x: cuối cùng dẫn đến một hàm Hamilton:


Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

Phương trình (1.4.2) được biểu diễn như trên là hàm Hamilton Ginzburg - Landau.

17


CHƯƠNG 2

Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau

I - SECTION 2.1

Tham số trật tự

Ý tưởng các hiện tượng chuyển pha liên quan đến sự tiến triển của một tham số trậ t tự
mà nó làm suy yếu hoặc phá vỡ tính đối xứng của hệ là một trong những ý tưởng đẹp
đẽ nhất của vật lý nhiều hạt.

Trong chương này, chúng ta đưa vào khái niệm mới đó, nó

đóng vai trò trung tâm trong

sự hiểu biết của chúng ta về con đường mà các hệ phức tự

biến đổi thành các trạng thái

mới của vật chất ở các nhiệt độ thấp.

Landau đã đưa ra khái niệm tham số trậ t tự năm 1937 như một phương tiện để xác
định sự biến đối đầy ấn tượng của vật chất trong sự chuyên pha. Những ví dụ về sự biến
đổi như thế có rất nhiều: một bông tuyết hình thành khi nước đóng băng;

Hình 5: sự hình thành tham số trậ t tự
Sắt trở nên có từ tính khi các spin electron sắp hàng thành một hướng; tính siêu lỏng
và siêu dẫn p hát triển khi các chất lỏng lượng tử được làm lạnh và boson hay íermion

18


Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.

kết cặp ngưng tụ thành một trạng thái lượng tử đơn với một pha rõ ràng. Các sự chuyển

pha xảy ra ngay cả trong nhiều cấu trúc không gian, và có một bằng chứng rất tốt đó là
chúng ta đang sống trong một vũ trụ phá vỡ đối xứng, đã trải qua một hoặc nhiều hơn
sự chuyển pha mà nó phá vỡ sự suy biến giữa các lực cơ bản, và gần đây nhất là vụ 110
Big Bang.
Lý thuyết Landau kết hợp mỗi sự chuyển pha với sự phát triển của một ” tham số trậ t
tự ” ĩp ngay khi nhiệt độ sụt xuống dưới n h iệ t độ chuyển pha TC'-

(T > Tc)

0
y I ^0 l> 0

(T < Tc)

Tham số trậ t tự có thế là một số thực, một số phức, một vector hay một spinor, nói
chung. I1 Ó là một vector thực n thành phần ĩịì (x) = (ï/>i, ^ 21

V'rt)-

Sự đẹp đẽ của lí thuyết Landau là ở chỗ sự biểu diễn vi mô chính xác cho tham số trật
tự không đòi hỏi phát triển một lí thuyết về các hệ quả vĩ mô của phá vỡ đối xứng. Lý
thuyết Ginzburg-Landau về siêu dẫn đã có trước lí thuyết vi mô 7 năm. Lí thuyết Landau
cung cấp một sự mô tả thô các tính chất của vật chất. Nhìn chung, sự mô tả tham số
trậ t tự là tốt ỏ' các phạm vi dài lớn hơn độ dài kết hợp ”£()”• Với các phạm vi dài lớn hơn
độ dài kết hợp, các cấu trúc bên trong của tham số tr ậ t tự là không thích đáng và cư
xử như một hàm biến đổi trơn mà Ĩ1 Ó đã quên nguồn gốc vi Ĩ11 Ô của nó. Tuy nhiên vật lí
ở các phạm vi nhỏ hơn độ (lài kết hợp cần một sự

II1Ô

tả vi Ĩ11 Ô. Chang hạn, trong một

chất siêu dẫn, độ dài kết hợp là một số đo có kích thước của một cặp Cooper - một kích
thước mà có thể là hàng trăm hoặc hàng ngàn các khoảng cách của nguyên tử, trong khi
ở trong chất siêu lỏng He, độ dài kết hợp cơ bản là khoảng cách một nguyên tử.
I - SECTION 2.2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phiếm hàm Ginzburg - Landau một tham số trật tự

Lý thuyết Landau mô tả năng lượng m ất m át của một tham số trậ t tự đồng đều. Để giải
thích cho trường hợp các tham số trậ t tự không đồng đều trong đó biên độ biến đổi hoặc
hướng của tham số trậ t tự bị xoắn cần có một lí thuyết tổng quát hơn. Sự tiến triển này
của lí thuyết Landau gọi lả lí thuyết “Ginzburg L an d a u ” , sail khi Ginzburg and Landau
phát triển hình thức luận này như phần lí thuyết vĩ mô về siêu dẫn của họ. Chúng sẽ bắt
đầu thảo luận lí thuyết Ginzburg Landau với trường hợp đơn giản nhất là tham số trậ t
tự ” Ising” một th àn h phần.
Lí thuyết Ginzburg

Landau đưa vào một sự 1)0 sưng năng lượng hao phí ổ f o<| Tp |2

gắn liền với gradients của tham số trật tự f GL [ìị>, v ^ ] = I I

|2 + f L [ìị) (æ)]. Với một

19


Lỷ thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.

trường hợp riêng, tham số trật tự Ising, năng lượng tự do (trong d chiều) được cho bởi

F g l

M =

I

d dx f G L

[ỳ (s) ,

(z) , h (x)] ,
(2 .2 . 1 )

ĨGL

h\ = ị (V ^ ) 2 +

+ hiỊỉ.

Có hai điểm được tạo ra ở đây
• Lí thuyết Ginzburg Landau chỉ có hiệu lực ở gần điểm tới hạn, nơi tham số trậ t tự
là đủ nhỏ để cho phép một khai triển bậc chính
• Sự phân tích thứ nguyên cho thấy rang [,s] / [r] = L 2 có thứ nguyên bình phương độ
dài. Tỉ lệ độ dài mới được đưa vào bởi số hạng gradient gọi là “ độ dài tương quan
” ( c o r r e la tio n le n g th )

ỉ ( T ) = '/77

m

r ío|1“ Ễ

rl/2’

(2-2' 2)

trong đó £o là độ dài kết hợp:

ÉO = Ê ( T = 0 ) =

0

\

V a,Tc

(2-2.3)

gần điểm chuyển pha, £(T) phân kì. nhưng ra xa điểm chuyển pha, ta có thể so sánh

được nó với độ clài kết hợp £oTa có thể sử dụng lí thuyết Ginzburg - Landau, như là một nguyên lí biến phân, dùng
điều kiện dừng ỖF/Ỗĩịj = 0 để xác định dạng không cân bằng của tham số trậ t tự. Lí
thuyết Ginzburg

Landau cũng là điểm bắt đầu cho một sự phân tích tổng quát hơn của

các thăng giáng nhiệt quanh lí thuyết trường trung bình.
- SUBSECTION 2.2.1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các nghiệm không đồng đều của lý thuyết Ginzburg Landau

Có hai loại nghiệm không (tồng đều ta sẽ xem xét:
1. Hưởng ứng tuyến tính, nhưng không cục bộ với m ột trường ngoài nhỏ.
2. Các nghiệm ”sóng đơn” hoặc vách miền, trong đó tham số trậ t tự đổi dấu, đi qua
cực đại theo năng lượng tự do tại ĩjj — 0. Đe nhận được phương trình chi phối các
nghiệm không đồng đều, ta viết

SF,G L

(x)

>2,1. / \ . ỡ f L [lp}
- , s V > (.t ) +
dĩị> (X) .

(2.2.4)

20