Khoá luận tốt nghiệp diện tích đa giác và một số bài toán hình học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.45 MB, 63 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC
su' PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
NGUYỄN THỊ NGUYỆT
DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC
•
•
•
•
Chuyên ngành: Hình học
Ngưòi hưóng dẫn khoa học:
ThS. GVC. PHAN HÒNG TRƯỜNG
HÀ NỘI - 2015
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong tổ
Hình học đã tận tình dạy dỗ, chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt thời gian em theo
học tại khoa và thời gian làm khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Phan Hồng
Trường, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn chỉ bảo, định hướng cho em để
em có thể hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và kinh nghiệm của
bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của em không thế tránh khỏi những
thiếu sót. Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các
thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chãn thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Nguyễn Thị Nguyệt
Nguyễn Thị Nguyệt
K37B - SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên
CÚ11
khóa luận “Diện tích đa giác và một số bài
toán hình học”, em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa
luận của mình. Danh sách tài liệu này em đã đưa vào mục Tài liệu tham khảo
của khóa luận.
Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của
bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Phan Hồng Trường
cũng như các thầy cô trong tổ Hình học.
Khóa luận không trùng với kết quả nghiên cún của các tác giả khác.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn
sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Sinh viên
Nguyễn Thị Nguyệt
Nguyễn Thị Nguyệt
K37B - SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
MỤC LỤC
MỞ Đ Ầ U ........................................................................................................................1
Chương 1: C ơ SỞ LÝ TH U Y ẾT............................................................................3
1.1. KIẾN THỨC C ơ B Ả N .................................................................................... 3
1.1.1. Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu........................... 3
1.1.2. Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp k h ú c ..............................................3
1.1.3. Một số bất đẳng thức đại số.......................................................................... 3
1.2. DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN T ÍC H ......................................... 5
1.2.1. Diện tíc h ............................................................................................................. 5
1.2.2. Phương pháp diện tích ......................................................................................6
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH T R O N G ..............................................8
GIẢI MỘT SÓ BÀI TOÁN HÌNH HỌC P H Ẳ N G ................................................ 8
2.1. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN....................................................................... 8
2.1.1. Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích đa giác...................................... 8
2.1.2. Sử dụng các tính chất........................................................................................ 8
2.2. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC PH Ẳ N G ................................................................................................... 9
2.2.1. Bài toán chứng minh......................................................................................... 9
2.2.2. Bài toán cực t r ị ................................................................................................22
2.2.3. Bài toán dựng h ìn h ......................................................................................... 36
2.2.4. Bài toán tìm tập đ iể m .....................................................................................47
2.3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP.................................................................................. 57
KẾT L U Ậ N ................................................................................................................ 59
TÀI LIỆU THAM K H Ả O ........................................................................................60
Nguyễn Thị Nguyệt
K37B - SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
MỞ ĐÀU
1. Lý do chọn đề tài
Đe giải các bài toán trong hình học phang có nhiều phương pháp, bên
cạnh các phương pháp như sử dụng phép biến hình, phương pháp vec-tơ,
phương pháp tọa đ ộ ... thì phương pháp diện tích cũng là một phương pháp để
giải toán hình học, chứng minh các định lý, công thức. Phương pháp diện tích
đôi khi là một phương pháp hay, có thể cho ta lời giải ngắn gọn, hợp lý đối
với một số bài toán hình học. Ngoài ra, việc vận dụng phương pháp diện tích
còn rèn luyện tư duy cho học sinh.
Việc sử dụng phương pháp diện tích vào giải các bài toán trong hình học
phang là không nhiều bởi chúng là những bài toán khó. Nhung chúng là một
trong những nội dung thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi.
Không phải ngẫu nhiên trong lý thuyết chứng minh hình học hiện đại
người ta có nhắc đến và sử dụng phương pháp diện tích như một lý thuyết
quan trọng.
Với lý do trên và mong muốn ứng dụng phương pháp diện tích trong
hình học phẳng. Được sự hướng dẫn của thầy giáo Phan Hồng Trường, em đã
chọn đề tài “Diện tích đa giác và một số bài toán hình học” .
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các ứng dụng khác nhau của phương pháp diện tích, đưa ra
được hệ thống các bài toán phong phú và đa dạng thể hiện tính ưu việt của
phương pháp diện tích.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cún
Các bài toán chứng minh, tìm tập điểm, dựng hình, tìm cực trị trong
hình học phang.
Nguyễn Thị Nguyệt
1
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
3.2. Phạm vi nghiên cún
Các bài toán chứng minh, tìm tập điếm, dựng hình, tìm cực trị trong
hình học phẳng được giải bằng phương pháp diện tích.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Một là, đưa ra hệ thống kiến thức cơ bản để áp dụng các bài toán hình
học bằng phương pháp diện tích.
Hai là, ứng dụng phương pháp diện tích giải bài toán chứng minh, tìm
tập điểm, dựng hình, bài toán cực trị trong hình học phang.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận chung về phương pháp diện tích để xác định cơ sở lý
luận của đề tài.
Tìm và tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo trình có liên quan
để xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng phương pháp diện tích để giải bài toán
hình học.
Phân tích và tổng hợp bài tập minh họa, tham khảo ý kiến giảng viên
hướng dẫn.
6. Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài
Dùng diện tích giúp ta giải quyết nhiều bài toán ở bậc Trung học cơ sở
nên nội dung khóa luận này mang tính thiết thực có thể sử dụng làm tài liệu
tham khảo cho học sinh khá giỏi của bậc Trung học cơ sở.
Nguyễn Thị Nguyệt
2
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Chương 1: C ơ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. KIẾN THỨC C ơ BẢN
1.1.1. Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu
Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu thường được sử
dụng dưới các dạng sau:
*. Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh
góc vuông AH và cạnh huyền BC thì AH < BC, xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi
H trùng với B.
*. Trong các đoạn thắng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn
thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất.
*. Trong các đoạn thắng nối hai điểm thuộc hai đường thắng song song,
đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất.
*. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường
xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu lớn hơn.
1.1.2. Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc
Với 3 điểm A, B, c bất kỳ ta có:
• AB + AC > BC. Dấu “=” xảy ra khi và chi khi A nằm giữa B và c .
• IAB - AC| < BC. Dấu “=” xảy ra khi và chi khi B, c cùng phía với A.
1.1.3. Một số bất đẳng thức đại số
1.1.3.1. Bất đẳng thức Cauchy
(Bất đẳng thức Cauchy được sử dụng trong các bài toán hình học bằng cách
biểu thị độ dài thay đổi bằng các biến
Cho hai số không âm
X,
X,
y v.)
y. Khi đó ta có X + y >
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi X = y.
Hê quả của bất đắng thức Cauchv
Neu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi
hai số đó bằng nhau.
Nguyễn Thị Nguyệt
3
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà N ội 2
Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và
chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Ta còn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để mở rộng cho ba số dương:
Từ bất đẳng thức Cauchy ta có một số bất đẳng thức thường hay sử dụng khi
giải bài toán cực trị hình học là:
• Với ba số dương a, b , c ta luôn có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
• Với ba số dương a, b, c ta luôn có:
a
b
c
b+c
a+c
b+a
---------_ I _ ---------- _ |_ -----------
>
3
—
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
1.1.3.2. Bất đắng thức Bunhỉacopskỉ
•
Với hai bộ n số thực ( ai, a2, a3,...a n) và (bi, b2, b3,...b n) bất kỳ ta có:
(ai b|+ a2 ồ 2+ .. .+anbn)2 < (ã]2 + a22 + ...+ an2). (bị2 + ồ 22 + ...+ bn2).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ^
b,
•
Với
X
^ = ... = ^
b2
bn
+ y = a ( với a là hằng số ) thì
hoặc (xy)max = ^ -h o ặ c (x2 + y2)min =
.
4
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi X = y = —
•
Neu x.y = a (a là hằng số) thì ( X + y) min = 2
<^> X = y = *Jã
1.1.33. Bất đắng thức lũy thừa bậc hai
•
Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai thường được sử dụng dưới dạng:
A2 > 0 ; - A2 < 0
Nguyễn Thị Nguyệt
4
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Do đó với m là hằng số, ta có:
f = A2 + m > m; min f = m khi và chỉ khi A = 0
f = - A2 + m < m; max f = m khi và chỉ khi A = 0
1.2. DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH
1.2.1. Diện tích
1.2.1.1. Định nghĩa
Số đo của phần mặt phang giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích
của đa giác đó.
Diện tích của hình H trong mặt phang được ký hiệu là SH.
1.2.1.2. Tính chất của diện tích
* Mỗi đa giác đều có một diện tích xác định. Diện tích của đa giác là
một số dương
* Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
* Neu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong
chung thì diện tích của đa giác ban đầu bằng tổng diện tích của nhũng đa giác đó.
* Hình vuông có cạnh là 1 thì có diện tích là 1.
ỉ . 2.1.3. Diện tích của các hình đặc biệt
* Cho tam giác ABC có AB
= c,BC = a, AC = b. Gọiha , hb ,hc lần lượt
là các đường cao hạ từ A, B, C; R, rlà bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội
,
â+b+c
tiêp tam giác, p = ----- ------ là nửa chu vi tam giác.
Khi đó diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:
* s = —a. ha = — b. hb = — c. hc
2
2
2
* s = —ab. sin c = —bc. sinA = —ca. sin B
2
2
2
abc
* s =—
—
4R
Nguyễn Thị Nguyệt
5
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
*
s=
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Vp.(p - a)(p - b)(p - c)
* Diện tích hình chữ nhật
s = a.b
(với chiều dài và chiều rộng lần lượt là a và b)
*Diện tích hình vuông
Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó.
s = a2
(với a là độ dài cạnh hình vuông)
* Diện tích hình thang
Diện tích hình thang bằng nửa tích tổng hai đáy
với chiều cao.
s=-(a+b).h
2
(với a, b là độ dài hai đáy, h là chiều cao)
* Diện tích hình bình hành
Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh
với chiều cao tương ứng.
s = a.h
* Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích độ dài
hai đường chéo.
* Diện tích đa giác
Việc tính diện tích của một đa giác bất kỳ thường được quy về việc tính diện
tích của các hình đặc biệt kể trên.
1.2.2. Phưong pháp diện tích
Ta đã biết công thức tính diện tích của các đa giác như công thức tính
diện tích tam giác, tứ giác, hình thang, hình bình hành,... và một số tính chất
về tỉ số diện tích. Khi biết một số yếu tố như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số
Nguyễn Thị Nguyệt
6
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
đo chu v i,... của các hình thì ta có thể tính được diện tích của các hình đó.
Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của các hình thì ta có thể suy ra quan hệ
của các yếu tố trên.
Như vậy sử dụng các công thức diện tích và tỷ số diện tích có thể giúp
ta so sánh và thiết lập mối quan hệ giữa các hình với nhau như ba đường
thẳng đồng quy, hai đường thẳng song song,...
Đe giải một bài toán hình học bằng phương pháp diện tích ta thực hiện
theo các bước sau:
•
Thiết lập quan hệ diện tích giữa các hình.
•
Sử dụng công thức diện tích, tính chất và tỷ số diện tích để biễu diễn
mối quan hệ đó.
•
Biến đổi mối quan hệ trên ta suy ra kết luận của bài toán.
Nguyễn Thị Nguyệt
1
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
2.1. CÁC BIỆN PHÁP THỤC HIỆN
2.1.1. Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích đa giác
Ta sử dụng công thức tính diện tích đa giác đã nêu ở chương 1
2.1.2. Sử dụng các tính chất
2.1.2.1. Tính chất 1
Cho tam giác ABC, N là điểm giữa B và
s ABN
s ACN
_
c
sao cho BN = kCN thì
=
S ac n
ỵ
Đặc biệt nếu N là trung điểm của BC thì
A
S abn
A
2.1.2.2. Tính chất 2
Cho hai tam giác ABC và tam giác DBC chung cạnh BC. Gọi AH và
DK là hai đường cao của ÀABC và ÀDBC. Khi đó ta có
nếu BC n AD = E thì
Nguyễn Thị Nguyệt
SDBC
s
SDBC
=
AH
— 77
DK
và
DE
8
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
2.1.2.3 Tỉnh chất 3
c Cho AABC, đường thẳng song song với ẩ t cắt AB tạ?E và cắt AC tạPF.
Khi đó ta có
——
-
; S efb
- S efc
ABC
A
A
2.2. ÚNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Trong hình học có nhiều dạng toán mà khi áp dụng phương pháp diện
tích sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, độc đáo. Ớ đây tôi xin trình bày bốn dạng
toán cơ bản nhất là bài toán chứng minh, bài toán tìm cực trị, bài toán dựng
hình, bài toán tìm tập điểm.
2.2.1. Bài toán chứng minh
2.2.1.1, M ột số ví dụ
Ví du 1: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý trong
tam giác đều đến ba cạnh của tam giác là không đổi.
Nguyễn Thị Nguyệt
9
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tôt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Lời giải
Cách 1: (Hình 1)
A
A
B
c
HI
B
H
I
c
Hình 2
Hỉnh 1
Gọi AH là đường cao của AABC, vì ÀABC đều nên độ dài AH không đổi.
Nối MA, MB, MC ta được các tam giác MAB, MAC, MBC.
Gọi MI, MJ, MK lần lượt là khoảng cách từ M đến BC, CA, AB
K h i đ ó ta c ó : S abc = S m a b + S m bc + S m ac
^
- BC.AH = - AB.MK + - BC.MI + - CA.MJ
2
2
2
2
<=> MK + MI + MJ = AH (vì AABC đều nên AB = AC = BC)
Vậy tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trong AABC đều đến các cạnh của
tam giác có độ dài không đổi và bằng chiều cao của tam giác.
Cách 2: (Hình 2)
Từ M trong tam giác ta kẻ đường thắng song song với BC, cắt AB và
AC tương ứng tại p và ọ . Dễ thấy do ÀABC đều nên ÀAPQ đều.
Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại R => AMPR đều
Gọi PT là đường cao của ÀMPR,
s = PT n
RM.
Khi đó ta có: MI + MJ + MK = MI + ST + PS (AMPR đều nên MK = PS)
=> MI + MJ + MK = MI + PT = AH (không đổi)
Nguyễn Thị Nguyệt
10
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Vậy tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trong ÀABC đều đến các cạnh
của tam giác có độ dài không đổi và bằng chiều cao của tam giác.
Nhân xét
Từ hai cách chứng minh trên, ta thấy với bài toán trên sử dụng phương
pháp diện tích ở cách 1 cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu và hình vẽ đơn giản hơn
so với ở cách 2.
Ví du 2: Cho AABC, BAC = 90°, A C = b, AB = c, BC = a.
Chứng minh rằng a = b + c (Định lý Pitago)
Lời giải
B’
Trên tia đối của tia CA lấy điểm A ’ sao cho CA’ = c. Từ A ’ dựng đường
thẳng vuông góc với AC, lấy B ’ sao cho A ’B ’ = b.
Xét ÀABC và AA’CB ’ có:
AC = A ’B ’ = b và AB = A ’C ’ = c
=>AABC = AA’CB ’
^ B C = B ’C = a và BCA = Ấ ĩ r c
Mặt khác:
ABC + BCA = 90°, Ấ C B ' + Ấ ĩ ĩ c = 90°
nên BCẦ + Ấ C B ' = 90° => BCB' = 90°
Vậy ABCB’ vuông tại
Nguyễn Thị Nguyệt
c
11
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Ta co SABC
Trường ĐH SP Hà N ội 2
bc , SA,gC
bc , SBCB,
a
Lại có tứ giác ABB’A ’ là hình thang do đó AB // A ’B ’
(cùng vuông góc với AC) nên
S ABBA' =
2
b )-(b
+
c ) =
2 ^
+
c -)2
•
k h á c :
s ABB'A' = s ABC_ + s A'B'C + s BBC
<=> —(b + c)2 = —(bc + bc + a 2)
2
2
hay a 2= b2+ c2(điều phải chứng minh)
Nhân xét
Có rất nhiều cách để chứng minh
Euclid, dùng hình mở rộng, cắt và ghép
định lýPitago như chứng minh của
hình, chứng minh bằng đại số,chứng
minh bằng vi p h ân .. cách chứng minh dựa vào diện tích như trên là của một
Tông thống Mỹ năm 1876. Đó được coi là một trong những cách chứng minh
hay và sáng tạo. Hơn nữa, cách chứng minh này phù hợp và vừa sức để chứng
minh cho học sinh.
Vỉ du 3 : Chứng minh rằng trong tất cả các tứ giác lồi có cùng chu vi
cho trước thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Giả sử ABCD là tú' giác lồi có chu vi 1 cho trước
Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Khi đ ó a + b + c + d = l
Từ B kẻ BH _L AD, BK _L CD, ta có SABCD = SABD + SBCD
Nguyễn Thị Nguyệt
12
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Suy ra SABCD = —HB.AD + —BK.CD
^■S4BCD < I
a b .a d
+ I
b c .c d
^ S 4BCD < ^ a . d + i b . c
(1)
Dấu “ =” xảy ra khi H = A và B = K hay BAD = BCD = 90"
Tương tự =>SABCD < - ^ a .d + ^ b .c
(2)
Dấu “ =” xảy ra khi Ấ i c = ẤDC = 90°
Từ (1) và (2) suy ra SABCD < ^ (a + c ). (b+d)
(3)
Dấu “=” xảy ra khi BAD = BCD = Ấ i c = ẤDC = 90° tức là khi ABCD là
hình chữ nhật. Khi đó a = c và b = d
(4)
Mặt khác —(a + c ). (b+d) = — (a+ c). (b+d)
4
16
(a+c)2 + 2(a+c)(d+b) + (b+d)2
16
_ (a + b + c +d)2 _ 1
4
Từ (3) và (5) suy ra SABCD =
16
l2
(5 )
( \Y
V4 /
(6)
Dấu “=” xảy ra khi a + c = b + d
(7)
,
, ,
f\Ỵ
Từ (4), (6), (7) suy ra SABCD lớn nhât băng — khi a = b = c = d, tức là khi
v4y
ABCD là hình vuông có cạnh có độ dài là —
Vỉ du 4. Cho tứ giác ABCD, các đường thắng AB và CD cắt nhau tại
E, Gọi F và G theo thứ tự là trung điếm của các đường chéo A C và BD.
Nguyễn Thị Nguyệt
13
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Chứng minh rằng
Trường ĐH SP Hà N ội 2
S e fg
=
—S
4
abcd
Lời giải
Nối AG và CG, ta có:
s___
= s AEG
__ - s AGF_ - s AEF
__
EFG
= s ABG + s EGB - s AGF - s AEF
~ ( S a b d + S e b d - S a c g _ S ace )
= — ( Sade - S a g ce ) = — ( Sabcd - S ab cg )
2
2
= “ (
S a b c d ■ S a bg _ S bcg )
= “ (
S abcd- ~ ( S abd + ~
= “ (
Sabcd-
—
S bc d ) )
Sabcd )
= i—s^ABCD
-
4
Nhân xét
•N ếu AD n BC = H thì
•N eu
= - S _ . Khi đó ta có s HGF =
EFG
.
AD n BC = H và K là trung điểm của EH, khi đó dựa vào bài
toán trên ta chứng minh được G, F, K thẳng hàng.
Nguyễn Thị Nguyệt
14
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Vỉ du 5. Cho hình bình hành ABCD, gọi p , Q, R,
s theo
thứ tự là
trung điểm của các cạnh CD, DA, ABy BC. Vẽ bốn đường thẳng nối lần
hrợt các đỉnh A, B,
D với các điếm p, Q, R,
Cy
s. Chứng minh rằng tứ giác
1
tạo bởi các đường này có diện tích băng —diện tích hình bình hành ABCD.
Lời giải
A
R
B
^
, HE
EF FG
GH ,
Ta có —— = ——= —— = —— = 1
EB
FC GD
HA
Áp dụng tính chất 1 ta có:
I
“
l^ A E H
_ r
—
^
S abh = S bre + S are + S aeh = 2 S bre + S ehg
EHG
= — S abh + S ehg
2
= > — S a bh = S egh h a y S a bh = 2 S egh
2
Tương tự ta có:
S a dg = 2 S hgf , S d cf = 2 S gfe , S cbr = 2 S hef
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta có
S abh + S a d g + S dcf + S cbr = 2 ( S abh + S hgf + S gfe + S hef ) = 4 S efgh
= > S a bh + S a d g + S dcf + S cbr + S efgh = 5 S efgh
= > S a b c d = 5 S efgh h a y S efgh = — S ab c d •
Nhân xét
Nguyễn Thị Nguyệt
15
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
•V ì tứ giác EFGH là hình bình hành nên bài toán có thể phát biểu như
sau:
“Cho hình bình hành EFGH, trên tỉa đối FE, GF, HG, E H lần lượt lấy
các điếm c, D, A, B sao cho E, F, G, H lần ỉượt là trung điếm các đoạn HB,
EC, FD, GA. Chứng minh rằng S EFGH = i S ABCD ”
•K hi tứ giác ABCD hay EFGH không phải hình bình hành thì kết luận
trên cũng đúng nên ta có bài toán sau:
“ Cho tứ giác EFGH, trên tia đối FE, GF, HG,E H lần lượt lấy các điếm
c, D, A, B sao cho E, F, G, t ì lần lượt là trung điếm các đoạn HB,
EC, FD,
GA. Chứng minh rằng S EFGH = ^ S XBCO ”
T
.uí.
k
• Ta
thây
răng
H E _
EB
E F
3
FC
_
F G
GD
_
G H _
. u > S ABCD _ c
= ——
= 1, thì
_ABCP = 5
HA
SEFGH
Thay “ 1” bởi “m” thì SABCD = [2m (m +l) + ì].SĨFGH
Như vậy ta được bài toán tổng quát của bài toán trên:
“Cho tứ giác EFGH, trên tia đối FE, GF, HG, E H lần lượt lấy các điếm
r n A R
h HE _ E F _ F G _ G H _
c, D, A, B sao cho —— = —— = —— = —— = m .
EB FC GD HA
Chứng minh rằng SABCD = [2m (m +l) + l].SEFGH
Vỉ du 6: Trên các cạnh BC, ACy AB của AABC lấy các điểm E, F, G,
Chúng minh
rằng AE,
AG
BE
CF _ 1
GB
EG
FA ~
BF,
CG đồng
quy khi và chỉ khi
(Định lý Xeva khi ba điểm E, F, G nằm trên ba cạnh của tam giác)
Lời giải
Nguyễn Thị Nguyệt
16
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
* Điều kiện cần
Giả sử AE, BF, CG đồng quy tại p
Xét AABP và AACP có AP n BC = E
nên
s*
ACP
= BE
CE
( 1)
rp
*„ + , s
GA
Tương tự ta có:
= ——1
SBCP
GB
'C B P
SABP
_
FC
(3 )
FA
GA
Từ (1), (2), (3) ta có ^
GB
* Điều
(2 )
FR
EG
Fc
s
^
FA
s
^
.£ ạ b p
SCBP SACP
.^ C B L =
s
ị
SABP
kiện đủ
Gọi p là giao điểm của BF, CG và E ’ là giao điểm của AP và BF
Do A E’, BF, CG đồng quy tại p nên theo chứng minh điều kiện cần ta có:
AG
BE'
CF
GB
EG
FA
= 1
(1*)
1- 1- ,
1ì- .;
A G
B E
C F
-----. ---= 11
Mặt khác
theo
giả thiêt
ta c ,ó -----.
GB EG FA
(2*)
Từ (1*) và (2*) ta có
BE'
BE BE’ + E'C _ BE + EC
E'C
EC
E'C
~~
BC _ BC
<^>
<=> E'C = EC
E'C “ EC
Nguyễn Thị Nguyệt
EC
17
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Mà E, E ’ đều thuộc đoạn BC nên E = E'
Vậy AE, BF, CG đồng quy.
Nhân xét.
• Bài toán còn có thể phát biểu như sau:
“Cho ầABC, dựng các AẢBD, ABCH, ACAK sao cho các điêm D, H, K
theo thứ tự năm bên trong các góc ACB, BAC, CBA.
Tìm điều kiện để AH, BK, CD đồng quy ”
Ví du 7: Cho tam giác ABC, trên cạnh B C lấy hai điếm M và N.
. MB.NB
Chứng minh rằng MAB = NAC khi và chỉ khi
MC.NC
AB^
AC
Lời giải
* Điều kiện cần
Giả sử MAB = NÂC, kẻ AH 1B C .
Theo tính chất trên ta có:
AM.AB
( 1)
AN.AC
NAC
1
Ta lại có
=
NAC
AH.BM
2 _
BM
1
CN
AH.CN
BM
Từ (1) và (2) suy ra _
CN
(2)
AM.AB
_
AN.AC
(*)
Mặt khác vì MÃB = NÂC nên NAB = MAC
Xét AANB và AAMC có NAB = MAC nên ta có
'M AC
'
Lại có
AH.BN
s NAB
'M AC
1
AH.CM
Nguyễn Thị Nguyệt
BN
BN
AN.AB
CM
CM
AM.AC
18
_
AM.AC
(**)
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Nhân hai vế của (*) và (**) ta có
(AB)
MC.NC
vÃCy
* Điều kiện đủ
Giả sử
MB.NB
( AEOi
MC.NC
vÃCy
, MAB * NAC
(3 )
Khi đó trên BC lấy N ’ sao cho MAB = N'AC
Theo chứng minh trên ta có
MB.NB
AB
M C.NC
vACy
(4 )
NB
NE
Từ (3) và (4) => —^ = — ^ 7 => N' = N (N, N' e BC)
NC
N'C
^ M A B = NÂC
Nhân xét
•N eu
có
M = N = D
với AD
r DB v
^ AB^
DB
AB
vDCy
vACy
DC
AC
là phân giác góc A. Khi đó ta
Vậy kết quả ví dụ 6 là tính chất mở rộng quen thuộc của đường phân
giác.
• Từ kết quả của ví dụ 6 ta xét bài toán mở rộng sau:
“C/zơ tam giác ABC, AD là phân giác trong góc A. Trên AD lấy hai điếm
M, N sao cho MBA —N B D . Chứng minh rằng MCA —NCD ”
Hưởng dẫn
Từ giả thiết MBA = N B D .
Áp dụng kết quả bài toán trên cho AABD
ta có:
MA.NA _ íB A Ỵ
MD.ND
Nguyễn Thị Nguyệt
( 1)
19
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Vì AD là phân giác BAC nên ta có
DB
AB
BA _ C A
DC
AC
BD
(2 )
CD
Từ (1) và (2) suy ra
MA.NA
^C A V
MD.ND
CD
Áp dụng kết quả bài toán trên cho ÀACD ta được MCA = NCD
Ví du 8: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các tam giác
ABG, BCE, CAF sao cho
S
bce
+ S
S
caf +
abg
< S
abc
• Qua E, F, G ta kẻ các
đường thẳng tương ứng song song với BC, CA, ABy chúng cắt nhau tạo
thành AMNP. Chứng minh rằng
S
mnp
< 2 S
ecfagb •
Lời giải
M
Áp dụng định lý Talet ta có MA, NB, PC đồng quy tại
o.
Vì NE // BC nên SBCE = SBCN
S
ẹce
_ SBCN _ NB
OB
Tương tự ta có
__ s
s CAF
s CAO
s
RPF
nên ——
A
^B C O
hay
NB
PC . s ABG
_
---- và
_
oc
s
CAF
^C A O
PC
s
s
ÕÃ
ABO
_
ABG
^A B O
MA
ÕB _ Õ C ~ Õ Ã
Nguyễn Thị Nguyệt
MA
_
_
_+ s
BCE
CAF
s
ABG
^
Ị
ABC
<1
20
K37B
-
SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐH SP Hà N ội 2
Do đó NB < OB => SBNE < SBOE ; PC < ОС => SCPE < SCOE
—s^ QBNE -I
- s CPE ^ s ВОЕ -I
- s COE
^
T
—s^ в NE 1 CPE + s ОВЕС
__ <■ s ВОЕ
_ _ 4- '“X
s O E_ 4-^Os B __
EC
^BNE
^CPE
^OОВЕС
BEC <2S,ОВЕС
=> S.N
rD< 2S,ОВЕС
ONP
ACFAGB
2.2.1.2. Bài tập củng cố
Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB / / CD ), hai đường chéo A C và BD
cắt nhau tại p. Chứng minh rằng:
S pab + S p c d ^ S a b c d .
Bài 2: Qua một điếm cho trước trong tam giác, kẻ ba đường thẳng song
song với các cạnh của tam giác, các đường thẳng này chia tam giác thành
sáu phân, ba phần trong đó là các tam giác có diện tích là
Sỉ, S , S 3
2
và
s là
diện tích của tam giác đã cho.Chứng minh rằng S/ + S 2 + S 3 > —S
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh BC và CD lần lượt lấy M
ỊX
và N sao cho
/ I Ịygợ
= 2 - —- . Gọi p và 0 theo thứ tự là giao đềm của A M và A N
ND
MC
'
AMN •
Bài 4: Cho hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của một tứ
giác, trong đó hai đỉnh của hình bình hành là trung điếm hai cạnh đối của tứ
giác. Chứng minh rang diện tích hình bình hành bằng nửa diện tích tứ giác.
Bài 5 : Cho tam giác ABC. Lầy các điếm D, E, F theo thứ tự thuộc các
cạnh AB, BC, CA sao cho AD = —AB , BE = —BC, CF = —CA. Các đoạn
3
Nguyễn Thị Nguyệt
3
21
3
КЗ 7В - SP Toán
