ÁP DỤNG các ĐỊNH LUẬT của CHẤT KHÍ lí TƯỞNG và NGUYÊN lí i NHIỆT ĐỘNG lực học CHO các bài TOÁN cơ NHIỆT

Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
Người thực hiện: Cao văn Trung
Giáo viên trường THPT Chuyên Thái nguyên
CHUYÊN ĐỀ
ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT CỦA CHẤT KHÍ LÍ TƯỞNG VÀ
NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC
CHO CÁC BÀI TOÁN CƠ - NHIỆT
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
Trong chương trình Vật lí

Chun, các bài tốn nhiệt học

đóng một vai trị quan trọng, khơng chỉ đối với các em học sinh
lớp 10 dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh và khu vực mà còn đối với các
em học sinh lớp 11 và 12 dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia. Trong
q trình giảng dạy tơi nhận thấy việc áp dụng các định luật của
chất khí lí tưởng và nguyên lí I nhiệt động lực học cho các bài tập
liên quan đến các hiện tượng cơ - nhiệt thường gây khó khăn cho
học sinh, đặc biệt là các em học sinh khối 10. Chuyên đề này được
viết ra với hy vọng rằng sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn
tổng qt hơn về mối quan hệ giữa các hiện tượng cơ - nhiệt và có
một tài liệu bổ ích cho việc ơn luyện trong các kì thi học sinh
giỏi.

1


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
PHẦN 2: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1. Các định luật của chất khí lí tưởng

Q trình đẳng nhiệt

Q trình đẳng tích

Q trình đẳng áp

Định luật Bôi-lơ - Ma-ri-ôt

Định luật Sác-lơ

Định luật Gay-Luytxac

p∼

1
 pV = hằng số
V

p∼T

p
V
= hằng số V ∼ T 
= hằng số.
T
T

2. Phương trình trạng thái của khí lí tưởng
p1V1 p 2V2
pV

=
=
...

= hằng số
T1
T2
T

3. Phương trình Cla pê rơn - Men đê lê ep (phương trình C – M)
pV =

m
RT ; R là hằng số của các khí, R = 8,31J / mol .K
µ

4. Biểu thức của ngun lí I Nhiệt động lực học
- Xét một quá trình biến đổi: ∆U = A + Q .
Nếu xét cho một quá trình nguyên tố: dU = δ A + dQ
i
Trong đó: dU = ν . RdT ; δ A = − pdV ;
2
Nếu xét riêng cho q trình đẳng tích và đẳng áp thì nhiệt lượng được
tính tương ứng theo hai cơng thức sau: dQ = ν Cv dT và dQ = ν C p dT

2


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
II. HỆ THỐNG BÀI TẬP

BÀI 1
Một phần của xi – lanh có
chứa đầy một lượng khí lí tưởng
đơn nguyên tử ở áp suất 1 atm và
nhiệt độ 300K. Có một pit – tơng
nhẹ ngăn cách chất khí với phần
Hình 1.1

cịn lại của xi –lanh, phần này là

chân khơng.
Có một lị xo đang ở trạng thái khơng biến dạng ( được giữ cố
định), lị xo được nối với pit-tông và thành của xi-lanh. Xi-lanh
cách nhiệt với mơi trường bên ngồi. ( Xem hình 1.1 ). Ban đầu
pit-tơng được giữ cố định với xi-lanh sau đó được thả ra. Sau khi
đạt đến trạng thái cân bằng thì thể tích bị chiếm bởi chất khí gấp
đơi so với lúc đầu. Bỏ qua nhiệt dung của pit-tông, xi-lanh và lị
xo. Hãy tìm nhiệt độ và áp suất của khí lúc cân bằng được thiết
lập
LỜI GIẢI
Xét lượng khí biến đổi trạng thái từ (1) – là trạng thái ban đầu
đến (2) - là trạng thái lúc sau khi cân bằng được thiết lập trở lại
Vì hệ cách nhiệt hồn tồn với mơi trường bên ngồi nên đây
là q trình đoạn nhiệt. Q12 = 0
Áp

dụng

nguyên

lí

I

nhiệt

động

lực

học

2

∆U12 = A12 = ∫ − pdV
1

- Trạng thái (1) và (2) có các thơng số tương ứng:

3

ta

có:


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
 p1 = 1atm
 p2



T1 = 300 K và T2
V
V
 1
 2
2

Biến đổi tương đương ta có: Cv ( T2 − T1 ) = ∫ − pdV
1

Khí sinh cơng có độ lớn đúng bằng độ giảm thế năng đàn hồi
của lò xo.
1
A12 = − kx 2 ( x là khoảng cách từ vị trí ban đầu của pit-tơng
2
đến vị trí cân bằng lúc sau của pit-tơng, hình 1.2 )
Từ đó ta thu được Cv ( T2 − T1 ) =

−1 2
kx (1)
2

Hình 1.2
Điều kiên cân bằng của pit-tông lúc sau là: kx = p2 S (2)
Mặt khác bài cho V2 = 2V1 hay S .x = V1 (3)
6
Thay (2) vào (1) và chú ý đến điều kiện (3) ta được : T2 = T1 = 257 K
7
Ta tính được p2 =

3
p1 = 0,429atm
7

BÀI 2

4


Chun đề Hùng Vương năm 2014
Một bình kín hình trụ nằm
ngang có chiều dài 2l được chia
thành hai phần bằng nhau bởi
một pit - tơng mỏng, cách nhiệt.
Mỗi phần có chứa n mol khí lí
tưởng đơn nguyên tử ở nhiệt độ
T.

Hình 2

Pit - tơng được nối với các mặt đáy bình bằng các lị xo có độ
cứng k và ban đầu chưa biến dạng. (Xem hình 2). Khi nhiệt lượng
Q được truyền cho khí ở ngăn phải thì pit - tông dịch chuyển một
đoạn x =

l
. Hãy xác định nhiệt lượng Q’ do khí ở ngăn trái tỏa ra
2

ở nhiệt độ T cho một nguồn điều nhiệt gắn vào ngăn trái trong
suốt q trình.
LỜI GIẢI
Khí ở ngăn phải sinh cơng đẩy pit - tơng làm cho khí ở ngăn
trái bị nén (nhận cơng) đồng thời làm các lị xo biến dạ ng
Xét tồn bộ q trình, tổng cơng do khí sinh ra đúng bằng tổng thế năng
2

k l 1
đàn hồi của các lị xo: A ' = 2. . ÷ = kl 2
2 2 4
Q là nhiệt lượng mà chất khí ở ngăn bên phải nhận vào, Q’ là nhiệt
lượng mà chất khí ở ngăn bên trái nhả ra. Vậy nhiệt lượng tổng cộng mà hệ
nhận vào là: Q - Q’ (Q và Q’ đều mang dấu dương)
Áp dụng nguyên lí I Nhiệt động lực học cho hệ khí ở cả hai ngăn ta có:
∆U = A + (Q − Q ') .
1
Trong đó: A = − A ' = − kl 2 ; ∆U là độ biến thiên nội năng của hệ khí.
4

5


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
1
Ta viết: Q − Q ' = kl 2 + ∆U (1)
4
Vì nhiệt độ của ngăn bên trái được giữ khơng đổi, nên ∆U chính là độ
tăng nội năng của khí ở ngăn bên phải:
3

∆U = n.R.∆T (2)
2
Độ tăng nhiệt độ của khí ở ngăn phải được tính từ điều kiện cân bằng
của pit - tơng:
+ Áp suất khí ở ngăn phải khi pit - tơng cân bằng là:

p=

+ Áp suất khí ở ngăn bên trái khi pit - tông cân bằng là:

n.R.( T + ∆T )
l

S l + ÷
 2
p' =

nRT
l

S l − ÷
 2

Điều kiện cân bằng của pit - tông là:
2nR ( T + ∆T ) 2nRT kl
=
+
3Sl
Sl
S

3kl 2
Giải pt trên ta được kết quả: ∆T = 2T +
(3)
2nR
Từ (1) ; (2) ; (3) ta rút được kết quả:
5
Q ' = Q − 3nRT − kl 2
2
BÀI 3
Một bình cách nhiệt được ngăn thành hai phần bằng một pittơng cách nhiệt, có thể chuyển động khơng ma sát trong bình.
Phần bên trái của bình có chứa một mol khí lí tưởng đơn ngun
tử cịn phần bên phải trống rỗng. Pit-tơng được nối với thành bên
phải của bình qua một lị xo, chiều dài tự nhiên của lị xo bằng
chiều dài của bình (Hình 3)
6


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014

Hình 3
Hãy xác định nhiệt dung của hệ thống. Bỏ qua nhiệt dung của
bình, của pit-tơng và của lị xo
LỜI GIẢI
Đặt T 1 là nhiệt độ của khí ban đầu, T 2 là nhiệt độ của khí sau
khi truyền nhiệt lượng ∆Q
Vì khơng có ma sát và bình cách nhiệt nên tồn bộ nhiệt
lượng chuyển thành năng lượng bên trong của hệ ∆Q = ∆W
Năng lượng bên trong hệ bằng tổng của nội năng của khí và
thế năng đàn hồi tích trữ bởi lị xo ( Vì bỏ qua nhiệt dung của lị
xo, pit-tơng và xilanh )

Độ tăng nội năng của một mol khí lí tưởng là ∆W1 =

3
R∆T
2

1
Độ tăng thế năng đàn hồi của lò xo: ∆W2 = k ( x22 − x12 )
2
Trong đó k là độ cứng của lị xo, x 1 và x2 là giá trị tuyệt đối của độ dịch
chuyển của đầu trái của lò xo ở các nhiệt độ T1 và T2 tương ứng.
Chúng ta hãy tìm mối quan hệ giữa các thơng số của khí và độ biến dạng
của lị xo
Ta có p =

F kx
=
S S

Áp dụng phương trình C-M ta được: pV = RT mặt khác dễ thấy:
V = xS

à p=

RT
xS

7

Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
2
Thay vào phương trình của p ta được: x =

Kết quả: ∆W2 =

RT
k

R
( T2 − T1 )
2

Độ tăng năng lượng bên trong hệ là: ∆W = 2R ( T2 − T1 )
Vậy nhiệt dung của hệ thống là C =

∆Q
= 2R
∆Τ

BÀI 4
Một pít tơng bịt kín bình khí được giữ
bằng một lị xo rất nhỏ, trong bình có một
lượng khí nhất định (hình 4.1). Khi nhiệt
độ là 27 0 C thì độ dài của lị xo là 30cm, lúc

Hình 4.1

đó áp suất trong bình bằng 1,2 lần áp suất
khí quyển ngồi bình. Khi nhiệt độ tăng

lên 123 0 C thì độ dài của lị xo là 36cm.
Tính độ dài tự nhiên của lị xo.
LỜI GIẢI
Gọi S là diện tích mặt pít tơng; L1, L2 là chiều
dài của lị xo, p0 là áp suất của khí quyển; F 1, F2 là
lực đàn hồi tương ứng của lò xo.
Ở trạng thái ban đầu:
F
p1 = p0 + 1 = 1,2 p0 ; V1 = S.L1 ; T1 = 300K.
S
Ở trạng thái cuối:

p 2 = p0 +

Hình 4.2

F2
; V2 = S.L2 ; T2 = 396K .
S

Vì khối lượng khí khơng đổi nên ta có:

8

p1V1 p2V2
=
.
T1
T2

Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
Thay số vào ta được p2 = 1,1p1 = 1,32p0 .
Vì áp suất do lực đàn hồi sinh ra cân bằng với độ chênh áp suất trong
bình khí nên :

k .∆L1
k .∆L2
= p1 − p0 = 0,2p0 (1) và
= p2 − p0 = 0,32 p0 (2).
S
S

Từ (1) và (2) ta được ∆L2 = 1,6 ∆L1 → L2 – L0 = 1,6( L1 – L0) .
Vậy độ dài tự nhiên của lò xo là : L0 = 20cm.

9


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
BÀI 5
Một xi-lanh thẳng đứng có tiết diện ngang S chứa 1 mol khí lí
tưởng đơn ngun tử phía dưới một pit-tơng nặng có khối lượng
M. Có một máy truyền nhiệt được đặt ở phía dưới pit-tơng, có thể
truyền cho khí một nhiệt lượng q trong mỗi giây. Tại thời điểm
ban đầu máy được bật lên.
Hãy xác định vận tốc ổn định của pit-tông trong điều kiện áp
suất của khí bên dưới pit-tơng khơng đổi và bằng p 0 và khí cách
nhiệt hồn tồn với mơi trường bên ngồi.
LỜI GIẢI

Áp dụng ngun lí I nhiệt động lực học ta có ∆U = A + Q
Độ biến thiên nội năng của 1 mol khí lí tưởng đơn ngun tử là
∆U =

3
R∆T
2

Và cơng sinh ra bởi khí là A = − p∆V = − pS ∆x , trong đó ∆x là độ dịch
chuyển của pit-tơng
Áp suất của khí trong pit-tơng là p = p0 +

Mg
S

Từ phương trình trạng thái của khí lí tưởng ta có: pV = RT . Vì áp suất khơng
đổi, nên ta nếu lấy vi phân hai vế phương trình trên ta được: p∆V = R∆T
Thay biểu thức của A và ∆U vào biểu thức của ngun lí I nhiệt động
lực học ta có: Q =

3
5
R∆T + pS ∆x = pS ∆x
2
2

Ta có Q = q.∆ t ( trong đó ∆t là khoảng thời gian truyền nhiệt, và trong
khoảng thời gian này pit-tông dịch chuyển lên trên một đoạn ∆x )
Vậy ta có: ∆x = v.∆t
Hay: Q = q.

∆x
v

10


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014

Thay vào phương trình trên ta được:

q 5
Mg 
=  po +
÷S
v 2
S 

Vậy vận tốc của pit-tông dịch chuyển là: v =

2
q
5 po S + Mg

BÀI 6
Một pít tơng có trọng lượng đáng kể ở vị trí cân
bằng trong một bình hình trụ kín( hình 6). Phía trên và
dưới pít tơng có cùng một loại khí, khối lượng và nhiệt
độ của khí ở trên và dưới pít tơng như nhau. Ở nhiệt độ
T thể tích khí ở trên gấp 3 lần thể tích khí ở phần dưới.

Nếu tăng nhiệt độ lên 2T thì tỉ số 2 thể tích ấy là bao
nhiêu ?
LỜI GIẢI
Khi pít tơng cân bằng ta có : p1 + p = p2

Hình 6

(1)

với p1, p2 là áp suất của khí ở trên và dưới pít tơng, p là áp suất do pít
tơng gây ra. Vì khối lượng và nhiệt độ của khí ở trên và dưới pít tơng như
nhau, ta có :
p1.3V0 = p2.V0 → 3p1 = p2

(2).

Từ (1), (2) ta thấy : p = p2 – p1 = 2p1.
Gọi áp suất của khí ở trên và dưới pít tơng khi nhiệt độ tăng lên 2T là p 3
và p4, ta vẫn có : khi pít tơng cân bằng thì p 4 = p3 + 2p1, khi đó thể tích khí ở
ngăn trên là V1, thể tích khí ở ngăn dưới là V2 . Áp dụng phương trình trạng
thái cho khí ở ngăn trên và dưới, ta được :
p1.3V0 p3 .V1 ( p3 + 2 p1 ).V2
6pV
6 p1V0
=
=
→ V1 = 1 0 ;V2 =
T
2T
2T

p3
p3 + 2 p1
 1

1
2
Mà V1 + V2 = 4V0 → 6 p1V0  +
÷ = 4V0 → p3 − p1. p3 − 3 p1 = 0
 p3 p3 + 2 p1 
Giải phương trình trên ta được :

11


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
p3 =

(

)

1
p1 + 13 p1 ≈ 2,3 p1 ( loại nghiệm âm).
2

Như vậy :

V1 p3 + 2 p1
=
≈ 1,87 .

V2
p3

BÀI 7
Một khối lượng khí lí tưởng được
giam trong 1 xi-lanh kín 2 đầu, dùng 1 pít
tơng chia khối khí trong xi-lanh thành 2
phần có thể tích và nhiệt độ đều bằng nhau
(hình 7.1).
Hình 7.1
Bình khí và pít tơng khơng dẫn nhiệt, giữa chúng khơng có ma sát. Đốt
nóng khối khí trong ngăn bên phải bằng một dây điện trở, sau một thời gian
hệ thống lại trở về trạng thái cân bằng, khi đó thể tích ngăn bên trái
bằng

3
thể tích ban đầu và nhiệt độ là T 1 = 300K. Tính nhiệt độ khí
4

trong ngăn bên phải.
LỜI GIẢI
Ban đầu trạng thái của 2 khối khí
hồn tồn giống nhau
Xét khối lượng khí trong ngăn bên
3
′ V
p
trái: pV = 4 (1)
T
T1

Xét khối lượng khí trong ngăn bên phải:
5
′
pV p 4 V (2).
=
T
T2

12

Hình 7.2


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
5
Từ (1) và (2) ta có: T2 = T1 = 500 K .
3

13


Chun đề Hùng Vương năm 2014
BÀI 8
Một xi-lanh kín hình trụ chiều cao h,
tiết diện S = 100cm 2 đặt thẳng đứng. Xilanh dược chia làm 2 phần nhờ một pít
tơng cách nhiệt, mỏng, khối lượng m =
500g. Khí trong 2 phần là cùng loại, ở
cùng nhiệt độ 27 0 C và có khối lượng m 1 ,

Hình 8.1

m 2 với m 2 = 2m 1 , pít tơng cân bằng khi
cách đáy dưới một đoạn h 2 = 0,6h (xem
hình vẽ 8.1)
a. Tính áp suất khí trong 2 phần của xi-lanh ?
b. Sau đó người ta mở van để khí trong phần 2 của xi-lanh
thốt ra bớt một lượng ∆m 2 rồi khóa lại. Nung nóng phần 2 của xilanh tới nhiệt độ 37 0 C (phần còn lại giữ ở nhiệt độ khơng đổi) thì
pít tơng cách đều 2 đáy xi-lanh. Xác định ∆m 2 theo m 1 . Lấy gia
tốc trọng trường g =10m/s 2 .
LỜI GIẢI
a. Để xác định áp suất của khí ta dựa vào
phương trỡnh trng thỏi :
m1

RT1
à
p1 m1 V2

=
ì

m2
p
m
2
2 V1
p2V2 =
RT2 

µ

p1V1 =

Hình 8.2

( Vì T1 = T2).
Mà V1 = 0,4Sh; V2 = 0,6Sh và m2 = 2m1 nên p1 = 0,75.p2
Khi pít tơng cân bằng thì p1 +

mg
= p2 → 0,75p2 + 500 = p2
S

Vậy p2 = 2000Pa và p1 = 1500Pa.
b. Khi pít tơng nằm cách đều 2 đáy của xi-lanh thì :
14


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
m1

RT1 
µ
p1′ m1 T1
m .T . p′

= , × → m′2 = 1 1 2 (1) .
 →
m′
p′2 m2 T2′
p1′.T2′

p2′V2′ = 2 RT2′

µ
p1′V1′ =

Đối với khối khí ở trên pít tơng do nhiệt độ khơng đổi nên:
p1V1 = p1′.V1′ → p1′ =
p1′ +

p1.V1 1500.0,4Sh
=
= 1200( Pa )
V1′
0,5Sh

mg
= p2′ = 1200 + 500 = 1700( Pa).
S

Thay vào (1) ta được:
m2′ =

85
85
39
m1 → ∆m2 = m2 − m2′ = 2m1 − m1 = m1
62
62
62

BÀI 9
Một xi-lanh cách nhiệt được chia làm 2
phần bởi một vách ngăn cố định và dẫn nhiệt
(hình 9.1). Phần trên của vách ngăn chứa 1mol
khí He ở nhiệt độ T 1 = 420K, dưới vách ngăn
chứa 1,5mol khí He ở nhiệt độ T 2 = 400K. Pit
tơng cách nhiệt có khối lượng M = 100kg và
có thể chuyển động khơng ma sát dọc theo xi-

Hình 9.1

lanh.
Ban đầu pít tơng đứng n nhưng sau đó khi 2 ngăn trao đổi
nhiệt thì pít tơng dịch chuyển cho tới khi có cân bằng nhiệt trong
xi-lanh. Hỏi nhiệt độ khi có cân bằng nhiệt là bao nhiêu và khi đó
pít tơng đã dịch chuyển theo chiều nào, một khoảng bằng bao
nhiêu ? Bỏ qua áp suất khí quyển.
LỜI GIẢI
15


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
Vì vách ngăn cố định và dẫn nhiệt mà khí ở
ngăn trên có nhiệt độ cao hơn khí ở ngăn dưới
nên khi có cân bằng nhiệt thì nhiệt độ của khí ở
ngăn trên giảm đi mà áp suất khí ở ngăn trên
khơng đổi nên thể tích khí ở ngăn trên cũng giảm
đi hay nói cách khác : pít tơng đi xuống.

Hình 9.2

Phần khí ở ngăn trên biến đổi đẳng áp, cịn khí ở ngăn dưới

biến đổi đẳng tích. Theo phương trình cân bằng nhiệt thì :
Q t ỏ a = Q t h u → n 1 .c p .(420 – T) = n 2 .c V .( T- 400) (1).
Thay số ta được T = 410,5K.
Độ dịch chuyển của pít tơng được xác định từ phương trình h
=

∆V
(2) mà khí ở ngăn trên biến đổi đẳng áp nên :
S
V1 V1′ V − V1′ ∆V
V .∆T
= =
=
→ ∆V = 1 1
T1 T T1 − T ∆T1
T1

(3)

Đồng thời áp suất khí ở ngăn trên là : p1 =

Mg n1RT1
MgV1
=
→S =
(4)
S
V1

n1RT1

.
Thay (3), (4) vào (2) ta được h =

n1R(T1 − T )
= 8(cm) .
Mg

Vậy pít tơng đi xuống 8cm.

16


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
BÀI 10
Trong một bình hình trụ bịt
kín, tiết diện ngang là S, có một pít
tơng khối lượng M ngăn bình thành
2 khoang I và II. Khoang I chứa
hơi nước bão hịa, khoang II chứa
khí ni tơ khối lượng m.
Hình 10.a
Hình 10.b
Pít tơng có thể chuyển động khơng ma sát trong bình. Ban
đầu bình nằm ngang và pít tơng ở trạng thái cân bằng ( hình 10.a),
nhiệt độ hai khoang đều là T 0 = 273K, áp suất là p 0 . Bây giờ dựng
đứng bình lên như hình 10.b, nhiệt độ 2 khoang vẫn là T 0 , đồng
thời có một lượng nhỏ hơi biến thành nước. Biết nhiệt hóa hơi của
nước là L, khối lượng mol của nước và ni tơ lần lượt là µ 1 và µ 2 .

Hãy tính nhiệt lượng trao đổi của bình với bên ngồi.
LỜI GIẢI
Gọi thể tích 2 khoang khi bình nằm ngang là V 1 và V 2 .
Khi bình dựng đứng, thể tích của khoang I là V 1 - ∆V, áp suất vẫn là p0
(vì nhiệt độ khơng đổi, và hơi nước trong khoang đó vẫn ở trạng thái bão
hịa). Thể tích khoang 2 là V 2 + ∆V, áp suất là p0 +

Mg
. Ta có hệ phương
S

trình cho khoang II : (hình 10.1a và 10.1b)

Hình 10.1a
Hình 10.1b

17


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014

m

p
V
=
RT0
0
2


µ2


 p ( V + ∆V ) = m RT
2

µ2 0
Giải hệ phương trình ta tìm được ∆V =

MgV2
.
p0 S − Mg

Đối với khoang I, khối lượng nước được tạo ra là ∆m , thể tích của lượng
nước này rất nhỏ so với thể tích của khoang I nên có thể bỏ qua. Do đó :
∆m =

µ1 p0V1 µ1 p0 ( V1 − ∆V ) µ1 p0 ∆V
−
=
RT0
RT0
RT0

Vì ∆m = ∆V .µ1 =

MgV2
Mg
µ1
µ1 =

m
p0 S − Mg
p0 S − Mg µ2

Nên nhiệt lượng mà bình truyền ra ngồi là :
Q = L. ∆m =

µ1
Mg
mL .
µ 2 p0 S − Mg

BÀI 11
Một bình hình trụ một đầu kín, đầu
cịn lại được đậy bằng một pít tơng chưa
rõ khối lượng. Trong bình có chứa một
lượng khí lý tưởng xác định. Trên pít
tơng có một lượng cát, ban đầu pít tơng
được tựa trên vịng đỡ cố định bên trong

Hình 11.1

bình (hình 11).
Độ cao cột khơng khí là H 0 , áp suất khí quyển là p 0 . Tăng dần
nhiệt độ (tăng chậm) của khí trong bình đến khi tăng được ∆T = 60K
thì pít tơng bắt đầu được nâng lên khỏi vòng đỡ. Tiếp tục tăng nhiệt
độ đến khi độ cao cột khí đạt H 1 = 1,5H 0 thì dừng lại. Sau đó duy
18

Chun đề Hùng Vương năm 2014
trì nhiệt độ khơng đổi, lấy dần cát ra, đến khi lấy hết cát thì cột
khí có độ cao H 2 = 1,8H 0 . Hỏi lúc đó nhiệt độ khí trong bình là
bao nhiêu ?(Bỏ qua ma sát giữa pít tơng và thành bình).
LỜI GIẢI
Trong bình, trạng thái biến đổi của khối
khí có thể phân thành 3 q trình : biến đổi
đẳng tích → biến đổi đẳng áp → biến đổi đẳng
nhiệt. Vì trạng thái ban đầu của khối khí có áp
suất bằng áp suất khí quyển p0, cuối cùng sau
khi lấy hết cát ra, khối khí cũng có áp suất bằng

Hình 11.2

p0, cho nên có thể xem tồn bộ q trình biến
đổi tương đương với một quá trình biến đổi
đẳng áp (hình 11.2).
Áp dụng định luật Gay-Luytxac, ta có :
H0S H 2S
H
H
HT
=
→ 0 = 2 → T1 = 0 2
T1
T2
T1
T2
H2

(1).

Xét quá trình biến đổi của khối khí từ khi
pít tơng bắt đầu rời khỏi vành đỡ đến khi pít
tơng lên đến độ cao H1, khối khí biến đổi đẳng
áp, nên ta có :
H0S
HS
H0
H
= 1 →
= 1
T1 + ∆T
T2
T1 + ∆T T2

Từ (1) và (2) ta được :

T2 =

(2).

Hình 11.3

H1∆T
1,5.60
=
= 540 K

H1  1 − 1,5

.
H 0 1 −
÷
1,8
 H2 

19


Chun đề Hùng Vương năm 2014
BÀI 12
Một pít tơng có khối lượng m giam một mol khí lý tưởng
trong xy lanh. Pít tơng và xy lanh khơng giãn nở vì nhiệt. Pít tơng
được treo bằng sợi dây mảnh ban đầu cách đáy một khoảng h. Khí
trong xy lanh ban đầu có áp suất bằng áp suất khí quyển p 0 , nhiệt
độ T 0 . Phải cung cấp cho khí một nhiệt lượng bao nhiêu để nâng
pít tơng lên vị trí cách đáy một khoảng 2h. Biết nội năng của một
mol khí là U = CT, C là hằng số, cho gia tốc trọng trường là g. Bỏ
qua ma sát.
LỜI GIẢI
Q trình nung nóng khí chia làm 2
giai đoạn:
+ Ban đầu khí được nung nóng
đẳng tích cho tới khi áp suất khí trong xy
lanh đạt tới giá trị p = p0 +

mg
S

Hình 12

+ Sau đó khí sẽ đẩy pít tơng dịch
chuyển từ từ lên độ cao 2h, quá trình này
coi là đẳng áp, lúc này dây treo pít tơng
sẽ bị chùng xuống.
Nhiệt lượng cung cấp cho khí là tổng nhiệt lượng cảu 2 q trình trên.
Xét q trình khí nung nóng đẳng tích, nhiệt độ của khí tăng từ T 0 đến
T, ta áp dụng công thức:

p p0
p
mg
=
→ T = T0 = (1 +
)T0 .
T T0
p0
p0 S

Khi đó nhiệt lượng cung cấp cho khí chỉ làm nội năng của khí tăng:
Q1 = ∆U1 = C ∆T = C (T − T0 ) =

CT0
mg (1)
p0 S

Theo phương trình Claperol- Menđeleep ta có :
20

Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
p0V0 = RT0 hay p0Sh = RT0 (2)
Từ (1) và (2) ta được : Q1 =

Cmgh
.
R

Xét q trình khí nung nóng đẳng áp, nhiệt lượng cung cấp cho khí vừa
làm nội năng của khí tăng vừa sinh công:
Q2 = ∆U 2 + A2′ , với ∆U 2 = C ∆T ′ = C (T2 − T ) (3)
mà

V0 V2
V
= → T2 = 2 T = 2T . Thay vào (3) ta được
T T2
V0

∆U 2 = CT = CT0 (1 +

mg
Cmgh
) = CT0 +
p0 S
R

Công mà khí sinh ra là : A2′ = p∆V = ( p0 +
Như vậy

Q2 = CT0 +

mg
)Sh = RT0 + mgh .
S

Cmgh
+ RT0 + mgh (4).
R

Tổng nhiệt lượng cung cấp cho khí là :
Q = Q1 + Q2 = (C + R)T0 + mgh(1 +

2C
).
R

Nhận xét: Khi làm bài tập này các em học sinh thường hay bị ngộ nhận
là khi cung cấp cho khí nhiệt lượng thì pít tơng đã dịch chuyển ngay, nên bỏ
qua q trình nung nóng khí đẳng tích ban đầu.
BÀI 13
Một bình hình trụ đặt thẳng đứng có một
pít tơng khối lượng m, diện tích S. Bên dưới pít
tơng có một khí lý tưởng đơn ngun tử, bên
ngồi là khơng khí. Lúc đầu pít tơng có độ cao
2h so với đáy. Khí được

làm lạnh chậm cho

đến khi pít tơng xuống một đoạn h.

Hình 13.1

21


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
Sau đó người ta nung nóng chậm khí để pít tơng trở về độ cao ban
đầu. Biết rằng giữa pít tơng và thành bình có lực ma sát trượt khơ
bằng F. Áp suất khí quyển bằng p 0 (hình 13.1). Tính nhiệt dung
của khí trong q trình nung nóng
LỜI GIẢI:
Khi làm lạnh chậm khí, pít tơng chuyển động thẳng đều xuống
dưới, áp suất của khí khơng đổi bằng p 1 .
Ta có :

p1.S = p0.S + mg – F → p1 = p0 +

mg F
−
S
S

(1)

Khi q trình làm lạnh kết thúc, khí có nhiệt độ T 1 , áp suất
khí vẫn là p 1 , thể tích khí là V 1 = S.h, lực ma sát nghỉ tác dụng
vào pít tơng có hướng đi lên.
Trong q trình khí bị nung nóng
được chia làm 2 giai đoạn : ban đầu
khí bị nung nóng đẳng tích để đưa

nhiệt độ của khí từ T 1 đến T 2 ( kết thúc
giai đoạn này lực ma sát nghỉ đổi
chiều và pít tơng chuyển động đi lên).
Giai đoạn tiếp theo là nung nóng đẳng
áp từ nhiệt độ T 2 đến nhiệt độ T 3 để

Hình 13.2

đưa pít tơng về độ cao ban đầu. Đồ thị
biểu diễn quá trình biến đổi trạng thái
của khí trong thời gian nung nóng như
hình 7.
Giai đoạn khí bị nung nóng đẳng tích, kết thúc giai đoạn này khí có áp
suất p2 xác định từ phương trình :

22


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014
p2.S = p0.S + mg + F → p2 = p0 +

mg F
+
S
S

(2).

Sau đó khí bị nung nóng đằng áp nên áp suất khí khơng đổi và bằng p2.
Nhiệt lượng khí thu vào trong cả q trình làm nóng là :

Q = Q1 + Q2 = Cv(T2 – T1) + CP( T3 – T2)
=

3
( p − p1 ) + 5 Rp . ( 2Sh − Sh ) = 5 ( p0 .S + mg ) + 11F h
RSh. 2
2
2
R
2
R
2

Độ biến thiên nhiệt độ của khí :
∆T = T3 – T1 =

p2 .2Sh p1.Sh mg + p0 S + 3F
−
=
h.
R
R
R

Vậy nhiệt dung của khí trong cả q trình làm nóng khí là :
C=

Q 5 ( p0 S + mg ) + 11F R
=
.

∆T
( p0 S + mg + 3F ) 2

BÀI 14
Một xi lanh đặt thẳng đứng có chứa n mol khí lý tưởng đơn ngun tử
nhờ một píttơng có khối lượng M đậy kín. Ban đầu, píttơng được giữ đứng
n, khí trong xi lanh có thể tích V 0, ở nhiệt độ T0; sau đó thả cho píttơng dao
động nhỏ rồi đứng n. Bỏ qua mọi ma sát, nhiệt dung của xi lanh và píttơng.
Tồn bộ hệ được cách nhiệt, áp suất khí quyển là p 0. Tìm nhiệt độ và thể tích
của khí trong xi lanh khi píttơng đứng cân bằng.
LỜI GIẢI
Do tồn bộ hệ cách nhiệt và píttơng thực hiện dao động nhỏ nên coi q
trình biến đổi của khí trong xi lanh là đoạn nhiệt thuận nghịch.
Do Q = 0 nên A = ∆U

(1)
23


Chun đề Hùng Vương năm 2014
Khi píttơng đứng cân bằng, hợp lực tác dụng lên píttơng bằng khơng

ur r r r
P +F +f = 0
ur
Với P là trọng lực của píttơng, có độ lớn P = Mg.
r
F là áp lực của khí quyển lên píttơng, có độ lớn F = p0S
r
f là áp lực của khí trong xi lanh, có độ lớn f = pS, trong đó p là áp

suất của khí trong xi lanh, S là tiết diện thẳng của píttơng (hình 8).
Suy ra: f = P + F

⟹

⟹ p=

pS = Mg + p0S

Mg
+ p0
S

r
f

Áp dụng phương trình trạng thái:

pV = nRT

⇒

 Mg

+
p
0 ÷ V = nRT

 S


( 2)

Cơng (khí nhận): A = −fh = − ( Mg + p 0S ) h với
h=

∆V V − V0
=
S
S

Hình 14

⇒ A = − ( Mg + p 0S )

V − V0
S
i
2

3
2

Độ biến thiên nội năng: ∆U = nR∆T = nR ( T − T0 )
Từ (1) ta có: − ( Mg + p 0S )

⇔ ( Mg + p 0S)

u
r

P

r
F

V − V0 3
= nR ( T − T0 )
S
2

V0 − V 3
= nR ( T − T0 )
S
2

Giải hệ (2) và (3), ta được:

24

( 3)


Chuyên đề Hùng Vương năm 2014

2V0
3nRT

V
=
+


Mg 
5

5  p0 +

÷
S 



Mg 


2 p0 +
÷V0

3T0
S

+ 
T =
5
5nR

BÀI 15
Xi lanh hình trụ,
pittơng và vách ngăn
(hình vẽ) được chế tạo từ
các vật liệu cách nhiệt.

Hình 15

Van tại vách ngăn được
mở khi áp suất bên phải
lớn hơn áp suất bên trái.
Khi van đã được mở thì

nó khơng đóng lại nữa.
Trong trạng thái đầu của phần bên trái của hình trụ dài l = 11,2dm có
m1 = 12 g Heli; trong phần bên phải cùng độ dài có m2 = 2 g Heli. Từ hai phía

nhiệt độ bằng 00 C . Áp suất ngồi p0 = 105 Pa . Nhiệt dung riêng của Heli khi
. , cịn khi áp suất khơng đổi là
thể tích khơng đổi là CV = 3,15.103 J / kgđô

C p = 5,25.103 J / kgđô
. . Pittông được dịch lại chậm theo hướng tới vách ngăn
(có sự nghỉ nhỏ khi van được mở ra) và được dịch sát tới vách ngăn. Cho diện
tích pittơng S = 10−2 m 2 . Tính cơng mà pittơng đã thực hiện.
LỜI GIẢI
Xét khí trong xi lanh.
Cơng tồn phần thực hiện trên khí:
Với A1 là cơng do pittông thực hiện
25

A = A1 + A2 (1)